Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор теоретических работ в области макроскопических приложений конформной теории гравитации 9
1.1. Проблема кривых вращения и концепция темной материи в Стандартной модели 13
1.2. Теории гравитации, пересматривающие геометрию пространства времени . 24
1.3. Действие Вейля и лагранжиан в конформной теории гравитации . 28
1.4. Уравнения движения и метрика в теории Вейля 32
1.5. Гравитационное линзирование 36
Глава 2. Вакуольная модель гравитационной линзы 40
2.1. Вакуольная модель: решение и схема приближения 41
2.2. Вакуоль Шварцшильда–де Ситтера: вклад космологической константы . 46
2.3. Альтернативное определение эффекта конформного параметра . 51
2.4. Метод Риндлера-Исхака в применении к метрике JNW 52
2.5. Выводы 59
Глава 3. Кривые вращения галактик 62
3.1. Кривые вращения в конформной теории гравитации . 64
3.2. Сравнение теоретических данных с экспериментом 73
3.3. Выводы 82
Глава 4. Определение знака конформного параметра и протяженности галактических гало на основе анализа стабильности круговых орбит 84
4.1. Уравнение геодезической 85
4.2. Применение метода динамических систем . 87
4.3. Движение безмассовой частицы 89
4.4. Движение частицы, обладающей массой 90
4.5. Оценка протяженности галактических гало 94
4.6. Уравнение траектории в пространстве-времени Керра . 102
Заключение 106
Список публикаций автора по теме диссертации 108
Литература 111
- Теории гравитации, пересматривающие геометрию пространства времени
- Альтернативное определение эффекта конформного параметра
- Сравнение теоретических данных с экспериментом
- Движение частицы, обладающей массой
Введение к работе
Актуальность темы. Характерной чертой современной космологии является то, что многие из формулируемых ей вопросов затрагивают область фундаментальной физики. Последние данные свидетельствуют о том, что подавляющая часть вещества в космическом пространстве существует в экзотических формах: темная энергия, обуславливающая ускоренное расширение Вселенной, и темная материя, действующая в галактических масштабах. Видимое, то есть барионное вещество в обычных формах (звезды, газ, пыль) составляет лишь малую долю от полной плотности массы.
Если экспериментальная база Стандартной модели физики элементарных частиц достаточно обширна и постоянно пополняется новыми данными, то относительно стандартной космологической модели этого сказать нельзя. Одна из ключевых особенностей космологии – это абсолютная невозможность воспроизвести изучаемые ею явления в условиях земных лабораторий: как в силу огромных гравитационных полей, оказывающих ощутимое влияние на структуру пространства-времени, так и в силу громадных расстояний. Таким образом, единственной лабораторией космологов является сам космос, который, к счастью, предоставляет определенные возможности экспериментальной проверки тех или иных теорий.
Так, результаты наблюдений за движением планет, служившие разработке различных моделей Солнечной системы, стали тем основанием, на котором были открыты законы Кеплера и закон всемирного тяготения. А чуть позже, как это ни парадоксально, прецессия перигелия Меркурия привела к тому, что теория Ньютона была полностью пересмотрена и включена в рамки общей теории относительности как ее нерелятивистский предел для слабых гравитационных полей.
Однако триумф теории Эйнштейна был вновь нарушен экспериментом. Работы Оорта, Цвикки, Волдерс, Рубин и других показали, что скорости звезд и газа в галактиках значительно отличаются от теоретических предсказаний. С этого момента исследователи разделились на две большие группы: первая
сформулировала предположение о существовании темной материи и принялась активно разрабатывать тесты, способные ее обнаружить, а вторая стала модифицировать общепринятую теорию гравитации, пытаясь выяснить, какие изменения и дополнения способны привести ее к полному согласованию с экспериментом. Вторая группа была несколько шире еще и потому, что гравитация в том виде, в каком ее описал Эйнштейн, не вписывалась в Стандартную модель физики элементарных частиц. Отсюда и два подхода к модификации старых и разработке новых теорий гравитации: микроскопический (рассматривающий квантовые эффекты) и макроскопический (оперирующий космологическими данными).
