Введение к работе
Актуальность темы. Безопасность эксплуатации ядерных энергетических реакторов и других радиационно-опасных установок различного назначения является одной из важнейших проблем современной энергетики и нелинейной динамики. Большое значение в решении этой проблемы имеет знание и исследование их динамических характеристик. Целью исследования динамики в конечном итоге является доказательство устойчивости стационарных режимов нелинейной системы или отыскание условий, при которых обеспечивается указанная устойчивость. Обычно a priory такой информации либо нет, либо ее чрезвычайно мало. В этих условиях практически единственной возможностью является создание адекватных математических моделей и их последующий анализ. При этом резко возрастает роль различных эффектов, связанных с распределенностью, неоднородностью систем и нелинейностью происходящих сложных процессов. В то же время используемые для анализа подобных нелинейных систем весьма упрощенные математические модели либо вообще не учитывают указанных эффектов, либо учитывают их очень приближенно, например, в рамках линеаризованных моделей. Это связано в первую очередь с тем, что сложные распределенные системы в неоднородных нелинейных средах обычно описываются системой уравнений в частных производных или системой интегро-дифференциальных уравнений и должны рассматриваться в весьма общих банаховых пространствах. Заметим, что сама процедура линеаризации для сложных нелинейных систем, как правило, требует строгого обоснования.
Таким образом, разработка адекватных распределенных нелинейных моделей сложных объектов, процессов и исследование возникающих режимов, вопросов устойчивости и нелинейных явлений, включая асимптотическое и нерегулярное (хаотическое) поведение, является весьма актуальной задачей. Кроме того, решение вопросов существования, единственности, свойств спектра, полноты корневых векторов, положительности решений и некоторых других представляет значительный интерес. Данное обстоятельство связано с решением нового класса задач, описывающих гораздо более сложные процессы, чем, например, краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка, которая, как известно, является достаточно грубым диффузионным приближением для рассматриваемых процессов переноса.
Начиная с первых работ по теории переноса излучения (нейтронов) в размножающих и замедляющих средах, выполненных Э.Ферми, И.В.Курчатовым с сотрудниками, исследования по теории реакторов тесно связаны с именами А. Вейнберга, Ю. Вигнера в США, академиков РАН
1 Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. М: ИЛ, 1961.
В.С.Владимирова , Г.И. Марчука, заложивших основы математической теории взаимодействия излучения с веществом, в том числе переноса нейтронов. Существенный вклад в развитие математической теории реакторов внесли профессора СМ. Фейнберг, СБ. Шихов , А.Д. Галанин, В.В. Орлов, Л.Н. Усачев, Г. А. Бать и научные коллективы РНЦ «Курчатовский институт», ГНЦ ФЭИ, ИТЭФ, ОКБМ, МИФИ, ИПМ, ИПЭ НАН Беларуси и др. Работы отечественных ученых ТА. Гермогеновой, М.В. Масленникова, Б.Б. Кадомцева, СБ. Шихова, Ю.И. Ершова4, В.В. Смелова, В.И. Лебедева, В.И. Агошкова, В.Я. Гольдина, В.В. Учайкина, А.В. Крянева, Ю.А. Кузнецова и их учеников, а также зарубежных ученых Б. Дэвисона, Р. Маршака, С. Чандрасекара, Е. Хопфа, К. Кейза , Дж. Ленера, Г. Винга и др., отражающие основные положения этой теории, хорошо известны.
Одним из важнейших открытий второй половины прошлого века явилось установление нового факта, говорящего о том, что нелинейная детерминированная динамическая система при отсутствии в ней каких-либо случайных внешних возмущений может генерировать стохастические колебания, т.е. порождать динамический или детерминированный хаос. Такой хаос может возникать в ситуации, когда в фазовом пространстве динамической системы имеется ограниченная область, из которой траектории не уходят, и при этом они неустойчивы по Ляпунову. В силу неустойчивости сколь угодно близкие вначале траектории расходятся за конечный промежуток времени. Поэтому практически невозможно предсказать длительное поведение детерминированной нелинейной динамической системы, поскольку реально начальные условия задаются лишь с конечной степенью точности.
Сегодня, несмотря на значительные успехи, теория нелинейных динамических систем далека от завершения даже для конечномерных пространств. Известно, например, что хаос в нелинейных системах возникает при наличии в их фазовом пространстве гомоклинических (в общем случае -гиперболических) структур. Существующие критерии возникновения хаоса труднопроверяемы, поскольку требуют, например, определения условий взаимного пересечения устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий, и в общем случае отсутствуют. Поэтому актуальной остается задача разработки конструктивных критериев хаоса, которые были бы применимы для широкого класса нелинейных динамических систем.
В настоящее время, после открытия в 1964 г. первой модельной системы (системы Лоренца) с хаотическим поведением, известны многочисленные примеры систем с подобным поведением в различных областях физики, механики, гидродинамики, биологии (список можно продолжить) , в
2 Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. // Тр. Матем. ин-та им. В.А.
Стекловат.61. Изд-во АН СССР. 1961.
3 Шихов СБ. Вопросы математической теории реакторов. М.: Атомиздат, 1973.
4 Шихов СБ., Ершов Ю.И. Математические основы теории переноса. Т.1; Т.2. М.: Энергоатомиздат, 1985.
5 Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972.
6 Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002.
7 Лихтенберг А., Либерман Г. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.
том числе в реакторных системах. Возникающий здесь круг вопросов в основном связан с устойчивостью поведения решений и возникновением динамического хаоса. Традиционно в теории устойчивости изучается асимптотическое поведение траекторий, лежащих вблизи уже известной (стационарной) траектории, или, как в теории ветвления, обнаружение и исследование решений, ответвляющихся от известного по мере изменения параметров задачи. Несмотря на обширные исследования, существующие трудности далеки от преодоления. Обычно исследуются на устойчивость решения, появляющиеся при первой бифуркации, если их удается получить. Очевидно, такой путь исследования задач гидродинамики имел в виду Л.Д. Ландау, высказавший гипотезу, что при возрастании параметра - числа Рейнольдса, усложнение (турбулизация) течения объясняется появлением все большего числа несоизмеримых периодов у решения. Можно принять и «физическую» точку зрения, восходящую к Э. Хопфу, О.А. Ладыженской и др. - решения диссипативных систем «забывают» свои начальные данные и формируются под действием постоянно и стационарно действующих факторов. В строгом математическом смысле это не так, потому что в детерминированной системе решение (глобальное или локальное) полностью определяется своими начальными и дополнительными данными, а также внешним воздействием (например, системой управления). Однако с течением времени решение может «далеко» уйти от этих данных и в этом смысле «забыть» их. В связи с этим возникает вопрос о той части фазового пространства, к которой притягиваются все решения, и динамике рассматриваемой системы на ней. Структура этого (компактного) притягивающего инвариантного множества (аттрактора) может быть весьма сложной, как и динамика на нем; другими словами, такое множество должно являться объектом исследования. Сложность изучения таких притягивающих множеств (аттракторов, квазиаттракторов) нелинейных динамических систем заключается в отсутствии законченной теории таких множеств (гиперболических множеств) не только для бесконечномерных, но даже для конечномерных динамических систем . Кроме того, не исключено (строго не установленный факт) появление так называемых «диких гиперболических множеств» (Ньюхаус) в составе притягивающих многообразий. Этот вопрос является дискуссионным и затрагивает другой, более важный: правильно ли мы определяем притягивающие множества и достаточно ли для описания динамики на них концепции грубости (типичности) Андронова-Понтрягина. Постановка и решение этих вопросов представляют несомненный, в том числе и самостоятельный интерес.
Для ряда нелинейных динамических систем наблюдается последовательность бифуркаций удвоения периода при изменении параметра от значений, при которых оно имеет лишь неподвижные точки, к значениям, при которых существует бесконечное множество периодических орбит. Эти каскады бифуркаций удвоения периода обладают богатой структурой (универсальность
8 Песин Я.Б. Общая теория гладких гиперболических динамических систем. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М: ВИНИТИ. 1985. с.123-173.
Фейгенбаума). Существуют свойства, ассоциированные с этими каскадами, которые универсальны в том смысле, что не зависят от выбора конкретной динамической системы. При этом весьма актуальной является задача установления механизма перехода к «хаосу» через бифуркации удвоения периода для конкретной распределенной модельной задачи переноса, который наблюдался экспериментально. Важно отметить, что для нелинейных распределенных динамических систем возможен пространственно-временной хаос, характеризующийся тем, что в процессе колебаний случайными оказываются не только временные реализации процесса, но и пространственные распределения поля (излучения, температуры). Такой режим пространственно-временного хаоса в теории нелинейных динамических систем имеет специальное название - диссипативные структуры. Этому режиму присуще соответствующее притягивающее множество (квазиаттрактор). В последние годы в исследовании структуры и свойств таких множеств на базе новых идей и понятий (инерциальные многообразия и инерциальные формы, параметры порядка, фрактальные множества и т.п.), а также основных положений (парадигм) синергетики достигнуты определенные успехи ' ' . Существенные достижения в разработке соответствующих методов и подходов для широкого класса нелинейных систем получили коллективы исследователей ИПМ им. М.В. Келдыша, РНЦ КИ, МГУ, МИФИ, ННГУ, СГУ и др., а также зарубежные исследователи П. Константин, К. Фойяш, Б. Николаенко, Р. Темам, Дж. Хейл со своими сотрудниками. Однако результаты исследований нелинейных распределенных моделей переноса и их различных приближений немногочисленны, а в части изучения инвариантных многообразий, структуры притягивающих множеств и сопутствующих вопросов публикаций еще меньше.
Анализ современного состояния теории нелинейного переноса на основе газокинетического уравнения с распределенными параметрами позволяет сформулировать как одну из важнейших проблем нелинейной динамики проблему разработки и создания теоретических методов анализа динамики и свойств решений модельных задач переноса. При решении этой проблемы на первый план выступают модельные задачи переноса в распределенных неоднородных средах, в основе которых лежат газокинетическое уравнение или многогрупповое диффузионное (Pi-) приближение.
Цель работы. Развитие и обоснование строгой математической теории нелинейных уравнений переноса, включающее следующие этапы исследования:
1. Выбор математической модели (моделей) исследования, адекватно описывающей реальные физические процессы (на примере переноса излучения (нейтронов)) в распределенных нелинейных неоднородных и ограниченных средах.
9 Ахромеева Т.С., Курдюмов СП., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос.
М: Наука, 1992.
10 Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М: Мир, 1988.
11 Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Изд. 4-ое.
Москва, УРСС. 2005.
-
Формулировка и доказательство теорем существования и единственности решений исходной нелинейной задачи, где перенос описывается газокинетическим уравнением, в некотором бесконечномерном функциональном пространстве.
-
Установление условий существования и свойств решений стационарной нелинейной задачи, отвечающей исходной системе, включая вопросы полноты собственных (корневых) векторов, устойчивости решений и существования точек бифуркации.
-
Обоснование метода линеаризации (первого метода Ляпунова) в задаче устойчивости стационарных и периодических решений исходной нелинейной задачи.
-
Анализ спектральных свойств линеаризованной задачи, нелинейным образом зависящей от спектрального параметра; исследование структуры спектра, его асимптотики и других важных спектральных свойств.
-
Доказательство обобщенной теоремы Смейла - Биркгофа (условий существования гомоклинической точки трансверсального пересечения инвариантных (локальных) многообразий (метод Мельникова)). Установление существования инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подсдвигу конечного типа (подкове Смейла) для исходной нелинейной задачи.
-
Установление условий существования инвариантных конечномерных множеств -инерциальных многообразий, исследование их свойств. Проверка спектрального условия (условия конуса) и доказательство существования конечномерных инерциальных многообразий для исходной нелинейной задачи.
-
Применение изложенных методов для более общих нелинейных динамических систем. Демонстрация вышеуказанного подхода на примере одной практической модельной задачи, в которой перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Pi-) приближении.
Методы исследования. Для исследования использовался аппарат функционального анализа (теория полугрупп операторов, теория операторов, инвариантных относительно положительных конусов в банаховых пространствах, теория знакорегулярных (квазизнакорегулярных) операторов, спектральная теория самосопряженных и несамосопряженных операторов), топологические методы, аппарат теории нелинейных динамических систем (гиперболические множества, инвариантные притягивающие множества (аттракторы, квазиаттракторы) и инвариантные инерциальные многообразия), теория устойчивости и теория бифуркаций; использованы также результаты линейной теории переноса. В основе развитого подхода лежат принципы линеаризации и локализации, а также основные положения синергетики.
Научная новизна и практическая ценность работы:
- сформулированы условия существования глобального (сильного) решения и условия существования локального решения для исходной нелинейной распределенной системы уравнений в
ограниченных средах, где перенос описывается многоскоростным газокинетическим (интегродифференциальным) уравнением или его многогрупповым диффузионным (Pi-) приближением; доказаны соответствующие теоремы существования (несуществования) глобальных решений в выбранном функциональном (фазовом) пространстве;
- исследованы свойства операторов и решений исходной нелинейной задачи, включая свойство
положительности решений в некоторых банаховых пространствах с положительными конусами;
- сформулированы и доказаны теоремы существования и свойства решений нелинейной
стационарной задачи, отвечающей исходной нелинейной задаче, включая свойства положительности
и условия существования ведущего собственного значения;
доказаны теоремы полноты собственных (корневых) векторов в общем случае; указаны условия существования базиса Рисса;
установлено существование счетного множества простых вещественных собственных значений и отвечающих им собственных элементов из некоторых множеств конечномерных положительных конусов (конусов конечного ранга) в однородной среде;
указана оценка спектрального зазора (расстояния между ведущим собственным значением и остальным спектром) и установлено, в каких случаях базисные функции являются чебышевскими (Т-системами), что позволяет применять чебышевские методы ускорения сходимости;
показано существование счетного множества точек бифуркации в случае однородной среды; рассмотрены вопросы о количестве, характере и устойчивости решений на некотором инвариантном множестве;
проведен анализ спектральных свойств линеаризованной задачи и установлен принцип линеаризации и спектр линеаризации (по В.И. Юдовичу) для исходной нелинейной задачи; установлены свойства гладкости нелинейной диссипативнои полугруппы, разрешающей исходную задачу;
сформулированы и доказаны теоремы о структуре спектра (точечного, непрерывного, существенного) операторного пучка (обобщенного пучка типа М.В. Келдыша), отвечающего линеаризованной задаче, где спектральный параметр нелинейным (дробно-рациональным и/или полиномиальным) образом входит в пучок; найдена асимптотика спектра задачи;
доказана полнота корневых векторов (кратная полнота по М.В. Келдышу) и условия сходимости по ним в некотором функциональном пространстве; установлены условия существования (uo-положительность) ведущего собственного значения и отвечающего ему (единственного)элемента из положительного конуса;
существенно уточнены спектральные свойства и асимптотические оценки в одномерной геометрии:
Минимальность, полнота и базисность системы корневых векторов;
Принадлежность операторного пучка классу вполне положительных операторов;
Существование счетного подмножества простых вещественных собственных значений и отвечающего ему множества собственных элементов, обладающих осцилляционными свойствами (ряды Маркова);
- установлены условия существования (обобщенный метод Мельникова) гомоклинической
(гетероклинической) точки трансверсального пересечения (локальных) устойчивого и неустойчивого
инвариантных многообразий для некоторого семейства абстрактных эволюционных уравнений
(обобщенная теорема Биркгофа - Смейла); эти условия проверены для исходной нелинейной задачи;
сформулировано утверждение: трансверсальная гомоклиническая (гетероклиническая) траектория
порождает хаос («динамический реакторный хаос») в бесконечномерном фазовом пространстве;
- доказано существование инвариантного гиперболического множества, топологически
эквивалентного подсдвигу конечного типа (канторова множества, топологически эквивалентного
подкове Смейла);
- проведен анализ экспериментально наблюдавшегося перехода к «реакторному хаосу» через
последовательность бифуркаций удвоения периода (универсальность Фейгенбаума) как общего
свойства (модельных) нелинейных систем, приближающихся к гомоклиническому касанию
устойчивого и неустойчивого многообразий некоторой периодической орбиты (неподвижной точки);
- установлены условия существования инвариантных экспоненциально притягивающих
конечномерных многообразий - инерциальных многообразий для исходной нелинейной задачи с
компактной (квазикомпактной) полугруппой и нормальным гиперболическим множеством;
проведен анализ основных свойств инерциальных многообразий; сформулирован принцип сведения, проверено спектральное условие (условие конуса) и установлено существование к-мерного инерциального многообразия для исходной нелинейной задачи (гипотеза Э. Хопфа); сформулирован нелинейный динамический метод Галеркина;
развитый подход распространен на семейства модельных задач, где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Pi-) приближении; соответствующие результаты получены для вышеуказанного семейства моделей; рассмотрены возможности применения вышеизложенного подхода для более сложных нелинейных модельных задач.
Проведенные в диссертационной работе исследования, предложенные подходы и полученные результаты позволили развить и обосновать строгую математическую теорию нелинейных уравнений переноса. Тем самым осуществлен важный этап в развитии нового направления теории переноса -нелинейной теории переноса. Кроме того, изложенные в работе методы и подходы представляют самостоятельный интерес для общей теории нелинейных динамических систем и вносят определенный вклад в общие представления синергетики. Материал диссертационной работы, будучи в первую очередь теоретическим исследованием, является основой для формулировки
конкретных вычислительных алгоритмов и решения актуальных практических задач в соответствующих областях физики и техники. С другой стороны, полученные в работе результаты и поставленные вопросы могут являться основой для последующих исследований. На защиту выносятся:
-
Качественный анализ свойств решений исходной нелинейной задачи, включая положительность решений в пространствах с положительными конусами и условия продолжимости (непродолжимости) решений. Доказательство условий существования по крайней мере одного стационарного положительного нетривиального решения нелинейной стационарной задачи, отвечающей исходной нелинейной задаче.
-
Анализ полноты корневых векторов стационарной (условно-критической) задачи; базисность системы корневых векторов и условия сходимости разложений; некоторые тонкие свойства спектра в случае одномерной геометрии - знакорегулярность, существование счетного множества простых вещественных собственных значений; конструктивная оценка спектрального зазора, обоснование чебышевских методов ускорения сходимости вычислительных алгоритмов.
-
Обоснование метода линеаризации применительно к задаче устойчивости стационарных (периодических) решений исходной нелинейной задачи. Исследование структуры спектра линеаризованной задачи; метод исследования операторного пучка с нелинейным вхождением спектрального параметра; теоремы полноты (кратной полноты по М.В. Келдышу) корневых векторов и условий сходимости; условия существования в спектре ведущего (крайне правого) собственного значения и оценка спектрального зазора. Спектральные свойства и асимптотические оценки для собственных значений и элементов в случае однородной среды.
-
Условия существования гомоклинической точки трансверсального пересечения (локальных) устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий (обобщенная теорема Смейла -Биркгофа); существование инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подсдвигу конечного типа для исходной нелинейной задачи. Доказательство существования инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий -инерциальных многообразий; свойства инерциальных многообразий: липшицева непрерывность, экспоненциальная дихотомия, устойчивость и неустойчивость компактных инвариантных множеств.
-
Результаты по п.п. (1-4) для модельной нелинейной задачи, где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Pi-) приближении.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы отражены в 42 публикациях.
Результаты исследований, изложенные в диссертации, по мере их получения докладывались на семинарах в следующих организациях: «ГНЦ РФ - Научно-исследовательский институт атомных реакторов»; ГНЦ РФ - Физико-энергетический институт им. академика А.И. Лейпунского; Московском инженерно-физическом институте (кафедра прикладной математики, кафедра «Ядерные реакторы и энергетические установки»); Всероссийском научно-исследовательском институте по эксплуатации атомных электростанций; Научно-исследовательском и конструкторском институте энерготехники им. академика Н.А.Доллежаля; Научно-исследовательском технологическом институте им. академика А.П.Александрова; Институте прикладной математики им. академика М.В. Келдыша; Санкт-Петербургском техническом университете; Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН; Ульяновском государственном университете; Ульяновском государственном техническом университете; Новосибирском государственном университете; Институте математики СО РАН; Факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова.
Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных форумах:
XXXIV ежегодная научно-техническая конференция МИФИ. Москва, 1988 г.
Третья Международная научная конференция Ядерного Общества России. С.-Петербург, Россия, 1992 г.
7-ой Европейский Симпозиум по моделированию (ESS'95), Эрланген - Нюрнберг, Германия, 1995 г.
12-ая Международная конференция по моделированию (SI'95), Феникс, Аризона, США, 1995 г.
Международный семинар «Days on Diffraction», С.-Петербург, 2005 -2008 г.г.
10-е Харитоновские чтения.г. Саров, 2008 г.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 8 глав, 29 параграфов, заключения и 3 приложений, а также содержит 12 рисунков и 498 библиографических ссылок. Общий объем диссертации 372 страницы.
