Содержание к диссертации
Введение
1 Основные положения теории Эйнштейна–Картана 21
1.1 Геометрические и физические основы теории Эйнштейна–Картана 21
1.2 Неминимально связанное скалярное поле в ТЭК 24
2 Однородные изотропные космологические модели с немини мально связанным скалярным полем 27
2.1 Введение 27
2.2 Пространственно-плоские модели в ТЭК 28
2.2.1 Случай s = +1 29
2.2.2 Случай s = -1 34
2.3 Неминимально связанное скалярное поле в ОТО 39
2.3.1 Случай s = +1 41
2.3.2 Случай s = -1 43
2.4 Открытые модели в ТЭК 45
2.4.1 Случай s = +1 45
2.4.2 Случай s = -1 48
2.5 Выводы 52
3 Фридмановские модели с полиномиальными потенциалами четвертого порядка 54
3.1 Введение 54
3.2 Модели в ТЭК и ОТО для 5 = 0, аа = +1 56
3.2.1 Модели в ТЭК 56
3.2.2 Модели в ОТО 64
3.3 Модели в ТЭК и ОТО для 6 = 0 71
3.3.1 Модели в ТЭК 71
3.3.2 Модели в ОТО 81
3.4 Модели в ТЭК для 6 = 1 94
3.5 Выводы 95
4 Однородные изотропные космологические модели с идеаль ной жидкостью и неминимально связанным скалярным полем 98
4.1 Введение 98
4.2 Пространственно-плоские модели в ТЭК и ОТО для as = +1 99
4.2.1 Модели в ТЭК 99
4.2.2 Модели в ОТО 103
4.3 Пространственно-плоские модели в ТЭК и ОТО для as = —1 107
4.3.1 Модели в ТЭК 107
4.3.2 Модели в ОТО 115
4.4 Закрытые модели в ТЭК 124
4.5 Выводы 126
5 Пространственно–плоские многокомпонентные космологические модели в ТЭК 128
5.1 Введение 128
5.2 Роль жесткой жидкости в космологии Эйнштейна-Картана с каноническим скалярным полем 128
5.2.1 Модели с У() = 0 130
5.2.2 Модели с У() = 0 135
5.3 Влияние жесткой жидкости на эволюцию космологических моделей с духовым скалярным полем в ТЭК 138
5.3.1 Точные решения для смеси скалярно–торсионного поля и жесткой жидкости 140
5.3.2 Точные решения для многокомпонентных смесей 141
5.4 Выводы 148
6 Анизотропные космологические модели 151
6.1 Введение 151
6.2 Точно интегрируемые модели
со скалярно–торсионным полем 155
6.2.1 Модели в ТЭК 155
6.2.2 Модели в ОТО 161
6.3 Многокомпонентные Бианки I модели в ТЭК 164
6.3.1 Точное космологическое решение для
скалярно–торсионного поля и жесткой жидкости 165
6.3.2 Точные решения для многокомпонентных моделей 169
6.4 Выводы 172
7 Модели с вращением в релятивистских теориях гравитации 175
7.1 Введение 175
7.2 Модели с вращением в ОТО и ПКТТ 176
7.3 Модели с вращением в ТЭК 178
7.3.1 Основные уравнения 179
7.3.2 Точное решение и поведение моделей 183
7.4 Выводы 188
8 Кручение, порождаемое идеальной жидкостью 189
8.1 Основные уравнения 189
8.1.1 Лагранжиан 189
8.1.2 Уравнения движения идеальной жидкости 190
8.1.3 Уравнения гравитационого поля 191
8.2 Двухжидкостные статические сферические конфигурации в ТЭК191
8.2.1 Основные уравнения 192
8.2.2 Метод генерации решений в ТЭК 194
8.2.3 Другие точные решения 200
8.3 Выводы 201
9 Двухторсионные модели 203
9.1 Введение 203
9.2 Стационарные конфигурации 205
9.2.1 Стационарные распределения в пространстве Минковского 205
9.2.2 Точные внутренние решения для статических сфер 208
9.3 Космологические модели 212
9.3.1 Двухторсионные модели с каноническим скалярным полем 215
9.3.2 Модели с учетом жесткой жидкости 217
9.4 Выводы 223
Основные результатыивыводы 225
Приложениек3.2.1 229
Литература 2
- Неминимально связанное скалярное поле в ТЭК
- Неминимально связанное скалярное поле в ОТО
- Модели в ТЭК и ОТО для 6 = 0
- Роль жесткой жидкости в космологии Эйнштейна-Картана с каноническим скалярным полем
Неминимально связанное скалярное поле в ТЭК
Идея рассмотреть четырехмерное дифференцируемое многообразие с независимыми метрическим полем и несимметричной связностью в качестве модели пространства-времени (пространства-времени с кручением) восходит к Картану [88, 89, 90, 15]. По Картану кручение связано с плотностью внутреннего углового момента материальной среды.
Мы опускаем исторический обзор развития теории после Картана, тем более, что эволюция и этапы развития теории гравитации с кручением подробно прослежены в работах [12, 36]. В семидесятых годах XX века были сформулированы [260, 142, 143, 144] основные положения одного из вариантов теории гравитации с кручением - теории Эйнштейна-Картана.
Геометрические и физические основы теории Эйнштейна—Картана
В теории Эйнштейна-Картана используется 4-мерное пространство аффинной связности с общей несимметричной связностью и псевдоримановой метрикой, удовлетворяющей условию метричности [36, 142]
Автопараллелями (или прямейшими линиями) называют кривые на многообразии, вдоль которых произвольный вектор Iі переносится параллельно с помощью связности ТкА этого многообразия. При соответствующем выборе аффинного параметра s дифференциальное уравнение автопараллелей имеет вид
Экстремалями (или геодезическими линиями) называются кривые, имеющие экстремальную длину относительно метрики многообразия. Уравнение экстремали выводится из вариационного принципа и зависит только от символов Кристоффеля где R(T) - скалярная кривизна пространства (4), Тто - лагранжиан материальных полей с полевыми потенциалами гр, к = 8TTG, G - гравитационная постоянная Ньютона.
Варьируя действие (1.1.11) независимо по g , К--к и гр приходим к уравнениям ТЭК [12, 36, 143]: тензор Эйнштейна относительно связности Тк-, aiJ - метрический тензор энергии-импульса (ТЭИ) материи; rkiJ - тензор плотности спина материи; Sy - канонический ТЭИ материи; Т;-к - модифицированный тен-зор кручения; Vk= V + 2S&,
Характерной особенностью системы уравнений (1.1.12)–(1.1.14) является то, что уравнение (1.1.13) является алгебраическим. Ввиду этого в теории отсутствуют волны кручения: кручение отсутствует там, где нет спинирую-щей материи.
Алгебраический характер уравнения (1.1.13) позволяет записать уравнение (1.1.12), как уравнение ОТО с эффективным ТЭИ, в котором появление дополнительных членов индуцировано кручением пространства-времени: риманова часть тензора Эйнштейна, постороенная из символов Кристоффеля. Неминимально связанное скалярное поле в ТЭК
В диссертации основное внимание уделяется исследованию роли неминимально связанного скалярного поля, его потенциала и идеальной жидкости в ТЭК. Представляется целесообразным выписать полевые уравнения ТЭК. Общий лагранжиан выбираем в виде где R(T) - скалярная кривизна связности Г - = {кЛ + S--k + Sk- + Sk--; {кЛ -символы Кристоффеля 2-го рода; S = Г .-, - тензор кручения; к, = 8TTG, G - гравитационная постоянная Ньютона; У(Ф) - потенциал скалярного поля; Lfl - лагранжиан идеальной жидкости; as = +1 соответствует каноническому скалярному полю; as = — 1 отвечает духовому скалярному полю.
Духовое скалярное поле, как эффективное поле, естественно возникает из фундаментальных физических теорий, таких как теория суперструн [46] и в моделях с высшими производными [213]. Духовое скалярное поле нарушает унитарность на квантовом уровне. Но, как указано в [140]: "квантовая гравитация с поправками четвертого порядка может иметь смысл, несмотря на очевидное наличие решений с отрицательными энергиями и духами ... отклонения от унитарности для гравитации с высшими производными будут очень маленькими при низких энергиях, которые теперь имеют место во вселенной. Нужно отметить, что духовое скалярное поле нестабильно в квантовой теории поля, но может быть стабильным в классической космологии [48]. Метрика дц имеет сигнатуру (—,—,—,+), тензоры Римана и Риччи определяются выражениями (1.1.7). Следует отметить, что, несмотря на то, что скалярное поле является полем нулевого спина, оно может быть источником кручения благодаря неминимальной связи с гравитационным полем. Из (1.2.19) следует [171], что кручение может взаимодействовать со скалярным полем только через свой след Si = Sikk. Следовательно, скаляр кривизны R(Г) = g kRjk представляется в виде [171]:
Современные независимые астрофизические наблюдения [221, 163, 269, 255, 50, 210] свидетельствуют в пользу изотропной пространственно-плоской Вселенной, которая в настоящее время расширяется с ускорением. Источником такого расширения является неизвестная субстанция с отрицательным давлением, получившая название темная энергия. Были предложены различные теоретические модели темной энергии (см, например, обзоры [206, 208, 229, 178] и цитируемую там литературу). Среди этих моделей рассматривались различные модификации ОТО [178, 58, 152] и ТЭК, в частности [75, 214, 215].
Как отмечалось во введении, наибольшее число космологических решений в рамках ТЭК связано со спинирующей жидкостью Вейссенхоффа-Раабе. Ограниченное число решений получено в космологии со спинорным полем. До работ автора существовал дефицит решений с неминимально связанным скалярным полем.
Неминимально связанное скалярное поле в ОТО
В рамках ТЭК и ОТО получены и проанализированы точные общие решения для пространственно-плоских космологических моделей с неминимально связанным скалярным полем при произвольных значениях параметра . Аналогичная задача в рамках ТЭК решена для открытых фридмановских моделей.
В тех случаях, когда плотность энергии скалярно-торсионного поля может расти вплоть до планковских величин, найдены ограничения на постоянную неминимальной связи .
Сравнительный анализ точных общих решений для пространственно-плоских космологических моделей в ТЭК и ОТО показал, что учет кручения приводит к
В рамках ТЭК с неминимально связанным скалярным полем исследуем фридмановские модели при учете потенциала скалярного поля. Интерес к потенциалу скалярного поля V() в релятивистских теориях гравитации обусловлен следующими обстоятельствами: его ролью в изотропизации анизотропных космологических моделей [148, 153], в космологии с зависящей от времени космологической постоянной [207], и в квантовой космологии [128]; модели с V() естественно возникают в альтернативных теориях гравитации [177, 38] и супергравитации [188]; скалярный потенциал управляет инфляцией [183] и активно используется в теориях темной материи и темной энергии [206, 208, 229, 178]. Из ОТО хорошо известно, что период ускоренного расширения требует V() 0. В этой главе мы будем рассматривать космологические модели с V() 0 и V() 0. Заметим, что причины изучать космологию с отрицательными потенциалами подробно обсуждались в работе [101]. — 55 —
Легко видеть, что параметры Хаббла Н и Н$ могут принимать большие значения для 1. Ввиду того, что модели рассматриваются в рамках классической теории гравитации, они будут физически допустимыми при условии, что є єр\. Отсюда следует следующее ограничение на для 1:
Заметим, что данную модель можно рассматривать, как объединенную модель темной материи и темной энергии. Поведение параметра и уравнения состояния u\t- -\-oo — — 1 + 16exp(—6Ht), соответствует квинтессэнции.
Для У(Ф) 0 поведение моделей не зависит от выбора знака п. В этом случае решение (3.2.38) существует для [—to , о] и имеет асимптотики: Для выяснения возможных эффектов кручения, необходимо решить аналогичную задачу в ОТО. В этом случае полевые уравнения отличаются от (3.1.2) - (3.1.4) отсутствием членов, содержащих фактор 2 в каждом уравнении. Первый интеграл уравнений поля имеет вид:
Интересно отметить, что, если dj - постоянная порядка Но, тогда для этой модели с п = — 1 возможна стадия темной материи, так как закон a{t) ~ t2/3 справедлив для t <С dv . Таким образом, для этого случая модель с п = —1, при условии, что dj ~ Но, может рассматриваться, как объединенная модель темной материи и темной энергии. Для = —3/2 различие между объединенными моделями темной материи и темной энергии (3.3.130) и (3.3.132) заключается в законе изменения масштабного фактора на поздних стадиях эволюции: деситтеровской эволюции а первом случае и степенной (t4'3) эволюции во втором случае.
Сравнивая в рамках ТЭК модели с духовым (as = — 1) и материальным (as = +1) скалярными полями мы приходим к следующему заключению: 1. Существует симметрия космологических решений для «s = +1 и «s = — 1, но полной симметрии нет. 2. Для as = — 1 число типов сингулярных моделей меньше, чем для as = +1. 3. Для аа = — 1 существуют сингулярная и симметричняя несингулярная модели со степенной (t4/3) асимптотикой на поздних стадиях эволюции, которые отсутствуют для as = +1. 4. Если для as = +1 существует только один тип объединенной модели темной материи и темной энергии, то для as = —1 - два типа.
Модели в ТЭК и ОТО для 6 = 0
Заметим, что для п = +1 допустимы те же типы (1) — (3) только с зеркальными асимптотиками. Кроме того, дополнительно существуют модели типа (3.3.202). Сформулируем главные различия для космологических моделей с духовым as = — 1 и материальным as = +1 скалярными полями в рамках ОТО: 1. Для as = — 1 число несингулярных моделей с плавным переходом от сжатия к расширению и сингулярных моделей больше, чем для as = +1. 2. Для as = +1 не существует объединенных моделей темной материи и темной энергии, в то время как для as = — 1 допустимы два типа таких моделей. 3. Для as = — 1 число выделенных значений параметра больше, чем для as = +1.
Рассмотрим закрытые скалярно-торсионные модели с учетом полиномиального потенциала четвертого порядка. Точные общие решения аналогичной задачи для моделей, содержащих только неминимально связанное скалярное поле с произвольным параметром связи , были получены в работе [111]. Показано, что для канонического скалярного поля и 0 решения допускают счетное число несингулярных космологических моделей с деситтеровскими асимптотиками. Доказано, что для 0 существует только одна космологическая модель, которая расширяется из начальной сингулярности, достигает максимума и реколлапсирует. Продемонстрировано, что для духового скалярного поля и V система уравнений Эйнштейна - Картана несовместна. Точные общие решения с учетом полиномиального потенциала четвертого порядка У() были найдены в работе [114]. Сравнительный анализ решений в ТЭК с неминимально связанным скалярным полем показал [114], что учет потенциала У() приводит к увеличению вариантов космологической эволюции для as = +1, V, существованию объединенной модели темной материи и темной энергии для as = +1, = —3/2, интегрируемости уравнений Эйнштейна - Картана для as = —1, V, возможности ускоренного расширения моделей на поздних стадиях космологической эволюции для Уа3 и V. Однако, решения с учетом потенциала У() для закрытых фридманов-ских моделей не дают новых типов космологических моделей по сравнению с пространственно-плоскими моделями.
В рамках ТЭК и ОТО получены и проанализированы точные общие решения для пространственно-плоских космологических моделей с неминимально связанным скалярным полем при учете полиномиального потенциала четвертого порядка У() для произвольных значениий параметра . Решение аналогичной задачи в рамках ТЭК для закрытых фридмановских моделей показало отсутствие новых типов космологических моделей по сравнению с пространственно-плоскими моделями.
Сравнительный анализ решений для пространственно-плоских космологических моделей показал, что присутствие кручения приводит к: интегрируемости уравнений Эйнштейна-Картана для Ф2 В2. Наконец, когда кручение и потенциал У(Ф) рассматриваются одновременно, это приводит к
В рамках ТЭК с неминимально связанным скалярным полем исследуем фридмановские модели при учете идеальной жидкости. Следует отметить, что идеальная жидкость наиболее часто используется в космологии для моделирования распределения материи. Лагранжиан модели выбираем в виде:
Нетрудно видеть, что параметр Хаббла Ні может принимать большие значения для С 1. Ввиду того, что модели будут физически допустимыми при условии, что є Єрі, где є - плотность энергии скалярно-торсионного поля и ультрарелятивистского газа, єр\ - планковская плотность энергии, следует следующее ограничение на для С 1:
Нетрудно показать, что для 0, Ф2 В2 решения для а (и) и Ф(и) допустимы только для комплексных функций.
Легко проверить, что модели (4.2.10), (4.2.12) и (4.2.13) регулярны ввиду того, что скалярно-торсионое поле нарушает сильное энергетическое условие. Нетрудно показать, что для минимумов масштабного фактора и десит-теровских асимптотик доминирует вклад скалярно-торсионного поля, а для а \ft доминирует вклад ультрарелятивистского газа.
Отметим, что квадрат следа кручения 5 2 = (9/4)/3 202 tanh и F:i имеет следующие асимптотики:
Из (4.2.17) следует, что в радиационно-доминированная эру кручение убывает со временем. Формула (4.2.18) показывает, что для деситтеровского режима кручение асимптотически стремится к конечной величине. Для текущей эпохи, при условии, что Н\ = Щ, имеем S2\t-,ifoo Ю-84 GeV2, т.е. текущее кручение очень мало.
Полевые уравнения в ОТО допускают первый интеграл [121], который совпадает с первым интегралом для аналогичной задачи без ультрарелятивистского газа. Приведем точные общие решения для канонического скалярного поля, которые согласуются с первым интегралом [121]. Из выражения для первого интеграла следует, что необходимо исследовать следующие интервалы для постоянной неминимальной связи: 0 4, и 0.
Роль жесткой жидкости в космологии Эйнштейна-Картана с каноническим скалярным полем
Таким образом, на ранних стадиях скалярно-торсионное поле ведет себя как сверхжесткая жидкость в ОТО, а идеальная жидкость определяет деситтеровскую асимптотику на поздних стадиях эволюции. В этой связи отметим, что сверхжесткая жидкость использовалась в классе моделей с эк-пирозисом [162] и циклических сценариях [250, 60], и определяла финальные стадии коллапса или начальные стадии в расширяющейся вселенной.
Моменты выхода на радиационно-доминированную эру trd ( eff( rd) = ), эру доминирования материи tm(\ (weff( md) = 0) и эру ускоренного расширения tfr ( eff( tr) = — з) определяются как
В двухторсионных моделях с лагранжианом (9.1.1) ускоренное расши рение поздних этапов эволюции определяет какой-либо из источников кручения. Этим данные модели отличаются от двухторсионных моделей [136], где только вклад жидкости Вейссенхоффа, в отличие от вклада аксиального тока, приводит к ускоренному расширению поздних стадий эволюции. — 224 — Для as = +1, 0, У объединенные модели темной материи и темной энергии возможны для произвольных значений 3/2, в отличие от одноторсионных ( = 3/2). Для аа = +1, 0, 2 В2 существуют объединенные модели темной материи и темной энергии, которые отсутствуют в одноторсионных моделях. Для as = +1, 0, 2 В2 в моделях с отскоком скорость расширения на поздних стадиях эволюции больше, чем в одноторсионных моделях со скалярным полем. Для as = —1, 0, 2 В2, в отличие от одноторсионных моделей, допустимы — фантомные модели с будущим большим разрывом (Big Rip), — сингулярные расширяющиеся модели со свержестким уравнением состояния на ранних стадиях эволюции.
3) Для закрытых фридмановских моделей возможно построение осциллирующих вселенных для as = +1, 0, У. В этом случае, в отличие от аналогичных одноторсионных моделей со скалярным полем, возрастает период колебаний и максимальное (минимальное) значение масштабного фактора.
Основные результаты и выводы Основные результаты и выводы диссертационной работы сводятся к следующим
Найдены и исследованы точные общие решения в ТЭК и ОТО для пространственно-плоских однородных и изотропрных космологических моделей с НССП при произвольных значений постоянной неминимальной связи . Сравнительный анализ точных общих решений в ТЭК и ОТО показал, что учет кручения приводит к
Получены и исследованы точные общие решения в ТЭК и ОТО для пространственно-плоских однородных и изотропных космологических моделей с НССП и ультрарелятивистским газом. Обнаружено, в частности, что учет кручения приводит к устранению сингулярностей и существованию ускоренного расширения на поздних этапах эволюции. Вклад ультрарелятивистского газа состоит в увеличении числа моделей с отскоком и существованию ультрарелятивистской асимптотики.
Найдены и исследованы точные аналитические решения в ТЭК для пространственно-плоских фридмановских многокомпонентных моделей. Для НССП при учете потенциала У(Ф) и жёсткой жидкости получены сингулярные и несингулярные модели для as = +1, где на асимптотиках доминирует либо вклад жёсткой жидкости, либо вклад НССП. Доказано существование новых типов космологической эволюции для моделей с НССП при учете потенциала У(Ф) и наличии, в одном случае, ультрарелятивистского газа, в другом случае - жёсткой жидкости.
Получены и исследованы точные общие решения в ТЭК и ОТО для анизотропных космологических моделей типа I по Бьянки с НССП. Доказано, что система уравнений в ОТО совместна лишь для конформно-инвариантного скалярного поля. Обнаружено, что учёт кручения приводит к существованию несингулярных моделей с асимптотической изотропизацией и увеличению числа вариантов космологической эволюции.
Для многокомпонентных моделей типа I по Бьянки в ТЭК с as = +1 показано, что присутствие жёсткой жидкости в смеси с НССП приводит, в частности, к изотропизации деситтеровского типа и ограничению на : 3/8. Дополнительный источник гравитационного поля в виде отрицательного потенциала У(Ф) = — С2І(1 — к,Ф2)2 приводит к сингулярным расширяющимся моделям с деситтеровской изотропизацией и ограничению 3/2. Введение положительного потенциала У(Ф) = С2(1 — к,Ф2)2 в смесь НССП и жёсткой жидкости приводит к сингулярным расширяющимся моделям с законом изотропизации 4 3. Когда ультрарелятивистский газ учитывается в смеси с НССП и жёсткой жидкостью, это обуславливает закон изотропизации t2 :i и ограничение 1/6.
Получены и исследованы точные аналитические решения в ТЭК для нестационарных вращающихся космологических моделей с анизотропной жидкостью и НССП при учете его потенциала. Показано, что модели несингулярны и их эволюция допускает последовательность стадий: ультрарелятивистская, нерелятивистская и ускоренное расширение. На поздних этапах модели быстро эволюционируют к изотропному состоянию с критической плотностью вещества и плоскому типу пространства.
Построен вариант ТЭК, в котором источником кручения является бесспиновая идеальная жидкость. Показано, что решения ОТО для анизотропных релятивистских сфер с линейной массовой функцией могут генерировать решения в ТЭК для двухжидкостных моделей.
Построен вариант ТЭК, в котором источниками кручения одновременно являются идеальная жидкость и НССП. Получены точные внутренние решения для статических сфер в ТЭК с двумя источниками кручения. Построены точно интегрируемые космологические модели в ТЭК с двумя источниками кручения. Показано, в частности, что для пространственно-плоских моделей с as = +1 объединенные модели тёмной материи и тёмной энергии существуют для произвольных —3/2, в отличие от фиксированного значения = —3/2 для НССП. Для закрытых фридмановских моделей с as = +1 и жёсткой жидкостью построены осциллирующие модели. Показано, что в двухторсионных моделях, в отличие от одноторсионных с НССП, возрастает период колебаний. Для пространственно-плоских моделей с as = —1 и жёсткой жидкостью показано, что присутствие двух источников кручения приводит к существованию фантомных моделей с будущим большим разрывом и существованию сингулярных расширяющихся моделей со сверхжёстким уравнением состояния на ранних стадиях эволюции.
