Содержание к диссертации
Введение
1 Поле произвольно изменяющегося дипольного момента 20
1.1 Свойства инвариантности поля диполя 21
1.2 Вектор Умова-Пойнтинга дипольного электрического и дипольного магнитного моментов 25
1.3 Поле линейно изменяющегося дипольного момента 30
1.4 Поле прецессирующего дипольного момента 34
2 Обратная задача для поля дипольного момента 42
2.1 Решение обратной задачи в общем виде 44
2.1.1 Пример. Численное моделирование решения обратной задачи . 52
2.2 Альтернативный метод решения обратной задачи 57
2.3 Решение в случае
2.3.1 Решение задачи при условии Н = 07 Н = 0 63
2.3.2 Решение задачи при условии, что векторы Н и Н параллельны . 68
3 Спектральная формулировка обратной задачи 72
3.1 Обратная задача для Фурье-компонент магнитного поля 73
3.2 Обратная задача для производных от Фурье-компонент магнитного
3.3 Альтернативный метод решения 81
3.4 Единственность и устойчивость решения 84
3.5 Пример решения обратной задачи для Фурье-компонент магнитного
Заключение 95
Список литературы 96
- Вектор Умова-Пойнтинга дипольного электрического и дипольного магнитного моментов
- Поле прецессирующего дипольного момента
- Пример. Численное моделирование решения обратной задачи
- задача для производных от Фурье-компонент магнитного
Введение к работе
Актуальность темы
Обратными задачами называют задачи математической физики, в которых значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных [1]. Задачи такого рода возникают в разных областях знания, например, таких как физика, геофизика, астрономия, радиолокация, медицинская томография и др.
В электродинамике под обратной задачей понимают задачу восстановления плотности зарядов и током по известному электромагнитному полю, которое они создают. Частным случаем обратной задачи электродинамики в сформулированной выше форме является обратная задача излучения, которая состоит в том, что по известному полю излучения определяется динамика распределения зарядов, создающих это излучение. В частности, если излучение генерируется отдельным зарядом, то требуется определить закон движения заряда [2,3].
В настоящей работе решена обратная задача для поля, создаваемого электрическим или магнитным диполем.
Достаточно много информации о поле дипольного момента можно найти в учебниках. Известны выражения для напряженностей электрического и магнитного поля [4], в учебнике [5] представлены Фурье-разложение для электрического и магнитного поля диполя. Также в литературе можно найти выражения для мощности и спектра излучения диполя. В то же время, обратная задача для поля произвольно изменяющегося дипольного момента ранее не рассматривалась.
Обращение к данной теме связано с тем, что в последнее время возникают задачи, в которых требуется найти источник электромагнитного поля, если само поле известно. Например, проводятся эксперименты по регистрации электромагнитных полей, возникающих при образовании микротрещин в твердых телах. При этом по измеряемым электромагнитным полям определяют местоположения трещин [6]. Другим примером является генерация электромагнитного сигнала при землетрясениях [7,8]. Согласно концепции активных излучателей, электромагнитные предвестники землетрясения возникают на стадии интенсивного растрескивания в процессе разрушения земной коры. При этом, расстояния между источником поля и наблюдателем много больше размеров источника. В то же время, на практике эти расстояния малы в сравнении с характерной длиной волны, что позволяет использовать дипольное приближение. Аналогичные задачи возникают при определении электрического состояния кучевых облаков, при исследовании поляризации отдельных областей живых организмов и во многих других случаях.
Степень разработанности
Поле произвольного, в целом нейтрального, распределения заряда можно в первом приближении мультипольного разложения представить как поле диполя. Такое представление является хорошим приближением, если размеры области, в которой распределен заряд, много меньше расстояния между наблюдателем и данной областью. Поэтому решение обратной задачи для поля точечного диполя применимо к довольно широкому кругу явлений.
В работе решена обратная задача для поля электрического диполя. В силу дуальной симметрии уравнений Максвелла полученные решения справедливы и для поля магнитного диполя если сделать замену р —> т, Е —> Н, Н —> —Е, где р,т векторы дипольного электрического и дипольного магнитного моментов соответственно, Е и Н - напряженности электрического и магнитного полей.
В диссертационной работе исследовано поле диполя в ближней и дальней зонах. Получены формулы для плотности потока энергии поля, создаваемого произвольно изменяющимся
дипольным моментом. Построены и проанализированы картины силовых линий вектора Умова-Пойнтинга для поля линейно изменяющегося дипольного момента. Изучено поле создаваемое прецессирующим дипольным моментом.
Решена обратная задача для поля дипольного момента, т.е. найдены уравнения определяющие величину дипольного момента и его положение относительно наблюдателя. Исследованы частные случаи решения, и проведена проверка полученных формул на примере конкретной модельной задачи.
Развит спектральный подход к решению обратной задачи для поля диполя. Найдены выражения, определяющие координаты и величину амплитуды Фурье-компоненты дипольного момента. Предложены альтернативные методы решения задачи. Полученные решения исследованы на единственность и устойчивость. Полученные формулы апробированы на примере решения частной модельной задачи.
Цели и задачи работы
Основной целью данной работы является решение обратной задачи для электромагнитного поля точечного электрического или магнитного диполя. Модель точечного диполя применима к достаточно компактному распределению нерелятивистских зарядов, удовлетворяющему известным условиям.
Целью работы, так же, является исследование поля дипольного момента в ближней и дальней зоне, в том числе, инвариантность поля диполя относительно определенных преобразований и изучение процессов переноса энергии в окрестности диполя, а также изучение поля дипольного момента, изменяющегося в соответствии с конкретными, частными законами движения.
Другой, не менее значимой, целью работы является построение метода решения обратной задачи для случая, когда известна Фурье-составляющая электрического или магнитного поля в некоторой точке пространства. Такая формулировка обратной задачи имеет большое значение для практических приложений, поскольку измерение электромагнитных полей происходит на практике на определенной частоте или в некотором диапазоне частот. Для достижения поставленных целей были сформулированы следующие задачи:
-
Рассмотреть вопрос единственности решения обратной задачи. Исследовать поле диполя в ближней и дальней зоне, в том числе, изучить процессы переноса энергии в этих областях, а также изучить поле произвольно изменяющегося диполя с фиксированным направлением и поле прецесспрующего дипольного момента.
-
Решить обратную задачу для поля электрического диполя. Из известных выражений для напряженностей электрического и магнитного полей в некоторой точке найти величину дипольного момента и его положение в пространстве. С помощью решения модельной задачи проверить полученные результаты, а также исследовать возможные частные случаи. Найти альтернативный метод решения обратной задачи для случая, когда найденное решение имеет особенности.
-
Решить обратную задачу в случае, когда известна Фурье-составляющая магнитного поля в некоторой точке пространства. Исследовать возможность получения однозначного решения при такой постановке задачи. Решить и исследовать полученное решение если известен еще и градиент Фурье-компоненты. Показать справедливость выведенных уравнений и продемонстрировать погрешности вычислений на примере частной модельной задачи. Найти возможные альтернативные методы решения для Фурье-компонент магнитного поля. Полученные решения исследовать на единственность и устойчивость.
Научная новизна
-
Доказано, что электромагнитное поле, создаваемое точечным дипольным моментом в произвольной точке А не изменяется при добавлении к дипольному моменту вектора, направленного к точке А и изменяющегося по экспоненциальному закону. Данное обстоятельство ограничивает однозначность решения обратной задачи.
-
Показано, что плотность потока энергии электромагнитного поля в ближней зоне можно разбить на две компоненты - поток, связанный с обменом энергии между полем и изменяющимся диполем, и радиально направленный поток энергии излучения. Вычислены обе компоненты плотность потока энергии.
-
Решена обратная задача для поля дипольного момента в случае, когда исходными данными являются напряженности электрического и магнитного полей как функции времени в некоторой точке пространства. Найдены координаты дипольного момента и закон его изменения.
-
Получено решение обратной задачи поля дипольного момента для случая, когда исходными данными являются амплитуда и фаза Фурье-компоненты магнитного поля. Показано, что этих данных недостаточно для получения однозначного решения. Решена обратная задача при условии, что известны производные по координатам от Фурье-амплитуд и фаз магнитного поля в некоторой точке пространства. Полученные решения апробированы на конкретном примере методом численного моделирования.
-
Доказано, что полученные решения являются устойчивыми. При использовании достаточного количества исходных данных решения являются однозначными. В случаях, когда решение не является единственным, указано в чем проявляется неоднозначность полученного решения. Получены формулы, показывающие как погрешности решения обратной задачи зависят от погрешности исходных данных.
Теоретическая и практическая значимость
-
Исследование поля дипольного момента в ближней и дальней зонах позволяет понять процессы переноса энергии в этих областях. Информация о величине и направлении потока энергии электромагнитного поля позволяет, например, рассчитать давление излучения на поглощающую среду в атмосфере небесных тел, обладающих магнитным моментом.
-
При решении обратной задачи для поля диполя были найдены уравнения для дипольного момента и выражения, позволяющие определить положение диполя в пространстве. Полученный результат может быть использован для восстановления динамики диполя по создаваемым им полям. В частности, для неразрушающего контроля напряжений в твердых телах, исследования зарядов грозовых облаков и во многих других практических задачах.
-
Результаты решения обратной задачи для Фурье-компонент магнитного поля могут быть использованы для исследования процессов, сопровождаемых возникновением и изменением локализованного распределения электрического заряда, если создаваемое зарядом поле регистрируется на определенной частоте.
Методология и методы исследования
В расчетах диссертационной работы были использованы стандартные методы математического анализа и классической электродинамики.
Положения, выносимые на защиту
-
Расчет вектора плотности потока энергии электромагнитного поля дипольного момента в ближней и дальней зонах. Анализ процессов переноса энергии в этих областях. Построение и исследование картины силовых линий вектора Умова-Пойнтинга для частных случаев динамики дипольного момента.
-
Решение обратной задачи для произвольно изменяющегося дипольного момента. По известным выражениям для напряженностей электрического и магнитного поля найдены величина дипольного момента и его радиус-вектор. Проверка полученных формул методом численного моделирования.
-
Альтернативный метод решения обратной задачи для случаев, когда общее решение имеет особенности.
-
Спектральная формулировка обратной задачи. Решение обратной задачи для Фурье-компонент магнитного поля диполя. Найдены выражения, определяющие радиус-вектор диполя и Фурье-компоненты вектора дипольного момента.
-
Исследование полученных решений на единственность и устойчивость. Доказана устойчивость полученных решений и показано, в каких случаях решение является единственным. В случаях, когда решение не является единственным, указано в чем проявляется неоднозначность полученного решения.
Степень достоверности
Поиск решения осуществлялся с применением стандартах методов теоретической физики и математического анализа. В предельных случаях полученные формулы дают известные результаты. Исследования, проведенные в диссертационной работе, опубликованы в российских и международных рецензируемых журналах.
Личный вклад автора
Совместно с руководителем осуществлена постановка задачи, обсуждение результатов работы, формулировка выводов и положений, выносимых на защиту, написание научных статей по теме диссертации. Лично диссертантом произведены теоретические расчеты диссертационной работы.
Апробация работы
Результаты, положенные в основу диссертации, докладывались на следующих конференциях:
-
Наука и образование: "X Всерос. конференция студ., асп. и молодых ученых", 15 -19 мая 2006. - Томск.
-
VII International Symposium "Radiation from Relativistic Electrons in Periodic Structures", Prague, the Czech Republic, September 24 - 28, 2007.
-
Наука и образование: "XII Всерос. конференция студ., асп. и молодых ученых", 21 -25 апреля 2008. - Томск.
-
Наука и образование: "XIII Всерос. конференция студ., асп. и молодых ученых", 20
- 24 апреля. 2009. - Томск.
-
Международная научно-практическая конференция "Развитие научно-технического сотрудничества российских научных и научно-образовательных центров с учеными-соотечественниками, работающими за рубежом", 2-4 апреля, 2010. — Томск.
-
IV международная конференция "Квантовая теория поля и гравитация QFTC'10", 5
- 9 июля, 2010. - Томск.
7. IX Сибирское совещание по климатоэкологическому мониторингу. Институт монито
ринга климатических и экологических систем СО РАН, 3-6 октября 2011. - Томск.
Вектор Умова-Пойнтинга дипольного электрического и дипольного магнитного моментов
Обратными задачами называют задачи математической физики, в которых значения параметров модели должны быть получены из наблюдаемых данных [1-5]. Интерес к подобного рода задачам стал проявляться относительно недавно. Первые публикации, посвященные обратным задачам, появились в первой половине XX века. Данные работы возникли в связи с исследованиями ученых в разных областях знания. Например, в области физики это задачи квантовой теории рассеяния, обратная задача электродинамики и акустики, в области геофизики - - обратные задачи сейсмики, электроразведки, теории потенциала. Помимо этого, имеется большое число работ посвященное обратным задачам в астрономии [6], медицине [7], компьютерной томографии, а так же во многих других областях естествознания. В последнее время, с развитием компьютерных технологий область применения обратных задач затронула большинство научных дисциплин, пользующихся математическими методами.
В электродинамике под обратной задачей понимается задача определения координат зарядов и их динамики по известному полю, которое они создают. Обратные задачи электродинамики охватывают очень широкий круг явлений [8-12]. Наиболее известная и широко изученная обратная задача -- это задача определения характеристик объекта по его электромагнитному излучению, так называемая пассивная локация. Не менее распространены задачи в которых требуется восстановить параметры объекта по отраженному излучению - - задачи активной локации. Данный класс задач также представляет большой интерес и изучен довольно хорошо. В простейшем случае, под локацией понимают задачу нахождения расстояния до источника и направления от него до наблюдателя. В более сложном, задача локации состоит в определении формы источника и нахождении его электрофизических свойств
Одними из первых с необходимостью решать обратные задачи столкнулись геофизики при разведке полезных ископаемых [13-16]. Оказалось, что метод акустической разведки полезных ископаемых намного экономичнее бурения пробных скважин и позволяет получать более полную картину состояния земных недр. Обратные задачи геоакустики довольно сложны, поскольку, из-за присутствия многих типов волн, приходится иметь дело со сложным строением рассеянного волнового поля. Тем не менее, проводя анализ статистических характеристик радиосигналов, отраженных от земной поверхности, геофизики могут определить местонахождение источников различных физических полей, получать более точную информацию о структуре подземных слоев и прогнозировать их дальнейшее развитие [17-19].
Обратные задачи имеют большое значение для астрофизики. Основная причина по которой астрофизикам приходится решать обратные задачи - - невозможность работать с космическими объектами напрямую. Этому вопросу посвящено множество статей. Например, в работе [20] с помощью интегральных уравнений Фредгольма первого рода решена обратная задача для звезд типа Вольфа-Райе в тесных двойных системах. В этой задаче по наблюдаемым данным изменения светимости звезды при затмении определенно распределение яркости по диску звезды. Здесь же исследован случай затмения звезды диском Луны. По наблюдаемым следствиям затмения можно судить о распределении яркости по диску звезды, а также появляется возможность узнать ее угловой диаметр. Интересна задача в которой по известному распределению поверхностной плотности звезд найдено их радиальное распределение плотности в шаровом скоплении [21]. Кроме этого, существует много других примеров решения обратных задач в астрофизике [22,23].
В 60-х годах прошлого века астрофизиками были предприняты попытки из результатов измерений свойств излучения от внеземных источников получить информацию о характеристиках и свойствах этих источников. Например, задача излучения релятивистского электрона, находящегося в магнитном поле космического объекта. При условии, что мы имеем дело с однородным магнитным полем, заряженная частица является ультрарелятивистской, и ряде других предположений, можно решить обратную задачу синхротронного излучения [24, 25]. По известнвш поляризационнвш свойствам синхротронного излучения можно судить о направлении магнитного поля в области излучения. При условии, что измерено зеемановское расщепление спектральнвіх линий и известен угол между силовой линией магнитного поля и лучом зрения, можно найти так же величину этого поля. Решение задачи в совокупности позволяет найти распределение магнитного поля в нашей Галактике [26].
Восстановить свойства объекта, генерирующего излучение, довольно сложно. Например, в результате прохождения через звездную плазму происходит изменение спектра и поляризации излучения, иногда нет возможности узнать распределение по энергиям излучающих частиц, а так же многое другое. Точ-ность решения обратнвіх задач во многом зависит от качества полученной в ходе эксперимента информации. В работе [27] показано, что точность решения таких задач достигает 80 процентов.
Особый интерес для физики атмосферы представляет обратная задача о квазистатических источниках электрического поля, таких как, например, гро-зоввіе облака. По зарегистрированнвім параметрам сигналов, отраженнвіх от молний, или непосредственно генерируемвіх молниями, ученвіе оценивают среднее время их существования, мощность разряда, зависимость тока разряда от времени, а так же другие характеристики [28]. Эти знания позволяют в далв-НСЙІПСМ воздействовать на электрическое состояние кучевых облаков с целью регулирования последующих грозоввіх стадий развития, используя, к примеру, лазерві [29-33]. Однако отметим, что все перечисленнвіе ранее классві обратнвіх задач есть, в значительной степени, итог наблюдений и анализа полученнвіх даннвіх и носят эмпирический характер.
Поле прецессирующего дипольного момента
В статьях [69] и [70] в качестве известных величин берутся напряженности электрического и магнитного поля диполя как функций времени в некоторой точке пространства. Неизвестными величинами являются координаты диполя и его динамика. Но с практической точки зрения удобнее измерить амплитуду и фазы колебаний электромагнитного поля на некоторой частоте. В таком случае в качестве исходных данных используют Фурье-составляющую магнитного поля и ее фазу в некоторой точке пространства или производные этих величин по координатам. Решение обратной задачи при такой постановке описано в работе [71].
Степень разработанности темы
Поле произвольного, в целом нейтрального, распределения заряда можно в первом приближении мультипольного разложения представить как поле диполя. Такое представление является хорошим приближением, если размеры области, в которой распределен заряд, много меньше расстояния между наблюдателем и данной областью. Поэтому решение обратной задачи для поля точечного диполя применимо к довольно широкому кругу явлений.
В работе решена обратная задача для поля электрического диполя. В силу дуальной симметрии уравнений Максвелла полученные решения справедливы и для поля магнитного диполя если сделать замену р ——Е, где р, т - векторы дипольного электрического и дипольного магнитного моментов соответственно, Е и Н - напряженности электрического и магнитного полей.
В диссертационной работе исследовано поле диполя в ближней и дальней зонах. Получены формулы для плотности потока энергии поля, создаваемого произвольно изменяющимся дипольным моментом. Построены и проанализированы картины силовых линий вектора Умова-Пойнтинга для поля линейно изменяющегося дипольного момента. Изучено поле создаваемое прецессирую щим дипольным моментом.
Решена обратная задача для поля дипольного момента, т.е. найдены уравнения определяющие величину дипольного момента и его положение относительно наблюдателя. Исследованы частные случаи решения, и проведена проверка полученных формул на примере конкретной задачи. Найдено альтернативное решение обратной задачи. Кроме того, проведена проверка полученных уравнений на устойчивость и единственность.
Развит спектральный подход к решению обратной задачи для поля диполя. Найдены выражения, определяющие координаты и величину амплитуды Фурье-компоненты дипольного момента. Предложен альтернативный метод решения задачи и исследованы единственность и устойчивость найденного решения. Полученные формулы апробированы на примере решения частной задачи.
Цели ж задачи работы
Основной целью данной работы является решение обратной задачи для электромагнитного поля точечного электрического диполя. Модель точечного диполя применима к достаточно компактному распределению нерелятивистских зарядов, удовлетворяющему известным условиям.
Целью работы, так же, является исследование поля дипольного момента в ближней и дальней зоне, в том числе, изучение процессов переноса энергии в этих областях, а также изучение поля дипольного момента, изменяющегося в соответствии с конкретными, частными законами движения.
Другой, не менее значимой, целью работы является построение метода решения обратной задачи для случая, когда известна Фурье-составляющая электрического или магнитного поля в некоторой точке пространства. Такая формулировка обратной задачи имеет большое значение для практических приложений, поскольку измерение электромагнитных полей происходит на практике на определенной частоте или в некотором диапазоне частот. Для достижения целей были поставлены следующие задачи: И
1. Исследовать поле диполя в ближней и дальней зоне, в том числе, изучить процессы переноса энергии в этих областях, а также изучить поле линейно изменяющегося и прецессирующего дипольного момента.
2. Решить обратную задачу для поля электрического диполя. Из известных выражений напряженностей электрического и магнитного полей найти величину дипольного момента и его положение в пространстве. С помощью решения практической задачи проверить полученные результаты, а также исследовать возможные частные случаи. Поиск альтернативного метода решения обратной задачи для случая, когда найденное решение имеет особенности.
3. Решить обратную задачу в случае, когда известна Фурье-составляющая магнитного поля в некоторой точке пространства. Исследовать возможность получения однозначного решения при такой постановке задачи. Решить и исследовать полученное решение если известен еще и градиент Фурье-компоненты. Доказать справедливость выведенных уравнений с помощью решения частной задачи. Найти возможные альтернативные методы решения для Фурье-компонент магнитного поля. Полученные решения проверить на единственность и устойчивость.
Научная новизна
1. Показано, что плотность потока энергии электромагнитного поля в ближней зоне можно разбить на две компоненты - поток, связанный с обменом энергии между полем и изменяющимся диполем, и радиально направленный поток энергии излучения.
2. Решена обратная задача поля дипольного момента для случая, когда исходными данными являются напряженности электрического и магнитного полей как функций времени в некоторой точке пространства. Найдены ко ординаты дипольного момента и закон его изменения.
3. Получено решение обратной задачи поля дипольного момента для случая, когда исходными данными являются амплитуда и фаза Фурье-компоненты магнитного поля. Показано, что этих данных недостаточно для получения однозначного решения. Решена обратная задача при условии, что известны производные по координатам от Фурье-амплитуд и фаз магнитного поля в некоторой точке пространства. Полученные решения апробированы на конкретном примере методом численного моделирования.
4. Доказано, что полученные решения являются устойчивыми и однозначными. Получены формулы для зависимости погрешности решения от погрешНОсти исходнXх данных»
Пример. Численное моделирование решения обратной задачи
Распространенным источником электромагнитного поля является электрический (магнитный) диполь. Поле, создаваемое зависящим от времени диполь-ным электрическим моментом, изучено довольно хорошо. Известны выражения для напряженностей электрического и магнитного поля (см. например, [78]). В учебнике [76] представлено Фурье-разложение для напряженностей электрического и магнитного поля диполя. Практически в любом учебнике электродинамики можно найти выражения для мощности и спектра излучения диполя.
Решение обратных задач для полей, создаваемых дипольным электрическим или магнитным моментом исследовано значительно меньше. Между тем, существует большое количество практических примеров, требующих решения подобных обратных задач.
В качестве примера полей, созданных электрическими дипольными моментами и представляющих интерес с точки зрения обратной задачи, можно привести поля, возникающие при образовании трещин в твердых телах. В серии теоретических и экспериментальных работ [46,87-91], проведенных группой томских ученых детально исследованы электромагнитные явления, сопровождающие процесс образования трещин в твердых телах. Предложены методы регистрации возникающего электромагнитного поля и использования результатов измерения для локализации трещин в исследуемом образце. В качестве основного механизма генерации электромагнитного поля рассматривается образование зарядов противоположного знака при образовании трещин. Сравнительно недавно опубликована работа по локализации и идентификации формы трещин в упругих твердых телах по электромагнитному сигналу [92].
Другим примером является генерация электромагнитного сигнала при землетрясениях или при суточных вариациях напряжения в земной коре [48,93-97]. Электромагнитные предвестники землетрясения возникают на стадии интенсивного растрескивания в процессе разрушения земной коры. На стадии лавинного трещинообразования процесса разрушения среды, образуется большая совокупность трещин, генерируя электромагнитные волны синхронно. Совокупность таких трещин представляют собой крупномасштабный источник излучения электромагнитных волн который обеспечивает возможность регистрации излучения на значительном расстоянии от него. В то же время, на практике размеры источника поля и расстояния между источником поля и наблюдателем малы в сравнении с характерной длиной волны, что позволяет использовать дипольное приближение.
В физике релятивистских частиц решение обратной задачи для поля диполя можно использовать, например, для исследования колебаний атомов кристаллической решетки или динамики электронного газа после пролета заряженной частицы через кристалл. Другим применением обратной задачи является создание источников излучения с заданными свойствами, базирующихся на пучках релятивистских частиц. Таких как ондуляторы или лазеры на свободных электронах.
В настоящей главе решена обратная задача поля изменяющегося со временем электрического диполя. В условиях такой задачи предполагается, что электромагнитное поле создается дипольным электрическим моментом. Напряженности электрического и магнитного полей известны как функции времени. Требуется найти источник этого электромагнитного поля, т.е. вектор дипольного момента, как он зависит от времени, и положение этого момента в пространстве.
Математическая постановка данной обратной задачи заключается в том, что задаются две векторные функции времени: вектор напряженности магнитного поля и вектор напряженности электрического поля, т.е. шесть скалярных функций времени. Требуется найти вектор дипольного момента (три скалярные функции времени) и радиус-вектор дипольного момента (три скалярные константы). При этом, напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми функциями времени - они связаны между собой уравнениями Максвелла. Таким образом, возникает вопрос об однозначности решения обратной задачи.
Решение обратной задачи в общем виде
В настоящем разделе представлено решение обратной задачи для поля диполя, а также найдены ограничения на полученное решение. Напряженности электрического и магнитного полей диполя выражаются через первую и вторые производные от дипольного момента. Следовательно, решение обратной задачи сводится к решению системы дифференциальных уравнений второго порядка. Особенность данной задачи заключается в том, что искомыми величинами являются три функции времени для компонент дипольного момента и три скалярные величины для координат диполя. Поэтому из шести дифференциальных уравнений только три уравнения нужно решить именно как дифференциальные уравнения. Остальные три уравнения используются как алгебраические уравнения для нахождения координат диполя. Использование полученных формул продемонстрировано на примере численного моделирования поля диполя, изменяющегося по гармоническому закону, и вычисления его координат и закона его изменения.
Векторы напряженности электрического поля E(t) и напряженности магнитного поля H(t) электрического дипольного момента p(t ) на расстоянии г определяются формулами (1.1) и (1.2).
Из уравнения (1.2) видно, что вектор напряженности магнитного поля Н изменяется в плоскости, ортогональной вектору п, что, в принципе, позволяет найти единичный вектор п. Для этого найдем векторное произведение (Н х Н\. Дифференцируя выражение для напряженности магнитного поля (1.2) по времени t и, имея ввиду, что dt = dt , получим следующее уравнение: (Нхй) = п-(п-(Р хР")). (2.1)
где Р = р + p, штрих означает производную по безразмерному времени г = ct/r. Из последнего выражения видно, что направление вектoра n совпадает с направлением векторного произведения НхН) с точностью до знака скалярного произведения (п (Р х Р")).
Как известно из векторного анализа, левая часть последнего уравнения задает направление мгновенной угловой скорости поворота вектора напряженности магнитного ноля Н вокруг мгновенной оси вращения вектора. Векторное произведение (Р х Р") задает ось, вокруг которой поворачивается вектор Р . Если проекция вектора мгновенной улловой скорости поворота вектора Р на вектор п положительна, то НхН) направлено в положительном направлении вектора п. Другими словами, из уравнения (2.1) следует, что векторы Н и Р поворачиваются вокруг единичного вектора п в одном и том же направлении. Полагаем далее что векторное произведение ІН х Н\ 0. Тогда выражение для вектора п будет иметь вид:
Знак в последней формуле зависит от знака неизвестного на данном этапе смешанного произведения (п (Р х Р")). Выбрать одно из двух направлений вектора п можно с помощью свойства вектора Умова-Пойнтинга. выявленного в предыдущей главе.
В разделе 1.2 показано, что усредненный по времени вектор плотности потока энергии поля всегда образует острый угол с направлением вектора п. Поскольку поля E(t) и H(t) известны, можно усреднить по времени проекцию вектора Умова-Пойнтинга на линию, определяющую направление векторного произведения (йхй) . Из условия, что эта проекция должна быть больше пуля, можно найти положительное» направление вектора п. Другими словами,
задача для производных от Фурье-компонент магнитного
Во второй главе сформулированы условия обратной задачи для поля дипольного момента, и приведено ее решение. В разделе 2.1 решение обратной задачи задается тремя уравнениями. Выражения (2.2) и (2.13) определяет положение дипольного момента в пространстве, а уравнение (2.16) задает его величину. Справедливость полученных формул проверена путем решения частной задачи. В данном способе решения существует ограничение — знаменатель в формуле для нахождения единичного вектора п (2.2) не должен равняться нулю. В противном случае необходимо дополнительно исследовать напряженность магнитного поля и скорость ее изменения со временем, как показано в разделе 2.3. Тем не менее, даже такое исследование не всегда дает полное решение поставленной задачи.
В разделе 2.2 рассматривается другой подход к решению обратной задачи. Выражение для единичного вектора п (2.40) и уравнение третьего порядка на г (2.39) определяю! положение дипольного момента, а уравнение (2.46) задает его величину. При этом в полученном решение отсутствуют ограничения, что делает его более удобным при расчетах. Кроме того, в этом разделе доказывается эквивалентность уравнений для нахождения дипольного момента (2.16) и (2.46) с точностью до постоянных интегрирования. Показано, что различия в этих двух найденных решениях обусловлено симметрией электромагнитного поля диполя относительно преобразования дипольного момента. Поскольку напряженности электрического поля и магнитного поля обладают разной степе нью симметрии, неопределенность в решении обратной задачи зависит от того, в какой мере полученное решение базируется на знании электрического или магнитного поля. Глава 3. Спектральная формулировка обратной
В предыдущей главе мы рассмотрели решение обратной задачи для поля, создаваемого дипольным электрическим моментом. Предполагалось, что известны напряженности электрического и магнитного полей диполя как функций времени в некоторой точке пространства. Получены формулы, позволяющие найти координаты источника поля и зависимость вектора дипольного момента от времени. Для практических применений такой подход не очень удобен в связи с тем, что измерение быстро изменяющихся электромагнитных полей как функций времени представляет некоторые трудности. В то же время, измерение амплитуды колебаний электромагнитного поля на некоторой спектральной частоте представляется достаточно простой процедурой. С этой точки зрения представляет интерес такая формулировка обратной задачи, в которой заданными величинами являются Фурье-компоненты электрического или магнитного поля диполя. Вектор магнитного поля, как известно, изменяется в плоскости, ортогональной линии, соединяющей наблюдателя с источником поля. Поэтому для определения направления на источник поля удобнее измерять Фурье-компоненты именно магнитного поля. В экспериментальных работах, описанных в [93], также измеряется магнитная составляющая электромагнитного поля.
Более того, многие исследования, проведенные к настоящему времени в области обратных задач электромагнитного поля, имеют дело с измерениями на некоторой частоте или в определенном диапазоне частот. Сюда относится, например, изучение механоэлектрических преобразований в бетоне [100] или измерение электромагнитных предвестников землетрясений [101].
В настоящей главе представлено решение обратной задачи для случая, когда известна Фурье-составляющая магнитного поля в некоторой точке простран ства или известен градиент Фурье-компоненты в окрестности этой точки. Кроме того, показано, что знание Фурье-компоненты вектора магнитного поля только в одной точке пространства недостаточно для полного решения обратной задачи. Но если известны и градиенты Фурье-компонент магнитного поля в окрестности некоторой точки, то решение обратной задачи позволяет определить координаты источника поля и Фурье-компоненты дипольного момента с точностью до масштабного множителя.
Предположим, что магнитное поле некоторого распределения заряда измеряется на фиксированной частоте и в малой окрестности некоторой точки пространства. Пусть расстояние между этой точкой и некоторой точкой внутри области, где заряд распределен, много больше, чем размеры самой области. В этом случае мы можем заменить распределение заряда на электрический диполь. Тогда задача состоит в нахождении положения дипольного момента и Фурье-амплитуд изменяющегося вектора дипольного момента.
Разложение Фурье для магнитного поля точечного диполя р (точечного в том смысле, что размеры источника много меньше длины рассматриваемой волны) имеет вид [78]: Нш(г) = % (рш х п) (гкг - 1)егкг\ (3.1) где рш - - преобразование Фурье электрического диполя, к = и/с - - волновой вектор, г -- радиус-вектор точки наблюдения, п = г/г -- единичный вектор, направленный от диполя к наблюдателю. В этом разделе мы предполагаем, что магнитное поле не является линейно поляризованным.
Поскольку вектор магнитного поля Нш ортогонален единичному вектору п. выберем систему координат так, чтобы проекция магнитного поля на ось OZ была равна нулю Ншг = 0 (см. рис.3.1).
Тогда гармоническая составляющая вектора магнитного поля Нше шг на частоте UJ описывает эллипс в плоскости XY. Назовем его эллипсом поляризации вектора Нш. Источник поля находится на линии, ортогональной плоскости эллипса поляризации, т.е. на оси OZ, но пока не ясно, в положительном или отрицательном направлении этой оси.
Эти соотношения определяют эллипс поляризации дипольного момента с точностью до масштабного множителя. Таким образом, измеряя Фурье-компоненту магнитного поля, мы можем определить линию, соединяющую дипольныи момент с наблюдателем и, с точностью до масштабного множителя, проекцию эллипса поляризации момента на плоскость, ортогональную этой линии. Остаются неизвестными абсолютная величина амплитуды дипольного момента, его проекция на линию, соединяющую дипольный момент с наблюдателем, знак направления на источник поля и расстояние до него.
Похожие диссертации на РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ, СОЗДАННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ИЛИ МАГНИТНЫМ ДИПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ
