Содержание к диссертации
Введение
1. Материя с дилатационным зарядом в пространстве римана-картана 19
1.1. Введение 19
1.2. Уравнения поля в пространстве Римана-Картана 21
1.3. Уравнения поля в пространстве Вейля-Картана 25
1.4. Дифференциальное тождество 26
1.5. Анализ уравнений поля в пространстве Римана-Картана и Вейля-Картана 28
2. Вариационный тетрадный формализм в постримановых теориях гравитации со скалярным полем 29
2.1. Вариационный тетрадный формализм для общего квадратичного лагранжиана в аффинно-метрическом пространстве 29
2.2. Вариационный тетрадный формализм для общего квадратичного лагранжиана в пространстве Вейля-Картана 38
2.3. Конформные преобразования в пространствах Римана, Римана-Картана и Вейля-Картана 42
2.4. Конформные преобразования, индуцированные локализованной группой Пуанкаре-Вейля 47
2.5. Конформная теория гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана в тетрадном формализме 49
2.6. Анализ Г-уравнения конформной теории гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана 58
2.7. Анализ h- и /3-уравнений конформной теории гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана 61
2.8. Уравнение скалярного поля Дирака в конформной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана 63
3. Применение компьютерных методов символьных вычислений к анализу вариационных производных 67
3.1. Дифференциальные тождества 67
3.2. Система символьных вычислений CartanWeyl 70
3.3. Анализ вариационных производных при помощи системы CartanWeyl 75
Заключение 82
Литература 84
- Уравнения поля в пространстве Римана-Картана
- Анализ уравнений поля в пространстве Римана-Картана и Вейля-Картана
- Вариационный тетрадный формализм для общего квадратичного лагранжиана в пространстве Вейля-Картана
- Конформная теория гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана в тетрадном формализме
Введение к работе
С момента создания ОТО не прекращались попытки объяснить новые явления в астрофизике и космологии путем усложнения структуры пространства-времени. А. Эйнштейн предположил, что четырехмерное пространство-время является искривленным пространством Римана, и на этой основе создал современную теорию гравитации, названную общей теорией относительности (ОТО) [1]-[7].
Современные астрофизические и космологические модели строятся на основе идущей от Эйнштейна [1],[2] фундаментальной идеи о том, что геометрическая структура пространства-времени совместна со свойствами материи, заполняющей пространство-время, в том смысле, что динамика материи влияет на метрику и связность пространственно-временного многообразия и, в свою очередь, зависит от геометрических свойств пространства-времени. В рамках теории гравитации Эйнштейна в пространстве Римана созданы различные астрофизические и космологические модели, достаточно успешно описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной.
Однако, современные достижения наблюдательной космологии [8]-[13] привели к формированию представлений о существовании темной материи, плотность которой на порядок превышает плотность барион-ной светящейся материи, из которой сформированы звезды и светящаяся компонента галактик. Именно темная материя во взаимодействии
с превосходящей ее в три раза по плотности положительной энергией вакуума (темной энергией) определяет динамику эволюции Вселенной. Другое важное следствие из современных наблюдательных данных состоит в понимании того, что наступил конец фридмановской стадии в развитии Вселенной, характеризуемой замедлением расширения Вселенной, и началась постфридмановская стадия "второй инфляции", при которой расширение с замедлением сменилось расширением с ускорением, причем возможен переход к экспоненциальному расширению.
Решение этих новых проблем многие авторы видят в обобщении теории гравитации на пространства с более сложной геометрической структурой. Известные математики Г. Вейль, Э. Картан и И. Схоутен показали, что пространства могут характеризоваться не только кривизной, но также кручением и неметричностью. Условия, накладываемые на тензоры кривизны, кручения и неметричности, могут служить инструментами усложнения структуры пространства. В современной космологии используются пространства с более сложной структурой, чем пространства Римана. Это пространство Римана-Картана с кривизной и кручением и общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметричностью, в частности, пространство Вейля-Картана с неметричностью вейлевского типа. Появилось целое направление, названное "нериманова космология"[14] , которое авторы статьи [30] предпочитают называть "постриманова космология".
В настоящее время нет общепринятой концепции о сущности темной материи. В работах О. В. Бабуровой и Б. Н. Фролова [15]—[17] была высказана гипотеза о том, что темная материя наделена новым типом гравитационного заряда, названным "дилатационным зарядом" и связанным с симметрией относительно растяжений и сжатий (дилатаций)
пространства-времени. В связи с этим авторами этих статей была высказана идея о том, что в качестве модели темной материи может быть рассмотрена идеальная спин-дилатационная жидкость [18]—[19]. На этой основе этими авторами была развита несингулярная модель эволюции Вселенной, описывающая недавно открытые особенности этой эволюции. Дальнейшее развитие теории дилатационного взаимодействия было осуществлено Ю. А. Портновым [20], [21]. Отметим, что другая трактовка дилатационного взаимодействия в применении к космологии была развита в работе В. Г. Кречета и Д. А. Садовникова [22], в которой также были найдены некоторые несингулярные космологические решения. Во всех указанных работах геометрическим фоном, на котором развёртывается эволюция материи, является пространство Вейля-Картана.
Часто высказывается точка зрения (которая лежит в основе идеологии ОТО), что свойства и структура материи полностью определяют геометрию пространства-времени. Однако, исследование, результаты которого опубликованы в [23]-[26] и приведены в Главе 1 диссертацион--ного исследования, показывает, что это утверждение требует уточнения. Оказывается, что один и тот же тип материи (с дилатационным зарядом) на геометрическом фоне пространства Римаиа-Картаиа порождает уравнения поля, отличные от уравнений ноля, порождаемых этим типом материи на геометрическом фоне пространства Вейля-Картана. Поэтому и результаты обеих теорий будут разными.
Существуют несколько используемых в настоящее время различных возможностей априорного выбора геометрических свойств пространства-времени в качестве арены существования материи (см. Рис. 0.1). Это пространство Римана с кривизной, но без кручения и неметричности (геометрическая арена ОТО); пространство Римана-Картана с кривиз-
ной и кручением, но без неметричности (геометрическая арена теории Эйнштейна-Картана и ее обобщений на квадратичные лагранжианы); пространство Вейценбека абсолютного параллелизма с кручением, но без кривизны и неметричности; пространство Вейля-Картана с кривизной, кручением и неметричностью вейлевского типа; общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметричностью общего типа.
Рис. 0.1: Здесь Q' — Q^v\ — \g^Q\, a TrQ = Qx = g^Q^x - свертка тензора неметричности. В скобках «+» или «-» символически обозначают наличие или отсутствие соответственно тензоров (Q,R,T).
Конкретный выбор геометрического типа пространства-времени должен быть априорно определен из каких-то соображений, дополнительных по отношению к принятому (и идущему от идеологии ОТО) механизму порождения геометрических свойств пространства-времени за-
полняющей его материей. Это говорит об определенной неполноте существующего в настоящее время геометрического подхода описания взаимоотношения пространства-времени и материи.
В наших работах [23]-[26] высказана точка зрения, что дополнением к существующему геометрическому подходу должен быть калибровочный подход к теории гравитации. Калибровочный подход к описанию физических взаимодействий лежит в основе современной теоретической физики [27] - [29]. Этот подход, дополненный некоторыми дополнительными требованиями, позволяет построить современную классическую теорию поля. В работах [30] - [32], исходя из калибровочной теории группы Пуанкаре-Вейля, показано, что пространство Вейля-Картана является геометрическим фоном в современной теории гравитации.
В последнее время наметилось возрастание интереса к калибровочной трактовке гравитационного взаимодействия [33] - [37]. Как известно, впервые калибровочная теория была предложена Г. Вейлем в 1918 году. В [38] было введено калибровочное поле, соответствующее группе изменений масштабов, независимых в каждой точке пространства. Изменение масштабов длины математически эквивалентно дилатациям (растяжениям и сжатиям) пространства. Объединение группы дилатаций и группы Пуанкаре означает расширение группы Пуанкаре до группы Пуанкаре-Вейля. Название "группа Пуанкаре-Вейля" более точно, чем используемое иногда в литературе название "группа Вейля" , так как с понятием вейлевской симметрии обычно связывают локализованные масштабные преобразования.
В работах [30] - [32] производится построение калибровочной теории для группы Пуанкаре-Вейля. Актуальность подобного подхода обусловлена тем, что физика высоких энергий выдвигает требование локальной
масштабной инвариантности теории. Данная теория основана на методе введения калибровочных полей для групп, связанных с преобразованиями пространственно-временных координат, основанном на первой и второй теоремах Нетер и развитым в [39], [40], [35], [36]. Отметим, что в данном подходе тетрадные коэффициенты Ка^ не являются калибровочными полями, а представляют собой некоторую функцию от истинных калибровочных полей.
То калибровочное поле, которое вводится подгруппой дилатаций, названо дилатационным полем. Его вектор-потенциал - это вектор Вейля, а напряженность - тензор сегментарной кривизны, возникающий при геометрической интерпретации теории вместе с тензорами кривизны и кручения. Особенностью лагранжиана гравитационного поля, построенного в работах [30] - [32], является то, что при сохранении калибровочной инвариантности этот лагранжиан допускает наличие ненулевой массы у вектора неметричности Вейля. Это обстоятельство означает, что вводимое при локализации группы дилатаций калибровочное поле не представляет собой электромагнитное поле (что утверждал Вейля в своей основоплагающей работе), а полем другого типа [41] - [43]. Отметим также, что в работах [30] - [32] в рамках общей калибровочной процедуры естественным образом вводится скалярное поле Дирака р(х) [44], играющее принципиально важную роль при построении предлагаемого в Главе 2 лагранжиана гравитационного поля. Члены данного лагранжиана имеют структуру лагранжиана Хиггса и тем самым могут вызывать спонтанное нарушение дилатационной инвариантности, что приводит к возникновению масс частиц [45].
Как известно, одним их основных методов построения теорий в современной фундаментальной физике является использование вариаци-
онного формализма. Развитие гравитационных теорий в пространствах с постримановыми свойствами требуют развития новых (по сравнению с пространством Римана) вариационных формализмов. В настоящее время подробно развиты вариационные формализмы в пространстве Римана-Картана [27], [35], [37] и в общем аффинио-метрическом пространстве [47] - [49]. Построению вариационного формализма в пространстве Вейля-Картана посвящены работы [50] - [52] в тетрадном формализме и работы [15] - [19] в формализме внешних форм.
В литературе можно найти два способа получения уравнений гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана. Первый из них состоит в получении этих уравнений как частного случая уравнений гравитационного поля в общем аффинно-метрическом пространстве при наложении на неметричность условия Вейля. Второй срособ состоит в получении этих уравнений при наложении условия Вейля до вариационной процедуры, например, с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. При этом полученные обоими способами уравнения гравитационного поля в общем случае не совпадают друг с другом. Мы придерживаемся точки зрения, высказанной в работах [15], [30] - [32] о том, что пространство Вейля-Картана имеет первоначальный фундаментальный статус (как следствие указанного выше калибровочного подхода) вне всякой зависимости от аффинно-метрической теории гравитации. Поэтому в настоящем исследовании мы используем второй способ (из указанных выше) получения уравнений гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана.
В Главе 2 мы обобщаем на наличие скалярного поля Дирака развитый в работах [51], [52] вариационный формализм получения уравнений поля в тетрадном формализме в теории гравитации с квадратичными
лагранжианами в вариационном формализме первого порядка, в котором метрика и связность рассматриваются как независимые вариационные переменные (обобщенный формализм Палатини, см. [54] - [59]). Учет в формализме первого порядка наряду с линейным по кривизне лагранжианом также н лагранжианы, квадратичные по кривизне, кручению (в пространстве Римана-Картана) и неметричности (в общем аффинно-метрическом пространстве), приобрел значительный интерес в современных теориях гравитационного поля.
Например, в Пуанкаре-калибровочная теория гравитации (ПКТГ), основанной на группе Пуанкаре, используются квадратичные по кривизне и кручению лагранжианы в пространстве Римана-Картана [39], [40], [60] - [73] (см. также [35], [49] и цитируемую там литературу), что стимулируется требованиями построения перенормируемой теории гравитационного поля [63]. Другой успешный пример применения вариационного формализма с квадратичными лагранжианами в пространстве Вейля-Картана можно найти в работе [74], в которой доказана обобщенная теорема Гаусса-Бонне в пространстве Вейля-Картана. Этот результат интересен тем, что теорема Гаусса-Бонне выполняется в пространстве Рима-на (тождество Баха-Ланцоша [67]) и в пространстве Римана-Картана [75], но не выполняется в общем аффинно-метрическом пространстве [76].
При этом использование квадратичных лагранжианов в вариационном формализме первого порядка принципиально отличается от использования лагранжианов этого типа в вариационном формализме второго порядка в пространстве Римана, что развивалось в работах Вейля [38], Эддингтона [65], [66], Ланцоша [67], [68] и других авторов [69] - [73]. В этих теориях используемая вариационная процедура приводит к уравне-
ниям поля, содержим производные от метрики выше второго порядка. Подобные теории строились для решения проблемы инфляции, построения перенормируемой и унитарной теории гравитации, а также с целью устранения сингулярностей за счет учета квантовых флуктуации. Однако появление в теориях данного типа третьих и более высоких производных от потенциалов существенно нарушает математическую структуру теории поля.
В совремнной теории поля важным аспектом является изучение конформных свойств теории. Что касается гравитационных взаимодействий, то для них важно изучение конформных свойств римановых и постри-мановых пространств. Конформное преобразование в пространстве Ри-мана хорошо изучено [77], но в пространствах Римана-Картана, Вейля-Картана и общем аффинно-мстрическом пространстве предлагались различного типа конформные преобразования [78] - [88], что подробно разобрано в Главе 2 настоящего исследования. Для изучения конформных свойств пространства Римана-Картана используется тензор конформной симметрии Вейля, обобщенный на пространства с кручениемв [89].
Как известно, конформная симметрия и, в частности, масштабная вейлевская симметрия играет важную роль в квантовой теории поля. Нарушение этой симметрии на квантовом уровне связано с определением структуры контрчленов и с проблемой асимптотической свободы в квантовой теории поля, а также с вычислением критических размерностей п = 26 и п = 10 в теории струн, с гравитационными инстантонами, с явлением Хокинга испарения черных дыр, с проблемами инфляции, космологической постоянной, рождения частиц и черных дыр в ранней вселенной [90]. Поэтому построение конформной теории физических полей на квантовом уровне является в настоящее время одной из наиболее
актуальных задач фундаментальной физики.
Важной составляющей этой задачи является создание адекватной конформной классической теории поля, в частности, конформной теории гравитационого поля. Одним из путей решения этой проблемы может быть построенная в работах [30] - [32] калибровочная теория группы Пуанкаре-Вейля в которой возникает конформно-инвариантный лагранжиан гравитационного поля. При геометрической интерпретации этой теории возникает искривленное пространство с касательным пространством, в котором метрический тензор имеет вид дЦиде = р2(х)д^[, где д^ метрический тензор пространства Минковского. Тем самым данное касательное пространство не является уже пространством Минковского. Данный вид метрического тензора используется в теории струн Стро-мингером, в его известной теории гетродической струны [91].
Вместе с тем в современной аффинно-метрической теории гравитации принято считать касательное пространство пространством Минковского. Совместить обе данные теории можно, если переопределить компоненты метрического тензора в координатном пространстве: g^v — 0~2д^изе, что приводит к переопределению ряда других геометрических величин теории. Возникающая в результате такой процедуры теория оказывается конформной теорией гравитации в пространстве Вейля-Картана [92] с дополнительной геометрической структурой в виде скалярного поля Дирака Р, которое в данном подходе возникает в теории естественно как необходимый элемент теории. В других работах, в которых рассматривается скалярное поле в аффинно-метрической теории гравитации [94],[95], это поле вносится в теорию извне и достаточно искусственно.
В гравитационной физике значительное внимание уделяется изучению взаимодействия скалярного и гравитационных полей. Из российских
работ отметим монографии С. В. Червона [96], в которой изучалось влияние скалярных полей в космологии, и Ю. П. Рыбакова и В. И. Санюка [97], в которой изучалась устойчивость самогравитирующих конфигураций скалярного и гравитационного полей, работы В. Ф. Панова [98] и В. Г. Кречета [22], [99]. Данный аспект гравитационной физики также освещен в известных обзорах [49] и [87], где можно найти много цитируемой литературы.
Для объяснения ряда недавно открытых явлений в области наблюдательной космологии достаточно успешно используется конформная теория гравитации со скалярным полем в пространстве Римана [100] - [103], [108]. Развиваемая в настоящей исследовании конформная теория со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана оказывается шире этой теории, поскольку содержит по сравнению с ней еще две геометрические величины - тензор кручения и вектор Вей ля, что существено изменяет вариационные уравнения поля теории.
В заключительной части Главы 2 развитый в этой главе вариационный формализм в пространстве Вейля-Картана со скалярным полем применен к решению задачи об изменении со временем скалярного поля Дирака в ранней Вселенной. При этом на данном этапе исследования мы пренебрегаем вкладами от квадратичных по кривизне слагаемых в лагранжиане. В результате возникают три вариационных уравнения гра-витационого поля: результаты варьирования по связности (Г-уравнение), по тетрадам (/г-уравнение) и по скалярному полю Дирака (/^-уравнение). Эти уравнения затем исследуются с целью получения и решения уравнения для скалярного поля Дирака в ранней стадии эволюции Вселенной и доказательства возможности уменьшения со временем зависящего от скалярного поля эффективного космологического члена.
Построенная конформная теория гравитации в пространстве Вейля-Картана со скалярным полем позволяет поставить вопрос о решении одной из наиболее важных проблем современной фундаментальной физики. Имеется в виду проблема огромного различия (на 120 порядков) величины космологической постоянной Л в период инфляции и в современную эпоху [104]. В работе [105] показано, что в пуанкаре-карибровочной теории гравитации в пространстве Римана-Картаиа в однородной и изотропной Вселенной в уравнениях гравитационного поля возникают (квадратично зависящие от следа кручения) члены, которые можно интерпретировать как слагаемые с эффективным космологическим членом. При этом полученное уменьшение со временем величины следа кручения слишком мало, чтобы решить проблему космологической постоянной.
В выписанном в Главе 2 лагранжиане гравитационного поля, инвариантном относительно калибровочной группы Пуанкаре-Вейля, надлежит интерпретировать в качестве эффективного космологического члена слагаемое А/В4. Тем самым в предлагаемой теории эффективный космологический член определяется скалярным полем. Решая уравнения для скалярного поля для ранней стадии эволюции Вселенной (стадии инфляции), найдено решение с резким уменьшением величины скалярного поля в эту эпоху, что обеспечивает уменьшение величины эффективного космологического члена до современного уровня за время существования Вселенной [92]. Это позволяет существенно продвинуться в решении проблемы космологической постоянной (темной энергии), которую академик В. А. Рубаков называет "одной из главных, если не самой главной, проблемой теоретической физики"[107].
В главе 2 были получены вариационные производные лагранжиана теории, необходимые для получения окончательных результатов. В про-
цсссе производства вариационной процедуры из-за громоздких преобразований могут быть допущены ошибки. Проверка данных вычислений может быть предпринята с помощью пакетов символьных вычислений на ЭВМ. Но во время поиска подходящих средств для выполнения вышеуказанных операций было обнаружено, что основные пакеты (такие как пакет Mathematica) не позволяют работать с тензорами в произвольных постримановых пространствах. Как правило, такие пакеты позволяют лпшь оперировать тензорами в евклидовом пространстве. Современные программные средства-расширения ограничены возможностью работать в пространстве Римана и Римана-Картана, примером может служить популярный пакет CARTAN для среды Mathematica [109].
Совместно с О. В. Бабуровой и Б. Н. Фроловым [110]—[112] было разработано расширение пакета CARTAN, с целью адаптации для работы с тензорными объектами в пространстве Вейля-Картана. Полученный в результате пакет прикладных программ получил название CartanWeyl. В данный пакет по сравнению с пакетом CARTAN добавлены новые функции и переменные, существенно расширяющие его возможности. Первые предложения по модификации пакета CARTAN изложены в [113] и [114].
В Главе 3 вторая (исправленная и дополненная) версия этого пакета применена к проверке правильности полученных вариационных уравнений гравитационного поля. Здесь изложен метод такой проверки, основанный на использовании существующих в теории дифференциальных тождеств. Осуществлен вывод трех дифференциальных тождеств, представляющих собой следствия инвариантности лагранжиана теории относительно общих преобразований координат, линейных преобразований касательного пространства и преобразований конформной симметрии.
Инвариантность относительно первых двух преобразований поддер-
живается лагранжианом в силу своего построения, в то время как инвариантность относительно третьего преобразования поддерживается лагранжианом только при определенном соотношении между константами связи в лагранжиане. Поэтому выполнение первых двух тождеств на результатах вариационной процедуры означает только правильность вычисления соответствующих вариационных производных, в то время как выполнение третьего тождества позволяет получить указанные соотношения между констанстами связи. Данные соотношения между константами связи выведены непосредственными вычислениями.
В Приложениях излагаются струкура пакета прикладных программ CartanWeyl, основные функции и алгоритмы, "Инструкция пользователя" по применению этого пакета, а также некоторые листинги работы системы CartanWeyl по проверке вариационных уравнений поля при помощи дифференциальных тождеств.
Уравнения поля в пространстве Римана-Картана
Уравнения гравитационного поля получаются на основе принципа наименьшего действия. Лагранжиан теории будет иметь вид Так как задача рассматривается в пространстве Щ, то на компоненты метрического тензора (а точнее на компоненты ковариантной производной от метрического тензора) наложены связи. Учет связей на переменные, подлежащие варьированию, будет произведен при помощи метода неопределенных множителей Лагранжа, которые в данной задаче будут играть роль дополнительных независимых переменных. Лагранжева плотность теории будет иметь следующий вид: - лагранжева плотность материи. Здесь Ф - некоторая полевая величина, характеризующая материю. В третьем слагаемом при помощи неопределенных множителей Лагранжа Ахар учтены вытекающие из структуры пространства U\ связи, налагаемые на компоненты ковариантной производной от метрического тензора. Будем предполагать выполнение вариационных уравнений для материи; Варьирование первых двух слагаемых не представляет проблемы -это классическая задача поиска уравнений поля. Введем известное обозначение для бинома Эйнштейна: Тогда вариация первого слагаемого (1.2.2) будет иметь вид: Введем обозначения: Вариацию второго слагаемого (1.2.2) можно представить в следующем где Jv\a - тензор гипермомента материи, а Тар- тензор энергии-импульса.
Для третьего слагаемого имеем Далее отдельно вычисляется третье слагаемое в (1.2.5), которое после несложных преобразований, с учетом симметричности множителей Введя обозначение для модифицированного тензора кручения: Миар = Тиар + 25LT , и учитывая третье уравнение, первые два уравнения можно привести к виду: Уравнения (1.2.11) и (1.2.9) представляют собой уравнения гравитационного поля в пространстве Щ. В них величина tap интерпретируется как (в общем случае несимметричный) тензор энергии-импульса материи. Также в этих уравнениях фигурирует слагаемое с полным тензором гипермомента, содержащим как тензор спинового момента, так и дилатационный заряд Однако, полученные в предыдущем параграфе уравнения поля (1.2.11) не совпадают с уравнениями гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана, полученными в [52] для материи с дилатационным зарядом. В последнем случае лагранжиан теории записывается в виде Здесь добавлено слагаемое с квадратом тензора сегментарной кривизны Вейля, описывающее динамику вектора Вейля Qfl в пространстве Вейля-Картана: Процедура варьирования подробно описана в [52]. Возникают следующие уравнения поля: Здесь введено обозначение Vj, =Vi/ — iX/fyQv , а также введен тензор Палатини: причем равенство со знаком (CW) выполняется только в пространстве Вейля-Картана. Легко убедиться, что, несмотря на некоторое сходство уравнений (1.2.8), (1.2.9) и (1.3.14), эти уравнения не переходят друг в друга при обращении в нуль дилатационного тока J\ в (1.1.1). Более того, даже в пустоте и при Л = 0 первое из уравнений (1.3.14) принимает вид Та = (3/8)Qa, то есть вектор Вейля Qa не обращается в нуль и пространство Вейля-Картана не переходит в пространство Римана-Картана.
Теперь с учетом введенных обозначений подставим (1.4.17), (1.4.18) в (1.4.16), затем разобьем его на два интеграла, у одного из которых подынтегральное выражение будет представлять собой полную дивергенцию. В конечном итоге применим теорему Гаусса и получим: Существует другой метод получения дифференциальных тождеств в аф-финно-метрическом многообразии, он основан на использовании производной Ли и изложен в работе [117]. Часто высказывается точка зрения, что свойства и структура материи полностью определяют геометрию пространства-времени. Однако, из приведенного в настоящей работе примера видно, что это утверждение требует уточнения. Было показано, что один и тот же тип материи (с дилатационным зарядом) на геометрическом фоне пространства Римана-Картана порождает уравнения поля, отличные от уравнений поля, порождаемых этим типом материи на геометрическом фоне пространства Вейля-Картана. Поэтому и результаты обеих теорий будут разными. Причем, даже если в обеих теориях обратить в нуль дилатационный заряд, то одна теория не перейдет в другую, даже в пустоте. Пространство Вейля-Картана не превратится в пространство Римана-Картана. Мы полагаем, что дополнением к существующей геометрической парадигме должен быть калибровочный подход к теории гравитации. Так, в работах [30], [31], [32] исходя из калибровочной теории группы Пуанкаре-Вейля, показано, что наиболее общим геометрическим фоном для материи должно быть пространство Вейля-Картана. При этом необходимой компонентой геометрической схемы пространства Вейля-Картана является скалярное поле Дирака (3(х), играющее важную роль при построении лагранжиана гравитационного поля. В следующей главе будет построена вариационная теория, основанноя на гравитационом лагранжиане со скалярным полем Дирака, и исследованы полученные уравнения гравитационного поля.
Анализ уравнений поля в пространстве Римана-Картана и Вейля-Картана
Введя обозначение для модифицированного тензора кручения: Миар = Тиар + 25LT , и учитывая третье уравнение, первые два уравнения можно привести к виду: Уравнения (1.2.11) и (1.2.9) представляют собой уравнения гравитационного поля в пространстве Щ. В них величина tap интерпретируется как (в общем случае несимметричный) тензор энергии-импульса материи. Также в этих уравнениях фигурирует слагаемое с полным тензором гипермомента, содержащим как тензор спинового момента, так и дилатационный заряд Однако, полученные в предыдущем параграфе уравнения поля (1.2.11) не совпадают с уравнениями гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана, полученными в [52] для материи с дилатационным зарядом. В последнем случае лагранжиан теории записывается в виде Здесь добавлено слагаемое с квадратом тензора сегментарной кривизны Вейля, описывающее динамику вектора Вейля Qfl в пространстве Вейля-Картана: Процедура варьирования подробно описана в [52]. Возникают следующие уравнения поля: Здесь введено обозначение Vj, =Vi/ — iX/fyQv , а также введен тензор Палатини: причем равенство со знаком (CW) выполняется только в пространстве Вейля-Картана. Легко убедиться, что, несмотря на некоторое сходство уравнений (1.2.8), (1.2.9) и (1.3.14), эти уравнения не переходят друг в друга при обращении в нуль дилатационного тока J\ в (1.1.1). Более того, даже в пустоте и при Л = 0 первое из уравнений (1.3.14) принимает вид Та = (3/8)Qa, то есть вектор Вейля Qa не обращается в нуль и пространство Вейля-Картана не переходит в пространство Римана-Картана. Теперь с учетом введенных обозначений подставим (1.4.17), (1.4.18) в (1.4.16), затем разобьем его на два интеграла, у одного из которых подынтегральное выражение будет представлять собой полную дивергенцию. В конечном итоге применим теорему Гаусса и получим:
Существует другой метод получения дифференциальных тождеств в аф-финно-метрическом многообразии, он основан на использовании производной Ли и изложен в работе [117]. Часто высказывается точка зрения, что свойства и структура материи полностью определяют геометрию пространства-времени. Однако, из приведенного в настоящей работе примера видно, что это утверждение требует уточнения. Было показано, что один и тот же тип материи (с дилатационным зарядом) на геометрическом фоне пространства Римана-Картана порождает уравнения поля, отличные от уравнений поля, порождаемых этим типом материи на геометрическом фоне пространства Вейля-Картана. Поэтому и результаты обеих теорий будут разными. Причем, даже если в обеих теориях обратить в нуль дилатационный заряд, то одна теория не перейдет в другую, даже в пустоте. Пространство Вейля-Картана не превратится в пространство Римана-Картана. Мы полагаем, что дополнением к существующей геометрической парадигме должен быть калибровочный подход к теории гравитации. Так, в работах [30], [31], [32] исходя из калибровочной теории группы Пуанкаре-Вейля, показано, что наиболее общим геометрическим фоном для материи должно быть пространство Вейля-Картана. При этом необходимой компонентой геометрической схемы пространства Вейля-Картана является скалярное поле Дирака (3(х), играющее важную роль при построении лагранжиана гравитационного поля. В следующей главе будет построена вариационная теория, основанноя на гравитационом лагранжиане со скалярным полем Дирака, и исследованы полученные уравнения гравитационного поля.
Пусть гладкое дифференцируемое многообразие Л4 представляет собой общее аффинно-мстрическое пространство L g, Г), в каждой точке которого в касательном пространстве введен неголономный базис еа = є аі )- Этот базис в пространстве Ь4,(д,Г) преобразуется с помощью общей линейной группы Gi(g,R), параметры которой могут быть выбраны в каждой точке произвольными функциями координат этой точки . Неголономные ортогональные компоненты метрического тензора д в пространстве L g, Г) задаются следующем образом: Матричные функции Wa и обратные к ним Л/2 называются тетрадными коэффициентами, или тетрадами. По свойству взаимно обратных матриц имеем Компоненты метрического тензора в координатном базисе равны В пространстве L g, Г) связность задается как с помощью неголо-номных коэффициентов связности Гаь\, так и с помощью голономных коэффициентов связности Г д- Ковариантная производная тетрадных коэффициентов оказывается равной нулю: благодаря связи между голономными и неголономными коэффициентами связности: Важным обстоятельством является доказанное в [35] утверждение о том, что в 1/4 ( 7, Г) базис касательного пространства не может быть выбран калибровочно инвариантным. Поэтому в Ь (д, Г) компоненты метрического тензора касательного пространства даь являются функциями координат пространства-времени и должны варьироваться наряду с тетрадными коэффициентами. В тетрадном формализме тензоры кривизны Rabfiu, кручения Taflll и неметричности Qabfj, имеют следующие выражения В тетрадном вариационном формализме первого порядка в пространстве Ь4(д,Г) рассмотрим лагранжеву плотность гравитационного поля, квадратитчно зависящую от тензоров кривизны, кручения и неметричности. Используем общий вид квадратичного лагранжиана гравитационного поля в пространстве 4(0, Г), который был выписан в [51]. Лагран-жева плотность гравитационного поля представляет собой сумму линейного лагранжиана Гильберта-Эйнштейна R в пространстве L g, Г) и произвольных квадратичных по тензорам кривизны, кручения и неметричности инвариантов:
Вариационный тетрадный формализм для общего квадратичного лагранжиана в пространстве Вейля-Картана
Пространство Вейля-Картана CW - это связное четырехмерное ориентированное дифференцируемое многообразие, метрика которого имеет лоренцеву сигнатуру, а связность удовлетворяет условию неметричности Вейля: Вектор Qn - это вектор Вейля. Пространство CW\ обладает кривизной (2.1.6) и кручением (2.1.7). В пространстве CW\ связности (как голономная, так и неголономная) разлагаются на две части: на связности пространства Римана-Картана (метрика которого согласована со связностью), и на слагаемые, зависящие от вектора Вейля: Символ (W) над величиной означает, что соответствующая величина относится к пространству Вейля-Картана, а. символ (С) - к пространству Римана-Картана. Разложение для связности (2.2.30) после подстановки его в (2.1.6) индуцирует соответствующее разложение тензора кривизны: а после свертки с метрическим тензором - разложение скалярной кривизны пространства CW\ на скалярную кривизну пространства Римана-Картана, и слагаемые, зависящие от вектора Вейля Q и кручения:
Вариационная процедура в пространстве Вейля—Картана может быть осуществлена разлиными методами: независимым варьированием по метрике, кручению и вектору Вейля; независимым варьированием по тетрадам, лоренцевой связности и вектору Вейля [105]; по метрике и общей голономной связности пространства Ь±(д,Т) с учетом условия (2.2.29) с помощью неопределенных множителей Лагранжа [35]. В работах [50], [52] был осуществлен метод независимого варьирования по тетрадам и общей неголономной связности с учетом условия (2.2.29) с помощью неопределенных множителей Лагранжа. Лагранжева плотность теории была выбрана в виде лагранжевой плотности (2.1.10), добавленной членом с неопределенными множителями Лагранжа Л а&: Лагранжева плотность гравитационного поля (2.1.9) представим в виде Вариация лагранжевой плотности (2.2.34) равна Условие (2.2.29) для связности Вейля получим, приравнивая к нулю выражения при вариации неопределенных множителей Лагранжа #Лма&. Уравнения гравитационнного поля найдем, приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях 5Г , Sh"1 и Sgab. В результате с использованием условия Всйля получим следующие уравнения поля: Симметризуем первое уравнение по индексам а и Ъ и найдем неопределенные множители Лагранжа:
С помощью этого выражения исключим неопределенные множители из уравнения (2.2.44). Затем антисимметризуем первое уравнение по индексам ои6,а также возьмем след этого уравнения по этим индексам. Тогда как следстие свойств тензора Палатини: (последнее из этих равенств справедливо только в пространстве CW ) находим уравнения гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана: В полученные уравнения следует подставить с учетом определений (2.2.37)-(2.2.39) соответствующие выражения для вариационных производных, выписанные в предыдущем параграфе, и учесть в результате условие Вейля (2.2.29). Как уже указывалось, четвертое уравнение поля (2.2.49) является следствием остальных трех уравнений. В пространствах Римана конформные преобразования хорошо изучены [77], но что касается конформных преобразований постримановых пространств, то по этому поводу в литературе представлен широкий спектр мнений [78]-[88]. В книге [35] конформные преобразования в постриманоых пространствах опредеяются через понятие причинной структуры пространства-времени, под которой понимается "поле невырожденных световых конусов, заданное в каждой точке пространства-времени уравнениями где ва - базис 1-форм касательного пространства, а даь - компоненты метрического тензора касательного пространства, выраженные в ортогональном базисе: даь = diag(l, — 1, — 1, —1)." При этом под конформным преобразованием пространства понимается отображения, сохраняющие причинную структуру этого пространства. В книге [77] утверждается, что для конформного отображения пространств необходимо и достаточно, чтобы метрические тензоры этих пространств отличались только скалярным множителем в соответствующих точках. При этом не зависящие от метрики структуры остаются произвольными.
Конформная теория гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана в тетрадном формализме
Пусть задано гладкое дифференцируемое многообразие М. с геометрической структурой пространства Вейля-Картана. Тогда в каждой его точке Р задано касательное тензорное пространство Тр{ЛЛ). В каждом пространстве Тр(Л4) задан неголономный базис {е0}, определяющий согласно (2.1.1) и (2.1.3) метрический тензор на многообразии М.. При наличии скалярного поля Дирака 0 лагранжева плотность гравитационного поля, инвариантная относительно конформных преобразований (2.4.74)-(2.4.76), будет иметь следующий вид: - лагранжиан квадратичный по кручению, - лагранжиан квадратичный по неметричности, -лагранжиан, содержащий свертки по неметричности и кручению, - собственный лагранжиан скалярного поля Дирака /3. Полная лагранжева плотность теории будет иметь следующий вид: где т - лагранжева плотность источников гравитационного поля, а последний член - это добавленный член с неопределенными множителями Лагранжа Лмаь, обеспечивающий выполнение условия Вейля (2.2.29) в результате выполнения вариационной процедуры. Инвариантность лагранжевой плотности (2.5.83) относительно конформных преобразований (2.4.76) поддерживается только при определенных соотношениях между константами связи, которые будут получены в Главе 3. При проведении вариационной процедуры используем общие формулы (2.1.19), (2.1.20) и (Полная лагранжева плотность теории будет иметь следующий вид: где т - лагранжева плотность источников гравитационного поля, а последний член - это добавленный член с неопределенными множителями Лагранжа Лмаь, обеспечивающий выполнение условия Вейля (2.2.29) в результате выполнения вариационной процедуры. Инвариантность лагранжевой плотности (2.5.83) относительно конформных преобразований (2.4.76) поддерживается только при определенных соотношениях между константами связи, которые будут получены в Главе 3. При проведении вариационной процедуры используем общие формулы (2.1.19), (2.1.20) и (2.1.21) для слагаемых, содержащих вариации кривизны, кручения и неметричности, которые с учетом наличия скалярного поля (3 модифицируются следующим образом (\7 = V + Т ): Вариационная производная лагранжевой плотности (2.5.77) по коэффициентам связности будет иметь вид Тогда окончательно будем иметь В данной формуле приняты обозначения для тензора Палатини где введено обозначение для модифицированного тензора кручения.
Также в процессе расчетов было учтено что Последнее утверждение следует из правила ковариантного дифференцирования скалярных плотностей Перейдем теперь к вычислению вариации последнего слагаемого в ла-гранжевой плотности (2.5.77). В процессе проведения данной вариационной процедуры из-за вхождения в (2.5.82) сверток неметричности и кручения 2.1.21) для слагаемых, содержащих вариации кривизны, кручения и неметричности, которые с учетом наличия скалярного поля (3 модифицируются следующим образом (\7 = V + Т ): Вариационная производная лагранжевой плотности (2.5.77) по коэффициентам связности будет иметь вид Тогда окончательно будем иметь В данной формуле приняты обозначения для тензора Палатини где введено обозначение для модифицированного тензора кручения. Также в процессе расчетов было учтено что Последнее утверждение следует из правила ковариантного дифференцирования скалярных плотностей Перейдем теперь к вычислению вариации последнего слагаемого в ла-гранжевой плотности (2.5.77). В процессе проведения данной вариационной процедуры из-за вхождения в (2.5.82) сверток неметричности и кручения будут использованы формулы (2.5.88) и (2.5.89). В результате получим Первое слагаемое данного выражения представляет собой полную дивергенцию, далее для краткости будем записывать такие выражения в виде дц(.. -Y- Вычисляя отдельные слагаемые в данном выражении, окончательно получаем Из полученных выражений (2.5.90) и (2.5.95), а также из вычисленных аналогичным образом вариаций лагранжианов (2.5.78) - (2.5.81), находим выражения для соответствующих вариационных производных по связности Гаь , подставляем их в (2.5.87), а затем в вариационную производную от общей лагранжсвой плотности теории (2.5.83). В результате получим уравнение гравитационного поля теории, соответсвующее вариации по одной из независимых преременной - связности (Г-уравнение):
Похожие диссертации на Решение задач теории гравитации в пространствах Римана-Картана и Вейля-Картана с помощью вариационных и компьютерных методов
