Введение к работе
Актуальность темы. Представляемая работа посвящена изучению математических структур и, в частности, уравнений, которые связаны с уравнениями теории поля.
Открытие фундаментальных уравнений, описывающих релятивистские поля, является крупнейшим достижением физики. Как известно, первооснову уравнений релятивистских полей составляют следующие уравнения:
Уравнения Максвелла (1873).
Уравнение Клейна-Гордона-Фока (1926).
Уравнение Дирака (1928).
Уравнения Янга-Миллса (1954).
Система уравнений Дирака-Максвелла, рассматриваемая в математической физике, моделирует взаимодействие электрона с электромагнитным полем. Для моделирования электрослабых и сильных взаимодействий элементарных частиц используются системы уравнений Дирака-Янга-Миллса (это класс систем уравнений, зависящих от калибровочной группы). Следует отметить, что система уравнений Дирака-Максвелла является частным случаем системы уравнений Дирака-Янга-Миллса. Системы уравнений Дирака-Янга-Миллса и Дирака-Максвелла являются стандартными системами уравнений релятивистской теории поля.
В работах Уиттекера * (1937), Тауба 2 (1939), Руза 3 (1937) и Желноровича 4 (1982, 2001) предложена форма записи уравнения Дирака в виде системы нелинейных тензорных уравнений.
Теперь о связи уравнения Дирака с алгеброй Клиффорда. В записи уравнения Дирака для электрона используются 7_матРИПЬІ Дирака, удовлетворяющие в точности тем же соотношениям, которым удовлетворяют генераторы алгебры Клиффорда С(1,3). Алгебра Клиффорда впервые была применена к уравнению Дирака в работах Эддингтона 5 (1928) и Темпля 6 (1930).
Жуве 7 (1930) и Заутер 8 (1930) предложили рассматривать спиноры Дирака как элементы минимального левого идеала в алгебре матриц четвертого порядка. Рисе 9 (1947) первым рассмотрел спиноры как элементы минимального левого идеала алгебры Клиффорда (хотя частный случай чистых спиноров был рассмотрен ранее Картаном в 1938 году).
iWhittaker Е.Т., Proc. Roy. Soc. (London), vol.l58A, pp.38-46 (1937).
2Taub A.H., Annals of Mathematics, vol.40, pp.937-947, (1939).
3Ruse H.S., Proc. Roy. Soc. Edin., vol.57, pp.97-127,(1936-37).
4Желнорович В.А., Теория спиноров и ее применения, (2001).
5Eddington A.S., Proc. Roy. Soc, A, 121, (1928).
6Temple C, Proc. Roy. Soc, A, 127, (1930), 339-349.
7Juvet C, Comment. Math. Helv., 2, (1930), 225-235.
8Sauter F., Z. Phys., 63, (1930), 803-814; 64, (1930), 295.
9Riesz M., pp.123-148 in C.R. 10 Congres Math. Scandinaves, Copenhagen, 1946. Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen, 1947. Reprinted in L.Carding, L.Hermander (eds.): Marcel Reisz, Collected Papers, Springer, Berlin, 1988, pp.814-832.
Ланцош 10 (1929) и Гюрши и (1956-1958) переписали уравнение Дирака с помощью 2x2 кватернионных матриц. Развивая идеи Ланцоша и Гюрши, Хесте-нес 12 (1966-1974) переформулировал уравнение Дирака для электрона так, что волновая функция электрона в его уравнении представляется четным элементом вещественной алгебры Клиффорда.
Иваненко и Ландау 13 (1928) предложили альтернативное уравнение для электрона (оно не эквивалентно уравнению Дирака), в котором волновая функция представлена неоднородной дифференциальной формой. Это уравнение было переоткрыто Келером 14 (1962). Келер показал, что основные свойства электрона, описываемые стандартным уравнением Дирака, могут быть выведены и из его уравнения. В частности, в его статье содержится вывод формулы Зоммерфельда тонкой структуры спектра атома водорода.
Развитие подхода Иваненко-Ландау-Келера к теории электрона содержится в работе Обухова и Солодухина 15 (1993) (см., также, обзор Круглова 16). Ряд математических вопросов связанных с этим уравнением рассматривался Беном и Таккером 17 (1987). Начиная с 1981 года уравнение Иваненко-Ландау-Келера
u і о
активно используется в квантовой хромодинамике на решетках .
Упомянутая работа Келера 19 содержит еще один важный результат. А именно, для корректного описания взаимодействия электрона с электромагнитным полем, Келер ввел в своем уравнении новое умножение неоднородных дифференциальных форм. Это умножение он назвал клиффордовым умножением дифференциальных форм. Конструкция клиффордова умножения дифференциальных форм была независимо разработана Атьи 20. Множество неоднородных дифференциальных форм на (псевдо)римановом многообразии с двумя умножениями (клиффордовым и внешним), в литературе называется алгеброй Атьи-Келера.
Некоторые вопросы применения алгебры Клиффорда к физике рассматривают Доран и Лезенби 21 и Бейлис 22.
Таким образом, для уравнений теории поля и, в частности, для уравнения
10Lanczos С, Z.Phys. 57, (1929) 447-473, arXiv:physics/0508002.
"Giirsey F., Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul, A21, (1956), 33-54.
Giirsey F., Nuovo Cimento, 3, (1956) 988.
Giirsey F., Nuovo Cimento, 7, (1958) 411-415.
12Hestenes D., J. Math. Phys., 8, (1967) 798-808.
Hestenes D., J. Math. Phys., 14, (1973) 893-905.
Hestenes D., J. Math. Phys., 15, (1974) 1778-1786.
13Ivanenko D., Landau L., Z. Phys., 48 (1928)340.
14Kahler E., Randiconti di Mat. (Roma) ser. 5, 21, (1962) 425.
15Обухов Ю.Н., Солодухин C.H., ТМФ, 94, (1993), стр. 276.
16Kruglov S.I., Int. J. Theor. Phys., 41, (2002), 653-687.
17Benn I.M., Tucker R.W., An introduction to spinors and geometry with applications to physics, Bristol, 1987.
18Becher P., Phys. Lett., B104, 221 (1981).
Rabin, Nucl. Phys., B201, 315, (1982).
Becher P., Joos H., Z. Phys., C15, 343, (1982).
Banks Т., Dothan Y., and Horn D., Phys. Lett., B117, 413, (1982).
19Kahler E., Randiconti di Mat. (Roma) ser. 5, 21, (1962) 425.
20Atiyah M., Vector Fields on Manifolds, Arbeitsgemeinschaft fur Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Heft 200, (1970).
21Doran C. and Lasenby A., Geometric Algebra for Physicists, Cambridge Univ. Press, 2003.
22Baylis W.E., Electrodynamics: a modern geometric approach. Birkhauser, 1999.
Дирака, физиками и математиками в разное время было предложено несколько модификаций с использованием разных математических структур (7-матрицы, спиноры, элементы алгебры Клиффорда, левые идеалы, неоднородные дифференциальные формы и др.). Важный вопрос об эквивалентности или неэквивалентности разных форм уравнения Дирака требует углубленного изучения и не является самоочевидным. Вопрос о существовании других альтернативных (эквивалентных или не совсем эквивалентных) форм уравнений теории поля остается открытым. Вышесказанное обосновывает актуальность представленной работы.
Цель работы и основные задачи. Цель данной диссертационной работы состоит в нахождении таких обобщений и модификаций уравнений теории поля, которые наиболее естественным образом соотносятся со стандартными уравнениями (Дирака, Дирака-Максвелла, Дирака- Янга-Миллса). Основная задача ведущая к достижению поставленной цели состоит в углубленном анализе общего и различий уравнения Иваненко-Ландау-Келера по сравнению с другими модификациями уравнения Дирака (уравнения Дирака-Рисса, Дирака-Хестенеса).
Основные методы исследования. В диссертации используются следующие математические методы:
тензорный и спинорный анализ в пространстве Минковского и на псевдори-мановом многообразии;
алгебра Клиффорда и смежные структуры (группы и алгебры Ли, порожденные алгеброй Клиффорда, идемпотенты, левые идеалы и т.д.); алгебра Атьи-Келера неоднородных дифференциальных форм на спинорном многообразии и смежные структуры;
Теория симметрических гиперболических по Фридрихсу систем уравнений первого порядка.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем.
