Содержание к диссертации
Введение
1- Уравнение sin-Гордона и псевдосферические поверхности -, 6
1.1 Уравнение sin-Гордона 6
1.1.1 Задача Гурса для уравнения sin-Гордона 6
1.1.2 Задача Коши для уравнения sin-Гордона 7
1.1.3 Метод разделения перемешгых 11
1.1.4 Метод малого параметра 12
1.1.5 Автомодельные решения 13
1.1.6 Преобразование Бэклунда 15
1.1.7 Копечнозониые решения 17
1.2 Псевдосферические поверхности 18
1.2.1 Основные уравнения теории поверхностей 19
1.2-2 Асимптотические координаты 21
1.2.3 Линии кривизны. Поверхности Иоахимсталя 28
1.2.4 Геометрическое преобразование Бэклунда 34
1.2.5 Классические псевдосферические поверхности 37
2. Асимптотика решений уравнений второго порядка 41
2-1 Асимптотика осциллирующих решений 41
2.1.1 Постановка задачи 41
2.1.2 Построение приближенного решения 43
2.1.3 Метод вариации постоянных 45
2.1.4 Метод последовательных приближений 46
2.1.5 Асимптотические разложения 49
2.1.6 Асимптотическая устойчивость в общем случае 50
2.1.7 Отучай автономной правой части 54
2.1.8 Асимптотика решения и его производной 58
2.1-9 Осциллируемость решений 60
2.2 Асимптотика решений в окрестности особой точки... 62
2.2.1 Постановка задачи 62
2.2.2 Построение приближенного решения 62
2.2.3 Метод вариации постоянных 63
2.2.4 Метод последовательных приближений 63
2.3 Приложение к автомодельному уравнению sin-Гордона. 66
2.3.1 Асимптотическое разложение на бесконечности . 66
2.3.2 Асимптотическое разложение в нуле 68
3, Поверхность Амслера т 70
3.1 Поверхность Амслера. Введение 70
3-11 Постановка задачи 70
3.1.2 Псевдосферическая поверхность, содержащая две прямолинейные образующие 71
3.1.3 Обзор используемых асимптотических методов» . 73
3.2 Асимптотические линии поверхности Амслера 74
3.2.1 Система уравнений Френе 74
3,2,2 Основной триедр Б нуле 75
3.23 Основной триедр на бесконечности 78
3.2.4 Построение регулярной поверхности в окрестности прямолинейной образующей 80
3.3 Ребра поверхности Амслера 82
3.3.1 Система уравнений Френе 82
3.3.2 Основной триедр на бесконечности 84
3.3.3 Степенной ряд для основного триедра 86
3-3,4 Сводка асимптотических разложений для ребра. 88
3.4 Радиус-вектор поверхности Амслера 91
3.4.1 Уравнение для радиус-вектора 92
3.4.2 Формулы Римана 94
3.4.3 Метод разделения переменных 97
3.4.4 Асимптотическое разложение решения 98
3.4.5 Построение поверхности в окрестности ребра. , 101
4. Двухсолитонные решения и их интерпретация 103
4.1 Двухсолитонные решения. Введение 103
4.1.1 Двухсолитонные решения 103
4.1.2 Двухсолитонные поверхности 104
4.1.3 Двухсолитонные поверхности Иоахимсталя 106
4.2 Классификация двухсолитонных поверхностей 108
4.2.1 Радиус-вектор ребра. Геодезическая кривизна и кручение 108
4.2.2 Анализ знаков кривизны и кручения 111
4.2.3 Иллюстрации 114
Приложение 115
- Задача Коши для уравнения sin-Гордона
- Асимптотическая устойчивость в общем случае
- Асимптотическое разложение на бесконечности
- Построение регулярной поверхности в окрестности прямолинейной образующей
Введение к работе
Работа посвящена исследованию некоторых классических решении уравнения sin-Гордона и связанных с ними поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Развитие данной тематики связано с фундаментальными исследованиями в геометрической школе Н.В. Ефимова и Э.Г. Позняка. Было получено большое количество содержательных результатов по проблеме изометрических погружений метрик отрицательной кривизны в Е3: [14,15, 29, 47, 48], по вопросам, связанным с интерпретацией решений уравнения sin-Гордона как сетевого угла асимптотической сети на поверхности постоянной отрицательной кривизны: [28, 30, 31], а также по более общей проблеме построения метрик постоянной отрицательной кривизны, связанных с различными нелинейными уравнениями математической физики: [17, 32].