Актуальность исследований гало галактик связана с наличием неразрешенных проблем в этой области. В первую очередь, это вопросы, связанные с возможной протяженностью галактических гало и отклонением световых лучей в них. С другой стороны, несмотря на то, что изучение феномена плоских кривых вращения привело к гипотезе темной материи, до сих пор нет явных претендентов на роль частиц этой экзотической субстанции; более того, нет и безусловных доказательств ее существования. Поэтому разработка моделей гало, в которых не вводится темная материя, представляет собой перспективный способ поиска решения проблем, описанных выше.
Цель диссертационной работы: рассмотреть в рамках конформной теории гравитации наиболее наглядный и доступный проверке космологический эффект – гравитационное линзирование, а также независимым способом определить знак конформного параметра.
Основные задачи:
– применение конформной теории гравитации для объяснения кривых вращения галактик без привлечения гипотезы темной материи и анализ перспективности подобного подхода;
– оценка вклада космологической константы и конформного параметра в отклонение световых лучей, основывающаяся на экстраполяции решения Риндлера-Исхака до слагаемых третьего порядка;
– определение знака конформного параметра на основе анализа существования стабильных орбит в пределах де-ситтеровского радиуса;
– исследование стабильности круговых орбит нейтрального водорода в гало с применением метода динамических систем и оценка верхнего предела протяженности гало.
Научная новизна определяется:
– расширением имевшегося до этого решения Риндлера-Исхака до слагаемых третьего порядка, что позволяет пересмотреть вклад космологической константы и конформного параметра в отклонение света галактиками и группами галактик;
– предложенным в работе способом оценки протяженности галактических гало на основе анализа стабильности круговых орбит, по которым движется нейтральный водород. В предыдущих работах вопрос о стабильности не рассматривался.
Теоретическая значимость работы. В работе предлагается оригинальный способ определения знака конформного параметра – важной величины в теории Вейля, относительно которой до сих пор нет единства мнений. Кроме того, анализ проблемы гравитационного линзирования в рамках теории Вейля внесет весомый вклад в ответ на вопрос о том, является ли теория Эйнштейна окончательно верной, или необходимо обратить взор в сторону одной из многочисленных альтернативных теорий гравитации, дающей наилучшее согласование с экспериментом.
Личный вклад автора. Основные результаты расчетов получены лично диссертантом. Диссертант вместе с научным руководителем и научным консультантом участвовал в постановке задач и обсуждении полученных результатов.
Достоверность результатов обоснована применением в качестве исходных посылок фундаментальных законов физики. Общая теория относительности, полагаемая общепризнанной теорией гравитации, включена в конформную теорию как один из пределов.
Уровень развития наблюдательных инструментов на данный момент позволяет нам фиксировать движение частиц на периферии галактик вплоть до расстояния в 54,8 кпк от их центров. Исходя из основных положений, изложенных в нашей работе, есть определенный предел, превышающий вышеуказанное расстояние всего на ~10 кпк, за которым уже не может наблюдаться никакое движение. Примечательно, что в других альтернативных теориях гравитации такого предела нет. Таким образом, учитывая быстрый прогресс в области телескопостроения, уже в скором времени можно будет сказать на-
верняка, обретет ли конформная теория Вейля еще одно экспериментальное подтверждение.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Положительное значение конформного параметра усиливает, а отрицательное – ослабляет искривление траектории световых лучей в гравитационном поле объекта.
-
Анализ стабильности орбит в предположении о том, что они должны находиться внутри де-ситтеровского радиуса, приводит к выводу о том, что знак конформного параметра является отрицательным.
-
Верхний предел протяженности галактических гало, рассчитанный с учетом условия стабильности круговых орбит в них, существенно меньше принятого на данный момент. В качестве величины, требующей экспериментальной проверки, следует рассматривать именно меньшее значение.
