Введение к работе
Актуальность темы.
Настоящая диссертация посвящена изучению возможности продолжения структуры Лэо-алгебры и Лос-модуля над Лоо-алгсброй. Впервые понятие. Лоо-структуры был получено Сташеффым при изучении алгебраических структур на топологических пространствах1. Лоо-структуры стали следующим шагом на пути изучения многоместных операций после произведений Массн. Эти операции, появившиеся в работах Мэя2, Бабепко и Тайманова3, были получены при изучении гомологии и спектральных последовательностей, однако проблемой являлась их многозначность и частичная определенность. Рассмотрение Л^-структуры позволяет избавиться от подобного неудобства, при этом значення высших умножений в Лзс.-алгебрс па элементах, для которых определено произведение Масел, совпадает с ним. Алгоритм перехода от произведении Массн к А^-алгебрам можно найти, например, в [1]. Нетривиальные высшие произведения Массн были найдены па кольцах многогранников1. Таким образом, Лои-алгебры могут быть рассмотрены как упорядочение структуры произведений Массн. С другой стороны, в малых размерностях соотношения Сташоффа для Лос-алгебры соответствуют условиям ассоциативности и формуле Лейбница, Таким образом, можно считать Лоо-алгсбру обобщением понятия алгебры.
Лоо-алгебры были применены Кадеишвили5 для описания гомологии дифференциальных модулей и дифференциальных алгебр. Им же было определпо понятие Л^-модуля над Лоо-алгсброй, явившееся обобщением понятия модуля над алгеброй. После этого возник вопрос о количестве структур Лос-алгебры на данной дифференциальной пли градуированной алгебре. Для изучения этого вопроса использовался комплекс Хохшильда для алгебр6,7. Основную роль при изучении возможностей
"Staslicff J.D. Ilomotopy associativity of II-space, 1, 2 // Trans.Anicr. Math.Soc, 19G3, 108:2, p 275-313.
2May J.P. Matric Massey products // Journal of Algebra. 10G9. V.12, p. 533-5G8
3Babenko I.K., Taimanov I.A. Massey products in simpletic manifolds // Sb. Math. 2000. V.191. p. 1107-1146
'Бухштабер B.M., Панов Т.Е. Торическис действия в топологии и комбинаторике. М., МЦНМО, 2004.
5Кадеишшіли Т.В. К теории гомологии расслоенных пространств // УМН. 1980. Т. 35. вып. 3(213). с. 183-188.
"Gcrstenhabor М. The homology structure of an associative ring // Ann. of Math., 4(1903), 2G7-288.
TBarr M. Harrison homology, Ilochschild homology and triples // Journal of algebra,
продолжения играли скрещивающие коцепи, введенные Брауном8, а для комплекса Хохшильда - Верикашішли9. Было показано, что гомологии комплекса Хохшильда отвечают за возможность нетривиального продолжения структуры алгебры до структуры Лоо-алгсбры, а именно, если гомологии Хохшильда равны нулю, начиная с некоторой размерности, то любая структура продолжения Лоо-алгсбры изоморфна тривиальной10,11. Комплекс Хохшильда в последнее время стал применяться для решения различных задач в алгебраической топологии и матемагической физике12,13. Вопрос существования нетривиального продолжения структуры Лоо-модуля над Лоо-алгсброн стал особо актуален, когда описание ценного комплекса тотального пространства расслоений через цепные комплексы базы и слоя, являющееся одной из старейших задач алгебраической топологии11, стало формулироваться в терминах Л^-структур, что было проделано Кадсишвнлн и Саиеблндзе, описавшими эту структуру с помощью понятия гомотопической алгебры Жерстеихабера15,1".
Целью работы является:
Построение комплексов Хохшильда для модулей над алгебрами, Лоо-алгобр и для Лоо-модулей над Л^-алгебрами.
Установление связей между гомологиими комплексов Хохшильда н возможностью нетривиального продолжения указанных структур.
8(1968), 314-323.
8Вгаии Е. Twisted Tensor Products. Aim. of Math. 1950. V.69. P.223-246. "Бсрмканпзнли II.A. Дифференциалы спектральной последовательности // Труды ТОил. Матсм. ии-та им. A.M. Размадзе. 197G. Т. 51. С. 1-105.
10Kadeislivili Т. A-xj-algebra structure and cohomology of Hoehshild alid Harrison // Proc. of Tbil. Math. Inst. 1988.V. 91.P.19-27.
11 Смирнов B.A. Функтор D для скрещенных тензорных произведений // Математические заметки, 1976, Т. 20, N 4, С. 4С5-472.
,2Sitarz A. Twisted Hodjsdiild homology of quantum hyperplanes // K-Theory, 35, 2001, no.1-2, 187-192.
13Hadfield Т., Kramer U. On the Hochschild homology of quantum SL(N) // C.R. Acad. Sd. Paris, 343(2006), 9-13.
''Milnor J. On spaces having the gomotopy type of a CYV-complex // Trans. Amer. Math/Soc.< 90, no. 2(1959), 272-2S0.
"Kadoishvili Т., Saneblidze S. On a multiplicative model of a fibration // Bull. Gcorg. Acad. Sci. 153,3. 199G, 345-34G.
'"Kadcishvili T. Cochain operations detinixig Steenrod U.-products in the bar construc-nion И arxiv:math.AT/0207010.
Основная методика выполнения исследований.
При построении конструкций комплексов Хохишльда для модулей над алгебрами используются аналогичные построения для комплексов Хохишльда для алгебр. При доказательстве теорем используются основные определения н соотношения Сташеффа для Л^-модулей над Лоо-алгсб-рамн. При рассмотрении примеров используются построения, связанные с понятием колец граней простых многогранников. Используются комбинаторные соотношения.
Достоверность результатов.
Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их исследования.
Новизна результатов.
Все основные результаты являются новыми и состоят в следующем:
Построен комплекс Хохишльда для модулей над алгебрами.
Построен комплекс Хохишльда для Лоо-алгебр и Лоо-модулей над Лоо-алгебрамн.
Установлена связь между гомологиями Хохишльда построенных комплексов н структурой множества продолжений модален над алгебрами, Лэо-алгебр и Лзо-модулей над Лсо-алгсбрамн.
Практическая и теоретическая ценность.
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в вычислительных задачах алгебраической топологии при описании топологических объектов и их свойств в терминах Лоо-стру-
ктур.
Основные положения, выносимые на защиту.
Построение комплекса Хохишльда для модулей над алгебрами.
Построение комплекса Хохишльда для Л^-алгебр и Лэо-модулеп над Дзц-алгсбрами.
Условно изоморфизма любого продолжения модулей над алгебрами, Лоо-алгсбр и Лоо-модулей над Д^-алгсбрамн тривиальному в терминах гомологии Хохшильда.
Приложение полученных результатов в некоторых вычислительных задачах.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на
X научной конференции молодых ученых,аснираптов и студентов Мордовского Государственного университета имени Н.П. Огарева (Саранск, 2005),
семинарах кафедры алгебры и геометрии Мордовского Госуда]>-сгвенного Университета (Саранск, 2001),
международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их прнложсння"(Воропеж, 2005).
Личный вклад.
Постановка задачи и идея метода решения предложены научным руководителем. Доказательства и построения осуществлялись автором самостоятельно.
Публикации.
Результаты диссертации изложены в работах [1|-[4|.
Объем и структура диссертации.