В диссертации исследовано автомодельное решение, зависящее от произведения переменных, и показано как можно приближенно построить соответствующую псевдосферическую поверхность Амсле-ра в окрестности отрезка ее ребра возврата, С этой цели получено и исследовано линейное уравнение гиперболического типа для радиус-вектора поверхности. Исследован и другие способы построения поверхности Амслера — по асимптотическим линиям в окрестности прямолинейной образующей. Исследованы и классифицированы поверхности, соответствующие двухсолитонным решениям уравнения sin-Гордона. Найдено точное выражение для их радиус-вектора. Доказана теорема о локальной однозначной определенности фрагмента псевдосферической поверхности по фрагменту ее ребра. Основные результаты диссертации отражены в опубликованных работах [20,21,22,23].
Б геометрии уравнение sin-Гордона связано с существованием на поверхностях в Е3 специальных сетей, называемых чебышевскими. Эти сети характеризуются тем условием, что в каждом сетевом четырехугольнике противоположные стороны равны. Чебышевскую сеть образуют, например, нити куска ткани, натянутой на поверхность [45]. Пусть линии чебышевской сети взяты за координатные так, что координаты и и v являются их естественными параметрами (такие координаты будем называть чебышевскими) — в этом случае первая
квадратичная форма поверхности принимает вид
Q{u,v) = du2 + 2 cos z(u, v)dudv + dv2,
где z(utv) — угол, под которым пересекаются линии чебышевской сети в точке (и, v). Пусть гауссова кривизна поверхности в этих координатах равна К(и, v). ПЛ. Чебышев показал, что угол z{u, v) удовлетворяет уравнению Чебышева
znv = —K[utv)smz. (1)
На псевдосферической поверхности {К ^ — 1) чебышевскую сеть образуют асимптотические линии. Чтобы подчеркнуть выбор в качестве координат (и, v) естественных параметров этих линий, а также то, что в качестве чебышевской сети взята именно сеть асимптотических, будем называть координаты (и, и) асимптотическими чебыгаев-скими координатами. Обратим внимание на то, что при этом фиксируется определенный вид обеих квадратичных форм поверхности. Сетевой угол z(u, v) в этом случае должен удовлетворять уравнению sin-Гордона
Zuv = S1I12. (2)
Псевдосферическая поверхность имеет метрику кривизны К = —1, поэтому эту поверхность можно рассматривать как изометрическое погружение фрагмента плоскости Лобачевского Л2 в Е3. При этом подразумевается, что отображение г, переводящее каждую точку (u7v) некоторой области 14 С R2 в точку поверхности, трижды непрерывно дифференцируемо {регулярность погружения) и обладает тем свойством, что векторы ги/ г„ линейно независимы, т.е.
= sin2 z ф О
всюду в области U,
Б следующей фундаментальной теореме [5] фактически утверждается невозможность регулярного изометрического погружения всей плоскости Лобачевского Л2 в Е3.
Теорема 1 (Теорема Д- Гильберта).
В трехмерном евклидовом пространстве Е3 не существует полной регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Доказательство теоремы [5,34] опирается на следующее утверждение об уравнении sin-Гордона, также принадлежащее Гильберту.
Лемма 1. Любое гладкое решение уравнения sin-Гордона достигает значений, кратных тг.
Псевдосферическая поверхность с заданным сетевым углом асимптотической чебышевской сети может быть "склеена" из своих асимптотических линий, ЭТ. Позняк доказал в [28] следующую теорему.
Теорема 2 (Теорема ЭТ- Позняка).
Пусть функция z(u,v) Є C*(R2) - решение уравнения sin-Гордона: Тогда существует такая, заданная на всей плоскости (и, v), вектор-функция т(и, v) , что график этой функции & любой области, где г(и, v) ф тт, представляет собой поверхность постоянной отрицательной кривизны К = —1, При этом координатная сеть (utv) на указанной поверхности является сетью асимптотических линий, a z[u, v) - сетевой угол. Значениям z^-кп соответствуют особенности (ребра, острия) поверхности.
Имеется большое количество работ по геометрии псевдосферических поверхностей. Из "классики" начала ХХ-го века, отметим обзор Е.Кодцингтона (1905) [65], посвященный изложению результатов, полученных в геометрии псевдосферических поверхностей с 1827 по 1887 год. Также необходимо упомянуть известный четырехтомный трактат Г.Дарбу "Лекции по общей теории поверхностей" [66] и учебник ЛБьянки "Лекции по дифференциальной геометрии" [58]. Б последние десятилетия ощущается новый всплеск интереса к классической геометрии поверхностей, вызванный глубокими взаимосвязями, обнаруженными между солитонными уравнениями математической физики и некоторыми типами поверхностей (поверхностями постоянной кривизны, поверхностями Вейнгартена и другими). Среди новых работ отметим работы А.И,Бобенко [59, 60], Ю.А.Аминова [53,54], АЛІКаллини и Т,А.Ивея [62, 63], ЯЛКислинского [64],
Перечислим некоторые физические явления, описываемые уравнением sin-Гордона: эффект самоиндуцированной прозрачности в двухуровневой среде [8], динамика блоховских стенок в ферромагнитных кристаллах [8,44], процессы в джозефсоновском контакте [8], возмущенные состояния элементарных частиц [75]-
Поскольку в физической интерпретации в переменных и или v обычно участвует время, то для физических явлений, описываемых уравнением sin-Гордона, псевдосферическая поверхность является аналогом фазовой плоскости [35], на которой реальный физический процесс изображается как кривая.
І.І Уряіїшние $іп-Гардо№.
Задача Коши для уравнения sin-Гордона
На псевдосферической поверхности {К — 1) чебышевскую сеть образуют асимптотические линии. Чтобы подчеркнуть выбор в качестве координат (и, v) естественных параметров этих линий, а также то, что в качестве чебышевской сети взята именно сеть асимптотических, будем называть координаты (и, и) асимптотическими чебыгаев-скими координатами. Обратим внимание на то, что при этом фиксируется определенный вид обеих квадратичных форм поверхности. Сетевой угол z(u, v) в этом случае должен удовлетворять уравнению sin-Гордона Псевдосферическая поверхность имеет метрику кривизны К = —1, поэтому эту поверхность можно рассматривать как изометрическое погружение фрагмента плоскости Лобачевского Л2 в Е3. При этом подразумевается, что отображение г, переводящее каждую точку (u7v) некоторой области 14 С R2 в точку поверхности, трижды непрерывно дифференцируемо {регулярность погружения) и обладает тем свойством, что векторы ги/ г„ линейно независимы, т.е. = sin2 z ф О всюду в области U, Б следующей фундаментальной теореме [5] фактически утверждается невозможность регулярного изометрического погружения всей плоскости Лобачевского Л2 в Е3. Теорема 1 (Теорема Д- Гильберта). В трехмерном евклидовом пространстве Е3 не существует полной регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны. Доказательство теоремы [5,34] опирается на следующее утверждение об уравнении sin-Гордона, также принадлежащее Гильберту. Лемма 1. Любое гладкое решение уравнения sin-Гордона достигает значений, кратных тг. Псевдосферическая поверхность с заданным сетевым углом асимптотической чебышевской сети может быть "склеена" из своих асимптотических линий, ЭТ. Позняк доказал в [28] следующую теорему. Теорема 2 (Теорема ЭТ- Позняка). Пусть функция z(u,v) Є C (R2) - решение уравнения sin-Гордона: Тогда существует такая, заданная на всей плоскости (и, v), вектор-функция т(и, v) , что график этой функции & любой области, где г(и, v) ф тт, представляет собой поверхность постоянной отрицательной кривизны К = —1, При этом координатная сеть (utv) на указанной поверхности является сетью асимптотических линий, a z[u, v) - сетевой угол. Значениям z -кп соответствуют особенности (ребра, острия) поверхности. Имеется большое количество работ по геометрии псевдосферических поверхностей.
Из "классики" начала ХХ-го века, отметим обзор Е.Кодцингтона (1905) [65], посвященный изложению результатов, полученных в геометрии псевдосферических поверхностей с 1827 по 1887 год. Также необходимо упомянуть известный четырехтомный трактат Г.Дарбу "Лекции по общей теории поверхностей" [66] и учебник ЛБьянки "Лекции по дифференциальной геометрии" [58]. Б последние десятилетия ощущается новый всплеск интереса к классической геометрии поверхностей, вызванный глубокими взаимосвязями, обнаруженными между солитонными уравнениями математической физики и некоторыми типами поверхностей (поверхностями постоянной кривизны, поверхностями Вейнгартена и другими). Среди новых работ отметим работы А.И,Бобенко [59, 60], Ю.А.Аминова [53,54], АЛІКаллини и Т,А.Ивея [62, 63], ЯЛКислинского [64], Перечислим некоторые физические явления, описываемые уравнением sin-Гордона: эффект самоиндуцированной прозрачности в двухуровневой среде [8], динамика блоховских стенок в ферромагнитных кристаллах [8,44], процессы в джозефсоновском контакте [8], возмущенные состояния элементарных частиц [75] Поскольку в физической интерпретации в переменных и или v обычно участвует время, то для физических явлений, описываемых уравнением sin-Гордона, псевдосферическая поверхность является аналогом фазовой плоскости [35], на которой реальный физический процесс изображается как кривая. І.І Уряіїшние $іп-Гардо№. Б этом параграфе описана постановка задач Гурса и Коши. Изложен метод разделения переменных, позволяющий получить некоторые частные решения уравнения sin-Гордона. Изложен метод малого параметра для уравнения sin-Гордона. Далее описаны автомодельные решения типа бегущих волн. Затем приведены формулы преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона/ формула суперпозиции Бьянки и ее обобщение; определены солитонные решения и проведена их классификация. Приведено тождество для тета-фупкций Римана, из которого получаются все конечнозонные решения уравнения sin-Гордона. Сформулируем для уравнения sin-Гордона (2) задачу Гурса: с условием Ф(УО) — Ф{Щ) , где ф(у), if{u) — заданные функции, определенные при v о и и щ соответственно. Не ограничивая общности можно провести замену и — щ — и, v — 1 — v и считать ио — 0, vo — 0. Б этих предположениях справедлива следующая теорема JL Бьянки [58] о существовании и единственности решения (СЕР) задачи Гурса. Теорема 3 (Теорема СЕР для задачи Гурса), Если функции tp() є Q OiUi], ф(т}) є C"[0,ui], n 2, mo существует единственное региєние z(u}v) Є С7:([0,я і] х [0 i]) задачи Гурса (3). Это решение может быть найдено как предел равномерно сходящейся
Асимптотическая устойчивость в общем случае
Напомним, что в определяется формулой (56): сказанное выше оформим как теорему. Теорема 9 (об асимптотическом поведении при т — +оо). Сугцествуют решения уравнения (54), представимые при г — Н-оо в виде (72), (73), где С\, С% — произвольные постоянные, а в определяется формулой (56). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, уравнение (54) эквивалентно системе интегральных уравнений (61) в следующем смысле. Если х(т) — решение уравнения (54), то функции С\(т), С?{т), определенные локально системой уравнений (59), удовлетворяют интегральным уравнениям (61). Если С\(т), Сг(т) — решение системы (61), то функция х(т), составленная по первой формуле в (59), удовлетворяет уравнению (54). Далее доказывается существование решения Сі(т), С2(т) системы (61), стремящегося к константе Ci, 72 на +оо, Решение системы (61) строится в виде сходящегося асимптотического ряда (66) и частичная сумма этого ряда (70), (71) представляет собой асимптотику для Сі(т), Ог(т) при г — +со. Подставляя эти выражения в (59), получаем искомую асимптотику (72), (73) для х{т) и х(т). ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА, 2.1 6 Асимптотическая устойчивость в общем случае. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (54) Нашей ближайшей целью является применение второго метода Ляпунова для доказательства следующего утверждения-Решения задачи Коши. (74) с достаточно малыми по абсолютной величине начальными данными равны 0(т 1№+ ) на +оо при любом а 0. Для всех таких решений справедлива асимптотика (72), (73). Доказательство этого утверждения заканчивается в пункте 2.1.8. Начнем с построения функции Ляпунова для задачи Коши (74), Обозначим для удобства f 8F о Проверим,, что функция V{x, х, г) - х2 + 2-yr xx + 2F(xtт), (75) ще 7 — положительный параметр, удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости в области при подходящих значениях г и h, которые выбираем так, чтобы они удовлетворяли требованиям (78), сформулированным ниже. Проверим выполнение первого условия теоремы Ляпунова об устойчивости для функции V(x1 х, т): где постоя! шая v\ определяется как Теперь проверим второе условие, что полная производная по т от V(ar, х, г) отрицательна- Имеем где в первой квадратной скобке записано -г—, во второй — -г—, а в третьей — — - Подставляем в полученное выражение вторую про изводную х из уравнения (74) и оцениваем — сверху: % 2.1
Асимптотика осцыллирукги их решений. где постоянная и определяется как Перечислим условия, налагаемые на 7/ Л и г: 0 7 Здесь первое и третье неравенство обеспечивают выполнение первого условия теоремы Ляпунова об устойчивости а остальные — выполнение второго условия. Итак, функция Ляпунова определена выражением (75). Поэтому из первой теоремы Ляпунова следует устойчивость тривиального решения уравнения (54), т.е. по заданному h h можно указать такое є hf что если [Z(TQ)H є то я(т)Ц h при всех т TQ (если, конечно, то f). Теперь найдем зависимость є от h . Для этого оцепим сверху значения функции Ляпунова при т = TQ : где постоянная v$ определяется выражением (78). Далее заметим, что если \\х\\ с, то W(x,x) W(c,c). Затем найдем \\х(т)\\ h при г Є [то, ті), но я(ті) = Л. Тогда приводит к противоречию следующая цепочка неравенств: если определить є как и взять ж(г0) є, то будет х(т0} є для некоторого є и по доказанному x(r) h для всех г т0 f, где h k определяется через є по формуле (79). Таким образом доказано, что если начальные данные удовлетворяют неравенству max(p,g) є, то решение задачи Коши (74) удовлетворяет условию я(т) h при некотором h h. Установим более сильный результат. Покажем, что решение х{т)г будучи, по доказанному, ограниченным ж(т} h при всех т 5 г0/ на самом деле стремится к нулю \}х(т) [ — 0 при т — +оо. Возьмем достаточно большое т\ TQ и заметим, что при всех т т\ где Wi(x,x) — положительно определенная функция, если выполнено неравенство Выполнения этого неравенства добьемся выбором достаточно большого ті - Рассмотрим произвольное решение я(т), удовлетворяющее неравенству j#(r) h при всех т т$. Рассмотрим монотонно убывающую положительную функцию Очевидно, условие у(т) — 0 равносильно условию х(т) — 0. Докажем от противного, что v(r) -+ (К Пусть V(T) — а 0, тогда должно быть д:(т) Ь 0 при всех г 7. Обозначим 2,1 Асимптотика осциллирующих решений. тогда
Асимптотическое разложение на бесконечности
Содержание этого параграфа составляет приложение полученных в параграфах 2.1, 2.2 результатов к автомодельному уравнению sin-Гордона рассматриваемому, если не оговорено иное, на полупрямой (0, --оо). 2-3,1 Асимптотическое разложение на бесконечности. Б случае уравнения sin-Гордона асимптотические разложения (72), (73) принимают вид: Щ Применим теорию, изложенную Б пункте 2,1 П к уравнению которое получается из (104) заменой z — тг + г. Имеем z siaz 0 при \z\ тг, поэтому h = тг. Функция V(2,i) имеет вид: Максимальное по модулю значение я на линии уровня будет при і — 0, т.е. определяется равенством 2(1 — cosz) — у. Поскольку г должен не превосходить тг, то и 4. Поэтому F = 4. Теорема об асимптотическом поведении решений задачи (104) формулируется следующим образом. Теорема 14 (об асимптотике на бесконечности). Пусть 7 0, z(r) — решение задачи Коши (104) и а \р - (2т + 1)тг тг при подходящем целом т. Тогда z(r) - (2т + 1)?г равт 0(г_1 2+сг) ш +оо и, следовательно, разность z(r) - 2mir обладает асимптотическим поведением (105), (106), - Если z(r) — решение начальной задачи для уравнения (107) и V(z{r\)),z(ro)) 4, то утверждение теоремы следует из теоремы 11. Если теперь заменить z на z — тг, то новое z(r) является решением уравнения в (104). Осталось заметить, что замена 2 — z + 2тя приводит снова к решению уравнения из (104). ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА. Тому же утверждению можно придать другой вид. Теорема 15 (об асимптотике на бесконечности) Любое решение задачи Коши (104), lie являющееся монотонным, обладает асимптотическим поведением (105), (106) с точностью до слагаемого 2ттгг где m определяется из предыдущей теоремы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЕСЛИ решение z(r) задачи Коши (104) не является монотонным, то найдется точка т\ 0, в которой х(т\) — 0 и (ТЇ) Ф fffc Отметим, что если і(т\) = 0 и Z(TI) = ттк, то в силу единственности решения задачи Коши z(r) = -лк и такие решения интереса не представляют. В точке т\ имеем \Z(T\) — (2m + 1)тг тг при некотором га и заменив rt на то, a z(r\) и і(п) соответственно па р и q, можем применить предыдущую теорему. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА. Заметим, что теоремы равносильны, поскольку из теоремы 14 следует осциллируемость разности z(r) — (2га + 1)тг и, следовательно, немонотонность z(r). Тем не менее теорема 15 удобнее в том смысле, что аналогичное утверждение об асимптотическом поведении решений задачи Коши (103) формулируется дословно также.
С единственной разницей, что в самих разложениях (105), (106) при этом необходимо заменить т на 2л/ї. Используя формулы (101), (102) выведенные в пункте 2.2.4, получим разложение решения z(t) задачи Коши. (103) в окрестности нуля. При интегрировании по формулам (96) нам придется воспользоваться следующей формулой. где i?() = alnt + 0 и к 0. Начнем с разложений для варьируемых Амслер в 50-х годах исследовал решение уравнения (112), регулярное в нуле и удовлетворяющее начальному условию (0) = . При этом, в силу симметрии полученной задачи, z(t) + z{—t) = тг Можно показать, что при t Є [-1.862...,1.862...] функция z(t) монотонно возрастает, причем #(—1.862...) =0, #(1.862...) = тг. Этот фрагмент поверхности Ф[г], для z меняющегося от 0 до тг, построен Амсле-ром в [55] методом последовательного "набора"из асимптотических линий v = const. Амслер получает для вектора нормали поверхности п на асимптотической линии v = const уравнение ще штрих обозначает производную по -и, и решает его численно. Это уравнение следует из формул Френе для поверхностной полосы (17), связанной с асимптотической линией (kg = —zu, кп = 0, нд = 1 — см. (24)), и из формулы 1 = [тп], Затем по формуле 1 = —[п п] находится направляющий вектор, а из него, интегрированием по и — радиус-вектор асимптотической (поскольку и является естественной координатой на асимптотической v = const — см. стр. 23). Отметим работу А.И.Бобенко и А.В.Китаева [60], в которой поверхность Амслера исследована с помощью метода обратной задачи, и работу Т.Хоффмана [70], в которой исследован дискретный аналог поверхности Амспера. Мы называем поверхностью Амслера любую поверхность Ф[я]/ где z удовлетворяет уравнению (112) при t Є (0, +оо) Р Регулярной поверхностью Амслера называем поверхность, соответствующую решению z{t)r непрерывному в нуле.
Построение регулярной поверхности в окрестности прямолинейной образующей
Регулярная поверхность Амспера содержит две пересекающиеся под углом о — -г(0? 0) прямые, являющиеся асимптотическими линиями поверхности. Их направляющие векторы суть ru(0,0) = {cos so, sin ,0} и Ги{0,0) = {1,0,0}. Рассмотрим вторую прямую: Все асимптотические другого семейства пересекают прямую (129) и полностью покрывают поверхность. Мы используем асимптотическое представление радиус-вектора каждой такой асимптотической линии (126) в окрестности точки пересечения с прямой (129) для асимптотического построения поверхности. С этой целью найдем направляющий вектор 1(0) = TufOjt o) асимптотической v = fo в точке пересечения. Имеем формулы из системы (113) и, с другойСТОрОНЫ, где второй сомножитель определяется из (129): г„(0, f) — rv(0,0). Получаем уравнение; Находим его решение поскольку ru(0,0) — {cos ZQ sin ZQ,Q}. Вектор нормали n и вектор геодезической нормали m асимптотической линии v — VQ находятся следующим образом: Т. Для остаточного члена в этом разложении справедлива та же самая оценка, что была для остатка Б разложении радиус-вектора асимптотической линии. Отметим, что в силу сходимости степенных рядов для zf{t) (формула (121)), и для радиус-вектора асимптотической линии R(it) (формула (126)) на всем R, получаем для радиус-вектора поверхности степенной ряд, сходящийся при всех (ut v) є R2 Положим, что z(t) является решением следующей задачи Коши с начальными данными ( ф О, q: Пользуясь формулами (26) вычислим кривизну (к) и кручение (х) ребра поверхности Амслера как пространственной кривой. Пусть это будет ребро, соответствующее значению z = (2п + 1)т: при t = t (см. формулу (130)). Видим, что при и — 0 и при и — оо кривизна ребра стремится к пулю, а кручение — к —1 и 1 соответственно, поэтому ребро асимптотически стремится к прямой (к винтовой линии с постоянным шагом и бесконечно малым радиусом), В точках и = ±yf\U\ происходит смена ориентации винтовой линии. Далее, поскольку элемент длины ребра ds = \du — dv\ (см. пункт 1.2,2), то Переход к ребру, соответствующему значению z[t+) = 2тгп осуществляется заменой U —» —U. Система уравнений Френе принимает вид где штрих обозначает производную по и. Аналогично тому, как мы это сделали в предыдущем параграфе, перепишем уравнение (132) в виде: (где I обозначает каждую компоненту вектора 1) позволяет переписать систему (132) в виде квазилинейного уравнения второго порядка относительно а{и): Решение / будет зависеть линейным образом от трех произвольных постоянных (поскольку уравнение для / линейное третьего порядка).
Вектор 1 составляется из решений {l\yh)h)r которые выбираются таким образом, чтобы 1\ +1\ + Щ = 1 (такой набор решений обязательно существует, поскольку координаты единичного вектора 1 cos ZQ sin ZQ,Q}. Вектор нормали n и вектор геодезической нормали m асимптотической линии v — VQ находятся следующим образом: Т. Для остаточного члена в этом разложении справедлива та же самая оценка, что была для остатка Б разложении радиус-вектора асимптотической линии. Отметим, что в силу сходимости степенных рядов для zf{t) (формула (121)), и для радиус-вектора асимптотической линии R(it) (формула (126)) на всем R, получаем для радиус-вектора поверхности степенной ряд, сходящийся при всех (ut v) є R2 Положим, что z(t) является решением следующей задачи Коши с начальными данными ( ф О, q: Пользуясь формулами (26) вычислим кривизну (к) и кручение (х) ребра поверхности Амслера как пространственной кривой. Пусть это будет ребро, соответствующее значению z = (2п + 1)т: при t = t (см. формулу (130)). Видим, что при и — 0 и при и — оо кривизна ребра стремится к пулю, а кручение — к —1 и 1 соответственно, поэтому ребро асимптотически стремится к прямой (к винтовой линии с постоянным шагом и бесконечно малым радиусом), В точках и = ±yf\U\ происходит смена ориентации винтовой линии. Далее, поскольку элемент длины ребра ds = \du — dv\ (см. пункт 1.2,2), то Переход к ребру, соответствующему значению z[t+) = 2тгп осуществляется заменой U —» —U. Система уравнений Френе принимает вид где штрих обозначает производную по и. Аналогично тому, как мы это сделали в предыдущем параграфе, перепишем уравнение (132) в виде: (где I обозначает каждую компоненту в конечной форме укороченное уравнение при и — со:
