Введение к работе
Актуальность темы. Когомологии алгебр были открыты Дж. Хох-шильдом в 1940-х годах. А. Картан и С. Эйленберг в 1956 г. распространили первоначальное определение на случай алгебр над произвольным кольцом. В 1963 г. М. Герстенхабер обнаружил на когомологиях алгебр лиев-скую структуру, согласованную с ^-умножением. Таким образом, когомологии Хохшильда являются функтором из категории ассоциативных алгебр в категорию градуированых алгебр и, даже, в категорию алгебр Герстенха-бера. Когомологии Хохшильда - тонкий инвариант ассоциативной алгебры, содержащий массу информации о ее структуре. Поскольку ассоциативные алгебры играют ключевую роль во множестве дисциплин, то и когомологии Хохшильда оказываются важнейшими объектами для изучения как в теории представлений ассоциативных алгебр, так и в теории центральных простых алгебр, алгебраической геометрии, некоммутативной геометрии, гомотопической теории деформаций, струнной топологии и функциональном анализе.
С точки зрения теории ассоциативных алгебр когомологии Хохшильда алгебры параметризуют инфинитезимальные деформации этой алгебры, при этом п-коцикл соответствует деформации структуры ассоциативной алгебры в структуру Ап-алгебры в смысле теории Лоо-алгебр. С другой стороны, когомологии Хохшильда инвариантны относительно производной эквивалентности и, следовательно, относительно Морита-эквивалентности алгебр, вследствие чего они играют значительную роль в классификационных задачах теории представлений ассоциативных алгебр.
Несмотря на то, что определение когомологии Хохшильда было дано больше полувека назад, вычисления этого инварианта алгебр в конкретных примерах стали появляться сравнительно недавно. Для коммутативной конечной группы G в работе Т. Хольма 1996 г., а также в работе К. Сибильса и А. Золотарь 1997 г. доказано, что HH*(K[G]) ~ H*(G) к K[G]. С. Зигель и С. Уизерспун описали в 1999 г. алгебры когомологии Хохшильда для симметрической группы 5*з над полем F3, а также для знакопеременной группы А^ и для диэдральных 2-групп над полем F2. К. Эрдманн и Т. Хольм в 1999 г. описали алгебру НН*(Л) для случая, когда R - полуцепная Qi^-алгебра. В 2008 г. П. Берг и К. Эрдманн вычислили когомологии Хохшильда некоторых алгебр, являющихся полными квантовыми пересечениями. Алгебра когомологии Хохшильда для так называемой алгебры Лю-Шульца вычислена А.И. Генераловым и Н.Ю. Косовской в 2006 г. В работах МА. Пустовых (Качаловой) в 2006 - 2011 гг. полностью описана мультипликативная структура алгебры когомологии Хохшильда так называемой алгебры Мёбиуса; в связи
с этим вычислением, можно еще упомянуть работу К. Эрдманн, Т. Хольма и Н. Снэшелл 2002 г., где получены некоторые частичные результаты. Также имеются частичные результаты для групповых блоков ручного типа представления, имеющих один или три простых модуля, полученные Т. Хольмом в 2002 г. В цикле статей Ю.В. Волкова и А.И. Генералова в 2007 - 2011 гг. вычислены когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр конечного типа представления, имеющих древесный тип Dn. В 2011 г. Д. Бенсон и К. Эрдманн вычислили когомологии Хохшильда некоторых алгебр Гекке. Когомологии Хохшильда препроективных алгебр исследовались в работах К. Эрдманн, Н. Снэшелл в 1998 г., П. Этингофа, Ц.-Х. Оу в 2007 - 2008 гг. и В. Кроули-Бове, П. Этингофа и В. Гинзбурга в 2007 г. Необходимо также упомянуть, что в 2008 г. Т. Хаями вычислил кольцо когомологии Хохшильда алгебры, являющейся порядком в групповой алгебре обобщенной группы кватернионов. Здесь же следует отметить, близкую по теме работу М. Суды и К. Санады 2006 г.
Важную роль когомологии Хохшильда играют в классификационных задачах теории представлений ассоциативных алгебр; в частности, в классификации с точностью до производной эквивалентности или Морита-эквивалентности групповых блоков ручного типа представления.
Решая задачу о классификации с точностью до Морита-эквивалентности групповых блоков ручного типа представлений, Карин Эрдманн обнаружила некоторые новые классы алгебр, для которых подобная классификация, с одной стороны, решает исходную задачу классификации, а с другой - выглядит более ясно. Алгебры кватернионного, а также диэдрального и полудиэдрального типа возникли как естественные обобщения ручных групповых блоков, которые, собственно, все содержатся в этих семействах над полем характеристики 2. Например, алгебры кватернионного типа получили свое название вследствие того, что этот класс включает в себя все ручные блоки с обобщенной кватернионной группой дефекта. К. Эрдманн в 1990 г. и Т. Хольм в 1999 г. показали, что все алгебры диэдрального, полудиэдрального и кватернионного типов имеют ручной тип представления. Классификация с точностью до Морита-эквивалентности алгебр указанных типов, проделанная К. Эрдманн в 1990 г., была уточнена в 1999 г. Т. Хольмом, когда он предъявил список, содержащий представителей всех классов производной эквивалентности из списка К. Эрманн. Однако эти классификации не полны, поскольку не известно, лежат ли различные представители в различных классах эквивалентности. Дополнительным инструментом, позволяющим уточнить эти классификации, могут послужить когомологии Хохшильда.
Кроме того, нужно отметить, что классификация Эрдманн предоставляет множество примеров алгебр ручного типа представления. Все эти алгебры включены в серии, для каждой из которых теоретически возможно вычислить бимодульную резольвенту и единообразно считать с нее когомологий Хохшильда алгебр, в эту серию входящих.
Эта задача решена для некоторых серий алгебр из классификации К. Эрдманн. В работах А.И. Генералова 2006 - 2008 гг. алгебра когомологий Хохшильда описана для одной из серий локальных алгебр кватернионного типа и для двухвершинных алгебр кватернионного типа серии Q(2B)\ с малыми параметрами, соответственно. Далее, в 2004 и 2010 гг. А.И. Генералов вычислил алгебру когомологий Хохшильда алгебр диэдрального типа семейства D(3/C) и одной серии локальных алгебр диэдрального типа. Наконец, в недавних статьях А.И. Генералова 2009 - 2010 гг. описаны алгебры когомологий Хохшильда для локальных и для групповых алгебр полудиэдрального типа. Аналогичные результаты для блоков уже не ручного, а конечного типа представления были получены С. Зигелем и С. Уизерспун в 2000 г. Ими были вычислены когомологий Хохшильда циклического блока. Возвращаясь к алгебрам ручного типа представлений, отметим статью К. Эрдманн и С. Шролл 2010 г., где вычислена аддитивная структура алгебры когомологий Хохшильда ручных алгебр Гекке и работу Н. Снэшелл и Р. Тайлефер 2010 г., в которой описано кольцо когомологий Хохшильда одной серии специальных бирядных алгебр по модулю нильпотентных элементов.
Мультипликативная структура алгебр когомологий Хохшильда алгебр из списка К. Эрдманн отличается сравнительно высокой сложностью, кроме того, довольно замысловатое устройство соответствующих минимальных резольвент влечет комбинаторную трудность вычислений произведения в кого-мологиях Хохшильда по Ионеде.
Цель работы. Целью работы является вычисление аддитивной и мультипликативной структур алгебры когомологий Хохшильда алгебр кватернионного типа серии Q(2B)i(k, s, а, с) над алгебраически замкнутыми полями.
Методы исследований. Вычисления в настоящей работе производятся с использованием техники работ А.И. Генералова. Для вычислений используется минимальная проективная резольвента. Основным фактом необходимым для вычисления мультипликативной структуры является совпадение ^-произведения в когомологиях Хохшильда и произведения по Ионеде. Поиск образующих и соотношений, описывающих мультипликативную структуру, производится при помощи минимальной проективной резольвенты. Доказательство достаточности найденных образующих и соотношений выполня-
ется стандартным образом, идеологически близким к технике базисов Грёбне-ра, посредством введения лексикографического порядка и нормальной формы.
Основные результаты. В диссертации получены следующие результаты:
1. Вычислена алгебра когомологий Хохшильда алгебр кватернионного ти
па серии Q(2B)i(k,s,a,c) при k,s нечетных над полем характеристики
2;
Вычислены группы когомологий Хохшильда алгебр кватернионного типа серии Q(2B)i(k,s,a,c) над полем произвольной характеристики отличной от 2;
Вычислена алгебра когомологий Хохшильда алгебр кватернионного типа серии Q(2B)i(k, s, а, с) над полем характеристики 3.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории представлений ассоциативных алгебр, в частности, в классификационных задачах. Также результаты могут использоваться для дальнейшего исследования строения когомологий Хохшильда.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были изложены на следующих конференциях и семинарах.
Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007).
Международная конференция, посвященная 70-летию А.В. Яковлева (Санкт-Петербург, 2010).
Санкт-Петербургский городской алгебраический семинар имени Д.К. Фаддеева.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах автора [1]-[5], приведенных в конце автореферата. Из них две [1], [2] вышли в журналах, входящих в список ВАК.
Работы [3], [4] написаны в соавторстве, в них диссертанту принадлежит вычисление алгебры когомологий Хохшильда алгебр семейства Q(2B)i(k,s,a,c), когда оба натуральных параметра k,s нечетны. В работе [3] диссертанту принадлежит теорема 1.1 (пункты 4),5)), а также предложение 1.2 (частично), следствие 1.3 и построение резольвенты (частично).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав (первая глава содержит один раздел, вторая - три раздела, третья - два раздела, и четвертая - два раздела) и списка литературы, содержащего 45 наименований. Объем диссертации 134 страницы.
