Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Модифицированная схема неполного метода Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода 22
1. Математическая постановка модифицированной схемы неполного метода Галеркина 22
2. Существование и единственность решения 28
3. Результаты численного моделирования 32
Глава II. Схема ортогонального метода Галеркина в решении задачи на собственные значения плоского нерегулярного волновода 38
1. Свойства собственных значений и собственных функций несамосопряженной краевой задачи Штурма-Лиувилля 38
2. Задача на собственные значения 44
3. Сверхпроводящие открытые резонаторы с софокусными цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы 49
Глава III. Модифицированная схема ортогонального метода Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода 76
1. Построение схемы ортогонального метода Галеркина 76
2. Существование, единственность и равносходимость решения, построенного по схеме ортогонального метода Галеркина 81
Заключение. 87
Литература 89
- Существование и единственность решения
- Свойства собственных значений и собственных функций несамосопряженной краевой задачи Штурма-Лиувилля
- Построение схемы ортогонального метода Галеркина
- Существование, единственность и равносходимость решения, построенного по схеме ортогонального метода Галеркина
Введение к работе
Теория нерегулярных волноводов получила свое развитие с середины 5 Ох годов, когда появилась потребность в теоретических и экспериментальных исследованиях радиолокационной техники и освоении дециметрового и сантиметрового диапазона волн. Результаты этих работ позволили создать основу для дальнейших исследований в радиофизике, электронике, оптике, акустике [1-9]. В них приведены сведения о собственных волнах волноводов различных сечений, приближенные и строгие схемы расчета, теория и свойства многополюсников.
Исследование коротковолновой части сантиметрового и миллиметрового диапазона привело к изучению новых волноводных явлений, в частности резонансных. В этом диапазоне волн очень важным является требование к точности проводимых расчетов. Размеры волноводных неоднородностей становятся сравнимы с длиной волны, вследствие чего важную роль играет анализ высших типов волн и их взаимодействий, что не может быть описано достаточно точно с помощью асимптотических методов [1-Ю]. Поэтому на первый план выходит разработка и обоснование методов решения волноводных задач в строгой электродинамической постановке. Математическая модель часто гораздо глубже эксперимента позволяет раскрыть и исследовать свойства физического объекта, получить количественные характеристики, что позволяет практически полностью исключить проектное экспериментирование и снизить время разработок.
Не умаляя роли и значения физического эксперимента, следует отметить, что информация, полученная в результате расчетов на ЭВМ, как решение строгой электродинамической задачи, часто оказывается значительно полнее соответствующих данных физического эксперимента.
В последнее время теория волноводов интенсивно развивается, о чем, в частности, свидетельствует огромное количество научных работ по исследованию различных волноведущих систем и разработке методов расчета этих систем.
Ряд важнейших вопросов математической теории волноводов был разработан А.Н. Тихоновым и А.А. Самарским [11,30], Г.В. Кисунько [2], П.Е. Краснушкиным [29], Л.А. Вайнштейном [10,12], Б.З. Каценеленбаумом [13-19], А.Г. Свешниковым [20-28] и др.
Типичная математическая постановка краевых задач теории волноводов заключается в нахождении решения дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющего граничным условиям и условиям излучения на бесконечности. В общем случае все три оператора, определяющие уравнение, граничные условия и условия излучения, могут быть несамосопряженными.
Основная идея большинства математических методов решения краевых задач теории волноводов содержится в работах Релея и состоит в разложении искомого решения по собственным функциям (нормальным волнам [29]) соответствующих спектральных задач и решении полученных алгебраических или дифференциальных уравнений для коэффициентов этих разложений.
В случае если оператор, задающий граничные условия является самосопряженным, то и спектральная задача, как правило, тоже является самосопряженной, её собственные функции ортогональны и образуют базис в соответствующем данной задаче функциональном пространстве.
Фундаментальную роль в теории волноводов играет теорема о полноте системы ТЕ и ТМ волн регулярного волновода, доказанная Тихоновым А.Н. и Самарским А.А. ([11,30]). Эта система функций выражается через собственные функции оператора Лапласа и используется в качестве базисной.
Эффективным методом решения краевых задач теории волноводов с самосопряженными граничными условиями является широко известный метод поперечных сечений, развитый в работах Каценеленбаума [13-19]. Его основная идея состоит в том, что поле в любом сечении нерегулярного участка представляется в виде бесконечной суммы полей волн обоих направлений, которые могут распространяться в так называемом волноводе сравнения - в регулярном волноводе того же сечения и с тем же распределением электрической и магнитной проницаемости по сечению. Коэффициенты этого разложения являются функциями продольной координаты и удовлетворяют бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Таким образом, трехмерная электродинамическая задача для нерегулярного волновода сводится к двухмерной задаче о полях в регулярном волноводе и одномерной задаче - к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
А.Г. Свешниковым был предложен и математически обоснован неполный метод Галеркина [28], который может быть применен для широкого класса несамосопряженных краевых задач. В применении к решению задач теории нерегулярных волноводов этот метод является модификацией метода поперечных сечений [23,25].
В этой схеме поперечные компоненты электромагнитного поля разлагаются по полной системе вектор-функций, соответствующих поперечным компонентам нормальных волн пустого волновода того же сечения, а продольные выражаются через поперечные. Таким образом, решение краевой задачи для уравнения в частных производных сводится к краевой задаче для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для коэффициентов разложения.
Конечно-разностные методы и метод конечных элементов [31] используются, когда трудно найти собственные волны для разложения полей, например в резонаторах сложной формы.
В особый класс выделяются волноводные задачи, имеющие особые точки (например ребра, разветвления, скачки поверхностей или граничных условий и т.д.). Эти задачи имеют важное значение, т.к. описывают такие физические устройства, как: волноводные излучатели, переходы, фильтры, фазовращатели др. В этом случае компоненты электромагнитного поля имеют сингулярную особенность в окрестности особой точки [8,32-43,49].
Методы решения таких задач делятся на численно-аналитические [8,10,32,43,46] и прямые [41,43-45].
Аналитические методы применяются для решения координатных и ряда некоординатных задач с кусочно-линейными границами, где все собственные функции частичных областей (круг, прямоугольник, отрезок) выписываются в явном виде. Эти методы основаны на использовании преобразования Фурье и методах теории функций комплексного переменного. Некоторые примеры аналитических методов: метод вычетов и модифицированный метод вычетов (ММВ)[32,44], метод факторизации и метод Винера-Хопфа [32,46], аналитический метод полу обращения (МПО)[44].
К прямым методам относятся: метод интегральных уравнений, метод частичных областей (МЧО) и вариационные методы.
Метод частичных областей (МЧО) [34,40,41,43,45,48,49], широко применяемый для решения многих волноводных задач дифракции, заключается в переходе к системе линейных алгебраических уравнений второго порядка, который осуществляется путем наложения классических или проекционных условий сшивания на тангенциальные компоненты полей на границе частичных областей. После переразложения полей по системам функций, полных в соседних частичных областях, исходная система функциональных уравнений приводит к бесконечной исходной системе линейных алгебраических уравнений второго порядка с несколькими подсистемами. После исключения подстановкой некоторых подсистем получается окончательная СЛАУ-ТІ с матричными коэффициентами в виде рядов и одна или несколько пересчетных формул для амплитуд исключенных волн.
Условия проекционного сшивания обеспечивают непрерывность потока вектора Умова-Пойтинга, то есть обеспечивают выполнение условия Мейкснера в особой точке. Впервые эта схема была применена Г.В. Кисунько в 1947 году [49].
Следует отметить, что в задачах с частичными областями также применяются специальные базисы, учитывающие вид решения в окрестности особой точке в явном виде [50-52]. В этом случае поле, например, аппроксимируется рядами Фурье по полиномам Гегенбауэра и Чебышева.
Если оператор, задающий граничные условия в исходной электродинамической краевой задаче является несамосопряженным, то и соответствующая спектральная задача также является несамосопряженной. Граничное условие третьего рода с малым по модулю комплексным параметром называется "слабо несамосопряженным" граничным условием.
Одним из примеров такой модели является модель импедансного волновода. Она позволяет с единых позиций исследовать самые различные неконсервативные вол но ведущие системы (волноводы с неидеальной проводимостью стенок, спиральные, гофрированные и гребенчатые волноводы и т.д.). Наряду с классическими импедансными граничными условиями Щукина-Леон говича [53] существуют и условия, заменяющие электродинамические условия на моделируемых поверхностях [19,54,55]. Эти импеданс ные условия в общем случае являются "слабо несамосопряжен ны ми".
Математическое моделирование волноводов на основе эквивалентных граничных импедансных условий потребовало создания и разработки эффективных математических методов решения, возникающих при этом несамосопряженных краевых задач.
Методы решения волноводных задач с импедансными граничными условиями по идеологии близки к методам решения задач без импедансньтх условий, рассмотренных выше.
В работах Б.З. Каценеленбаума данная задача решается путем последовательного разложения полей в ряд по степеням малой величины, являющейся комплексным волновым сопротивлением материала стенок волновода [14].
Другой подход заключается в разложении решения по собственным волнам волновода той же формы, но без импедансных граничных условий [56-59], далее развитый в работе [55]. В этом случае импедансные граничные условия выполняются в среднем.
Метод интегральных преобразований [55, 60] сводит задачу к интегральному уравнению с особенностью.
Еще один метод решения состоит в разложении решения по собственным функциям особого вида, имеющим необходимую особенность в окрестности особой точки.
Ортогональный метод Галеркина, предложенный В.П. Моденовым [61,62], позволяет решать широкий класс волноводных задач. Его особенность заключается в разложении решения по собственным функциям, строго удовлетворяющим граничным условиям.
Целью данной работы было решение задачи дифракции в плоском волноводе с нерегулярностями двух видов: неоднородным диэлектрическим заполнением и импедансными граничными условиями на поверхности волновода.
Повышенный интерес к частично заполненным волноводам объясняется тем, что, изменяя вид заполнения и диэлектрическую или магнитную проницаемость заполняемого материала, можно в широких пределах управлять различными характеристиками волноведущей системы (постоянной распространения, критическими длинами волн, распределением потока энергии и т.д.). Данная возможность является принципиальной основой для конструирования миниатюрных и широкополосных устройств СВЧ диапазона.
В тоже время наиболее интересная с физической точки зрения область исследования находится вблизи резонансной частоты, где наиболее сильно сказывается неоднородность заполнения и потери, возникающие в неоднородности и стенках волновода. Все это требует строгого, с учетом потерь, решения соответствующей электродинамической задачи [63-66].
Физическими объектами исследования были выбраны полупроводники, биообъекты (диэлектрики с комплекснозначной диэлектрической проницаемостью) и сверхпроводники.
Таким образом, актуальным является разработка математических методов решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными "слабо несамосопряженными" граничными условиями третьего рода и переменными коэффициентами.
Цель диссертационной работы исследование: математическими методами краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряженными граничными условиями и переменными коэффициентами; постоянных распространения плоского градиентного волновода; импедансной модели сверхпроводников на примере открытого конфокального резонатора с цилиндрическими зеркалами.
Основные положения, выносимые на защиту: модифицированные, с учетом условия Мейкснера, схемы метода Галеркина, ориентированные на решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряженными граничными условиями третьего рода и с переменными коэффициентами; математическое обоснование, численное исследование и практическая реализация на примере рассмотренной краевой задачи предложенных схем метода Галеркина; применение решения данной краевой задачи при математическом моделировании электромагнитных колебаний в плоском волноводе с неоднородным диэлектрическим заполнением и импедансными граничными условиями; схема ортогонального метода Галеркина и импедансная модель сверхпроводников в решении задачи на собственные значения для плоского градиентоного волновода со сверхпроводящей стенкой; исследование импеданснои модели сверхпроводящих пленок в задаче расчета открытых резонаторов, образованных цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы из материалов конечной проводимости.
Научная и практическая значимость данной работы вытекает из актуальности темы и полученных результатов. Поставлена и решена математическая задача дифракции электромагнитного поля в плоском нерегулярном волноводе с импеданснои границей и диэлектрическим заполнением. Для решения этой задачи предложены и обоснованы модифицированные схемы неполного и ортогонального методов Галеркина с учетом условия Мейкснера в точках разрыва граничных условий.
Впервые рассмотрена схема ортогонального метода Галеркина при решении задачи на собственные значения плоского градиентного волновода с импедансной стенкой.
Приведенные в диссертации модифицированные схемы метода Галеркина могут быть применены на практике для решения задач дифракции в плоском волноводе с неоднородным заполнением и импедансными граничными условиями. Численные результаты математического моделирования представляют физический интерес и позволяют сделать вывод как о возможности изучения свойств различных физических объектов, таких как биообъекты, полупроводники, сверхпроводники в волноводах, так и о возможности изменения выходных характеристик таких устройств путем изменения свойств соответствующих физических объектов. Работа может найти применение в теории импедансной модели плоского волновода с диэлектрическим заполнением, которая описывает широкий класс физических явлений (волноводно-резонансных, диссипативно-резонансных, аномально малого поглощения, переходного излучения, фазовой коррекции и др.).
Достоверность и обоснованность результатов. Предлагаемые в диссертации математические методы математически строго обосновываются. При практической реализации этих методов точность вычислений контролировалась. Многие из полученных результатов сравнивались с экспериментами и численными данными, полученными другими методами [67-70].
Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных и Всероссийских конференциях и семинарах:
IV Всероссийская научно-техническая конференция "Состояние и проблемы технических измерений". Москва. Декабрь. 1997.
Пятая Всероссийская Научная Конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-5. Екатеринбург. Апрель 1999. VI Международная научно-техническая конференция "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ". Самара. Сентябрь. 1999. а также на семинарах кафедры математики.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата [70,82,83,89,96,97,100,114,115,129,130].
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Она содержит 102 стр., список литературы из 126 наименований, включая 11 публикаций автора.
Содержание
Первая глава диссертации посвящена исследованию модифицированной схемы неполного метода Галеркина в теории плоского нерегулярного волновода.
В первом параграфе этой главы рассмотрена строгая постановка задачи дифракции электромагнитных волн в плоском нерегулярном волноводе, с импедансными граничными условиями и диэлектрической неоднородностью, с учетом выполнения проекционных условий сшивания, обеспечивающих как непрерывность полей, так и выполнение условия Мейкснера (ограниченности поля вблизи особой точки). Впервые обсуждается учет условий Мейкснера. Следуя логике работ Свешникова и Ильинского [58,59] во втором параграфе доказывается существование, единственность и сходимость приближенного решения к точному. Отличительная особенность модифицированной схемы неполного метода Галеркина заключается в разложении решения по собственным функциям волновода с идеальными стенками. При этом импедансное граничное условие выполняется в среднем.
В третьем параграфе на примере задачи с неоднородным заполнением проведено сравнение с экспериментальными и численными данными, полученными другими методами (метод интегральных уравнений, метод нормальных волн) [67-70]. В ходе численного эксперимента изучалось влияние поглощения в диэлектрике на распределение поля внутри и вне его, а также влияние поглощения на резонансные свойства таких систем.
Было изучено влияние потерь в полупроводнике на частотную резонансную кривую коэффициентов отражения и прохождения. Полученные результаты позволяют сделать вывод о возможности модуляции сигнала на заданной резонансной частоте путем изменения электродинамической характеристики полупроводника — мнимой части диэлектрической проницаемости, например, фотовоздействием.
Другая часть численного моделирования была посвящена волноводному электромагнитному зондированию биообъектов. Проблемы, связанные с исследованием взаимодействия электромагнитного поля с биообъектами, являются актуальными как для биоэнергоинформатики, так и для современной практики биомедицинских исследований и лечебно-диагностических технологий [74-77].
Метод волноводного электромагнитного зондирования (ВЭМЗ) биообъекта [76] использует принцип аэродинамической грубы (волновода) и основан на анализе различной способности биологических тканей поглощать и рассеивать электромагнитное поле, определяемой основной физической величиной биообъекта - комплексной диэлектрической проницаемостью.
Диэлектрическая проницаемость является, в общем случае, кусочно-гладкой комплекснозначной функцией координат. Каждой такой функции соответствует определенная картина электромагнитного поля (линий уровня) внутри и вне биообъекта. И обратно: по рассчитанному или измеренному электромагнитному полю вблизи биообъекта можно, например, найти распределение диэлектрической проницаемости биообъекта и сравнить с функциональной нормой.
Таким образом, результаты исследования методом ВЭМЗ позволяют изучить пространственное распределение диэлектрической проницаемости биообъекта, а также сделать вывод о степени поглощения мощности СВЧ поля облучения в биологических тканях и другой диагностической информации, содержащейся в характеристиках рассеянного электромагнитного поля.
В данной работе метод ВЭМЗ применялся для волноводов прямоугольного поперечного сечения миллиметрового диапазона. Рассматривался случай диэлектрического включения в форме цилиндра с образующей, параллельной узким стенкам волновода, и высотой, равной расстоянию между широкими стенками волновода.
Для численного решения на ПЭВМ соответствующей краевой задачи использовался проекционный метод Галеркина, позволяющий проводить расчеты для произвольной переменной диэлектрической проницаемости в сечении, перпендикулярном оси цилиндрического заполнения.
Математическим моделированием установлена возможность исследования свойств биологического объекта по распределению электромагнитного поля внутри и вне биообъекта, помещенного в волновод.
Метод ВЭМЗ может найти применение при изучении гидратации широкого класса биообъектов и органических веществ, при диагностике заболеваний внутренних органов методом компьютерной электроструктурографии, в гипертермии, СВЧ-терапии и т.п. [71-73].
Изучение свойств таких объектов, как биообъекты и полупроводники, представляющих повышенный интерес для физических приложений, показало возможность их эффективного изучения вол но во дно-резонансными методами, рассмотренными в диссертации.
Вторая глава посвящена применению ортогонального метода Галеркина для решения задачи на собственные значения плоского градиентного волновода с импедансной границей.
Первый параграф этой главы посвящен использованию ортогонального метода Галеркина для решения краевых задач теории волноводов с несамосопряженными граничными условиями. Исследуются свойства собственных функций краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля с несамосопряженным граничным условием третьего рода. При выполнении условия невырожденности спектра собственных значений в комплексном пространстве с псевдоскалярным произведением имеют место следующие свойства собственных функций: ортогональность, отличие от нуля квадрата псевдо нормы, базисность, равносходимость [74,75]. Условие невырожденности спектра собственных значений определяет класс рассматриваемых задач, которые мы будем называть "слабо несамосопряженными".
Для нахождения собственных значений используется ДП-метод, предложенный и развитый В.П. Моденовым[76]. Этот метод основан на идее введения параметра и дифференцирования по этому параметру. При этом задача нахождения собственных значений сводится к задаче Коши для дифференциального уравнения с производной по параметру и алгебраической правой частью.
Второй параграф второй главы посвящен построению схемы ортогонального метода Галеркина в задаче на собственные значения в теории плоского градиентного диэлектрического волновода с импедансной границей.
Постоянная распространения является одной из важнейших характеристик волноведущих электродинамических устройств. Поэтому, разработке методов её расчета уделяется повышенное внимание, В основе многих методов лежит решение трансцендентного уравнения, что для сложных волноведущих систем связано с определенными трудностями. Поэтому весьма перспективным оказывается использование различных проекционных методов [77]. В данной работе применяется ортогональный метод Галеркина [67]. Математическая задача заключается в нахождении собственных значений краевой задачи для уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом в полосе, с условием первого рода на ее нижней границе и "слабо несамосопряженным" условием третьего рода на верхней границе этой полосы.
Решение краевой задачи проводилось ортогональным методом Галеркина. Приближенное решение искалось в виде конечного разложения по системе N собственных функций несамосопряженной краевой задачи Штурма-Лиу вилл я, собственные значения которой находились дифференциально-параметрическим методом (ДП-метод) [76]. Задача сводилась к нахождению собственных значений матрицы размером NxN (где N — число учитываемых мод).
Решение по методу Галеркина сравнивалось с решением дисперсионного уравнения методом Ньютона для волновода со слоем из поликора и сверхпроводящей стенкой. Численный эксперимент показал, как хорошую внутреннюю сходимость ортогонального метода Галеркина, так и совпадение, с высокой точностью, полученных этим методом численных результатов с решением дисперсионного уравнения. В тоже время необходимо отметить, что в отличие от схем решения дисперсионных уравнений, применение схемы ортогонального метода Галеркина дает возможность рассчитывать постоянные распространения в волноводах с кусочно-не прерывным заполнением. Это позволяет сделать вывод о возможности эффективного использования ортогонального метода Галеркина для расчета импеданс ных волноводов с диэлектрическим или иным заполнением, где сверхпроводящая стенка представлена через поверхностный импеданс сверхпроводника.
Третий параграф второй главы посвящен исследованию импедансной модели сверхпроводящих пленок на примере задачи о собственных значениях открытого конфокального резонатора с цилиндрическими зеркалами конечной проводимости. Данная работа была проведена совместно с В.Ф. Кравченко и Д,Г. Афониным [129]. Автор участвовал в теоретическом решении поставленной задачи, численной реализации и моделировании, анализе полученных результатов, а также частично в проведении физического эксперимента.
Успехи в разработке и производстве сверхпроводящих (СП) материалов сделали возможным построение на их основе различных СВЧ устройств и антенн. Применение СП структур приводит к существенному уменьшению диссипативных потерь, увеличению добротности резонансных элементов, дополнительным возможностям управления в перестраиваемых элементах.
Важную роль при решении краевых задач электродинамики СП структур играют граничные условия Леонтовича [53]: [nE] = -Zs[n[nH]l где величина Zs~Rs—iXs является параметром материала и называется поверхностным импедансом сверхпроводника. Поверхностный импеданс определяет амплитудные и фазовые соотношения между компонентами электромагнитного поля у поверхности сверхпроводника.
Условия Леонтовича часто пишут в виде граничных условий третьего рода где индекс т обозначает тангенсальные компоненты поля.
Для определения поверхностного импеданса сверхпроводников необходим механизм описания сверхпроводимости через электродинамические параметры. До создания микроскопической теории сверхпроводимости при теоретических и экспериментальных исследованиях высокочастотных свойств сверхпроводников применялись феноменологические модели, в основу которых была положена двухжидкостная модель Гортера-Казимира [78]. Однако, описание поверхностного импеданса с помощью двухжидкостнои модели не всегда удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными, а в некоторых случаях просто невозможно объяснить те или иные особенности поведения сверхпроводников в высокочастотных полях. Несмотря на это феноменологические модели сыграли большую роль в изучении сверхпроводников. Ими часто пользуются и в настоящее время, так как они просты и наглядны, а в целом ряде случаев, которые касаются практического использования сверхпроводников, хорошо согласуются с экспериментом. Г. Лондон первым применил двухжидкостную модель Гортера - Казимира для описания поведения сверхпроводников в переменных полях. Согласно этой модели предполагается, что при температуре ниже критической, одна часть электронов находится в сверхпроводящем состоянии, а другая в нормальном.
Новая феноменологическая модель, предложенная Вольфом и Ма [79,80], впервые учитывает взаимодействие сверхпроводящих носителей с нормальными электронами, а также с неод норо дн остям и кристаллической структуры.
Эта модель хорошо согласуется с экспериментальными данными как для низкотемпературных, так и для высокотемпературных сверхпроводников. Модель Вольфа и Ма предсказывает зависимость Rs=cco , где 1<ст<2 для высокотемпературных сверхпроводников
Сверхпроводящие волноводы и открытые резонаторы широко применяются в целом ряде приборов СВЧ техники. Использование СП систем позволяет осуществлять передачу энергии практически без потерь и искажений на значительные расстояния, конструировать микроволновые стандарты частоты на основе твердотельных и вакуумных генераторов. Важной задачей является отыскание параметров и характеристик реальных волноводов, открытых резонансных структур, имеющих стенки, изготовленные из нормально проводящего материала с напыленным слоем сверхпроводника, сверхпроводящие стенки конечной толщины с учетом просачивания поля и сравнение полученных результатов с результатами для волноводов, резонаторов, имеющих массивные СП стенки и. зеркала [81].
В работе рассмотрены колебания в открытых резонаторах, образованных софокусными цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы из материалов с конечной проводимостью; для резонаторов с одно- и многослойными зеркальными покрытиями из нормально, низко- и высокотемпературных сверхпроводящих материалов получены и рассчитаны соотношения для спектра, добротности резонатора, распределения поля в резонансном объеме и плотности квазиповерхностного тока на зеркалах. Численные результаты для нормально проводящего металла сравнивались с экспериментом, выполненным на Физическом факультете МГУ (на кафедре радиофизики), и показали адекватность рассматриваемой модели.
Третья глава посвящена модифицированной схеме ортогонального метода Галеркина для решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряженными граничными условиями третьего рода и переменными коэффициентами.
Особенностью данной схемы является, с одной стороны, разложение решения по собственным функциям слабо несамосопряженной краевой задачи Штурм а-Лиу вилл я (удовлетворяющим фаничным условиям), а с другой стороны, строгий учет условий Мейкснера в особых точках. Последние следуют из выполнения условий проекционного сшивания.
Постановка данной задачи эквивалента задаче, поставленной при рассмотрении схемы неполного метода Галеркина, для которой доказаны теоремы существования и единственности.
Два точных решения этой задачи, одно, построенное по схеме неполного метода Галеркина, а другое - по схеме ортогонального метода Галеркина, являются равномерно равносходящимися.
Приближенное решение, построенное по схеме неполного метода Галеркина сходится к точному решению, как показано в Главе 1.
Дня приближенного решения, построенного по схеме ортогонального метода Галеркина, понятие сходимости к точному решению в этом пространстве со псевдоскалярным произведением не существует.
Во третьем парафафе этой главы проведены численные эксперименты. Данные, рассчитанные по схеме неполного метода Галеркина, сравнивались с данными по ортогональному методу Галеркина. Наличие импеданса (рассматривался импеданс сверхпроводника) заметно сказывается в области резонанса. При этом значения, полученные двумя различными методами, совпадают с высокой точностью, что свидетельствует о достоверности результатов.
Далее, рассмотрены резонансные свойства плоского волновода со сверхпроводящей стенкой. Математическая задача сводится к решению уравнения Гельмгольца с граничными условиями 3 рода на импедансной стенке. Приближенное решение ищется в виде конечной суммы по собственным функциям несамосопряженной краевой задачи Штурм а-Лиувилля. Изучалось влияние поверхностного импеданса сверхпроводника на резонансную частотную кривую коэффициента пропускания при дифракции на диэлектрической неоднородности.
Исследованные резонансные свойства плоского волновода со сверхпроводящей боковой поверхностью позволяют сделать вывод о возможности модуляции сигнала на резонансной частоте путем изменения характеристик сверхпроводника.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Существование и единственность решения
В этом параграфе, следуя логике работ А.Г. Свешникова и А,С. Ильинского [58,59] мы рассмотрим вывод энергетических соотношений для точного и приближенного решений. Далее пользуясь аналогией этих соотношений для точного и приближенного решений, мы получим условия ограниченности, из которых будет следовать существование и единственность приближенного решения. Рассмотрим математическую задачу (1.1.7 - Т. 1.13) Заметим, что поле при z О и z d представимо в виде: где Sn(z)- коэффициенты разложения функции и по собственным функциям рп{х) регулярных частей волновода. Применим вторую формулу Грина в прямоугольнике к функциям и и комплексно сопряженной и Рассмотрим интегральное соотношение Беря мнимую часть этого равенства, получаем Равенство (1.2.3) называется энергетическим соотношением. При выводе этого соотношения учтено, что Рассмотрим построение приближенного решения задачи (1.1.7 — 1.1.13) Пусть где {(pn{z)}- система функций, удовлетворяющая I краевой задачи (1.1.12). Коэффициенты S (z) найдем, потребовав выполнение следующих проекционных соотношений Для удовлетворения условиям сопряжения в интегральном смысле (1.1.9) и условию Мейснера в особых точках (1.1.10 или 1.1.13) запишем проекционные условия сшивания Из условий проекционного сшивания следует выполнение соотношений (1.1.13) для приближенного решения В нашем случае ПП (1.2.9) I Тогда условия проекционного сшивания (1.2.7) переходят в парциальные условия в сечениях z = 0 и z = d. Умножаем (1.2.6) на Сп (z)r суммируем, используем формулу Грина и соотношения (1.2.8), получаем такое же энергетическое выражение, что и для точного решения (1.2.3) образом, приближенное решение задачи (1,1.7 — 1.1.13), построенное по формулам (1.2.5 - Т.2.7) существует и единственно (с точностью до разложения по конечной системе функций Хп(х)).
Рассматривая функцию со =и-и и сводя соответствующую ей задачу к аналогичному энергетическому соотношению, можно показать сходимость приближенного решения к точному при N — оо, как это сделано в работе [22]. Таким образом имеет место следующая теорема. Теорема 1.2.1. Решение задачи (1.1.7 - 1.1,13) существует и единственно, при этом приближенное решение, построенное по модифицированной схеме неполного метода Галеркина (1.2.5 - 1.2.7), сходится к точному в пространстве L . В этом параграфе приводятся результаты численного моделирования. Физическими объектами исследования были выбраны полупроводники и биобъекты, представляющие значительный интерес. При этом достоверность получаемых результатов проверялась путем сравнения с экспериментальными и численными данными, полученными другими методами [67-70]. При этом исходная задача сводится к краевой задаче следующего вида которая решается методом дифференциальной прогонки. Одно из сравнений правильности работы программы было проведено со статьей [68], где методом частичных областей получены коэффициенты отражение и прохождения при дифракции волны Ню в плоском прямоугольном волноводе на асимметрическом диэлектрическом прямоугольном включении без потерь. Характерной особенностью является наличие резонанса при q l.6 (см. рис. 1.3.1), что связано с асимметричным положением включения, приводящему к возбуждению волн Н2Піо [55]. Целью численного эксперимента был анализ влияния потерь в полупроводнике на резонансную кривую и наличия гидратации в биообъекте (что соответствует мнимой части диэлектрической проницаемости) на распределение поля внутри и вне биообъекта. При анализе потерь в полупроводнике рассматривался плоский волновод (1 = 20мм) с включением из кремния ( = 9.6) в виде квадрата (10ммх\0мм), находящегося на расстоянии 4мм от стенки (см. 1.3.2).
Свойства собственных значений и собственных функций несамосопряженной краевой задачи Штурма-Лиувилля
В этом параграфе, следуя логике работ А.Г. Свешникова и А,С. Ильинского [58,59] мы рассмотрим вывод энергетических соотношений для точного и приближенного решений. Далее пользуясь аналогией этих значительный интерес. При этом достоверность получаемых результатов проверялась путем сравнения с экспериментальными и численными данными, полученными другими соотношений для точного и приближенного решений, мы получим условия ограниченности, из которых будет следовать существование и единственность приближенного решения. Рассмотрим математическую задачу (1.1.7 - Т. 1.13) Заметим, что поле при z О и z d представимо в виде: где Sn(z)- коэффициенты разложения функции и по собственным функциям рп{х) регулярных частей волновода. Применим вторую формулу Грина в прямоугольнике к функциям и и комплексно сопряженной и Рассмотрим интегральное соотношение Беря мнимую часть этого равенства, получаем Равенство (1.2.3) называется энергетическим соотношением. При выводе этого соотношения учтено, что Рассмотрим построение приближенного решения задачи (1.1.7 — 1.1.13) Пусть где {(pn{z)}- система функций, удовлетворяющая I краевой задачи (1.1.12). Коэффициенты S (z) найдем, потребовав выполнение следующих проекционных соотношений Для удовлетворения условиям сопряжения в интегральном смысле (1.1.9) и условию Мейснера в особых точках (1.1.10 или 1.1.13) запишем проекционные условия сшивания Из условий проекционного сшивания следует выполнение соотношений (1.1.13) для приближенного решения В нашем случае ПП (1.2.9) I Тогда условия проекционного сшивания (1.2.7) переходят в парциальные условия в сечениях z = 0 и z = d. Умножаем (1.2.6) на Сп (z)r суммируем, используем формулу Грина и соотношения (1.2.8), получаем такое же энергетическое выражение, что и для точного решения (1.2.3) образом, приближенное решение задачи (1,1.7 — 1.1.13), построенное по формулам (1.2.5 - Т.2.7) существует и единственно (с точностью до разложения по конечной системе функций Хп(х)). Рассматривая функцию со =и-и и сводя соотношений для точного и приближенного решений, мы получим условия ограниченности, из которых будет следовать существование и единственность приближенного решения. Рассмотрим математическую задачу (1.1.7 - Т. 1.13) Заметим, что поле при z О и z d представимо в виде: где Sn(z)- коэффициенты разложения функции и по собственным функциям рп{х) регулярных частей волновода. Применим вторую формулу Грина в прямоугольнике к функциям и и комплексно сопряженной и Рассмотрим интегральное соотношение Беря мнимую часть этого равенства, получаем Равенство (1.2.3) называется энергетическим соотношением.
При выводе этого соотношения учтено, что Рассмотрим построение приближенного решения задачи (1.1.7 — 1.1.13) Пусть где {(pn{z)}- система функций, удовлетворяющая I краевой задачи (1.1.12). Коэффициенты S (z) найдем, потребовав выполнение следующих проекционных соотношений Для удовлетворения условиям сопряжения в интегральном смысле (1.1.9) и условию Мейснера в особых точках (1.1.10 или 1.1.13) запишем проекционные условия сшивания Из условий проекционного сшивания следует выполнение соотношений (1.1.13) для приближенного решения В нашем случае ПП (1.2.9) I Тогда условия проекционного сшивания (1.2.7) переходят в парциальные условия в сечениях z = 0 и z = d. Умножаем (1.2.6) на Сп (z)r суммируем, используем формулу Грина и соотношения (1.2.8), получаем такое же энергетическое выражение, что и для точного решения (1.2.3) образом, приближенное решение задачи (1,1.7 — 1.1.13), построенное по формулам (1.2.5 - Т.2.7) существует и единственно (с точностью до разложения по конечной системе функций Хп(х)). Рассматривая функцию со =и-и и сводя соответствующую ей задачу к аналогичному энергетическому соотношению, можно показать сходимость приближенного решения к точному при N — оо, как это сделано в работе [22]. Таким образом имеет место следующая теорема. Теорема 1.2.1. Решение задачи (1.1.7 - 1.1,13) существует и единственно, при этом приближенное решение, построенное по модифицированной схеме неполного метода Галеркина (1.2.5 - 1.2.7), сходится к точному в пространстве L . В этом параграфе приводятся результаты численного моделирования. Физическими объектами исследования были выбраны полупроводники и биобъекты, представляющие соответствующую ей задачу к аналогичному энергетическому соотношению, можно показать сходимость приближенного решения к точному при N — оо, как это сделано в работе [22]. Таким образом имеет место следующая теорема. Теорема 1.2.1. Решение задачи (1.1.7 - 1.1,13) существует и единственно, при этом приближенное решение, построенное по модифицированной схеме неполного метода Галеркина (1.2.5 - 1.2.7), сходится к точному в пространстве L . В этом параграфе приводятся результаты численного моделирования. Физическими объектами исследования были выбраны полупроводники и биобъекты, представляющие методами [67-70]. При этом исходная задача сводится к краевой задаче следующего вида которая решается методом дифференциальной прогонки. Одно из сравнений правильности работы программы было проведено со статьей [68], где методом частичных областей получены коэффициенты отражение и прохождения при дифракции волны Ню в плоском прямоугольном волноводе на асимметрическом диэлектрическом прямоугольном включении без потерь. Характерной особенностью является наличие резонанса при q l.6 (см. рис. 1.3.1), что связано с асимметричным положением включения, приводящему к возбуждению волн Н2Піо [55]. Целью численного эксперимента был анализ влияния потерь в полупроводнике на резонансную кривую и наличия гидратации в биообъекте (что соответствует мнимой части диэлектрической проницаемости) на распределение поля внутри и вне биообъекта. При анализе потерь в полупроводнике рассматривался плоский волновод (1 = 20мм) с включением из кремния ( = 9.6) в виде квадрата (10ммх\0мм), находящегося на расстоянии 4мм от стенки (см. 1.3.2).
Построение схемы ортогонального метода Галеркина
Данная глава посвящена построению модифицированной схемы ортогонального метода Галеркина для решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывным "слабо несамосопряженным" граничным условием третьего рода и переменными коэффициентами. Используя теорему о равносходимости, доказывается равносходимость решения, построенного по схеме ортогонального метода Галеркина к точному решению, построенному по схеме неполного метода Галеркина. Численно проводится сравнение решений, полученных по схемам неполного и ортогонального методов Галеркина. Рассмотрена задача о волноводно-диэлектрическом резонансе в волноводе с импедансной стенкой. Рассмотрим математическую задачу (1.1.7-1.1.13), которая заключается в нахождении решения уравнения Гельмгольца комплекснозначная кусочно-непрерывная функция координат, равная 1 вне участка 0 z d. Это решение должно удовлетворять: - граничным условиям Дирихле на верхней и нижней границах за исключением конечного участка х-1; 0 z d: Z где a = -— - приведенный импеданс (заданная комплекснозначная функция IK координаты z), - условиям сопряжения, заключающимся в требовании непрерывности функции u(x,z) и её нормальной производной на линиях разрыва є(х,г) и на границах нерегулярного участка где Сд - например, окружность радиуса р с центром в особой точке - условиям на бесконечности: где {# n(x)} - система собственных функций задачи Штурма-Лиувилля: Rn,Tn — коэффициенты отражения и прохождения нормальных волн. Заметим, что условия Мейкснера эквивалентны следующим условиям Таким образом, математическая задача сводится к нахождению решения u(x,z) уравнения Гельмгольца (III. 1.1) в прямоугольнике {0 x /,0 z c/}c граничными условиями (III. 1.2), (III. 1.7). Рассмотрим построение приближенного решения. Пусть (Ш.1.8) UN= CX(z)Xn(x), n=l где Хп - собственные функции задачи Штурма - Лиувилля со "слабо несамосопряженным" (lad «1) граничным условием 3-го рода: При условии \а\«1 спектр собственных значений не вырожден. Комплекснозначные собственные функции Хп(х) — sin Я пх ортогональны в комплексном пространстве L (QJ) с псевдоскалярным произведением, а I именно jXn(x)Xm(x)dx-0, и образуют б комплекснозначная функция IK координаты z), - условиям сопряжения, заключающимся в требовании непрерывности функции u(x,z) и её нормальной производной на линиях разрыва є(х,г) и на границах нерегулярного участка где Сд - например, окружность радиуса р с центром в особой точке - условиям на бесконечности: где {# n(x)} - система собственных функций задачи Штурма-Лиувилля: Rn,Tn — коэффициенты отражения и прохождения нормальных волн.
Заметим, что условия Мейкснера эквивалентны следующим условиям Таким образом, математическая задача сводится к нахождению решения u(x,z) уравнения Гельмгольца (III. 1.1) в прямоугольнике {0 x /,0 z c/}c граничными условиями (III. 1.2), (III. 1.7). Рассмотрим построение приближенного решения. Пусть (Ш.1.8) UN= CX(z)Xn(x), n=l где Хп - собственные функции задачи Штурма - Лиувилля со "слабо несамосопряженным" (lad «1) граничным условием 3-го рода: При условии \а\«1 спектр собственных значений не вырожден. Комплекснозначные собственные функции Хп(х) — sin Я пх ортогональны в комплексном пространстве L (QJ) с псевдоскалярным произведением, а I именно jXn(x)Xm(x)dx-0, и образуют базис (Теорема П. 1.3), квадрат О и „ ц2 І + la А+а псевдонормы отличен от нуля и равен \\Хп\\ = Ц-=—. (1 + () Для нахождения собственных значений, используя дифференциально — параметрической метод (ДП - метод [76]), приходим к задаче Кош и: Коэффициенты С у {z) найдем, потребовав выполнения следующих проекционных соотношении / (III. 1.11) J(AX zu + кг є (х, z)uN)Xn (x)dx = 0, п = 1,..., N О Для удовлетворения условиям сопряжения азис (Теорема П. 1.3), квадрат О и „ ц2 І + la А+а псевдонормы отличен от нуля и равен \\Хп\\ = Ц-=—. (1 + () Для нахождения собственных значений, используя дифференциально — параметрической метод (ДП - метод [76]), приходим к задаче Кош и: Коэффициенты С у {z) найдем, потребовав выполнения следующих проекционных соотношении / (III. 1.11) J(AX zu + кг є (х, z)uN)Xn (x)dx = 0, п = 1,..., N О Для удовлетворения условиям сопряжения в интегральном смысле (III.1.3) и условию МеЙснера в особых точках (III. 1.4 или ШЛ.7) запишем проекционные условия сшивания [96]: Из этих условий следует выполнение соотношений (III. 1.7) для приближенного решения Для нахождения коэффициентов С (х) получаем краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
Существование, единственность и равносходимость решения, построенного по схеме ортогонального метода Галеркина
На конкретном примере проведем сравнение с решением рассматриваемой краевой задачи, полученным по модифицированной схеме неполного метода Галеркина, обоснованного в [96]. Рассмотрим плоский волновод (/ = 20 мм) со включением из поликора (є - 9.6) в виде квадрата (10 мм х 10 мм), находящегося на расстоянии 4 мм от идеально проводящей стенки. На верхней стенке волновода на конечном участке длины, соответствующем включению, заданы импедансные граничные условия а = —1.3040 +1-5.9240 . На рис.Ш.3.1 приведен график функции (кривая 1), представляющей зависимость коэффициента 2 пропускания Прош = 10 log(T ) от частоты для случая идеальной стенки в области резонансной частоты. Эта функция имеет локальный экстремум при / = 9.33 ГГц. импеданса заметно сказывается в области резонанса и приводит к сглаживанию резонансной кривой. Кривая 2 получена с помощью модифицированной схемы неполного метода Галеркина, а кривая 3 представляет расчет по модифицированной схеме ортогонального метода Галеркина. Кривые 2 и 3 совпадают с высокой точностью. Рассмотрим теперь задачу о волноводно-диэлектрическом резонансе в волноводе с импедансной стенкой. Параметры волновода идентичны рассмотренному выше. Импеданс сверхпроводящей стенки вычислялся по формуле (П.3.2) для ВТСП YBaCuO [97]. На рис. Ш.3.2 приведен график функции, представляющей зависимость коэффициента пропускания 2 Znpoui =10-log(r ) от частоты. Эта функция имеет локальный экстремум Исследовалось влияние толщины сверхпроводника на характер резонансной кривой. На рис. Ш.3.3 приведены кривые для различной толщины СП: первая кривая соответствует d «\8\ (в этом случае влияние СП т.е. практически не сказывается), вторая кривая Таким образом, значение коэффициента пропускания волны Н. на резонансной частоте существенно зависит от величины поверхностного импеданса сверхпроводника. Исследованные резонансные свойства плоского волновода со сверхпроводящей боковой поверхностью позволяют сделать вывод о возможности модуляции сигнала на резонансной частоте путем изменения характеристик сверхпроводника.
Выводы В данной главе рассмотрена модифицированная схема ортогонального метода Галеркина решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывным несамосопряженным граничным условием и с переменными коэффициентами. Предложенная схема представляет собой комбинацию ортогонального метода Галеркина и условий проекционного сшивания, учитывающих выполнение условий Мейкснера в особых точках. Проведено математическое обоснование этой схемы, показана равносходимость решений, построенных по схемам ортогонального и неполного методов Галеркина. В численном эксперименте проведено сопоставление результатов по двум предложенным схемам. Рассмотрена задача о волноводно-диэлектрическом резонансе в волноводе с импедансной стенкой. Для случая стенки из ВТСП проведен анализ резонансной кривой и влияния поверхностного импеданса сверхпроводника на резонансную кривую. Показана возможность как модуляции сигнала путем изменения свойств сверхпроводника, так и исследования его свойств по резонансной кривой. Основные результаты диссертации, полученные автором лично: - предложены модифицированные (с учетом выполнения условий Мейкснера) схемы неполного и ортогонального методов Галеркина, ориентированные на решение краевых задач для уравнения Гельмгольца в полосе с разрывными несамосопряженными граничными условиями и с переменными коэффициентами; - предложенные схемы математически обоснованы: доказано существование, единственность и сходимость приближенного решения, полученного по модифицированной схеме неполного метода Галеркина, к точному, а также равносходимость решений, построенных по двум модифицированным схемам метода Галеркина; — на основе этих схем разработаны и реализованы, в виде ЭВМ программ, алгоритмы численного решения рассматриваемой краевой задачи; — используя результаты решения данной задачи, исследованы некоторые физические свойства полупроводников, диэлектриков, биообъектов и сверхпроводников; — схема ортогонального метода Галеркина применена при решении задачи на собственные значения для плоского градиентного волновода с несамосопряженным граничным условием импедансного вида, моделирующим сверхпроводящую стенку волновода, на основе импеданснои модели сверхпроводников;
