Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Алгебры Йонеды для алгебр Лю-Шульца 11
1.1. Вспомогательный результат ..11
1.2. Формулировка теоремы 1.2.1 описание алгебры Йонеды 14
1.3. Резольвента 15
1.4. Образующие и соотношения 20
1.5. Окончание доказательства теоремы 1.2.1 27
Глава 2. Алгебры когомологий Хохшильда для алгебр Лю-Шульца 29
2.1. Формулировка теоремы 2.1.1 описание алгебры когомологий Хохшильда 29
2.2. Бимодульная резольвента 36
2.3. Аддитивная структура кольца когомологий 48
2.4. Произведение Йонеды в HHn(iy 59
2.5. Образующие и соотношения 63
2.6. Окончание доказательства теоремы 2.1.1 89
2.7. Вычисление размерностей dim^HH"^) 101
Список литературы 113
- Формулировка теоремы 1.2.1 описание алгебры Йонеды
- Окончание доказательства теоремы 1.2.1
- Бимодульная резольвента
- Образующие и соотношения
Введение к работе
Актуальность темы. Когомологий алгебр играют фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр. В настоящий момент теория (обычных) когомологий групп — уже сложившаяся ветвь современной алгебры. В этой области имеется много результатов и значительная часть достижений о когомологиях конечных групп отражена в монографии Адема и Милгрема [2]. Алгебра Ионе-ды является естественным аналогом кольца когомологий групп. Кроме того, вычисление алгебры Ионеды для какой-либо групповой алгебры позволяет описать мультипликативную структуру когомологий для всех блоков соответствующей группы (как главных, так и неглавных).
Группы когомологий Хохшильда впервые были введены Хохшильдом в [4]. Новый импульс к исследованию когомологий Хохшильда конечномерных алгебр придала работа Хаппеля [3], в которой были подведены итоги имеющихся на тот момент результатов по вычислению когомологий Хохшильда, некоторые их обобщения и еще раз показано, что когомологий Хохшильда — один из важнейших инвариантов алгебр.
Хотя когомологий Хохшильда теоретически вычислимы для конкретной алгебры через производные функторы, но реально вычисления для какого-либо класса алгебр по-прежнему актуальны и очень сложны. До последнего времени во многих работах изучалась только "аддитивная структура" когомологий алгебр (например, в [5]) или же вообще только первая или вторая группа когомологий Хохшильда (как имеющие конкретную интерпретацию с помощью дифференцирований и расширений). Лишь в последние годы оживился интерес к изучению мультипликативной структуры когомологий Хохшильда. Например, в [7] была предложена некоторая формула, позволяющая редуцировать вычисление произведения в НН*(іС[С]) к вычислениям с обычными когомологиями групп, и с помощью этой техники было получено описание алгебры когомологий Хохшильда для симметрической группы 5з над полем Жз, а также для знакопеременной группы А± и для диэдральных 2-групп над полем F2. С использованием другой техники в [1] было дано описание алгебры когомологий Хохшильда для алгебр диэдрального типа из серии D{3JC) над алгебраически замкнутым полем характеристики 2, то есть результат для гораздо более широкого класса алгебр, включающий в себя результат для А±. Аналогичные методы исследования когомологий используются в данной работе.
Заметим, что за пределами класса групповых алгебр конечных групп
в большинстве изученных случаев рассматривались алгебры, имеющие либо конечный, либо ручной тип представления. В данной работе дается описание алгебры Ионеды и алгебры когомологий Хохшильда для некоторой серии симметрических локальных алгебр, предложенной Лю и Шульцем в [6], которые имеют дикий тип представлений и интересны "патологическим" поведением своих модулей, дающим отрицательный ответ на некоторые когомологические гипотезы.
Цель работы. Основной целью данной работы является описание мультипликативной структуры алгебр Ионеды и когомологий Хохшильда для серии симметрических локальных алгебр, введенных Лю и Шульцем, и, в частности, нахождение условий конечной порожденности алгебры когомологий Хохшильда этих алгебр.
Методы исследования. В работе использовались как классические методы современной алгебры, например, методы теории представлений конечномерных алгебр, так и новые методы вычисления когомологий с использованием прямого ("комбинаторного") построения минимальных проективных резольвент соответствующих модулей.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
Для серии алгебр Лю-Шульца вычислена минимальная проективная резольвента (единственного) простого модуля и с помощью нее дано описание алгебр Ионеды для алгебр Лю-Шульца.
Вычислена бимодульная минимальная проективная резольвента, исследована структура групп когомологий Хохшильда и дано описание (в терминах образующих и соотношений) алгебр когомологий Хохшильда для серии алгебр Лю—Шульца.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях (ко)гомологических структур различных алгебр.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боре-вича (2002 г.) и неоднократно на Санкт-Петербургском городском алгебраическом семинаре имени Д. К. Фадеева.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях и в тезисах, перечисленных в конце автореферата. В совместных работах диссертанту принадлежат формулировки и доказательства теорем и вычисления, а соавтору — постановка задач и выбор некоторых методов решения.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 117 страницах, состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы и списка литературы, содержащего 54 наименования.
Формулировка теоремы 1.2.1 описание алгебры Йонеды
Пусть R = Rp — алгебры, определенные в (0.0.1), р Є К . Для описания алгебры Йонеды У(Я) алгебры R рассмотрим алгебру с естественной градуировкой deg(Xj) = 1 для і Є {0,1,2}. Теорема 1.2.1. Пусть R = Rp, р Є К . Алгебра Йонеды y{R) как градуированная К-алгебра изоморфна алгебре . Замечание 1.2.2. Из теоремы 1.2.1 следует, в частности, конечная порож-денность алгебры Йонеды y(R) для любого р Є К . Замечание 1.2.3. Если char Л!" = 2 и р = 1, то алгебра Rp изоморфна групповой алгебре K[G], где G — элементарная абелева группа порядка 8, и, таким образом, из теоремы 1.2.1 вытекает известное описание кольца ко-гомологий группы G (см., например, [16, Следствие 3.5.7]). Пусть R = Rp, р Е К — алгебры, определенные в (0.0.1). Так как R — локальная іГ-алгебра, то RR является единственным неразложимым проективным Я-модулем и, следовательно, любой (конечно порожденный) проективный Я-модуль Р имеет вид Р = R ... Я = Rk для некоторого к Є N. Кроме того, R = R/J(R) = К — единственный простой і2-модуль. Рассмотрим неотрицательный трикомплекс В,„, в котором для (i,j, к) Є N Bijk = Rn где x обозначает гомоморфизм умножения справа на элемент х Є R; часто мы будем этот эндоморфизм обозначать также через х. Легко проверить, что свойства (1.1.2) и (1.1.3) в определении 1.1.1 выполняются. Таким образом мы имеем неотрицательный трикомплекс Л... (см. Рис.1).
Предложение 1.3.1. Тотализация Tot(5„.) трикомплекса Б... представляет собой минимальную проективную резольвенту простого R-модуля К. Доказательство. Пусть 7г: R - К — R/J(R) — канонический эпиморфизм. Построим дР. -» RK — проективную резольвенту Л-модуля К. Опре делим Ро = R. Так как J(R) мал в Р, то 7г — проективное накрытие К и первая сизигия С1г(К) = Кег7г = J(R) = R{XQ, Х\, X I). Определим Рх = Р3 и построим гомоморфизм 7Гі: Pi - (if), действующий следующим образом: (1,0,0) — я?0, (0,1,0) »— ял, Положим do = г о7Гі: Pi - Ро, где г о — вложение fi1 ) м- Ро- Ясно, что Imdo = Кег7Г. Таким образом, мы построили точную последовательность начало проективной резольвенты совпадающее с началом Tot Р...: Далее определим P. = TotJ3„. и с помощью предложения 1.1.2 докажем точность Р.. Проверим, что у нас выполнены условия предложения 1.1.2. Проверка (А). Необходимо доказать, что для любого п Є No и любых Пооі гою, Пюі Є R таких, что существуют Ujk Є R,i + j + к = 2, такие, что Для этого найдем Kercfo, то есть решения уравнения гоХо+г\Хі + Г2Х2 = О, где г І R. Пусть очевидно, лежат в Kercfo, то эти 6 элементов порождают Кег do как Л-модуль. Проверка (В). Необходимо доказать, что для любых т,п 6 No и ПО) Ш Є R таких, что существуют Uj Є R,i + j = 2, такие, что Предположим, что го, 7 і Є R такие, что ro o + ri#i обозначениях (1.3.3) -1.(0) _л-1ь(0) Теперь применяя это к го = гюрт и r\ = roipn мы получим (1.3.4), если возьмем Проверка (С). Необходимо доказать, что для любых 1,т,п Є No и г Є R такого, что гртхо = 0, существует t Є R такой, что tpmxo = г. Но это ОЧеВИДНО, ВеДЬ ЄСЛИ TXQ = 0, ТО Г Є K{%Q) Х№\, X2XQ, #0 1 2) = - 0 Мы проверили, что у нас выполнены условия предложения 1.1.2, а зна чит комплекс Р. точен во всех степенях, кроме степени 0. Таким образом, доказано, что P. = Tot(B,„) является проективной резольвентой модуля К. Кроме того, из ее построения видно, что Im (dn: Pn+i - Рп) С Rad Pn для любого n 0, откуда следует минимальность этой резольвенты. Следствие 1.3.2. Пусть R = Rp, р Є К . Тогда: Доказательство.
В самом деле, другой стороны, D В этом параграфе мы укажем (конечное) множество образующих алгебры Йонеды Будем использовать нижеследующую интерпретацию произведения Йонеды в y(R) (ср. [4]). Пусть Р. -4 К — минимальная проективная резольвента
Окончание доказательства теоремы 1.2.1
Итак, пусть В = р — алгебра, определенная в (1.2.1). Ввиду следствия 1.4.2 и предложения 1.4.3 существует сюръективный гомоморфизм градуированных if-алгебр: - У(Я), переводящий Х{ (г Є {0,1,2}) — образующие алгебры 6, в ХІ, (і Є {0,1,2}) — соответствующие образующие алгебры У{Я), введенные в (1.4.1). Пусть = 0m o m — прямое разложение алгебры на однородные прямые слагаемые. Тогда теорема 1.2.1 вытекает из следующего утверждения. Предложение 1.5.1. Для любого т О Доказательство. С учетом соотношений в алгебре , очевидно, что является іГ-базисом пространства т. Следовательно, и, используя следствие 1.3.2, завершаем доказательство. Обозначим через К (Т) свободную ассоциативную Х-алгебру (с 1), порожденную множеством (свободных) образующих Т; как обычно, К[Т] обозначает кольцо многочленов от множества переменных Т. Пусть s обозначает порядок р в группе К ; возможно, что s = оо. Для описания структуры алгебры EH (R) мы построим несколько градуированных "-алгебр. (I) Предположим, что char К ф 2. (1.1) Рассмотрим множество На алгебре К{Х\) введем градуировку так, что (для всех і Є {0,1,2}) Определим градуированно коммутативную if-алгебру Лі = К(Хі)/Іі, где идеал її алгебры К(Хі) порожден элементами для всех а,Ъ Є Лі, а также следующими однородными элементами (где i, j, Мі, А Є {0,1,2}) Заметим, что тут и далее мы считаем индексы определенными по модулю 3. (1.2) Рассмотрим множество
На алгебре К{%2) введем градуировку так, что (для всех г Є {0,1,2}) Определим градуированно коммутативную Х-алгебру Ai = K(X2)/h, ГДЄ идеал І2 алгебры #(ЛУ порожден элементами вида (2.1.1) (где а,Ь Є Ли), а также элементами (для всех і Є {0,1,2}) На алгебре К{Х$) введем градуировку так, что (для всех і Є {0,1,2}, m Є {l,...,s-l}) Определим градуированно коммутативную if-алгебру Az = K{Xz)lh, где идеал /3 алгебры К(Х$) порожден элементами вида (2.1.1) (где a, b Є Аз), а также следующими однородными элементами (где i, j Є {0,1,2}, т, ті, т2 Є {1,..., s - 1}) Определим граду ированно коммутативную ff-алгебру ЛА = К(Х)Щ, где идеал Ц алгебры К{Х порожден элементами вида (2.1.1) (где а, 6 Є Л ), a также следующими однородными элементами (где г, j Є {0,1,2}, m, mi, m2 Є {1,..., -1}) Лб = {h, /ц, уь Z{ ,р}іє{0,1,2}, meN (2.1.22) На алгебре К{Х ) введем градуировку так, что (для всех і Є {0,1,2}, т Є N) Определим градуированно коммутативную iif-алгебру Ль = K{Xb)/h, где идеал h алгебры К{Хь) порожден элементами вида (2.1.1) (где а, 6 Є Х ), a также следующими элементами (где г, j Є {0,1,2},га,гаі,т2 Є N) (11.1) Рассмотрим множество XQ = {Щ,РІ}ІЄ{О,І,2}- На алгебре K[XQ] введем градуировку так, что degWj = 0, degp = 1 для всех і Є {0,1,2}. Определим коммутативную if-алгебру AQ = K[XQ]/IQ, где идеал 1 алгебры K[XQ] порожден элементами и2 (для всех і Є {0,1,2}). (11.2) Пусть s Є N\ {1}. Рассмотрим множество образующих Определим коммутативную if-алгебру Aj = K[X7]/I7, где идеал її алгебры К[Хі\ порожден следующими однородными элементами (где индексы г, і Є {0,1,2}, а числа т, ті, тг Є {1,..., s — 1}) (2.1.29)
Определим коммутативную ІІГ-алгебру А% = К[Х&]/1%, где идеал Is алгебры К[Х%\ порожден следующими элементами (где г, j Є {0,1,2}, m,mi,m2 Є N) В силу однородности идеала І( градуировка на алгебре К(ХІ) (или соответственно на #[-]) индуцирует градуировку на алгебре АІ (І і 8). Теорема 2.1.1. Пусть R = Rp, s — порядок р в К . I. Предположим, что char if ф 2. (І.І)Если s = 1, то алгебра когомологий Хохшильда RR (R) как градуированная К-алгебра изоморфна алгебре А\. (1.2)Если s = 2, то НН (Я) Лг как градуированные К-алгебры. (І.З)Есля s — нечетное число, большее 1, то НН (І?) Лз как градуированные К-алгебры. (\А)Если s — четное число, большее 2, то RR (R) А± как градуированные К-алгебры. (1.Ь)Если s = со, то RR (R) а Аь как градуированные К-алгебры. II. Теперь пусть charge = 2. (П.І)Если s = 1, то НН (Я) Лб к#к градуированные К-алгебры. (II.2)Если 1 5 со, то RR (R) Д7 как градуированные К-алгебры. (П.З)Если 5 = со, то RR (R) As как градуированные К-алгебры. Замечание 2.1.2. Как следует из теоремы 2.1.1, алгебра когомологий Хохшильда HH (i2) конечно порождена, если р имеет конечный порядок в К ; в случае же, когда р имеет бесконечный порядок (то есть не является корнем из единицы), алгебра RR (R) бесконечно порождена, и для нее указано счетное
Бимодульная резольвента
Пусть R = Rp, р К — алгебры, определенные в (0.0.1), и Л = Ар = Re = R к Rop — их обертывающие алгебры. Для а Є R обозначим через а соответствующий элемент в Rop. Любой Д-бимодуль RXR МОЖНО рассматривать как левый Л-модуль положив (а Ъ ) х = ахЪ для a, b Є Rux Є X. В частности, R является .Я-бимодулем и мы будем рассматривать R как левый Л-модуль. Умножение справа на элемент w Є Л индуцирует эндоморфизм w левого Л-модуля Л. В дальнейшем ради простоты мы будем часто этот гомоморфизм обозначать также через w, и часто будем опускать штрихи во второй компоненте элемента из Л. Рассмотрим неотрицательный трикомплекс В..., в котором Вць = А для всех (i,j,k) Є NQ и Легко проверить, что свойства (1.1.2) и (1.1.3) в определении 1.1.1 выполняются. Теорема 2.2.1. Тотализация Tot(B,,,) трикомплекса ,,. представляет собой минимальную проективную резольвенту А-модуля R. Доказательство. Пусть т: Л -) Я, т(а g b ) = ab - каноническое отображение, индуцированное умножением в R. Построим Л-проективную резольвенту AQ. - \R- Определим Qo = Л.
Введем следующие обозначения для базисных элементов Л3: Ядро Кег т как Л-модуль порождают три элемента: Кег т =л (я Ґ — 1 я?{),-=о,і,2. Определим Qi = фі+я.і=1Л и Очевидно, что Imcfo = Kerm, а так как RadA = л(1 8 x it X{ g 1 -=0,1,2, то Kerm мало в Qo. Таким образом, мы построили точную последовательность — начало проективной резольвенты, совпадающее с началом Tot 5...: Далее определим Q, = Totf?.., и с помощью предложения 1.1.2 докажем точность Q.. Вычислим ядро гомоморфизма для произвольных ai Є K,i = 0,1,2. Занумеруем базис і? тройками чисел из Z3, точнее: , Заметим, что индексы мы рассматриваем как элементы группы Z3 и допускаем для них соответствующую операцию сложения. Тогда любой элемент из R представляется в виде %зе%зк3х3, где ks Є К,& элемент из Л представляется следующим образом Sttez32ks,txs 8 Xі, где kSjt Є К. Пусть А = (Лг)г=од,2 Є Л3, получаем Обозначим следующие элементы Z3 через do = (1,0,0), и\ = (0,1,0), оч = (0,0,1) и для любого s Є Z3 через Si обозначим число из Z2 стоящее на (г Так как о,о = 0) мы имеем 8x8 — 1 уравнений на к \. Множество решений этой системы уравнений порождает ядро Ф и наша задача найти это множество. Мы выпишем все получившиеся уравнения, разбивая их на небольшие независимые системы, и укажем соответствующие им образующие. Далее, paitffi = А осг. — оцкр. 0.
Для каждого і Є {0,1,2} получаем образующую -39 Приравняв к нулю, решим систему (последнее уравнение лишнее) и получим по одной образующей для каждого і Є {0,1,2}: Выписывая все остальные образующие ядра мы будем сразу же показывать как они выражаются через указанные шесть. Итак, имеем: Получаем Аналогично Решая соответствующую систему (последнее уравнение лишнее) получаем пять образующих, например таких У ТІ+«7І+І, +ОЧ+І = . - P i+bCTi+ffj+i Т Ка(,а(+ +1 aiKffi+ Ti+i, 7i+i Т" «г+ір +сті+ьсті — U, получаем три образующие рассмотрим Пространство решений порождено следующими элементами и соответствующие образующие Осталось заметить, что никаких условий не возникло на коэффициенты ку5 для а, 5 Є Т\ таких)чт0 » = й = 1- Но, очевидно, ЧТО \(ХіХі)Єі = \{1хі)уі для любого Л Є Л. Таким образом, мы доказали, что Кег Ф порождено как Л-модуль элементами {уі, 2 },-e{ofi,2}-. Проверим, что у нас выполнены условия предложения 1.1.2. Проверка (А). Необходимо доказать, что для любого п Є No и любых Поо,Пш,Пюі є Л таких что Проверка (С). Необходимо доказать, что для любых 1,т,п Є Щ и г Є Л такого, что существует t Є Л такой, что Докажем это с помощью следующей леммы. Лемма 2.2.3. Пусть А Є Л такой, что А(#о 1 — cd #о) = 0 для некоторого а Є К . Тогда существует s Є Л такой, что
Доказательство. По Лемме 2.2.2 существуют VQ, V\, І 2 Є Л такие, что (для любого Р Є Я" ). И применяя опять Лемму 2.2.2 для До = v\p, А і = V2 и ао = —ар-1, a\ = —/3 получаем, что для некоторых wo, wi Є Л. Тогда используя (2.2.5) получаем ПОЛОЖИМ S = VQ — Щр 2{х\ (g) 1 — /3p2l g Жі). П Применяя Лемму 2.2.3 для A = pmr и a = (—l)i+m+npn_,n получим s Є Л такой, что pmr = s(xo 01 + (—l) +m+"/on_ml 2). Тогда положим t = sp 2m. Мы проверили, что у нас выполнены условия предложения 1.1.2, а зна чит комплекс Qm точен во всех степенях, кроме степени 0. Таким образом, доказано, что Q% = TotB,,. является Л-проективной резольвентой модуля R, а ее минимальность следует из того, что ввиду построения трикомплекса 5„. имеем: Imd С RadQn для всех п 0.
Образующие и соотношения
В разделе 2.3 был указан К-базис для ННП(Д) (см. предложение 2.3.3). В этом списке имеется условие (-1)а+ь+с = 1, ра = рь = рс (см. (2.3.24), (2.3.26), (2.3.29) и (2.3.32)) и условие //+1 = pl+1 = (-l)t+l+1 (см. (2.3.25), (2.3.28) и (2.3.31)). Переформулируем эти условия в зависимости от характеристики поля К и мультипликативного порядка элемента р. В дальнейшем с наборами (а,(3, j) Є No работаем как с элементами абелевой группы Z3. Лемма 2.5.1. Пусть К — поле, р Є К и s — мультипликативный порядок р в К . Пусть a,b,cG No, и рассмотрим следующее условие на а, Ъ, с: I.
