Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Описание квантовых топологических переходов с точки зрения математической модели пространства--времени в общей теории относительности 14
I. Введение 14
2. Математическая модель пространства-времени в общей теории относительности .. 15
3. Действие как функционал топологии многообразия 20
4. Характеристические функции и топология многообразий .. 26
5. Описание топологических переходов. 32
6. Некоторые соотношения для амплитуды вероятности топологического перехода 35
7. Выводы 40
ГЛАВА II. Общий анализ классических моделей топологических переходов. 42
I. Введение 42
2. Топологическая структура классических моделей топологических переходов. 44
3. Метрика и кривизна в окрестности топологических переходов 48
4. Сингулярности классических моделей топологических переходов 53
5. Скалярно-тензорный подход к построению теории тополо гических переходов .58
6. Выводы... 66
ГЛАВА III. Применение классических моделей топологических переходов в теории гравитации и космологии 6
1. Введение. 69
2. Космологическая сингулярность как топологический переход 71
3. Топологическая модель рождения планкеона 81
4. Выводы 85
ГЛАВА. ІV. Космологическая сингулярность как тождественный топологический переход 87
I. Введение 87
2. Задача продолжения решений через сингулярность ..88
3. Продолжение космологической модели Фридмана через сингулярность 94
4. Прямой вариационный метод продолжения решений через космологическую сингулярность 97
5. Продолжение решений через космологическую сингуляр ность и геодезическая полнота 102
6. Выводы 108
Заключение
- Характеристические функции и топология многообразий
- Метрика и кривизна в окрестности топологических переходов
- Топологическая модель рождения планкеона
- Прямой вариационный метод продолжения решений через космологическую сингулярность
Введение к работе
Гипотеза топологических переходов, согласно которой топология пространственных сечений пространства-времени может зависеть от времени, была впервые выдвинута Уилером в связи с его программой геометродинамики [ 28, 44, 45 J , согласно которой все наблюдаемые свойства вещества и полей, кроме гравитационного, должны объясняться геометрическими, в том числе топологическими, свойствами пространства-времени. Так, например, электрический диполь представляется в геометродинамике Уилера как "захват силовых линий'электрического поля топологией пространства" [ 44, 45 J , что привело к появлению выражений типа "заряд без заряда", "масса без массы" и т.д. [ 44, 45 J . Естественным следствием рассмотрения таких объектов, являющихся динамически неустойчивыми, явился вывод о нестатичности топологии пространства, который, в свою очередь, привел к предположению о пенообразной структуре пространства [ 28, 44, 45 J или пространства- времени [ 70, 72 J , в силу которого наблюдаемая топология пространства-времени является результатом усреднения по множеству квантовых флуктуации топологии на планковских расстояниях [з, 28, 44, 45, 70, 72 ] .
О гипотезой топологических переходов связана более поздняя гипотеза гравитационного вакуума К.П.Станюковича [ 39,40J , согласно которой гравитационный вакуум представляет собой "море" плотно упакованных частиц - планкеонов, каждая из которых является замкнутой микровселенной, спонтанно размыкающейся во внешнее пространство. Рождение планкеона и его размыкание во внешнее пространство являются топологическими переходами.
Наконец, в последнее время гипотеза топологических переходов получила дальнейшее развитие в связи с идеями о кванто- вом рождении Вселенной [ 9, 25, 52, 53, 58, 83, 95, 96 J , которые также могут быть интерпретированы как предположение о возникновении Вселенной в результате топологического перехода, хотя такая интерпретация и не является единственно возможной.
Одной из предпосылок появления гипотезы топологических переходов является то обстоятельство, что уравнения поля эйнштейновской теории гравитации, равно как и ее монометрических модификаций, являются локальными и не определяют топологию пространства-времени. Вследствие этого различные решения эйнштейновских уравнений поля реализуются на топологически неэквивалентных многообразиях [26, 44] , а отдельные решения могут быть реализованы сразу на нескольких, топологически неэквивалентных многообразиях. Это приводит к естественному предположению о возможности топологических флуктуации на малых(план-ковских)расстояниях, вследствии чего функционал состояния квантовой теории гравитации должен зависеть не только от переменных, определяющих метрику пространства-времени, но и от переменных, определяющих его топологию, что приводит к рассмотрению топологии пространства-времени как одной из динамических переменных квантовой теории ІЗ, 28, 45, 72 J . Более того, такое рассмотрение в квантовой теории является не только естественным, но и необходимым Г 3, 28, 44, 45, 72 J , поскольку от топологии пространства-времени зависят некоторые физические свойства микро и макромира. Так,например, некоторые топологические инварианты пространства и пространства-времени могут быть интерпретированы в терминах сохраняющихся величин и симметрии физических систем [49, 59, 72, 94 J , топология пространства оказывает влияние на некоторые физические эффекты [8, 12, 52, 72 1 , может приводить к генерации массы частиц [ 61, 93 ] , спонтанному нарушению симметрии [ 73 J или восстановлению спонтанно нарушенной симметрии Г 61, 75] . Наконец, от топологии пространства и пространства-времени в целом зависят некоторые крупномасштабные свойства Вселенной [24, 49, 51, 62, 94] .
Изложенное определяет актуальность проблемы построения теории, описывающей топологию пространства и, в частности, топологические переходы.
Первое рассмотрение свойств пространства-времени, содержащего топологические переходы, было проведено, по-видимому, Героком [ 64 J , который показал, что пространство-время с компактными пространственно-подобными сечениями, содержащее топологические переходы, должно обладать причинными аномалиями, заключающимися в нарушении условий сильной и устойчивой причинности. Этот результат Герока и доказанные впоследствии более общие утверждения I 80, 81J были интерпретированы как утверждения о невозможности топологических переходов в классической теории гравитации [ 3, 80 ] . По-видимому этим объясняется то обстоятельство, что классические модели пространства--времени с переменной топологией пространственных сечений до недавнего времени практически не рассматривались, - исключение составляют работы Йодзиса [ 97, 98 ] *', применившего теорию сферических перестроек Морса Г 29, 30, 47 J , работы Г 78, 79 ] , посвященный исследованию вселенных Стефани, в которых пространственная кривизна является функцией времени и, в частности, может менять знак, что может быть интерпретировано как переход между открытой и закрытой вселенными, хотя существуют модели закрытых вселенных с отрицательной кривизной Г 63 J , *' В работах Г 97, 98] содержатся ошибки, исправленные во второй главе диссертации. а также недавние работы Гуца [ 10, II ] , посвященные исследованию возможности нарушения связности физического пространства.
В квантовой теории гравитации, в противоположность классической, предположение о топологических переходах не только не приводит к каким-либо противоречиям или "неприятным" следствиям, вроде нарушения условий причинности, но представляется даже необходимым, как это уже отмечалось несколько выше. В частности, топологические переходы иногда рассматриваются как возможный путь решения проблемы сингулярностей пространства--времени [ 3, 28, 35 J . При этом допускается, что в окрестности сингулярности классической модели могут меняться все топологические характеристики пространства-времени, включая его размерность [ 62, 70 ] . Однако обсуждению проблемы квантовых топологических переходов посвящено сравнительно небольшое число работ, большинство из которых носит эвристический характер, и только в нескольких работах сделана попытка получения численных оценок [ю, II, 70 J и построены конкретные модели [ 33 J , которые могут оказаться полезными при построении общей теории.
Диссертационная работа посвящена обсуждению проблемы топологических переходов частного вида, - мы будем рассматривать топологические переходы между многообразиями Mi и Мг , размерность которых либо совпадает и равна трем, либо одно из многообразий является трехмерным, а другое - пустым множеством. Последний случай соответствует моделям рождения или уничтожения Вселенной.
В первой главе диссертации мы покажем, что зависимость интеграла действия классической теории поля от топологии многообразия может быть выражена через систему характеристических функций нерва локально конечного неприводимого покрытия многообразия, причем связь между локально-конечными неприводимыми покрытиями определенного типа и системами характеристических ' функций их нервов является взаим^но-однозначной. Тем самым будет показано, что система характеристических функций нервов неприводимых покрытий дает одно из возможных, решений проблемы выбора переменных, описывающих топологию многообразия, которые должны быть введены в функционал состояния квантовой теории. Мы покажем также, что система характеристических функций позволяет описывать топологические переходы с помощью конечных или счетных последовательностей элементарных преобразоват-ний этой системы,что создает предпосылки для введения амплитуды вероятности квантового топологического перехода с по-мощью процедуры, аналогичной фейнмановской процедуре сумиро-вания по историям. Мы рассмотрим некоторые общие свойства амплитуды вероятности квантового топологического перехода и покажем, что квантовые топологические переходы должы быть связаны с существованием некоторого нелокального взаимодействия, определенного на пространстве систем характеристических функций или, что эквивалентно, на пространстве 3-мерных многообразий. Поэтому квантовые топологические переходы А/, -*~М^ общего вида, т.е. переходы между произвольными трехмерными многообразиями /// и МІ не имеют классического аналога. Это следует также из того, что для произвольной пары трехмерных многообразий нельзя построить четырехмерное многообразие с краем, границей которого являлось бы несвязное объединение данных трехмерных многообразий.
Однако топологические переходы частного вида, которые могут рассматриваться как переходы между непересекающимися пространственно-подобными сечениями некоторого четырехмерного многообразия и , допускают классическое описание.
Общие свойства некоторого подкласса моделей топологических переходов, допускающих классическое описание, анализируются во второй главе диссертации, в которой излагается общая схема построения классических моделей топологических переходов между многообразиями, которые могут быть реализованы как поверхности уровня некоторой гладкой функции на четырехмерном многообразии М , описывается структура пространства-времени таких моделей, а также структура тензора кривизны и син-гулярностей, Кроме того мы покажем, что описываемая схема построения классических моделей топологических переходов может служить основой для построения скалярно-тензорной теории гравитации, описывающей топологические переходы. В качестве примеров будут приведены три варианта уравнений такой теории, один из которых сводится к эйнштейновской теории гравіотации.
В третьей главе диссертации рассматриваются конкретные модели топологических переходов: модели рождения открытой и закрытой Вселенной, модель топологического перехода между открытой и закрытой Вселенными и модель рождения планкеона. Подробно исследованы модели рождения закрытой однородной изотропной Вселенной и модель рождения планкеона. В последнем случае вычислено, в первом приближении, возмущение метрики пространства-времени, вызванное рождением планкеона на фридмановском фоне. Показано также, что начальная стадия расширения устойчивой относительно малых возмущений общего вида модели рождения однородной изотропной вселенной с топологией трехмерной сферы является линейной, переходящей, для некоторого частного класса моделей, в экспоненциальную ( деситтеровскую ) стадию.
Четвертая, заключительная глава диссертации посвящена обсуждению возможности интерпретации космологической сингулярное- ти как тождественного топологического перехода и связанной с такой интерпретацией процедуры продолжения уравнений поля и их решений через космологическую сингулярность. Мы докажем существование решений, формально продолжаемых через космологическую сингулярность с сохранением направления стрелы времени и приведем примеры такого продолжения. Кроме того, мы покажем, что продолженные- через космологическую сингулярность решения геодезически полны, что приводит к естественному выделению двух классов сингулярностей пространства-времени, - локальных и нелокальных сингулярностей, - каждый из которых допускает независимое определение. Мы покажем также, что такое деление не противоречит известным теоремам о существовании сингулярностей.
Актуальность -работы обусловлена актуальностью проблемы описания топологических переходов в теории гравитации и отсутствием конструктивного подхода к построению теории топологических переходов.
Цель работы состоит в нахождении конструктивного подхода к построению теории некоторого подкласса топологических переходов, и его применение к решению актуальных проблем теории гравитации и космологии.
Для достижения поставленной цели необходимо исследовать естественные, с точки зрения стандартной математической модели пространства-времени в общей теории относительности, способы описания топологических переходов и возможности их использования для построения теории. В связи с этим ставятся две основных задачи. Во-первых, ставится задача представить в формальном виде зависимость функционала действия классической теории поля от топологии пространства с целью выделения переменных, которые могли бы быть введены в функционал состояния - II - квантовой теории с помощью фейнмановской процедуры суммирования по историям. Во-вторых, ставится задача исследования классических моделей топологических переходов как аналогов соответствующих квантовых моделей и рассмотрения возможности построения чисто классической теории топологических переходов, квантование которой позволило бы получить квантовую теорию топологических переходов некоторого класса. Одновременно ставится задача построения конкретных моделей топологических переходов, в том числе моделей, позволяющих интерпретировать космологическую сингулярность как нетривиальный топологический переход. Кроме того, представляет интерес выяснение возможности альтернативной точки зрения на космологическую сингулярность, т.е. возможности ее интерпретации как тождественного топологического перехода.
Научная новизна работы состоит в следующем: - впервые в явном формализованном виде представлена зави симость функционала действия классической теории поля от топо логии пространства-времени, что позволило установить связь квантовых топологических переходов общего вида с существовани ем поля нелокального взаимодействия, определенного на множест ве трехмерных многообразий; ~ впервые детально исследованы некоторые общие свойства пространства-времени классических моделей топологических пере- . ходов, в том числе структура тензора кривизны и структура и тип связанных с топологическими переходами сингулярностей пространства-времени; - впервые сформулирован.. конструктивный подход к динами ческому описанию топологических переходов путем построения классической скалярно-тензорной теории топологических перехо дов, получен общий вид и рассмотрены три примера уравнений та- кой теории; ~ впервые построены классические модели рождения вселенной и модель рождения планкеона (рождения и слияния двух вселенных) как примеры топологических переходов и показано, что расширение устойчивой относительно малых возмущений модели рождения однородной изотропной вселенной с топологией трехмерной сферы начинается с линейной стадии, переходящей, для некоторого класса моделей, в стадию экспоненциального ( деситте-ровского ) расширения; - впервые доказана возможность рассмотрения космологической сингулярности как тождественного топологического перехода, исследованы некоторые общие вопросы, связанные с такой интерпретацией, и приведены конкретные примеры.
Теоретическое и практическое значение работы. Основные результаты работы могут найти широкое применение в различных областях классической и квантовой теории гравитации и космологии. Полученные варианты уравнений скалярно-тензорной теории топологических переходов могут быть использованы для построения модельных вариантов квантовой теории топологических переходов, а дальнейшее развитие разработанных методов описания топологических переходов должно привести к построению сначала классической, а затем и квантовой теории топологических переходов. При этом может быть использована полученная в работе явная зависимость интеграла действия классической теории поля от топологии пространства и вытекающий из этой зависимости способ описания топологических переходов общего вида. Кроме того, изложенный подход позволяет интерпретировать некоторые типы скалярно-тензорных теорий гравитации как скалярно-тензорные теории топологических переходов. Методы построения классических моделей топологических переходов могут быть использованы - ІЗ - как для построения новых, топологически нетривиальных, моделей пространства-времени, так и для интерпретации уже известных сингулярных моделей, что было продемонстрировано на при-мерах однородных изотропных моделей Вселенной и модели рождения планкеона. Наконец, методы, развитые при рассмотрении космологической сингулярности как тождественного топологического перехода могут найти широкое применение при классическом исследовании околосингулярного состояния.
Апробация диссертации. Содержание диссертации отражено в 12 публикациях. Кроме того, основные результаты диссертации были изложены на Всесоюзном симпозиуме "Новейшие проблемы гравитации", Москва, 1973 г., на 5-й и 6-й Советских гравитационных конференциях, Москва, 1981 и 1984 г.г., на Втором всесоюзном рабочем совещании "Гравитация и объединение фундаментальных полей", Киев, 1982 г., на 10-й международной гравитационной конференции, Падуя, 1983 г., на Республиканской конференции "Квантовая гравитация и калибровочные поля", Москва, 1983 г., а также на научных семинарах ВНИЦПВ, физического и механико-математического факультетов МГУ им. М.В.Ломоносова, кафедры физики математического факультета МПШ им. В.И.Ленина. .--14-
Характеристические функции и топология многообразий
В заключение этого параграфа необходимо сделать несколько замечаний.
До сих пор мы неявно предполагали, что многообразие М , по которому осуществляется интегрирование в (I.3.I), является многообразием без края, т.е..дм = 0 . Поэтому, как в интеграле (I.3.I), так и в последующих интегралах, поверхностные члены отсутствуют, что несколько упрощает проведенные выше рассуждения, не приводя к существенному уменьшению общности, т.к. поверхностные члены, которые необходимо добавить к (I.3.I) в случае, когда Эм # 0 , после пе-" рехода к покрытию будут иметь вид,аналогичный (1.3.7),(1.3.8), (1.3.II), (1.3.12), в чем легко убедиться, дословно повторяя проведенные выше рассуждения с учётом поверхностных членов. Далее, мы рассматривали покрытия четырехмерного многооб разия Н ,о топологии которого не делалось каких-ли бо предположений. Поэтому входящая в равенства (1.3.7) система характеристических функций Fn является системой характеристических функций нерва fl и покрытия четырехмерного многообразия. Однако если воспользоваться стандартным предположением квантовой теории гравитации о локальном (по времени) (3+1) разбиении пространства-времени M9—I M3i где X с R , а М3 - гладкое трехмерное пространственно-подобное многообразие, то вместо характеристических функций нерва покрытия четырехмерного многообразия, в равенство (1.3.7) войдет система характеристических функций нерва покрытия трехмерного многообразия, а одна из координат, например І , в равенствах (І.3»8), (І.З.ІІ) и (1.3.12) будет общей для всех элементов покрытия %С
Характеристические функции и топология многообразий. Поскольку зависимость функционала действия классической теории поля от топологии пространства-времени может быть выражена через систему характеристических функций / нерва некоторого локально-конечного покрытия U , то представляется естественным использовать систему характеристических функций / при описании топологии многообразий и топологических переходов.
Характеристические функции f є F-, и функции перехода (1.3.10) однозначно определяются покрытием и многообразия
М . В свою очередь, покрытие 11 полностью определяет топологическую структуру многообразия М . Поэтому для того, чтобы систему характеристических функций f можно было тем или иным способом ввести в функционал состояния квантовой теории необходимо, во-первых, выяснить, какими свойствами должны обладать системы характеристических функций множества подмножеств множества Л/ натуральных чисел, чтобы их можно было рассматривать как характеристические функции нерва fl некоторого покрытия VI некоторого многообразия Л/ . и.
Во-вторых, необходимо, чтобы связь между покрытиями и их нервами была взаимно однозначной, для чего необходимо ограничить класс рассматриваемых покрытий и соответствующих им нервов.
Из определений следует, что любой абстрактный симплици-альный комплекс У1 можно рассматривать как нерв 91.. неко-торого покрытия tt . некоторого топологического пространства М і не являющегося, вообще говоря, многообразием, удовлетворяющим аксиоме отделимости Хаусдорфа.
Действительно, области I/- покрытия топологического пространства М могут быть двух типов: области граница которых покрывается объединением областей V. U пересекающихся с областью V; , и области I/. , граница которых не покрывается-объединением областей, пересекающихся с V- . Области первого типа мы будем называть закрытыми, а области второго типа - открытыми. В результате приклеивания новых областей к закрытой области возможны следующие ситуации, которые, разумеется, могут возникнуть и при приклеивании новых областей к открытой области, и которые должны быть исключены из рассмотрения. Во-первых, может оказаться, что число областей покрытия, получившегося после приклеивания новой области, может быть сокращено за счет удаления областей, принадлежащих объединению друтих областей покрытия. Во-вторых, может оказаться, что одна из областей получившегося покрытия может быть продеформирована так, что она перестанет пересекаться с закрытой областью V/ . Наконец, в третьих, может оказаться нарушенной аксиома отделимости Хаусдорфа, как это например, имеет место при склеивании двух одинаковых ин- " тервалов / ос / и -/ g / вдоль интервалов. Эти возможности должны быть исключены, так как в противном случае нельзя добиться взаимной однозначности соответствия между покрытием и его нервом 2 „ . Для исключения первых двух возможностей мы должны наложить некоторые ограничения на класс рассматриваемых покрытий путем введения подходящих "правил склейки" областей покрытия. Чтобы исключить третью возможность, мы должны наложить ограничения как на покрытия, так и на класс симплициальных комплексов, которые могут рассматриваться как нервы некоторых покрытий.
Метрика и кривизна в окрестности топологических переходов
Обратное преобразование г2- описывается сферической перестройкой типа I, которая состоит в уделении цилиндра х /5 у и приклеивании двух дисков "U , причем окружность $ , окрестность которой подлежит удалению, должна быть не стягиваема по 7" в точку. В противном случае получим преобразование 7" " — - Т Z(J $ х » нарушающее связность исходного многообразия. Мы изложили здесь, применительно к трехмерным многообразиям, стандартную схему сферических перестроек Морса. Эта схема допускает естетсвенное обобщение, если предположить, что функция А может иметь вырожденные критические уровни и вырожденные критические точки. В этом случае, однако, связь между критическими точками функции $. и типом топологического перехода М1 — - МІ уже не является столь простой, как описано выше. В частности, переход через вырожденный критический уровень функции я может и не сопровождаться изменением топологии Г 47 J .
Простая классификация вырожденных критических точек функции Л и соответствующих этим точкам топологических преобразований поверхностей уровня -ео/и возможна в случае,когда в окрестности вырожденной критической точки д функция Л может быть приведена к виду (2.2.1) так, что часть коэффициентов CL будут равны нулю. В этом случае многообразия М) и М3г , разделенные вырожденным критическим уровнем, могут быть представлены в виде М =М? М3 п, /=/,&, где п. І- і - число ненулевых коэффициентов ос , а многообразия М и м связаны сферической перестройкой типа г , где г 4- / - число отрицательных коэффициентов CL [ 18,77 J .
При этом многообразие М может иметь произвольную топо логию.
Полная іслассификация топологических преобразований, происходящих при переходе через вырожденный критический уровень функции Л возможна только в том случае, если соответствующие этому уровню критические точки параметрически устойчивы и, следовательно, допускают полную классификацию описанную, например, в [l] . Если же вырожденные критические точки функт ции Л не являются параметрически устойчивыми, то их классификация, а следовательно и классификация соответствующих этим точкам преобразований поверхностей уровня функции А , невозможна [i] .
Описанная в предудущем параграфе связь между топологией поверхностей уровня некоторой гладкой функции А на многообразии // и невырожденными критическими точками этой функции указывает на естественность описания пространственных сечений пространства-времени (М , а. ) как поверхностей уровня некоторой гладкой функции Л . При этом мы будем для простоты предполагать, что функция Л может иметь только невырожденные критические точки, в окрестности которых она может быть представлена в виде (2.2.1).
В силу сделанных выше предположений, векторное поле # —А является времениподобным всюду, за исключением критических точек функции Л , являющихся его особыми точками, поэтому, вне критических точек функции А метрика пространства-времени может быть представлена в виде где а - некоторая положительно определенная метрика на М t .а — а-? /д- Заметим, что равенство (2.3.1) применяется также в теории отображений псевдоримановых пространств на ршановы [ 2,31 j . Контравариантный тензор а может, как легко видеть, быть записан в аналогичном виде ocj ±1_±__ 2z«J (2.3.2) С? / ? где a Spfi — S« а =-2 Представление метрики а в виде (2.3.1 ) для заданного времениподобного векторного поля /f однозначно определяется условием равенства коэффициентов при А И & в представлении тензоров Яося ж # в виде (2.3.1), (2.3.2). Действительно, пусть тогда откуда Л - что при дополнительном условии у = Jlz дает требуемое равенство
Следовательно, коэффициент /f в равенстве (2.3.1а) не является, вопреки ошибочному утверждению работ [97,98] , дополнительным параметром, позволяющим "управлять" свойствами метрики а Рассмотрим некоторые свойства разложения (2.3.1). Прежде всего отметим, что если две метрики Д.ыв и & в имеют вид (2.3.1) с одним и тем же векторным полем и конфор - 50 мными метриками g И д , т.е. g = /zgf , где / - некоторая строго положительная функция» то метрики в и а конформны с тем же конформным множителем ,
Далее, из равенства (2.3,1) следует, что если функции А и удовлетворяют равенству #ы -АРО( -А -АА , где А - некоторая функция, нигде не обращающаяся в нуль, то пары (А, а ) и (А ,« ) определяют одну и ту же лорен -цеву метрику л .
Топологическая модель рождения планкеона
Мы можем теперь построить модель топологического перехода между открытой и закрытой Вселенными, рассматривая такой топологический переход как суперпозицию рассмотренных выше топологических переходов, т.е. как суперпозицию уничтожения открытой Вселенной (Мі - 0 ) и рождения закрытой Вселенной (0 -»- /%_ ]. Для этого мы должны взять функцию / , поверхности уровня которой некомпактны при л О и компактны при О в качестве примера можно взять С - склейку функций (3.2.2) и (3.2.20), которую можно определить равенством Л = ( {x +Z3- /; } Z (3.2.23) где функция (ft); =- 0Щ О t являющаяся С - регуляризацией функции ьсаті я , удовлетворяет следующим условиям: -(tf) Coa(Ri)7 -/ (/)4- / , причем S-(ft) =- / при / - О и . (/I) - / при у г о .В области - / равенство (3.2.23) определяет неявное задание функции / . Являясь одним из возможных вариантов склейки функций (3.2.2) и (3.2.20),. определенная равенством (3.2.23) функция Я- приводит к одному из возможных вариантов классической модели топологического перехода открытой Вселенной с метрикой (3.2.21).-(3.2.22) в закрытую Вселенную с метрикой (3.2.7)-(3.2.8) или (3.2.11)-(3.2.13) [2l].
Топологическая модель рождения планкеона.
Покажем теперь, что рождение планкеона, являющегося основным элементом теории гравитационного вакуума К.П,Станюковича [ 39,40 ] , в рамках описанного выше формализма также может рассматриваться кактопологический переход.
В теории гравитационного вакуума К.П.Станюковича 39,40] планкеоны рассматриваются как замкнутые микровселенные, спонтанно размыкающиеся в макровселенную. С топологической точки зрения процесс рождения планкеона (замкнутой микровселенной) и его последующего спонтанного размыкания в макровселенную совпадает с процессом спонтанного слияния двух независмо рож дающихся несвязных вселенных. Поэтому описания процессов рождения планкеона и слияния двух макровселенных качественно совпадают. Для определенности мы будем, однако, говорить о рождении планкеона.
Для построения модели рождения микровселенной, размыкающейся во внешнее пространство, мы должны, в соответствии с описанной выше схемой, взять функцию А , поверхности уровня которой являются несвязными при ei Л с и связными при Л Cj и при Л с , где cf и с - некоторые константы. Уровни А с соответствуют внешнему пространству до рождения планкеона, уровни е., А е - несвязному объединению внешнего пространства и соответствующей планкеону микровселенной, а уровни Л cz соответствуют объединению внешнего пространства с планкеоном. Уровни Л - 2 являющиеся, очевидно, критическими, соответствуют рождению планкеона и его размыканию во внешнее пространство.
Перечисленным условиям удовлетворяет, очевидно, функция A l(X)/(j ) (3.3.1) где о =. ( JZ. (ж ос )7 ") -, х -с т&, j fp) - монотонно возрастающая функция одного переменного, областью значений которой является полуинтервал с , причем /(о)= с , а А# - функция используемая при построении модели Вселенной, на фоне которой рождается планкеон. Модель рождения /г планкеонов может быть построена по аналогии с моделью рождения одного планкеона, если положить п = /0(х)Пу р(р) (3.3.2) где о1—{П (эс -эс )7 ) f ocf - 607ЦҐ , а функции // (Р/ ) и Л„(ос) обладают свойствами, аналогичными описанным выше.
Для определенности рассмотрим рождение планкеона в случае, когда внешнее пространство-время является пространством--временем Фридмана-Робертеона-Уокера. В этом случае в качестве функции Я можно взять функцию (3.2.2). Точный вид метрики я зависит при этом и от выбора функции /(f) однако, при о — с = метрика Цд должна асимптотически переходить в метрику (3,2.7) или (3.2.II). Поэтому отклонение метрики Jt p, от (3 2 7) или от (3.2.II) при достаточно больших значениях параметра о можно рассматривать как возмущение, вызванное рождением планкеона.
Прямой вариационный метод продолжения решений через космологическую сингулярность
Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, в том случае, когда космологическая сингулярность интерпретируется .как тривиальный топологический переход, множество-сингулярных точек естественно рассматривать как гиперповерхность четырехмерного многообразия м » разделяющую его на две части, каждая из которых является локально регулярной как пространство-время. Однако, чтобы такое рассмотрение имело смысл, необходимо,чтобы уравнения поля и их решения были-продолжаемы через космологическую сингулярность. Поэтому возможность интерпретации космологической сингулярности как тождественного топологического перехода зависит от того, существует или не существует решение задачи продолжения уравнений поля и их решений через космологическую сингулярность. Рассмотрение космологической сингулярности как сингулярной гиперповерхности, разделяющей пространство-время на две локально регулярные части представляется также естественным и с точки зрения принципа соответствия с квантовой теорией гравитации как один из возможных способов качественного исследования квазиклассического предела соответствующей квантовой задачи [б] .В частности, невозможность продолжения решений через космологическую сингулярность означала бы, что прохождение через сингулярность в квантовой теории гравитации либо невозможно, либо является.чисто квантовым эффектом, не имеющим классического аналога. Кроме того, последовательное рассмотрение требует учета взаимодействия сингулярности с регулярной областью пространс тва-времени ["6,14,15] , что также приводит к необходимости продолжения уравнений.поля и их решений в сингулярные точки и через сингулярность.
Наконец, как было замечено Таубом [ 90 J , рассмотрение сингулярностеи как граничных точек пространства-времени в ряде случаев не соответствет характеру рассматриваемой задачи Рассмотрение космологической сингулярности как. внутренней гиперповерхности пространства-времени и связанное с таким рассмотрением продолжение решений через сингулярность приводит к обобщению стандартной математической модели пространства-времени: в отличие от стандартной модели. [28,49 J , в ко-торой многообразие М , векторные и тензорные ПОЛЯ, ВКЛЮ--чая метрический тензор Й- предполагаются гладкими клас-са Сг, Г 2 , мы будем предполагать, что многообразие М принадлежит классу С ( С на кусках), а векторные и ._ тензорные поля, включая метрический тензор йы& $ рассматри - 90 вагатся в классе распределений. Это предположение является нетривиальным в силу нелинейности эйнштейновских уравнений поля (1.2.2) и,неприменимости к ним классической теории обобщенных функций. Тем не менее, как было показано Таубом и рядом, других авторов [38,84,91] , эйнштейновские уравнения поля во.многих случаях допускаютрасмотрение в классе распределений. Для случая космологической сингулярности это было продемонстрировано нами в ["6,7,15-J и будет показано ниже. Необходимо отметить, что одним из аргументов против рассмотрения сингулярностей как внутренних точек пространства--времени является нарушение условий, входящих в определение математической модели пространства-времени [ 5,32,49,65 J . Рассмотрение обобщенной модели пространства-времени, очевидно, снимает это возражение. Другой аргумент против рассмотрения сингулярностей как внутренних точек пространства-времени и продолжения решений через них состоит в том, что в окрестности сингулярных точек нельзя однозначно определить структуру многообразия [5,49, 65] . Отсюда делается вывод о необходимости разработать рецепт построения границы дМ пространства-времени (М ,й) которая однозначно определялась бы структурой регулярной его области и позволяла бы после присоединения, описывать сингулярности в локальных терминах [5,49,65] . В связи с этим необходимо сделать два замечания. Во-первых, неоднозначность, возникающая при рассмотрении сингулярностей как внутренних точек пространства-времени, не устраняется и при рассмотрении сингулярностей как граничных точек. Это следует из того, что топология многообразия М - ,MU9M существенно зависит от того, как определено присоединение границы dМ .
