Содержание к диссертации
Введение
1 Представления квантовых аффинных супералгебр ранга 2 и квантование иерархий супер-КдФ и СУСИ N = 1 КдФ 22
1.1 Иерархия супер-КдФ 22
1.1.1 Обзор классической теории уравнения супер-КдФ 22
1.1.2 Представление суперконформной алгебры в терминах свободных полей. Вершинные операторы 25
1.1.3 Квантовая матрица монодромии и соотношения слияния 28
1.2 Иерархия N=1 СУСИ-КдФ 33
1.2.1 Интегрируемая Иерархия СУСИ N=1 КдФ 33
1.2.2 Квантовая матрица монодромии и RTT-соотношение 37
2 Q-оператор и соотношения слияния 43
2.1 Построение Q-оператора и Соотношения Слияния 43
2.2 Редукция соотношений слияния 46
3 Вертекс-операторные представления аффинных (супер) алгебр и квантование иерархий КдФ 49
3.1 Квантование бозонных иерархий типа Тоды-мКдФ 49
3.2 Квантование иерархий типа КдФ, связанных с аффинными супералгебрами 54
3.3 Интегралы движения и инвариантность относительно преобразования суперсимметрии 59
4 Квантование нестандартных суперсимметричных иерархий КдФ 63
4.1 Нестандартная форма иерархии N=2 СУСИ-КдФ 64
4.2 Квантовая R-матрица и базис Картана-Вейля для slq (211) . 68
4.3 Построение квантовой матрицы монодромии 69
4.4 Замечания и возможные приложения 75
5 Теоретико-групповая структура и метод обратной задачи рассеяния для уравнения супер-КдФ 77
5.1 Теоретико-групповая структура уравнения супер-КдФ . 79
5.1.1 Теоретико-групповая схема и редукция Дринфельда-Соколова для супералгебры osp(l|2) 79
5.1.2 Бесконечная последовательность гамильтонианов. Уравнение супер-КдФ 84
5.2 Метод обратной задачи рассеяния для уравнения супер-КдФ 85
5.2.1 Прямая задача 86
5.2.2 Обратная задача 91
Заключение 96
Список литературы 106
- Представление суперконформной алгебры в терминах свободных полей. Вершинные операторы
- Редукция соотношений слияния
- Квантование иерархий типа КдФ, связанных с аффинными супералгебрами
- Построение квантовой матрицы монодромии
Введение к работе
В течение последних 20 лет двумерные модели конформно-инвариантной
квантовой теории поля (КИКТП) и интегрируемые системы являются объ
ектами интенсивного исследования, как в связи с большим количеством
приложений, так и в связи с развитием математических методов их изу
чения. Особенный интерес вызывают как классические, так и квантовые
интегрируемые системы, непосредственно связанные с КИКТП, такие как
( система Кортевега-де Фриза (КдФ) и её обобщения, которые могут помочь
при изучении возмущений КИКТП. Возмущения, как правило, разрушают конформную симметрию и выводят систему из критической точки. Однако специального вида возмущения, которые называют "интегрируемыми", сохраняют абелеву алгебру интегралов движения и, таким образом, приводят к интегрируемой теории.
(Супер)конформная теория поля и квантовый метод обратной задачи
Основным инструментом исследования квантовых интегрируемых систем является квантовый метод обратной задачи (КМОЗ). Чтобы использовать КМОЗ для изучения интегрируемых возмущений КИКТП, было предложено следующее: сначала использовать конформную симметрию для того, чтобы построить базовые структуры КМОЗ в критической точке, а затем с помощью КМОЗ изучать возмущённую теорию.
Квантовый метод обратной задачи появился в работах Ленинградской школы математической физики в конце 70-х годов [1],[2]. Он возник в результате синтеза двух подходов к теории интегрируемых систем. Первый подход, так называемый метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), был открыт в 1967 г. [3], но имеет более глубокие корпи в работах по классической механике 19-го века, а второй подход до конца 70-х годов применялся к задачам статистической физики на решётке и квантовой механики [4],[5]. МОЗР дал возможность находить целые классы (иерархии) интегрируемых двумерных нелинейных эволюционных уравнений и получать их решения. В дальнейшем, в течение нескольких лет после откры » тия МОЗР была понята алгебраическая структура метода [6] и получена
гамнльтонова интерпретация [7]. Оказалось, что гамильтоиовы системы, соответствующие этим уравнениям, вполне интегрируемы и обладают бес 6
конечным числом законов сохранения. Алгебраическая структура МОЗР даёт возможность рассматривать исследуемое нелинейное уравнение, как условие совместности системы линейных уравнений где функции U и V принимают значения в некотором представлении алгебры Ли g. Гамильтонова интерпретация [7] позволила рассматривать преобразование к данным рассеяния линейной задачи (1), как переход к переменным типа "действие-угол", в терминах которых задача сводится к линейным уравнениям. Это преобразование вместе со своим обратным даёт решение задачи Коши для данного уравнения. Соответствующее бесконечное семейство интегралов движения можно извлечь из разложения по спектральному параметру следа матрицы монохромии уравнения (1). Скобки Пуассона для элементов матрицы монохромии Т(Х) при разлитых значениях спектрального параметра часто удаётся представить в такой форме:
поля, приходится рассматривать их на решётке. Но для определённого сорта систем, таких, как иерархия Кортевега- де Фриза (КдФ), оказывается возможным вывести RTT-соотношепие и получить явный вид матрицы моподромии, используя непрерывную теорию поля [11]-[15]. Уравнение КдФ также допускает квантование иным способом, с помощью бозоп-фермионного соответствия [16], а также на решётке [17], [18].
В данной диссертации мы существенно расширим класс систем, поддающихся квантованию в терминах непрерывных полей, включив туда иерархии КдФ, базирующиеся на супералгебрах.
Иерархии КдФ и их супераналоги играют важную роль при анализе интегрируемых структур, возникающих в конформной теории поля и её супер-расширениях.
В 1970 г. была высказана гипотеза [19] о том, что теория поля, отвечающая неподвижной (критической) точке ренорм-группы, обладает не только масштабной, но и конформной инвариантностью. В двух измерениях, благодаря тому факту, что двумерная конформная симметрия бесконечномерна и связана с алгеброй Вирасоро:
[Ln, Lm] = (n - m)Ln+m + — (гг3 - n)5n-m, (6)
оказывается возможным классифицировать все поля в теории и вычислять корреляционные функции.
Возмущения, как правило, разрушают конформную симметрию и выводят систему из критической точки. Однако специального вида возмущения, которые называют "интегрируемыми" [20], сохраняют абелеву алгебру интегралов движения и, таким образом, приводят к интегрируемой теории.
В статьях [11]-[15] было показано, что в этом случае задача может быть решена с помощью КМОЗ в терминах непрерывных полей. Было предложено следующее: сначала использовать конформную симметрию для того чтобы построить базовые структуры КМОЗ в критической точке, а затем с помощью КМОЗ изучать возмущённую теорию.
Обычная система КдФ, связанная с аффинной алгеброй sl(2) и её обобщения, ассоциированные с аффинными и твистованными аффинными (су-пер)алгебрами являются подходящими кандидатами на роль классического предела соответствующей квантовой интегрируемой модели. Действительно, непременным атрибутом любой иерархии типа КдФ является подалгебра в алгебре скобок Пуассона, являющаяся классическим пределом алгебры Вирасоро - алгебры симметрии КИКТП. Поэтому одной из основных задач в данном направлении является квантование моделей типа КдФ. Ключевым объектом, образующимся в результате квантования, является так называемое RTT-соотношение, в котором квантовая R-матрица "сплетает" квантовые аналоги матриц монодромии и обеспечивает интегрируемость на квантовом уровне, т.е. приводит к абелевой алгебре интегралов движения.
Далее, посредством чисто алгебраических методов, используя свойства теории представлений соответствующей дайной модели квантовой аффинной или твистованой аффинной (супер)алгебры, можно получить соотношения слияния для трансфер-матриц (следов квантовой матрицы монодромии в различных представлениях соответствующей супералгебры). Можно также попытаться найти аналог Q-опсратора Вакстера и соотношения слияния между Q-оператором и трансфер-матрицей.
В диссертации изучается ряд вопросов, возникающих в описанных выше исследованиях. Мы дадим описание этой диссертации по главам.
В первой главе рассматривается квантование суперсимметричпых иерархий КдФ, связанных с аффинной супералгеброй osp (21) (иерархия супер-КдФ) [21]-[24], и твистованной аффинной супералгеброй s/(2)(2l) (иерархия N — 1 СУСИ КдФ) [25] соответственно. Первый параграф посвящен иерархии супср-КдФ. Вначале мы рассматриваем основные аспекты классической теории, а именно, мы приводим сответствующий фермионный матричный -оператор в форме Миуры:
eai+ : е2 : ej), где hao,ea,eao - генераторы уже квантовой аффинной супералгебры ospq (21), а:: означают нормальное упорядочение. Здесь параметр деформации q — еш$ , где р2 имеет смысл постоянной Планка при квантовании скобок Пуассона (156).
Мы видим, что один член в Р-экспоненте отсутствует по сравнению с классическим вариантом (12). Это именно то, что отличает квантование ирархии КдФ от квантования её фермионного расширения.
Мы показываем, как операторные произведения пар
(u) : e-«W : еа, tfn ) : e W : еа
внутри Р-экспонепты приводят в классическом пределе к образованию необходимых в классическом случае членов е 2ф 2е2а. В главе 1 мы приводим явную форму и обсуждаем структуру представлений 7Г (X) (так называемых "evaluation" представлений) квантовой аффинной сунералгебры ospq (21),а также пприводим гипотетические правила слияния для следов матрицы монодромии ts(A) - трансфер-матриц в различных представлениях:
t V/4A)t e)( r1/4A) = t2i(9 A)t?i(e A) + t? (A). (18)
Иерархия супер-КдФ является хорошим примером для изучения процедуры квантования, однако генератор суперсимметрии не коммутирует с интегралами движения этой иерархии, поэтому данная система является лишь фермионным, а не суперсимметричным расширением иерархии КдФ. Для изучения возмущений суперконформной теории поля более пригодно суперсимметричное расширение КдФ, иерархия N = 1 СУСИ КдФ, которую мы рассмотрим во втором параграфе первой главы.
Эти редукции позволяют переписать соотношения слияния как уравнения термодинамического анзатца Бете типа D2N В главе 1 было рассмотрено квантование иерархий типа КдФ, связанных с супералгебрами ранга 2. В главе 3 мы рассмотрим квантование произвольной иерархии построенной исходя из / -оператора заданного стандартной конструкции Дринфельда-Соколова (ДС) применительно к аффинным и твистованным аффинным супералгебрам [28].
В первом параграфе третьей главы мы дадим обобщение процедуры квантования моделей КдФ предложенной в [11], [15] для иерархий связанных с аффинными алгебрами sfa, sis на случай ииерархии связанной с произвольной аффинной алгеброй Ли. А именно, стартуя с L-оператора записанного в форме Миуры, мы определяем классическую матрицу мо-нодромии и вспомогательную L-матрицу и затем предъявляем их квантовые аналоги. Мы также даём два доказательства того, что квантовые L-операторы удовлетворяют RTT-соотношению.
Во втором параграфе мы непосредственно переходим к квантованию иерархии типа КдФ, связанной с произвольной аффинной супералгеброй. В противоположность главе 1, где мы строили изложение от классической теории к квантовой, в данном случае мы идём в обратном направлении, т.е. предъявляем явную формулу для квантовой матрицы монодромии и затем, рассматривая классический предел, приходим к выражению матрицы монодромии, связанной со стандартным -оператором, соответствующим стандартной конструкции ДС:
Мы показываем, что Go коммутирует с суперследом М (А), в случае когда система простых корней соответствующей супералгебры является чисто фермионной. Тем самым генератор суперсимметрии коммутирует с локальными интегралами движения сответствующей интегрируемой иерархии как на классическом, так и на квантовом уровне.
В главах 1-3 мы рассматривали квантование стандартных иерархий КдФ, связанных с аффинными и твистоваными аффинными супералгебрами, для которых -оператор построен, исходя из стандартной конструкции Дринфельда-Соколова. В четвёртой главе мы расширяем этот подход для так называемых нестандартных иерархий КдФ, связанных с аффинными супералгебрами s№(m + 1\т) [29], [30]. Мы подробно рассматриваем модель N=2 СУСИ-КдФ, построенную с помощью супералгебры s№(2\l), при этом все конструкции прямо обобщаются на случай старшего ранга. Интерес к таким интегрируемым моделям вызван тем, что процедура квантования становится более содержательной по сравнению со стандартными иерархиями Дринфельда-Соколова. Для того чтобы приступить к квантованию данной модели, мы начина с соответствующей классической теории. Классическая версия ассоциированной матрицы моподромии представлена посредством знакомой Р-экспонеиты, но её показатель состоит не только из генераторов, соответствующих простым корням и их квадратичным комбинациям, по также из генераторов, соответствующих более сложным составным корням. Мы доказываем, что также как в в "стандартном" случае все эти члены, соответствующие составным корням, исчезают из первой итерации квантового обобщения Р-экспонепты; кроме того, мы показываем, что эта "квантовая" Р-экспоиента совпадает с редуцированной универсальной R-матрицей, связанной с квантовой супералгеброй s/g(2l). Мы также доказываем, что суперследы квантовой версии матрицы монодромии, так называемые трансфер-матрицы (по очевидной аналогии с решёточным случаем), коммутируют с генераторами суперсимметрии. Следовательно, эти генераторы могут быть включены в семейство интегралов движения как на классическом, так и на квантовом уровне. В последнем разделе мы обсуждаем связь N=2 СУСИ-КдФ с топологическими теориями и их интегрируемыми возмущениями.
Представление суперконформной алгебры в терминах свободных полей. Вершинные операторы
В течение последних 20 лет двумерные модели конформно-инвариантной квантовой теории поля (КИКТП) и интегрируемые системы являются объ ектами интенсивного исследования, как в связи с большим количеством приложений, так и в связи с развитием математических методов их изу чения. Особенный интерес вызывают как классические, так и квантовые интегрируемые системы, непосредственно связанные с КИКТП, такие как ( система Кортевега-де Фриза (КдФ) и её обобщения, которые могут помочь при изучении возмущений КИКТП. Возмущения, как правило, разрушают конформную симметрию и выводят систему из критической точки. Однако специального вида возмущения, которые называют "интегрируемыми", сохраняют абелеву алгебру интегралов движения и, таким образом, приводят к интегрируемой теории. (Супер)конформная теория поля и квантовый метод обратной задачи
Основным инструментом исследования квантовых интегрируемых систем является квантовый метод обратной задачи (КМОЗ). Чтобы использовать КМОЗ для изучения интегрируемых возмущений КИКТП, было предложено следующее: сначала использовать конформную симметрию для того, чтобы построить базовые структуры КМОЗ в критической точке, а затем с помощью КМОЗ изучать возмущённую теорию.
Квантовый метод обратной задачи появился в работах Ленинградской школы математической физики в конце 70-х годов [1],[2]. Он возник в результате синтеза двух подходов к теории интегрируемых систем. Первый подход, так называемый метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), был открыт в 1967 г. [3], но имеет более глубокие корпи в работах по классической механике 19-го века, а второй подход до конца 70-х годов применялся к задачам статистической физики на решётке и квантовой механики [4],[5]. МОЗР дал возможность находить целые классы (иерархии) интегрируемых двумерных нелинейных эволюционных уравнений и получать их решения. В дальнейшем, в течение нескольких лет после откры » тия МОЗР была понята алгебраическая структура метода [6] и получена гамнльтонова интерпретация [7]. Оказалось, что гамильтоиовы системы, соответствующие этим уравнениям, вполне интегрируемы и обладают бес 6 конечным числом законов сохранения. Алгебраическая структура МОЗР даёт возможность рассматривать исследуемое нелинейное уравнение, как условие совместности системы линейных уравнений где функции U и V принимают значения в некотором представлении алгебры Ли g. Гамильтонова интерпретация [7] позволила рассматривать преобразование к данным рассеяния линейной задачи (1), как переход к переменным типа "действие-угол", в терминах которых задача сводится к линейным уравнениям. Это преобразование вместе со своим обратным даёт решение задачи Коши для данного уравнения. Соответствующее бесконечное семейство интегралов движения можно извлечь из разложения по спектральному параметру следа матрицы монодромии уравнения (1). Скобки Пуассона для элементов матрицы монодромии Т(Х) при различых значениях спектрального параметра часто удаётся представить в такой форме: где R - квантовая R-матрица [9],[10]. Как и па классическом уровне, отсюда легко получить, что [ (A), (/i)] = 0, т.е. интегрируемость на квантовом уровне. Соотношение (5) является отправной точкой уже упоминавшегося второго подхода в теории интегрируемых систем. Используя RTT-соотиошение, с помощью различных методов, например, алгебраического анзатца Бете, можно найти спектр трансфер- матрицы t Q\X) и различные корреляторы. Часто, для того чтобы получить (5) для двумерных интегрируемых систем теории поля, приходится рассматривать их на решётке. Но для определённого сорта систем, таких, как иерархия Кортевега- де Фриза (КдФ), оказывается возможным вывести RTT-соотношепие и получить явный вид матрицы моподромии, используя непрерывную теорию поля [11]-[15]. Уравнение КдФ также допускает квантование иным способом, с помощью бозоп-фермионного соответствия [16], а также на решётке [17], [18].
В данной диссертации мы существенно расширим класс систем, поддающихся квантованию в терминах непрерывных полей, включив туда иерархии КдФ, базирующиеся на супералгебрах.
Иерархии КдФ и их супераналоги играют важную роль при анализе интегрируемых структур, возникающих в конформной теории поля и её супер-расширениях.
В 1970 г. была высказана гипотеза [19] о том, что теория поля, отвечающая неподвижной (критической) точке ренорм-группы, обладает не только масштабной, но и конформной инвариантностью.
Редукция соотношений слияния
Но для определённого сорта систем, таких, как иерархия Кортевега- де Фриза (КдФ), оказывается возможным вывести RTT-соотношепие и получить явный вид матрицы моподромии, используя непрерывную теорию поля [11]-[15]. Уравнение КдФ также допускает квантование иным способом, с помощью бозоп-фермионного соответствия [16], а также на решётке [17], [18].
В данной диссертации мы существенно расширим класс систем, поддающихся квантованию в терминах непрерывных полей, включив туда иерархии КдФ, базирующиеся на супералгебрах.
Иерархии КдФ и их супераналоги играют важную роль при анализе интегрируемых структур, возникающих в конформной теории поля и её супер-расширениях.
В 1970 г. была высказана гипотеза [19] о том, что теория поля, отвечающая неподвижной (критической) точке ренорм-группы, обладает не только масштабной, но и конформной инвариантностью. В двух измерениях, благодаря тому факту, что двумерная конформная симметрия бесконечномерна и связана с алгеброй Вирасоро: [Ln, Lm] = (n - m)Ln+m + — (гг3 - n)5n-m, (6) оказывается возможным классифицировать все поля в теории и вычислять корреляционные функции.
Возмущения, как правило, разрушают конформную симметрию и выводят систему из критической точки. Однако специального вида возмущения, которые называют "интегрируемыми" [20], сохраняют абелеву алгебру интегралов движения и, таким образом, приводят к интегрируемой теории.
В статьях [11]-[15] было показано, что в этом случае задача может быть решена с помощью КМОЗ в терминах непрерывных полей. Было предложено следующее: сначала использовать конформную симметрию для того чтобы построить базовые структуры КМОЗ в критической точке, а затем с помощью КМОЗ изучать возмущённую теорию.
Обычная система КдФ, связанная с аффинной алгеброй sl(2) и её обобщения, ассоциированные с аффинными и твистованными аффинными (су-пер)алгебрами являются подходящими кандидатами на роль классического предела соответствующей квантовой интегрируемой модели. Действительно, непременным атрибутом любой иерархии типа КдФ является подалгебра в алгебре скобок Пуассона, являющаяся классическим пределом алгебры Вирасоро - алгебры симметрии КИКТП. Поэтому одной из основных задач в данном направлении является квантование моделей типа КдФ. Ключевым объектом, образующимся в результате квантования, является так называемое RTT-соотношение, в котором квантовая R-матрица "сплетает" квантовые аналоги матриц монодромии и обеспечивает интегрируемость на квантовом уровне, т.е. приводит к абелевой алгебре интегралов движения.
Далее, посредством чисто алгебраических методов, используя свойства теории представлений соответствующей дайной модели квантовой аффинной или твистованой аффинной (супер)алгебры, можно получить соотношения слияния для трансфер-матриц (следов квантовой матрицы монодромии в различных представлениях соответствующей супералгебры). Можно также попытаться найти аналог Q-опсратора Вакстера и соотношения слияния между Q-оператором и трансфер-матрицей.
В диссертации изучается ряд вопросов, возникающих в описанных выше исследованиях. Мы дадим описание этой диссертации по главам.
В первой главе рассматривается квантование суперсимметричпых иерархий КдФ, связанных с аффинной супералгеброй osp (21) (иерархия супер-КдФ) [21]-[24], и твистованной аффинной супералгеброй s/(2)(2l) (иерархия N — 1 СУСИ КдФ) [25] соответственно. Первый параграф посвящен иерархии супср-КдФ. Вначале мы рассматриваем основные аспекты классической теории, а именно, мы приводим сответствующий фермионный матричный -оператор в форме Миуры:
Мы видим, что один член в Р-экспоненте отсутствует по сравнению с классическим вариантом (12). Это именно то, что отличает квантование ирархии КдФ от квантования её фермионного расширения.
Мы показываем, как операторные произведения пар (u) : e-«W : еа, tfn ) : e W : еа внутри Р-экспонепты приводят в классическом пределе к образованию необходимых в классическом случае членов е 2ф 2е2а. В главе 1 мы приводим явную форму и обсуждаем структуру представлений 7Г (X) (так называемых "evaluation" представлений) квантовой аффинной сунералгебры ospq (21),а также пприводим гипотетические правила слияния для следов матрицы монодромии ts(A) - трансфер-матриц в различных представлениях: t V/4A)t e)( r1/4A) = t2i(9 A)t?i(e A) + t? (A). (18)
Иерархия супер-КдФ является хорошим примером для изучения процедуры квантования, однако генератор суперсимметрии не коммутирует с интегралами движения этой иерархии, поэтому данная система является лишь фермионным, а не суперсимметричным расширением иерархии КдФ.
Квантование иерархий типа КдФ, связанных с аффинными супералгебрами
В этом разделе мы обобщим результаты предыдущих глав на случай, когда в основе интегрируемой иерархии КдФ лежит произвольная аффинная супералгебра Ли. В предыдущих разделах мы шли от классической теории к квантовой, здесь же мы пойдём в обратном направлении, предъявляя с самого начала квантовую версию матрицы монодромии и связанный с ней вспомогательный L-оператор. Затем мы покажем, что в классическом пределе мы получим матрицу монодромии и вспомогательную L-матрицуассоциированные с L-оператором типа КдФ.
Эти фермионные поля могут удовлетворять двум граничным условиям, периодическим и антипериодическим: 1{и + 2тх) — ±(г(и), соответствующим двум секторам суперконформной теории поля - Рамона (Р) и Невье-Шварца (НШ) (стоит отметить, что оператор суперсимметрии фигурирует в модели только, когда все фермионы в Р секторе). Можно показать, что интегралы от введённых нами вертекс-операторов как и в бозонном случае удовлетворяют серровским и "песерровским"соотношениям (см. например [57]) для нижней подалгебры Бореля
Подставляя их с соответствующим множителем (q — q l) l в редуцированную R-матрицу, можно показать (легко обобщая соответствующие результаты параграфа 3.1. на случай супералгебры), что редуцированная R-матрица удовлетворяет мультипликативному свойству Р-экспоненты: где индексы / и b означают, что мы ведём суммирование по фермион-ным и бозонным простым корням. Буква q над Рехр означает, что объект, который мы ввели выше (более точно, в случае когда число фермионных корней больше одного), не может быть записан как Р-экспонента ни для какого значения параметра деформации из-за сингулярностей в операторных произведениях образованных фермионными полями \ Таким образом, мы называем (191) квантовой Р-экспонентой.
Определяя затем мы находим (как и в чисто бо зошгом случае) , что этот объект удовлетворяет RTT-соотношению (174) и, определяя матрицу монодромии М = ер1НХ\)я) мы опять приходим к (175), получая условие интегрируемости (176) для t = strMSq\ Мы также отметим здесь, что соотношение (175) может быть переписано в более канонической форме [58]
Теперь мы рассмотрим классический предел предъявленных выше выражений. Мы применим мультипликативное свойство Р-экспоненты к Ь (2тг,0). А именно, мы разложим 1 следующим образом: где мы разделили интервал [0,27г] на бесконечномалые интервалы [xm,xm+i] так, что xm+i — хт = є — 2ir/N. Теперь паша задача найти все члены, которые могут дать вклад первого порядка по е в u-q {xm,xm-\). Для этого нам понадобятся операторные произведения вертекс-операторов операторнозначные функции и. Теперь можно увидеть, что только два типа членов могут дать вклад порядка є в \М\хт_\,хт), когда q — 1. Первый тип состоит из операторов первого порядка по Wai, а второй тип образуется из операторов квадратичных по Wav которые дают вклад порядка е1 посредством операторного разложения. Рассмотрим этот второй тип более подробно.
Как мы видели РІЗ предыдущих разделов, условие интегрируемости (условие коммутативности трансфер-матриц) приводит к инволютивному семейству (локальных и нелокальных) интегралов движения. Для суперсимметричных интегрируемых моделей известно, что иногда можно включить генератор суперсимметрииВ предыдущих разделах мы рассматривали квантование иерархий Дрин-фельда-Соколова, связанных с аффинными алгебрами в соответствии с подходом, предложенным в [11] для обычной sl(2) модели КдФ. В этой главе мы расширяем этот подход для нестандартных иерархий КдФ, связанных с аффинными супералгебрами sl l\m + 1\т). Мы подробно рассматриваем модель N=2 СУСИ-КдФ, построенную с помощью супералгебры sl (2\1), при этом все конструкции прямо обобщаются на случай старшего ранга. Интерес к таким интегрируемым моделям вызван тем, что процедура квантования становится более содержательной по сравнению со стандартными иерархиями Дринфельда-Соколова.
Для того чтобы приступить к квантованию данной модели, мы начинаем с соответствующей классической теории (см. раздел 1). Классическая версия ассоциированной матрицы монодромии представлена посредством знакомой Р-экспоненты, но её показатель состоит не только из генераторов, соответствующих простым корням и их квадратичным комбинациям, но также из генераторов, соответствующих более сложным составным корням. Мы доказываем, что также как в в "стандартном" случае все эти члены, соответствующие составным корням, исчезают из первой итерации квантового обобщения Р-экспоненты; кроме того, мы показываем, что эта "квантовая" Р-экспонента совпадает с редуцированной универсальной R-матрицей, связанной с квантовой супералгеброй s/?(2l) (см. разделы 2,3). Мы также доказываем, что суперследы квантовой версии матрицы монодромии, так называемые трансфер-матрицы (по очевидной аналогии с решёточным случаем), коммутируют с генераторами суперсимметрии. Следовательно, эти генераторы могут быть включены в семейство интегралов движения как на классическом, так и на квантовом уровне (см. раздел 4). В последнем разделе мы обсуждаем связь N=2 СУСИ-КдФ с топологическими теориями и их интегрируемыми возмущениями.
Построение квантовой матрицы монодромии
Однако, представить её в виде упорядоченных интегралов мы не можем из-за сингуляриостей в операторных произведениях фермиоииых операторов. Поэтому мы называем её квантовой экспонентой и вводим для нее следующее обозначение:
Соответственно, квантовая Р-экспоиента из определения квантовой матрицы монодромии может быть записана как L (27r, 0). Аналогично иерархии супер-КдФ мы можем определить вспомогательные операторы
По построению эти операторы удовлетворяют RTT-соотношению с квантовой R-матрицей соответствующей квантовой супералгебре Cq{2)(2\ Таким образом, суперследы матриц монодромии (трансфер матрицы) t,s = strMs коммутируют, обеспечивая интегрируемость на квантовом уровне. Соотношения слияния для этой модели, а также построение ( -оператора рассмотрено в главе 2.
Отметим, что мы используем только 4s + 1-мерные "evaluation" представления супералгебры С{2) \ иногда называемые атипичными. Это позволяет, однако, построить соотношения слияния между трансфер-матрицами, см. ниже. Чтобы сконструировать соотношение типа Бакстеровского, мы построим "руками" дополнительные операторы посредством Q-операторов: 2соз{тгР)и(Х) = Q+(ff + A)Q-( THA) _ Q+(q-l-k\)Q_(q H\), где к - положительное нечётное целое. Тогда бакстеровские соотношения имеют вид: tj(A)Q±(A) = ±Q±(qh) Т Q±(9 A), ti( A)Q±(A) = t. (qh)Q±(q-h) + Q±(qX). Следом мы можем построить соотношения слияния для трансфер-матриц, отмечая их сходство с обычным А\ случаем: tjiqhMq-h) = ti+i(A)tH(A) + (-1)4 .
Но в отличие от л[ случая, в этих соотношениях присутствуют как трансфер-матрицы соответствующие представлениям Cq{2)(2\ так и искусственно построенные операторы, не отвечающие каким бы то ни было представлениям указанной алгебры. В случае, когда q корень из единицы: q = ±1, N Є Z, N О, полученные соотношения слияния редуцируются:
В случае, когда собственные значения Р имеют вид р — , где / О, / Є Z, получается дополнительная редукция: t_i(A) = О, \\ (А) = Ц _,(А) = (-1)г+\ tf4_s(AgT) = (-1)Ч(А)(-1) .
Эти редукции позволяют переписать соотношения слияния как уравнения термодинамического анзатца Бете типа D2N В главе 1 было рассмотрено квантование иерархий типа КдФ, связанных с супералгебрами ранга 2. В главе 3 мы рассмотрим квантование произвольной иерархии построенной исходя из / -оператора заданного стандартной конструкции Дринфельда-Соколова (ДС) применительно к аффинным и твистованным аффинным супералгебрам [28].
В первом параграфе третьей главы мы дадим обобщение процедуры квантования моделей КдФ предложенной в [11], [15] для иерархий связанных с аффинными алгебрами sfa, sis на случай ииерархии связанной с произвольной аффинной алгеброй Ли. А именно, стартуя с L-оператора записанного в форме Миуры, мы определяем классическую матрицу мо-нодромии и вспомогательную L-матрицу и затем предъявляем их квантовые аналоги. Мы также даём два доказательства того, что квантовые L-операторы удовлетворяют RTT-соотношению.
Во втором параграфе мы непосредственно переходим к квантованию иерархии типа КдФ, связанной с произвольной аффинной супералгеброй. В противоположность главе 1, где мы строили изложение от классической теории к квантовой, в данном случае мы идём в обратном направлении, т.е. предъявляем явную формулу для квантовой матрицы монодромии и затем, рассматривая классический предел, приходим к выражению матрицы монодромии, связанной со стандартным -оператором, соответствующим стандартной конструкции ДС:
Похожие диссертации на Представления квантовых супералгебр и интегрируемые структуры суперконформной теории поля
