Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Актуальность математической постановки задач связь с другими задачами ОТО 11
1. Алгебраическая классификация безмассовых полей 11
2. Алгебраическая классификация тензора электромагнитного поля 16
3. Классификация Петрова 19
4. Проблема отыскания новых решений урав-- нений Эйнштейна заранее заданного типа по Петрову 25
5. Проблема отождествления метрик . 26
ГЛАВА II. Система аналитических вычислений CAB РАМО 30
I. Назначение CAB РАМО ЗО
2. Структура системы CAB РАМО 32
3. Описание ядра системы CAB РАМО 33
ГЛАВА III. Решение некоторых задач ото с использованием CAB РАМО 66
1. Вычисление конкомитантов тетрады . бб
2. Построение матрицы Вейля 73
3. Алгоритмизация методов исследования матрицы Вейля 75
4. Обзор физических результатов, полученных с использованием CAB РАМО 82
Заключение 85
Литература 88
Приложение
- Алгебраическая классификация тензора электромагнитного поля
- Проблема отыскания новых решений урав-- нений Эйнштейна заранее заданного типа по Петрову
- Описание ядра системы CAB РАМО
- Обзор физических результатов, полученных с использованием CAB РАМО
Введение к работе
Бурное развитие вычислительной техники является неотъемлемой частью научно-технического прогресса. Особую роль в нем занимает развитие ЭВМ и методов их использования.
За последние 25-30 лет бурное развитие получили системы аналитических вычислений (CAB), с помощью которых получены многочисленные теоретические и практические результаты в самых различных областях науки и техники.
В общей теории относительности (ОТО) системы аналитических вычислений начали применяться в 70-х годах. В [і, 2, 3, 4, 5] дан обзор современного состояния работ в области создания и применения CAB в физике, в том числе и в ОТО. По работам [б, 7] можно видеть, насколько интенсивно развивается интерес к этой проблеме как физиков, так и математиков.
Одной из первых систем аналитических вычислений, успешно применявшихся в ОТО, явилась система alam [ 8] и ее вресия clam [9]. На сегодняшний день в ОТО успешно применяются перечисленные ниже САБ: АВТО-АНАЛИТИК [ioj , formac [іі, 12], REDUCE-2
[іЗ], ORTOCARTAN[l4] , SHEEP [l5, 16, 17]» GRATOS [l8] , SYMBAL [IS], ALTRAN [20, 2l],MACSYMA [22] И НЄКОТОрЬІЄ другие.
К системам аналитических вычислений, используемым в физике, можно подходить с разных сторон. Можно интересоваться ими с точки зрения системного программирования, можно сконцентрировать внимание на алгоритмах, которые позволят наилучшим образом распорядиться ресурсами ЭВМ, можно заботиться об общности решения класса задач, об удобстве использования системы и изучения и т.д.
Как правило, физики подходят к системам аналитических вычис-
_ 4 -
лений как потребители, как пользователи. Для решения интересующего их круга задач они выбирают наиболее подходящую из имеющихся в их распоряжении систему и "достраивают" ее [23-29], алгоритмизируя лишь свою задачу и дорабатывая недостающие системе средства. Постановка задачи значительно упрощается, если в системе предусмотрены все необходимые средства для решения интересующих пользователя задач. В таких случаях о системе говорят, что она является системой универсального назначения. К числу таких универсальных систем принадлежит широко распространенная CAB reduce -2.
Совершенно с другими проблемами сталкиваются те, кто отваживается на создание САБ "с нуля". Базой разработки обычно выбирается один из достаточно развитых языков, содержащий средства работы со строками и символами. Наиболее подходят для этого языки, ориентированные на символьные преобразования, такие как ЛИСП и Рефал. Впрочем, многие из известных универсальных CAB являются lisp-базированными; они были первоначально написаны на Lisp'e и их развитие шло затем в основном по пути совершенствования надстройки. Система reduce -2 является, как известно, lisp-базированной системой.
Для доведения создаваемой зэноео системы аналитических вычислений до такого уровня, когда с ее помощью можно будет решать физически интересные задачи, требуется включить в нее большое число модулей, реализующих различные алгоритмы, начиная от численных расчетов, включая алгоритмы из курса высшей математики и заканчивая специальными алгоритмами, решающими интересующую физическую задачу. Это очень большая и трудоемкая работа. Прежде, чем начинать ее, необходимо иметь серьезные основания, взве-
сить выгоды, получаемые от реализации новой САБ, с усилиями по ее реализации.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим, какие выкладки должна уметь выполнять некоторая CAB, чтобы она могла использоваться для решения задач ОТО.
Рассмотрим процедуру вычисления конкомитантоЕ тетрады -таких величин, как коэффициентов связности, тензора Римана--Кристоффеля, тензора Риччи, тензора Эйнштейна, тензора Вейля и других величин, вычислять которые приходится при решении почти любой задачи ОТО. Так, для вычисления тензора Римана и связанных с ним величин по заданной ковариантной метрике Sabfa^-ofiJ
попутно приходится решать системы линейных уравнений
Я Sic = Ъс
что в данном случае можно реализовать как решение задачи об обращении матрицы // 2a6jj
Символы Кристоффеля первого рода определяемые частными производными от ^% :
что требует реализации операции дифференцирования.
Символы Кристоффеля второго рода выражаются через символы Кристоффеля первого рода и контравариантную метрику произведением со сверткой
что требует реализации всего набора матричных и тензорных операций.
Другие величины, такие как тензор Римана
Robed 'э?^""^ ^*с+ ^4 Чс~* W \ *4
тензор Риччи
Rag ~ < /?«^сс/
скалярная кривизна
и тензор Эйнштейна
могут быть найдены, если реализованы полные наборы операций алгебры матриц, тензорного анализа, если есть средства упрощения алгебраических выражений и реализованы операции дифференцирования скалярных и тензорных величин.
В диссертации рассматривается система аналитических вычислений, названная CAB РАМО, реализованная на базе языка символьных преобразований Рефал, и задачи общей теории относительности, решенные с использованием этой CAB,
CAB РАМО относится к системам аналитических вычислений, создаваемых "с нуля". Ее разработка осуществлялась в рамках выполнения госбюджетной темы 20500? "Реализация и внедрение в качестве типовой по Академии наук СССР ЭПИ-МЕТА-МАКРО-системы и ЭММ-технологии разработки и реализации алгоритмически сложных программных комплексов" (НИР № 0І8І.І0П0І4). Одной из основ-
_ 7 -
ных целей создания САБ РАМО была реализация такого программного комплекса, который позволил бы решать задачи теоретической и математической Физики на микро-ЭВМ. Тем самым подготавлига-ется основа для широкого внедрения системы аналитических вычислений в учебный процесс и научные исследования как в вузах, так и в научных учреждениях СССР.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Первая глава посвящена рассмотрению актуальных проблем ОТО, на решение которых направлены известные САБ и в том числе, наша САБ РАМО. Одной, быть может наиболее важной, проблемой ОТО, решаемой с использованием САБ, является проблема отнесения заданной метрики классу по Петрову. Вопросами, которые Естают после того как класс метрики по Петрову известен, являются следующие:
как ведет себя данная метрика при различных преобразованиях координатной системы ?
могут ли быть найдены физически интерпретируемые преобразования координатных систем, переводящие данную метрику в другую, заранее указанную, принадлежащую тому же классу по Петрову ?
Эти и аналогичные вопросы относятся к проблеме отождествления метрик [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40J. Четкая постановка и решение проблемы отождествления метрик во многих случаях позволит сводить новую метрику к уже известной, хорошо изученной, ускоряя тем самым получение новых физически значимых результатов.
В диссертации не дается окончательного решения проблемы
отождествления метрик, однако отмечается, что система САБ РАШ может использоваться при ее решении.
Первая глава носит обзорный характер. Изложение основывается на спинорном формализме Р.Пенроуза, и на этом языке излагается алгебраическая классификация пространств по Петрову.
Как известно, безмассовое поле спина S классифицируется по числу различных главных изотропных направлений.
