Содержание к диссертации
Введение
1 Аппроксимационные свойства конечномерных функциональных под пространств и двусторонние оценки собственных значений 16
1.1 Свойства конечномерных подпространств 16
1.1.1 Некоторые обозначения 16
1.1.2 Оценка аппроксимации
1.1.3 Примеры пространств, удовлетворяющих оценке
1.2 Двусторонние оценки собственных значений 23
1.2.1 Постановка задачи 23
1.2.2 Первое собственное значение 23
1.2.3 Остальные собственные значения 25
1.2.4 Задача «с весом» 26
1.2.5 Примеры 27
1.2.6 Квадрат 27
1.2.7 Треугольники 28
1.2.8 Отрезок с непостоянным р 29
2 Численное исследование спектральных свойств волноведущих систем 30
2.1 Ловушечные моды локально нерегулярных волноводов 30
2.1.1 Плоский случай 32
2.1.2 Трёхмерный случай 34
2.2 Временная асимптотика поля в регулярном волноводе 40
3 Оценки погрешности приближённого решения эллиптического уравнения с некоэрцитивной билинейной формой 41
3.1 Постановка и дискретизация задачи 41
3.2 Алгоритм вычисления приближённого решения и оценки погрешности . 43
3.3 Обоснование алгоритма 45
3.3.1 Проектор Рс 45
3.3.2 Операторы Л и [/ - Л]^1 45
3.3.3 Леммы 46
3.3.4 Основные теоремы 48
3.4 Оценка погрешности в случае уравнения Гельмгольца 55
3.4.1 Основная идея 55
3.4.2 Вывод модифицированных оценок 58
3.4.3 Алгоритм вычисления приближённого решения и модифицированных оценок погрешности для уравнения Гельмгольца 61
3.4.4 Тестовые расчёты 63
4 Суперсходимость проекционных методов для одномерной задачи Ди рихле 65
4.1 О понятии суперсходимости 65
4.2 Рассматриваемая дифференциальная задача 66
4.3 Основной результат главы 67
4.4 Некоторые замечания о применении полученных результатов 71
4.5 Численные примеры 72
4.5.1 Уравнение Гельмгольца 72
4.5.2 Уравнение с членом первого порядка и разрывным коэффициентом 75
Доказательство теоремы 1.2 77
Заключение 84
Литература 85
- Оценка аппроксимации
- Плоский случай
- Алгоритм вычисления приближённого решения и оценки погрешности
- Рассматриваемая дифференциальная задача
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена вопросам оценок точности приближённых решений задач математической физики и их применению в теории волноведущих систем.
С ростом возможностей вычислительной техники, позволивших решить весьма сложные краевые задачи математической физики, все более ощущается отсутствие простых алгоритмов, позволяющих получить оценки точности приближенного решения. Например, в настоящее время существуют ориентированные на широкую аудиторию коммерческие комплексы программ, такие как PDE Toolbox в MatLab'e и FEMLab, реализующие алгоритм метода конечных элементов для всех основных линейных краевых задач в ограниченных областях размерности от 1 до 3, однако в этих программах не встроено вообще никакого механизма оценки точности полученного приближённого решения и пользователю не остается ничего другого, как сгустить сетку и визуально оценить скорость сходимости, хотя достоверность такой оценки никак не обоснована. Сходимость проекционных методов для линейных задач математической физики была строго доказана в 1960-70-х годах [1], однако в теоретических работах по численным методам обычно ограничиваются доказательством самого факта сходимости и нахождению её порядка.
Большинство известных алгоритмов оценки погрешности применимо только к краевым задачам для уравнения Пуассона или, более общо, к задачам с положительно определёнными операторами [2], [3], [4], [5], но, к сожалению, ни один из них пока не реализован в виде общедоступных комплексов программ. Вероятно, наиболее; простым в реализации будет алгоритм, основанный на апостериорных оценках, полученных недавно С. И. Репиным [б], [7] (см. также обзор [8]) и не требующий вычисления каких-либо общих констант, кроме оценки сверху константы в неравенстве Пуанкаре—Фридрихса. Однако имеются принципиальные препятствия для перенесения этого метода на задачи с незнакоопредслёнными операторами и, в частности, на задачи для уравнения Гсльм-гольца. Известные оценки для отклонения приближённого решения для всех основных уравнений математической физики были суммированы в работах М. Накао (см. [9], [10], [11]); в настоящей диссертации на их основе получены улучшенные оценки, построен и реализован алгоритм для оценки точности вычисления собственных значений операто-
pa Лапласа и построен значительно более сложный алгоритм оценки точности решения для уравнения Гсльмголъца, где коэффициент к2 может быть переменным. Предложенные алгоритмы пригодны не только для метода конечных элементов, но и для любого проекционного метода, для которого можно ввести аналог шага сетки.
С целью изложения результатов диссертации с единых позиций в начале первой главы вводятся основные понятия, используемые в работе. Пусть 2 — произвольная ограниченная область в евклидовом пространстве К", граница которой далее считается достаточно гладкой с тем, чтобы было возможно применять формулу Гаусса— Остроградского. Зададимся произвольным конечным набором функций {(pi,..., іря}, носитель которых лежит в Q, и образуем натянутую на них линейную оболочку S%. Даже если эти функции бесконечно гладкие, произвольную функцию v из L2{Q) или Н$(І) нельзя приблизить элементом из Sjy относительно норм этих пространств, поскольку и в том, и в другом пространстве имеются элементы, ортогональные ко всем функциям {
Си = — Аи + Ь(х) Vii + с(х)и = /, х = (xi,..., хп) Є Q,
и\дп = О
и задачи на собственные значения для оператора Лапласа. Поэтому вполне естественно взять в качестве X(Q) линейное пространство, образованное функциями из H^(Q.), являющимися решениями однородных краевых задач Дирихле для уравнения Пуассона, правые части которых принадлежат 12{ії). Тогда близость S^ и X(Q) будем, характеризовать наименьшей константой C(N), удовлетворяющей неравенству
inf ||V(7; - vN)\\ ^ C(N)\\Av\\ ^ Є Х(П), (1)
где- 11-11 обозначает норму is L2(Q).
Константа C(N) для произвольного проекционного метода играет ту же роль, которую в ироекционно-разиостных методах играет шаг сетки. Например, если Q — прямоугольник и в качестве {ipi, . . . , р^} используются кусочно билинейные конечные элементы на квадратной сетке тага h, то C(N) = -. В диссертации приведены и другие примеры конкретных пространств конечных элементов, используемых на практике и удовлетворяющих условию (1). В частности, показано, что ему также удовлетворяют пространства, связанные с разложением по собственным функциям, которые могут быть использованы для решения краевой задачи в том случае, если эти собственные функции известны. Для каждого из рассмотренных конечномерных подпространств указана оценка сверху для константы C(N).
Для удобства обозначим через Рдг проектор, ставящий каждой функции v Є Hq(Q) функцию, реализующую точную нижнюю грань в левой части формулы (1). Его существование легко обосновать, например с помощью теоремы Рисса. Тогда (1) принимает вид
||У(«-Р*«)ИС(Л0||Ді;||. (2)
Нетрудно показать, что из требования (2) следует оценка
\\и ~ PNu\\ ^ C(N)\\V(u - PNu)\\, (3)
верная для всех и Є Яд(ГІ). Существенно, что константа C(N) в (1)—(3) мала: в случае, когда S% — пространство конечных элементов, она имеет порядок характерного размера сетки. Это и делает возможным применение пространства S^ для аппроксимации дифференциальных задач. Приведены примеры конкретных пространств конечных элементов, используемых па практике и удовлетворяющих условию (1). Показано, что ему также удовлетворяют пространства, связанные с разложением по собственным функциям, которые могут быть использованы для решения краевой задачи в том случае, если эти собственные функции известны. Для каждого из рассмотренных конечномерных подпространств указана оценка сверху для константы C(N). Существенно, что если для некоторого пространства бдг удаётся доказать (1), то отсюда автоматически следует (3) и, следовательно, для дискретизации в любом таком подпространстве выполняются полученные в диссертации оценки.
В этой же главе поставлена и решена проблема вычисления двусторонней оценки собственных значений задачи «с весом» 0 < ро ^ р(х) ^ р\
Г Аи + Хри = О,
1 и\аи = О,
использующая лишь свойство (3) пробного подпространства и не требующая предварительного вычисления каких-либо других величин. Полученная оценка имеет вид
АГ,1 Є
Л"1; А"1 + 2С(ЛГ) V^V^ + (6W)Vi
(4)
Здесь Am — оценка сверху тп-го собственного значения сверху проекционным методом в пространстве S%, р\ — supp, C(N) — константа из (1). Основная идея метода состоит в использовании для пробного функционального подпространства оценки (3) в сочетании с минимаксной характеризацией собственных значений, предложенной Р. Курантом:
А-х= inf sup Jf*'"). (5)
{Фи-,Фт і) иЄН&(П),иХфі,...,іІ,т-і (vm, Vu)
А = mi sup —-———-, (6)
{Фи -m-i}uese .„j.^,,...,^., (Vm, Vm)
где в обеих формулах {-фі,... ,ірт-і} — наборы из (т — 1) функций, принадлежащих
В процессе подготовки работы была написана подпрограмма на MatLab'e, вычисляющая оценку сверху для C(N) в случае аппроксимации задачи в выпуклой многоугольной области в пространстве кусочно линейных конечных элементов. Именно такое пространство используется в PDE Toolbox. Па вход программы поступают данные о сетке, которые могут быть непосредственно экспортированы из PDE Toolbox'a в рабочее пространство MatLab'a. Эта подпрограмма может быть непосредственно встроена в PDE Toolbox и использована для оценки погрешности в других задачах, что представляет большой практический интерес. В диссертации результаты вычислений с её помощью использовались для оценок собственных значений конкретных областей, что было существенно использовано ниже в главе 2, посвященной численному исследованию спектральных свойств волновсдущих систем.
Теоретические исследования волноведущих систем ведутся довольно давно. Их начало положено классическими работами А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [12|— [14]. Дальнейшее активное развитие этой области математической физики в нашей стране связано с именами Г. В. Киеунько [15], П. Е. Краснутпкнна, Е. И. Моисеева [16|, А. Г. Свешникова [17]—[19], Р. В. Хохлова [20], В. П. Шестопалова [21] и ряда других учёных. Из зарубежных специалистов можно назвать Ф. Реллиха [22], Д. Джонса [23], П. Вернера [24]—[26], П. Экснера [27]. При этом исследовались как спектральные свойства соответствующего эллиптического уравнения [23] и распространение гармонических волн [14], так и сложные переходные процессы, связанные с начальными условиями [20] или резонансом [24]—[26] (см. также [28], [29]). Теория волноводов оказалась очень важной для самых разных разделов физики. Часть авторов занималась исследованиями в этой области, исходя из нужд электродинамики, других интересовали задачи акустики. Сходные проблемы возникали в теории волн на поверхности воды [30], [31).
Введём некоторые термины. Полу бесконечной трубой или просто трубой будем называть множество вида Т — ІІхЖ+, где {}. — ограниченная односвязная область в R1 или R2. Волноведущей системой V назовём связную область в К2 или К3, вне некоторого шара (круга) представляющую собой объединение конечного числа непересекающихся труб.
Задача о возбуждении такой системы гармоническим током f(x)e~lu}t в скалярном приближении имеет вид
{
Да + k2q(x)u = J,
u\av = 0, (7)
условия излучения, где функции / и q— 1 финитны, а аргумент х обозначает вектор всех пространственных
координат.
Характерная особенность задачи (7) в том, что её решение далеко не всегда принад-
лежит L2 или W\, поскольку в режиме излучения волны распространяются на бесконечность без затухания. В связи с этим в [32] используется пространство И^Ьс ФункЦии> принадлежащих W\ на каждом компакте, вложенном в волновод, а в [33) этими же авторами предложено удобное развитие понятия обобщённого решения. Исследование свойств соответствующей спектральной задачи
Ли + к2а(х)и — О,
(8) v\av = О
было начато Ф. Реллихом и Д. Джонсом в 1940—50-х годах. Джонсом введено понятие непрерывного спектра как множества тех точек к2, для которых решение задачи (8), понимаемое в классическом смысле, существует, но его энергия неограничена. Физически это соответствует излучению бегущих волн в иолубесконечные трубы. Из результатов Джонса следует, что непрерывный спектр волновода образуют частоты, для которых к2 Є [Аі;+оо). Здесь Аі — наименьшее собственное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа на сечениях Q полубесконечных труб:
U^o,
[ и\ш = 0.
Квадратные корни из этих собственных значений, то есть числа ,получили
название частот отсечки, потому что при переходе частоты возбуждения регулярного и локально нерегулярного волновода через каждую из них добавляется новая мода распространяющихся в волноводе волн [19]. Кроме того, при гармоническом возбуждении регулярного волновода на частотах, равных частотам отсечки, за исключением случая, когда возбуждение ортогонально соответствующей собственной функции сечения, в волноводе не устанавливается режим гармонических колебаний, а происходит рост амплитуды поля пропорционально \Д [24], |28[, [29]. Если же частота возбуждения отлична от частоты отсечки, то устанавливается гармоническое поле, то есть распространяющиеся волны. Поскольку нормальным режимом работы волновода как передатчика энергии (информации) является не резонансный режим, а распространение волн, то именно последний случай представляет наибольший практический интерес. Чтобы гарантировать отсутствие резонансного режима в регулярном волноводе при данной частоте возбуждения, достаточно доказать её отличие от всех частот отсечки. Таким образом, если для первых N собственных значений сечения {Аг}^:1 найдены интервалы [\] Аг] (то есть показано, что А, Є [X; А,]), причём для данного к верно к2 < Х^_ и ни при
каком і = 1,..., N к2 $. [Л^; Л,], то можно гарантировать (и в этом состоит одна из целей диссертации), что к не совпадает ни с одной из резонансных частот и, следовательно, режима резонанса в регулярном волноводе на данной частоте не будет.
Резонансное множество регулярного волновода исчерпывается частотами отсечки, а в нерегулярных (деформированных или со вставкой, то есть при q ф 1) волноводах могут существовать так называемые ловушечные моды, представляющие собой решения с ограниченной энергией (т. е. такие, для которых fn q\u\2dx < со и Ju \Vu\2dx < со) задачи (8). Некоторое время считалось, что оператор Лапласа в неограниченной области вообще не может иметь собственных функций с ограниченной энергией и его спектр полностью непрерывен. Такая уверенность основывалось на том факте, что это утверждение верно для простых областей: прямых цилиндров, конусов и всего пространства. Однако Ф. Рсллих [22] указал на возможность существования собственных значений у спектральных задач в неограниченных областях. Его пример представлял собой резонатор, соединённый с бесконечным цилиндром. С темой собственных значений связаны и работы Ф. Урсслла [30], [31], которому мы обязаны термином «trapping mode». Он теоретически показал и подтвердил экспериментально наличие лопуптечных мод колебаний поверхности воды в канале с наклонным дном. Д. Джонс доказал аналогичное утверждение для случая плоского дна с локальным выступом-«горбом», а также для канала с погружённым в него цилиндром произвольного сечения |23|, С.
Принцип Рэлея и его модификации позволили существенно уточнить результаты Реллиха. Было установлено, что локально расширенный волновод и цилиндрический волновод с заполнением є ^ 1 обладают изолированными собственными значениями, лежащими ниже нижних границ их непрерывных спектров. Напротив, локально сжатый волновод и цилиндрический волновод с ^ 1 изолированными собственными значениями не обладают [34].
В 80—90-е годы выяснилось [27], что ловушечными модами обладают изогнутые вол-поводы даже постоянного сечения (подробнее см. [35]). Это было серьёзной неожиданностью для исследователей. Из названий цитированных статей явствует, что указанные авторы подошли к волиоведущим системам со стороны квантовой механики. Объектом их исследования являлось поведение частицы в трубе с непроницаемыми стенками. Эта «труба» может быть и двумерной, т. к. можно создать систему, где частицы, например электроны, движутся в эффективно двумерной области. При этом, если потенциал V в полосе постоянен, можно считать его нулевым и стационарное уравнение Шрёдингера
где т — эффективная масса электрона в такой системе, приобретает вид уравнения Гельмгольца
(Л + к2)ф = о,
,о 2тЕ
Интерес специалистов к подобным фактам очевиден: наличие связанных состояний в системе, где никаких классических «потенциальных ям» нет. Этой же тематикой интересуются и авторы работ [36]—139]. В [38] предложен метод приближённого расчёта собственных частот и собственных мод коленообразного волновода методом сшивания частичных сумм рядов Фурье. В статье [36] описано нахождение первого собственного значения (частоты низшей ловушечной моды) методом релаксации. Очевидно, этот последний может быть применён к довольно общему классу геометрий волновода. Однако основной частью их результата было сравнение теории с экспериментом. Исследования, описанные в [37], могут служить замечательным примером применения принципа аналогий (см. [40], с. 17). Авторы, указывая на тот факт, что Т/?-мода в электромагнитном волноводе описывается полностью аналогичной задачей, строят электромагнитную систему, проводят в ней измерения распределения полей Е и В с помощью детально разработанного метода, основанного на сдвиге резонансной частоты, а также измерения самой резонансной частоты. На основании теоретически предсказанной конфигурации волновой функции и измеренного распределения полей они подтверждают утверждение Wang'a о том, что зарегистрированное в опыте McEuen'a [41] изменение поперечной проводимости системы связано с туииелированием электрона проводимости через область, где модуль пси-функции связанного в волноводе электрона достаточно велик. Также для рассматриваемого класса систем экспериментально выявлено наличие или отсутствие второй (антисимметричной) связанной моды в зависимости от геометрии системы.
В недавней работе [42] можно найти ещё один метод приближённого вычисления собственных значений и собственных мод областей П., представляющих собой конечное число полутруб, соединённых с ограниченной областью. В его основе лежит разложение функции и, заданной в рассматриваемой области, по собственным функциям ограниченной части Q0. а также разложение следа и на сечениях, отделяющих Г2П от полутруб, по собственным функциям сечений. При этом, вообще говоря, указанные собственные функции могут быть найдены лишь приближённо (что в принципе может повлечь неконтролируемую ошибку в разложении). С другой стороны, существенным достоинством метода является его возможность отыскивать не только собственные значения, но и комплексные резоиансы. Также комплексные резонансы могут быть приближённо найдены методом, описанным в [43]. Это чисто численный метод, основанный на замене бесконечных труб фиктивной границей с условием полного поглощения (perfectly matched layer, PML).
В то же время для широкого класса двумерных и трёхмерных волноводов, в том
числе с негладкой границей, а также волноведущих систем с резонатором доказать существование ловушечных мод, лежащих ниже непрерывного спектра, можно конструктивно, в чём состоит одна из целей диссертации. Таким образом, наши цели несколько отличны и от работ чисто теоретического плана, таких как [27], [44], и от работ, посвященным собственно вычислительным методам [36]—[39], [42], [43]. Отличие от первых состоит в использовании для доказательства сущестования ловушечных мод численных методов. Отличие от работ второго типа состоит в получении и применении гарантированных оценок, необходимых для этого доказательства в случае каждой конкретной системы, поскольку лишь утверждения о сходимости метода в данном случае принципиально недостаточно.
Основной идеей, используемой в работе с этой целью, является вычисление двусторонних оценок собственных значений сечений полубесконечных труб по формуле (4) и оценок сверху собственных значений задачи (8), лежащих ниже непрерывного спектра. Последние могут быть записаны с помощью принципа минимакса в виде ([45], т. 4, с. 91-92)
ц3 = sup mi —-; г— (9)
и оценены по формулам
. (Уц,Уи)
Hj = sup inf — г-, (10)
{^1,...,^-1) v,es%,u±ti>i,...,ii>m-i [чи, и)
где ф\,..., Фт-1 Є Hq(V), Sfj — подпространство в Hq(V) (последнее условие мы будем называть требованием конформности проекционного метода). Если первые М (М = 0,1,2,...) значений /л, доставляемые формулой (9), оказались меньше Аь то можно утверждать, что в волноводе существуют ловугаечпые моды, квадраты частот которых равны ц. Для численного моделирования важно, что приближённые собственные значения, вычисленные произвольным конформным проекционным методом согласно формуле (10), с необходимостью не меньше соответствующих собственных значений непрерывной задачи: ц3 ^ Д., при //., < А]. Отсюда следует, что нахождение М таких приближённых собственных значений {Д^}^і, что \i3 < Aj_ = Ai, гарантирует существование в волноведущей системе не менее М ловушечных мод, лежащих ниже непрерывного спектра. Поскольку, в свою очередь, Ai может быть оценено снизу по формуле (4), во многих конкретных случаях оказывается возможным численно доказать существование таких ловушечных мод. С целью иллюстрации этого подхода в диссертации сначала рассмотрено несколько плоских волноводов, причём для того, чтобы триангуляция не нарушала конформность дискретных подпространств, вогнутый участок границы был заменён ломаной из касательных с достаточно большим числом звеньев. Далее рассмотрено несколько примеров волноведущих систем сложной геометрии, для которых описанным выше методом установлено существование ловушечных мод.
Таким образом, подход, предлагаемый в работе, даёт возможность численно установить существование ловушечнои моды в волноведущси системе в случаях, когда это не следует из известных теоретических результатов. В частности, такой системой может быть волновод с резонатором сложной формы, для собственного значения которого нельзя получить хорошую оценку сверху, вписав в пего стандартную область с известным спектром: параллелепипед, шар и т. п. Другой пример — «изломанный» волновод с негладкой границей (поверхностью). Этот подход также позволяет найти частоты, на которых гарантируется работа волновода в режиме распространения гармонических колебаний, то есть не происходит резонанса. Полученные в работе двусторонние оценки собственных значений области (в том числе и задачи «с весом») представляют и самостоятельный интерес, а подпрограмма, написанная для вычисления параметров дискретизации задачи методом конечных элементов в пакете PDE Toolbox, может найти широкое применение для оценки погрешности приближённых решений, вычисляемых с помощью PDE Toolbox.
Так, для краевой задачи в ограниченной области Г2
Г С„и = -Ли - к2(х)и = /, х = (ху,..., хп) eQ,
где / Є L2(f2), О < к2 ^ к2(х) Є L(Q), предложен способ вычисления оценок погрешности приближённого решения проекционным методом, пробное пространство которого удовлетворяет условию (1). В диссертации сформулированы явные алгоритмы вычисления оценки погрешности.
Ещё одной из актуальных проблем является построение специальных проекционных методов. Так, в работах И. Бабушки и М. Меленка предложен так называемый обобщённый метод конечных элементов (generalized FEM), суть которого в выборе особых базисных срункций (функций формы), а в работах С. Саутера показано, как такой специальный выбор позволяет улучшить сходимость. С другой стороны, интересно и практически ценно гак называемое явление супереходимости (supereonvergence phenomenon), которое заключается в том, что в некоторых точках расчётной области (положение которых можно определить) приближённое решение сходится к точному быстрее, чем гарантируется общей оценкой в интегральной или равномерной норме. В диссертации (глава 4) объединены эти два подхода и предложен проекционный метод, гарантирующий совпадение приближённого решения с точным в наперёд заданных точках для краевой задачи для некоторого класса ОДУ 2-го порядка
J Lu = -и" + Ь{х)и' + с(х)и = /, х Є (0; 1),
\ и(0) = и(1) = 0.
где / Є L2(0;1), с Є L(0; 1), a b(x) «кусочно-W^», что означает, что отрезок [0; 1]
Таким образом, подход, предлагаемый в работе, даёт возможность численно установить существование ловушечной моды в волноведущсй системе в случаях, когда это не следует из известных теоретических результатов. В частности, такой системой может быть волновод с резонатором сложной формы, для собственного значения которого нельзя получить хорошую оценку сверху, вписав в него стандартную область с известным спектром: параллелепипед, шар и т. п. Другой пример — «изломанный» волновод с негладкой границей (поверхностью). Этот подход также позволяет найти частоты, на которых гарантируется работа волновода в режиме распространения гармонических колебаний, то есть не происходит резонанса. Полученные в работе двусторонние оценки собственных значений области (в том числе и задачи «с весом») представляют и самостоятельный интерес, а подпрограмма, написанная для вычисления параметров дискретизации задачи методом конечных элементов в пакете PDE Toolbox, может найти широкое применение для оценки погрешности приближённых решений, вычисляемых с помощью PDE Toolbox.
Так, для краевой задачи в ограниченной области Q
Сии = -Аи - к2(х)и = /, х = (xi...., хп) еП,
ч\эп = О,
где / Є L2(Q), О < Щ ^ к~(х) Є L(Q), предложен способ вычисления оценок погрешности приближённого решения проекционным методом, пробное пространство которого удовлетворяет условию (1). В диссертации^сформулированы явные алгоритмы вычисления оценки погрешности.
Ещё одной из актуальных проблем является построение специальных проекционных методов. Так, в работах И. Бабушки и М. Меленка предложен так называемый обобщённый метод конечных элементов (generalized FEM), суть которого в выборе особых базисных функций (функций формы), а в работах С. Саутера показано, как такой специальный выбор позволяет улучшить сходимость. С другой стороны, интересно и практически ценно так называемое явление еупереходимоеги (superconvergence phenomenon), которое заключается в том, что в некоторых точках расчётной области (положение которых можно определить) приближённое решение сходится к точному быстрее, чем гарантируется общей оценкой в интегральной или равномерной норме. В диссертации (глава 4) объединены эти два подхода и предложен проекционный метод, гарантируюпщй совпадение приближённого решения с точным в наперёд заданных точках для краевой задачи для некоторого класса ОДУ 2-го порядка
Lu = -и" + Ь{х)и' + с(х)и = /, х Є (0; 1), и(0) = и(1) = 0.
где / Є L2(0;1), с Є L(0;1), a b(x) «кусочно-W^», что означает, что отрезок [0; 1]
можно разбить на конечное число отрезков [ж^ж^+і], на каждом из которых Ь(х) принадлежит W^Xk] Xk+ij- Непрерывности Ъ на всём [0; 1] не требуется. Ограничений на знаки коэффициентов тоже пет.
К задаче (12) применяется метод Галёркина—Петрова, т. е. решение ищется в виде линейной комбинации пробных функций {ipn}n=\i а условие ортогональности невязки поверочным функциям {ipm}m=\ записывается в виде
/ {v^'m + b(x)v'i/;w+c(x)w4>Tn)dx= / fip7ndx,
Jo Jo
где m = 1,..., M, v = Yln=\ vnfn — приближённое решение.
Основная идея состоит в использовании в качестве поверочных функций проекционного метода функций, удовлетворяющих однородному сопряжённому уравнению. Точнее, пусть дано множество точек 0 = Xq < х-у < ... < Ждг-1 < xn = 1) к которых мы хотим знать решение без погрешности. В это множество необходимо включить точки разрыва коэффициента Ь(х). Предположим, что на каждом интервале (а;„_г, хп), г = 1,..., N однородная краевая задача Дирихле для оператора L*
Г L*il){x) = 0,
^ (13)
І і/>(ж»-і) = Ф(хп) = 0
имеет только тривиальное решение, т. е. число 0 не является собственным значением этих операторов ни на одном из этих отрезков. (Это равносильно однозначной разрешимости задачи для оператора L. Если это условие не выполняется, можно добиться его выполнения, разбив отрезки, где оно нарушается, новыми точками.) Тогда однозначно разрешимы и краевые задачи
Ь*фЫ(х)=0,
ф^{хп.1) = 1,
г/42)(*„_і)=0,
№Ы = і-
Поверочные функции выбирались следующим образом, обобщающим обычные для традиционного метода конечных элементов кусочно аффинные функции. Пусть для л = 1,...,JV-1
i>n\X) ПРИ Х Є [Xn-UXr,],
ііф) = { V-i+iO*) при х Є [хп;хпН], (14)
0 при остальных х.
Доказана следующая теорема: Пусть:
дифференциальная задача (12) в обобщённой постановке однозначно разрешима;
задачи (13) для всех отрезков [жп_і;.тп], п = 1,..., N, имеют только тривиальное решение;
пробные функции принадлежат /7q[0;1] (отметим, что поверочные принадлежат этому пространству по построению);
существуют линейные комбинации &п(х) = X)n=i ап 4>п{%) пробных функций, удовлетворяющие условиям (р^п{хп) = дтп, ni,n = 1,... ,N — 1 (отсюда, в частности, следует линейная независимость как системы указанных линейных комбинаций, так и исходной системы функций {ipm(x)})\
СЛАУ метода Галёркина с выбранными функциями {<Рт(х)}т=\ п Ы'т(х)}т=ъ построенными по формуле (14), однозначно разрешима.
Тогда верны равенства
v(xn) = и(хп), п = 0,... ,N,
то есть приближённое решение совпадает с точным в выбранных точках.
Более того, согласно другой доказанной в главе теореме, если к рассмотренной выше системе пробных и поверочных функций добавить ещё по равному количеству новых функций, то указанные равенства не нарушатся (конечно, при условии, что система линейных уравнений метода Галёркина останется однозначно разрешимой).
В качестве иллюстрации приведены графики решений одномерного уравнения типа Гельмгольца стандартным методом конечных элементов и предлагаемым методом. Видно, что уже при использовании грубой сетки этот проекционный метод, в отличие от стандартного, правильно передает амплитуду и длину волны решения.
Основные результаты работы, выносимые на защиту, заключаются в следующем:
построены алгоритмически несложные гарантированные двусторонние оценки собственных значений задачи Дирихле для оператора Лапласа в выпуклой многоугольной области;
построены оценки частот ловушечных мод волноведущих систем;
полученные оценки использованы с целью численного доказательства существования ловушечных мод, лежащих ниже непрерывного спектра, в 'тех случаях, когда этот факт не может быть выведен из известных теоретических результатов;
эти оценки также использованы для нахождения частот, на которых реализуется режим распространения гармонических колебаний в волноводе;
построен явный алгоритм вычисления гарантированных оценок погрешности приближённого решения проекционным методом краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка, оператор которой может не быть знакоопределённым (оценки погрешности в 1?- и /Уц-нормах);
для некоторого класса ОДУ построен проекционный метод, позволяющий найти с нулевой погрешностью значение точного решения в узлах сетки;
написана подпрограмма на языке MatLab, которая может быть встроена в пакет инструментов PDE Toolbox и использована для оценки погрешности приближённых решений краевых задач, получаемых с помощью программ этого пакета.
По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ. Основные результаты первой главы изложены в |46] и |47|. Результаты второй главы изложены в |28|, |29] и были доложены, вместе с тесно связанными с ними результатами первой главы, на научном семинаре «Численные методы электродинамики» физического факультета МГУ под рук. проф. А. Г. Свешникова и проф. А. С. Ильинского в 2008 г. и на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ, а также частично на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» в 2006 года' [48]. Результаты первой и второй главы более подробно будут изложены в статье, поданной в печать в журнал «Вычислительные методы и программирование». Результаты третьей главы опубликованы в [49], а также доложены на семинаре «Численные методы электродинамики» и частично на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» в 2008 году [50]. Результаты четвёртой главы изложены в [51] и были доложены на научном семинаре кафедры математики физического факультета.
Основные результаты докладывались
на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского, в 2007 году;
на Международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения акад. И. Н. Векуа, в 2007 году;
на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» в 2006 и 2008 годах;
на научном семинаре «Численные методы электродинамики» физического фа
культета МГУ под рук. проф. А. Г. Свешникова и проф. А. С. Ильинского (в 2008
г.);
на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ.
Оценка аппроксимации
Настоящая диссертация посвящена вопросам оценок точности приближённых решений задач математической физики и их применению в теории волноведущих систем. С ростом возможностей вычислительной техники, позволивших решить весьма сложные краевые задачи математической физики, все более ощущается отсутствие простых алгоритмов, позволяющих получить оценки точности приближенного решения. Например, в настоящее время существуют ориентированные на широкую аудиторию коммерческие комплексы программ, такие как PDE Toolbox в MatLab e и FEMLab, реализующие алгоритм метода конечных элементов для всех основных линейных краевых задач в ограниченных областях размерности от 1 до 3, однако в этих программах не встроено вообще никакого механизма оценки точности полученного приближённого решения и пользователю не остается ничего другого, как сгустить сетку и визуально оценить скорость сходимости, хотя достоверность такой оценки никак не обоснована. Сходимость проекционных методов для линейных задач математической физики была строго доказана в 1960-70-х годах [1], однако в теоретических работах по численным методам обычно ограничиваются доказательством самого факта сходимости и нахождению её порядка.
Большинство известных алгоритмов оценки погрешности применимо только к краевым задачам для уравнения Пуассона или, более общо, к задачам с положительно определёнными операторами [2], [3], [4], [5], но, к сожалению, ни один из них пока не реализован в виде общедоступных комплексов программ. Вероятно, наиболее; простым в реализации будет алгоритм, основанный на апостериорных оценках, полученных недавно С. И. Репиным [б], [7] (см. также обзор [8]) и не требующий вычисления каких-либо общих констант, кроме оценки сверху константы в неравенстве Пуанкаре—Фридрихса. Однако имеются принципиальные препятствия для перенесения этого метода на задачи с незнакоопредслёнными операторами и, в частности, на задачи для уравнения Гсльм-гольца. Известные оценки для отклонения приближённого решения для всех основных уравнений математической физики были суммированы в работах М. Накао (см. [9], [10], [11]); в настоящей диссертации на их основе получены улучшенные оценки, построен и реализован алгоритм для оценки точности вычисления собственных значений операто pa Лапласа и построен значительно более сложный алгоритм оценки точности решения для уравнения Гсльмголъца, где коэффициент к2 может быть переменным. Предложенные алгоритмы пригодны не только для метода конечных элементов, но и для любого проекционного метода, для которого можно ввести аналог шага сетки.
С целью изложения результатов диссертации с единых позиций в начале первой главы вводятся основные понятия, используемые в работе. Пусть 2 — произвольная ограниченная область в евклидовом пространстве К", граница которой далее считается достаточно гладкой с тем, чтобы было возможно применять формулу Гаусса— Остроградского. Зададимся произвольным конечным набором функций, носитель которых лежит в Q, и образуем натянутую на них линейную оболочку S%. Даже если эти функции бесконечно гладкие, произвольную функцию v из L2{Q) или) нельзя приблизить элементом из Sjy относительно норм этих пространств, поскольку и в том, и в другом пространстве имеются элементы, ортогональные ко всем функциям { pi,.., PN}- Поэтому имеет смысл говорить лишь о близости S Y И некоторого линейного подпространства Х(1) пространства HQ(Q.). Поэтому вполне естественно взять в качестве X(Q) линейное пространство, образованное функциями из H (Q.), являющимися решениями однородных краевых задач Дирихле для уравнения Пуассона, правые части которых принадлежат 12{ії).
Плоский случай
Константа C(N) для произвольного проекционного метода играет ту же роль, которую в ироекционно-разиостных методах играет шаг сетки. Например, если Q — прямоугольник и в качестве {ipi, . . . , р } используются кусочно билинейные конечные элементы на квадратной сетке тага h, то C(N) = -. В диссертации приведены и другие примеры конкретных пространств конечных элементов, используемых на практике и удовлетворяющих условию (1). В частности, показано, что ему также удовлетворяют пространства, связанные с разложением по собственным функциям, которые могут быть использованы для решения краевой задачи в том случае, если эти собственные функции известны. Для каждого из рассмотренных конечномерных подпространств указана оценка сверху для константы C(N). Для удобства обозначим через Рдг проектор, ставящий каждой функции v Є HQ(Q) функцию, реализующую точную нижнюю грань в левой части формулы (1). Его существование легко обосновать, например с помощью теоремы Рисса. Тогда (1) принимает вид У(«-Р «)ИС(Л0Ді;. (2) Нетрудно показать, что из требования (2) следует оценка \\и PNu\\ C(N)\\V(u - PNu)\\, (3) верная для всех и Є Яд(ГІ). Существенно, что константа C(N) в (1)—(3) мала: в случае, когда S% — пространство конечных элементов, она имеет порядок характерного размера сетки. Это и делает возможным применение пространства S для аппроксимации дифференциальных задач. Приведены примеры конкретных пространств конечных элементов, используемых па практике и удовлетворяющих условию (1). Показано, что ему также удовлетворяют пространства, связанные с разложением по собственным функциям, которые могут быть использованы для решения краевой задачи в том случае, если эти собственные функции известны. Для каждого из рассмотренных конечномерных подпространств указана оценка сверху для константы C(N). Существенно, что если для некоторого пространства бдг удаётся доказать (1), то отсюда автоматически следует (3) и, следовательно, для дискретизации в любом таком подпространстве выполняются полученные в диссертации оценки.
В этой же главе поставлена и решена проблема вычисления двусторонней оценки собственных значений задачи «с весом» 0 ро р(х) р\ Г Аи + Хри = О, 1 и\аи = О, использующая лишь свойство (3) пробного подпространства и не требующая предварительного вычисления каких-либо других величин. Полученная оценка имеет вид АГ,1 Є Л"1; А"1 + 2С(ЛГ) V V + (6W)Vi (4) Здесь Am — оценка сверху тп-го собственного значения сверху проекционным методом в пространстве S%, р\ — supp, C(N) — константа из (1). Основная идея метода состоит в использовании для пробного функционального подпространства оценки (3) в сочетании с минимаксной характеризацией собственных значений, предложенной Р. Курантом: А-х= inf sup Jf "). (5) {Фи-,Фт і) иЄН&(П),иХфі,...,іІ,т-і (VM, Vu) и А = mi sup —-———-, (6) {Фи - / m-i}uese .„j. ,,..., ., (VM, VM) где в обеих формулах {-фі,... ,ірт-і} — наборы из (т — 1) функций, принадлежащих я №). В процессе подготовки работы была написана подпрограмма на MatLab e, вычисляющая оценку сверху для C(N) в случае аппроксимации задачи в выпуклой многоугольной области в пространстве кусочно линейных конечных элементов. Именно такое пространство используется в PDE Toolbox. Па вход программы поступают данные о сетке, которые могут быть непосредственно экспортированы из PDE Toolbox a в рабочее пространство MatLab a. Эта подпрограмма может быть непосредственно встроена в PDE Toolbox и использована для оценки погрешности в других задачах, что представляет большой практический интерес. В диссертации результаты вычислений с её помощью использовались для оценок собственных значений конкретных областей, что было существенно использовано ниже в главе 2, посвященной численному исследованию спектральных свойств волновсдущих систем.
Теоретические исследования волноведущих систем ведутся довольно давно. Их начало положено классическими работами А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [12— [14]. Дальнейшее активное развитие этой области математической физики в нашей стране связано с именами Г. В. Киеунько [15], П. Е. Краснутпкнна, Е. И. Моисеева [16, А. Г. Свешникова [17]—[19], Р. В. Хохлова [20], В. П. Шестопалова [21] и ряда других учёных. Из зарубежных специалистов можно назвать Ф. Реллиха [22], Д. Джонса [23], П. Вернера [24]—[26], П. Экснера [27]. При этом исследовались как спектральные свойства соответствующего эллиптического уравнения [23] и распространение гармонических волн [14], так и сложные переходные процессы, связанные с начальными условиями [20] или резонансом [24]—[26] (см. также [28], [29]). Теория волноводов оказалась очень важной для самых разных разделов физики. Часть авторов занималась исследованиями в этой области, исходя из нужд электродинамики, других интересовали задачи акустики. Сходные проблемы возникали в теории волн на поверхности воды [30], [31).
Алгоритм вычисления приближённого решения и оценки погрешности
Ф. Реллихом и Д. Джонсом в 1940—50-х годах. Джонсом введено понятие непрерывного спектра как множества тех точек к2, для которых решение задачи (8), понимаемое в классическом смысле, существует, но его энергия неограничена. Физически это соответствует излучению бегущих волн в иолубесконечные трубы. Из результатов Джонса следует, что непрерывный спектр волновода образуют частоты, для которых к2 Є [Аі;+оо). Здесь Аі — наименьшее собственное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа на сечениях Q полубесконечных труб: U o, [ и\ш = 0. Квадратные корни из этих собственных значений, то есть числа ,получили название частот отсечки, потому что при переходе частоты возбуждения регулярного и локально нерегулярного волновода через каждую из них добавляется новая мода распространяющихся в волноводе волн [19]. Кроме того, при гармоническом возбуждении регулярного волновода на частотах, равных частотам отсечки, за исключением случая, когда возбуждение ортогонально соответствующей собственной функции сечения, в волноводе не устанавливается режим гармонических колебаний, а происходит рост амплитуды поля пропорционально \Д [24], 28[, [29]. Если же частота возбуждения отлична от частоты отсечки, то устанавливается гармоническое поле, то есть распространяющиеся волны. Поскольку нормальным режимом работы волновода как передатчика энергии (информации) является не резонансный режим, а распространение волн, то именно последний случай представляет наибольший практический интерес. Чтобы гарантировать отсутствие резонансного режима в регулярном волноводе при данной частоте возбуждения, достаточно доказать её отличие от всех частот отсечки. Таким образом, если для первых N собственных значений сечения {Аг} :1 найдены интервалы [\] Аг] (то есть показано, что А, Є [X; А,]), причём для данного к верно к2 Х _ и ни при каком і = 1,..., N к2 $. [Л ; Л,], то можно гарантировать (и в этом состоит одна из целей диссертации), что к не совпадает ни с одной из резонансных частот и, следовательно, режима резонанса в регулярном волноводе на данной частоте не будет.
Резонансное множество регулярного волновода исчерпывается частотами отсечки, а в нерегулярных (деформированных или со вставкой, то есть при q ф 1) волноводах могут существовать так называемые ловушечные моды, представляющие собой решения с ограниченной энергией (т. е. такие, для которых fn q\u\2dx со и Ju \Vu\2dx со) задачи (8). Некоторое время считалось, что оператор Лапласа в неограниченной области вообще не может иметь собственных функций с ограниченной энергией и его спектр полностью непрерывен. Такая уверенность основывалось на том факте, что это утверждение верно для простых областей: прямых цилиндров, конусов и всего пространства. Однако Ф. Рсллих [22] указал на возможность существования собственных значений у спектральных задач в неограниченных областях. Его пример представлял собой резонатор, соединённый с бесконечным цилиндром. С темой собственных значений связаны и работы Ф. Урсслла [30], [31], которому мы обязаны термином «trapping mode». Он теоретически показал и подтвердил экспериментально наличие лопуптечных мод колебаний поверхности воды в канале с наклонным дном. Д. Джонс доказал аналогичное утверждение для случая плоского дна с локальным выступом-«горбом», а также для канала с погружённым в него цилиндром произвольного сечения 23, С.
Принцип Рэлея и его модификации позволили существенно уточнить результаты Реллиха. Было установлено, что локально расширенный волновод и цилиндрический волновод с заполнением є 1 обладают изолированными собственными значениями, лежащими ниже нижних границ их непрерывных спектров. Напротив, локально сжатый волновод и цилиндрический волновод с 1 изолированными собственными значениями не обладают [34].
В 80—90-е годы выяснилось [27], что ловушечными модами обладают изогнутые вол-поводы даже постоянного сечения (подробнее см. [35]). Это было серьёзной неожиданностью для исследователей. Из названий цитированных статей явствует, что указанные авторы подошли к волиоведущим системам со стороны квантовой механики. Объектом их исследования являлось поведение частицы в трубе с непроницаемыми стенками. Эта «труба» может быть и двумерной, т. к. можно создать систему, где частицы, например электроны, движутся в эффективно двумерной области.
Интерес специалистов к подобным фактам очевиден: наличие связанных состояний в системе, где никаких классических «потенциальных ям» нет. Этой же тематикой интересуются и авторы работ [36]—139]. В [38] предложен метод приближённого расчёта собственных частот и собственных мод коленообразного волновода методом сшивания частичных сумм рядов Фурье. В статье [36] описано нахождение первого собственного значения (частоты низшей ловушечной моды) методом релаксации. Очевидно, этот последний может быть применён к довольно общему классу геометрий волновода. Однако основной частью их результата было сравнение теории с экспериментом. Исследования, описанные в [37], могут служить замечательным примером применения принципа аналогий (см. [40], с. 17). Авторы, указывая на тот факт, что Т/?-мода в электромагнитном волноводе описывается полностью аналогичной задачей, строят электромагнитную систему, проводят в ней измерения распределения полей Е и В с помощью детально разработанного метода, основанного на сдвиге резонансной частоты, а также измерения самой резонансной частоты. На основании теоретически предсказанной конфигурации волновой функции и измеренного распределения полей они подтверждают утверждение Wang a о том, что зарегистрированное в опыте McEuen a [41] изменение поперечной проводимости системы связано с туииелированием электрона проводимости через область, где модуль пси-функции связанного в волноводе электрона достаточно велик. Также для рассматриваемого класса систем экспериментально выявлено наличие или отсутствие второй (антисимметричной) связанной моды в зависимости от геометрии системы.
Рассматриваемая дифференциальная задача
В недавней работе [42] можно найти ещё один метод приближённого вычисления собственных значений и собственных мод областей П., представляющих собой конечное число полутруб, соединённых с ограниченной областью. В его основе лежит разложение функции и, заданной в рассматриваемой области, по собственным функциям ограниченной части Q0. а также разложение следа и на сечениях, отделяющих Г2П от полутруб, по собственным функциям сечений. При этом, вообще говоря, указанные собственные функции могут быть найдены лишь приближённо (что в принципе может повлечь неконтролируемую ошибку в разложении). С другой стороны, существенным достоинством метода является его возможность отыскивать не только собственные значения, но и комплексные резоиансы. Также комплексные резонансы могут быть приближённо найдены методом, описанным в [43]. Это чисто численный метод, основанный на замене бесконечных труб фиктивной границей с условием полного поглощения (perfectly matched layer, PML).
В то же время для широкого класса двумерных и трёхмерных волноводов, в том числе с негладкой границей, а также волноведущих систем с резонатором доказать существование ловушечных мод, лежащих ниже непрерывного спектра, можно конструктивно, в чём состоит одна из целей диссертации. Таким образом, наши цели несколько отличны и от работ чисто теоретического плана, таких как [27], [44], и от работ, посвященным собственно вычислительным методам [36]—[39], [42], [43]. Отличие от первых состоит в использовании для доказательства сущестования ловушечных мод численных методов. Отличие от работ второго типа состоит в получении и применении гарантированных оценок, необходимых для этого доказательства в случае каждой конкретной системы, поскольку лишь утверждения о сходимости метода в данном случае принципиально недостаточно.
Ещё одной из актуальных проблем является построение специальных проекционных методов. Так, в работах И. Бабушки и М. Меленка предложен так называемый обобщённый метод конечных элементов (generalized FEM), суть которого в выборе особых базисных срункций (функций формы), а в работах С. Саутера показано, как такой специальный выбор позволяет улучшить сходимость. С другой стороны, интересно и практически ценно гак называемое явление супереходимости (supereonvergence phenomenon), которое заключается в том, что в некоторых точках расчётной области (положение которых можно определить) приближённое решение сходится к точному быстрее, чем гарантируется общей оценкой в интегральной или равномерной норме. В диссертации (глава 4) объединены эти два подхода и предложен проекционный метод, гарантирующий совпадение приближённого решения с точным в наперёд заданных точках для краевой задачи для некоторого класса ОДУ 2-го порядка J Lu = -и" + Ь{х)и + с(х)и = /, х Є (0; 1), \ и(0) = и(1) = 0. где / Є L2(0;1), с Є L(0; 1), a b(x) «кусочно-W », что означает, что отрезок [0; 1] Таким образом, подход, предлагаемый в работе, даёт возможность численно установить существование ловушечной моды в волноведущсй системе в случаях, когда это не следует из известных теоретических результатов. В частности, такой системой может быть волновод с резонатором сложной формы, для собственного значения которого нельзя получить хорошую оценку сверху, вписав в него стандартную область с известным спектром: параллелепипед, шар и т. п. Другой пример — «изломанный» волновод с негладкой границей (поверхностью). Этот подход также позволяет найти частоты, на которых гарантируется работа волновода в режиме распространения гармонических колебаний, то есть не происходит резонанса. Полученные в работе двусторонние оценки собственных значений области (в том числе и задачи «с весом») представляют и самостоятельный интерес, а подпрограмма, написанная для вычисления параметров дискретизации задачи методом конечных элементов в пакете PDE Toolbox, может найти широкое применение для оценки погрешности приближённых решений, вычисляемых с помощью PDE Toolbox.
Ещё одной из актуальных проблем является построение специальных проекционных методов. Так, в работах И. Бабушки и М. Меленка предложен так называемый обобщённый метод конечных элементов (generalized FEM), суть которого в выборе особых базисных функций (функций формы), а в работах С. Саутера показано, как такой специальный выбор позволяет улучшить сходимость. С другой стороны, интересно и практически ценно так называемое явление еупереходимоеги (superconvergence phenomenon), которое заключается в том, что в некоторых точках расчётной области (положение которых можно определить) приближённое решение сходится к точному быстрее, чем гарантируется общей оценкой в интегральной или равномерной норме.
