Содержание к диссертации
Введение
1 Решения с несколькими эффективными космологиче скими постоянными, фантомная космология и сингуляр ности будущего 15
1.1 Введение 15
1.2 Сингулярности будущего в фантомной космологии . 17
1.3 Идеальная жидкость приводящая к нескольким ACDM космологиям 19
1.3.1 Пример 1: непериодическое поведение темной жидкости 21
1.3.2 Пример 2: Периодическое поведение жидкости . 25
1.4 Космологическая реконструкция для модели с одним скаляром 33
1.5 Модифицированные теории гравитации типа F(R,Q) в фантомной космологии 38
1.5.1 [R + f(Q)} гравитация 40
1.5.2 f{R, Q) гравитация 41
1.5.3 Модель маленького разрыва 42
1.5.4 Степенное решение 46
1.5.5 Решение де Ситтера 49
1.6 Заключение 50
2 Модели с лагранжевыми множителями в модифициро ванных теориях гравитации типа Гаусса-Боннэ 52
2.1 Введение 52
2.2 Гравитация Гаусса-Бонны со скалярным полем в присутствии лагранжевых множителей 2.2.1 Случай
2.2.2 Случай ф ~ In t 59
2.3 Реконструкция в теории гравитации Гаусса-Бонне со ска лярным полем при наличии Лагранжева множителя . 64
2.3.1 Случай немонотонных функций времени 67
2.3.2 Анализ динамической системы уравнений и особые точки 70
2.4 F(R, G) гравитация с лагранжевым множителем Гаусса-
Боннэ 72
2.4.1 Космологические решения для F(R,G) гравитации 74
2.5 Заключение 79
3 Циклическая космология в модифицированных теориях гравитации типа F(R) и F(Q) 81
3.1 Введение 81
3.2 Реконструкция в F(R) гравитации 83
3.3 Циклическая космология в F(R) гравитации 84
3.3.1 Экспоненциальная модель 84
3.3.2 Степенная модель 86
3.4 Устойчивость решений 89
3.4.1 Устойчивость экспоненциальной модели 90
3.4.2 Устойчивость степенной модели 90
3.5 Объединение в F(R) циклической гравитации инфляции и позднего ускоренного расширения 91
3.5.1 Модель суммы экспонент 91
3.5.2 Устойчивость модели суммы экспонент 93
3.6 Экспоненциальная форма масштабного фактора для ненулевой пространственной кривизны в F(R) гравита ции 94
3.6.1 Полиномиальная модель второго порядка 95
3.7 Экспоненциальная форма масштабного фактора в случае к = 0 100
3.7.1 Реконструкция F(R) гравитации 100
3.7.2 Устойчивость решений 104
3.8 F(Q) теории гравитации 106
3.9 Реконтсрукция в рамках F(Q) гравитации 107
3.9.1 Устойчивость решений 110
3.10 Примеры циклической космологии для гравитации типа F{Q) 112
3.11 Модель суммы экспонент 116
3.12 Объединение циклической космологии с поздним космическим ускорением 118
3.13 Заключение 120
Модифицированные теории гравитации типа Борна-Инфельда 122
4.1 Введение 122
4.2 Гравитация Борна-Инфельда 124
4.3 Гравитация типа Борна-Инфельда с f(R) в формализме Палатини 127
4.4 Вакуумный случай 128
4.5 Конформный подход 130
4.5.1 Вселенная Маленького разрыва 133
4.5.2 Степенная эволюция 135
4.5.3 Космология типа ACDM 138
4.5.4 Объединение позднего ускорения с инфляцией: периодический случай 139
4.5.5 Объединение позднего ускорения с инфляцией: непериодический случай 142
4.5.6 Лагранжиан вида \/\д^і/ + nR^i^T) + agllvF{R)\ в конформном подходе 143
4.6 Уравнения при наличии материи 145
4.7 Модель с идеальной жидкостью 148
4.7.1 Общее выражения для р и Р 149
4.8 Космология 150
4.8.1 Модель f(R) = R2 151
4.9 Заключение 157
Многомерные теории в модифицированных теориях гравитации 161
5.1 Введение 161
5.2 Теория Лавлока 162
5.3 Шестимерная гравитация Эйнштейна-Гаусса-Боннэ . 165 5.3.1 Уравнения движения ...
5.3.2 СлучайєХ0 167
5.3.3 Случайє<0 170
5.3.4 Случай є = 0 172
5.4 Анизотропная космология во втором порядке теории Лав-
лока 173
5.4.1 Степенное решение для пустого пространства . 173
5.4.2 Степенное решение для пространства, заполненного идеальной жидкостью 176
5.5 Космологические решения для третьего порядка теории Лавлока 178
5.6 Теория Эйнштейна-Гаусса-Бонне с дилатоном 183
5.7 Вселенная типа Кантовского-Сакса в бранной космологии 197
5.7.1 Уравнения движения 198
5.7.2 Случай 1. Четырехмерная теория Эйнштейна . 199
5.7.3 Пространство типа Кантовского-Сакса в бранной Вселенной 201
5.8 Заключение 204
6 Космологические решения со спинорными полями 205
6.1 Уравнения Эйнштена-Вейля в формализме Ньюмена-Пенроуза 205
6.2 Интегрируемость уравнений Эйнштейна-Вейля для I типа по классификации Бианки 209
6.3 Космологическое решение уравнения Эйнштена-Вейля для первого типа по классификации Бианки 215
6.4 Космологические решения для спинорных полей и неми нимально взаимодействующих скалярных полей 226
6.4.1 Реконструкция решений 230
6.5 Заключение 234
7 Заключение 236
Литература
- Идеальная жидкость приводящая к нескольким ACDM космологиям
- Реконструкция в теории гравитации Гаусса-Бонне со ска лярным полем при наличии Лагранжева множителя
- Устойчивость решений
- Гравитация типа Борна-Инфельда с f(R) в формализме Палатини
Введение к работе
Актуальность темы исследования.
