Содержание к диссертации
Введение
1 Глобальная разрешимость смешанной краевой задачи для линейного уравнения типа Соболева 17
1.1 Постановка задачи 17
1.2 Существование классического решения 19
1.2.1 Вспомогательная лемма 19
1.2.2 Задача с нулевым начальным условием 23
1.2.3 Задача с ненулевым начальным условием 33
1.3 Единственность классического решения 35
2 Разрушение решения нелинейного нелокального уравнения Соболевского типа 37
2.1 Постановка задачи 37
2.2 Локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле 38
2.3 Необходимые и достаточные условия разрушения сильного обобщенного решения 44
3 Разрушение решения нелинейной системы уравнений типа Соболева 49
3.1 Постановка задачи 49
3.2 Локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле 50
3.3 Разрушение сильного обобщенного решения за конечный промежуток времени 55
4 Разрушение решения смешанной задачи для обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным граничным условием 59
4.1 Постановка задачи 59
4.2 Локальная разрешимость в слабом обобщенном смысле 60
4.3 Единственность слабого обобщенного решения 67
4.4 Разрушение слабого обобщенного решения за конечный промежуток времени 68
Заключение 75
- Существование классического решения
- Единственность классического решения
- Необходимые и достаточные условия разрушения сильного обобщенного решения
- Разрушение сильного обобщенного решения за конечный промежуток времени
Введение к работе
Исследованию разнообразных начальных и начально-краевых задач для уравнений типа Соболева посвящено большое количество работ. Причем по всей видимости первым сторогим математическим исследованием задач для уравнений не типа Коши-Ковалевской является пионерская работа С. Л. Соболева [1]. Данная работа вызвала большой интерес к исследованию неклассических уравнений, названных уравнениями тина Соболева. В работе [1] было выведено линейное уравнение, описывающее малые колебания во вращающейся жидкости
dt* \dxf+ Ьх\+ dxi) + а Ьх\ ~~
Исследования С.Л. Соболева были продолжены Р. А. Александряном [2], В. Н. Масленниковой [3], В. П. Масловым [4], Т. И. Зеленяком [5], Н. Д. Копачевским [6, 7], С. А. Габовым и А. Г. Свешниковым [8, 9]. Среди работ, продолживших исследования С. Л. Соболева, уместно отметить работы М. И. Вишика [10] и С. А. Гальперна [11, 12], в которых рассматривались начально-краевые задачи для уравнений, обобщающих указанное уравнение.
Отметим, что в монографии [8] были рассмотрены вопросы глобальной во времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений возникающих в так называемых стратифицированных жидкостях и стратифицированных, вращающихся жидкостях. Был предложен оригинальный метод редукции рассматриваемых начально-краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям посредством так называемых динамических потенциалов. Полученные интегральные представления решений начально-краевых задач имеют весьма удобный вид для аналитических исследований таких свойств решений как асимптотическое поведение решений при больших временах, а так же для численного моделирования происходящих в стратифицированных жидкостях процессов. Так было выявлено наличие в стратифицированных жидкостях чрезвычайно любопытного эффекта "квазифронта". В стратифицированной среде, где в предположении несжимаемости все возмущения должны распространяться с бесконечной скоростью, при наличии точечного мгновенного источника распространяется волновой фронт, скорость которого конечна.
Причем этот волновой фронт имеет вид шлейфа осцилляции и экспоненциально малого предвестника. В случае только вращающейся жидкости указанный эффект не имеет места.
Исследования вопросов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. А. Габова и А. Г. Свешникова. Именно, в работах Ю. Д. Плетнера [13], С. Т. Симакова [Ї4], П. А. Крутицкого [15]. В этих работах, при помощи фундаментальных и сингулярных решений операторов внутренних волн, т. е. волн внутри стратифицированной жидкости, были построены динамические потенциалы, с помощью которых были получены явные интегральные представления решений начально-краевых задач с негладкой границей. Отметим, так же работу С. Я. Секерж-Зеньковича [16], где впервые, на основе преобразования Фурье, было построено фундаментальное решение оператора внутренних гравитационных волн, уравнение которых имеет вид
— (А3и - (32и) + ш2А2и = О,
где /3 - параметр стратификации, ujq - частота Вейсяля-Брснта.
В работах Ю. Д. Плетнера [17] - [19] была обнаружена тесная связь между уравнениями типа Соболева и связанным с каждым конкрентным уравнением типа Соболева эллиптическим уравнением. Именно, в ходе исследования частных начально-краевых задач для уравнений внутренних волн было замечено, что свойства их решений как функций пространственных переменных близки к свойствам решений некоторого эллиптического уравнения. В частности, речь идет о таком свойстве, как аналитичность по пространственным переменным. Кроме того, исходная система уравнений внутренних волн близка к классической системе Коши-Римана. Оказалось например, что линейные уравнения внутренних волн можно интегрированием по временной переменной необходимое число раз представить в следующем виде
о t
^ [1 + Фі*] ^-р2и = 0, Фі*и= ds$>(t - s)u(s), Ф(і) є С(2)([0, +оо).
1=1 г п
Из данного вида и важного свойства вольтерровских операторов — равенства нулю спектрального радиуса — следует, что указанное интегродифференциальное уравнение можно рассматривать как регулярно возмущенное вольтерровскими операторами эллиптическое уравнение
г=1 *
Указанная связь оказалась весьма плодотворной при исследовании начально-краевых задач для двумерных уравнений внутренних гравитационных и ионно-звуковых волн
в случае областей с негладкой границей [20] - [23]. Кроме того, в работе [24] были обнаружены модельные уравнения тина Соболева высокого, например восьмого, порядка в линейной теории плазмы и линейной теории спиновых волн во внешнем магнитном поле, исследование которых, как дифференциальных операторов высокого порядка, гораздо сложнее чем интегродифференциальных уравнений второго порядка. Отметим также, что в работе [25] были получены модельные уравнения типа Соболева третьего порядка с производной по времени первого порядка, т. е. так называемые уравнения псевдопараболического типа [26].
Перейдем теперь к обзору результатов по исследованию подкласса уравнений типа Соболева — псевдопараболических уравнений [26]. Все уравнения, для которых поставлены рассматриваемые в данной диссертации задачи, относятся именно к этому типу соболевских уравнений. Здесь следует уточнить терминологию. Под псевдопараболическими уравнениями мы подразумеваем все уравнения не тина Коши-Ковалевской высокого порядка с производной но времени первого порядка вида
^ (А(«)) + М(и) = 0,
где А(и) и Ш(и) - это эллиптические, и, вообще говоря, нелинейные операторы.