Введен ряд новых систем уравнений, которые в диссертации называются модельными уравнениями теории поля (модельное уравнение Дирака, модельные уравнения Дирака-Максвелла, модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса). Показано, что, с одной стороны, эти системы уравнений воспроизводят основные свойства стандартных систем уравнений теории поля, а с другой стороны, модельные уравнения имеют отличия от стандартных уравнений теории поля. В частности, они обладают новой симметрией по отношению к псевдоунитарной группе.
В диссертации доказано, что модельные уравнения теории поля обобщают соответствующие стандартные уравнения теории поля в том смысле, что любое решение стандартных уравнений теории поля можно рассматривать как решение соответствующих модельных уравнений, взятое при определенной фиксации псевдоунитарной калибровочной симметрии. На основе модельных уравнений автору удалось построить калибровочную теорию нового типа с двумя полями Янга-Миллса.
Модельные уравнения теории поля обобщены на случай четырехмерного псевдориманова многообразия (сигнатуры —2) с локальной тетрадой.
Разработаны модельные уравнения в формализме алгебры Атьи-Келера неоднородных дифференциальных форм.
Разработана специальная модификация модельных уравнений Дирака -Максвелла с U(l) калибровочной симметрией использующая соответствие между минимальным левым идеалом алгебры Клиффорда С(1,3) и четной подалгеброй (%ven(l, 3).
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Полученные результаты, связанные с модельными уравнениями теории поля, могут оказаться полезными для развития квантовой теории поля. Результаты диссертации по алгебрам Клиффорда и алгебрам Атьи-Келера развивают теорию алгебр Клиффорда и могут найти применение в разных приложениях этой математической области.
Апробация работы. Работа докладывалась на семинарах в следую- щих местах: Математический Институт РАН им. В.А.Стеклова (Москва); Институт Математики СО РАН им. С.Л.Соболева (Новосибирск); Лабо- раторя Теоретической Физики ОИЯИ (Дубна); Каферда Теоретической Физики МГУ (Москва); Кафедра Высшей Математики МФТИ (Долго- прудный); Университет Bath (Англия); Кавендишская Лаборатория (Ан- глия); Университет Chiba (Япония); Университет Киото (Япония); Уни- верситет Токио (Япония); Мехмат МГУ (Москва); Институт Математики НАН Украины (Киев); РФЯЦ-ВНИИЭФ (Саров).
Работа докладывлась на следующих конференциях: Конференция по прикладной математике (Киото, 1999); Конференция посвященая 100 летию со дня рождения И.Г.Петровского (Москва, 2001); AGACSE 2001 (Кембридж, 2001); Конференция по Клиффордову анализу (Прага, 2002); NATO ASI on Computational Noncommutative Algebra and Applications (Italy, 2003); 7th International Conference on Clifford Algebras and Applications (ICCA7), Toulouse, (France, 2005); Первая международная конференция по математической физике и ее приложениям, Сам ГУ, (Самара, 2008); Конференция ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ МГУ, 2008; Первое российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Ереван, 2008); FOUNDATIONS OF PROBABILITY AND PHYSICS-5, Vaxjo, (Sweden, 2008); Второе российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Москва, 2009); Grassmann Bicentennial Conference (1809 - 1877), Potsdam, (Germany, 2009); Вторая международная конференция по математической физике и ее приложениям, Сам ГУ, (Самара, 2010); International Colloquium on Integrable Systems and Quantum symmetries (ISQS-19), Карлов Университет, (Чехия, 2010); The fourth international Symposium on High Energy Physics, Cosmology and Gravity, Институт Теоретической Физики им. Н.Н.Боголюбова, Киев, (Украина, 2010); 9th International Conference on Clifford Algebras and Applications (ICCA9), Weimar, (Germany, 2011).
По материалам работы в течение ряда лет на Мехмате МГУ читался спецкурс "Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда".
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 23 статьях (в изданиях рекомендованных ВАК) и в одной монографии. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 10 глав, разбитых на 74 параграфа и списка литературы, включающего 90 наименований. Общий объем диссертации - 251 страница.