С конца прошлого века стали поступать наблюдательные данные, отличающиеся высокой точностью и согласованные друг с другом, которые поставили под сомнение стандартную космологическую модель. Эта модель опиралась на общую теорию относительности, стандартную модель элементарных частиц, на предположение о начальном Большом взрыве и последующем этапе замедленного расширения, где Вселенная эволюционировала через фазу преобладания излучения к фазе преобладания пылевидной материи, при которой были сформированы все структуры. Инфляционная парадигма, сформулированная с помощью различных подходов в восьмидесятых годах, исключила несколько несоответствий, присущих этой модели, предложив правдоподобные механизмы, объясняющие формирование крупномасштабной структуры и отсутствие топологических дефектов, таких как магнитные монополи и космические струны.
Однако результаты, полученные в последние двадцать лет, даже при относительно небольших (маленькое красное смещение) расстояниях существенно отличались от стандартной космологии. Это значение параметра Хаббла, полученное из наблюдения за сверхновыми типа 1а (SNela) (Нобелевская премия 2011 года), изучение особенностей скоплений галактик, таких как массовые характеристики, корреляционные функции и численный расчет распределения кластеров в терминах красного смещения, оптические исследования крупномасштабной структуры, измерение анизотропии микроволнового фонового излучения (реликтового излучения) и, наконец, данные о лесе альфа-линий поглощения Лаймана. Интерпретация этого огромного и растущего объема информации в рамках единого подхода составляет, наверное, самую большую проблему современной космологии и теоретической физики. В частности, существующие расхождения между наблюдаемой материей и критической плотностью, необходимой для получения пространственно плоской Вселенной, и последующее ускоренное расширение могут найти объяснения, если допустить существование той или иной формы космической жидкости с отрицательным давлением. Эта жидкость не дает вклада в кластеризацию
в большом масштабе, является невидимой и не взаимодействует с обычной материей. В простейшем случае этот таинственный компонент, известный как темная энергия, может быть интерпретирован как космологическая постоянная, которой соответствует более 70% всей энергии Вселенной. Остальные 30 % сосредоточены в галактиках и скоплениях галактик, из них только около 4 % - это обычная барионная материя, а остальное -холодная темная материя (CDM). С астрофизической точки зрения эта простая модель достаточно хорошо согласуется с наблюдательными данными. Можно обоснованно предположить в качестве первого шага на пути к новой космологии, что данная модель, обычно называемая ACDM-моделью, может служить отправной точкой. Несмотря на хорошее соответствие с наблюдениями, ACDM-модель является теоретически несогласованной. Если космологическая постоянная представляет собой "вакуумное состояние" гравитационного поля, то мы должны объяснить расхождение в 120 порядков между наблюдаемым значением данной величины и предсказаниями любой теории квантовой гравитации. Кроме того, существует так называемая проблема совпадения - почему материя (темная и барионная) и космологическая постоянная сегодня одного и того же порядка? Материя и плотность энергии вакуума должны вести себя совсем по разному в ходе эволюции Вселенной, и неясно почему именно сегодня они имеют близкое значение. Последние данные, поступающие из миссии ПЛАНКА, в основном, подтверждают все вышесказанное с очень высокой точностью.
Все это привело к возникновению большого количества космологических моделей, построенных на базе различных подходов. Были предложены модели, вводящие новые формы темной энергии и темной материи. К сожалению, ни один из предложенных претендентов не является полностью удовлетворительным как с теоретических, так и с наблюдательных точек зрений. Во-первых, ни один из предложенных кандидатов на темную материю и энергию не был экспериментально обнаружен. Во-вторых, такие модели не в состоянии полностью объяснить некоторые данные в масштабах, характерных для галактик и скоплений галактик.
Мы видим два возможных варианта: либо мы ищем темные компоненты (дополнительные поля), либо мы признаем, что космическое ускорение и "пропавшая без вести" масса - не что иное, как сигналы, указывающие
нам на то, что общая теория относительности фактически протестирована только от лаборатории - до Солнечной системы и не в состоянии описать Вселенную в более крупных масштабах (в таком случае, темная материя и темная энергия будут играть роль, подобную эфиру, который становится бесполезным после появления специальной теории относительности).
"Консервативный" подход ищет объяснение темной материи и темной энергии в рамках "известной физики". Примеры в направлении этого даются квантовой теорией поля. Оказалось, что существует тесная связь между явлением смешивания и проблемой темной энергии. Многое свидетельствует о том, что этот механизм может дать объяснение, по крайней мере, частичное, проблеме космического ускорения. На самом деле экспериментальные свидетельства нейтринных осцилляции являются сегодня одним из самых важных открытий в области физики элементарных частиц. Это привело к повышенному интересу теоретических исследований смешивания и явления колебаний частиц (кварки, нейтрино, мезоны). Например, было показано, что вакуум смешанных полей (флейворы вакуума) имеет структуру конденсата пары частица-античастица как для фермионов, так и для бозонов, и возникают поправки, которые могут привести к чрезвычайно интересным способам объяснения космологического ускорения.
Более радикальный подход предполагает, что общая теория относительности не способна описать Вселенную в масштабах больших, чем Солнечная система, а темные компоненты могут быть наблюдаемым эффектом такого несоответствия. В последнее время ученые пытаются объяснить массовые расхождения, наблюдаемые в астрофизических системах, начиная с Солнечной системы и заканчивая масштабами кластеров галактик, предложив альтернативные теории гравитации. Этот подход показал хорошее соответствие при объяснении космологического ускорения. Одна из первых и достаточно удачных попыток - это хорошо известная среди астрономов гипотеза, так называемая MOND (модифицированная ньютоновская динамика), которая проходит ряд экспериментальных тестов. Но остаются и серьезные трудности, например, в объяснении леса альфа-линий Лаймана и высокой температуры равновесного газа в скоплениях галактик. И кроме того, эта гипотеза приводит к модификации закона инерции, что противоречит теории
Ньютона, хорошо испытанной при низких энергиях и малых масштабах.
В рамках данного подхода можно выделить класс модифицированных теорий гравитации, которые расширяют общую теорию относительности, сохраняя ее положительные черты. Они не требуют присутствия темных компонент, которые до сих пор не обнаружены на экспериментальном уровне, но требуют иного вида действия, описывающего гравитационное взаимодействие. При таком подходе гравитационное действие Гильберта-Эйнштейна модифицируется, например, путем добавления произвольной функции от скалярной кривизны Риччи R - F{R). Можно рассматривать и комбинированный подход, предполагая и наличие других физических полей (например, скалярного поля), участвующих в динамике. Можно использовать более сложные конструкции, полученные из тензоров Риччи, Римана и Вейля, или теории с неминимальным взаимодействием, также можно рассматривать теории гравитации в пространствах с размерностью выше четырех и т.д. Наибольшее внимание из них привлекает F{R)-гравитация в силу того, что она выглядит проще других модифицированных теорий гравитации, а также может быть переписана в виде скалярно-тензорной теории.
Необходимо отметить достаточно высокую степень разработанности данной проблемы: предложено большое количество космологических моделей в рамках указанных выше подходов, которые описывают как различные фазы эволюции Вселенной, так и переходы между ними. На базе предложенных моделей изучаются различные структуры: звезды, галактики, черные дыры, что позволяет оценить степень реалистичности предложенных моделей на различных космологических масштабах. Однако данное направление продолжает активно развиваться, так как однозначно выделить наиболее перспективную модель или класс моделей не представляется возможным, исходя из сегодняшнего состояния наблюдательной космологии.
Целью данной работы является исследование различных космологических аспектов, таких как возможность ускоренного расширения, переходы между различными фазами эволюции, одновременное описание нескольких режимов эволюции Вселенной, согласованность с наблюдательными данными и т.д. в рамках модифицированных теорий гравитации. Мы рассмотрим наиболее
перспективные модели, описывающие эволюцию Вселенной на различных этапах.
В работе решались следующие задачи:
-
Построение космологических моделей, текущая эволюция которых совпадает с современной ACDM эпохой Вселенной, но отличается в будущем. Построение аналогичных модели в рамках F(R, Q) гравитации. Для построенных моделей необходимо изучить возможность описания ускоренного расширения, переходов между различными фазами эволюции Вселенной и произвести оценку полученных моделей на соответствие наблюдательным данным.
-
Построение космологических моделей в рамках модифицированных теорий гравитации типа Гаусса-Боннэ, содержащих лагранжевы множители.
-
Построение реалистичных космологических моделей с отскоком, описывающих циклическую Вселенную в рамках F(R) и F(Q) гравитаций.
-
Построение в рамках гравитации Борна-Инфельда модифицированной теории, содержащей произвольную функцию от скалярной кривизны. На основе данной модели изучить возможность реконструкции реалистичных космологии.
-
Построение в рамках теории Лавлока второго и третьего порядков космологических моделей в многомерных теориях гравитации.
-
Рассмотреть космологические модели, содержащие спинорные поля, и возможность построения на их основе космологических решений.
Научная новизна и практическая значимость работы.
Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми и опубликованы в ведущих международных журналах. Научные положения и выводы полностью обоснованы.
Практическая значимость работы определяется возможным дальнейшим применением полученных результатов для построения космологических моделей, реалистично описывающих эволюцию Вселенной, и сравнение их
с наблюдательными данными, полученными, например, миссией ПЛАНКа и из экспериментов по исследованию реликтового излучения (BICEP).
Полученные результаты и разработанные методы могут найти применение в исследованиях по космологии, теории гравитации, математической и теоретической физике, проводимых в Институте Ядерных Исследований РАН (Москва), Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН (Черноголовка), Объединенном институте ядерных исследований (Дубна), Математическом институте РАН (Москва), Государственном астрономическом институте им. П. К. Штернберга (Москва), Казанском (Приволжском) федеральном университете, Томском государственном педагогическом университете, Томском государственном университете, Московском государственном университете, а также в других Вузах и организациях, где ведутся работы по теоретической физике и космологии.
Методы исследования. В работе используются как стандартные методы и подходы математической физики и космологии, так и новые методы, например, метод реконструкции космологических моделей.
Положения, выносимые на защиту.
-
Построена модель с несколькими эффективными космологическими постоянными, способная качественно описать все фазы эволюции Вселенной и переходы между ними. При этом такая модель практически неотличима от ACDM космологии в современную эпоху эволюции. Данная модель может реалистично описывать современное ускоренное расширение, а также фазу инфляции (соответствующие эпохи эволюции приходятся на фазы эффективных космологических постоянных). Показано, что, несмотря на тот факт, что текущее расширение Вселенной может соответствовать фазе эффективной космологической постоянной, последующая эволюция может идти по любому заданному пути.
-
Проведена реконструкция фантомных космологических моделей в рамках F(R, Q) гравитации и показано, что эти модели могут описывать ускоренное расширение и различную эволюцию в будущем (например, вселенные типа малого и большого разрыва и т.д.).
-
Впервые построены космологические решения, описывающие различные фазы эволюции Вселенной в рамках модифицированной теории гравитации, инспирированной теорией струн, содержащей инвариант Гаусса-Боннэ, который взаимодействует со скалярным полем в присутствии лангранжевых множителей. Показано, что наличие лагранжевых множителей в таких моделях позволяет генерировать новые решения с необходимым поведением параметров.
-
Показано, что в рамках F(R, Q) гравитации в отсутствии дополнительных полей, за исключением обычной материи в форме идеальной жидкости, наличие лагранжевых множителей определенного вида приводит к ограничениям, что исключает возможность построения решений без введения экзотической материи, нарушающей закон сохранения.
-
Впервые проведена реконструкция и построены реалистичные модели с отскоком для степенной и экспоненциальной формы масштабного фактора в рамках F(R) и F(Q) гравитации. Показано, что подобные модели могут описывать как раннюю, так и современную ускоряющуюся Вселенную, и, кроме того, с их помощью можно реконструировать экспоненциальную модель, описывающую одновременно и инфляцию, и позднее ускоренное расширение в рамках единого подхода. Показана устойчивость построенных моделей.
-
Впервые построена реалистичная космологическая модель, описывающая различные фазы эволюции Вселенной в рамках новой теории гравитации Борна-Инфельда, содержащая F{R) слагаемое и совпадающая на современном этапе с ACDM эпохой. Предложен алгоритм реконструкции космологических моделей в рамках данной теории. Показано, например, что для квадратичного по кривизнеF{R) слагаемого можно построить несколько реалистичных космологических моделей, в которых естественным образом реализуется инфляционная фаза.
-
Впервые построены космологические решения в отсутствии материи для гравитации типа Борна-Инфельда, отличные от решений де Ситтера. Показано, что для такого случая функция F(R) оказывается
строго фиксирована, и реконструкция моделей связана с выбором связи между основной и дополнительной метриками. Проведена реконструкция реалистичных космологии, описывающих как раннюю, так и позднюю Вселенную, а также переходы между ними. Показано, что даже в отсутствии материи будущая эволюция Вселенной может приводить к сингулярностям типа большого разрыва (тип I) или типов П,Ш, IV по классификации Ноджири-Одинцова-Тсуджикавы.
-
Впервые получены точные решения для многомерной теории гравитации Лавлока, до третьего порядка включительно. Показано, что в данной теории возможно существование решений, описывающих ускоренное расширение видимой части Вселенной и сжатие дополнительных измерений. В рамках теории Лавлока второго порядка проведен численный анализ возможных решений и показано существование осциллирующего решения, которое можно использовать для построения модели, объединяющей эпохи инфляции и позднего ускоренного расширения.
-
В рамках модели бранной Вселенной и теории Лавлока второго порядка показана возможная изотропизации анизотропных решений. Построен ряд точных решений, описывающих данный процесс.
-
Построено точное решение для модели Эйнштена-Вейля в случае однородного пространства первого типа по классификации Бианки. Показана интегрируемость для всех типов по Бианки гравитационных уравнений для модели Эйнштена-Вейля.
-
Построены новые решения в рамках космологической модели, содержащей спинорные поля специальной формы и неминимально взаимодействующие с F(R) гравитацией скалярные поля. Показано, что в данной модели наличие спинорных полей приводит к существенным ограничениям.
Достоверность результатов обеспечивается: корректностью построения математических моделей, внутренней согласованностью и согласием полученных в диссертации результатов с известными результатами, процитированными в диссертации.
Апробация результатов.
Все основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: Международная конференция "Петровские чтения - 2014", 17-22 февраля 2014 г., Казань, Россия; 7th Mathematical Physics Meeting: Summer School and Conference on Modern Mathematical Physics, 9-19 September 2012, Belgrade, Serbia; The 1st Eurasian International Conference Astrophysics, Gravity and Cosmology, 19-20 November, 2012, Astana, Kazakhstan; Intrnational Conference "Quantum Field Theory and Gravity", Tomsk, July 31 - August 4, 2012; 14 российская гравитационная конференция, 27 июня - 2 июля 2011 г., Ульяновск, Россия; International Conference "Quantum Field Theory and Gravity", Tomsk, July 5 9, 2010; Вторая российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии", GRACOS-2009, 24-29 августа 2009 г., Казань-Яльчик; 13-я Российская гравитационная конференция, 23-28 июня 2008 г., РУДЫ, Москва, Россия; International Conference "Quantum Field Theory and Gravity", Tomsk, July 2-7, 2007; International School/Seminar "Quantum Field Theory, Supersymmetry, Higher Spin Fields and Gravity", Tomsk, March 20-26, 2005; 5-ая Международная конференция по гравитации и астрофизике стран Азиатско-Тихоокеанского региона, 1-7 октября, 2001 г., Москва, Россия; XI летняя школа-семинар "Петровские чтения", 5 июля -16 июля 1999 г., Казань, Россия, а также на научных семинарах в институте космических исследований, г. Барселона, Испания и в научно-образовательном центре теоретической физики в Томском государственном педагогическом университете.
Исследования по теме диссертационной работы поддерживались грантами РФФИ, проекты № 99-01-00912, № 01-01-06111-мас, № 03-01-00105, № 06-01-00609; Советом по грантам Президента РФ для ведущих научных школ, проекты НШ-1252.2003.2, НШ-4489.2006.2, НШ- 2553.2008.2, НШ-3558.2010.2, НШ-88.2014.2; аналитической ведомственной целевой программой "'Поддержка научного потенциала высшей школы" МОИ РФ, проекты № 2.1.1/1003 и № 2.2.1.1/1141; федеральной целевой программой "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России", проекты № 14.740.12.0846, № 14.740.11.0902, № 14.В37.21.2035, № 14.В37.21.0774 13 и № 14.В37.21.1301.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 27 статьях: 14 статей опубликованы в международных журналах, входящих в системы цитирования: Web of Science, Scopus, Web of Knowledge и Astrophysics, 9 статей опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК, а 4 работы опубликованы в трудах российских и международных конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка литературы из 254 источника. Объем работы составляет 266 страниц, включая 57 рисунков.
Идеальная жидкость приводящая к нескольким ACDM космологиям
Здесь - давление идеальной жидкости, - ее плотность энергии, а - параметр Хаббла, определяемый через масштабный фактор ( = -, здесь и далее, точкой обозначается производная по космологическому времени).
Характер расширения Вселенной будет определяться так называемым параметром уравнения состояния. Уравнение состояния - это уравнение, устанавливающее связь давления и плотности энергии. Для нашего случая оно имеет следующий вид: = , где и есть параметр уравнения состояния. Если данный параметр больше, чем -1/3, то Вселенная будет расширяться с замедлением (вторая производная от масштабного фактора, определяющего размер Вселенной, будет меньше нуля). Если параметр уравнения состояния меньше, чем -1/3, то Вселенная будет расширяться с ускорением. Выделяют три режима ускоренного расширения:
Фантомный случай (фантомная темная энергия) определяется следующим значением параметра уравнения состояния — - 1 и является одним из наиболее интересных, но плохо понимаемым с теоретической точки зрения. Фантомное поле нарушает все четыре условия сохранения энергии, оно нестабильно с точки зрения квантовой теории, хотя по-прежнему может быть стабильным в классической космологии. Необходимо отметить, что экспериментальное значение параметра уравнения состояния определено с недостаточной точностью, чтобы можно было однозначно определить фазу, в которой наша Вселенная находится. На сегодняшний день значение этого параметра лежит в следующих пределах- = -1.04+-0.10. Таким образом, интерес к изучению фантомной космологии оправдан, несмотря на возникающие проблемы.
Очень неприятное свойство фантомной темной энергии - это появление «Большого разрыва» - сингулярности в будущем [55,56], когда масштабный фактор обращается в бесконечность за конечное время. Существует несколько менее проблемных сингулярностей будущего, например, сингулярность типа II [57], когда масштабный фактор имеет ограниченное значение в момент сингулярности и т.д. Однако, как показали недавние исследования, то, что параметр уравнения состояния меньше минус единицы, оказывается не достаточным для возникновения сингулярности. Прежде всего следует отметить тот факт, что переходы между различными космологиями возможны. Кроме того, можно легко построить модели, в которых и; асимптотически стремится к " -1", находясь при этом все время в фантомной фазе, а плотность энергии при этом будет увеличиваться со временем или остается постоянной, но сингулярности будущего не возникает. Такие модели были изучены в работах [55-61] (см. обзор [62], а для ознакомления с подробной классификацией сингулярностей - [58,59]).
Сингулярности возникают тогда, когда для конечного ts(= constant ), космологические параметры такие, как масштабный фактор a(t), эффективная (общая) плотность энергии ред- и давление Peff описывающие Вселенную, и высшие производные параметра Хаббла -расходятся. Сейчас вспомним несколько основных положений. Сингулярности будущего имеют свою классификацию [58]. В пределе/: — ts, можно выделить следующие классы сингулярностей:
Конечно, особенности обычно не приветствуются в физике. Поэтому достаточно активно рассматриваются в литературе и другие возможности для эволюции нашей Вселенной. В работах [63-65] было показано, что если космическая плотность энергии будет оставаться постоянной или монотонно возрастать в будущем, то все возможные типы эволюции нашей Вселенной можно разделить на четыре категории, в зависимости от асимптотики параметра Хаббла Н [63], а именно: Большой разрыв: H{t) — оо при t — ts оо; Маленький разрыв: H{t) — оо при t — оо; Космологическая постоянная: H{t) - постоянная; Псевдо-разрыв: H{t) — Н оо при t — оо; где Н является константой. Видно, что сингулярность - не единственно возможный итог эволюции нашей Вселенной в фантомной фазе. Обе модели - Маленький разрыв и псевдо-разрыв несингулярны и, следовательно, выходят за пределы классификации сингулярностей [58]. По аналогии с большим разрывом, малый разрыв приводит к распаду связанных структур, но силы темной энергии недостаточно, чтобы разорвать пространство (в отличие от большого разрыва). Конечно, в данном случае стоит говорить о распаде только достаточно крупных объектов. Так как на небольших, по космологическим понятиям, расстояниях требуется рассмотрение уравнений движения в рамках иных моделей, например, сферически-симметричные объекты. Но, тем не менее, мы будем продолжать говорить об эффекте распада.
Рассмотрим этот эффект более подробно. При расширении Вселенной релятивистское ускорение между двумя точками, находящимися на расстоянии /, определяется как I d/а. Если имеется частица массы т в каждой из этих точек, тогда мы наблюдаем инерционные силы между этими частицами, которые можно найти из следующего выражения [66,67]:
Fmer = mla/a = ml(H + H2y (1.4)
Если предположить, что две эти частицы связывает некая сила F, в нашем случае гравитационное взаимодействие, то если F{ner больше, чем F, то две эти частицы распадутся. Этот разрыв создается ускоренным расширением нашей Вселенной. Мы видим, что эта ситуация будет реализована, если Н или/и Н стремятся к бесконечности. Гравитационные силы, удерживающие структуры в связанном состоянии, посчитать достаточно просто, например, сила, удерживающая от распада Солнечную систему, имеет следующий порядок - F;mer 1023. Зная гравитационные силы, можно найти из выражения (1.4) время через которое связанная структура распадется.
С другой стороны, псевдо-разрыв приводит к распаду связанных структур, которые удерживаются вместе связующей силой на уровне или ниже определенного порогового значения, и, следовательно, вполне возможно, что только некоторые связанные структуры распадутся, в то время как другие не диссоциируют (в зависимости от параметры модели) [63]. На самом деле, маленький разрыв является промежуточным случаем между моделью с космологической постоянной и большим разрывом [64], в то время как псевдо-разрыв является промежуточным случаем между моделью с космологической постоянной и малым разрывом [63].
Стоит отметить, что и большой разрыв и малый разрыв, и псевдо-разрыв возникают из предположения, что плотность темной энергии р(а) монотонно возрастает [63-65], то есть темная энергия является фантомной (w —1).
Существует еще одна модель - квази-разрыв [76]. В данной модели вначале Вселенная находится в фантомной фазе и часть связанных структур может распасться, а затем Вселенная переходит в нефантомную фазу - параметр уравнения состояния становится больше, чем минус единица. В этом случае, уже распавшиеся структуры имеют возможности для рекомбинации.
Реконструкция в теории гравитации Гаусса-Бонне со ска лярным полем при наличии Лагранжева множителя
Для модели с космологической постоянной - параметр q0 равен в точности -1. Если параметры измерять, используя переведенное выше разложение, то можно получить следующие оценки для параметров д0 и j0 [80]: q0 = -0.81±0.14 и j0 = 2.16+-0 76 (значения параметров получены из наблюдений за сверхновыми типа 1а).
Возьмем в качестве примера два значений параметра 7: 7 = 12 и 7 = - 5. В первом случае для того, чтобы параметр j0 был в до пустимой области, необходимо, чтобы значения параметра (3 лежали в диапазоне 0.00433706 [5 0.00660997. Во втором случае мы получа ем следующий диапазон для /3 0.0228368 /3 -0.0164559. Таким образом, при таком выборе констант мы имеем следующие значения космологических параметров: j0 = 2.16+-0 76 і Я0 = - 1, 0-1 = 13.6 миллиардов лет , w = - 1.
Предположим, что в настоящее время наша модель приближается, или уже прошла точку, соответствующую эффективной космологической постоянной. Положим 7 = 12, тогда мы сможем получить модель с желаемым набором значений q0. Однако для Л2 0 мы не сможем подобрать значения параметра (3 и, следовательно, этот случай нереализуемый в нашей модели.
Предположим, что Л2 = 14 (t0 = 13.6). Тогда параметр (3 должен лежать в области: 0.00637252351 (3 0.006847247. И, следовательно, для такого набора постоянных мы получим параметры модели, лежащие в заданной области, а именно: :
Система Земля-Солнце распадется, когда Finer 1023, и нетрудно получить время распада - 563.58 миллиардов лет (здесь были выбраны следующие значения параметров - 1 = 0.1, 2 = 14, (3 = 0.00637252351, 7 = 12 и g = 0.0000184648).
Если 7 - 4, тогда поведение параметра уравнения состояния ил люстрируется рисунком 1.2, и мы видим, что возникает сингуляр ность будущего первого типа (так называемый большой разрыв), а — - 1. После сингулярности постоянная Хаббла будет стремиться к нулю, а параметр уравнения состояния будет линейно возрастать. Можно найти значение времени жизни Вселенной (для Лі = 0.1, Л2 = 14, = -0.023, а = -5, = 9.329681063413538 х 10-6) - 42.28 45.04. Таким же образом можно построить другие примеры будущей эволюции - с сингулярностями типа II или типа III.
Снова = 2/ соответствует космологической постоянной в (1.15), и, таким образом, зависящее от времени решение может описывать переход между космологическими константами, от большего к меньшему. В пределе — +00 или — +оо эффективные космологические постоянные исчезают: Hmn_ +0O Лп = 0. Предположим, что = 13.6 миллиардов лет, а параметр Хаббла принимает значение 13.6 миллиардов лет . Выберем следующие значения параметров:
Поведение и параметра Хаббла проиллюстрировано на рисунках 1.3 и 1.4, соответственно. Это модель псевдо-разрыва — с = 0, для — 00). Другими словами, вселенная асимптотически стремится к де Ситтеровскому типу. Тем не менее, остается возможность распада всех связанных объектов когда-нибудь в будущем.
Ситтеровские точки ищутся из условия Н = О, где t = 2mrto для целого п. Когда t j 2mrto, мы видим, что Н О, это означает, что Вселенная находится в фантомной фазе. Так как Н конечно для конечного , сингулярности типа большого разрыва не будет, но Н становится бесконечным, когда t стремиться к бесконечности - это модель типа малого разрыва.
Снова мы имеем де Ситтеровские точки при t = 2mrto, с целым п. Однако, когда t (2N — 1) 7Г о, вместо точки де Ситтера мы получаем: что соответствует большому разрыву. Таким образом, после точки де Ситтера t = 2(N — 1)7го или п = N — 1 появляется сингулярность большого разрыва и Вселенная никогда не достигает следующей точки де Ситтера t = 2Nnto.
Оценим теперь эти величины в точках де Ситтера/: = 2mrt0. Для модели (1.19) мы имеем, что Н = 2птгН0 и Н = Н = 0, и мы можем найти, что q0 = -1 и j;0 = 1. Для дальнейшего упрощения модели будем считать в (1.23) и (1.25), что Н = Н = 0, поэтому q0 = -1 и j0 = 1. Для ACDM модели эти параметры имеют следующее значение: q0 = -0.58 и j0 = 1. Когда Вселенная находится не в де Ситтеровских точках t т 27rt0, и Вселенная находится в фантомной фазе, когда Н 0 и, таким образом, из выражения (1.27) мы видим, что q0 -1. Конечно, мы пренебрегаем вкладом от материи. Если мы будем рассматривать модель с материальными полями, Вселенная не сможет находиться в фантомной фазе, и поэтому мы должны получить q0 -1.
Когда мы добавляем материю, параметр ф в уравнении состояния (1.7) не может быть идентифицирован с космологическим временем/:. Предположим, что / (ф) и /"(ф) берутся в де Ситтероской точке, то есть ф = фп = 2mrt0, это означает, что /(ф) должно быть постоянной 1(Ф) = 1(Фп) ИЛИ P=-p = Pn = -2f(qn) 2 . (1.29) Таким образом, жидкость можно рассматривать как (одну или несколько) космологическую постоянную. Для материи мы рассмотрим пыль или холодную темную материю и барионную материю. Если одна из точек де Ситтера соответствует современной Вселенной, эволюцию Вселенной можно приблизительно описать моделью с космологической постоянной, для которой qo = —0.58 и jo = 1. Пусть HpYesent текущее значение параметра Хаббла - - pYesent 70 км/(сек Мпк). Если мы рассмотрим Вселенную в де Ситтеровской точке, то:
Обратим внимание на большой произвол в выборе констант, так что можно выбрать такой набор параметров, чтобы строго соответствовать наблюдательным данным (это проиллюстрировано на рисунке 1.5) и, кроме того, можно обеспечить необходимые этапы эволюции Вселенной: ускоренное начальное расширение (—1/3 —1), замедление (—1/3 1/3) и затем, когда —1/3, Вселенная снова переходит в фазу ускоренного расширения. То есть происходит переход от ускорения к фазе замедления, и обратно.
Рис. 1.5: Поведение o (зеленая линия), —0 (красная линия) и {) (синяя линия) для 0 20 при следующих значениях параметров модели: \ = 0.1, = 0.447, = 2.15, = 1.0445, = 3. Линии постоянного времени определяют интервал возможных значений для текущего времени. Закрашенный прямоуголвник соответствует допустимвім значениям о и o, полученнвім из наблюдателвных даннвіх.
Для = 0.1, = 0.447, = 2.15, = 1.0445, = 3n = 13.6 миллиардов лет мы найдем следующие значения космологических параметров: o = —0.902, o = 2.639, = —0.935 и = 0.0752 миллиардов лет . Все эти значения соответствуют текущим значениям этих
параметров. Таким образом, с течением времени космологическая постоянная и ее производные, а с ними и плотность энергии и давление тоже будут стремиться к нулю (смотри рисунки 1.6 и 1.7). Легко увидеть, что — 0 для — оо и, следовательно, это есть модель типа псевдо-разрыва.
Устойчивость решений
Они удовлетворяются, если N In (5/2). Так как N должно быть больше единицы, то это условие легко выполняется. Более того, для выражения (3.29) левая часть неравенства (3.26) обращается в нуль. Пред-пол ожительно, если мы будем учитывать более высокий порядок по Y, левая часть неравенства (3.26) может быть отлична от нуля и, следовательно, мы можем также получить некоторые осмысленные условия на N, хотя это довольно трудно проверить аналитически. По аналогии с предыдущими случаями мы можем предположить, что для большого значения N условия устойчивости также будут выполняться. Из приведенных выше соображений следует, что модель суммы двух экспонент может быть совместна с условиями устойчивости. Экспоненциальная форма масштабного фактора для ненулевой пространственной кривизны в F(R) гравитации
В предыдущих разделах данной главы мы построили несколько моделей в рамках F(R) гравитации которые описывают устойчивые решения для циклической космологии в пространственно плоском пространстве Фридмана-Робертсноа-Уокера. В данном разделе мы будем работать с экспоненциальной формой масштабного фактора в пространстве в ненулевой пространственной кривизной.
Мы используем уже привычные для нас представления об эквивалентности модифицированной теории гравитации наличию темной энергии с заданными параметрами. Здесь штрих обозначает производную относительно скалярной кривизны R - d/dR. Мы будем рассматривать масштабный фактор, имеющий вид линейной комбинации е и е , то есть: a(t) = aext + re xt, (3.45) где Л, о" и г - постоянные вещественные величины (А, 7, т Є Ш), та ф О и А О. Заметим, что для т = 0 в выражении (3.45) - а ос е и, следовательно, метрика описывает решение деСиттера с параметром Хаббла равным Н = А, когда к = 0. Также видно, что если а = т = 1/ (2А) для к = +1 или о" = —т = 1/ (2А) для & = +1, мы также получим решение деСиттера [161]. Для нашей модели вычислим параметр Хаббла и скалярную кривизну:
В обоих случаях получаем Л = ±./—тр-. В дальнейшем будем полагать, что А 0 и 7 0. В итоге множество решений уравнений Фридмана (3.45) распадается на несколько принципиально разных типов в соответствии с соотношениями между параметрами масштабного фактора a(t) и множителями функции F(R): Заметим, что если к = 0, то система уравнений (3.52) приводит к соотношению Л = ±д /-тр- и о" или г должно обратиться в нуль, и мы придем к решению деСиттера - a(t) = aoext.
Отметим еще тот факт, что a{t), удовлетворяющий всем приведенным выше соотношениям, может быть переписан в немного другой форме, при этом оставаясь решением. Это делается с помощью замены - t — t - i, где ti некоторый временной параметр, и тогда мы можем заать:
Таким образом, в этом разделе для Вселенной Фридмана-Робертсона-Уокера с ненулевой пространственной кривизной и масштабным фактором в виде (3.45) мы провели реконструкцию для нескольких полиномиальных функций F(R). Было установлено, что решение де Ситтера может существовать в этой модели. Сделаем небольшой комментарий: как отмечалось во введении, в работе [135] рассматривалась похожая ситуация, и было показано, что если пространственная кривизна положительна к{ 0) и существует массивное скалярное поле, то масштабный фактор, а также кривизна Римана могут вести себя циклическим образом. Более того, когда пространственная кривизна имеет ненулевое значение, то в работе [136] было построено решение с масштабным фактором, ведущим себя циклическим образом. Все это показывает, что полученный нами результат не противоречит ранее найденным решениям. 3.7 Экспоненциальная форма масштабного фактора в случае к = О
Рассмотрим еще один метод реконструкции (со вспомогательными скалярными полями), который позволяет строить более сложные модели. Реконструкция F(R) гравитации Рассмотрим масштабный фактор вида (3.45), используя метод предложенный и развитый в работах [146-149]. Для этого введем соответствующие функции P{t) и Q(t), которые зависят от некоторого скалярного поля, в последствии мы будем отождествлять его с космологическим временем t (поэтому сразу его будем обозначать точно так же как и обычное время), тогда действие (3.1) может быть представлено в виде: здесь мы ввели параметр Хабблаі/ = а/а (3.46). Данное уравнения распадается на два различных случая, которые определяются условиями, накладываемыми на параметры маштабного фактора а и т. Рассмотрим их по отдельности
Гравитация типа Борна-Инфельда с f(R) в формализме Палатини
Когда коэффициент перед слагаемым 2 меняется, существование космического отскока является гарантированным в данной теории при 0 (смотри рисунок 4.12).
Ветвь с 0, наоборот, демонстрирует высокую чувствительность к изменениям в слагаемом . В самом деле, в правом нижнем части рисунка 4.13 видно, что поведение Вселенной заполненной излучением в теории Борна-Инфельда нестабильно и исчезает по мере удаления от обычной модели Борна-Инфельда. Следует отметить, однако, что другие подобные стационарные точки возникают для уравнений состояния 1/10 и сохраняются даже при отрицательных значениях , который контрастирует с теорией Борна-Инфельда.
Стоит отметить, что, как показано в нижней левой части рисунка 4.13, после локального максимума может достигать ненулевого минимума с последующим расхождением при большом конечном значении плотности энергии. Хотя эти решения и не позволяют избежать особенности типа большого взрыва, они обладают еще одним очень интересным свойством, а именно, существование долгого плато, заключенного между локальным минимумом и локальным максимумом, который появляется при более низких энергиях. Это плато для 2 естественным образом может привести к периоду приближенно близкому к космиче 156
Эволюция —2 как функции от—2 в оригинальной теории Борна-Инфельда (сплошная линия) и в двух модификациях- () = 2, с = 1/2 (оранжевая прерывистая линия) и = 1 (красная прерывистая линия), для различных уравнений состояния { = —1/5,0, и 1/3). Циклическая космология возникает для ветви теории с 0. ской инфляции де Ситтера вскоре после Большого Взрыва. На рисунке 4.14 проиллюстрированы свойства Вселенной, заполненной излучением с = 1/3 (зеленая прерывистая кривая).
В данной главе диссертации была рассмотрена перспективная и обоснованная модифицированная модель гравитации - гравитация Борна-Инфельда с произвольной функцией скалярной кривизны(). Такой выбор лагранжиана обеспечивает большую гибкость, нежели в исходной теории Борна-Инфельда, и приводит к очень интересным свойствам в космологических сценариях, а также позволяет исследовать динамику, как для высоких, так и для низких энергий.
Эволюция 2 как функции от 2 в оригинальной модели Борна-Инфельда (синяя) и для двух квадратичных модификаций () = 2, с = 1/2 (прерывистая оранжевая) и = 1 (прерывистая красная), для различных уравнений состояния ( = —1/5,1/20,1/10, и 1/3). Ноль 2 для Вселенной заполненной излучением ( = 1/3) неустойчив при изменении параметра (напомним, что = 0 соответствует оригинальной теории Борна-Инфельда). Когда параметр уравнения состояния — 0, мы видим, что 2 может стать снова нулем при высоких плотностях. В этой точке функция имеет нуль, что подразумевает минимум 2. Это сигнализирует о нестабильности, представляющий состояние минимального объема, который не является циклической вселенной.
Излучение данной теории было разделено на две части: в первой части изучался вакуумный случай, для которого было построено несколько интересных космологических моделей, а во второй - рассматривались полевые уравнения в общем виде, при наличии материи. Во втором случае был проведен общий анализ уравнений и показано, с помощью численных методов, применимость данной модели для космологии.
Предложенное нами действие - лагранжиан Борна-Инфельда плюс лагранжиан, содержащий произвольную функцию от , оказалось чрезвычайно интересно для космологии. Во-первых, в отличие от обычной теории Борна-Инфельда, в нашей модели существуют решения при отсутствии материи. Это особенно важно, так как построить аналитическое решение с материей любого вида, для подобных теорий чрезвычайно сложно. Уже отмечалось, что это связано со структурой лагранжиана Борна-Инфельда. Поэтому наличие возможности провести реконструкцию космологии для таких моделей вызывает несомненный интерес. Следует заметить, что реконструкция в нашей модели достигается не за счет выбора функции /(-R), как это было в метрической теории гравитации, а за счет выбора вида связи между основной и дополнительной метриками. Функция f(R) для вакуумных моделей строго фиксируется уравнениями движения.
В рамках предложенного подхода мы показали существование в данной модели сингулярностей различного вида, моделей, описывающих переходы между фантомными и нефантомными фазами, которые можно использовать при описании инфляции и позднего космического ускорения. Кроме того, была реконструирована CDM космология, которая достаточно хорошо укладывается в весь спектр известных наблюдательных данных [28,29].
Вторая часть данной главы была посвящена изучению полевых уравнений в общем виде при наличии материи.
В общем случае, ограничений на вид функции f(R) не возникает, и в качестве примера была рассмотрена модель, содержащая лагран-жин с квадратичным по кривизне членом. Интерес к такому выбору очевиден. Большое количество моделей, претендующих на реалистичное описание космологии, оперируют именно такими слагаемыми, например, инфляция Старобинского. Введение слагаемого такого вида позволяет изменять множитель пред R2 в разложении по степеням кривизны, который для гравитации Борна-Инфельда был строго фиксирован. Теперь мы можем менять его произвольным образом и даже обращать его в нуль. Следует отметить, что хотя результаты и получены для функции именно такого типа, предложенные нами методы будут работать и в произвольном случае.
При анализе данной модели было обнаружено, что решения с є 0, которые приводят к циклической Вселенной, являются устойчивыми модификациями относительно коэффициента перед Л , тогда как решения с є 0 испытывают существенные изменения по сравнению с оригинально теорией Борна-Инфельда. Для параметра уравнения состояния w 0 решение с є 0 приводит к космологии со стационарной точкой, характеризующейся условиями Я2 = 0 и dH2/dp = 0. Такие решения не относятся к циклическим, но являются состояниями с минимальным объемом и максимальной плотностью, которые эволюцио 159
Рис. 4.14: 2 как функция от 2 для Вселенной заполненной излучением ( = 1/3) для случая = 0 (сплошная синяя линия), = 1/10 (прерывистая коричневая линия), = 1/3 (сплошная линия), = 1/2 (прервівистая оранжевая линия), и = 1 (прерывистая красная линия). Нужно обратить внимание на плато следующее за локальным максимумом 2 0.6 в случае = 1/3, которое могло бы поддержать инфляцию сгенерированную излучением. нируют в стандартную космологию Фридмана-Робертсона-Уокера для поздних времен. Из рисунка 4.14 видно, что любая модификация слагаемого 2 для Вселенной, заполненной излучением, нарушает регулярность оригинального решения. Однако модификация этих решений может привести к периоду инфляционного (деСиттеровского) расширения сразу после Большого Взрыва, как это видно по наличию плато на кривой = 1/3 на рисунке 4.14. Этот результат показывает, что модифицированная теория Борна-Инфельда может описывать инфляцию без необходимости введения каких-либо дополнительных конструкций [27]. Объединения лагранжиана Борна-Инфельда со слагаемым, содержащим произвольную функцию () дает новые возможности для решения ряда вопросов гравитационной динамики при низких энергиях. В частности, можно искать вид (), с помощью которого можно будет модифицировать поведение модели при высоких энергиях, при этом оставляя низкоэнергетический предел в виде эффективной космологической постоянной, который хорошо описывает позднее космическое ускоренное расширение. Можно попытаться в рамках данной теории построить удовлетворительные модели строения звезд без необходимости пересмотра удобного для работы приближения идеальной жидкости [192,194,202].
Идея многомерного пространства-времени не нова. Впервые она появилась в работе Г. Нордстрома в 1914 году в форме скалярной теории гравитации как составной части максвелловской электродинамики в пятимерном пространстве-времени. Эта идея была развита в работах Т. Калуцы и О. Клейна, заложивших основы одноименного подхода Калуцы-Клейна, который много позднее (в восьмидесятых годах) интенсивно применялся для анализа многомерных супергравитационных теорий. Кроме того, теория струн, которая является одной из наиболее перспективных теорий высоких энергий, объединяющая квантовую гравитацию и теорию калибровочных полей, может быть сформулирована только в пространствах с определенными размерностями (D=10 или D=ll) [210]. Важным элементом этого подхода явилось качественное объяснение того факта, что дополнительные измерения при условиях их компактификации на некотором масштабе являются ненаблюдаемыми в области малых энергий, лежащих ниже этого масштаба. Объяснить ненаблюдаемость дополнительных измерений также можно, если рассмотреть так называемый бранный подход, когда наше пространство рассматривается как некоторое 4-мерное подмногообразие [211, 212] в пространстве более высокой размерности.