-
В конформной теории гравитации феномен плоских кривых вращения галактик объясняется без привлечения концепции темной материи.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, представлялись и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
– XLVI зимняя школа ПИЯФ им. Б. П. Константинова (Гатчина, 2012 г.);
– Международный семинар «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии» (Казань-Яльчик, 2012 г.);
– Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Роль вуза в формировании социокультурного пространства» (г. Стерлитамак, 2011 г.);
– Девятнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ-19, г. Архангельск, 2013 г.);
– Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (г. Стерлитамак, 2013 г.);
– Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Математическое моделирование процессов и систем» (г. Стерли-тамак, 2013 г.);
– Межвузовская астрономическая научно-практическая конференция молодых ученых «Физика. Космос. Вселенная» (г. Стерлитамак, 2013 г.);
– Научный семинар кафедры теоретической физики и методики обучения физике физико-математического факультета СФ БашГУ под руководством проф. Филиппова А.И., Стерлитамак, 2012 год;
– Научный семинар кафедры прикладной математики и механики физико-математического факультета СФ БашГУ под руководством проф. Гимал-тдинова И.К., Стерлитамак, 2013 год.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14 печатных изданиях, из которых 3 статьи опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов диссертационных работ (2 статьи опубликованы в зарубежных журналах, а 1 статья в российском журнале). Отдельный список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав в основной части, заключения, списков публикаций по теме исследования и литературы, а также приложений. Объем диссертационной работы составляет 118 страниц.
Теории гравитации, пересматривающие геометрию пространства времени
Наряду с более или менее явными обобщениями теории Эйнштейна (дополнительные слагаемые, зависящие от тензора Римана; дополнительные поля; повышение размерности пространства-времени), есть и менее ортодоксальные точки зрения, пересматривающие роль метрического тензора и вообще геометрии. Например, предлагается ввести пространственное кручение, тогда символы Кри-стоффеля перестанут быть симметричными по своим нижним индексам. Однако эффекты, порождаемые при этом, будут иметь значение в микроскопических масштабах, поэтому вопроса о темной материи и энергии подобная модификация не снимает. Другой подход - допустить несимметричность метрики по ее индексам, так, что из 16 компонент метрического тензора g будет 10 симметричных и шесть антисимметричных. Это никак не скажется на элементе длины ds2 = g dx dxv, так как он затрагивает лишь симметричную часть g . Что касает ся антисимметричной части, то она содержит такое же число степеней свободы, как и сила электромагнитного поля. Это сулит заманчивые перспективы объединения гравитации и электромагнетизма. Немного в другом направлении ведет исследования Моффат. Его обобщение теории относительности - метрическая теория, основанная на псевдоримановом метрическом тензоре с антисимметричным полевым тензором третьего ранга F , и получившая название metric gravity (MSTG), способна объяснить кривые вращения галактик без включения темной материи. Более того, в отличие от более ранних работ (скалярно-тензорная биметрическая теория гравитации), MSTG успешно объясняет гравитационное отклонение света скоплениями галактик. Скалярно-тензорно-векторная теория гравитации Моффата содержит тензорное, векторное и три скалярных поля, а также переменное G, возрастающее до конечного современного значения примерно через миллион лет после Большого Взрыва. Эта же модель с переменным G оказывается в состоянии объяснить формирование крупномасштабных структур без концепции холодной темной материи. Более того, изменение G играет роль темной энергии, ответственной за расширение Вселенной [38].
Одной из первых попыток обобщения теории Эйнштейна (и к тому же наиболее радикальной из них всех) стал подход Германа Вейля [84]. Пытаясь объединить гравитацию с электромагнетизмом посредством метрики, он ввел локальные калибровочные преобразования, посредством которых метрика и электромагнитное поле трансформировались следующим образом:
Следующим шагом стало то, что Вейль обобщил используемую в ОТО ри-манову геометрию, и в новой геометрии, которая позже стала называться вейле-вой, символы Кристоффеля обрели зависимость от А : следовательно, ковариантная производная метрического тензора не равна нулю:
Обобщенное понятие ковариантной производной обладает такой отличительной особенностью, как инвариантность относительно калибровочных преобразований (символы Кристоффеля также переходят в себя). Поскольку ковари-антная производная тензора, стало быть, преобразуется как вектор, Вейлю удалось геометрически связать метрический тензор g с вектором A", правда, ради этого пришлось пожертвовать геометрией Римана. Само понятие калибровочных преобразований было введено в физику именно Вейлем, поскольку эта трансформация меняет величину метрического тензора, «калибрует» его [84]. Так как действие Эйнштейна-Гильберта не обладало инвариантностью по отношению к калибровочным преобразованиям, в теории Вейля не было места ни полевым уравнениям Эйнштейна, ни римановой геометрии как таковой. Поэтому правильнее называть ее не обобщением, а концептуальным отступлением от ОТО.
В ходе разработки новой теории у Вейля возникла проблема: в связи с требованиями симметрии все частицы должны были быть безмассовыми. Поясним этот момент подробнее на примере спонтанного нарушения электрослабой симметрии.
После построения первого варианта теории единого электрослабого взаимодействия оказалось, что в этой теории как фотон, так и новые калибровочные W± и Z-бозоны обязаны быть безмассовыми, что отвечает случаю ненарушенной электрослабой симметрии. Однако в нашем мире мы не наблюдаем никаких других безмассовых бозонов, кроме фотона и глюона. Таким образом, если электрослабая симметрия и реализуется в нашем мире, то она должна быть нарушена.
В принципе, массу можно было бы ввести в теорию «руками», то есть добавив в лагранжиан электрослабой теории слагаемое, придающее массу этим бозонам. Это - так называемое явное, или жёсткое, нарушение симметрии. Однако в такой теории появляются квадратичные ультрафиолетовые расходимости. Избежать этого можно, если ввести массу «мягким» образом, то есть модифицировав лагранжиан так, что масса бозонов возникает как динамический эффект. Симметрия при этом нарушается не явно, а спонтанно, при температуре ниже некоторого значения, а при более высоких плотностях энергии она вновь восстанавливается. Наиболее элегантным способом провести спонтанное нарушение симметрии является хиггсовский механизм, предложенный в 1965 году Питером Хиггсом. В этом варианте спонтанное нарушение электрослабой симметрии осуществляется через введение нового скалярного поля, которое, взаимодействуя с калибровочными бозонами, и придаёт им массы. Однако в последнее время разрабатываются и варианты спонтанного нарушения симметрии без введения хиггсовских полей.
Таким образом, если в те годы симметрия поставила перед Вейлем серьёзную проблему, то теперь механизмы возникновения массы при спонтанном нарушении симметрии пересмотрены и разработаны достаточно детально, хотя в этих вопросах еще рано ставить точку. Наибольшим нарушением симметрии характеризуется слабое взаимодействие. Описывая -распад ядра, Энрико Ферми рассматривал слабое взаимодействие как контактное взаимодействие между четырьмя фермионами – два фермиона при контакте превращались в другие два. Сила этого взаимодействия характеризуется константой связи Ферми GF . Действуя по аналогии, можно было бы взять эйнштейновское действие с константой связи Ньютона в качестве макроскопического низкоэнергетического предела некой микроскопической конформной теории гравитации. Но ведь не требуется, чтобы уравнения Эйнштейна были верны – требуется, чтобы были верны те их решения, которые подтверждены экспериментально в Солнечной системе. Поэтому Манн-гейм и Казанас зашли с другого конца: они не стали искать эйнштейновский низкоэнергетический предел, а ввели в рассмотрение макроскопическую теорию гравитации, которая, для начала, согласовывалась бы с наблюдениями [61]. Это гораздо логичнее, чем плодить бесчисленное множество квантовых теорий гравитации вроде теории струн, петлевой квантовой гравитации и т.д., а потом примерять их к существующему в макромире положению дел и убеждаться, что они, как минимум, нуждаются в доработке, а то и вовсе нежизнеспособны.
Далее в этой главе мы рассмотрим менее радикальный вариант конформной теории, включающий в себя решения ОТО как один из пределов.
Альтернативное определение эффекта конформного параметра
Для упрощения расчетов будем полагать Л равной нулю и ограничимся первым порядком М . Этому случаю отвечает C = 0, то есть мы оперируем только с
Поясним вкратце суть альтернативного определения эффекта у, о котором здесь идет речь. В случае, когда метрика не является асимптотически плоской, предел г —» оо лишен смысла. Поэтому Риндлер и Исхак определили единственное имеющее физический смысл значение г как значение при ф = 0 . Величины, подлежащие измерению, - различные углы \/ между орбитами фотонов и координатными плоскостями ф = const. Необходимо отметить, что нельзя непосредственно измерить азимутальный угол, не имея возможности провести эксперимент дважды: с линзой и без (как в случае с Солнцем). Однако можно определить г в системе координат, где положение линзы соответствует значению г = 0. Тогда тот факт, что световой луч достиг наблюдателя, расположенного достаточно далеко за линзой, будет означать, что точка г = со лежит на геодезической. А зная вид геодезической, можно определить, каково значение ф Ф О для источника. Подобный подход получил в нашей работе название реверсивного.
Для не искривленных орбит минимальное расстояние до центра галактики-линзы находится как минимум на границе видимой материи галактики. Таким образом, мы должны рассчитать угол отклонения s = VJ/ - ф в метрике В(г) = \-2Mjr-v уг, пользуясь приближением MIR«\. Для этого вычислим небольшой угол ф, пользуясь уравнением (2.4). Полагая БІпф « ф, соБф »1 и пренебрегая слагаемыми с ф2 и выше, получим:
Последнее стремится к нулю при г —» оо. Тогда s = 0 - ф и окончательно
Полученное выражение полностью согласуется с результатами, полученными Боденнером и Уиллом [33] с помощью методов теории возмущений. Во второй скобке все слагаемые положительны, то есть положительный параметр у ослабляет, а отрицательный - усиливает искривление траектории в гравитационном поле вплоть до второго порядка М . В следующем пункте речь пойдет о физических приложениях уравнения (2.31).
Одно из активно разрабатываемых приложений любых теорий гравитации – описание черных дыр. Природа и способ образования черных дыр звездных масс описаны достаточно детально как в общей теории относительности, так и во многих других теориях гравитации. Помимо этого, рассматривается вопрос о сверхмассивных черных дырах, которые могут существовать в центрах галактик (в частности, в центре Млечного пути). Ключевые характеристики черных дыр любой массы – сингулярность в центре и горизонт событий. В рамках классической общей теории относительности сингулярности обязательно возникают при формировании чёрных дыр под горизонтом событий, в таком случае они ненаблюдаемы извне. В некоторых случаях сингулярности могут быть видны внешнему наблюдателю – так называемые голые сингулярности, например, космологическая сингулярность в теории Большого взрыва.
Гравитационное линзирование звездами, галактиками и скоплениями галактик – реально наблюдаемый и достаточно изученный феномен. В то же время представляет интерес отклонение света черными дырами – в этом направлении ведутся исследования как теоретического, так и прикладного (математическое моделирование) характера. В этой главе мы рассчитаем угол отклонения , используя метод Риндлера-Исхака, и покажем, что это выражение является точным, подтвердив его независимыми расчетами – из теории возмущений и из непосредственного интегрирования.
В качестве базовой метрики рассмотрим известную метрику Джениса-Ньюмана-Винникура (JNW), описывающую материю с неисчезающим скалярным зарядом.
Рассмотрим сферически симметричное решение в безмассовой скалярной теории Эйнштейна (EMS):
Здесь & есть прицельный параметр, и u = \lr. Записанное выше выражение можно получить, используя простейшую формулу, записанную Боденнером и Уиллом [33]. Чтобы решить уравнение (2.39) с точностью до второго порядка безразмерного параметра т, пользуясь методами теории возмущений, запишем: ип = \lR, где R - наикратчайшее расстояние от прямой (невозмущенной) траекто-рии. Решение нулевого порядка: то есть прямая (невозмущенная) линия. Подставляя (2.42) в (2.39) и группируя слагаемые, получаем последовательность дифференциальных уравнений, из которых нетрудно извлечь решения первого и второго порядков точности:
Сравнение теоретических данных с экспериментом
Поскольку в работе [67] было достигнуто хорошее сопоставление с экспериментом для одиннадцати галактик, то можно было бы считать слагаемое - KC2R в уравнении (3.14) слишком малым для того, чтобы наблюдать на практике его эффект. Однако мы произведем расчеты для шестидесяти двух галактик, причем для некоторых из них известны данные до гораздо больших расстояний от центров, нежели в случае [67]. Благодаря двадцати одной галактике с огромной протяженностью стало возможным оценить роль слагаемого - KC2R и определить значение к = 9.54 х 10 54 см-1. Таким образом, остается только один свободный параметр, отношение массы к светимости.
Для того, чтобы получить качественные кривые вращения, следует рассматривать атомы водорода HI, чьи орбиты простираются гораздо дальше видимого оптического диска. Чтобы исключить трудности, связанные с проекцией скоростей, лучше брать лишь те галактики, что расположены вдоль луча зрения. Кроме того, если мы хотим включить вклад в кривую вращения видимой материи диска, надо иметь в наличии данные фотометрии. Шестьдесят две галактики, удовлетворяющих таким строгим критериям, - хорошая выборка с точки зрения статистики. В их число включены как яркие галактики, так и тусклые, а также галактики-карлики [46].
Один из интересных аспектов касательно уравнений (3.12) и (3.14) - то, что в некоторых случаях отличие от предсказаний теории Ньютона весьма велико. Во-первых, это случай, когда N мало - невозможно оценить ньютоновский вклад при фиксированных значениях т0 ик. Во-вторых, это случай, когда малой является величина N /R02 « 20. Поскольку ньютоновский вклад в уравнение (3.3) (зависящее от В слагаемое LK0- І1К имеет резкий пик при R = 2.2R0, а его численное значение определяется из величины N /R2 то в случае, когда послед-нее мало, невозможна оценка при фиксированных значениях т0 ик. Так как ли 1 нейный член на малых расстояниях доминирует над квадратичным, кривые вращения должны начать резко возрастать от центра галактики, что и наблюдается на экспериментальных кривых. В галактиках с высокой светимостью можно видеть другой случай: ньютоновский вклад уменьшается одновременно с ростом линейного слагаемого, что приводит к появлению плоской области (в теориях, оперирующих понятием темной материи, такого результата можно было добиться лишь точной подгонкой ее количества в зависимости от расстояния до центра галактики). Таким образом, формула (3.14) находится как в качественном, так и в количественном соответствии с данными наблюдений (речь о значениях скоростей). Наконец, следует отметить еще один важный факт: вклад квадратичного члена обуславливает убыль линейного потенциала, то есть скорости тоже будут убывать. Поскольку v2 не может быть отрицательной величиной, то по достижении величины R, равной примерно у0 /к 3х1023см « 100 кпк, уже невозможны никакие орбиты. Значит, существуют некие естественные границы для каждой галактики, которые определяются ее взаимодействием с глобальной структурой Вселенной.
Для сравнения с экспериментом были использованы данные из обширного каталога THINGS (The HI Nearby Galaxy Survey). Наиболее удаленные от центров точки, относительно которых есть наблюдательная информация, свойственны галактикам NGC 3726, NGC 3769, NGC 4013, NGC 3521, NGC 2683, UGC 1230, NGC 3198, NGC 5371, NGC 2998, NGC 5055, NGC 5033, NGC 801, NGC 5907, NGC 3992, NGC 2841, UGC 128, NGC 5533, NGC 6674, UGC 6614, UGC 2885 и Malin 1 (в возрастающем порядке).
Для одиннадцати галактик (NGC 801, NGC 2998, NGC 5033, NGC 5055, NGC 5371, NGC 5533, NGC 5907, NGC 6674, UGC 2885, ESO 1440040 и Malin 1) был также посчитан вклад центрального балджа. Для водорода был построен радиальный профиль в масштабе, превышающем размер оптического диска в четыре раза. Вклад HI был умножен на коэффициент 1.4, чтобы учесть эффекты, обусловленные наличием гелия. Здесь необходимо сделать оговорку: в галактиках с высокой светимостью подавляющая часть массы сконцентрирована в звездах, а межзвездный газ играет гораздо менее значительную роль; в галактиках с низкой светимостью большой роли не играют ни звезды, ни газ - на передний план выступают универсальные слагаемые су0 ик. Предполагается также, что отноше-ние массы к светимости не меньше двух десятых этой величины для Солнца. Значения M/L также отображены в таблицах, причем (M/L) означает отношение суммы масс звездного диска и балджа к полной светимости галактики. Почти все полученные нами значения M/L близки к солнечным, как этого и следовало бы ожидать.
Расстояния до отдельных галактик наиболее чувствительны по отношению к параметрам у ,у0 ик, которые в уравнении (3.14) задаются абсолютным обра зом. Для сравнительного анализа была использована база данных NED (NASA/IPAC Extragalactic Database). В ней расстояния получены либо прямыми визуальными измерениями (типичные цефеиды, закон Талли-Фишера), либо через красное смещение. В первом случае имеется некоторая постоянная погрешность измерения, которая учитывается в среднем значении величины расстояния. Во втором случае всё зависит от собственной скорости галактики и скорости ее относительно хаббловского расширения.
Часть построенных графиков приведена ниже (рисунки 1-5). По оси абсцисс откладывается расстояние в килопарсеках, по оси ординат - скорость в километрах в секунду. Красная линия - вклад видимого вещества в классической теории (ньютоновская кривая), желтая - вклад двух линейных слагаемых, зеленая - вклад двух линейных и квадратичного слагаемых, синяя - результирующая кривая вращения в конформной теории гравитации. Темно-синим цветом изображены экспериментальные точки.
В области твердотельного вращения наблюдается резкое возрастание скорости - это предсказывается нашей теорией, поскольку линейный член на малых расстояниях доминирует над квадратичным. Построенная кривая, таким образом, согласуется с экспериментальными точками. Далее вклад линейного слагаемого растет, в то время как ньютоновская кривая убывает - отсюда следует появление плоской области, которая также демонстрирует хорошее согласование с наблюдательными данными.
Движение частицы, обладающей массой
Это выражение более общего вида, чем то, что было получено для пространства-времени Шварцшильда, где к = у = 0 . Если ап 0 в любой точке то эта точка Р является стабильным центром, и нестабильным седлом, если ап 0. При а о = 0 имеем точку перегиба. Поэтому а0 = 0 дает максимальное значение радиуса R = Rstable, ПрИ превышении которого орбиты перестают быть стабильными ГА111. Можно также получить сингулярный радиус R = R Ф 0, решив кубическое уравнение R2(lkR-y)-2M = 0, определяющий границы применимости метода динамических систем. В особом случае, Rn = у/3= дп = \-\&Мк/у, так что стабильность при радиусе Rn зависит от у 1 &Mk или у 1 &Мк .
Можно рассчитать значения q0 для некоторых видимых объектов, используя уравнение (4.32). На данном этапе развития наблюдательной техники известны значения массы и эйнштейновского радиуса для определенных гравитационных линз. Мы полагаем, что стабильные радиусы должны лежать в промежутке от эйнштейновского RE до де-ситтеровского радиуса RJS [А14]. На рисунке 6 представлена ситуация для объекта Abell 2744 (і? =2.97 х1023см , М = 2.90х1018см), откуда видно, что стабильные радиусы существуют даже за пределами де-ситтеровского радиуса в случае, если у = +7 х 1028см-1. Однако физически это невероятно, так как на таких расстояниях начинает превалировать темная энергия, отвечающая за отталкивание. Расширяющаяся Вселенная делает невозможным существование стабильных орбит с такими огромными радиусами. Кроме того, сингулярный радиус равен R =8.14х \0см R.„ (рисунок 7). С другой стороны, при у = -7 х 1028 см-1, стабильные орбиты существуют только до значения R = 4.25x10 см? чт0 почти на десять порядков меньше RJS В этом случае сингулярный радиус равен R = 9.11x1022 см R .„ (рисунок 8).
В главе 3 реализовано еще одно преимущество конформной теории гравитации - то, что она дает возможность оценить верхний предел протяженности галактик при v2 —» 0. В работах Маннгейма и О Брайена этот предел равен Rnped кпк. Однако, по нашему мнению, при оценке верхнего предела нельзя упускать из вида критерий стабильности орбит [A12].
Излучение, испускаемое частицами, движущимися по стабильным круговым орбитам вокруг центров галактик, распространяется вдоль нулевых геодезических. Рассмотрение критерия стабильности может сузить границы, в которых заключен нейтральный водород в галактических гало. Значит, конформная теория вместо R вводит максимальный радиус, при котором еще существуют стабиль пред ные орбиты - обозначим его как R = R ,. Различие между двумя указанными ве стао личинами, R ий ,, может достигать 20 - 30%. К примеру, для UGC 2885 вер пред стао но следующее: і? = 191 кпк, тогда как R = 253 кпк. Такое существенное раз личие нетрудно обнаружить на практике. Стабильность является важным физическим понятием, и поэтому, на наш взгляд, в качестве величины, требующей экспериментальной проверки, следует рассматривать именно R ,.
Предсказываемые нами верхние пределы протяженности галактик ненамного превышают размеры тех областей, что доступны для наблюдения в настоящий момент. Так, для UGC 0128 R = 65.6 кпк, тогда как для наблюдения доступна область до 54.8 кпк, и эта цифра постепенно растет. Если станет понятно, что после 65.6 кпк не существует частиц, движущихся по стабильным орбитам, значит, предсказание конформной теории гравитации верно [А11].
На рисунках 9-13 представлены графики, позволяющие сравнить протяженность гало с учетом критерия стабильности орбит и без него. Одни из них представляют собой зависимость квадрата орбитальной скорости звёзд и газа в галактике от расстояния до центра галактики, другие – зависимость безразмерной функции f(R)от расстояния до центра галактики. Пересечение графиков с осью абсцисс и дает искомое значение протяженности.
Графики, изображающие зависимость орбитальной скорости, представлены в таком масштабе, что область твердотельного вращения и первый максимум кривой, вызванный собственно вращением ядерного диска, остаются вне поля зрения – имеется только минимум, обусловленный функцией распределением гравитационного потенциала галактики, а также второй максимум, отвечающий началу ветвления логарифмических спиралей. Тем не менее, на всех графиках ясно представлена интересующая нас область, в которой скорость вращения спадает до нуля и, соответственно, можно говорить о границах галактики. Нетрудно заметить, что учет критерия стабильности существенно сокращает предсказываемую протяженность, что дает некую величину, которую можно будет проверить на практике.
Еще одной областью применения метода анализа фазового пространства является изучение движения в преломляющей среде. Так, уравнения оптики для среды с показателем преломления п(г) могут быть представлены в виде ньютоновских уравнений / = та. Эту оптико-механическую аналогию можно получить, применив принцип Ферма к уравнению траектории для света.
Здесь А – пошагово изменяющийся параметр, который мы определили в предыдущем параграфе. Оптические аналоги механических величин мы будем выделять кавычками. Уравнение (4.37) может быть применено к материальным частицам. Вместо классического углового момента h можно рассмотреть его оптическую аналогию “h0”: который сохраняется при n=n{r). Конкретное значение п(г), соответствующее гравитационной среде Шварцшильда, в точности приводит к уравнению (4.18) для X = 0. Естественно, усложненные формы п{г) приводят к уравнениям более сложного вида. В таких случаях анализ фазового пространства предпочтительнее стандартных методов.
