Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 8
1. О скалярно-тензорных теориях 8
2. Кротовые норы 11
2.1. Первые работы 12
2.2. Энергетические условия 13
2.3. Кротовые норы - после книги Фиссера 1995 года 14
2.4. Устойчивость 16
2.5. Кротовые норы как машины времени 16
2.6. Связи между кротовыми норами и звёздами 17
2.7. Перспективы обнаружения 18
3. Общие свойства кротовых нор 18
3.1. Теоремы о горловинах 20
2 Устойчивость незаряженных кротовых нор в СТТ 24
1. Предварительные замечания 24
2. Общая скалярно-тензорная теория в представлении Йордана и в представлении Эйнштейна 26
3. Кротовые норы в теории / = 1 — ф2 28
3.1. Решения 28
3.2. Скалярное поле ф как координата 30
3.3. Кротовые поры с конформным скалярным полем 32
4. Кротовые норы с /(0) общего вида 36
5. Сферически-симметричные возмущения и калибровочная свобода 37
6. Исследование устойчивости 40
6.1. Постановка задачи 40
6.2. Обзор решения 43
6.3. Решение 44
3 Заряженные кротовые норы в СТТ. Существование и устойчивость 52
1. Введение 52
2. Решения типа заряженной кротовой норы 53
2.1. Статическое решения общего вида 53
2.2. Продолженные решения в йордановой картине 56
2.3. Решения типа кротовой норы 60
3. Устойчивость 62
3.1. Постановка задачи 62
3.2. Решение 65
Заключение 69
- Кротовые норы
- Общая скалярно-тензорная теория в представлении Йордана и в представлении Эйнштейна
- Исследование устойчивости
- Решения типа кротовой норы
Введение к работе
1. О скалярно-тензорных теориях
Первые теории со скалярным полем, неминимально связанным с гравитацией, имеют своим основанием теорию Калуцы, в которой была предпринята помытка создать объединённую теорию гравитации и электромагнетизма, геометризуя в многомерии, по аналогии с гравитацией, электромагнитное поле, а также связаны с теорией Клейна, который вводил массу покоя частицы посредством дифференцирования по пятой дополнительной координате. Сначала Калуца [1] предложил пятимерную модель пространственно-временного континуума, но с метрическим тензором, не зависящим от пятой, дополнительной, координаты. Это так называемое "цилиндрическое" условие получило свое обоснование, спустя несколько лет, в работах Клейна [2], который, исходя из квантовомеханических соображений, ввёл в теорию компак-тификацию дополнительного измерения на S\. Однако в этих теориях не было скалярного поля как элемента описания гравитации. Оно впервые появилось в работах Йордана [13], он предположил, что компонента метрического тензора G55 зависит от координат, в отличие от начальных теорий. При переходе к четырём измерениям эта компонента становится скаляром, неминимально взаимодействующим с лагран-
жианом. В варианте Иордана скалярное поле входит в лагранжеву плотность материи, эта теория стала первой в этом классе, но оказалась сравнительно непривлекательной для теоретиков, так как в ней нарушается слабый принцип эквивалентности. В последующие годы появились работы, обобщающие теорию на случай неабелевых полей [12], следует также отметить работы Владимирова, развивающие идеи Калуцы о геометризации физики. В них рассматриваются модели с числом измерений больше пяти с целью объединения фундаментальных физических взаимодействий, так что их можно понимать как проявления дополнительных размерностей искривлённого пространства-времени [8, 9].
Среди других работ предлагающих модификацию ОТО в сторону скалярно-тепзорных теорий можно выделить работу Бранса и Дикке ([3], 1961). В ней авторы обсуждают один из вариантов построения теории тяготения, удовлетворяющей принципу Маха. Предлагается ввести скалярное поле, с тем, чтобы это поле с одной стороны определялось распределением материи, а с другой стороны - частично управляло бы гравитационными эффектами, в том смысле, что, не взаимодействуя с материей, это поле влияет на метрику. Какое это все может иметь отношение к принципу Маха?
Принцип Маха может быть сформулирован как утверждение о том, что инерциальные свойства тел зависят от распределения всех масс Вселенной. В книге Вайнберга [4] приводится следующий пример: "Любому доступен в звёздную ночь простой эксперимент, с помощью которого можно уяснить утверждение, называемое принципом Маха. Встанем прежде всего неподвижно и опустим свободно руки. Отметим, что звёзды более или менее неподвижны, а наши руки направлены почти строго вниз. Теперь резко совершим полный оборот. Нам покажется, что звёзды вращаются вокруг зенита, а руки за счет центробежной силы разойдутся в стороны. Если бы не существовало какой-нибудь
взаимосвязи между звёздами и нами, определяющей способ введения инерциалыюй системы, то было бы крайне удивительным совпадение системы, в которой руки висели свободно, и системы отсчета в которой покоятся реперные звёзды." Другими словами, выбор инерциаль-ной системы отсчёта определяется распределением удаленных масс. В первые годы после появления общей теории относительности предполагалось, что эта теория точно соответствует принципу Маха. Однако последующие точные рассмотрения показали, что в некоторых важных деталях это не так. Считалось, например, что инерция тел должна увеличиваться с увеличением гравитационных масс близлежащих тел, однако, точный расчёт в рамках ОТО показывает независимость инерции от распределения массы вокруг тела.
Рассматривались возможности встраивания принципа Маха в физическую теорию путем отказа от постоянства тех или иных фундаментальных констант (гравитационной постоянной, постоянной Планка, скорости света, масс элементарных частиц).
Теория Бранса-Дикке стала одной из наиболее простых в техническом отношении попыток построения альтернативной теории тяготения со свойствами, не противоречащими принципу Маха. Следует отметить, что Дикке пришел к СТТ, пытаясь объяснить скорость вращения Солнца, которая, как считалось (тогда), не соответствует предсказаниям ОТО. Бране и Дикке в статье [3] обсуждают значение принципа Маха в физике, фокусируя внимание на трудностях включения принципа в эйнштейновскую теорию гравитации.
Коснёмся вопроса о физических обоснованиях существования скалярного поля в различных современных теориях гравитации и полей.
Единственными наблюдавшимися скалярными частицами являются скалярные мезоны, они на самом деле состоят из пар кварк-антикварк, так что подход к ним как скалярным частицам имеет ограниченную область применения. С экспериментальной точки зрения, наиболее веро-
ятным представляется обнаружение бозона Хиггса, ответственного за нарушение электрослабой симметрии, хотя он также может оказаться связанным состоянием более фундаментальных частиц. Следует также упомянуть важный для решения проблемы сильной СР-симметрии аксион.
Ещё одно приложение скалярно-тензорной теории, имеющее особенную важность в космологии и астрофизике — т.н. инфлатон. Он нужен для описания механизма инфляционной эры расширения Вселенной, участвуя также в различных сценариях образования частиц, возникающих в конце инфляции [14, 16, 15]. Наблюдательные ограничения на величину связи скалярного поля с гравитацией, полученные из данных спутниковых и астрономических измерений, дают ограничение < 10~3.
Наконец, все современные многомерные теории, являющиеся низкоэнергетическим пределом теории струн, обязательно содержат скалярные поля, такие как дилатон, поля модулей. Таким образом, в струнном подходе к объединению взаимодействий существование скалярных неизбежно, любая теория должна содержать скаляры, по крайней мере в допланковском диапазоне энергий.
2. Кротовые норы
В последние пятнадцать лет постоянно растущий интерес исследователей привлекают к себе кротовые норы, предсказываемые различными вариантами теории гравитации. Точкой старта послужила работа Майка Морриса и Кипа Торна, опубликованная в 1988 году [7], в ней указывалось, что кротовые норы являются подходящим учебным объектом для обучения гравитации, способным заинтересовать студентов, ч Основные результаты периода до 1995 года были изложены в книге "Lorentzian Wormholea: From Einstein to Hawking", написанной M.
Фиссером [11]. Далее мы кратко остановимся на работах, опубликованных после выхода этой книги, уделяя внимание таким вопросам как энергетические условия, конструирование кротовых нор, устойчивость, машины времени и перспективы обнаружения кротовых нор.
2.1. Первые работы
Хорошо известно, что понятие кротовых нор, как мостиков между различными областями пространства-времени, появилось ещё в 1916 году, в работе Фламма, а затем в статье Эйнштейна и Розепа о решении Шварцшильда [5]. Уилер [6] рассматривал кротовые норы, такие как нора Райсснера-Нордстрёма или керровская кротовая нора, как проявления квантовой пены, соединяющей отдельные области пространства, (впоследствии трансформировались в евклидовы кротовые поры в работах Хокинга [17] и других авторов), но все эти кротовые норы не являются проходимыми, т.е. нельзя пройти по ним и вернуться обратно, и, кроме того, могут быть сингулярными [18]. Торн и Моррис предположив , что энергетические условия не носят характер фундаментального запрета [19, 20], ввели понятие кротовых нор как объектов, которые возможно существуют в природе. Первые кротовые норы в работе [7] были сконструированы, что называется, руками, т.е. сначала задавали геометрию, обычно сферически симметричную, а затем подбирали тензор энергии-импульса. Последующие работы [88, 25], исходя из оценок на основе квантовых неравенств, позволили оценить размеры области с экзотической материей. Наконец, когда было выяснено, что неминимально связанное с гравитацией скалярное поле нарушает слабое энергетическое условие, были построены кротовые норы в широком классе скалярно-тензорных теорий [30]. Следует отметить, что хотя и вне контекста вышеупомянутых исследований, классические кротовые норы были найдены ещё в 1973 Бронниковым в [31], под названием "скважины" (drain holes) они появились в работе
X. Эллиса 1973 года [29] , а также в работах Такеши Кодамы (1978 г., [32]) и Ж. Клемаиа (1981г.,[33, 34]).
2.2. Энергетические условия
Слабое энергетическое условие требует, чтобы плотность энергии в любой точке пространства-времени для наблюдателя, движущегося по времениподобной геодезической, была положительной (в системе отсчёта, связанной с материей, это значит, что р > 0, р-\-р > 0), а если скорость наблюдателя равна световой, то существует предел, который даёт нулевое энергетическое условие (р + р > 0). Слабое и нулевое условия — слабейшие из всех энергетических условий, из их нарушения следует, что все остальные условия также нарушены. В книге Хокинга и Эллиса [21] слабое энергетическое условие рассматривается как физически разумное, ему должны удовлетворять все классические системы. Впоследствии было доказано, что квантовые системы могут не подчиняться этому условию, можно упомянуть эффект Казимира и испарение чёрных дыр [22]. Было показано, что для квантовых систем на фоне классического гравитационного поля слабое или нулевое энергетические условия могут быть кратковременно нарушены в небольших пространственных объёмах, и нарушение энергетического условия в некоторый момент времени должно быть скомпенсировано появлением положительной энергии через короткий промежуток времени. Эта идея нашла своё выражение в введённом в [23, 24, 25, 26] усреднённом нулевом энергетическом условии и квантовых неравенствах, которые ограничивают как величину отрицательных значений в нарушенных энергетических условиях, так и время, которое может существовать в таком состоянии система. Таким образом, можно отметить тенденцию к пересмотру статуса энергетических условий как фундаментальных законов физики. Было показано, например, что даже простые классические системы, такие как скалярное поле, неминимально взаи-
модействующее с гравитацией, нарушают все энергетические условия [27, 28].
2.3. Кротовые норы - после книги Фиссера 1995 года
Дальнейшие работы о кротовых норах в рамках ОТО
Фиссер продолжал свои исследования в нескольких направлениях. Среди его работ последнего времени следует упомянуть [36], где были сконструированы кротовые норы с полиэдральной симметрией, обобщение конфигурации Романа с двумя кротовыми норами [7] на "кольцо Романа" из нескольких кротовых нор [37], им начаты исследование динамики кротовых нор общего вида (1997, [38] ), найдены классические самосогласованные решения со скалярными кротовыми норами общего вида (1999, [27]), а также самодуальные решения [39]. Следует также указать интересные работы других авторов. Российские физики В. П.Фролов и И.Д- Новиков исследовали модель, в основе которой лежит объединение физики кротовых нор и чёрных дыр [40]. Кротовые норы с тороидальной симметрией были найдены Гонзалесом-Диасом [41], решения вида кротовых нор со струнами были найдены Клема-ном [42], а также Аросом и Сам орано [43], кротовые норы натянутые на струны получены Шейном, Айхшельбургом и Израэлем, [44], вращающиеся кротовые норы обнаружены Тео [45], самосогласованные решения в теории Эйнштейна — Янга-Миллса в связи с идеями о первичных кротовых норах описаны в [46]. В работе Саа [47] доказаны теоремы о несуществовании кротовых нор в отдельных теориях гравитации, теоремы о существовании горловин в некоторых скалярно-тензорных теориях гравитации доказаны Бронниковым [103], кротовые норы с тензором энергии импульса поля безмассовых нейтрино и с тензорами других полей найдены Красниковым [48], кротовые норы из потоков пыли обсуждались Хэйвордом [49] и Гергеи [51], самосогласованные
заряженные решения были получены в [122].
Кротовые норы с произвольно малым нарушением энергетических условий:
Усилия многих исследователей направлены на то, чтобы свести к минимуму нарушение нулевого энергетического условия. Для статических кротовых нор это условие с необходимостью нарушается [7,11]. Уже Моррис и Торн в статье [7] пытались уменьшить область нарушения, Фиссер [36] нашёл такие решения, что наблюдатель может пройти через горловину, не взаимодействуя с экзотической материей, которая была отодвинута на периферию, а Кухфиттиг [52] обнаружил, что область нарушения условия можно сделать произвольно малой. Для динамических кротовых нор нарушения слабого энергетического условия можно избежать, но усреднённое нулевое энергетическое условие обязательно нарушается [38, 53, 54], хотя в [55] показано, что количество нарушающей последнее условие материи можно сделать как угодно малым, в согласии с результатом [52] для статических кротовых нор.
Кротовые норы с космологической постоянной Л:
Ким [56] нашёл решения с тонкими оболочками, Роман [57] обнаружил решения с кротовыми норами, расширяющимися со временем, а Дебенедиктис и Дас [59] обнаружили целый класс решений с космологической постоянной.
Кротовые норы в других теориях гравитации:
В последнее время появились решения с кротовыми норами в альтернативных теориях гравитации. В многомерных теория решения были получены Ходосом и Детвейлером [60], Клеманом [61], ДеБене-диктисом и Дасом [62], в теории Бранса-Дикке Нанди и сотрудниками [63], в теории Калуцы-Клейна Шеигом, Гуо, Тангом и Дингом [64], в
теории Эйнштена-Гаусса-Бонне — Каром [65], Анкордоки и Берглиаф-фа нашли решения с кротовыми норами в бранном подходе [66], далее исследованные Барсело и Фиссером в [67].
2.4. Устойчивость
Исследование устойчивости физических систем по отношению к различным возмущениям является важной задачей, которая, как правило, ставится и решается для любого вновь полученного решения в ОТО и других теориях гравитации. Кротовые норы не исключение. Обычно можно использовать формализм развитый для исследования устойчивости звёзд и чёрных дыр. Фиссер [68], Пуассон и Фиссер [69], Ицхак и Лэйк [70] решили задачу об устойчивости кротовых нор с тонкими оболочками в пространстве параметров (T^/Ejx (радиус горловины/масса), где Ей? суть поверхностная плотность энергии и тангенциальное давление, и нашли, что среди решений есть устойчивые. "Скважина" Эллиса [29] , как показал Армендарис-Пикон [71], устойчива по отношению к линейным возмущениям, а Шинкай и Хэйворд [72] обнаружили, что этот же класс кротовых нор неустойчив в нелинейном режиме. В этой диссертационной работе доказано, что решения Барсело и Фиссера [30] с неминимальным скалярным полем неустойчивы относительно линейных сферически-симметричных возмущений [121, 122], исследован также вопрос об устойчивости кротовых нор с зарядом, показано, что в области малых зарядов такие кротовые норы неустойчивы,
2.5. Кротовые норы как машины времени
Кротовые норы нашли необычное применение в попытках построить машину времени, или, точнее, обосновать возможность ее построения или обнаружения. Общая идея состоит в том, чтобы расположить вы-
ходы кротовой норы в разные моменты времени. Важность кротовых нор в изучении машины времени обусловлена тем, что машина времени получающаяся из них не вечна, т.е. времениподобпые замкнутые кривые появляются в будущем некоторой пространственноподобной гиперповерхности и находятся в ограниченной области пространства-времени. Так как, вообще говоря, наличие возможности путешествий назад во времени нежелательно, некоторые исследователи попытались доказать, что классические или полуклассические эффекты разрушат машину времени. Показано, что классически их легко стабилизировать [10, 11]. Одни пол у классические вычисления показывают, что машины времени неустойчивы [74, 75], что наводит на мысль о существовании некоего фундаментального принципа "сохранения причинности" [75], другие — что устойчивы [76, 37]. Более простые системы, со свойствами, напоминающими кротовую нору, такие как пространство Мизнера, которое есть двумерная разновидность кротовой норы, исследовались довольно тщательно, но определённый ответ об их устойчивости до сих пор не получен. Например, в случае пространства Мизнера споры продолжаются, то давая аргументы в пользу сохранения причинности [77], то против [78]. Некоторые авторы считают [80, 81], что для разрешения вопроса о "сохранении причинности" нужна полная теория квантовой гравитации. Следует также упомянуть работы Красникова [82], где содержится обсуждение парадокса "дедушки", а также доказательство Красниковым того факта, что в эйнштейновой теории гравитации нельзя построить машину времени (что не запрещает её самопроизвольное возникновение).
2.6. Связи между кротовыми норами и звёздами
В некоторых работах рассматриваются возможности единого подхода к кротовым норам, звёздам и чёрным дырам. Например, ДеБе-недиктис и Дас [59] отмечают, что тензор энергии импульса материи
поддерживающей систему, состоящую из коричневого карлика и кротовой норы, соединяющей Вселенную Фридмана-Робертсона-Уокера с пространством-временем Минковского или две Вселенных Фридмана-Робертсона-Уокера [38], можно интерпретировать как кротовую нору, которая соединяет коллапсирующую или взрывающуюся звезду с пространством Минковского, или как нору, соединяющую две динамические звезды, соответственно. Появились также работы [83], где кротовые норы и чёрные дыры рассматриваются единым образом, чёрные дыры характеризуются нулевой ловушечной поверхностью, а кротовые норы времениподобной анти-ловушечной поверхностью, т.е. поверхностью, на которой нормальные к ней световые лучи начинают расходиться по обе стороны от неё. В работах Хэйворда, исходя из этого подхода, обсуждаются процессы взаимопревращения кротовых нор и чёрных дыр. [54, 83].
2.7. Перспективы обнаружения
Как и любой объект, предсказываемый теорией гравитации, кротовые норы можно попытаться обнаружить астрономическими наблюдениями. Если они действительно есть во Вселенной, то должны быть наблюдаемы по эффекту микролинзирования как на некосмологических [84], так и на космологических расстояниях, в этом случае объектами микролинзирования могли бы быть всплески гамма-излучения [85, 86]. Особенно большие кротовые норы могут давать эффекты макролин-зирования [87].
3. Общие свойства кротовых нор
Проходимые кротовые норы часто рассматриваются как объекты с необходимостью имеющие нетривиальную топологическую структуру [7, 10], характерную, например, для многосвязных пространств. На
самом же деле, в работе Морриса и Торна рассматриваются кротовые норы в рамках ещё более жёстких ограничений, для простоты предполагается, что пространство сферически-симметрично, и существуют две асимптотически плоские области пространства времени. Чтобы работать с кротовыми норами, соединяющими мостиками области внутри одной и той же плоской асимптотики , анализ Морриса-Торна должен рассматриваться как приближение к ситуации, когда концы горловины изогнуты и имеют выход в одну и ту же плоскую область. Существование одной и более асимптотически плоских областей является существенной составляющей в подходе Морриса-Торна [7].
Отметим, что исследуемые в данной работе решения относятся именно к классу кротовых нор Морриса-Торна, хотя анализ возмущений не опирается на указанные свойства этих кротовых нор (за исключением сферической симметрии, которая, как правило, используется в работах, где требуется получить те или иные аналитические результаты.)
Однако, существует множество других классов геометрий, которые можно классифицировать как кротовые норы, которые или не обладают пространственно плоской асимптотикой [88], или имеют тривиальную топологию [11], или им свойственно и то и другое.
Простой пример кротовой коры без плоских асимптотик — два замкнутых пространства Фридмана-Робертсона-Уокера, соединённые горловиной (рис. 1.3), такое многообразие можно назвать "гантельной" кротовой норой. Пример кротовой норы с тривиальной топологией — одно замкнутое пространство Фридмана-Робертсона-Уокера, соединённое горловиной с обычным пространством Минков-ского (рис.1.2). Достаточно полную класификацию видов кротовых нор содержит книга [11].
Таким образом, если мы ограничиваемся определением кротовых нор, основанном на анализе Мориса и Торна, из нашего рассмотре-
Рис. 1.1: Горловина кротовой норы
ния выпадают целые классы кротовых нор, которые не соответствуют такому упрощённому подходу.
В более общем подходе, предложенном Хохбергом и Фиссером [38, 94], не предполагается сферическая симметрия и существование плоских асимптотик. Главным свойством любой кротовой норы в таком подходе становится наличие некой поверхности, площадь которой экстремальна.
Изложим здесь вкратце основные результаты этих и других авторов
3.1. Теоремы о горловинах
Определим горловину как двумерную поверхность минимальной площади среди площадей всех поверхностей, которыми можно заполнить некоторую пространственноподобную гиперповерхность. Далее можно предложить несколько более или менее ограничительных способа математической формализации этого определения. В работе Морриса и Торна они называются условиями раструба ("flare-out conditions"). Исходя из этих определений и не предполагая никакой симметрии у
Рис. 1.2: Кротовая нора с тривиальной топологией: образована из единственного замкнутого пространства Фридмана-Робертсона-Уокера и пространства Минков-ского, соединённых горловиной.
горловины, Фиссер и Хохберг нашли ограничения на тензор энергии-импульса в пространствах с горловинами (обобщающие ограничения, полученные Моррисом и Торном в случае сферической симметрии). Плотность энергии р на горловине удовлетворяет неравенству:
P
lD7rG
где ^R — внутренняя кривизна 2-поверхности. Это — обобщение результата [7]:
"*Шз% (L2)
полученного для класса кротовых нор, рассмотренных в той работе.
Отметим, что если горловина не имеет топологии тора или сферы, тогда на горловине должны иметься места, где ^2'R < 0, а значит,
Рис. 1.3: Кротовая нора "гантель": Сформирована двумя замкнутыми пространствами Фридмана-Робертсона-Уокера, соединёнными горловиной.
р < 0. Таким образом, горловины со сложной топологией обязательно нарушают условие энергодоминантности и слабое энергетическое условие [90].
На горловинах с топологией сферы может выполняться условие неотрицательности энергетической плотности, но нулевое энергетическое условие нарушается независимо от топологии:
Т^кРкГ < 0, кГкц = 0, (1.3)
причём случаем общего положения является именно строгое неравенство. Более того, в работе [94] показано, что это условие должно обязательно нарушаться на светоподобных кривых, ортогональных горловине:
р + р<0, (1.4)
Рис. 1.4: Несимметричная горловина.
где р — нормальное давление на горловине.
Итак, мы видим, что существуют важные ограничения на тензор энергии-импульса кротовой норы, которые следуют из свойства минимальности поверхности горловины. В зависимости от выбора конкретной формы условия раструба, эти ограничения приводят к различным теоремам о нарушении энергетических условий. Лишь в некоторых (т.н. вырожденнных [94]) частных случаях эти теоремы допускают выполнение энергетических условий, однако лишь в пороговых ситуациях, на грани нарушения слабого энергетического условия.
Можно сделать вывод о том, что в свете изложенных фактов старая идея Уилера об удалении полей материи из теории и замене их топологическими эффектами в такой форме (кротовые норы) теряет свою привлекательность, так как кротовые норы сами по себе требуют присутствия экзотической материи для своего существования.
Кротовые норы
В последние пятнадцать лет постоянно растущий интерес исследователей привлекают к себе кротовые норы, предсказываемые различными вариантами теории гравитации. Точкой старта послужила работа Майка Морриса и Кипа Торна, опубликованная в 1988 году [7], в ней указывалось, что кротовые норы являются подходящим учебным объектом для обучения гравитации, способным заинтересовать студентов, ч Основные результаты периода до 1995 года были изложены в книге "Lorentzian Wormholea: From Einstein to Hawking", написанной M. Фиссером [11]. Далее мы кратко остановимся на работах, опубликованных после выхода этой книги, уделяя внимание таким вопросам как энергетические условия, конструирование кротовых нор, устойчивость, машины времени и перспективы обнаружения кротовых нор. Хорошо известно, что понятие кротовых нор, как мостиков между различными областями пространства-времени, появилось ещё в 1916 году, в работе Фламма, а затем в статье Эйнштейна и Розепа о решении Шварцшильда [5]. Уилер [6] рассматривал кротовые норы, такие как нора Райсснера-Нордстрёма или керровская кротовая нора, как проявления квантовой пены, соединяющей отдельные области пространства, (впоследствии трансформировались в евклидовы кротовые поры в работах Хокинга [17] и других авторов), но все эти кротовые норы не являются проходимыми, т.е. нельзя пройти по ним и вернуться обратно, и, кроме того, могут быть сингулярными [18]. Торн и Моррис предположив , что энергетические условия не носят характер фундаментального запрета [19, 20], ввели понятие кротовых нор как объектов, которые возможно существуют в природе. Первые кротовые норы в работе [7] были сконструированы, что называется, руками, т.е. сначала задавали геометрию, обычно сферически симметричную, а затем подбирали тензор энергии-импульса.
Последующие работы [88, 25], исходя из оценок на основе квантовых неравенств, позволили оценить размеры области с экзотической материей. Наконец, когда было выяснено, что неминимально связанное с гравитацией скалярное поле нарушает слабое энергетическое условие, были построены кротовые норы в широком классе скалярно-тензорных теорий [30]. Следует отметить, что хотя и вне контекста вышеупомянутых исследований, классические кротовые норы были найдены ещё в 1973 Бронниковым в [31], под названием "скважины" (drain holes) они появились в работе Слабое энергетическое условие требует, чтобы плотность энергии в любой точке пространства-времени для наблюдателя, движущегося по времениподобной геодезической, была положительной (в системе отсчёта, связанной с материей, это значит, что р 0, р-\-р 0), а если скорость наблюдателя равна световой, то существует предел, который даёт нулевое энергетическое условие (р + р 0). Слабое и нулевое условия — слабейшие из всех энергетических условий, из их нарушения следует, что все остальные условия также нарушены. В книге Хокинга и Эллиса [21] слабое энергетическое условие рассматривается как физически разумное, ему должны удовлетворять все классические системы. Впоследствии было доказано, что квантовые системы могут не подчиняться этому условию, можно упомянуть эффект Казимира и испарение чёрных дыр [22]. Было показано, что для квантовых систем на фоне классического гравитационного поля слабое или нулевое энергетические условия могут быть кратковременно нарушены в небольших пространственных объёмах, и нарушение энергетического условия в некоторый момент времени должно быть скомпенсировано появлением положительной энергии через короткий промежуток времени. Эта идея нашла своё выражение в введённом в [23, 24, 25, 26] усреднённом нулевом энергетическом условии и квантовых неравенствах, которые ограничивают как величину отрицательных значений в нарушенных энергетических условиях, так и время, которое может существовать в таком состоянии система. Таким образом, можно отметить тенденцию к пересмотру статуса энергетических условий как фундаментальных законов физики. Было показано, например, что даже простые классические системы, такие как скалярное поле, неминимально взаи- модействующее с гравитацией, нарушают все энергетические условия [27, 28]. Дальнейшие работы о кротовых норах в рамках ОТО Фиссер продолжал свои исследования в нескольких направлениях. Среди его работ последнего времени следует упомянуть [36], где были сконструированы кротовые норы с полиэдральной симметрией, обобщение конфигурации Романа с двумя кротовыми норами [7] на "кольцо Романа" из нескольких кротовых нор [37], им начаты исследование динамики кротовых нор общего вида (1997, [38] ), найдены классические самосогласованные решения со скалярными кротовыми норами общего вида (1999, [27]), а также самодуальные решения [39].
Следует также указать интересные работы других авторов. Российские физики В. П.Фролов и И.Д- Новиков исследовали модель, в основе которой лежит объединение физики кротовых нор и чёрных дыр [40]. Кротовые норы с тороидальной симметрией были найдены Гонзалесом-Диасом [41], решения вида кротовых нор со струнами были найдены Клема-ном [42], а также Аросом и Сам орано [43], кротовые норы натянутые на струны получены Шейном, Айхшельбургом и Израэлем, [44], вращающиеся кротовые норы обнаружены Тео [45], самосогласованные решения в теории Эйнштейна — Янга-Миллса в связи с идеями о первичных кротовых норах описаны в [46]. В работе Саа [47] доказаны теоремы о несуществовании кротовых нор в отдельных теориях гравитации, теоремы о существовании горловин в некоторых скалярно-тензорных теориях гравитации доказаны Бронниковым [103], кротовые норы с тензором энергии импульса поля безмассовых нейтрино и с тензорами других полей найдены Красниковым [48], кротовые норы из потоков пыли обсуждались Хэйвордом [49] и Гергеи [51], самосогласованные заряженные решения были получены в [122]. Кротовые норы с произвольно малым нарушением энергетических условий: Усилия многих исследователей направлены на то, чтобы свести к минимуму нарушение нулевого энергетического условия. Для статических кротовых нор это условие с необходимостью нарушается [7,11]. Уже Моррис и Торн в статье [7] пытались уменьшить область нарушения, Фиссер [36] нашёл такие решения, что наблюдатель может пройти через горловину, не взаимодействуя с экзотической материей, которая была отодвинута на периферию, а Кухфиттиг [52] обнаружил, что область нарушения условия можно сделать произвольно малой. Для динамических кротовых нор нарушения слабого энергетического условия можно избежать, но усреднённое нулевое энергетическое условие обязательно нарушается [38, 53, 54], хотя в [55] показано, что количество нарушающей последнее условие материи можно сделать как угодно малым, в согласии с результатом [52] для статических кротовых нор. Кротовые норы с космологической постоянной Л: Ким [56] нашёл решения с тонкими оболочками, Роман [57] обнаружил решения с кротовыми норами, расширяющимися со временем, а Дебенедиктис и Дас [59] обнаружили целый класс решений с космологической постоянной.
Общая скалярно-тензорная теория в представлении Йордана и в представлении Эйнштейна
В этой главе рассмотрены скалярно-вакуумные решения с безмассовым скалярным полем, так что U = Lm = 0 и действие имеет вид Действие (2.3) можно упростить с помощью хорошо известного конформного преобразования [96]: которое сопровождается одновременным преобразованием скалярного поля 0 н- ф: Действие в эйнштейновой картине имеет вид (с точностью до граничных членов, которые не влияют на вид уравнений). Здесь R\g\ — скаляр Риччи, полученный из д . Пространство-время Ш[д] с метрикой gfll/, которое принято называть йордановой конформной картиной, обычно рассматривается как физическое в СТТ; тогда эйнштейнова конформная картина М[ ?] с полем ф имеет вспомогательное назначение (можно упомянуть, однако, дискуссии о физическом смысле различных конформных картин в работах [104, 105], см. также ссылки на другие работы в этих статьях). Действие (2.6) совпадает с обычным действием ОТО, если / 0, а кинетическая энергия скалярного поля имеет обычный знак, когда 1(ф) 0. Скалярные поля в аномальной СТТ, с отрицательной функцией 1{ф), дают в (2.6) кинетический член с "неправильным" знаком. Такие поля принято называть фантомными. Вместе с потенциалами различного вида они иногда используются в современных космологических моделях, чтобы описать тёмную энергию. Точные сферически-симметричные скалярно-вакуумные решения в теории (2.3) хорошо изучены (по крайней мере, в случае / = 1 — ф2). Кротовые норы — характерное решение в теориях с фантомным скалярным полем [31]. Тензор энергии-импульса таких теорий явно нарушает нулевое энергетическое условие Тцик к1 0, кцки = 0, что является необходимым условием существования кротовых нор [94], поэтому наличие кротовых нор в таких теориях не вызывает удивления. Можно отметить, что согласно этим решениям, и пространство-время Mj , и пространство время ME имеют свойства кротовой норы, т.е. являются регулярными статическими проходимыми "тоннелями" между двумя плоскими асимптотиками.
Устойчивость таких решений была доказана в [106, 107, 108] непосредственным исследованием уравнений на возмущения, хотя результат кажется довольно неожиданным для системы полей с плотностью энергии, не ограниченной снизу. В этой главе мы исследуем решения типа кротовой норы, которые появляются в СТТ с 1(ф) 0. В этом случае пространственно-временное многообразие ME отображается, согласно (2.4), лишь на часть Mj , что обусловлено явлением конформного продолжения [109, 103]. Конформное продолжение обеспечивает глобальную регулярность решения типа кротовой норы в пространстве-времени Йордана, которое отображается на два непересекающихся сингулярных эйнштейновых многообразия ME И ME . Перед тем как перейти к анализу устойчивости кротовых нор самого общего типа, рассмотрим несколько более узкий класс теорий с / = 1 — ф2. 3. Кротовые норы в теории / = 1 — ф2 3.1. Решения Общее сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна со скалярным полем (2.6), впервые было получено Фишером [95] и неоднократно было переоткрыто впоследствии. Запишем его в форме, предложенной Бронниковым в [31], ограничившись "нормальным" случаем 1 0: где индекс "E" обозначает эйнштейнову картину; dl2 = d92-\- sin2 6d p2 —линейный элемент на единичной сфере; С (скалярный заряд), т О (масса в геометрических единицах), к 0 и —- константы интегрирования, из которых первые три связаны соотношением Без потери общности можно положить С 0 и о = О- В нашем рассмотрении мы будем использовать в основном гармонические координаты1 и Є R+ в М[д], удовлетворяющие координатному условию a = 2/3 + 7- Величина и = 0 соответствует плоской 1Другая координата, г, используется, в частности, в работах [30, 27], она соответствует координатной калибровке а + у = 0, и связана с г соотношением г = 2fc/(l — е-2 ), метрика в г-обозначениях имеет вид а константы связаны равенствами ц = к, а = т/к. пространственной бесконечности, а и —У со — голой сингулярности, находящейся в центре системы (т.е., двв = е2 — 0), с бесконечным значением скаляра ф. Все решения в йордановой картине при 1(ф) 0 можно получить из (2.7), (2.8), используя (2.4), (2.5). Перейдем к решениям типа кротовых нор, индуцированных неминимально связанным скалярным полем (3.2), 0. Преобразование (2.5) имеет вид где, не теряя общности, мы выбрали знак м+" перед квадратным корнем. Мы полагаем, что пространственная бесконечность в М соответствует \ф\ 1/\/, где /(ф) 0, так что гравитационное взаимодействие имеет обычный знак.
Кротовые норы в М[д] получены путем гладкого продолжения, полученного указанным выше способом, решения через сферу в М[д] (и — оо, ф = 1/л/, решение сингулярно в М [ ?]). Таким образом, конформный фактор 1// одновременно компенсирует нулевое значение в центре как у ди так и у д . Это имеет место, когда, согласно (2.9), последнее соотношение выделяет подкласс кротовых нор в общем сферически-симметричном решении. Мы, естественно, ограничим наше рассмотрение этим подсемейством. Уравнение (3.17) показывает, что ф —ї оо в то время как ф — 1/у/в,— 0. Итак, М[д] продолжено в области, где ф 1/\/- Вполне аналогичное решение в эйнштейновой картине существует, однако, и там, где ф 1/\/, так как уравнения Эйнштейна (2.6) не меняются, если / меняет знак. Метрика дц1/ этого второго многообразия в эйнштейновой картине2 М также должна быть регуляризована множителем 1// на Strans» следовательно константы интегрирования, содержащиеся в этой метрике, должны удовлетворять условию (3.18). Более того, можно проверить, что для того, чтобы метрика g v в йор-дановой картине была гладко продолжена за StranS) все константы к, т, С и фо должны быть одни и те же в М и М . Последнее утверждение можно проверить только с помощью координат, которые полностью охватывают многообразие М[д] с обоих сторон от Strans) т-е- координат, отличных от и. Легко понять, что пространство-время в делом можно описать в терминах координаты
Исследование устойчивости
Мы рассматривали нашу систему линейных дифференциальных уравнений для возмущений, проводя аналитические расчёты в средах Maple и Mathematica, что позволило сравнивать результаты и предотвратить возможные ошибки. Расчёт ведётся в эйнштейновой конформной картине, в которой уравнения выглядят гораздо проще, используется калибровка которая, очевидно, физическая (см. предыдущий параграф) и, к тому же, преобразуется в 5ф = 0 в йордановой картине. Кроме того, из уравнения (2.28), мы получаем следующее соотношение между метрическими возмущениями: Две независимые компоненты уравнений Эйнштейна на возмущения в калибровке (2.33) можно записать в виде: Здесь штрихи обозначают производные по и, гармонической радиальной координате в эйнштейновой картине, а, /3 и 7 описывают фоновую конфигурацию и удовлетворяют статическим полевым уравнениям. Мы разделяем переменные с помощью подстановки где S есть возмущение любой величины в нашей задаче. После подстановки в уравнения (2.35), 7 можно исключить с помощью первого уравнения, и тогда второе принимает вид (множитель efit опущен) Сформулируем граничные условия пашей задачи. На пространственной бесконечности выбор очевиден: J/3 —) 0. На сфере перехода значения 50 должны быть конечными, также как и её первые производные по и. Эти условия должны выполняться, чтобы метрика в йордановой картине была гладкой на сфере перехода. Последнее утверждение несложно проверить, пользуясь преобразованием (2.4), (2.5), записанным в терминах инвариантной длины йордановой карти-ны. Как обычно [97], мы выполняем преобразование от уравнения (2.37) к шрёдингероподобной форме уравнения на возмущение: где индекс x обозначает djdx и E = —m2fi2. Обозначения выбраны так, чтобы потенциал V(x) и энергия Е были безразмерными. Асимптотики V(x) имеют вид: Как видим, на сфере перехода есть потенциальная яма.
Положим, что она расположена при х = 0, чего можно добиться выбором константы интегрирования в определении х (2,40). Граничное условие на пространственной бесконечности (и -} 0, х —J- ею) есть у —t 0, а асимптотическая форма любого решения уравнения (2.39) с Е 0 при больших а; Мы, естественно, должны отобрать решение, чья асимптотика не содержит экспоненциально растущей компоненты, т.е. с С\ = 0. На другой асимптотике 140 условие, которое следует из вышеуказанных требований непрерывности, имеет вид: а решение (2.39) стремится к Это значит, что мы должны выбрать решение с Cj = 0. Другими словами, мы хотим выяснить, существуют ли решения краевой задачи на с уравнением (2.39) такие, что у —ї 0 при х — со, yfy/x оо при х — 0 и Е 0. В следующих двух параграфах приведено решение этой задачи. Мы начинаем решение с доказательства того, что оператор Гамильтона Н, связанный с уравнением (2.39), самосопряжён и ограничен снизу. С этой целью мы вводим вспомогательный оператор Т, который сингулярен в той же точке (на сфере перехода), что и Н. Ограниченность снизу показывает, что вещественная часть инкремента Q не может быть бесконечной. Продолжая исследование операторов Т и Н, получаем, что непрерывные части их спектра совпадают и лежат на неотрицательной полупрямой. Следовательно, если существуют решения нашей граничной задачи с Е 0, то они принадлежат дискретному спектру. Чтобы доказать существование решения с Е 0, мы применяем хорошо известную из-за своих применений в квантовой механике теорему (её более общая форма называется принципом мшшмакса), которая утверждает, что нижний край спектра fiQ оператора Л есть точная нижняя грань функционала где скобки обозначают скалярное произведение (определено ниже), точная нижняя грань берётся на множестве функций, которые принадлежат области определения оператора, и имеющих норму \\ф\\ = 1. Для произвольного ф из указанного множества величина (ф, Аф) оказывается, таким образом, верхней оценкой для //о, и, если величина этой оценки отрицательная, то //о 0. Чем больше пробная функция напоминает неизвестную функцию, на которой функционал достигает своей нижней грани, тем точнее оценка до, получающаяся как значение функционала (2.46) на пробной функции. Такая функция была подобрана, и с её помощью показано, что основное состояние Н лежит ниже нуля. Эта функция представляет собой основное состояние оператора, "похожего" на оператор Н, но который значительно проще, в том смысле, что мы можем получить точные решения уравнения Шрёдингера, с ним связанного. определённый на таком подмножестве D{T) Гильбертова пространства 2([0, сю)), что для любого у(х) Є D{T) выполнено (а) наши граничные условия (т.е., \у\/ /х оо при х —ї 0) и (Ь) Ту(х) Є Z 2-Пространство Хг([0, со)) есть Гильбертово пространство со внутренним (скалярным) произведением, определённым через интеграл Лебега: где звёздочка обозначает комплексное сопряжение. D(T) плотно в I , так как Со(0,оо) С D{T), где (7 (0, оо) есть подмножество функций в C(0,oo) с компактным носителем, отделённым от 0. Со(0,оо) плотно В І2 [ИЗ]. Можно показать, что оператор (2.48), определённый таким образом, симметрический и, следовательно, замыкаемый [ИЗ]. Очевидно, граничные условия нашего гильбертова пространства однородны.
Уравнение Шрёдингера (2.47), связанное с оператором Т, имеет решение где Е есть "энергия", соответствующая —m2fi2 нашей задачи, поэтому, чтобы доказать неустойчивость, нам нужно показать, что существуют "квантовые состояния" с Е 0; IO,KQ суть модифицированные функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Ни одна из этих функций, ни их линейная комбинация, не удовлетворяют нашим граничным условиям. Это значит, что оператор T—EI, Е 0 имеет ограниченный обратный, с областью определения, плотной в .Сосуществование обратного оператора следует из хорошо известной альтернативы: при данных однородных граничных условиях, либо дифференциальное уравнение L[y] = g{x) имеет единственное решение, либо однородное уравнение L[y] = 0 имеет непулевое решение.. В нашем случае Ограниченность и свойство оператора (Т — Е1) 1 быть плотно определённым на г следуют из изучения свойств решения уравнения L[y] = g(x) с ненулевым д(х) Є Li. Существование оператора [Т — Я/)-1, Е 0 с указанными свойствами означает, что область (—со,0) С р{Т)} р(Т) есть резольвентное множество Т. Рассматривая аналогичным образом уравнение (2.50) с Е 0 можно показать, что [0, со) лежит в непрерывном спектре. Итак, мы показали, что у Т есть вещественные числа в резольвентном множестве. Он удовлетворяет условиям Следствия №2 Теоремы X.1 в [113]: Если в резольвентное мноэ/сество замкнутого симметрического оператора попадает хотя бы одно вещественное число, то такой оператор самосопряжён. Самосопряжённость этого оператора также упоминается в [114]. Найденные свойства оператора Т дают возможность использовать результаты, накопленные в теории самосопряжённых операторов. В частности, мы применяем две следующие теоремы: Теорема 1 (Rellich [114]). Пусть А — самосопряэюёиный оператор на D(A) и В — симметрический оператор на D{B), так, что D{B) D D{A) и Ь 1. Тогда оператор А+ В самосопряжён и D(A+ В) — D(A). Теорема 2 (Kato [114]). Пусть условия Теоремы 1 выполнены и А ограничен снизу (сверху, с обеих сторон), тогда А + В ограничен снизу (сверху, с обеих сторон), но не обязательно той эюе гранью (гранями). Наш оператор Т мы будем рассматривать как А из этих теорем, так что можно переписать (2.39) в виде: Так как V ограничен (в силу того, что V(x) — 0 при х — со, и V(x) всюду ограничена как функция х), условия Теоремы 1 выполнены, и оператор связанный с (2.39) самосопряжён на D{T). Применяя спектральную теорему для неограниченных операторов [113], мы доказываем, что оператор Т неотрицательный и, следовательно, ограничен снизу. Поэтому оператор Л также ограничен снизу (Теорема 2).
Решения типа кротовой норы
Начнём с простейшего случая = 1/6 (конформная связь). Тогда вместо (3.24)-(2.14) в области ф \/б можно записать где ф — Си и, в силу (3.18), С = /ід/б. Решение в йордановой картине, с радиальной координатой у, имеет вид [31] где уо = іапЬ(і0о/л/б) и у\ Є (0,1); выражения для F v очевидны. Исходное решение в эйнштейновой картине соответствует у 1, у — 0 есть пространственная бесконечность, сфера при у = 1 есть Strails, на которой решения (3.32), (3.33) очевидно регулярны. Область, где у 1, есть область аналитического продолжения в Mj[#] при значениях ф \/б и соответствует решению в эйнштейновой картине второго типа, что было описано выше. Свойства решения при у 1 зависят от константы j/o, которая определяет значение скаляра ф на пространственной бесконечности. А именно, если уо 0, то решение имеет голую сингулярность при у — —1/2/0 1- Если 2/0 = 0, мы получаем чёрную дыру с электромагнитным и скалярным зарядами [124, 31, 116]; вводя координату г = % + у\)І(уіу)л получаем где т = GM = /h2 + tf2, С — \/б - На горизонте, где г = т, несмотря на то, что ф — со, тензор энергии-им пульса скалярного поля конечен. Это решение (в основном его незаряженный вариант q = 0) неоднократно обсуждалось как интересный контрпример к хорошо известным теоремам об "отсутствии волос"("по-1іаігп) у чёрных дыр, а также в предыдущей главе настоящей диссертации. Наконец, если уо 0, тогда у меняется от 0 до оо, и у = оо -другая пространственно-плоская асимптотика. Это искомое решение типа кротовой норы, параметризуемое четырьмя константами h, qe, Чт и Уо- Положение и радиус горловины кротовой норы (минимум г2 = —дев) задаются выражениями Для ф 1/6 аналитические выражения значительно сложнее, но качественное поведение описывается довольно просто. В случае 1/6, для любого BQ, С ростом 0 величина В2Н 4 неизбежно достигает значения 1, где две — со, т.е. мы получаем ещё одну пространственную асимптотику, и довольно легко проверить, что эта бесконечность плоская. Другими словами, мы вновь получаем статическую кротовую нору. В случае 1/6 всё зависит от BQ. Если ситуация та же самая, что и для 1/6, т.е. имеем кротовую нору. Если Во BQ , тогда, в то время как д$д остаётся конечной, ф достигает значения 1/у = 1/л/(1 — 6), где кривизна становится сингулярной [27]. То есть в этом случае получаем сингулярность вместо кротовой норы. Наконец, в случае BQ = В", максимальная величина ф вновь І/л/rj, но теперь это значение соответствует неплоской пространственной асимптотике.
В целом анализ устойчивости повторяет основные черты рассмотрения предыдущей главы, где была исследована устойчивость незаряженных кротовых нор. При решении данной задачи мы будем пользоваться полученными там результатами. В частности, форма уравнений, допускающая непосредственное применение результатов Като, определена на том же гильбертовом пространстве, что и оператор для случая без заряда. Вместе с тем краевая задача теперь зависит от двух параметров, условно говоря, от "энергии" (инкремента роста возмущений со временем) и от заряда норы. А оператор, порождающий аналитическое семейство для теории возмущений, оказывается несамосопряжённым, что существенно усложняет его исследование. Мы решим задачу только в области малых зарядов, воспользовавшись теорией возмущений точечного спектра операторов, так как при малых зарядах исследуемый оператор, очевидно, переходит в оператор задачи без заряда. Запишем линеаризованные уравнения Эйнштейна (как и в предыдущей главе, все расчёты ведутся в эйнштейновой картине), в качестве фоновой берём метрику (3.20): Штрихи теперь обозначают производные по у. Повторяя процедуру разделения переменных, получим уравнение, которое будем исследовать на предмет обнаружения вещественных положительных Q: Остановимся на причинах выбора у в качестве радиальной координаты. В области с отрицательным значением конформного множителя / метрика в эйнштейновой картине имеет другой вид, если пользоваться гармонической координатой и, и эта координата не покрывает всё многообразие. Так что, если решать задачу на возмущения в гармонической координате, то придётся исследовать два разных оператора, доказывать их изоспектральность, что затруднительно, так как методы, которыми мы пользуемся, позволяют найти одну из верхних граней Q, но не её точное значение. Координата у охватывает всё многообразие, и поэтому надо исследовать единственный оператор, следует лишь отметить, что в области с / 0 метрика меняет сигнатуру, что допустимо, поскольку, по предположению, она не является физической. Приведём дифференциальное уравнение (3.38) к виду Штурма-Лиувилля: Можно показать, что это уравнение при стремящемся к нулю заряде [Уг — 0) сводится к уравнению для незаряженной кротовой норы из предыдущей главы, т.е. можно воспользоваться теорией возмущений линейных операторов и доказать, что в области малых зарядов есть решения краевой задачи со значениями 7, близкими к незаряженному случаю. Сформулируем граничные условия. Поскольку теперь наше уравнение определяет возмущения во всём многообразии, у нас есть два условия на двух пространственных асимтотиках, там 6/3 0. На сфере перехода решение имеет вид: Итак, мы должны выяснить, существуют ли решения с К 0, с2 — 0 и стремящиеся к нулю на пространственных асимптотиках.
Приведём уравнение к виду уравнения Шрёдингера, выполняя замену переменных (2.39, 2.40): считаем, что с ним связан оператор Гамильтона S. Потенциал имеет асимтотики: Асимптотика решения на сфере перехода: где b = — x J lip Пусть область определения оператора S = —d2/dx2 -f V — гильбертово пространство, определённое аналогично пространству для оператора незаряженной норы, с той только разницей, что асимптотика в нуле есть /ж(1+Ь х). Важно отметить, что область значений этого оператора не принадлежит области определения. Можно показать, что на своей области значений этот оператор симметричен, а следовательно — замыкаем. Повторяя рассуждения предыдущей главы, можно показать, что a(S)ess = [О, со), (—оо,0) Є р. Оператор S симметричен, замыкаем, содержит в резольвентном множестве вещественные числа, а значит, самосопряжён. Применяя теоремы 1 и 2 из той же главы к операторам 5и5, приходим к выводу о том, что оператор S самосопряжён и ограничен снизу. Также легко видеть, что S относительно компактный по отношению к S, так что (r(S)ess = [0,оо). Как видим, область значений оператора зависит от 6, она совпадает с областью значений оператора задачи без заряда при 6 = 0, у\ — 1. Это свойство оператора затрудняет применение теорем об аналитическом продолжении собственных значений оператора. С целью исправить положение, мы откажемся от шрёдингеровой формы нашего уравнения и сделаем замену следующего вида: где ги(х) - новая зависимая переменная нашего уравнения, д(х) - некая гладкая функция, конечная в нуле, все производные в нуле обращаются в ноль, на бесконечности имеет асимптоту 1/(1 -4- Ь х). В новом уравнении появляется член с первой производной, что делает соответствующий оператор Р несимметричным. Этот оператор (не приводим здесь его асимптотики ввиду их громоздкости) определён на том же гильбертовом пространстве D(P), что и оператор для задачи без заряда, т.е. функции из этого пространства меньше или порядка /х в нуле, и эта область при малых Ь не зависит от значения этого параметра. Этот оператор удовлетворяет требованиям следующего определения аналитического семейства типа (А) по Като: Определение. Пусть R — связная область в комплексной плоскости, и пусть для каждого /З Є R задан Л(/3) — замкнутый оператор с непустым резольвентным множеством. Такой оператор принадлежит аналитическому семейству, тогда и только тогда, когда (і) операторная область определения A(j3) есть некоторое множество D, независимое от /3; (ii) А(/3)ф есть векторнозначная аналитическая функция (5 для всякого ф Є D. Замкнутость оператора Р следует из того, что его сопряжённый определён на плотном подмножестве D(P), CQ(0,CO) (см. соответствующую теорему в приложении). Аналитичность векторнозначиой функции Р(Ь)ф следует из рассмотрения вида асимптотик Р(Ь)ф.