В работе Г. И. Баренблатта, Ю. П. Желтова, И. Н. Кочиной [27], по всей видимости, впервые математически строго было получено линейное исевдоиараболическое уравнение
— {Аи + си) + Ли = 0, с Є М1\{0}
описывающее нестационарный процесс фильтрации в трещиновато - пористой жидкости. В работах А. П. Осколкова [28] , Е. С. Дзекцера [29], Ю. Н. Работнова [30, 31] и Г. А. Свиридюка [32, 33] были получены новые уравнения псевдопараболического типа. Следует упомянуть также работы [34, 35] где были выведены самые разнообразные уравнения псевдопараболического типа: линейные, нелинейные, нелокальные, третьего и пятого порядков и т. п.
Перечень работ, посвященных изучению нелинейных уравнений псевдопараболического типа, весьма обширен. Волновые уравнения третьего порядка исследовались в работах [36] - [51]. В частности, рассматривались начальные, начально-краевые и периодические задачи, для которых исследовались вопросы глобальной во времени разрешимости и разрушения. В случае глобальной во времени разрешимости исследовались вопросы асимптотического поведения решений рассматриваемых задач при больших временах, теория рассеяния и устойчивость решений типа уединенных волн как для одномерных так и для многомерных уравнений типа Бенджамена-Бона-Махони и Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса:
— (ихх -и)+их + иих + ихх = 0. at
Изучению волновых уравнений псевдопараболического типа пятого порядка Розенау и Розенау-Бюргерса посвящены работы [52] - [58]:
г\, Y^xxxx ~i~ У*) ^х UUx ^хх — ^'
В этих работах исследованы вопросы глобальной во времени разрешимости, асимптотического поведения при больших временах и устойчивочти решений типа бегущих волн.
С другой стороны, немало работ посвящено исследованию диссипативных нелинейных уравнений псевдопараболического типа. Приведем некоторый обзор результатов.
Применение полугруппового подхода к общей теории сингулярных уравнений типа Соболева получило глубокое и широкое развитие в работах Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова [59, 60]. Используя полугруппы операторов с нетривиальными ядрами и образами, а также некоторые обобщения понятий ограниченных, секториальных и радиальных операторов в сочетании с понятием фазового пространства удалось свести изучение линейных и полулинейных сингулярных уравнений типа Соболева к изучению структур соответствующих ядер, образов и фазовых пространств полугрупп операторов.
Исследованию исевдопараболических уравнений с незнакоопределенным или необратимым оператором при старшей производной во времени посвящена работа И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [61]. В данной монографии авторы исследовали уравнения, в абстрактной постановке имеющие вид
где L и В — самосопряженные (или диссипативные) операторы в данном гильбертовом пространстве. И основная цель работы, реализованная авторами, это связанная с этим операторно-дифференциальным уравнением спектральная задача
Lu = ХШи,
для которой изучены вопросы базисности собственных и присоединенных элементов в некоторых семидифинитных Гильбертовых пространствах.
Кроме того, в абстрактной постановке вырождающиеся уравнения псевдопараболического типа рассматривались в работе A. Favini, A. Yagi [62]. В этой работе в законченном виде был предложен метод редукции сингулярных уравнений типа Соболева к дифференциальному включению
— Є Аи
с многозначным линейным оператором
А : V -» 2\
Данный метод основан на хорошо разработанном методе многозначных линейных операторов и основной результат - это теоремы об однозначной разрешимости задачи Коши для линейных сишулярных уравнений типа Соболева.
Широкий спектр результатов для уравнений и систем уравнений, неразрешенных относительно старшей производной рассматривается в работе Г. В. Демиденко и С. В. Успенского [63]. В монографии изучаются некоторые аспекты задачи Коши и смешанных задач для дифференциальных уравнений и систем, не разрешенных относительно старшей производной. Устанавливаются условия разрешимости в весовых Соболевских пространствах, доказываются теоремы единственности, выводятся априорные tP — оценки решений. Изучаются асимптотические свойства решений некоторых задач гидродинамики.
Отметим также работу X. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса [26], где рассматриваются вопросы локальной разрешимости для уравнений псевдопараболического типа. В данной монографии центральное место занимает исследование операторных и онераторно-дифференциальных уравнений. Для псевдопараболических операторно-дифференциальных уравнений изучаются вопросы С и L2 - разрешимости. Рассматривается обоснование методов конечномерной апроксимации, в частности, метода Галеркина.
Исследованию исевдоиараболических включений с двойной нелинейностью посвящена работа U. Stefanelli [64]. Метод, используемый в данной работе является развитием метода многозначных линейных операторов предложенный в работе A. Favini, A. Yagi [62].
Псевдопараболические уравнения с монотонной нелинейностью рассматривались в работе R. Е. Showalter [65]. В данной работе в развернутом виде рассматривается классический метод монотонности в приложении к разнообразным классам уравнений математической физики и, в частности, к нелинейным уравнениям типа Соболева с монотонными нелинейностями.
Задачи оптимального управления линейных задач для уравнений псевдопараболического типа исследовались в работе С. PL Ляшко [66] (см. также библиографию к этой работе).
Вопросы разрушения решения за конечное время и существования глобального во времени ограниченного решения нелинейного уравнения Буссинеска с источником
щ — Аф(и) — Ащ + q(u) = О
исследовалось в работах А. И. Кожанова [67, 68]. В данных работах для доказательства
разрушения используется полученный в работе принцип сравнения решений первой краевой задачи для данного уравнения. В частности, в работе доказано, что имеет место разрушение положительного решения задачи, и получены результаты типа теорем существования-несуществования.
Наконец, в работе А. Л. Гладкова [69] исследован вопрос о единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения псевдопараболического типа:
щ = сАщ + (р(и)
в классе растущих функций <р(и), где и принадлежит некоторому классу корректности.
Доказательству принципа максимума для уравнений псевдопараболического типа посвящена работа Е. Di Benedetto и М. Pierre [70]. Исследованию псевдопараболических уравнений методами функций комплексного переменного посвящены работы Н. Begehr и D. Q. Dai [71, 72]. Отметим также, что исследованиям задач для квазилинейных уравнений типа Соболева посвящены работы С. Г. Пяткова [73] и С. Guowang и W. Shu-bin [74].
