Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая работа посвящена исследованию некоторых краевых задач вне разрезов на плоскости для уравнения Гельмгольца, описывающего как волновые, так и неволновые процессы.
Краевые задачи вне разомкнутых кривых (разрезов) на плоскости имеют много приложений в физике, механике, т.к. разрезы моделируют трещины в твердых телах, крылья и экраны в жидкостях и газах, электроды в полупроводниках. Кроме того, задачи вне разрезов на плоскости возникают в химической кинетике и биофизике, где разрезы моделируют пластинчатые катализаторы, мембраны и т.д.
Из краевых задач для уравнения Гельмгольца вне разрезов произвольной формы на плоскости в настоящее время достаточно подробно изучены задача Дирихле и задача Неймана ввиду их большой практической значимости в акустике, электродинамике и т.д. Как теоретическим, так и численным аспектам решения этих задач посвящено много псследований.
Цель работы. Решить ряд краевых задач для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости со сложными краевыми условиями, которые ранее не изучались строгими математическими методами. К таким задачам относится задача с косой производной вне разрезов на плоскости, а также смешанные задачи, когда на разных сторонах разрезов задаются граничные условия разных типов.
Целью работы является не просто доказательство теорем существования и единственности решения в рассматриваемых краевых задачах, но и получение интегрального представления для решения, сведение каждой задачи к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма П-го рода в подходящем банаховом пространстве, получение оценки для градиента решения на концах разрезов.
Методы исследования. Основным методом исследования краевых задач избран метод граничных интегральных уравнений, основанный на методе потенциалов. Этот метод позволяет не просто доказать разрешимость задачи, но и получить интегральное представление для ее решения. Для исследования получающихся граничных интегральных уравнений используется теория сингулярных интегральных уравнений и методы функционального анализа.
Научная новизна. Новыми являются результаты, связанные с краевыми задачами, ранее не изучавшимися. Впервые изучена краевая задача с косой производной для неволнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. Исследована задача Дирихле-Неймана для вол-
нового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, когда условие Дирихле и условие Неймана заданы на разных сторонах разрезов.
Изучена обобщенная задача о скачке для волнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, которая является обобщением задачи Дирихле Неймана.
Кроме перечисленных задач исследована краевая задача для неволнового уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости, когда на одной стороне каждого разреза задано условие с косой производной, а на другой условие Дирихле.
В каждой задаче доказаны теоремы о существовании и единственности решения, получено интегральное представление для решения. Каждая задача сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению Фредгольма П-го рода. Получены оценки градиента решения на концах разрезов.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты представляют собой как прикладной, так и математический интерес. Они могут быть применены, например, для решения задач рассеяния акустических и поверхностных волн на тонких цилиндрических препятствиях, имеющих разные свойства с разных сторон. Полученные результаты также могут быть использованы при решении задач диффузии и теории приливов. Кроме того, возможно применение полученных результатов для решения трехмерной задачи о распределении стационарного температурного поля в цилиндрических областях и т.д.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Конференциях молодых ученых мехмата (2003, 2004) и физфака МГУ (2003). на семинаре кафедры математики физфака МГУ под руководством профессора В.Ф. Бутузова. Результаты также были представлены на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003), на Всероссийской конференции "Теоретические основы конструирования численных алгоритмов для решения задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам" (Дюрсо. 2004). на Всероссийской школе-семинаре "Аналитические метлы в оптимизации процессов в механике жидкости и газа" (Дюрсо. 2001).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [9].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех пав, разбитых на 15 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 92 страницы текста. Список литературы включает 89 наименований.
