Содержание к диссертации
Введение
1 Введение в теорию штеккелевых пространств 14
1.1 Уравнения движения пробной частицы в гравитационном поле . 14
1.2 Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби 17
1.3 Полное разделение переменных и интегралы движения 19
1.4 Метрики штеккелевых пространств сигнатуры 22
1.5 Однородные пространства 27
2 Классификация однородных штеккелевых пространств типа (3.1) 31
2.1 Однородные штеккелевы пространства типа (3.1) — постановка задачи 31
2.2 Классы метрик, допускаемых однородными штеккелевыми пространствами типа (3.1) 33
2.3 Метрики типа А 37
2.4 Метрики типа В 42
3 Классификация однородных штеккелевых пространств типа (2.1) 46
3.1 Однородные штеккелевы пространства типа (2.1) 46
3.2 Классы метрик, допускаемых однородными штеккелевыми пространствами типа (2.1) 48
3.3 Метрики типа A (f = 0) 51
3.3.1 Случай 7з4 Ф 0 5б
3.3.2 Случай 7з4 = 0 64
3.4 Метрики типа В (f ф 0) 69
3.5 Сводка результатов классификации однородных штеккелевых пространств типа (2.1) 79
Заключение 89
Литература 92
- Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби
- Классы метрик, допускаемых однородными штеккелевыми пространствами типа (3.1)
- Классы метрик, допускаемых однородными штеккелевыми пространствами типа (2.1)
- Сводка результатов классификации однородных штеккелевых пространств типа (2.1)
Введение к работе
Развитие метрических теорий гравитации остается актуальной задачей современной физики, поскольку именно они служат низкоэнергетическим пределом для гравитационного взаимодействия в более общих теориях, в частности, в теориях великого объединения.
На настоящий момент имеется много различных полевых теорий, однако число точно решаемых моделей в таких теориях невелико (см., например, [1-9]). Известно, что точное решение полевых уравнений представляет собой крайне трудную задачу. Это объясняется тем, что в модельных теориях возникают системы уравнений в частных производных, для которых не существует общих методов решения. Имеется набор решений лишь для различных частных случаев [10-19].
Наиболее конструктивным методом получения точных решений является на сегодняшний день метод полного разделения переменных. Его основная идея заключается в сведении дифференциального уравнения в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
К настоящему времени установлены условия полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби в произвольном искривленном пространстве [20-24]. Пространство, которое допускает полное разделение переменных в одночастичном уравнении Гамильтона- Якоби, по определению называется штеккелевым. Известно, что принадлежность пространства к классу штеккелевых является также необходимым условием для полного разделения переменных во всех основных уравнениях математической физики: Клейна-Гордона, Дирака, Дирака-Фока-Иваненко и другие (см., например, [26-41]). Этим объясняется тот факт, что все известные точные решения уравнений математической физики были получены в классе штеккелевых пространств [25].
В теории гравитации метод полного разделения переменных дал хорошие результаты также в теории Бранса-Дикке [42-49]. Полное разделение переменных нековариантно, в том смысле что оно достигается только в некотором классе координатных систем специального вида, называемых привилегированными. Однако существует ковариантныи критерий принадлежности пространства к классу штеккелевых. На математическом языке он выражается в наличии у пространства так называемого полного набора, состоящего из векторных и тензорных полей Киллинга, удовлетворяющих некоторым алгебраическим условиям [50-60].
Элементы полного набора имеют также ясную физическую интерпретацию как интегралы движения, линейные и квадратичные по импульсам [61]. Другими словами, возможность полного разделения переменных связана с наличием у пространства некоторой группы симметрии. Генераторы этой группы связаны с векторами Киллинга полного набора. Эта группа не обязательно исчерпывает все симмет- ' рии пространства, она может быть подгруппой в группе всех симметрии.
Классификация полей тяготения по группам симметрии начата достаточно давно (см., например, [62-64]).
Одной из наиболее важных симметрии является однородность трехмерного пространства, что является вообще одной из фундаментальных физических предпосылок [65]. Представление о симметрии физических законов возникло со времен Галилея и Ньютона, которые сформулировали постулат об эквивалентности всех инерциаль- ных систем отсчета. Однако понимание того, что симметрия должна быть одним из требований при формулировке физических теорий, появилось в 1905 году после работ Пуанкаре, который установил инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований координат, названных им преобразованиями Лоренца, и работ Эйнштейна, установившего физический смысл этой инвариантности как внутреннего свойства пространства-времени. С тех пор принципы симметрии стали играть в физике все возрастающую роль и в настоящее время являются главными при построении физических теорий.
Оговорим использование термина "однородность пространства". В диссертации исследуется четырехмерное пространство-время, называемое просто пространством в тех случаях, когда не играет роли его пространственно-временная структура. Под однородностью пространства будет пониматься во всех случаях однородность трехмерного пространства, взятого в фиксированный момент времени.
Однородные космологические модели записываются как правило в системах координат, связанных с синхронными системами отсчета [62,66], преимуществом которых является отделение трехмерного пространства от временной координаты. Этот общепринятый подход удобен как для определения самого понятия однородности, так и для решения множества физических задач, однако решение задач, связанных с разделением переменных, требует перехода в привилегированные системы координат, что означает отказ от ясного представления о времени и трехмерном пространстве и требует введения ковариант-ного обобщения определения пространственной однородности. Такое определение дано, например, в работе [67].
Таким образом, как разделение переменных в уравнениях движения, так и пространственная однородность выражаются на языке симметрии, что указывает путь отыскания метрик пространств, об- ладающих обоими указанными свойствами. Наиболее интересными для теории гравитации и космологии являются изотропные штекке-левы пространства благодаря наличию так называемой изотропной переменной, гиперповерхности уровня которой являются характеристиками уравнения Эйнштейна (Эйнштейна-Максвелла) и соответствуют фронту гравитационной волны [68,69]. Следовательно, данная переменная является волновой, и среди изотропных штеккелевых пространств следует искать волновые решения уравнений гравитационного поля, допускающие точное интегрирование уравнений движения. Таким образом, изотропные штеккелевы пространства могут служить точно интегрируемыми моделями пространства-времени при наличии гравитационного (и электромагнитного) излучения, что представляет собой значительный интерес и обуславливает выбор именно этих пространств в диссертационной работе. В диссертационной работе исследуется пересечение класса изотропных штеккелевых пространств с классом однородных пространств. Решается задача о классификации указанного пересечения для двух типов штеккелевых пространств: (3.1) и (2.1).
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и спис- . ка литературы.
Первая глава носит обзорный характер и призвана обеспечить основу для дальнейшего изложения материала диссертации. В ней приводятся необходимые положения теории штеккелевых пространств, рассмотрена общая теория разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби.
В общей теории относительности движение пробной частицы в гравитационном поле описывается уравнениями геодезических х1 + Г)кхкхк = 0, (0.1) которые представляют собой систему дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными. Здесь i,j,k,l = l...n; ГЬ — символы Кристоффеля, точкой обозначена производная по каноническому параметру т.
Здесь и далее по тексту диссертации будем придерживаться следующих обозначений.
1. Функции, зависящие только от одной переменной хг (и, воз можно, от параметров Xj) обозначаются малыми буквами с обязатель ным единичным правым нижним индексом г, в этом случае производ ные по хг обозначаются точками. Примеры: Vi = m(x\X}), <рї = <РЇ(хк), = % Y# = 5f- (0.2)
2. Множество координатных индексов i,j,k — 1..п (0-3) разбивается двумя фиксированными целыми неотрицательными числами JV, No на три подмножества. Индексы из этих подмножеств обозначаются следующим образом р, q, г = 1...N //о, Щ, r0 = N+ 1...N + N0 /і, v,г — N + 1...п щ,ці,ті = N + No + l..n
3. Применяется правило суммирования Эйнштейна, согласно которому Хрхр ~ Ylp=i \хР-
Решение уравнения Гамильтона-Якоби g'lSjSj = m2 (0.5) удовлетворяющее условию полноты det "&v&?" ^ ' Xi = const' позволяет свести проблему интегрирования уравнений движения к решению алгебраических уравнений вида |j^ = q% = const. Здесь Аг- — п существенных параметров. На данный момент эффективным методом построения таких интегралов движения является метод разделения переменных.
Идея метода разделения переменных в линейных дифференциальных уравнениях в частных производных была высказана Фурье в начале XIX века. Позднее метод был усовершенствован и использован для решения уравнения теплопроводности в работах Пуассона, Дирихле, Остроградского.
Для уравнения Гамильтона-Якоби проблема полного разделения переменных была поставлена Штеккелем. В серии работ [70-75] он решил проблему для случая, когда в привилегированной системе координат метрика пространства задается диагональным метрическим тензором. Необходимые и достаточные условия полного разделения, записанные в виде нелинейных дифференциальных уравнений на компоненты метрического тензора, были получены (но не решены) в работе Леви-Чивита [76-78]. Яров-Яровой [79] обобщил метод Штеккеля на случай недиагональных метрических тензоров. Окончательно теория разделения (вещественных) переменных в уравнении Гамильтона-Якоби была построена В.Н. Шаповаловым в работах [80-83]. По предложению Шаповалова пространства, в которых уравнения геодезических можно проинтегрировать методом полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби, называются штеккелевыми пространствами. Общий вид метрики штеккелева пространства был опубликован им в 1973 г. После этого были опубликованы работы [84-88], в которых авторы в той или иной форме повторили результаты Шаповалова. Новым можно признать результат Бененти [89], заметившего связь между операторами симметрии уравнения Гамильтона-Якоби и симметрией самого пространства, содержащего набор, состоящий из коммутирующих векторных и тензорных полей Киплинга.
Согласно определению уравнение (0.5) допускает полное разделение переменных, если существует система координат, называемая привилегированной, в которой полный интеграл уравнения (0.5) име- ет вид: S = J^ (pi(x\ Aj), \j = const, An = E. (0.6)
Данное соотношение достигается в том и только в том случае, если существует привилегированная система координат хг, в которой метрический тензор имеет вид (0.7) В формулах (0.7) по индексам щ, v\ суммирование отсутствует. (Ф-1)^ — элементы п -го столбца матрицы, обратной к так называемой матрице Штеккеля, имеющей вид:
К = №)> сіеЬФ^О. (0.8)
При этом функции Ф^, h^p, h^1 ^ hlv1 h,/ — произвольные функции от своих аргументов.
Первые N переменных в привилегированной системе координат хг не входят явно в компоненты метрического тензора и называются поэтому игнорируемыми (5 = Арггр + ^"=лг+1у?г(жг, Aj)) . Пространство с метрическим тензором (0.7) допускает iV-параметрическую абе-леву группу движений. Из множества полных наборов штеккелева пространства принято всегда рассматривать только набор, векторные поля которого образуют абелеву группу максимально возможного ранга. Тогда имеется инвариантная характеристика набора, задаваемая числами N и Nq = N — rank(gijYxYj), где Y* — векторные поля, входящие в полный набор интегралов движения уравнения Гамильтона-Якоби. Числа N и Nq задают тип штеккелева пространства (и тип полного разделения переменных, а также тип полного набора). Соответствующее штеккелево пространство принято называть штеккелевым пространством типа (iV, Nq) (или просто — пространством типа (N, Nq) в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений).
В искривленном пространстве N < п. Если задана лоренцев-ская сигнатура (—,—,—,+), то в этом случае No может принимать одно из двух значений — 0,1. Если Щ = 1, одна из компонент метрического тензора gvv в (0.7) обращается в нуль. Соответствующая переменная называется изотропной, само же пространство — изотропным штеккелевым пространством. При No = 0 все компоненты gvv отличны от нуля, пространство называется неизотропным штеккеле-вым пространством. В теории гравитации именно изотропные штек-келевы пространства представляют наибольший интерес, поскольку они описывают пространство - время с гравитационным излучением [90,91]. Гиперповерхности уровня изотропный переменной совпадают с фронтом гравитационной волны, в случае пространств с электромагнитным излучением также с фронтом электромагнитной волны (пространства электровакуума) [92-99].
То, что уравнения геодезических могут быть проинтегрированы методом полного разделения переменных, дает возможность не только изучить поведение пробных тел в данных пространствах, но и осуществить переход к синхронным системам отсчета (которые существуют всегда), в явном виде возможный лишь при условии, что уравнение геодезических можно точно проинтегрировать [66]. В синхронных системах отсчета можно дать ответы на важные физические вопросы, связанные, например, с нахождением источников гравитационного поля [100]. Синхронные системы отсчета можно использовать для физической интерпретации точных решений уравнений Эйнштейна [101-103]. Известны примеры, когда интерпретацию удается провести для штеккелевых пространств [102,104].
Кроме того, в первой главе приведено определение однородного пространства согласно [67]. Оно приводит к необходимости наличия в пространстве трех векторных полей Киллинга, отвечающих определенным алгебраическим и знаковым условиям. Эти векторные поля образуют группу, которая может частично пересекаться с группой полного набора, одна может не совпадать с ней. Таким образом, постановка задачи в самом общем виде сводится к следующему: нужно проверить, удовлетворяют ли вектора Киллинга из полного набора данного штеккелевого пространства условиям пространственной однородности и, в противном случае, ввести необходимое количество дополнительных векторов Киллинга. Введение нового вектора Киллинга означает наложение дополнительных ограничений на метрику пространства, а именно, метрика пространства должна удовлетворять уравнению Киллинга -9ijtk + 9ik^k,j + 9jkt\i = 0, (0.9) где * — дополнительный вектор (см., например, [66]).
Во второй главе проведена классификация однородных штек-келевых пространств типа (3.1). Полный набор пространства типа (3.1) содержит три вектора Киллинга, однако они не удовлетворяют условию пространственной однородности. Чтобы удовлетворить этому условию, необходимо ввести один дополнительный вектор. Этот вектор, совместно с двумя векторами из полного набора, образует подгруппу, удовлетворяющую условию пространственной однородности. При нахождении явного вида дополнительного вектора и ограничений, накладываемых дополнительной симметрией на метрику, возникает простая и ясная классификация найденных пространств, основанная на алгебраических операциях с векторами Киллинга [124-126].
В третьей главе проведена классификация однородных штек- ' келевых пространств типа (2.1). Полный набор этих штеккелевых пространств содержит два вектора Киллинга, причем в подгруппу, обеспечивающую пространственную однородность, может быть включен только один из них, таким образом, необходимо ввести два дополнительных вектора Киллинга. Ограничения, накладываемые на метрику штеккелевого пространства (2.1) данным условиям приво- дят к громоздкой и менее ясной классификации решений, следующей главным образом логике решения уравнений Киллинга [127-129].
Работа выполнена в Томском государственном педагогическом университете на кафедре теоретической физики и на кафедре математического анализа. Результаты, изложенные в диссертации, докла- , дывались на различных семинарах и конференциях
Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых " Сибирская школа молодого ученого", 21-23 декабря 1998, Томск. XI международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга - 11'99", 5-16 июля 1999, Казань.
Международный конгресс "Наука, образование, культура на рубеже тысячелетий", 20-22 декабря 1999, Томск.
IV межвузовская коференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование", 24-29 апреля 2000, Томск. V межвузовская коференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование", 23-26 апреля 2001, Томск. V International Conference on Gravitation and Astrophysics of Asian - Pacific Countries, 1-7 October 2001, Moscow.
11 International Conference THEORETICAL AND EXPERIMENTAL PROBLEMS OF GENERAL RELATIVITY AND GRAVITATION, 1-7 jule 2002, Tomsk.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [124-129].
Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби
Приведем (без доказательства) основные положения теории разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби [21,23,73,74]. Определение 1. Штеккелевыми называются римановы пространства, в которых уравнения геодезических интегрируются методом полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби Определение 2. Уравнение (1.18) допускает полное разделение переменных, если существует система координат {хг}, в которой полный интеграл уравнения (1.18) можно представить в виде Среди функций (pi в соотношении (1.19) могут быть такие, которые имеют вид (без суммирования по индексу г). Согласно определению, число таких функций равно N. Можно показать, что существует система координат, в которой эти функции можно привести к виду (суммирование по индексу р отсутствует). Данная система координат {х1} называется привилегированной, координаты хр — игнорируемыми, остальные координаты (xv, xv, х"1) — неигнорируемыми. Следовательно, в привилегированной системе координат соотношение (1.19) примет вид (в этой формуле проводится суммирование по индексу р). Теорема 1. Уравнение (1.18) допускает полное разделение переменных в том и только в том случае, если существует система координат (привилегированная), в которой тензор дг- (и) имеет вид здесь дАВ, О — матричные блоки, размерности которых определяются областями изменения индексов р,q,v,V\,\i\ (см. (0.2),(0.4)). Причем компоненты метрического тензора удовлетворяют следующим соотношениям формулах (1.22) по индексам щ, щ суммирование отсутствует. (Ф-1) — элементы п - го столбца матрицы, обратной к так называемой матрице Штеккеля, имеющей вид При этом функции Ф , h%op, h 1, h\„ hv — произвольные функции от своих аргументов. Как следует из (1.22), д и = 0. Соответствующие неигнорируемые переменные хщ называются изотропными {xUl — неизотропными). Определение 4-
Пространство Vn, в котором метрический тензор можно представить в виде (1.21),(1.22) называется штеккелевым пространством типа (N,NQ). Теорема 2. В привилегированной системе координат {хг} функции $v{xv , Xj) удовлетворяют системе уравнений (полностью задающей эти функции) (по о,г і суммирования нет). Таким образом если известна привилегированная система координат (известны функции Ф,/ /,/ij,,/ij,), проблема отыскания полного интеграла сводится к интегрированию в квадратурах системы (1.24),(1.25). По определению интегралами движения уравнений Гамильтона называются функции, зависящие от канонических переменных хг, pi, сохраняющиеся на траекториях. Таким образом, если f(x,p) есть интеграл движения, то при условии, что х1 и р1 удовлетворяют системе уравнений Гамильтона (1.7). Запишем (1.26) в виде Выражение {/, Н} является скобкой Пуассона функций / и Н. Таким образом, функция / является интегралом движения, если ее скобки Пуассона с гамильтонианом Н равны нулю (в этом случае также говорят, что / коммутирует с Н относительно скобок Пуассона). Выясним, в каком случае функция вида является интегралом движения уравнения (1.4) для незаряженной частицы (Fij = 0). При этом из (1.8) следует Подставим (1.28), (1.29) в (1.27) и приравняем получившееся выражение нулю. В результате получим Равенство (1.30) должно выполняться при любых р\. Поэтому Данное выражение можно переписать в виде где под ";" понимается ковариантная производная. Определение 5. Векторное поле г, удовлетворяющее уравнениям (1.31), называется векторным полем Киллинга, а само уравнение (1.31) — уравнением Киллинга.
Таким образом, коэффициенты г в интеграле движения (1.28) являются компонентами векторного поля Киллинга. Верно и обратное: если г — компоненты векторного поля Киллинга, то функция / = гр1 есть интеграл движения уравнения геодезических. Рассуждая аналогично, можно показать, что коэффициенты Хгз в интеграле движения, квадратичном по импульсам удовлетворяют уравнениям
Классы метрик, допускаемых однородными штеккелевыми пространствами типа (3.1)
Из коммутационных соотношений вытекают дифференциальные уравнения относительно компонент неизвестного вектора г Запишем соотношения для структурных констант (2.8), вытекающие из тождеств Якоби Особенность данной задачи состоит в том, что тождества Якоби совпадают с уравнениями совместности на коммутационные соотношения. Алгебраическую классификацию решений уравнений (2.9) можно осуществлять, используя линейные преобразования векторов Кил-линга, не нарушающие структуру группы При преобразованиях указанного вида коммутационные соотношения (2.8) преобразуются следующим образом Сравнивая это с соотношениями (2.8), получим новые значения структурных констант Новые значения констант при указанном преобразовании Кроме линейных преобразований векторов Киллинга можно использовать в тех же целях преобразования координат, не нарушающие вида метрики (2.1) где 5о, spn — некоторые константы. Таким образом, мы имеем большую степень свободы для приведения структурных констант к наиболее простому виду, что связано с отмеченной выше высокой степенью симметрии данного штеккелевого пространства. Различные варианты приведения констант к наиболее простому виду, несводимые перечисленными выше преобразованиями, приводят к наиболее характерным представителям для каждого класса. 3. Запишем уравнения Киллинга для произвольного вектора г в метрике (2.1). Интегрирование коммутационных соотношений (2.9) с учетом тождеств Якоби и допустимых преобразований приводят к следующим трем алгебраическим классам и, следовательно, типам зависимости дополнительного вектора Киллинга от игнорируемых переменных хр 2) ат = 0, ос\ ф 0, тогда j3mn = 0, а\ можно нормировать на 1 изменением масштаба по оси ж1, получим г)ГП = 0, гд = г + /1 % 3) ат ф 0, тогда преобразованием (2.12) можно обратить в ноль константы /Зтп, и из тождеств Якоби получим (3\р = 0.
Преобразова нием (2.11) константы (0:2,0:3) можно привести к виду (1,0). Тогда Классы 2,3 не удовлетворяют уравнению Киллинга. Поэтому все ре- . шения относятся к классу 1. Запишем вид этого вектора и уравнения Киилинга для него подробно причем константы а можно обратить в ноль преобразованием (2.12). Дальнейшую классификацию целесообразно провести по двум независимым признакам. 1. Значение константы /Зі1. Значение этого признака понятно из рассмотрения первых двух компонент вектора г Таким образом, выделяются два класса В первом случае можно выбрать /3 = 1, т = cr1 = 0. Во втором случае мы выбираем константы а0 0, а1 0 для того, чтобы удовлетворить условию однородности. Выбором масштаба х,хг (2.13) и самого вектора г эти константы можно нормировать на единицу. 2. Преобразование (2.11) действует на матрицу (5тп как преобразование подобия. Возможны следующие классы подобия Соответственно выделяются 6 классов решений, в каждом из которых выделяются подклассы благодаря наличию выделенных значений констант. Вид решения уравнений 1,2 зависит от того, совпадает ли значение констант Ат с 1. 1) Ат ф 1,Ьт = ртх1 Хт-р1Тп/(Хт-1), в таком случае свободный член можно обратить в ноль преобразованием (2.12), это означает, что обращаются в ноль константы Pim; 2) Аот = l,6m = — /?im log х + Ст. Константы интегрирования Ст также можно обратить в ноль преобразованием (2.12). Независимо от этого функции атп находятся в виде V. причем вид констант атп можно упростить преобразованиями координат х2, хг (2.13), а именно: а22, а33 можно нормировать на 1, а23 можно обратить в ноль при условии А2 = Лз- Знаковое условие од-нородности пространства налагает ограничения на константу а : а23 0. Таким образом, в этом классе мы имеем три различных решения. VI. Х2ф\3, а = Приводить основные геометрические характеристики не имеет смысла из-за громоздкости формул, целесообразно указать некоторые частные случаи (R — скалярная кривизна, W — тензор Вейля). 1. R = const ф 0 при А2 = A3 = 0. 2. R = 0 при Ъ2 = Ь3 = 0. 3. W = 0 при Ъ2 = Ь3 = 0, А2 = А3 0. Определитель метрического тензора д = (а23 — 1)х .
Классы метрик, допускаемых однородными штеккелевыми пространствами типа (2.1)
Тождества Якоби для структурных констант (3.6) имеют вид В силу своей громоздкости эти соотношения непригодны для практического использования в исходном виде, однако они будут упрощены в ходе дальнейших преобразований. Запишем уравнения Киллинга для произвольного вектора в Коммутационные соотношения (3.6) приводят к дифференциальным уравнениям на компоненты неизвестных векторов Х$, Х . Эти уравнения мы для удобства объединили в три группы в зависимости от переменных, по которым ведется дифференцирование Уравнения из первых двух групп представляют собой набор линейных систем с постоянными коэффициентами и могут быть легко проинтегрированы стандартными методами для таких систем, однако их решение зависит от вида структурных констант /3,7, а именно от алгебраических классов матриц [3ab, jab, а, Ъ = 3,4. Ограничить число классов возможных решений позволит предварительное исследование уравнений Киллинга. Оказывается, что они дают легкодоступную ин формацию о зависимости ВК от переменных х2,х3, что и может быть использовано для упрощения системы (3.9). С целью нахождения непересекающихся алгебраических классов вектора подгруппы Х2,Хз, Х\ можно подвергнуть невырожденному линейному преобразованию однако, чтобы не "портить" простой вид вектора Х%2 = 6г2, ограничимся преобразованием При решении уравнений Киллинга полезно использовать допустимые преобразования координат, не нарушающие выбранного вида метрического тензора (3.1), которого мы будем всегда придерживаться в ходе исследования Греческие буквы означают константы.
Приведем для справок результат действия преобразований (3.12) на функции, входящие в метрику Это в частности означает, что свободные константы в указанных функциях метрики можно обратить в ноль, это, в частности, приводит к тому, что случай / = 0 эквивалентен случаю / = 0. Таким образом, выделяются два важных частных случая допускающих дальнейшее деление. Рассмотрим эти случаи по отдель ности. Рассмотрим подробно случай / = 0. Уравнения Киллинга (3.8) приобретают при этом особенно простой вид Очевидно, уравнения Киллинга (3.14) легко интегрируются относительно переменной ж3 (уравнения 2,5,6,7), в результате чего находится явная зависимость ВК от этой переменной Вектор rf имеет аналогичный вид. Первая группа коммутационных соотношений (3.9) позволяет определить константы ДД а, Ь = 3,4. Полиномиальная зависимость Cirf от я3 означает равенство нулю диагональных элементов матри-Цы Раь (отличие диагональных элементов от нуля означало бы присутствие в решении членов, содержащих функции sin,exp). Покажем, что, кроме того, матрица j3ab вырождена. Пусть Полагая последовательно і = 1,0,2, 3 в первой группе уравнений (3.9) и учитывая соотношения (3.15), находим функции рг Такой вектор представляет собой комбинацию ВК полного набора это означает, что пространство не допускает искомых дополнительных ВК и не является однородным. В таких случаях будем говорить, что вектор г (или rf) выродился в полный набор. Итак, определитель матрицы раь равен нулю, то есть j334f343 = 0. Для определенности положим /3 = 0, и неизвестной осталась только константа /4. Исследование полной системы уравнений, включающей уравнения Киллинга на векторы г, rf и коммутационные соотношения при /4 Ф 0 весьма громоздко и требует перебора многих случаев, однако все они приводят к противоречию. Доказательство приведено в приложении 1.
Таким образом, fiab = 0, и вид ВК следующий (3.16) где //, аг — функции от ж0, ж1, ж2. Аналогично поступаем со второй группой коммутаций (3.9). Можно показать, что определитель и диагональные элементы матрицы jab равны нулю (доказательство приведено в приложении 2), для определенности полагаем, что ненулевым элементом может быть 7з4 тогда, интегрируя коммутационные соотношения относительно переменной ж2, получаем следующий общий вид ВК этапа исследования, уравнения не приводят к противоречию при 7з4 Ф О-Этот случай содержит набор решений, удовлетворяющих всем требованиям. Отметим сразу, что можно положить ct\ = О, поскольку тожеств Якоби следует (уравнение 1 в системе (3.7), 7з3 — 0)- При 7з4 = 0 ба дополнительных ВК становятся равноправными, и а можно обратить в ноль линейным преобразованием (3.11). Подобным приемом мы будем пользоваться всякий раз, когда в одинаковых компонентах ВК будут возникать пропорциональные члены. Например, вычитанием вектора X i = 82 можно убирать свободные константы интегрирования, возникающие при решении уравнений в компонентах 2,rf дополнительных векторов. При ос\ — 0 из уравнений Киллинга следует также /342 = 0 (уравнение 9 в системе (3.8)). Итак, дополнительные ВК можно выбрать в общем случае в следующем виде 16. Запипіем полную систему уравнений, то есть уравнения Киплинга на оба дополнительных ВК г, rf, коммутационные соотношения (после отделения коэффициентов при различных степенях X2, X3) и тождества Якоби При классификации решений необходимо следить за выполнением следующих требований а) вектора Хг,Хз,Х4 должны быть независимы б) вектор Хі не входит в подгруппу с пространственно - подобными орбитами, поэтому нельзя составлять линейные комбинации Х\ с векторами подгруппы в) матрица /І1-7 должна зависеть от обеих переменных а;0, х1, отсут ствие явной зависимости от одной из переменных означает вы рождение в пространства (2.1) в конформное пространство типа (3.1). В частности это означает
Сводка результатов классификации однородных штеккелевых пространств типа (2.1)
Развитие метрических теорий гравитации остается актуальной задачей современной физики, поскольку именно они служат низкоэнергетическим пределом для гравитационного взаимодействия в более общих теориях, в частности, в теориях великого объединения. На настоящий момент имеется много различных полевых теорий, однако число точно решаемых моделей в таких теориях невелико (см., например, [1-9]). Известно, что точное решение полевых уравнений представляет собой крайне трудную задачу. Это объясняется тем, что в модельных теориях возникают системы уравнений в частных производных, для которых не существует общих методов решения. Имеется набор решений лишь для различных частных случаев [10-19]. Наиболее конструктивным методом получения точных решений является на сегодняшний день метод полного разделения переменных. Его основная идея заключается в сведении дифференциального уравнения в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. К настоящему времени установлены условия полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби в произвольном искривленном пространстве [20-24].
Пространство, которое допускает полное разделение переменных в одночастичном уравнении Гамильтона- Якоби, по определению называется штеккелевым. Известно, что принадлежность пространства к классу штеккелевых является также необходимым условием для полного разделения переменных во всех основных уравнениях математической физики: Клейна-Гордона, Дирака, Дирака-Фока-Иваненко и другие (см., например, [26-41]). Этим объясняется тот факт, что все известные точные решения уравнений математической физики были получены в классе штеккелевых пространств [25]. В теории гравитации метод полного разделения переменных дал хорошие результаты также в теории Бранса-Дикке [42-49]. Полное разделение переменных нековариантно, в том смысле что оно достигается только в некотором классе координатных систем специального вида, называемых привилегированными. Однако существует ковариантныи критерий принадлежности пространства к классу штеккелевых. На математическом языке он выражается в наличии у пространства так называемого полного набора, состоящего из векторных и тензорных полей Киллинга, удовлетворяющих некоторым алгебраическим условиям [50-60]. Элементы полного набора имеют также ясную физическую интерпретацию как интегралы движения, линейные и квадратичные по импульсам [61]. Другими словами, возможность полного разделения переменных связана с наличием у пространства некоторой группы симметрии. Генераторы этой группы связаны с векторами Киллинга полного набора. Эта группа не обязательно исчерпывает все симмет- рии пространства, она может быть подгруппой в группе всех симметрии. Классификация полей тяготения по группам симметрии начата достаточно давно (см., например, [62-64]). Одной из наиболее важных симметрии является однородность трехмерного пространства, что является вообще одной из фундаментальных физических предпосылок [65]. Представление о симметрии физических законов возникло со времен Галилея и Ньютона, которые сформулировали постулат об эквивалентности всех инерциаль ных систем отсчета. Однако понимание того, что симметрия должна быть одним из требований при формулировке физических теорий, появилось в 1905 году после работ
Пуанкаре, который установил инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований координат, названных им преобразованиями Лоренца, и работ Эйнштейна, установившего физический смысл этой инвариантности как внутреннего свойства пространства-времени. С тех пор принципы симметрии стали играть в физике все возрастающую роль и в настоящее время являются главными при построении физических теорий. Оговорим использование термина "однородность пространства". В диссертации исследуется четырехмерное пространство-время, называемое просто пространством в тех случаях, когда не играет роли его пространственно-временная структура. Под однородностью пространства будет пониматься во всех случаях однородность трехмерного пространства, взятого в фиксированный момент времени. Однородные космологические модели записываются как правило в системах координат, связанных с синхронными системами отсчета [62,66], преимуществом которых является отделение трехмерного пространства от временной координаты.
Этот общепринятый подход удобен как для определения самого понятия однородности, так и для решения множества физических задач, однако решение задач, связанных с разделением переменных, требует перехода в привилегированные системы координат, что означает отказ от ясного представления о времени и трехмерном пространстве и требует введения ковариант-ного обобщения определения пространственной однородности. Такое определение дано, например, в работе [67]. Таким образом, как разделение переменных в уравнениях движения, так и пространственная однородность выражаются на языке симметрии, что указывает путь отыскания метрик пространств, об
