Содержание к диссертации
Введение
1 Модельные нелинейные уравнения псевдопараболического типа . 28
1.1 Математические модели квазистациоиарных процессов в кристаллических полупроводниках 28
1.2 Модельные уравнения псевдопараболического типа 35
1.2.1 Нелинейные волны типа волн Россби или дрейфовых волн в плазме и соответствующие диссипативные уравнения 35
1.2.2 Нелинейные волны типа Бенджамена-Бона-Махони и соответствующие диссипативные уравнения 37
1.2.3 Нелинейные математические модели анизотропных полупроводников 41
1.2.4 Нелинейные сингулярные уравнения типа Соболева 44
1.2.5 Уравнения псевдопараболического типа с нелинейным оператором при производной во времени 45
1.2.6 Нелинейные нелокальные уравнения псевдопараболического типа. 46
1.2.7 Краевые задачи для эллиптических уравнений с граничными условиями псевдопараболического типа 52
1.3 Разрушение решений - пробой полупроводников 54
1.4 Возникновение и распространение электрических доменов в полупроводниках 61
1.5 Математические модели квазистационарных процессов в кристаллических электромагнитных средах с пространственной дисперсией 64
1.6 Модельные уравнения псевдопараболического типа в электрических средах с пространственной дисперсией 69
1.7 Модельные уравнения псевдопараболического типа в магнитных средах с пространственной дисперсией 70
2 Разрушение решений класса сильно нелинейных псевдопараболических уравнений с источниками и уравнений с нелинейной диссипацией . 73
2.1 Постановка задач 73
2.2 Первоначальные определения и условия 74
2.3 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1) 78
2.4 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1) 100
2.5 Слабая обобщенная разрешимость и единственность задачи (1.2) и оценки времени и скорости разрушения решения 108
2.6 Локальная сильная разрешимость и единственность задачи (1.2) и оценки времени и скорости разрушения в случае В = 0 122
2.7 Примеры 127
3 Разрушение решений сильно нелинейных волновых псевдопараболи ческих уравнений или уравнений с линейной диссипацией . 135
3.1 Постановка задач 135
3.2 Первоначальные определения и условия 136
3.3 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1) 138
3.4 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.1) 150
3.5 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.2) 154
3.6 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.2) 165
3.7 Примеры 170
4 Разрушение решений сильно нелинейных волновых диссипативных псевдопараболических уравнений с источниками . 179
4.1 Введение. Постановка задачи 179
4.2 Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.1) 180
4.3 Сильная обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.1) 191
4.4 Примеры 195
Заключение
- Нелинейные волны типа волн Россби или дрейфовых волн в плазме и соответствующие диссипативные уравнения
- Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1)
- Первоначальные определения и условия
- Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.1)
Введение к работе
Настоящая работа посвящена математическому исследованию вопросов разрушения решений сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа, начально-краевые задачи для которых описывают экспериментально наблюдаемое явление пробоя в полупроводниковых средах и ряд других нелинейных физических эффектов. При этом рассматривается случай нелинейных или сильно нелинейных операторов эллиптического типа при производной по времени. Кроме того, работа посвящена получению необходимых и достаточных, а также достаточных, близких к необходимым, условий разрушения решений пяти четко очерченных классов абстрактных задач Коши для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в банаховых пространствах.
Актуальность темы
Исследованию уравнений псевдопараболического типа посвящено большое число работ. Здесь следует отметить работы российских математиков Варенблатта Г. И., Желто-ва Ю. П., Кочиной И. Н., Демиденко Г.В., Успенского СВ., Свиридюка Г.А., Кожанова А.И., Гладкова А.Л., Ляшко СИ., Наумкина П. И., Шишмарева И. А. Из зарубежных авторов следует отметить следующих математиков: Showalter R.E., Ting Т. W , Levine Н. А , Гаевского X., Грегера К., Захариаса К., Rosenau P., Park М. A., Mei М., Karch G., DiBenedetto Е., Bona J. L. В работах этих математиков были рассмотрены вопросы глобальной во времени разрешимости, устойчивости, асимптотики при больших временах, существование уединеных волн и их устойчивости для линейных и нелинейных уравнений псевдопараболического типа.
