Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Некоторые свойства алгебр Клиффорда 19
1.1 Понятие алгебры Клиффорда с фиксированным базисом 19
1.2 Классификации элементов алгебр Клиффорда по рангам, четности и кватернионным типам 22
1.3 Операции сопряжения и взятия следа от элемента алгебры Клиффорда 23
1.4 Структура унитарного (евклидова) пространства на алгебре Клиффорда 26
1.5 Периодичность Картана-Ботта, матричные представления алгебр Клиффорда 28
1.6 Метод задания матричного представления алгебр Клиффорда с помощью эрмитова идемпотента и левого идеала 32
Глава 2. Техника сверток в алгебрах Клиффорда 35
2.1 Теорема о свертке элементов базиса фиксированного ранга 36
2.2 Свертки по всем элементам базиса 38
2.3 Свертки по четным или нечетным элементам базиса 39
2.4 Свертки по элементам базиса фиксированного кватернионного типа 41
2.5 Метод усреднения в теории представлений конечных групп 43
2.6 Теоремы о коммутировании элементов базиса алгебры Клиффорда 46
2.7 Второй базис в алгебре Клиффорда 48
2.8 Обобщенные свертки в алгебре Клиффорда 55
2.9 Обобщенные свертки по мультииндексам с четной и нечетной длиной 62
Глава 3. Обобщение теоремы Паули на случай вещественных и комплексных алгебр Клиффорда 64
3.1 Теорема Паули в случае размерности 4 64
3.2 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда четной размерности в общей постановке 3.3 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда четной размерности в случае наборов нечетных элементов 68
3.4 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда нечетной размерности в случае наборов нечетных элементов 71
3.5 Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда нечетной размерности в общей постановке 76
3.6 Обобщенная теорема Паули в терминах матриц 85
3.7 Локальная обобщенная теорема Паули 90
3.8 Обобщенная теорема Паули и след от элемента алгебры Клиффорда 94
3.9 Обобщенная теорема Паули и определитель от элемента алгебры Клиффорда 96
Глава 4. STRONG Применение обобщенной теоремы Паули при описании
связи спинорных и ортогональных групп STRONG 102
4.1 Псевдоортогональная группа и ее подгруппы 102
4.2 Применение обобщенной теоремы Паули для изучения группы Липшица и группы Клиффорда 106
4.3 Спинорные группы как подгруппы группы Липшица 111
4.4 Теоремы о норме элементов спинорных групп 113
4.5 Сюръективные отображения спинорных групп на ортогональные 117
4.6 Двулистные накрытия ортогональных групп спинорными, связность и односвязность спинорных групп 121
4.7 Вычисление элементов спинорных групп по элементам ортогональных групп 123
Глава 5. Применение обобщенной теоремы Паули при изучении n-мерного уравнения Дирака и описании n-мерных спиноров 125
5.1 n-мерное уравнение Дирака в матричном формализме и в формализме алгебр Клиффорда 126
5.2 Спиноры Дирака в формализме алгебр Клиффорда 128
5.3 Инвариантность уравнения Дирака при ортогональных преобразованиях 130
5.4 Спиноры Вейля в формализме алгебр Клиффорда 131
5.5 Согласованность матричных операций и операций в алгебрах Клиффорда 132
5.6 Дополнительные сигнатуры алгебры Клиффорда 134
5.7 Обобщение дираковского сопряжения 136
5.8 Обобщение майорановского сопряжения и теорема о дополнительной сигнатуре алгебры Клиффорда 139
5.9 Обобщение зарядового сопряжение, спиноры Майорана и Майорана-Вейля в формализме алгебр Клиффорда 144
Список литературы
- Структура унитарного (евклидова) пространства на алгебре Клиффорда
- Свертки по элементам базиса фиксированного кватернионного типа
- Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда нечетной размерности в общей постановке
- Спиноры Дирака в формализме алгебр Клиффорда
Введение к работе
Актуальность темы.
В настоящее время алгебры Клиффорда активно используются во многих разделах математической физики. Алгебры Клиффорда применяются в теории поля, робототехнике, обработке сигналов и изображений, механике, космической динамике, электродинамике, геометрии, химии.
В науке разработан ряд математических понятий и моделей, которые широко используются в геометрии и физике: комплексные числа, кватернионы, векторная алгебра, матричная алгебра, тензорная алгебра, алгебра дифференциальных форм. Каждая из этих моделей имеет прямую связь с алгебрами Клиффорда. Например, комплексные числа и кватернионы являются частными случаями вещественной алгебры Клиффорда COr (p,q) (имеют место изоморфизмы алгебр COr(0,1) ~ С и C0R(0, 2) ~ H). Алгебры Клиффорда в случае разных сигнатур изоморфны различным матричным алгебрам над полем вещественных чисел, комплексных чисел, либо над телом кватернионов. Внешняя алгебра (или алгебра Грассмана) является вырожденным случаем алгебры Клиффорда (ей соответствует нулевая квадратичная форма). Кроме того, рассматривается обобщение алгебр Клиффорда - алгебры Атьи- Келера, которые являются также и обобщением алгебры дифференциальных форм. Таким образом, алгебры Клиффорда представляются содержательным алгебраическим объектом, который может быть полезен в различных областях математической физики.
Обсудим подробнее развитие теории алгебры Клиффорда. В 1843 году Гамильтоном были введены кватернионы, которые сразу же нашли применение в различных областях механики и физики. В 1844 году Грассман ввел понятие внешней алгебры. В 1878 году Клиффорд объединил в своих исследованиях идеи Гамильтона и Грассмана и рассмотрел новые объекты - Геометрические алгебры, которые впоследствии стали называться алгебрами Клиффорда. В 1880-1886 алгебры Клиффорда были независимо введены Рудольфом Липшицем. Липшиц также нашел первое применение алгебр Клиффорда в геометрии, описав вращения в евклидовом пространстве при помощи спинорной группы. Дальнейшее развитие алгебр Клиффорда связано с целым рядом известных математиков и физиков - Т. Валеном, Э. Картаном, Э. Уиттом, К. Шевалле, М. Риссом и другими. Отметим также известную работу Атьи, Ботта и Шапиро, которая внесла значительный вклад в развитие теории алгебр Клиффорда.
Существенное влияние на развитие алгебр Клиффорда оказало уравнение Дирака для электрона (1928), к которому алгебра Клиффорда имеет непосредственное отношение. Уравнение Дирака записывается с использованием 4 комплекснозначных матриц (гамма-матриц Дирака), которые удовлетворяют тем же определяющим соотношениям, что и генераторы алгебры Клиффорда С( 1, 3). Связь алгебр Клиффорда со спинорами привлекла внимание к теории алгебр Клиффорда со стороны многих физиков и математиков.
Современный период развития теории алгебр Клиффорда можно отнести к последним 30 годам. С 1985 года каждые три года проходит конференция по алгебрам Клиффорда и приложениям (ICCA). Кроме того, каждый год проходит ряд конференций по более узким областям, связанным с применением алгебр Клиффорда в математической физике. С 1990 года выходит журнал, посвященный алгебрам Клиффорда и их применениям (ААСА), с 2012 года выходит журнал по Клиффордову анализу.
В 1936 году В. Паули доказал теорему о гамма-матрицах Дирака. Теорема утверждает, что два набора из четырех квадратных комплексных матриц четвертого порядка, которые антикоммутируют между собой и их квадраты равны либо единичной матрице, либо единичной матрице с обратным знаком, связаны преобразованием подобия, причем матрица подобия единственна с точностью до умножения на ненулевое комплексное число. Эта теорема играет важную роль при изучении различных вопросов, возникающих в теории поля. Например, с помощью теоремы Паули доказывается лоренц-инвариантность уравнения Дирака, описывается связь спинорных и ортогональных ГруПп, вводится понятие спиноров Майорана. Имеются общеизвестные утверждения, которые в некотором смысле обобщают теорему Паули на случай произвольной размерности. А именно, методами теории представлений можно показать, что алгебра Клиффорда имеет единственное (с точностью до эквивалентности) неприводимое представление в случае четной размерности и два неприводимых представления в случае нечетной размерности. Данные утверждения применяются в различных вопросах математической физики, в частности, в теории суперсимметрии.
В настоящей диссертации доказываются утверждения, обобщающие теорему Паули. А именно, дан ответ на более общий вопрос (который не всегда сводится к рассмотрению представлений) о связи двух наборов элементов алгебр Клиффорда, удовлетворяющих определяющим антикоммутационным соотношениям. Сделаны обобщения на случай алгебр Клиффорда произвольных (четных и нечетных) размерностей над полем вещественных и комплексных чисел. Показано, что в нечетном вещественном случае существует 4 (а в комплексном 6) варианта связи между двумя наборами элементов, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям алгебры Клиффорда. В отличие от теоремы Паули, применяемой для 4-мерного пространства Мин- ковского, где связь осуществляется преобразованием подобия, в случае произвольной нечетной размерности два набора связаны преобразованием подобия с точностью до умножения на элемент алгебры Клиффорда вl'"nh...ni который может принимать 4 (или 6 в комплексном случае) различных значения. Кроме того, во всех случаях (четной и нечетной размерностей) указаны явные алгоритмы вычисления элемента алгебры Клиффорда, осуществляющего эту связь.