Пусть спинор V>v д ,,.А имеет її различных главных изотропных направлений, каждое из которых т; -кратно вырождено. В этом случае говорят, что спинор^ д д^ принадлежит к типу Е^.^г.,...,?! Спинор ^AlAi.l(Ah называется алгебраически общим, когда он имеет тип [,1,1,... , 1Д .В противном случае (когда хотя бы одно главное направление вырождено), его называют алгебраически специальным.
При рассмотрении алгебраической классификации электромагнитного поля получено два типа полей - общий и алгебраически специальный. В случае гравитационного поля алгебраически различных типов оказывается пять.
При рассмотрении проблемы отождествления метрик предлагается прежде всего определить тип по Петрову каждой из исследуемых метрик. Если метрики принадлежат различным алгебраическим классам, то получено отрицательное решение проблемы. Если же тип у метрик один, то для каждой метрики находятся скалярные инварианты в соответствии с алгоритмом, изложенным в работе [34J. Их вычисление дает некоторую информацию для нахождения "преобразующей функции", дающей искомое преобразование координатных систем.
Во второй главе описаны характеристики системы аналити-
_ 9 -
ческих вычислений группы развиваемого математического обеспечения - системы CAB РАМО.
CAB РАМО состоит из ядра системы и нескольких оболочек. В диссертации рассматривается в основном ядро CAB РАМО. В него входят такие модули, которые решают алгоритмически простые задачи из элементарной и высшей математики. Большинство программ ядра CAB РАМО реализовано на языке символьных преобразований "Базисный Рефал". Отдельные модули реализованы на расширенном Рефале.
В ядро CAB РАМО включены модули, решающие задачи из следующих разделов:
арифметика,
теория чисел,
высшая алгебра,
алгебра матриц,
тензорные алгебры и анализ,
дифференцирование.
Отмечается, что в настоящее время CAB РАМО реализована на машинах серии ЕС ЭВМ.. Система CAB РАМО ориентирована на использование малого объема оперативной памяти (при работе с системой использовалась ЭВМ 1022, имеющая 256 К оперативной памяти), и что в системе CAB РАМО существенно используется встроенная информационная система, позволяющая использовать внешнюю память на дисках.
Третья глава диссертации посвящена применению CAB РАМО к решению конкретных задач ОТО. Хотя в первой главе алгебраическая классификация по Петрову проводилась на основе спинорного формализма, в третьей главе за основу принят тетрадный форма-
лизм.
Подсистема tns САБ РАМО содержит модули, реализующие вычисления конкомитантов тетрады. Внимания заслуживает реализация алгебраических и чисто тензорных операций, позволяющая эффективно реализовать вычисления тензорных величин в достаточно общем виде.
В качестве иллюстрации возможностей CAB РАМО, которыми она обладает в настоящее время, рассмотрены вычисления конкомитантов тетрады, определены классы по Петрову для семи метрик, часть из которых хорошо известна; принадлежность некоторых метрик к классам по Петрову априори не очевидна.
В приложении приведены листинги некоторых модулей CAB РАМО, дающие представление о реализации этой системы.
- II -
Алгебраическая классификация тензора электромагнитного поля
Первая глава посвящена рассмотрению актуальных проблем ОТО, на решение которых направлены известные САБ и в том числе, наша САБ РАМО. Одной, быть может наиболее важной, проблемой ОТО, решаемой с использованием САБ, является проблема отнесения заданной метрики классу по Петрову. Вопросами, которые Естают после того как класс метрики по Петрову известен, являются следующие: - как ведет себя данная метрика при различных преобразованиях координатной системы - могут ли быть найдены физически интерпретируемые преобразования координатных систем, переводящие данную метрику в другую, заранее указанную, принадлежащую тому же классу по Петрову Эти и аналогичные вопросы относятся к проблеме отождествления метрик [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40J. Четкая постановка и решение проблемы отождествления метрик во многих случаях позволит сводить новую метрику к уже известной, хорошо изученной, ускоряя тем самым получение новых физически значимых результатов. В диссертации не дается окончательного решения проблемы отождествления метрик, однако отмечается, что система САБ РАШ может использоваться при ее решении. Первая глава носит обзорный характер. Изложение основывается на спинорном формализме Р.Пенроуза, и на этом языке излагается алгебраическая классификация пространств по Петрову. Как известно, безмассовое поле спина S классифицируется по числу различных главных изотропных направлений. Пусть спинор V v д ,,.А имеет її различных главных изотропных направлений, каждое из которых т; -кратно вырождено. В этом случае говорят, что спинор д д принадлежит к типу Е . г.,...,?! Спинор AlAi.l(Ah называется алгебраически общим, когда он имеет тип [,1,1,... , 1Д .В противном случае (когда хотя бы одно главное направление вырождено), его называют алгебраически специальным. При рассмотрении алгебраической классификации электромагнитного поля получено два типа полей - общий и алгебраически специальный. В случае гравитационного поля алгебраически различных типов оказывается пять. При рассмотрении проблемы отождествления метрик предлагается прежде всего определить тип по Петрову каждой из исследуемых метрик. Если метрики принадлежат различным алгебраическим классам, то получено отрицательное решение проблемы. Если же тип у метрик один, то для каждой метрики находятся скалярные инварианты в соответствии с алгоритмом, изложенным в работе [34J. Их вычисление дает некоторую информацию для нахождения "преобразующей функции", дающей искомое преобразование координатных систем. Во второй главе описаны характеристики системы аналитических вычислений группы развиваемого математического обеспечения - системы CAB РАМО. CAB РАМО состоит из ядра системы и нескольких оболочек. В диссертации рассматривается в основном ядро CAB РАМО. В него входят такие модули, которые решают алгоритмически простые задачи из элементарной и высшей математики. Большинство программ ядра CAB РАМО реализовано на языке символьных преобразований "Базисный Рефал". Отдельные модули реализованы на расширенном Рефале. В ядро CAB РАМО включены модули, решающие задачи из следующих разделов: - арифметика, - теория чисел, - высшая алгебра, - алгебра матриц, - тензорные алгебры и анализ, - дифференцирование. Отмечается, что в настоящее время CAB РАМО реализована на машинах серии ЕС ЭВМ.. Система CAB РАМО ориентирована на использование малого объема оперативной памяти (при работе с системой использовалась ЭВМ 1022, имеющая 256 К оперативной памяти), и что в системе CAB РАМО существенно используется встроенная информационная система, позволяющая использовать внешнюю память на дисках. Третья глава диссертации посвящена применению CAB РАМО к решению конкретных задач ОТО. Хотя в первой главе алгебраическая классификация по Петрову проводилась на основе спинорного формализма, в третьей главе за основу принят тетрадный формализм. Подсистема TNS САБ РАМО содержит модули, реализующие вычисления конкомитантов тетрады. Внимания заслуживает реализация алгебраических и чисто тензорных операций, позволяющая эффективно реализовать вычисления тензорных величин в достаточно общем виде.
В качестве иллюстрации возможностей CAB РАМО, которыми она обладает в настоящее время, рассмотрены вычисления конкомитантов тетрады, определены классы по Петрову для семи метрик, часть из которых хорошо известна; принадлежность некоторых метрик к классам по Петрову априори не очевидна.
В приложении приведены листинги некоторых модулей CAB РАМО, дающие представление о реализации этой системы.
Проблема отыскания новых решений урав-- нений Эйнштейна заранее заданного типа по Петрову
Все главные спиноры уА , fi& , с , не параллельны друг другу. В этом случае спинор Вейля определяет четыре различных главных собственных нацравления (рис, 2). Гравитационное поле имеет алгебраический тип fl, I, I, її и называется алгебраически общим. В терминологии Петрова это поле имеет тип I,
Из спинора Вейля можно построить два комплексных инвариан Можно показать /53/, что для алгебраически общего гравитационного поля 1 т Є32, . П. Теперь два из четырех главных спиноров параллельны друг другу. В этом случае спинор Вейля определяет три различных главных изотропных направления, одно из которых является двукратно вырожденным. Гравитационное поле имеет алгебраический тип [2, І, і] (СМ. рис. 2). Комплексные инварианты связаны соотношением I3 СЗг В терминологии Петрова это поле имеет тип П. Ш. Теперь, три из четырех спиноров параллельны друг другу. В этом случае спинор Вейля лпределяет два различных главных направления, одно из которых является трехкратно вырожденным. Гравитационное поле имеет алгебраический тип з, Д« Комплексные инварианты і и обращаются в нуль. В терминологии Петрова поле имеет тип Ш. IV. Четверка главных спиноров разбивается на две пары па раллельных друг другу спиноров. Спинор Вейля определяет, сле довательно, два различных главных изотропных направления, каж дое из которых является двукратно вырожденным. Гравитационное поле имеет тип [2, 2 ]. Комплексные инварианты связаны соотно шением: I =бЪг [53 ]. В терминологии Петрова такое поле имеет тип ов . V. Все четыре главных спинора параллельны друг другу. Спи нор Вейля определяет лишь одно главное изотропное направление, являющееся четырехкратно вырожденным (рис. 2). Гравитационное поле имеет алгебраический тип \ji\ и его часто относят к разряду гравитационных волновых полей [54 1. Комплексные инварианты об ращаются в нуль. По Петрову такое поле имеет тип J\T. В случаях П - ІУ гравитационное поле называется алгебраически специальным. Алгебраически специальное гравитационное поле имеет, по крайней мере, одно кратное главное изотропное направление. Характер возрастания алгебраической вырожденности тензора Бейля при изменении его типа изображен на диаграмме Пенроуза (рис. 3). Следует отметить, что алгебраическая классификация гравитационного поля по алгебраическим свойствам спинора Бейля может быть дополнена алгебраической классификацией тензора Риччи (см., например, Г4І] ).
Уравнения Эйнштейна (1.3.2) представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно псевдоримановой метрики «gag Эта система слишком сложна для того, чтобы можно было бы найти ее общее решение. Поэтому для нахождения решений уравнений Эйнштейна широко используется способ, согласно которому на искомое гравитационное поле из физических или иных соображений накладываются требования симметрии, что уменьшило бы число независимых компонент метрики ііав и значительно упростило бы уравнения. Ясно, что на таком пути удалось найти лишь относительно простые решения, обладающие высокой степенью симметрии \J±l\. Разработанная А.З.Петровым алгебраическая классификация гравитационных полей и формулировка этой классификации РЛТенроузом в терминах спиноров (см. 1-3 ) открыли существенно новый и плодотворный подход к проблеме нахождения точных решений уравнений Эйнштейна. Этот подход основан на так называемой формулировке Ньгомена-Пенроуза (см.,[53_). На первый взгляд кажется, что система уравнений Ньюмена-Пенроуза является довольно громоздкой и не поддающейся исследованию. Однако, выгода подобного представления уравнений Эйнштейна становится более явной при использовании его для получения точных алгебраически специальных гравитационных полей, принадлежащих тому или иному алгебраическому классу. Действительно, принадлежность определенному алгебраическому классу соответствует обращению в нуль определенных спинорных компонент тензора Вейля. Это при - 26 водит к тому, что система уравнений Ньюмена-Пенроуза существенно упрощается, и часть их оказывается доступной для решения, что позволяет описать все или некоторые метрики из алгебраического класса. Другими словами, если в обычном подходе для упрощения уравнений Эйнштейна мы вынуждены были накладывать априори на искомое гравитационное поле для требования симметрии, то в подходе Ньюмена-Пенроуза упрощение системы уравнений удается достигнуть накладыванием априори только требования принадлежности искомого гравитационного поля к определенному типу по Петрову. На этом пути были получены решения, обладающие малой симметрией или вообще без симметрии [58j. Многие из решений, полученных этим методом, описывают гравитационные волновые поля.
Описание ядра системы CAB РАМО
При этом мы специально обозначили координаты, принадлежащие принципиально разным системам, одними и теми же буквами С " » " і , Ф ), ибо у нас на исходном этапе вообще нет оснований для предпочтительного выбора обозначений.
Теперь мы охарактеризуем предлагаемую процедуру отождесшвления метрик, приводящую к положительному или отрицательному результату. I). Каждая метрика записывается так, чтобы соответствующие координаты имели различные обозначения; если параметры, входящие в эти метрики, произвольны, то их такие следует обозначить разными буквами, что исключает преждевременное толкование; 2). определяется подходящий тетрадный базис (например, на языке форм Картана) и вычисляются конкомитанты тетрады; структурные коэффициенты, коэффициенты вращения, компоненты тензора кривизны Римана-Кристоффеля (в этом базисе); 3). находятся компоненты тензора Риччи, скалярная кривизна, компоненты бесследового тензора Риччи и тензора конформной кривизны Вейля; 4). строится консервативный тензор Эйнштейна и определяются компоненты тензора энергии-импульса источников гравитационного поля. Определяется тип этих источников по классификации Сегре-Плебаньского; 5). определяется тип тензора Вейля по классификации Петрова; б), вычисляются алгебраические инварианты тензора кривизны: их 14. Затем они сопоставляются; алгоритм сопоставления инвариантов приведен в работах [34J - [Зб]. Процедура отождествления завершается либо когда обнаруживается различие между полями на текущем этапе сравнения, либо при отождествлении полей. При этом требуется указать конкретное преобразование, переводящее одну метрику в другую в данном области их совместного определения. Для реализации процедуры отождествления метрик могут потребоваться следующие операции: а) выбор главных направлений по классификации Петрова и/или Сегре-Плебаньского в качестве базисных; б) определение максимального числа независимых (попарно) функций, задаваемых инвариантами кривизны; при их числе не превышающем четырех (иначе ясно, что метрики различны), выбор их на отрезках монотонного изменения в качестве новых коорди нат (с последующим переходом к ним). При недостаточности указанного объема анализа (который чаще всего все же бывает исчерпывающим) придется привлекать также инварианты с высшими производными. Мы ограничимся в данной работе созданием алгоритмов, реализующих пункты I, 2, 3, 4 (исключая проведение классификации Сегре-Плебаньского), 5; пункт 6 следует отсюда простейшим образом. Analytical Programming Evaluate Soft-Ware Grou tf" 7» 78_/ Предназначена для ускорения и упрощения процесса получения новых теоретических и практических результатов, связанных с решением задач теоретической и математической физики. Однако, CAB РАМО может рассматриваться не только системой автоматизации научных исследований. Она позволит получать более точные теоретические результаты, находить новые тонкие эффекты, а также позволяет переносить методы решения задач из одной области исследований на задачи из других областей. В этом отношении использование CAB можно рассматривать наравне с разработкой еще одного метода решения широкого круга теоретических задач. На сегодняшний день в практических целях для решения многих задач физики и техники широко применяются различные типы CAB. Рассмотрим, для решения каких задач предназначены существующие CAB, их возможности и области их применения. В работе [і] дан обзор CAB, получивших на сегодняшний день широкое применение з физике и технике. По назначению существующие CAB можно классифицировать на специализированные системы и системы общего назначения (универсальные системы). К специализированным CAB можно отнести,например, следующие СИСТеМЫ: SCHOONSCHlFgfc/ ASHMEDAI /бі/, АЬАМ CLAM, SHEEP, ORTOCARTAN, CAMAL, SYMBAL, ALTRAN, FORMAC, АВТО-АНАЛИТИК И другие. Системы SCHOONSCHIP и ASMEDAI предназначены для стандартных выкладок в квантовой теории поля. С их помощью решены такие задачи, как: I) генерация диаграмм данного порядка теории возмущений для рассматриваемого процесса, П) построение подынтегральных выражений для моделей квантовой теории поля, Ш) устранение расходимостей, ІУ) интегрирование, У) вычисление сечений рассеяния и многих других. Система SCHOONSCHIP реализована на машине свс -6000/7000. Как отмечено во введении, системы ALAM ( CLAM )» OROCARTAN, SHEEP , CAMAL предназначены для решения задач ОТО. Эти системы также относятся к специализированным CAB. Системы общего назначения встроенными математическими операциями, типичными для многих задач физики и математики, такими, как дифференцирование, алгебра матриц, алгебра векторов и тензоров и другие. Среди CAB этого типа распространенными, например, являются следующие системы: FORMAC » ALTRAN SYMBAL, SAC-I [62/, CAMAL /64, 65/ и другие. Эти системы широко применяются для решения задач различных областей физики.
Обзор физических результатов, полученных с использованием CAB РАМО
Наиболее простым по алгоритму модулем подсистемы DIF является МОДУЛЬ ALPDIF . При Обращении K/ALPDIF/ ( ЕР )ОН ВЫДЭ ет полином, являющийся результатом дифференцирования исходного полинома. Работает независимо от других модулей подсистемы Он осуществляет дифференцирование выражения по заданному аргументу. Перед обращением к модулю DIFBEG В стековое поле под именем /ARG/необходимо поместить то выражение, по которому должно производиться дифференцирование. Это можно выполнить, например, с помощью функции RP -РЕФАЛ-библиотеки: К/ЕР/ /ARG/ = ЕА . Символ-метка /ARG/ должна быть описана где-либо в программном комплексе пользователя. Правила дифференцирования основных элементарных функций составляют основную часть теста модулей DIFBEG . Частные производные записываются следующим образом: /D/ ( Е1 ( ЕА ( ЕР ) ) E2 ( EF ( Г EL ) ) ); где /D/ - символ-метка, обозначающий производную; EI ( ЕА ( ЕР ) )4 Е2 - список аргументов; по которым брались производные; ( ЕА ( ЕР ) ) - один из аргументов списка ЕА с указанием порядка производной 4 ЕР по тому аргументу; EF - имя функции. Эта функция не обязательно должна быть основной элементарной функцией; EL - список переменных, от которых завиоит функция W , Этот список монет иметь один из следующих двух форматов: ( Е1 ) Е0 или Е1 , Е0 , где EI - первый аргумент, ЕО - остальные аргументы, если они есть. Другими словами, аргументы или заключаются в скобки, или разделяются запятыми. А теперь, если дифференцируется выражение следующего вида: ( т ) /POW/ ( ЕР )., где /POW/ - символ-метка, определяющий знак возведения в степень, т.е. сначала определяется, что представляет собой показатель степени ЕР . Если это число, то данное выражение дифференцируется как степенная функция; если же не число, то рассматриваемое выражение преобразуется к выражению /ЕХР/ ( ЕР /LN/ ( 4 EG ) ) в соответствии с известным логарифмическим тождеством. В алгоритме работы модуля ALPCLR МОЖНО выделить две фазы. На первой фазе происходит "дробление" рассматриваемого алгебраического выражения на такие элементы, чтобы они могли рассматриваться как результат выполнения бинарной (унарной) операции. На этой фазе ALPCLR глубоко рекурсивен. Глубина рекурсии определяется глубиной скобочной структуры рассматриваемого алгебраического выражения. Результатом выполнения первой фазы алгоритма ALPCLR является исходное алгебраическое выражение, все пары операндов которого "обернуты функциональными скобками", указывающими на обращение к алгоритму второй фазы работы модуля ALPCLR.
На второй фазе удаляются сомножители, равные единице; устраняются двойные знаки унарной операции -{ V; удаляются делители, равные единице; выражения, содержащие нулевой сомножитель, заменяются на нуль; удаляются лишние скобки.
Хотя модуль ALPCLR осуществляет лишь простейшую "чистку" результата дифференцирования, он позволяет сделать результат намного более читабельным и простым. В тоже время число шагов, которые выполняются по алгоритму ALPCLR , намного превосходит число шагов, выполняемых по алгоритму модуля
Модуль DIFTNS реализует алгоритм дифференцирования тензора в той же технике, что и другие алгоритмы подсистемы TNS. А именно, сначала получается шейп тензора, а сам тензор де-шейпируется, затем каждый элемент тензора дифференцируется с использованием модуля DIFBEG ; наконец, по известному шейпу из элементов собирается тензор-результат дифференцирования.
Перед обращением к модулю DIFTNS , как и перед обращением к модулю DIFBEG , необходимо задать аргумент дифференцирования, поместив его в стековое поле под именем /ARG/ . но и к подсистеме TNS комплекса CAB РАМО. Модуль TNSDIF. подсистемы DIF использует Е своей работе модуль DIFTNS. Формат обращения к TNSDIF :
Похожие диссертации на Решение некоторых задач общей теории относительности с применением системы аналитических вычислений