Вопросами локальной обобщенной разрешимости для эволюционных уравнений с двойной нелинейностью, к которым относятся и рассматривемые в диссертации уравнения псевдопараболического типа, занимались следующие математики: Лионе Ж.-Л., Дубивский Ю. А., Иванов А. В., Лаптев Г. И., Кузнецов А. В. Отметим, что в диссертации рассматривается класс уравнений с двойной нелинейностью, отличный от того, который рассматривали указанные математики.
Исследованию вопросов разрушения решений начальных и начально-краевых задач для уравнений псевдопараболического типа посвящено мало работ. Этими вопросами занимались Levine Н. А., Кожанов А. И., Liu Yacheng, Wan Weiming, Lu Shujuan, Fan En Gui, Zhang Jian, Zhi Jian, Chen Guowang, Tian Ying Hui, Shang Yadong, Guo Boling. В работах этих математиков были получены достаточные условия разрушений нелинейных уравнений псевдопараболического типа с линейным эллиптическим оператором при производной по времени.
Отметим также, что для доказательства разрушения решений задач для нелинейных уравнений псевдопараболического типа может быть применена нароботанная за многие годы техника доказательства разрушения решений развитая для параболических задач. В этой связи отметим работы А. А. Самарского, В. А. Галактионова. С. П. Курдюмова, А П. Михайлова, С. И. Похожаева, В. А. Конд^ЛАЙ}Ч№^Щг4)Я>4а, О. А. Олейник.
Тем самым неизученным остался широкий спектр модельных уравнений псевдопараболического типа с нелинейными операторами эллиптического типа при производной по времени. Актуальность исследования данных уравнений обусловлена как чисто ма-темагическим интересом исследования качественных свойств решений новых классов нелинейных уравнений в частных производных, так и интересными приложениями в теории нестационарных процессов в полупроводниковых средах. Актуальным является вывод сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа как математических моделей физики полупроводников при учете самых разнообразных физических нелинейных факторов. Кроме того, актуально получение необходимых и достаточных, а также достаточных, близких к необходимым, условий разрушения решений рассматриваемых в абстрактной постановке задач Копти для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами. Наконец, актуальным является получение двусторонних оценок на время разрушения решений, а также оптимальных двусторонних оценок на скорость разрушения решений.
Цели работы.
1. Вывод новых сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа и соответствующих начально-краевых задач в ограниченных областях.
-
Разработка для поставленных задач методов исследования локальной разрешимости в том или ином смысле, а также разработка общего для всех рассматриваемых классов задач метода доказательства разрушения решепий.
-
Получение двусторонних оценок на время разрушения решений, получение необходимых и достаточных условий, а также достаточных, близких к необходимым, условий разрушения решений.
Научная новизна, теоретическое и прикладное значение. Все полученные результаты являются новыми.
-
В работе впервые были получены трехмерные обобщения хорошо известных одномерных уравнений Бенджамена-Бона-Махони-Вюргерса и Розенау-Бюрнерса. Кроме того, были получены новые уравнения физики полупроводников.
-
В работе дано теоретическое описание некоторых существенно нелинейных нестационарных процессов, наблюдаемых в экспериментах. Прежде всего явление пробоя в полупроводниках.
-
Рассмотрен один существенный класс начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа, имеющих в абстрактной постановке вид задачи Коши для дифференциального уравнения с нелинейными операторными коэффициентами. Для данного класса найдены необходимые и достаточные условия разрушения решений, те полностью решен вопрос о разрушении решений рассматриваемого класса начально-краевых задач.
-
Для другого класса начально-краевых задач получены оптимальные оценки снизу и сверху на скорость разрушения решений.
' - « . -, К! . I . -' *Т *-
rf, , ч
-
Для других классов, учитывающих самые разнообразные физические факторы получены достаточные условия разрушения решений, близкие к необходимым.
-
Получены двусторонние оценки времени разрушения решений рассматриваемых задач.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы докладывались
-
на семинаре ВМиК по нелинейным дифференциальным уравнениям под руководством И. А. Шишмарева;
-
на семипаре МИАН по дифференциальным уравнениям под руководством С. М. Никольского, Л. Д. Кудрявцева, С. И. Похожаева;
-
на семинаре мех.-мат. факультета МГУ по качественным свойствам нелинейных уравнений под руководством Н. X. Розова, В. М. Миллиошцикова и В. А. Кондратьева;
-
на семинаре мех.-мат. факультета МГУ по нелинейным дифференциальным уравнениям под руководством В. А. Кондратьева и Б. В. Радкевича;
-
на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В. Ф. Бутузова;
-
на семинаре по электродинамике сплошных сред на физ. фак.-те МГУ под руководством А. Г. Свешникова;
-
на семинаре ИПМ РАН под руководством Г. Г. Малинецкого;
-
на научной конференции "Ломоносовские чтения. Секция физики. Апрель 2002"на физ. фак.-те МГУ;
-
на конференции "Дифференциальные и функционально- дифференциальные уравнения."москва 2003. МАИ.
Публикации. Основные результаты опубликованы в [20] работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, заключения, дополнения и списка литературы, включающего 195 наименований, и изложена на 218 страницах.
Нелинейные волны типа волн Россби или дрейфовых волн в плазме и соответствующие диссипативные уравнения
Рассмотрим теперь физические условия, которые с математической точки зрения описываются задачей Коши для эволюционных уравнений физики полупроводников. Отметим, что задача Коши с физической точки зрения возникает как результат быстро протекающего лазерного облучения полупроводника. Время лазерного облучения на много порядков меньше, чем время релаксации возникшего в результате облучения нестационарного распределения плотности свободных электронов и, стало быть, соответствующего самосогласованного электрического поля.
В силу периодичности структуры кристаллического полупроводника второй после задачи Коши и произвольной граничной задачи важной является периодическая граничная задача. Рассмотрим теперь некоторые модельные нелинейные граничные условия.
Для простоты предположим, что в заданной декартовой системе координат {Охі,Ох2,Ох3} плоскость х3 = 0 является границей раздела "идеальный проводник-полупроводник", причем в области х3 0 расположен полупроводник, а в области хз 0 идеальный проводник. Выберем внешнее направление нормали п к плоскости хз = 0 относительно области хз 0. Под названием "идеальный проводник"понимается среда, в которой напряженность электрического поля равна нулю вне зависимости от внешних условий. Как известно, в стационарном случае проводник удовлетворяет указанным условиям. С другой стороны, в квазистационарном случае, который мы как раз и рассматриваем, проводник приближенно удовлетворяет данному условию [107]. Будем рассматривать случай, когда поле Е потенциально в области хз 0 с потенциалом (р. Пусть на плоскости Хз = 0 имеется квазистационарное распределение свободных зарядов, эволюция которых описывается системой динамических граничных условий [107] (D,n) = -Аттеш, хз = 0, (1.26) = (J,n) + AM V, х3 = 0 (1.27) где и - поверхностная плотность свободных электронов. Относительно граничных значений векторов индукции электрического поля D и плотности тока J предположим, что они удовлетворяют всем феноменологическим соотношениям, введенным в этом разделе и понимаемым в предельном смысле на плоскости хз = 0.
Модельные уравнения псевдопараболического типа. В данном пункте мы рассмотрим широкий спектр математических моделей, сводящихся к эволюционным уравнениям псевдопараболического типа. При этом некоторые модели связаны с изучением нестационарных процессов в полупроводниках во внешних электрическом или магнитном полях. В простейшем случае при наличии внешнего электрического поля уравнения для потенциала электрического поля представляет собой решение волновых трехмерных уравнений типа Бенджамена-Бона-Махони-Бюргерса. С другой стороны, модельные уравнения в случае внешнего магнитного поля имеют анизотропный характер. В отсутствии внешних полей получаемые уравнения имеют изотропный характер. Для рассматриваемых модельных уравнений большой теоретический и практический интерес представляют вопросы разрушения решений, что с точки зрения физики полупроводников означает возникновение пробоя в полупроводниках. Отметим, что рассматриваемые уравнения имеют большой физический смысл, поскольку возникают и из других разделов математической физики. Физическая интерпретация полученных математических результатов будет проиллюстрирована в основном на задачах физики полупроводников.
Рассмотрим сначала случай линейных операторов ( эллиптического типа) при производной во времени.
С этой целью рассмотрим систему уравнений (1.1), (1.2) с феноменологическим уравнением (1.5) либо (1.7), (1.8) и уравнениями (1.11) или (1.12) при q\ = 0, которые дополним феноменологическими уравнениями (1.13) - (1.19).
Достаточно большое количество работ посвящено изучению планетарных волн или волн Россби. Такие волны имеют малую частоту и длиноволновой характер. Наблюдаются такие волны в атмосфере и в мировом Океане. Аналогичными уравнениями описываются так называемые дрейфовые волны в плазме, возникновение которых вызвано самыми разнообразными причинами, например, неоднородностью распределения электронов в плазме или тороидальностыо магнитной ловушки. Для этих уравнений рассматриваются задачи дифракции, возбуждения и вопросы существования солитонов и устойчивости (см. [114]-[124]).
В линейном приближении / -плоскости двумерное уравнение волн Россби имеет вид шА2ф+ №-; = О, Д2 = + где ось Ох направлена на восток, а ось Оу - на север, а = а(у) параметр Кориолиса, зависящий от у (от широты места -плоскости). Одним из существующих нелинейных обобщений линейного двумерного уравнения волн Россби является двумерное уравнение Петвиашвили (см., например, [114]) — (А2ф - Ф) + - + ! - + Jbl , А2І ) = 0, J(a, b) = axby - aybx. К данному уравнению примыкает одномерное уравнение Камассы-Холма [125]
Предположим теперь, что температура связанных электронов кристаллического полупроводника достаточно велика, так что мы можем считать их плотность постоянной. В этом случае воспользуемся феноменологическим уравнением (1.5). С другой стороны, будем считать, что температура свободных электронов не сравнима с температурой связанных электронов и для "квазистационарного"распределения свободных электронов возьмем (1.18) при 2 = 0. Для уравнения плотности тока (1.16) предположим, что J2 = с0Е и, кроме того, пусть ось Ох направлена вдоль внешнего постоянного поля Ео. Тогда с учетом системы уравнений (1.1)-(1.2) приходим к нелинейному уравнению типа волн Россби: лд р д д р А п А д2 д2 д2 где а\ = 47геб-1/л2ІЕо, 02 = 47гее_12//і2ІЕо, а3 = 4ттеє 1Ьао, є = 1 + 47гх0. Заметим, что из (1.16) следует аз 0. Если учесть наличие источников (стоков) (1.19) и нелинейную зависимость тензора проводимости от электрического поля (1.14) приходим к следующему уравнению
Отметим важное свойство рассматриваемых задач. При отсутствии внешнего электрического поля, что вполне естественно в реальной физической ситуации, из уравнения (2.2) получаем диссипативное уравнение A + a3A + a4div(VH2V )+AH9V = 0, q3 0, (2.3) где постоянные а3, 04, А определены в (2.1), (2.2) и (1.19), причем аз 0, а4 Є К1, AeR1.
Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1)
В второй главе рассматриваются две различные абстрактные задачи Коши для уравнений псевдопараболического типа с операторными коэффициентами в банаховых пространствах. Для первой задачи при некоторых условиях на операторные коффициенты получены необходимые и достаточные условия разрушения решения за конечное время и глобальной во времени разрешимости задач. Причем в случае разрушения получены оценки снизу и сверху на время разрушения. Наконец, для другой задачи с линейным оператором при производной по времени получены оптимальные оценки снизу и сверху на скорость разрушения решения. Для каждой из абстрактных задач приведены примеры начально-краевых задач для сильно нелиненйых уравнений псевдопараболического типа, имеющих физический смысл. Результаты главы опубликованы в работах [169]-[178].
Целью настоящего исследования является получение необходимых и достаточных условий разрушения решений класса сильно нелинейных уравнений типа Соболева в абстрактной постановке задачи Коши для уравнения с операторными коэффициентами в банаховых пространствах: и оценок снизу и сверху на время разрушения решений задачи (1.1). Кроме того, целью настоящего исследования является получение оптимальных оценок снизу и сверху на скорость разрушения решений абстрактной задачи Коши
Под оптимальными результатами мы понимаем такие, что при определенных исходных параметрах задачи имеет место разрушение решений задач, а при других условиях -глобальная разрешимость. Причем эти условия близки. В этой связи мы намеренно сузили класс рассматриваемых уравнений типа Соболева до такого класса, для которого мы можем получить оптимальные результаты. Кроме того, мы рассматриваем лишь такие задачи, для которых может быть доказана единственность решений задач, понимаемых в том или ином смысле.
Приведем примеры некоторых модельных трехмерных сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа, вывод которых содержится в первой главе:
В дальнейшем для произвольного банахова пространства X через X будем обозначать сопряженное пространство. При h Є X и и Є X через (h, и) обозначим скобки двойственности между пространствами X и X [143]. Сильную и слабую сходимость будем обозначать соответственно и —ч Причем нормы в X и в X обозначим через соответственно. Кроме того, для двух банаховых пространств X и Y символом X «- Y будем обозначать компактное вложение X в Y.
Приведем необходимые для дальнейшего определения, предположения и вспомогательные результаты, (см., например, [24]). Пусть банаховы пространства Vj, Vo, Wo, Wi бесконечномерны, сепарабельны и рефлексивны с соответствующими сопряженными банаховыми пространствами VJ, Vj, Wo, WJ относительно скобок двойственности (-,-)1, (-, -)о, (, )о ( ")ъ г = 1,N. Обозначим через j, j = О, N нормы банаховых пространств Vj, а через ] - нормы банаховых пространств Vj. Нормы банаховых пространств Wj, г = 0,1 обозначим через І, а нормы банаховых пространств W? через г . Пусть Н - гильбертово пространство отождествленное со своим сопряженным. Далее мы предположим, что выполнено следующее условие
4. Пространство V бесконечномерное и сепарабельное. Замечание 1. Из условия V 1. вытекает, что пересечение N V = fVi, 2=0 наделенное нормой її їй Е її її г =0 можно сделать банаховым пространством. В последующих пунктах условия V под V понимается именно это банахово пространство. Обозначим через (-, ) - скобки двойственности между банаховыми пространствами VHV . Пусть операторы Аг-, Ао, F, В определены на пространствах Vt-, Vo, W0, Wi со значениями в сопряженных пространствах: A4:Vi-»VJ, A0:V0- Vo\ F : W0 - W0, В : Wi- WJ, г=ЇТЖ (2.1) Причем области значений операторов Aj совпадают с соответствующими банаховыми пространствами V!-, j = О, N.
Первоначальные определения и условия
Рассматриваются две абстрактные задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с нелинейными операторными коэффициентами в банаховых пространствах. В качестве приложений приведены примеры, вообще говоря, сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа в ограниченных областях с гладкой границей. Для данных задач получены достаточные условия, близкие к необходимым, разрушения за конечное время и глобальной разрешимости рассматриваемых задач. В частности, при некоторых условиях на нелинейные операторы доказана разрешимость задачи в любом конечном цилиндре, а при других условиях доказано разрушение решения задачи за конечное время. Приведены примеры начально-краевых задач для сильно нелинейных уравнений псевдопараболического типа волновые или с линейной диссипацией, имеющие физический смысл. Результаты главы опубликованы в работах [179]-[187].
Целью настоящего исследования является получение оптимальных результатов типа теорем существования - несуществования для двух классов сильно нелинейных уравнений типа Соболева, в абстрактной постановке - задач Коши для уравнений с операторными коэффициентами в банаховых пространствах: и оценок снизу и сверху на времена разрушения решений задач (1.1) и (1.2).
Под оптимальными результатами мы понимаем такие, что при определенных исходных параметрах задачи имеет место разрушение решений, а при других близких условиях - глобальная разрешимость. В этой связи мы намеренно сузили класс рассматриваемых уравнений типа Соболева до такого класса, для которого мы можем получить оптимальные результаты. Кроме того, мы рассматриваем лишь такие задачи, для которых может быть доказана единственность решений задач, понимаемых в том или ином смысле.
Приведем примеры некоторых модельных трехмерных сильно нелинейных уравнений типа Соболева, вывод которых имеется в первой главе
Пусть в дополнение к определениям и условиям второго раздела второй главы выполнены следующие условия: Условия (L). 1. Для линейного оператора L справедливо неравенство (Lu — hv,u — v)1 dx \ u — v If, для любых и, v Є Wi, di О - постоянная; 2. Оператор L симметричен; 3. Оператор L : Wi - WJ удовлетворяет условию: Lu \\ Di и ь Di 0 - постоянная; Условия (DP). 1. Оператор В : W3 — W4 С VjJ является линейным, ограниченным и В(0) = 0; 2. Оператор P(u) : Vo С W2 — W3 является ограниченно Липшиц-непрерывным F(Wl) - Р(гі2)3 //2(R)U! - гг22, где /42(R) - непрерывная возрастающая функция; 3. Справедливо неравенство сверху: Р(«)з в2\4Г2)/2; 4. Для любого и Є Vo имеет место равенство D(P(ti)),u)0 = 0.
Отметим, что из условий Ао и L вытекает, что величины (Аом, и)0 и (Lu, и)/ являются нормами на пространствах Vo и Wi, соответственно.
Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение решения задачи (1.1). Определение 1. Слабым обобщенным решением абстрактной задачи Коши (1.1) назовем решение, удовлетворяющее условиям
Причем справедливы следующие оценки для положительно определенной в силу условий (А)о 2 и (А) 3 функции, имеющей смысл кинетической энергии, N Ф(і) = -{A0u,u)0 + Y (&j(u),u)j, А j=l pi а также свойства времени существования решения То 0 в трех случаях относительно возможных значений следующей величины: константа наилучшего вложения V - Wo, В - константа из условия (F) 4 Доказательство.
Замечание 1. Так как решение задачи удовлетворяет условиям /77/ u( )GL(0,T;V), -GL2(0,T;V0), то отсюда следует, что после возможного изменения на множестве нулевой меры Лебега отображение u(t) : [0,Т] - Vo сильно непрерывно.
Слабая обобщенная разрешимость, единственность и разрушение задачи (1.1)
Исследованию разнообразных начальных и начально-краевых задач для уравнений типа Соболева и его подкласса псевдопараболических уравнений посвящено большое кол-личество работ. Причем по всей видимости первым сторогим математическим исследованием задач для уравнений не типа Коши-Ковалевской является пионерская работа С. Л. Соболева [1]. Данная работа вызвала большой интерес к исследованию неклассических уравнений, названных уравнениями типа Соболева. В работе [1] было выведено линейное уравнение, описывающее малые колебания во вращающейся жидкости dt2 \dxl + дх\ + дх\) + а dxl
Исследования С. Л. Соболева были продолжены Р. А. Александряном [2], В. Н. Масленниковой [3], В. П. Масловым [4], Т. И. Зеляником [5] и математиками новосибирской школы Л. В. Овсянникова, Н. Д. Копачевским [б], [7] и Габовым С. А., Свешниковым А. Г. [8], [9]. Среди работ, продолживших исследования С. Л. Соболева, уместно отметить работы М. И. Вишика [10] и С. А. Гальперпа [11], [12], в которых рассматривались начально-краевые задачи для уравнений, обобщающих указанное уравнение.
Отметим, что в монографии [8] были рассмотрены вопросы глобальной во времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений возникающих в так называемых стратифицированных жидкостях и стратифицированных, вращающихся жидкостях. Был предложен оригинальный метод редукции рассматриваемых начально-краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям посредством так называемых динамических потенциалов. Полученные интегральные представления решений начально-краевых задач имеют весьма удобный вид для аналитических исследований таких свойств решений как асимптотическое поведение решений при больших временах, а так же для численного моделирования происходящих в стратифицированных жидкостях процессов. Так было выявлено наличие в стратифицированных жидкостях чрезвычайно любопытного эффекта "квазифронта". В стратифицированной среде, где в предположении несжимаемости все возмущения должны распространяться с бесконечной скоростью, при наличии точечного мгновенного источника распространяется волновой фронт, скорость которого конечна. Причем этот волновой фронт имеет вид шлейфа осцилляции и экспоненциально малого предвестника. В случае только вращающейся жидкости указанный эффект не имеет место. Иследования вопросов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. А. Габова и А. Г. Свешникова. Именно, в работах Ю. Д. Плетнера [13], С. Т. Симакова [14], П. А. Крутицкого [15]. В этих работах используя фундаментальные и сингулярные решения операторов внутренних волн, т.е. волн внутри стратифицированной жидкости, были построены динамические потенциалы, с помощью которых были получены явные интегральные представления решений начально-краевых задач с негладкой границей. Отметим, так же работу С. Я. Секерж-Зеньковича [16], где впервые используя преобразование Фурье было построено фундаментальное решение оператора внутренних гравитационных волн, имеющего вид
В работах Ю. Д. Плетнера [17] - [19] была обнаружена тесная связь между уравнениями типа Соболева и связанным с каждым конкрентным уравнением типа Соболева эллиптическим уравнением. Именно, исследуя частные начально-краевые задачи для уравнений внутренних волн была замечено, что их свойства решений по пространственным переменным близки к свойствам решений некоторого эллиптического уравнения. В частности, аналитичность по пространственным переменным. Кроме того, исходная система уравнений внутренних волн близка к классической системе Коши-Римана. Оказалось например, что линейные уравнения внутренних волн можно интегрированием по времени необходимое число раз представить в следующем виде
Из данного вида и важного свойства равенства нулю спектрального радиуса вольтеровских операторв следует, что указанное интегродифференциалыюе уравнение можно рассматривать как регулярно возмущенное вольтеровскими операторами эллиптическое уравнение 1=1 г Указанная связь оказалась весьма плодотворной при исследовании начально-краевых задач для двумерных уравнений внутренних гравитационных и ионно-звуковых волн в случае областей с негладкой границей [20]-[23]. Кроме того, в работе [162] были обнаружены модельные уравнения типа Соболева высокого, например восьмого, порядка в линейной теории плазмы и линейной теории спиновых волн во внешнем магнитном поле, исследование которых, как дифференциальных операторов высокого порядка, гораздо сложнее чем интегродифференциальных уравнений второго порядка. Отметим также, что в нашей работе [163] были получены модельные уравнения типа Соболева третьего порядка с производной по времени первого порядка, т. е. так называемые уравнения псевдопараболического типа [24]. Перейдем теперь к обзору результатов по исследованию подкласса уравнений типа Соболева - псевдопараболических уравнений [24]. Уточним нашу терминологию. Под псевдопараболическими уравнениями мы подразумеваем все уравнения не типа Коши-Ковалевской высокого порядка с производной по времени первого порядка вида (A(u))+B(u) = 0, где А(и) и В(и) - это эллиптические операторы, и, вообще говоря, нелинейные операторы.
В работе Г. И. Баренблатта, Ю. П. Желтова, И. Н. Кочиной [25] по всей видимости впервые математически строго было получено линейное псевдопараболическое уравнение — (Ли + си) + Аи = 0, сеЕх\{0} описывающее нестационарный процесс фильтрации в трещиновато - пористой жидкости. В работах А. П. Осколкова [26] , Е. С. Дзекцера [27], Ю. Н. Работнова [28], [29] и Г. А. Свиридюка [30], [31] были получены новые уравнения псевдопараболического типа. Отметим так же наши работы [162-165] где были выведены самые разнообразные линейные, нелинейные, нелокальные, третьего и пятого порядков уравнения псевдопараболического типа, а также линейные уравнения типа Соболева высокого порядка по времени.