Отметим несколько направлений, связанных с применением обобщенной теоремы Паули (ОТП).
Первое направление заключается в изучении n-мерного уравнения Дирака, в частности, вопрос об инвариантности уравнения при псевдоортогональных (в частном случае, лоренцевых) преобразованиях. В настоящее время активно используется трехмерное уравнение Дирака для графена. Таким образом, уравнение Дирака представляет интерес не только в случае четных, но и в случае нечетных размерностей. Локальная обобщенная теорема Паули используется при изучении систем уравнений Дирака-Максвелла и Дирака- Янга-Миллса.
Второе применение относится к изучению связи спинорных и ортогональных групп. С помощью ОТП автором предложено альтернативное доказательство теоремы о двулистных накрытиях ортогональных групп спинор- ными в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства (без использования теоремы Картана-Дьедонне, которая обычно используется). Кроме того, с помощью обобщенной теоремы Паули предложен явный алгоритм вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп при двулистном накрытии.
Третье применение возникает при изучении n-мерных спиноров. Дано описание элементов, осуществляющих обобщения дираковского, майоранов- ского и зарядового сопряжений от спинора в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства. Отметим, что в случае четных размерностей рассмотрено по два аналога сопряжения каждого вида. В связи с вопросом о существовании спиноров Дирака, Вейля, Майорана и Майорана-Вейля в формализме алгебр Клиффорда в случае произвольных размерностей и сигнатур пространства возникает возможность применения ОТП в теории суперсимметрии. Отметим классические работы по суперсимметрии и супергравитации Шерка, Глиоззи, Оливе (1977), Kyro и Таундсена (1983).
В настоящей работе при всех рассмотрениях используется аппарат алгебр Клиффорда. Рассматриваются алгебры Клиффорда над полем вещественных и комплексных чисел произвольных размерностей и сигнатур. Этот аппарат представляется более естественным и удобным (например, по сравнению с матричным аппаратом) при рассмотрении перечисленных выше вопросов. При описании n-мерных спиноров существенную роль играет структура алгебр Клиффорда, которая подчиняется 8-периодичности Картана-Ботта (имеют место изоморфизмы Cr(pi, qi) ~ CR(p2, q2) в случае n = P1 + q1 = Р2 + q2 И pi - qi = P2 - q2 mod 8).
Цель работы.
В данной диссертационной работе исследуются некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в математической физике, в частности, в теории поля. Целью работы является установление связи между двумя наборами элементов алгебры Клиффорда, удовлетворяющих определяющим антикоммутационным соотношениям алгебры Клиффорда, и нахождение алгоритма вычисления явного вида элемента алгебры Клиффорда, осуществляющего эту связь. Еще одна цель - применение полученных результатов ДЛЯ изучения СВЯЗИ CIl Il Iiopil ЫХ И ортогональных групп, а именно, получение явной формулы для вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам ортогональных групп.
Научная новизна.
Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем:
дано обобщение теоремы Паули для гамма-матриц Дирака на случай вещественных и комплексных алгебр Клиффорда произвольных (четных и нечетных) размерностей; получен явный алгоритм, который позволяет вычислить элемент, осуществляющий связь между двумя наборами
элементов алгебры Клиффорда, удовлетворяющих определяющим антикоммутационным соотношениям;
предложен метод вычисления элементов спинорных групп по заданным элементам соответствующих ортогональных групп при двулистном накрытии;
алгебр Клиффорда (сверток, построенных по двум наборам и нти коммутирую!! [,их элементов).
Основные методы исследования.
В диссертации используются различные методы из алгебры, теории представлений и дифференциальной геометрии. В частности, используется метод усреднения из теории представлений конечных групп.
Теоретическая и практическая ценность работы.
Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты применяются при изучении n-мерных спиноров Вейля, Майорана и Майорана-Вейля. Результаты используются при изучении связи спинорных и ортогональных групп и при изучении n-мерного уравнения Дирака.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
МГУ им. М.В. Ломоносова;
Физике и ее Приложениям (Самара, 2010, 2012);
Приложениям (ICCA 9) (Веймар, Германия, 2011);
Analysis, its Applications and Computation), (Москва, 2011);
and Engineering (AGACSE), (La Rochelle, France, July, 2012);
Школа-семинар "Взаимодействие математики и физики: новые перспективы" для студентов, аспирантов и молодых исследователей, (Москва, август, 2012);
и семинарах:
РАН В.С.Владимиров, член-корр. РАН И.В.Волович); РАН А.А.Славнов);
математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (руководители: профессора кафедры);
митическоіі физики" (при НОЦ МНАН) (руководители: акад. РАН В.В.Козлов, член-корр. РАН И.В.Волович, д.ф.-м.н. С.В.Козырев, д.ф,- м.н. О.Г.Смолянов);
механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.
На основе результатов диссертации автором был прочитан полугодовой курс в НОЦ при MHAH "Алгебры Клиффорда и спиноры".
Публикации.
Основное содержание диссертации опубликовано в 8 работах автора. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Объем диссертации — 151 страница , библиография включает 56 наименований.
Структура унитарного (евклидова) пространства на алгебре Клиффорда
В настоящем параграфе введем структуру унитарного (евклидова в вещественном случае) пространства на алгебрах Клиффорда (более подробно, см. [51]). Возможность введения скалярного произведения на алгебре Клиффорда играет полезную роль при изучении некоторых дальнейших вопросов (см., например, параграф 4.4). является евклидовым скалярным произведением элементов d(p} q) при F = К. и эрмитовым скалярным произведением при F = С. Доказательство. Проверка свойств скалярного произведения. Для генераторов еа формула эрмитова сопряжения (1.18) дает
Элементы алгебры Клиффорда U Є d(p,q), удовлетворяющие условию W = U l, называются унитарными элементами алгебры Клиффорда. Множество унитарных элементов образует унитарную группу алгебры Клиффорда. Из формул (1.19) получаем (е
Поэтому генераторы еа и все элементы базиса (1.1) являются унитарными элементами алгебры Клиффорда d(p,q). Для формулы (1.18) ниже укажем эквивалентные формулы (1.20), (1.21), пользоваться которыми, как правило, удобнее. где через b обозначена операция четностного сопряжения А при четном р и тождественная операция при нечетном р. где знаком ft обозначена операция четностного сопряжения А при нечетном q и тождественная операция при четном q.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно установить эквивалентность формулы (1.18) и формул где Ь-А, если р - четное, и где ft-А, если q - нечетное. Пусть s - число общих элементов у множеств {ii... ik} и {1.. .р}. Используя равенства г]п = ... = г]рр = 1, jf+lP+l
Периодичность Картана-Ботта, матричные представления алгебр Клиффорда В настоящем параграфе обсудим общеизвестные факты о матричных представлениях вещественных CiR(p,q) и комплексных Ci(p,q) алгебр Клиффорда.
Сначала рассмотрим вещественные алгебры Клиффорда. Вопрос, связанный с периодичностью Картана-Ботта, довольно подробно рассмотрен в [38], [13] и в других источниках. Впервые периодичность вещественных алгебр Клиффорда открыл французский математик Э.Картан (ЕИе Cartan, 1869-1951). Он описал 8-периодичность и связь вещественных алгебр Клиффорда с матричными алгебрами в 1908 году. В 1957-1959 годах американский математик Р. Ботт (Rauol Bott, 1923-2005) доказал 8-периодичность гомотопических групп стабильной ортогональной группы О(оо)5. Связь его результата с теорией алгебр Клиффорда впервые была установлена в работе Атьи, Ботта и Шапиро [13] (1964 г.).
Напомним, что матрицы Паули а1 ,о 2, а3 образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц размера 2 на 2 с нулевым следом. Они были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Для них верны соотношения: где f означает операцию эрмитова сопряжения матрицы - композиция транспонирования и взятия комплексного сопряжения от всех элементов матрицы. Для комплексных алгебр Клиффорда имеем следующее утверждение.
Отметим, что элементы комплексных алгебр Клиффорда d(p, q) представ г п-\-1 і ляются комплексными матрицами, минимальный размер которых равен 2[ 2 J. Причем, при нечетном п это будут блочно-диагональные матрицы размера 2 2 5 у которых на диагонали стоят два блока размера 2 2 5 а остальные элементы -нули. Матричное представление для d(l,3) может быть получено с помощью матриц Дирака размера 4 на 4 где І4 - единичная матрица размера 4.
Матрицы Дирака, известные также как 7 - матрицы, применялись Дираком при написании уравнения для электрона. Они удовлетворяют следующим соотношениям: Отметим, что теоремы об изоморфизмах алгебры Клиффорда матричным алгебрам, которые приведены выше, могут быть получены из общих алгебраических результатов (теоремы Фробениуса, Веддерберна-Артина). Приведем следующий классический результат. Теорема 1.8 (Chevalley) [16] Рассмотрим алгебру Клиффорда Ci(p,q) размерности п. 1. Если п - четно, то Ci(p,q) над полем - центральная простая алгебра. 2. Если п - нечетно и = С, то Ci(p,q) является прямой суммой двух изоморфных комплексных центральных простых алгебр. 3. Если п - нечетно, = К. и (eL"n)2 = е, то Ci(p,q) является прямой суммой двух изоморфных центральных простых алгебр. Если же (eL"n)2 = — е, то Ci(p,q) является простой с центром, изоморфным С.
Приведем рекуррентный метод построения матричных представлений комплексных алгебр Клиффорда.
Единичному элементу е алгебры Клиффорда всегда сопоставляется единичная матрица соответствующего размера. Далее представлены матричные представления генераторов для случая алгебры Клиффорда сигнатуры (п, 0). В случае других сигнатур (р} q) генераторам с номерами больше, чем р, сопоставляются те же матрицы, умноженные на мнимую единицу і. Элементам базиса еа\...ак сопоставляются матрицы, являющиеся последовательными произведениями матриц, сопоставляемых элементам еаі,... , еак.
Свертки по элементам базиса фиксированного кватернионного типа
Очевидно, что для любого элемента /З"4, кроме (31-п в случае нечетного п и кроме е в случае любого п, найдется такой /За, что /3А антикоммутирует с /За. Действительно, если \А\ - четно, то в качестве а можно взять любой а Є А. Если \А\ - нечетно, то в качестве а можно взять любой а ф А.
Выберем среди (2.18) любой (5D и любой (3d, антикоммутирующий с (3D. Теперь домножим выражение (2.19) слева на /3d, а справа на {(3d) l. Используя коммутируемость или антикоммутируемость элемента (3d с элементами /3А, получим выражение того же вида, но где перед элементом Un/3D стоит знак минус, а перед некоторыми другими выражениями, возможно тоже поменялся знак. Сложим получившееся выражение с (2.19) и получим выражение вида (2.19), но без слагаемого Un/3D (и возможно без некоторых других слагаемых) и с другими константами. Далее продолжим тот же процесс - выбираем среди оставшихся в (2.19) элементов /3А один, выбираем антикоммутирующий с ним элемент [5а и продолжаем описанную процедуру.
В случае четного п процесс закончится тем, что при сложении на каком-то этапе двух уравнений, получим е = 0, т.е. противоречие. А значит (2.18) является базисом. т.е. п(п + q = 2к для некоторого целого к. Пусть п = р + q = 2т + 1. Тогда (2т + 1)2т + 2q = Ак и, в итоге р — q — 1 = 4(ft — m2 — q). Итак, получили, что (2.18) может не являться базисом только в алгебре Клиффорда CiR(p,q), для которой р — q = 1 mod 4. Теперь пусть п - нечетно и (2.18) является базисом. Из соотношений (2.17) следует, что [51" п лежит в центре алгебры Клиффорда, а значит, [5l "n = ие + Wi...neL"n. Тогда {131-п)2 = {и2 + ulJ-iy- +q)e + 2ищ...пе1-п.
Т.к. Mi...n т 0 (иначе /31" п = ие и (2.18) не является базисом), то и = 0. Кроме того, принимая во внимание (2.20), получаем и\ п = 1 т.е. щ ,п = ±1. Итак, если п - нечетно и (2.18) является базисом, то /3l---n = ±eL"n.
Заметим, что в случае алгебры Клиффорда dR(p} q) четной размерности п элемент р1--п не обязательно равняется ±eL"n. Однако при дополнительных условиях на набор [5а это будет так (см. Теорему 3.3 (стр. 69)).
Теорема 2.11 Рассмотрим комплексную алгебру Клиффорда Ci(p,q) и набор (2.16), ±е1 "п и (2.18) является базисом, либо Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы. Отличие в том, что в рассуждениях приходим к выводу, что если набор (2.18) не является базисом, то Если выражение n + q - четно, т.е. р — q = 1 mod 4, то (3l "n = ±е. Если выражение п + q- нечетно, т.е. p — q = 3 mod 4, то /31--п = ±ге. В остальных случаях набор (2.18) является базисом алгебры Клиффорда d(p}q). Проводя те же рассжудения, что и в доказательстве предыдущей теоремы, можно показать, что в этом случае /З1-n = ±eL"n. И
Сформулируем утверждение, которое накладывает ограничения на рассматриваемый набор элементов (2.16), удовлетворяющий соотношениям (2.17).
Доказательство. Воспользуемся утверждением Теоремы 2.1 (стр. 36) для набора (2.16), удовлетворяющего соотношениям (2.17). Возьмем операцию следа от обеих частей выражения:
Утверждение теоремы для элемента fil--n в случае нечетного к = п следует из Теорем 2.10 (стр. 49) и 2.11 (стр. 50).
Приведем также другое доказательство теоремы. А именно, воспользуемся тем же рассуждением, что и при доказательстве Теоремы 2.10 (стр. 49). Для любого элемента /3А кроме /31---п в случае нечетного п (и кроме е в случае любого п) найдется такой /За, что /3А антикоммутирует с /За. Действительно, если \А\ - четно, то в качестве а можно взять любой а Є А. Если \А\ - нечетно, то в качестве а можно взять любой а ф А. Тогда для таких элементов в силу свойства операции следа имеем (А отличен от пустого индекса и мультииндекса 1... п)
Рассмотрим операцию, сопоставляющую элементу алгебры Клиффорда U Є d(p}q) длину (с учетом знака) проекции на подпространство d(p}q) элементов ранга п
Доказательство. Теорема доказывается аналогично Теореме 2.12 (стр. 51) с использованием того свойства, что операция 7Г, взятая от коммутатора двух произвольных элементов нечетной алгебры Клиффорда, равна нулю (см. Теорему 2.13 (стр. 52)).
Теорема 2.15 Рассмотрим вещественную или комплексную алгебру Клиффорда d(p}q) нечетной размерности п такую, что р — q = 1 mod 4. Пусть набор (2.16) удовлетворяет соотношениям (2.17). Тогда
Обобщение теоремы Паули на случай алгебры Клиффорда нечетной размерности в общей постановке
Общая формулировка теоремы для всевозможных наборов 7а, Ра и ее доказательство приведены ниже (см. Теоремы 3.8 (стр. 77) и 3.9 (стр. 78)).
В силу Теорем 2.10 (стр. 49) и 2.11 (стр. 50) в случае нечетной алгебры Клиффорда Civ{p,q) набор (2.16), удовлетворяющий определяющим соотношениям (2.17), будет генерировать базис алгебры Клиффорда (в случае /3L-n = ±eL"n) или не будет генерировать базис (в случаях (31-п = ±е и (3l-n = ±ie, последний случай реализуется в комплексной алгебре Клиффорда). В следующем утверждении наборы (3.16) являются нечетными элементами, а значит возможными значениями для fil--n и 1-п являются только ie1 "" и наборы генерируют два разных базиса алгебры Клиффорда. При этом возможны два случая /3L n = 7L"n и р1--п = — /L-n5 о которых и идет речь в утверждении.
Теорема 3.6 Пусть Clv{p, q) - вещественная (или комплексная) алгебра Клиффорда нечетной размерности п = р + q. Пусть два набора нечетных элементов алгебры Клиффорда r aea0dd(p,q), a = 1,2,...,п (3.16) удовлетворяют соотношениям
Тогда наборы (3.16) генерируют базисы алгебры Клиффорда, а выражения 1-п и [51" п принимают значения ±eL"n.
Утверждается, что существует единственный, с точностью до умножения на обратимый элемент центра, обратимый элемент алгебры Клиффорда Т Є C Even(p,g) (а, значит, и другой Т Є C odd(p,g); полученный из первого умножением на е1 "п) такой, что (можно взять и множество { А, А є Xoddjj ЕлехЕтеп PAFlA ф 0. Доказательство. Т.к. 7а, fia Є CiQdd(p,q), то эти наборы генерируют базисы алгебры Клиффорда (см. Теоремы 2.10 (стр. 49) и 2.11 (стр. 50)) и выражения
Возьмем произвольные элементы алгебры Клиффорда F, G Є Ci(p, q) и рассмотрим суммы (2.31) и (2.34). Тогда для рассматриваемых элементов верны соотношения (2.33) и (2.37).
Пусть /31---п ф —ryi-п те jji.-.n _ 1...п Тогда по Теореме 2.23 (стр. 59) существует элемент F такой, что Т отличен от нуля. Причем в качестве F всегда подойдет один из элементов базиса г)А. Тогда из вида элемента Т (2.31) заключаем, что Т Є Cilven(p, q) U Ct?OM{p, q).
Теперь выбираем элемент G так, чтобы одно из выражений Tr(GT), TT(GT) равнялось нулю, а другое было отлично от нуля. Т.к. Т Ф" 0 - либо четный, либо нечетный элемент, то в качестве G подойдет по крайней мере один из элементов базиса алгебры Клиффорда {еА}. Теперь пользуемся Теоремой 2.20 (стр. 57) и получаем, что Т обратим и из (2.33) получаем соотношения
Сформулируем некоторые следствия из доказанной теоремы для сверток Следствие 3.5 Рассмотрим вещественную (или комплексную) алгебру Клиффорда d(p}q) нечетной размерности п = p + q. Пусть наборы нечетных элементов (3.16) удовлетворяют соотношениям (3.17).
Доказательство. Утверждение следует из Теоремы 2.23 (стр. 59) и Теоремы 3.6 (стр. 72). Следствие 3.6 Рассмотрим вещественную (или комплексную) алгебру Клиффорда Ci{p,q) нечетной размерности п = p + q. Пусть наборы нечетных элементов (3.16) удовлетворяют соотношениям (3.17). Тогда где Z JA) = 0 или является обратимым элементом центра алгебры Клиффорда Ci(p,q), зависящим от коэффициентов /А разложения по базису элемента F = ]А?А, О- h{PA-,lA) - элемент алгебры Клиффорда, не зависящий от элемента F, а зависящий только от наборов (3А, А.
Теперь сформулируем теорему, которая понадобится далее при доказательстве теоремы о двулистном накрытии ортогональных групп спинорными.
Тогда оба набора генерируют базисы алгебры Клиффорда, а выражения 71-п и р\...п Принимают значения ±eL--n.
Утверждается, что существует единственный, с точностью до умножения на ненулевое вещественное (соответственно комплексное) число, обратимый элемент алгебры Клиффорда Т такой, что Доказательство. Действительно, вернемся к доказательству Теоремы 3.6 (стр. 72). Если /З1" = 7L"n, то необходимо в качестве F взять один из І7Л, А Є ХЕУЄП} (ЭТО возможно - см. Теорему 2.23 (стр. 59)). Т.к. 7а Є CiQdd(p, q), то {7Л, А Є ХЕУЄП} Є C ven(p, g), а значит, T будет четным и Г1 = Т.
В случае /З1-п = —71-"n в качестве Т нужно брать наоборот один из { fA, А Є odd}5 и тогда Т - нечетный и — Т = Тх. Таким образом, получили (3.26).
Теперь покажем, что элемент Т определяется с точностью до умножения на константу. Действительно, пусть два элемента Ті и Т2 удовлетворяют соотношениям (3.26). Тогда для любых а = 1,..., п имеем
Заметим, что в силу Теоремы 2.10 (стр. 49) в случае вещественной алгебры Клиффорда нечетной размерности кроме случаев fil---n = ±7 "п возможными случаями являются также /З1-п = ±е1--п 1--п (только в случае p — q = l mod 4), когда один из наборов (3.27) не генерирует базис алгебры Клиффорда, а другой генерирует. Теорема 3.8 Пусть dR(p}q) - вещественная алгебра Клиффорда нечетной размерности п = р + q. Пусть два набора элементов алгебры Клиффорда
Спиноры Дирака в формализме алгебр Клиффорда
Т.е. для любой матрицы Р из соответствующей ортогональной группы существуют ровно два элемента ±Т из соответствующей спинорной группы таких, что при действии соответствующего гомоморфизма они переходят в Р.
Доказательство. Первое утверждение следует из Теоремы 4.7 (стр. 109). Второе и четвертое утверждения вытекают из Теоремы 4.8 (стр. 110). Третье утверждение следует из Теоремы 4.5 (стр. 108). Также используется Теорема 4.10 (стр. 111).
Заметим, что третье утверждение теоремы верно только в случае алгебр Клиффорда четной размерности п. Сформулируем аналог этого утверждения для случая нечетного п. Теорема 4.12 Гомоморфизм ad : P m(p,q) — SO (p,q) при нечетном n, (4.15) сюръективен с ядром {±l,±eL"n}. Доказательство. Утверждение следует из Теоремы 4.9 (стр. 110). И Далее будут сформулированы похожие утверждения для других ортогональных и спинорных групп (см. Теоремы 4.15 (стр. 117), 4.16 (стр. 119), 4.17 (стр. 119)).
Теоремы о норме элементов спинорных групп В настоящем параграфе сформулируем теорему о норме элемента Т группы Pin(p, q). Как известно (см. параграф 1.4), на алгебре Клиффорда CiR(p,q) можно задать структуру евклидова пространства. А именно, задать операцию скалярного умножения (у, V) = Tr(C/V), W, V Є aR(P, q), где f является операцией эрмитова сопряжения. Скалярное произведение естественным образом порождает норму элемента алгебры Клиффорда
В последних формулах индексы іі,...,гр, по которым ведется суммирование, пробегают значения от 1 до п, а индексы j\,... , jp пробегают значения от 1 до р. Теперь воспользуемся другой формулой для операции эрмитова сопряжения. Тогда независимо от четности q получаем Теперь сформулируем аналогичное утверждение для гомоморфизма ad. Теорема 4.14 Пусть элемент алгебры Клиффорда Т принадлежит группе Pin(p, q) и пусть при гомоморфизме ad элемент Т переходит в ортогональную матрицу А Є 0(p,q). Тогда норма элемента Т связана с главными минорами этой матрицы Ax"vv АР І . п следующим образом: Остальные случаи доказываются аналогично. Теорема верна и в обратную сторону, т.к. включает в себя взаимоисключающие случаи. Таким образом, для гомоморфизма ad, отображающего элемент Т Є Pin(p, q) в матрицу А Є 0(p,g), имеем Часть утверждений уже доказана (см. Теорему 4.11 (стр. 112)). Остальные следуют из рассуждений предыдущего параграфа.
Более того, верно более сильное утверждение. Данные отображения являются двулистными накрытиями ортогональных групп спинорными (чтобы проверить это, нужно дополнительно исследовать топологические свойства групп, см. параграф 4.6).
Заметим, что обозначение спинорных групп Ріщ(р,q),Pin (p,q) было выбрано (см. параграф 4.3) именно таким образом, чтобы образы этих групп при отображении ad совпадали с группами Oi(p,q),0 (p,q) соответственно. Связь спинорных и ортогональных групп явно выражается формулой
Доказательство. Часть утверждений уже доказана (см. Теоремы 4.11 (стр. 112) и 4.12 (стр. ИЗ)). Остальные следуют из рассуждений предыдущего параграфа.
Итак, в случае нечетного п гомоморфизм ad уже не описывает двулистное накрытие ортогональных групп спинорными. Ядро отображения в некоторых случаях состоит из 4 элементов. Например, возьмем произвольный элемент t Є Pin(p, q). Тогда ему очевидно сопоставляется та же ортогональная матрица, что и элементам —t, eL"n, — el"/at в силу формулы TeaT l = р еь.
Заметим, что для построения общей картины связи спинорных и ортогональных групп удобно пользоваться измененным присоединенным представлением ad, которое сопоставляет спинорным группам одни и те же соответствующие ортогональные группы для случая всех сигнатур (p,q). Вместе с тем в частных случаях, часто пользуются отображением ad, т.к. оно устроено проще. Например, в случае сигнатуры (1,3) часто пользуются именно отображением ad, которое меняет местами накрытия ортохронной и ортохорной групп по сравнению с накрытием ad для данной сигнатуры.
Двулистные накрытия ортогональных групп спинорными, связность и односвязность спи-норных групп
В настоящем параграфе изложим общеизвестные теоремы о двулистных накрытиях ортогональных групп спинорными.
Двулистное накрытие группы SO (p,q) группой Spin (p,q) нетривиально во всех случаях, кроме случая (p,q) = (1,1) Доказательство. Нетривиальность накрытий следует из того факта, что накрывающее пространство связно. И
В случае сигнатур (п,0), (0,п), (п — 1,1) и (1,п — 1) группа Spin (p, q) является не только связной, но и односвязной. Об этом пойдет речь в следующем утверждении.
Отметим, что группы Spin(n) топологически проще, чем группы SO(n). Это выражается в том, что SO(n) не являются односвязными при п 3.
Заметим, что группа Pin(p, q) в евклидовых случаях (сигнатуры (п, 0) и (0,п), п 3) состоит из 2, а в лоренцевых случаях (сигнатуры (п — 1,1) и (1,п — 1), п 4) из 4 односвязных компонент - копий группы Spin , (р, q).