Предположим, что char К ф 2. (І.І)Есля s = 1, то условие (2.5.1) равносильно тому, что a + Ь + с четно, что, в свою очередь, равносильно тому, что существуют а,- Є No (для і Є {0,1,2}) такие, что где те {(0,0,0),(0,1,1), (1,0,1),(1,1,0)}. (1.2)Есля s — 2, то условие (2.5.1) равносильно тому, что a,b и с четны, что, в свою очередь, равносильно тому, что существуют щ Є No (для і Є {0,1,2}) такие, что (І.З)Если s — нечетное число, большее 1, то условие (2.5.1) равносильно тому, что a + b + c четно и a — b = с ( mod s). Это равносильно тому, что существуют к, й{ Є No (для і Є {0,1,2}) такие, что (a, b, с) = k(2,2,2) + a0(2s, 0,0) + oi(0,2s, 0) + a2(0,0,2s) + r, (2.5.2) и А; удовлетворяет условиям: (1) s — четное число, большее 2, то условие (2.5.1) равносильно тому, что a + Ъ + с четно и а = Ь = с ( mod 5). Это равносильно тому, что существуют к, щ Є No (для г Є {0,1,2}) такие, что (1.5)Если s — оо, то условие (2.5.1) равносильно тому, что a + Ъ + с четно и a — Ь = с. Это равносильно тому, что существует к Є No такое, что (а, 6, с) = (2,2,2). II. Теперь пусть char К = 2. (II.1)Если s = 1, то условие (2.5.1) равносильно тому, что a,b и с любые целые неотрицательные числа. Это равносильно тому, что существуют щ Є No (для і Є {0,1,2}) такие, что (П.2)Если 1 s оо, то условие (2.5.1) равносильно тому, что a = Ъ = с ( mod s). Это равносильно тому, что существуют к, щ Є No (для г Є {0,1,2}) такие, что (II.3)Если s = оо, то условие (2.5.1) равносильно тому, что a = Ъ = с, что равносильно тому, что существует к Є No такое, что (а, Ь, с) = к(1,1,1). При этом указанные разложения (а, Ь, с) в сумму некоторых троек определены единственным образом. Доказательство.
Докажем только вторую равносильность в пункте (1.3), остальные равносильности достаточно очевидны. Итак, пусть char .К" ф 2, s — нечетное число, большее 1, и а, Ь, с No такие, что а + Ь + с четно и а = Ъ = с ( mod s). Докажем существование разложения (2.5.2). Пусть a = 2SCLQ + wo,b = 2sa\ + w\, с = 2sa,2 + W2, где щ, U;J Є No, 0 Wj 2s — 1 (г = 0,1,2). В качестве к возьмем неполное частное от деления mm{wo,Wi,W2} на два. Так как тт{гУо — 2k,w\ — 2k, W2 — 2к} равен нулю или единице и эти три числа сравнимы по модулю s и их сумма четна, то тройка (wo — 2к, w\ — 2к, wi — 2к) совпадает с одной из следующих троек: (0,0,0), (0, s, s), (1,1, s + 1), а также их перестановки. Легко понять, что при этом к удовлетворяет условиям (1)-(3). Теперь докажем единственность разложения (2.5.2). Пусть есть некое разложение, удовлетворяющее всем указанным условиям. Тогда а — 2sao не превосходит суммы 2к и одного из чисел 0, s или s +1, при этом к не больше чем s — 1, s или s — 1 соответственно. Получаем, что a — 2sao 2s и аналогично Ь — 2sa\ 2s и с — 2sa2 2s и, значит, щ однозначно определены как неполные частные от деления на 2s. Так как min{a — 2sao, b — 2sai, с — 2sa2} равняется 2к или 2к +1, то к однозначно определено. Значит, остаток (a - 2sao -2k,b — 2sa\ — 2к, с—2sa,2 — 2к) тоже однозначно определен. Лемма 2.5.2. Пусть К — поле, р Є К и s — мультипликативный порядок р в К . Пусть t, І Є No, я рассмотрим следующее условие на t, I:
