Содержание к диссертации
Введение
Глава I Обзор литературы 12
1.1 Кротовые норы 12
1.2 «Голые черные дыры» горовица-росса 19
Глава II Черные дыры и кротовые норы 24
2.1 Исследование проходимости черных дыр 24
2.2 Исследование проходимости кротовых нор шварцшильда 28
2.3 Свойства проходимых кротовых нор в ото 30
2.4 Математическое моделирование кротовых нор 32
2.4.1 Метрика пространства-времени в форме кротовой норы 32
2.4.2 Риманов тензор кривизны, тензоры Риччи и Эйнштейна 33
2.4.3 Тензор энергии-импульса. Уравнения поля Эйнштейна 36
2.4.4 Граничные условия и геометрия кротовой норы 38
2.4.5 Отсутствие горизонта событий, приливные силы гравитации и время, необходимое для прохождения через кротовую нору 43
2.4.6 Энергия, создающая кривизну пространства-времени в виде кротовой норы 48
Глава III Исследование кротовых нор в теории гравитации бранса-дикке 53
3.1 Принцип маха и теория гравитации бранса-дикке 53
3.2 Кротовые норы бранса-дикке 58
3.3 Проходимость кротовых нор бранса-дикке первого класса 72
Глава IV Экзотическая материя и гравитационная энергия в кротовых норах 78
4.1 Мера объема для экзотической материи 78
4.2 Полная гравитационная энергия в кротовых норах 84
Заключение 92
Список основных публикаций по теме диссертации 97
Литература 99
- «Голые черные дыры» горовица-росса
- Исследование проходимости кротовых нор шварцшильда
- Проходимость кротовых нор бранса-дикке первого класса
- Полная гравитационная энергия в кротовых норах
Введение к работе
Актуальность темы. Уравнения поля Эйнштейна предсказывают возможность существования не только черных дыр, но, так же, и кротовых нор. Решения в виде кротовых нор были предложены самим Эйнштейном (мост Эйнштейна-Розена [1]) уже в 1935 году. Фундаментальные работы Майкла С. Морриса, Кипа С. Торна и У. Юртсевера [2, 3], геометродинамика Джона Арчибальда Уиллера [4] составляют основу современных исследований. Одним из возможных способов применения кротовых нор в далекой перспективе является быстрые межзвездные путешествия. Еще более заманчивым для человечества оказывается возможность перемещений на большие расстояния, сравнимыми с межгалактическими. Теоретически существует вероятность приблизиться к понятию времени с ее свойствами и детально исследовать проблемы инверсии времени. Дж. Крамер вместе с коллегами высказал предположение, что кротовые норы могут проявлять себя в качестве эффективных гравитационных линз [5], что должно помочь при исследованиях космоса. Эта гипотеза позволяет различать эффекты линз, образованных сильным полем, понять, что является источником этого поля: макроскопические кротовые норы или черные дыры [6-9]? Работа А. Г. Агнесс и М. Ла Камера [10] положила начало поиску и изучению статических кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке [11], которая основана на принципе Маха, связывающим массу объекта и массу Вселенной, и является обобщением общей теории относительности.
Объектом исследования в данной работе являются решения уравнений поля Бранса-Дикке в виде кротовых нор. Изучается возможность их существования во всех четырех классах решений, представленных К. Брансом. М. Моррис и К. Торн предложили критерии «проходимости» кротовых нор. На основе их исследований, можно с большей долей уверенности заключить, сможет ли человеческое существо пройти через кротовую нору и остаться целым и невредимым. В данном случае, большое значение имеет отсутствие
сингулярности. Но даже если горизонта событий внутри кротовой норы не существует, приливные силы гравитации могут разорвать путешественника. В данной работе проводится изучение «проходимости» кротовых нор К. Бранса первого класса. Одной из основных задач было получение ограничивающих условий «безразмерной постоянной взаимодействия Дикке» со. Для этого было использовано так называемое «основное ограничивающее условие» кротовой норы, предложенное К. Найди и его коллегами [12,13].
Идея вычисления полной гравитационной энергии, высказанная Д. Линден-Беллом, Дж. Кацом и Ж. Бисаком [14], а затем адаптированная для использования в изучении кротовых нор К. Нанди [15], может быть использована для доказательства того, что кротовые норы К. Бранса первого класса содержат отталкивающую гравитацию.
Цель диссертационной работы: изучение решений уравнений поля Бранса-Дикке, образующих кротовые норы, исследование их «проходимости» для объектов, имеющих макроразмеры.
Основные задачами работы:
Исследование основного ограничивающего условия кротовых нор для определения значений постоянной взаимодействия со, в которых возможно существование проходимых кротовых нор в первом классе решений К. Бранса.
Изучение нарушения нулевого энергетического условия (НЭУ) и слабого энергетического условия (СЭУ) для кротовых нор К. Бранса первого класса.
Изучение проходимости кротовых нор для макрообъектов в теории гравитации Бранса-Дикке для кротовых нор К. Бранса того же класса.
Исследование полной гравитационной энергии на предмет отталкивающей гравитации для кротовых нор.
Научная новнзна заключается в следующем: 1. Получен промежуток значений для связующего параметра со, в котором показана возможность существования кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке.
Показано, что решения для кротовых нор Бранса-Дикке первого класса являются проходимыми для макрообъектов лишь «в принципе», то есть, если речь идет о человеке, то он не в состоянии пройти через подобную кротовую нору.
Найдено решение, указывающее на существование кротовой норы - аналога голой черной дыры Горовица-Росса. Макрообъект, проходящий через подобную кротовую нору, испытает на себе воздействие наибольшей возможной радиальной приливной силы не в горловине, а на некотором расстоянии от нее.
Практическая значимость работы. Проведенные исследования расширяют и дополняют представления о проходимых кротовых норах, в общем, и в теории гравитации Бранса-Дикке в частности, позволяя еще глубже понять природу и физическую возможность существования подобных объектов. Данные современных исследований в теории гравитации позволяют предложить новые модели, которые позволят понять физические аспекты кротовых нор, их особенности, действующие в них силы, поля, с тем, чтобы приблизится к решению проблем перемещения людей на далекие расстояния в космосе.
Достоверность результатов настоящей работы обеспечивается взаимосвязью и преемственностью с основополагающими исследованиями в области кротовых нор и теорий гравитации, а так же тем, что в некоторых случаях, полученные значения сходны, либо полностью совпадают с общепринятыми положениями.
Основные защищаемые положения:
Существование кротовых нор в теории гравитации Бранса-Дикке на новом промежутке значений связующего параметра а: -3/2<ш<-4/3.
Кротовые норы Бранса-Дикке первого класса являются, в принципе, проходимыми для макрообъектов, но в них существуют огромные приливные силы гравитации.
3. Предлагается новое решение уравнений поля Бранса-Дикке, которое допускает существование кротовой норы - аналога голой черной дыры Горовица-Росса.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, представлялись и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (г. Уфа, 2008 г.); Семинары на математическом факультете Северо-Бенгальского университета (2006-2008 гг.); Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании ( г. Уфа, 2009 г.); VII Международная научная конференция «Инновации в науке и образовании - 2009» (г. Калининград, 2009 г.); Астрофизический семинар на кафедре теории относительности и гравитации КГУ (г. Казань, 2009 г.); XXI международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга - 2009 (г. Казань, июнь 2009 г.); Астрофизический семинар на кафедре теоретической физики ЧелГУ (г. Челябинск, 2009 г.); Астрофизический семинар на кафедре теоретической физики БашГУ (г. Уфа, ноябрь 2009 г.)
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 печатных изданиях, из которых 4 статьи в центральной печати, рекомендованной ВАК. Отдельный список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав в основной части, заключения, списков публикаций по теме исследования и литературы. Объем диссертационной работы составляет 111 страниц включая 9 рисунков.
«Голые черные дыры» горовица-росса
В течении некоторого времени в науке считалось, что кривизна пространства-времени вблизи горизонта событий статичной огромной черной дыры является небольшой, и что объекты, попадая в нее, не будут в итоге разорваны приливными силами гравитации. В своей работе «Голые черные дыры» [22] Гарри Т. Горовиц и Симон Ф. Росс показали, что это не всегда соответствует действительности. В их статье приводятся доказательства существования черных дыр, площадь поверхности горизонта событий которых огромна, но компоненты Риманова тензора кривизны остаются небольшими в его окрестности. Показывается, что, не смотря ни на что, любой попавший в них объект испытает на себе воздействие приливных сил гравитации чудовищной силы. Данное явление является результатом того, что значения Риманова тензора кривизны огромны вдали от горизонта событий, но практически равны нулю в его окрестности. При произведении измерений в неподвижной системе отсчета, значения компонентов Риманова тензора кривизны являются относительно небольшими. Но проведение измерений по отношению к свободно падающей системе отсчета показывает, что значения компонентов Риманова тензора кривизны огромны. Область огромных значений приливных сил является видимой для стороннего наблюдателя, поэтому Г. Т. Горовиц и С. Ф. Росс назвали подобные объекты «голыми черными дырами».
Следовательно, существует довольно значительная разница в приливной силе гравитации, действующей на наблюдателя в неподвижной и свободно падающей системах отсчета. Наблюдатель в неподвижной системе отсчета измеряет кривизну пространства-времени в системе покоя черной дыры. Наблюдатель, находящийся в свободно падающей системе отсчета, по мере приближения к горизонту событий, будет ускоряться. Можно ожидать, что вблизи горизонта событий, разница в значениях компонентов Риманова тензора кривизны по отношению к наблюдателю в неподвижной системе отсчета станет огромной. Г. Т. Горовиц и С. Ф. Росс отмечают, что черные дыры Шварцшильда и Рейсснера - Нордстрема в неподвижной и свободно падающей системах отсчета имеют практически одно и то же значение компонентов тензора кривизны. И предполагают, что увеличение инвариантов кривизны каким-то образом связано со структурой горизонта событий. Однако дальнейшие исследования показывают, что это не так.
Гипотетическое существование таких объектов, как «голые черные дыры» Горовица-Росса, позволяет по новой взглянуть на принцип «космической цензуры», сформулированный Роджером Пенроузом в 1969 году [123]. Сильная форма космической цензуры предполагает, что пространство-время в целом является глобально гиперболическим. Одним из основных мотивов создания данной гипотезы являлось стремление показать, что ОТО перестает работать только в областях пространства-времени, окруженных горизонтом событий. Голые черные дыры обладают «несингулярным горизонтом» и, в то же время, кривизна пространства-времени снаружи горизонта событий может выйти за «границу Планка». Следовательно, эффекты квантовой гравитации могут быть обнаружены снаружи макроскопических черных дыр.
Г. Т. Горовиц и С. Ф. Росс рассматривают следующий класс пространственно-временных метрик: координаты на S"+ . R0101, R0A.OA:, В-ш » - ш " не обращающиеся в ноль компоненты Риманова тензора кривизны, где к,
Наблюдатель, падающий радиально по направлению к центру черной дыры, испытает на себе действие приливных гравитационных сил, вычисляемых относительно другой ортонормированной системы координат, связанной с (1.2.2) локальным радиальным ускорением:
Компоненты Риманова тензора кривизны в новой системе координат, полученной после преобразования, не могут быть меньше, чем компоненты тензора кривизны в изначальной системе координат. Не обращающиеся в ноль компоненты Риманова тензора кривизны в новой системе отсчета будут
Исследование проходимости кротовых нор шварцшильда
Кротовые норы предоставляют гипотетическую возможность для сверхбыстрых межзвездных перемещений. На Рис. 2.1 (а) представлена диаграмма кротовой норы, объединяющей два участка различных вселенных. На Рис. 2.1 (б) изображена кротовая нора, соединяющая две далекие области нашей вселенной. Обе кротовые норы описаны одним и тем же решением уравнений поля Эйнштейна. Разница заключается в различии топологий пространства-времени, так как уравнения поля Эйнштейна не накладывают ограничений на топологию решения. Причины невозможности использования кротовых нор Шварцшильда для перемещения макрообъектов на огромные расстояния: 1. Величина приливных сил гравитации в горловине кротовой норы Шварцшильда соответствует их величине в горизонте событий черной дыры Шварцшильда. При массе кротовой норы, меньшей чем 104 масс солнца , с окружностью горловины, меньшей 10s км , любой перемещаемый макрообъект подвергнется воздействию огромных приливных сил. 2. Кротовая нора Шварцшильда динамична. С течением времени она расширяется от окружности горловины равной нулю (две несвязанные вселенные) до максимально возможной, и, затем, снова сжимается. Это расширение и сжатие происходит настолько быстро, что, даже двигаясь со скоростью света, макрообъект не успеет пройти весь путь из одной вселенной в другую не оказавшись пойманным в момент схлопывания. В этом случае приливные силы гравитации наверняка деформируют перемещаемый объект. 3. Кротовая нора Шварцшильда обладает «горизонтом прошлых событий» или «антигоризонтом», который, как и в случае белой дыры, является неустойчивым даже к малым возмущениям. Подобная нестабильность еще более ускоряет «запечатывание» кротовой норы, делая прохождение невозможным. Исследования показывают, что очень простые точные решения уравнений поля Эйнштейна, описывающие кротовые норы, не имеют подобных недостатков. Можно предположить, что научно продвинутая цивилизация будет в состоянии искусственно создавать и поддерживать эти объекты, и использовать их в качестве основы для галактических и межгалактических перемещений, и даже гипотетических путешествий в прошлое. На сегодняшний день неизвестно, позволят ли физические законы природы создать подобные проходимые для макрообъектов кротовые норы. Решения уравнений поля в виде проходимых кротовых нор являются настолько простыми, что их можно использовать в качестве инструмента для обучения основам ОТО [2]. В работе М. Морриса и К. Торна [2] предоставлены следующие желаемые свойства проходимых кротовых нор: 1. Метрика должна быть сферически симметричной и статичной (независимой от времени), что упростит дальнейшие вычисления. 2. Решение должно оставаться решением уравнений поля Эйнштейна. Предполагается, что ОТО является корректной. 3. Решение должно иметь «горловину», соединяющую два асимптотически плоских региона пространства-времени, то есть схематическое изображение вложения в районе экватора должно быть схожим с рис. 2.1. 4. Кротовая нора не должна обладать горизонтом событий. Горизонт не позволит пройти через нее. 5. Величина приливных сил гравитации, воздействующих на макрообъект, должны быть небольшой. 6. Время, затрачиваемое на путешествие, должно быть конечным и небольшим (например, меньше года) по отношению к перемещаемому макрообъекту и к неподвижным наблюдателям с обеих сторон кротовой норы. 7. Вещество и поля, создающие кривизну пространства-времени в виде кротовой норы, должны иметь тензор энергии-импульса, допустимый с точки зрения законов природы. Видно, что свойства (1)-(6) накладывают сильные ограничения на форму тензора энергии-импульса. 8. Решение должно оставаться стабильным по отношению к всевозможным возмущениям (особенно в моменты, когда космический корабль проходит через него). Строгое соблюдение данного условия потребует более глубокого анализа зависимости от времени, а, так же, несферическую геометрию. 9. Должна существовать реальная возможность создания подобной кротовой норы. То есть, потребуется использование массы, гораздо меньшей, чем масса вселенной, и времени, намного меньшем, чем возраст вселенной. Существующие на сегодняшний день знания о квантовой теории гравитации позволяют предположить, что такое строительство может быть возможным.
Проходимость кротовых нор бранса-дикке первого класса
Проверим, является ли исследуемое решение Бранса первого класса кротовой норой. В общем случае существует несколько условий, ограничивающих возможность прохождения макрообъекта через кротовую нору [2, 3]. Одним из условий является асимптотическая плоскостность пространства-времени, что соблюдается в случае с решением (3.2.3). Однако для того, чтобы макрообъект имел возможность пройти через горловину кротовой норы неповрежденным, желательно, чтобы приливные силы гравитации были относительно малыми (порядка Земной силы тяготения). Перепад радиального приливного ускорения Ааг в неподвижной ортонормированной системе отсчета (ё eR е0 ё ) дан как где " - радиальный компонент разделяющего вектора. Компонент тензора кривизны указан в [2, 3] (2.4.61) Данный компонент инвариантен относительно преобразований Лоренца [2, 3, 22]. Для метрик, заданных уравнениями (3.2.10) и (3.2.11), в свободно падающей со скоростью v ортонормированной системе отсчета (ё0,,ё1,,ё- ,,ё3.) получим следующее выражение В [16], компоненты Риманова тензора кривизны даны в смешанной форме (1,3) тогда, как в данном случае, используется ковариантная форма (0,4), принятая в [2, 3, 22]. Никаких изменений в окончательный результат это не вносит. Фактически, выражение в уравнении (3.3.2), так же, как и все остальные компоненты, полностью соответствуют данным в [16], потому что вычисления производятся в ортонормированной системе отсчета, в которой повышение и понижение индексов производится только через локально плоскую метрику Миньковского rj y =(— 1,-ЬІ,+1,+1). Подставим значения С(бУ) и Л(со) из уравнений (3.2.57), (3.2.58) в R правую часть уравнения (3.3.3) и определим l O l O = g(u),r,B). Будем менять значение г в направлении от горловины для заданных значении параметра связи СО, находящихся внутри полученных выше промежутков. Приливное ускорение должно быть приблизительно одного порядка с ускорением свободного падения на Земле ge = Щз-« 9Шм I с2, чтобы человек с ростом г 2м смог, достаточно комфортно совершить свое путешествие. В релятивистских единицах измерения это —у-. Так как % имеет размерность длины L, используя уравнение (3.3.1), получим, что размерность Кй.5. должна RtRt быть - - L 2. Следовательно, правая часть уравнения (3.3.3) должна быть меньше, чем - 10 20см 2 [2, 3], что подразумевает - величина компонентов Риманова тензора кривизны должна быть близка к нулю в ортонормированной системе отсчета перемещаемого макрообъекта. Это условие легко выполняется при Ф = 0, однако, в данном случае Ф 0. Чтобы получить представление о подразумевающихся здесь величинах, рассмотрим типичные значения в случае (1), скажем, СО — — 5. График зависимости g(r) от г, представленный на Рис. 3.5 при 5 = 1, выявляет неизвестную ранее особенность кротовой норы Бранса-Дикке первого класса: в месте нахождения горловины, г$ = 1.958, видно, что величина g"(r0+) имеет порядок 10 3 см , возрастающий до g(r) = 10 2cM 2 вдали от неё при г = 2.313! Затем g(r) быстро снижается. То есть, наблюдатель, падающий в кротовую нору, встретит максимально возможную радиальную приливную силу не в горловине, но выше неё. Это явление является схожим с идеей голых черных дыр, впервые рассмотренных Г. Горовицем и С. Россем [43]. Они определили голую черную дыру как пространство-время, в котором падающий вовнутрь наблюдатель встретит максимум приливной силы не в горизонте событий, но выше него. В свободно падающей системе отсчета, компоненты кривизны могут быть больше, чем в горизонте событий. Так как область гигантских приливных сил является видимой для сторонних наблюдателей, Г. Горовиц и С. Росс назвали эти объекты голыми черными дырами. В данном случае, роль горизонта играет горловина кротовой норы. Однако, ничего подобного не возникает для промежутка из случая (2) - здесь происходит равномерное уменьшение кривизны пространства-времени сразу же, после горловины, что видно из Рис. 3.6. Из (3.3.6) следует, что скорость частицы v 0.66с. Следовательно, свободно падающая пробная частица, начиная с близкой к нулю скорости у одного из входов кротовой норы, ускоряется до 0.66с в точке с радиусом = 2.313 и, затем, замедляется до скорости 0.18с в горловине г0+ =1.958 перед тем, как появиться с другой стороны.
Полная гравитационная энергия в кротовых норах
В классической физике, энергия может принимать различные формы, которые можно сложить друг с другом. Можно рассчитать, какие изменения происходят между этими формами. В теории гравитации Эйнштейна различные формы массы-энергии смешаны и неразделимы от гравитационной энергии связи. Гравитационная энергия рассеяна, частично смешана с другими формами, с массой-энергией, частично заключена в самом гравитационном поле. Масса является источником гравитации, следовательно, невозможно отделить гравитационную энергию от других форм энергии, решая уравнения поля. В своей работе Д. Линден-Белл, Дж. Кац и Ж. Бисак [14] отметили следующий способ определения гравитационной энергии по отношению к множеству наблюдателей. Например, возьмем тензор энергии для идеальной жидкости. В стандартном обозначении (индексы A,jU,v,р,... 0,1,2,3 ; индексы к,1,т,п... = 1,2,3 , метрика g v с сигнатурой -\ и g есть ее определитель. Умножение на yf—g обозначено крышечкой, например X, на определенном ранее символе X . Ковариантные производные представлены символом D и частичные производные символом д. Ни G, ни с не равны 1, и х =ct . И, наконец, символ Леви-Чивиты єрура. , где 0123=1 .) Т трехмерный координатный элемент объема пространственно подобной diM0c2\ является частью массы покоя + внутренняя энергия источника, v скорость материи по отношению к наблюдателю в локальной инерциальной системе отсчета, и dEx есть внешняя потенциальная энергия давления на небольшую собственную часть объема J—guMdV„. В неподвижном пространстве-времени с времениподобным векторным полем Киллинга с преобразованиями м естественным будет выбрать наблюдателей со скоростями сом = м I . Они находятся в состоянии покоя в любой системе координат, выделяющихся из инерциального времени на бесконечности м = (1,0,0,0] . Они также находятся в состоянии покоя и по отношению к материи. Однако не существует подобного, достаточно хорошо определенного сета наблюдателей в неподвижном пространстве. Например, в пространстве-времени Керра, может быть предпочтительней выбрать семейство «наблюдателей с нулевым моментом импульса». Д. Линден-Белл, Дж. Кац и Ж. Бисак [14] отмечают, что в данном случае желательно иметь некоторый определенный способ выбора наблюдателей в неподвижном пространстве. Полная гравитационная энергия в локализованных источниках при статической сферической симметрии и удовлетворении энергетических условий является отрицательной (притягивающая гравитация). Возникает естественный вопрос: Как она ведет себя в ситуациях, когда энергетические условия нарушены? Для ответа, преобразуем выражение для вычисления полной гравитационной энергии в форму, приемлемую для использования в пространстве-времени кротовой норы. Все решения для кротовых нор требуют наличие экзотической материи. На сегодняшний день, значение гравитационной энергии во внутреннем распределении экзотической материи не было исследовано. Воспользуемся представлением о гравитационной энергии, предложенным Д. Линден-Беллом, Дж. Кацом и Ж. Бисаком [14]. Данная ими формулировка энергии направлена на выделение и вычисление полной притягивающей гравитационной энергии постоянных гравитационных полей EG. Подобное представление не налагает никаких значительных ограничений на энергетические условия вещества. Полная гравитационная энергия EG присущая обычной материи внутри нормальной звезды дана в [14] как где полная масса-энергия внутри стандартного координатного радиуса г представлена уравнениями Эйнштейна как и сумма всех оставшихся форм энергии, таких как энергия покоя, кинетическая энергия, внутренняя энергия и т.д. определена следующим образом: Коэффициент -І- исходит из . Заметим, что EG О для обычной материи, имеющей притягивающую гравитацию. Сумма Ем может быть рассмотрена как «полная масса-энергия покоя + внутренние энергии + кинетическая энергия + энергия давления», что происходит в пределе слабого поля. Никакой гравитационной энергии здесь нет. Следовательно, если Мс2 - полная масса-энергия пространства-времени, разница EG = Мс2 — Ем может считаться полной гравитационной энергией пространства-времени. В том случае, если гравитация является силой связи, что не обязательно в общей теории относительности, можно предположить, что в силе тяготения Ньютона EG является отрицательной [14]. Ч. Миснер, К. Торн и Дж. Уиилер [24] точно таким же способом вычислили EG для пространства-времени, созданного неподвижными сферическими «звездами». Преобразуем полную гравитационную энергию EG для соответствия геометрии кротовой норы и обозначим ее через EG. По своему строению, геометрия кротовой норы имеет дыру вместо центра, следовательно, заменим нижний предел интегрирования в уравнении (4.2.2) на минимально возможный радиус или горловину RQ , определенную b(Ro) = RQ . Радиус R так же является радиальной координатой вложенного пространства; он уменьшается от +оо до R = RQB нижней части и, затем, снова возрастает до +оо в верхней части. Что вынуждает изменить интегралы (4.2.3) и (4.2.4) на