Перейдем к обзору результатов и методов доказательства теорем о несуществовании-несуществовании и разрушении решений, применимых для уравнений псевдопараболического типа. Здесь необходимо пояснить, что понимается под термином "разрушение решения". Под этим термином мы понимаем существование момента времени to < со, при котором происходит выход решения эволюционной задачи из класса гладкости, которому данное решение принадлежало на интервале (0,) (класса гладкости, для которого формулируется и доказывается теорема о локальной разрешимости). Забегая вперед, отметим, что во всех рассмотренных в диссертации задачах для нелинейных уравнений разрушение решения сопровождается обращением нормы последнего в бесконечность (в том пространстве, где мы ищем решение), однако такое поведения решения при і —> to вовсе не является обязательным в самом понятии "разрушение". В монографии М. О. Корпусова, А. Г. Свешникова, А. Б. Алыпина и Ю. Д. Плетнера [75] было показано, что явление разрушения решений псевдопараболических уравнений, описывающих нестационарные процессы в полупроводниковых средах, соответствует физическому процессу — пробою полупроводника.
Итак, прежде всего отметим классическую работу Фуджиты о несуществовании положительного решения для полулинейного уравнения параболического типа [76]. В данной работе, помимо доказательства разрушения, впервые был получен оптимальный результат типа теоремы существования-несуществования ограниченного решения, понимаемого в классическом смысле. В этой работе, используя известные свойства фундаментального решения оператора теплопроводности, автор вывел необходимые и достаточные условия разрушения положительного решения задачи Коши для
полулинейного параболического уравнения
— = Аи + и1+а at
В другой, также классической, работе Н. A. Levine [77] был предложен энергетический подход к исследованию вопроса о разрушении сильного и слабого обобщенного решений для достаточно больших начальных данных задачи. Эта работа посвящена исследованию глобальной во времени неразрешимости задачи Коши для операторно-дифференциального уравнения вида
А— + Lit = (и), и(0) = щ,
(ЛЬ
где существенно использовалось то, что операторы А и L - линейные, положительно определенные и самосопряженные, а оператор F(w) (вообще говоря, нелинейный) имеет симметричную производную Фреше.
В работе Н. Amann Н. и М. Fila [79] была предложена новая задача, для которой удалось получить оптимальный результат Фуджиты.
Широкий спектр результатов по исследованию неограниченных решений был получен в работе А. А. Самарского, В. А. Галактионова, С. П. Курдюмова и
A. П. Михайлова [80]. В данной монографии исследуются вопросы разрушения
решений квазилинейных параболических уравнений. Причем в ходе изучения
указанных вопросов используется самая разнообразная техника. Для одних задач
применяются признаки сравнения с помощью которых, а также верхних и нижних
решений доказываются теоремы существования-несуществования. Для других задач
применяется метод неограниченных коэффициентов Фурье. Получены достаточные
условия разрушения решений классов квазилинейных уравнений параболического
типа. Заметим, что методика развитая для доказательства разрушения решений
параболических уравнений может быть применена и при исследовании вопросов
разрушения для псевдопараболических уравнений. Отметим также работы В. А.
Галактионова [81] - [83].
Кроме того, интересные результаты по получению оценок сверху и снизу для скорости разрушения решения были достигнуты в работе J. D. Rossi [84].
Метод доказательства несуществования решения некоторых классов краевых задач, основанный на использовании принципа максимума развит в работах Ю. В. Егорова,
B. А. Кондратьева [85, 86].
Принципиально новый подход, называемый методом пробных функций, предложен в работах С. И. Похожаева и Э. Митидиери [87]. В этой работе в законченном виде был предложен общий метод исследования дифференциальных неравенств в частных производных эллиптического, параболического и гиперболического типов.
При этом оказалось, что с точки зрения доказательства разрушения нет никакой разницы в типе дифференциального неравенства в частных производных. Отметим, что по всей видимости разработанная методика может быть применена к исследованию псевдопараболических неравенств в неограниченных областях. Отметим также работы С. И. Похожаева [88, 89], в которых рассматрвались вопросы разрушения решений дифференциальных неравенств в частных производных, и работу Г. Г. Лаптева [90].
Вопросам разрушения решений уравнений псевдопараболического типа, помимо уже цитированных работ Н. A. Levine [77, 78] (а также [91] - [97]) и А. И. Кожанова [68], посвящены публикации [98] - [102] группы китайских математиков, в которых исследовались вопросы разрушения решений начальных и начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа с линейным эллиптическим оператором при производной во времени.
Вопросами разрешимости задач для уравнений с двойными нелинейностями посвящены работы [103] - [110]. Причем в работе [110] был рассмотрен случай нелинейного эллиптического оператора при производной во времени, в частности, такое дважды нелинейное уравнение
^- (div(|V«|p-2V«)) - Д(|Ди|'Ди) = 0.
Техника доказательства локальной разрешимости в слабом обобщенном смысле дважды нелинейных псевдопараболических уравнений, используемая в данной диссертации, близка к технике работы [110].
Наконец, значительный прогресс в исследовании вопросов разрешимости и разрушения решений нелинейных псевдопараболических уравнений, по мнению автора данной диссертации, был достигнут в работах М. О. Корпусова и А. Г. Свешникова [111] - [118] (см. также упомянутую монографию [75]). В указанных работах, помимо разнообразных результатов для конкретных уравнений, получены важные результаты общего характера. Именно, рассмотрены пять классов псевдопараболических уравнений: первый класс содержит сильно нелинейные уравнения псевдопараболического типа с источниками без диссипации, второй — сильно нелинейные уравнения с источниками и линейной диссипацией, третий — сильно нелинейные уравнения с источником и нелинейной диссипацией, четвертый — волновые сильно нелинейные уравнения с источником, пятый '— волновые диссипативные сильно нелинейные уравнения с источником. При этом все смешанные краевые задачи для данных сильно нелинейных уравнений сводятся к задачам Коши для дифференциальных уравнений с нелинейными операторными коэффициентами в банаховых пространствах. Для поставленных задач доказаны теоремы о локальной разрешимости в сильном обобщенном и слабом обобщенном смыслах, достаточных, а также необходимых и достаточных условиях разрушения обобщенных решений за
конечное время, получены оценки на время и скорость разрушения. Отметим, что техника доказательства несуществования глобальных во времени решений абстрактных задач в [111] - [118] является развитием энергетического метода Н. A. Levine. Подход Н. A. Levine обобщен в следующих направлениях: во-первых, рассмотрен случай нелинейного оператора А и оператора В более общего вида, чем в работах Н. A. Levine, и получены двусторонние оценки времени разрушения, во-вторых, в случае линейного оператора А получены оптимальные двусторонние оценки не только времени, но и скорости разрушения. В работе [75] показано, что к расмотренным классам относится весьма обширный круг модельных уравнений из физики полупроводников, магнитной гидродинамики, нелинейных гравитационных волн и т. п. Следует отметить, что техника доказательства локальной разрешимости и разрушения обобщенных решений (метод энергетических неравенств), примененная в настоящей работе, во многом сходна с техникой, развитой в работах [111] - [118] и [75]. Вместе с тем, нелинейные задачи, рассмотренные в настоящей работе, не сводятся ни к одной из пяти абстрактных задач Коши, изученных в указанных работах.
Перейдем к краткому описанию данной диссертационной работы.
Диссертация посвящена развитию методов доказательства разрешимости смешанных краевых задач для линейных и нелинейных псевдопараболических уравнений, проистекающих из конкретных задач физики полупроводпиков и гидродинамики, в классическом, сильном обобщенном, или слабом обобщенном смысле, и вопросам о разрушении обобщенных решений нелинейных уравнений за конечное время.
По результатам диссертации опубликовано 3 работы [119] - [121] (на момент подачи всех публикаций в печать автор носил фамилию Чубенко).
Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 86 страниц, включая список литературы, содержащий 135 работ.
В первой главе изучен вопрос о разрешимости в классическом смысле смешанных краевых задач для линейного псевдопараболического уравнения вида
—(Д« — и) — и = 0. ot
Данное уравнение проистекает из математической модели описания переходных
процессов в полупроводниковой среде без дисперсии в квазистационарном
приближении. Для указанного уравнения поставлены как внутренняя, так и
внешняя смешанные краевые задачи в трехмерном случае. Сначала, на основе метода
динамических потенциалов, доказана глобальная разрешимость задач в постановке
с нулевым начальным условием. Затем, с помощью построения и доказательства
некоторых свойств фундаментального решения, теорема о глобальной разрешимости
обобщена на случай ненулевого начального условия. Кроме того, доказана теорема о единственности классического решения поставленных задач.
Во второй главе рассмотрена смешанная краевая задача в ограниченной области для нелокального псевдопараболического уравнения пятого порядка с двойной нелинейностью:
^-(-Д2и + Аи + Ари) + Аи- ||Vu f2qAu = 0.
Такое уравнение возникает при рассмотрении полупроводниковой среды в рамках приближения нелинейной оптики, при учете сильной пространственной дисперсии и нелокальной зависимости тока проводимости от электрического поля. В работе рассматривается задача в JV-мерном пространстве. Доказаны теоремы о локальной разрешимости поставленной задачи в сильном обобщенном смысле и о необходимых и достаточных условиях разрушения сильного обобщенного решения. При этом доказательство локальной разрешимости опирается па сведение исходной задачи к некоторому абстрактному интегральному уравнению, для которого применим принцип сжимающих отображений. Исследование вопроса о разрушении решения проведено с помощью энергетического метода, развитого в неоднократно упомянутых работах Н. A. Levine, М. О. Корнусова и А. Г. Свешникова. Отметим, что получение необходимых и достаточных условий разрушения решения является относительно редким результатов в исследованиях нелинейных псевдопараболических уравнений. Помимо условий, при которых происходит разрушение сильного обобщенного решения, получена двусторонняя оценка на время разрушения.
Третья глава посвящена исследованию локальной разрешимости и разрушения решения смешанной краевой задачи в ограниченной области для системы нелинейных псевдопараболических уравнений пятого порядка. Указанная система уравнений описывает динамику жидкости Кельвина-Фойгта при наличии сильной пространственной дисперсии и источников с кубической нелинейностью, и допускает запись в векторной форме:
—(-Д2и + Au + V(V, и) - и) + Ди + V(V, и) + (и, V)u + -u(V, и) + |и|2и = 0.
В диссертации доказана теорема о локальной разрешимости в сильном обобщенном смысле в одно-, двух- и трехмерном случаях. При этом методика доказательства очень близка к использованной во второй главе, с соответствующим обобщением на случай векторных функций. Далее, в работе найдены достаточные условия разрушения сильного обобщенного решения за конечное время и получена двусторонняя оценка на время разрушения. Вывод условий разрушения опирается на метод энергетических неравенств, опять же обобщенный для применения к задачам относительно векторных функций.
В четвертой главе рассмотрена смешанная краевая задача в ограниченной области для дважды нелинейного псевдопараболического уравнения третьего порядка, возникающего при рассмотрении полупроводниковой среды с нелинейной зависимостью концентрации свободных носителей заряда и вектора поляризации среды от
электрического потенциала:
тгіАи -и- \u\q3u) + Аи + \и\Ч2и = 0.
Особенностью рассмотренной задачи является условие на границе области: задача поставлена не с традиционным (для большинства работ по разрушению решений) однородным граничным условием 1-го рода, а с нелинейным граничным условием вида
( + №«)|г-а
Вопросы локальной разрешимости и разрушения решения исследованы в iV-мерном случае для слабых обобщенных решений. Доказательство существования слабого обобщенного решения основано на методе Галёркина в сочетании с методом компактности, доказательство единственности — на некоторых вспомогательных неравенствах и лемме Гронуолла. Вывод условий разрушения слабого обобщенного решения заключается в применении метода энергетических неравенств для п-го галеркинского приближения с последующим предельным переходом при п —> со. Результаты сформулированы в виде теорем о существовании, единственности и достаточных условиях разрушения решения. Как и в предыдущих главах, получена двусторонняя оценка на время разрушения.
Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинарах ВМиК по нелинейным дифференциальным уравнениям под руководством И.А. Шишмарева, на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством А.Н. Боголюбова и на семинаре МИАН по нелинейному анализу для студентов и аспирантов под руководством В.А. Кондратьева и СИ. Похожаева.
В диссертации использована двойная нумерация ссылок на формулы, в соответствии с номером раздела внутри главы. В каждой главе нумерация формул начинается заново. Нумерация лемм и теорем — сквозная.
Подготовка диссертации к печати осуществлена при помощи издательской
системы ИГеХ.
Существование классического решения
Для доказательства разрешимости начально-краевых задач для уравнения (1.2) понадобятся некоторые свойства фундаментального решения и одного из сингулярных решений данного уравнения. Построим фундаментальное решение, пользуясь техникой преобразования Лапласа, а, именно, с помощью преобразования Лапласа по переменной t. Данное преобразование осуществляется по формуле Фундаментальное решение v(x,y,z,t) уравнения (1.2), по определению, должно удовлетворять равенству (в смысле обобщенных функций) Применим к обеим частям (2.4) преобразование Лапласа но переменной t. Учитывая, что 5(х, у, z, t) = 5(х, у, z) д(і), F[5] = 1 и F[du/dt] = pF[u], приходим к уравнению для v(x,y,z,p) = F[v]: в котором р является параметром. Уравнение (2.5) с точностью до постоянных коэффициентов совпадает с уравнением для фундаментального решения безволнового уравнения Гельмгольца. Фундаментальное решение безволнового уравнения Гельмгольца выглядит следующим образом: Следовательно, решение уравнения (2.5) можно представить в виде Функция v(x,y,z,t) выражается через v(x,y, z,p) с помощью формулы Меллина. Данная формула имеет вид Таким образом, применив формулу (2.9), приходим к интегральному представлению фундаментального решения исходного уравнения: Интеграл в формуле (2.10) не является табличным, поэтому исследование свойств функции v(r, t) будем проводить, исходя из выписанного представления. Построим сингулярное решение уравнения (1.2) — функцию w(x, у, z, t), удовлетворяющую в образах Лапласа уравнению Уравнение (2.11), как и уравнение (2.5), с точностью до постоянных коэффициентов совиадает с уравнением для фундаментального решения безволнового уравнения Гельмгольца. Применяя описанную выше технику, несложно прийти к интегральному виду для функции w(r, t): Интеграл в последней формуле также не является табличным. Введем вспомогательную функцию H(r,t): Свойства этой функции понадобятся нам в дальнейшем. Сформулируем и докажем вспомогательную лемму. Лемма 1.
Для функций v(r,t) и H(r,t) справедливы представления Доказательство. Докажем справедливость формулы (2.14). Для функции ех имеет место представление в виде ряда Тейлора: где ip(t) = F_1[( /p + І — y/p)/y/p\- Покажем, что функция ф{Ь) обладает указанной в формулировке леммы степенью гладкости. В самом деле, воспользовавшись техникой разложения в ряд Тейлора функции вида /(ж) = у/1 + х, будем иметь цепочку равенств где x(p) — 0(1/р4) при p —» oo, x(i) = F 1[x(p)]. Таким образом, достаточно показать, что %() обладает непрерывной производной. Согласно известному свойству преобразования Лапласа, "( ) = F Oil/p4)] = F-l[0{l/p2)]. Функция 0{1/р2) удовлетворяет условиям существования оригинала, определенного в каждой точке. Стало быть, у функции хСО в каждой точке существует вторая производная, следовательно, %() Є С ([0,+оо)). Справедливость формулы (2.16) доказывается аналогичным образом: (2.23) Подынтегральное выражение в данном интеграле удовлетворяет условиям леммы Жордана в верхней полуплоскости и имеет в этой полуплоскости одну особую точку — полюс 1-го порядка. Таким образом, интеграл (2.23) можно вычислить с помощью теории вычетов: eptdp і /i2+i Первая внутренняя начально-краевая задача для уравнения (1.2) в области D С М3, ограниченной поверхностью Ляпунова S с нулевыми начальными условиями имеет вид: u(P,t)=g(P,t), и(М, 0) = 0, (Ди - и) - и = О, М Є D, Є (О, Г), РЄ S, ІЄ[0,Г], MeD. (2.28) Определение. Классическим решением задачи (2.28) называется функция u(M,t) класса C ([0,T];C (Z))), удовлетворяющая уравнению (1.2) в цилиндре D х (0,Т) и непрерывно примыкающая к начальным и граничным условиям. Функцию д(Р, і) будем считать непрерывной по Р, непрерывно дифференцируемой по t и непрерывно примыкающей к нулевому начальному условию.
Задачи, родственные (2.28) подробно рассмотрены в [9] (например, для случая ионно-звуковых волн в незамагничепной плазме). Решение этой задачи будем искать в виде динамического потенциала двойного слоя [8]: где - - - производная по внутренней нормали к поверхности. Для дальнейших выкладок выражение (2.29) удобнее представить в виде Отметим, что первое слагаемое в правой части (2.30) представляет собой хорошо изученный потенциал двойного слоя для безволнового уравнения Гельмгольца. Имеют место следующие 2 леммы. Лемма 2. Скачок на границе S потенциала (2.30) совпадает со скачком потенциала двойного слоя для безволнового уравнения Гельмгольца [16]: Доказательство. Рассмотрим представление (2.16) для функции H(RMQ,t). Из указанного представления вытекает непрерывность функции Я(і?мд,і), поскольку [-0(t) ]n5()c([o,T]) Н ( )11с([о,т])ГП_1 следовательно ряд в правой части (2.16) сходится равномерно при і є [0, Г], г Є [0, Л], где R со. Равномерно сходящийся ряд непрерывных функций есть непрерывная функция. Далее, покажем, что вычисление производной по нормали к границе области функции H(RMQ,t) можно проводить под знаком суммирования в указанном представлении. Действительно,
Единственность классического решения
В предыдущем разделе было показано, что классические решения внутренней и внешней смешанных краевых задач для уравнения (1.2) существуют и нредставимы в виде суммы динамических потенциала двойного слоя и объемного потенциала. Докажем, что для поставленных задач имеет место единственность решения. Теорема 4. Внутренняя (внешняя) смешанная краевая задача (2.57) имеет не более одного классического (классического, регулярного на бесконечности) решения. Доказательство. Рассмотрим задачу (2.57). Пусть и и v№ являются её решениями, и w — и — и . Тогда w удовлетворяет следующей задаче: Задача (3.65) в классе гладкости C {[0,T];C {V)) допускает запись в эквивалентном виде: Формально, решение задачи (3.66) можно представить с помощью функции Грина G(M, Q) (функции влияния точечного источника) задачи
Дирихле для безволнового уравнения Гельмгольца с однородными граничными условиями: из которого следует оценка (в силу положительности функции G): Поскольку функция w(M, t) непрерывна по совокупности аргументов и регулярна на бесконечности (в случае внешней задачи), можно утверждать, что гу W со. Заметим, что функция G(M, Q) интегрируема по dQ как во внутренней, так и во внешней области V, причем Подставив (3.68) в правую часть формулы (3.67), получим неравенство \w\ W -. Подставив последнее неравенство вновь в (3.67), будем иметь \w\ -- Повторяя операцию п раз, придем к оценке где п - произвольное. Оценке (3.69) удовлетворяет только w = 0, что доказывает единственность решения задачи (2.57). Рассмотрим полупроводник при учете сильной пространственной дисперсии, в рамках приближения нелинейной оптики [75,127]. Кроме того, учтем нелокальную зависимость тока проводимости от поля. Исходная система уравнений в квазистационарном приближении имеет вид: В ограниченной поверхностно-связной области система уравнений (1.1), (1-2), (1.3) сводится (с точностью до постоянных коэффициентов) к следующему уравнению в безразмерных переменных: где и имеет смысл потенциала электрического поля. Поставим смешанную краевую задачу для уравнения (1.4) с однородными граничными условиями в виде Определение. Сильным обобщенным решением задачи (1.5) называется решение класса и Є C QO,Т);Ш2(0)), удовлетворяющее условиям где через (, ) обозначены скобки двойственности меоюду гильбертовыми пространствами Hg(fi) и Н 2(Г2). Теорема 5. Пусть либо N 2 , либо N 3 up 2iV/(iV - 2). Тогда Vu0 Є И(П)) найдется такое То = То(ио) О, что существует сильное обобщенное решение задачи (1.5) класса C QO,Т0);1Шд(О)), причем либо То = +оо, либо Т0 +оо и в последнем случае выполнено предельное равенство Доказательство. Введем обозначения Обозначим также через +2 норму гильбертова пространства Ho(f2), а через _2 — норму пространства Н_2(Г2). С учетом введенных обозначений задача (1.5) принимает вид Введем оператор Справедливо равенство: Далее, заметим, что для 2-х произвольных векторов v a. w в JV-мерном евклидовом пространстве имеет место неравенство В самом деле,
Таким образом, подынтегральное выражение в формуле (2.7) является неотрицательной величиной и, следовательно, Такой оператор Д согласно теореме Браудера и Минти [26], действует на всё пространство Ш 2(Г1). Поэтому, как легко видеть, существует липшиц-иеирерывный оператор А"1, обратный к Л, с постоянной Липшица, равной единице. Таким же образом можно показать, что и оператор А0: MQ(Q) — ЕГ 2(2) имеет липшиц-непрерывный обратный с той же постоянной. Перейдем к рассмотрению оператора Производная Фреше A p(u) этого оператора [1] имеет вид С помощью теории операторов Немыцкого [128] можно показать, что производная Фреше А р является сильно непрерывным и ограниченным отображением и(п) - {т2(п),т-2(П))} т. е. как только ип — и сильно в Hg(Q). Рассмотрим теперь оператор F(u). Справедливы следующие две оценки:
Необходимые и достаточные условия разрушения сильного обобщенного решения
Введем функции и Имеют место первое и второе энергетические равенства: (3.20) (3.21) Кроме того, справедливы равенство В силу (3.22) ,(3.23), (3.24) имеет место следующее неравенство: рФЗ - (Ф )2 0. Введем обозначение y(t) = V«()2 и докажем вспомогательную лемму. (3.25) Лемма 4. Если у(0) 1, то y (t) 0 УіЄ(0,Т0). Ясли у(0) 1, mo y (i) 0 Уіє(0,Т0). Доказательство. Из равенства (3.21) и определения функции J(t) следует, что Рассмотрим случай у(0) 1. Отметим, что в силу теоремы 5 имеет место y(t) Є ([0, То)). Функция y9(t) — 1 непрерывна и у9(0) — 1 0, следовательно 3t0 0 такое, что Vt Є (0, t0) справедливо y (t) 0 (см. неравенство (3.26)). Пусть t = sup{o}, где {to} — множество значений to таких, что y (f) 0 Vi Є (0, tQ). Очевидно, t 0. Допустим, что t То. В таком случае, с одной стороны, в силу непрерывности yq{t) — 1 и неравенства y(t) у(0) 1 существует такое 5 0, что yq(t) — 1 0 Vt Є [t, t + S), а, с другой стороны, согласно определению точной верхней грани, для любого 5 0 найдется t Є (t, t + 5): y (t) 0. Мы приходим к противоречию с неравенством (3.26), доказывающему утверждение леммы для у(0) 1. Доказательство для случая у(0) 1 проводится аналогично. Итак, рассмотрим случай ЦУиоЦг 1. В силу доказанной леммы и (3.20) будем иметь Ф () s$ 0 Vi Є (0, Т0). Из этого следует, что Т0 = +оо, т. к. в противном случае в силу (2.15) должно иметь место Ф(То — є) Ф(0), а это, в свою очередь, приводит к требованию: Зї Є (0,То - є): Ф (ї) 0. Перейдем к случаю Vuo2 1. Получим оценки снизу на время разрушения решения. Из первого энергетического равенства (3.20) имеем Из (3.27) и определения Ф(і) получаем где Сі — 2q+1. Применяя лемму Гронуолла-Белмана-Бихари [130], приходим к оценке сверху: из которой следует, что Можно получить и другую оценку снизу, используя неравенство [131] Обращаясь вновь к формуле (3.27) и определению Ф(), имеем неравенство где С2 = С2.94"2. Введем для удобства обозначение а = (2q + 2)/р. Согласно лемме Гронуолла-Белмана-Бихари, из (3.29) следуют оценки
Получим теперь оценку сверху на время разрушения решения. Для этого запишем второе энергетическое равенство (3.21) в виде Уравнение, рассматриваемое в настоящей главе, проистекаег из одной конкретной е-аппроксимации уравнений жидкостей Кельвина-Фойгта (уравнений жидкостей Кельвина-Фойгта со штрафом) [132, 133]. Уравнения жидкостей Кельвина-Фойгта выглядят следующим образом где v = v(x, t) вектор скорости, p p{x,t) — давление, и 0 — кинетический коэффициент вязкости, х 0 — время ретардации, характеризующее упругие свойства жидкости Кельвина-Фойгта, f = f (ж, t) — вектор объемных внешних сил. є-аппроксимация данных уравнений представляет собой псевдопараболическую квазилинейную систему вида в которой введены обозначения Будем предполагать, что внешние объемные силы отсутствуют. При этом рассмотрим случай, когда дополнительно имеет место сильная пространственная дисперсия, а также присутствуют источники с кубической нелинейностью. Эти два явления учитываются введением в уравнение (1.1) двух слагаемых (с некоторыми положительными коэффициентами) вида, соответственно, (A2vr)i и — vE2ve. Поскольку с учетом сильной пространственной дисперсии уравнение приобретает четвертый порядок по пространственным переменным, при постановке задачи в ограниченной области зададим одновременно однородные граничные условия 1-го и 2-го рода для каждой проекции скорости v. В качестве начального условия поставим условие Коши: vet=0 = v0. Таким образом, после перехода к безразмерным переменным, придем к следующей начально-краевой задаче относительно вектор-функции и = {щ,... ,и } с однородными граничными условиями: Под W(l) будем понимать декартово произведение W(ft) х B?(Q) х ... х W(Q) (n раз) гильбертовых пространств, а через (, -)р обозначать скобки двойственности между гильбертовыми пространствами 1щ(1) и M P(Q). Теорема 7.
Пусть N = 1, 2, 3. Тогда Vu0 Є И2,( )) найдется такое Го = Г0(ио) 0, что существует сильное обобщенное решение задачи (1.2) класса CW([0,To);Ho( )), причем либо,Т0 = +оо, либо Го +оо и в последнем случае выполнено предельное равенство Доказательство. Введем обозначения где через Lp(f2) обозначено декартово произведение LP(f2) х Lp(f2) х ... х Lp(f2) (п раз) лебеговых пространств. Обозначим также через +2 норму гильбертова пространства Н (Гі), а через _2 — норму пространства Ш 2(1). С учетом введенных обозначений задача (1.2) принимает вид 40u = G(u), u(0) = u0 є М20(П) (2.3) Для оператора -Ао справедливо равенство: (А0иг - A0U2, Ui - U2)2 = II Д«1г - Л 2гІ2 + lVul4 - Vw2il!l+ і г + divui — divu2i + ixi — ualli ui -u2+2. Такой оператор, согласно теореме Браудера и Мипти [26], действует на всё пространство Шґ2(0). Поэтому, как легко видеть, существует липшиц-непрерывный оператор А$1, обратный к Ао, с постоянной Липшица, равной единице. Рассмотрим теперь оператор G(u). Справедливо следующее неравенство: G(vi) - G(v2)_2 L(Vl) - L(v2)_2 + Q(Vl) - Q(v2)_2 + F(Vl) - F(v2)_2 (2.4) Оценим каждое слагаемое в правой части (2.4). Ниже для упрощения записей будем обозначать через С различные константы. Очевидно (в силу теорем вложения Соболева), Пусть vi Ф 0, v2 ф 0. Тогда справедлива цепочка неравенств Следовательно, для подынтегрального выражения в (2.14) имеет место следующая оценка: очевидная в случае, когда либо vi = 0, либо v2 = 0. Из (2.15) и неравенства max-dvil2,
Разрушение сильного обобщенного решения за конечный промежуток времени
Введем функции AWi + X;iV i + divui + u? (3.24) $( ) = 2 U,U 2-2 и ли = (Ли 2 = J2 иДи и2+Е nv iii + її divu ii2 + Hu ii Имеют место первое и второе энергетические равенства: d dt Ф(і) = (F(u), u)2 - (Lu, u ! = u« - div u2 - Vu M, (3.25) Щ = (F(u),u )2 - (Lu,u )i - Q(u),u }i dt irt- divu - EllV ll (3.26) вложения пространства И2(Г2) в W1,4(fi). Заметим также, что (F(u), u) /4 С2(А0и, и)У\ (3.34) где Сг - константа наилучшего вложения пространства Ш2(С1) в L4(i7). Подставив (3.32) и (3.33) в (3.31), с учетом (3.34), придем к оценке: „ \1/2 (Q(u),u i к(А0и,и)2{Аои ,и )Г -к (Ли ,и )2 + А0и,и)! (3.35) Из первого энергетического равенства (3.25) вытекает: (F(u), u )2 = \Ф"(І) + \{Lu, и )ь (3.36) Подставляя (3.36) в (3.26) и применяя оценки (3.30) и (3.35), придем к следующему неравенству: j \Ф» + f j + ±Ф + j + ф2, (3.37) 4 4 2е0 4 є0 которое, с учетом (3.27), сводится к обыкновенному дифференциальному неравенству ФФ" - а(Ф )2 + РФ2 + 7Ф3 0, (3.38) в котором введены обозначения а = 2(1 — о/2), Р = 2/о 7 — 4/с2/є0. Выберем о так, чтобы а 1 (очевидно, это всегда можно сделать) и введем функцию Z(t) — Ф1_а. Для этой функции будет выполняться неравенство Z" - fiZ - vZs 0, s = 2-а 1-а (3.39) где /І = /3(а—1) 0, v = 7(а—1) 0. Пусть а 3/2 (это всегда может быть достигнуто). Тогда — 1 s 1. Теперь покажем, что при определенных условиях Z (t) О V 0. В самом деле, поскольку J(i) 0, то из (3.26) вытекает, что при условии \\Ы\1 - ±\\ divuolli - Е Н МоІїЗ 0 (3.40) г имеет место \\Mi- [divU[l- ±Vti 0 V 0. г Тогда из (3.25) следует Ф () 0 Vi 0, что дает Z {t) 0 Vt 0.
Таким образом, при выполнении условия (3.40) из (3.39) получим: Z"Z - nZZ - vZsZ 0 Интегрируя последнее неравенство, будем иметь: {Z f - nZ2 - -?—Z3+1 А, (3.41) где A = {Z Qf - ixZl - Zs0+1 = Ф0-2«[(1 - а)2(Ф 0)2 - //Ф2 - Ф]. Если функция щ(х) такова, что выполнено условие (1 - а)2(Ф 0)2 - дФ2 - -Ф 0. (3.42) то А 0, и из (3.41) будем иметь Z — \/Д откуда следует: Z{t) Z0- у/М. Таким образом приходим к выводу, что при указанных условиях (3.40) и (3.42) сильное обобщенное решение задачи (1.2) разрушается за время, не превосходящее Ті = Ф _а/л/А. Подберем такое ео, чтобы класс функций щ(х), удовлетворяющих (3.42), был максимально широким. Такая задача сводится к нахождению точки минимума функции f -rh+ hry е -5 - к=4кЧ (3 43) где z = ео/4. Элементарными средствами математического анализа последняя задача, в свою очередь, сводится к поиску корня уравнения 3-й степени: yz-39y2 + 9 = 0, у Є (-1,0), (3.44) в котором 9 = К/(А + 2К) є (0,1/2), ay = 8z - 1. Корень уравнения (3.44) можно найти точно, воспользовавшись формулами Кардано, однако для наших целей достаточно выписать приближенное решение, найденное с помощью одной итерации метода Ньютона при начальном приближении уо = —1/\/3: 6\/30 + 2 У 180 + Зл/з Далее, выражая є0 через z, a, z — через у, приходим к окончательному выражению для єо: 12«2Ф0 + 3 /3-2 Є (36 + Г2х/3 2Ф0 + 6\/з [ Получим теперь оценку снизу на время разрушения решения. Из первого энергетического неравенства получим: t Ф{і) Ф0 + J\\u{s)\\ids. (3.46) о Поскольку u(s)4 Сі 51X11 Д«іИг)2» т0 из (3-46) вытекает следующее неравенство: t Ф(і) Ф0 + [С2Ф2(8)0І8 О Применяя лемму Гронуолла-Белмана-Бихари, получаем оценку сверху на Ф(): ( ) Фо1- из которой следует, что решение разрушается не раньше, чем через Гг = (Фо г) Результаты, полученные в этом разделе, можно сформулировать в виде теоремы. Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 7. Тогда, если функция ио(ж) удовлетворяет условиям (3.40) и 2 2Ф2 8к2Ф30 ео(і-єо) е0(1-2Єо) где Фо = Ф(0) и Ф0 = Ф (0) выражаются через Uo по формулам (3.24) и (3.25), а Єо определяется согласно (3.45), то сильное обобщенное решение задачи (1.2) разрушается за конечное время Го, причем имеет место двусторонняя оценка Т2 Г0 Гі, где Г2 = (ФоСз)"1, а т== Фо Лфм2 _ 2Ф5- _ _8 _y1/2 1 1-єо V J eo(l-eo) єо(1-2є0). Глава 4 Разрушение решения смешанной задачи для обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным граничным условием 4.1 Постановка задачи Рассмотрим однородный изотропный полупроводник в ограниченной области с достаточно гладкой границей в рамках приближения нелинейной оптики. Пусть зависимости концентрации свободных зарядов и вектора поляризации среды от электрического потенциала являются нелинейными. Исходная система уравнений, описывающая диссипативные процессы в таком полупроводнике, в квазистационарном приближении имеет вид: div D = -4тгеп, rot Е = О, D = Е + 4тгР, div Р = \3 р + A4M9:V \ % = dxvJ + \2\ip\ (p, J = tfE, E = -Vp где Е и D - векторы напряженности и индукции электрического поля соответственно, J - плотность тока свободных зарядов, Р - вектор поляризации среды, ц -электрический потенциал. Кроме того, поставим на границе полупроводника нелинейное граничное условие вида (E n) = A1M«1V (1.2) п [75, 134]. Выберем в НХ(Г2) некоторую систему функций {w,-}, образующую базис в данном пространстве. Такая система заведомо существует, поскольку H1(fi) - сепарабельное пространство. Будем искать приближенное решение задачи (2.5) в виде m Um(x,t) = y Cmk(t)Uk{x), где коэффициенты Cmk(t) ищутся из условий N I dttp(t) I dx I 2(u mx.u;jxi + umx.ujx.) + U UJJ + {q3 + 1)\ит\9зи т - \u\q2umWj J + o n Vi=i / T + f dtv{t) I ds{\um\»um + {qi + l)\um\ u m)Uj = 0 о г V / (i)eL2(0,T), Vj=T , (2.6) m Щт = Um{x,0) = y Cmk LJk - Щ В И1 ). fc=l Условия (2.6) вытекают из (2.5), если в качестве функции Т](х) взять u j(x). Отметим сразу, что все дальнейшие рассуждения проводятся для случая «оІ2 ф О (здесь и далее обозначение [і, V6) + Є2 + (д3 + 1)\ит\дзв2] + (qi + 1) у ds\um\ e2, kj=\,l о г т ГДЄ в = У рШр. р=1 Данная квадратичная форма, очевидно, певырождена. Значит, имеет место det Ат О, откуда следует обратимость матрицы Ат. Систему уравнений (2.8) можно преобразовать к виду ст\Ч = An fmiCmJi где правая часть равенства непрерывна в Т . Общие результаты о нелинейных системах дифференциальных уравнений [135] гарантируют существование решения класса C ([0,tm]) задачи Коши для данной системы на отрезке [0, tm]. При этом, с помощью стандартного метода продолжения решения легко показать, что для каждого m 3Tm = supiOT такое, что решение указанного класса гладкости существует на интервале [0, Тт), причем либо Тт — оо, либо с () = (с Cm)1/2 — со при t Т Тт. Перейдем к выводу некоторых априорных оценок, необходимых для дальнейшего. Введем [75] следующие функции: Ф( ) = liv«2 + \\\um\\l + f lMKa +1 / kk.l,l+a (2-9) и J«( ) = IIVtCHS + ІКІІ2 + ( + 1) У &К.Г К.)2 + ( + I) ] ds\um\ {u mf (2.10) n г Умножая обе части равенства (2.7) на с„у, затем на c mj, с последующим суммированием по индексу j — l,m, получим, сответственно, т. и. первое и второе энергетические равенства для приближенного решения um(x,t): Jt m(t) = HUmllSS - HVtlJIJj -Jds\umr+2, (2.11) г Из равенства (2.11) следует оценка t m(t) Фт(0) + J dT\\um\\qqlXl О Будем полагать, что либо N 2, либо qi 4/(iV —2). Тогда [134] имеет место вложение Н1(0) - L?2+2(f2), следовательно, справедливо неравенство ит?2+2 C«m+i, где под обозначением .+і понимается норма элемента в пространстве №(0): и)+1 = (ЦиЩ + HVitll!)1/2. Тогда (здесь и далее, для упрощения записей, через С будем обозначать различные константы) t Фт(і) Фт(0) + С J ТФ+2 /2. (2.13)
Применив лемму Гронуолла-Белмана-Вихари [130], получим оценку сверху на Фт( ): фт(і) - - -, Фт0 = Фт(0). (2.14) (фт0-92/2-с ) 2/й Потребуем выполнения условия: либо N 2, либо qj 2/(N — 2). В этом случае [134] для любой функции w Є Н1 ) определен её след на границе области jow Є Ь?1+2(Г), причем оператор 7о Є (H1(fi);Lgi+2(r)). Кроме того, будем предполагать, что з 4/(ЛГ-2), еслиЛГ З. В силу поставленных выше условий на q\ и д3, из ит0 — «о в Н1(П) следует Фт0 С. Следовательно, из (2.14) можно сделать вывод, что ЭТо = Т0(щ, gls 2,3) 0 такое, что Фт( ) С, ІЄ[0,Т], VT r0) (2.15) где постоянная С не зависит от индекса т. Интегрируя обе части равенства (2.12) по временной неременной, несложно прийти к оценке t Jdr3m iVum0\\l + -1 Jds\um0\ + -L )\um\\HXl (2.16) о . г Применяя полученную оценку на функцию Фт( ), получаем t / t dTJm С, о где постоянная С не зависит от индекса т. Обращаясь к явным выражениям (2.9) и (2.10) для функций Фт и Jm, имеем: ит ограничено в L((0,Г);Н1 )), (2.17)
