Содержание к диссертации
Введение
2 Многомерные сферически-симметричные конфигурации 10
2.1. Обобщенное решение Тангерлини [25, 24] 10
2.2. р-адическое обобщение решения Тангерлини 12
2.3. Сферически-симметричные решения в D-мерной дилатонной гравитации. Черные дыры 13
3 Анализ устойчивости сферически-симметричных конфигураций 20
3.1. Постановка задачи. Граничные условия 20
3.2. Эффективный потенциал и асимптотические решения. Выводы . 23
4 Вакуумные аксиально-симметричные поля в многомерной гравитации 27
4.1. Уравнения поля в статическом случае 27
4.2. Статические монопольные решения 29
4.3. Решение типа кротовой норы 32
4.4. Многомерное обобщение решения Керра [32] 34
5 Скалярные поля в многомерной гравитации. Теоремы "No-hair" и другие теоремы запрета 37
5.1. Вводные замечания 37
5.2. Сферически-симметричные системы в D-мерной ОТО с а-модельным источником 42
5.2.1. Основные уравнения 42
5.2.2. Теоремы о глобальной структуре 43
5.2.3. Теоремы "no-hair" 45
5.2.4. Два выражения для массы и свойства частицеподобных решений 47
5.3. Теории с несколькими фактор-пространствами 49
5.3.1. Редукция 49
5.3.2. Обобщенные теоремы запрета 51
6 Скалярное поле в минимально-связанном мире на бране. Теоремы "No-hair" и другие теоремы запрета 58
6.1. Введение 58
6.2. Уравнения поля и законы сохранения 61
6.3. Теоремы запрета 63
6.3.1. Теорема о причинной структуре 63
6.3.2. Теоремы, не выполняющиеся в мире на бране 63
6.3.3. Теоремы "no-hair" 64
6.3.4. Численные оценки 66
6.4. Поиск геометрии 5-объема, соответствующей минимально-связанному миру на бране 68
6.4.1. Конформно-плоский 5-объем 68
6.4.2. 5-объем с нулевым тензором Ещ, 69
7 Заключение 73
Список литературы 75
- Сферически-симметричные решения в D-мерной дилатонной гравитации. Черные дыры
- Эффективный потенциал и асимптотические решения. Выводы
- Два выражения для массы и свойства частицеподобных решений
- Теоремы, не выполняющиеся в мире на бране
Введение к работе
Одной из фундаментальных задач современной теоретической физики является объединение взаимодействий, включая гравитацию; современные теории объединения предполагают существование дополнительных измерений пространства-времени и различных физических полей, прежде всего скалярных и векторных, помимо метрического поля. Это, а также некоторые известные трудности, присущие общей теории относительности (ОТО) (проблема энергии гравитационного поля, неперенормируе-мость квантового варианта ОТО), привело к появлению целого ряда альтернативных ОТО теорий гравитации — многомерных, скалярно-тензорных, биметрических и т.д.. Возникает необходимость получения точных решений и исследования качественных свойств конфигураций с различной симметрией в альтернативных теориях, их сравнения и между собой их наблюдательных предсказаний. Некоторые задачи такого рода рассматриваются в данной диссертации, в частности, гравитационные аспекты наиболее актуальных теорий объединения взаимодействий — суперструнных и супермембранных теорий, М-теории и их возможных обобщений, а также широко обсуждаемых моделей мира на бране.
Дополнительные измерения стали необходимой составляющей в многочисленных попытках построения удовлетворительной теории объединения, включающей гравитацию.- В настоящее время наибольшее распространение получили размерности 10 (суперструны) и 11 (М-теория), хотя в литературе встречаются попытки использования более высоких размерностей. Бозонный сектор таких теорий, как правило, содержит скаляры (дилатонные поля); эффективные скалярные поля (поля модулей) возникают при редукции размерности. Разнообразные скалярные поля используются в других областях теоретической физики и космологии: поля Голдстоуна и Хиггса в физике частиц, инфлатоны и скалярные модели темной энергии в космологии и т.д.. В связи с этим весьма важно знать возможные свойства самогравитирующих конфи-
гураций различных скалярных полей, и наибольший интерес представляют условия существования черных дыр со скалярными полями, а также солитонных или части-цеподобных конфигураций.
Простейшее скалярное поле — безмассовое, минимально связанное с гравитацией, однако в большинстве приложений необходимо рассматривать скалярные поля с потенциалами и с учетом взаимодействия с другими физическими полями, прежде всего электромагнитным. Следует заметить, что уравнения для самогравитирующих скалярных полей с нетривиальными потенциалами могут быть явно проинтегрированы лишь в весьма редких случаях, даже для систем с высокой симметрией, таких как изотропные модели в космологии и статические сферически-симметричные системы. В связи с этим большую ценность представляют общие выводы, или теоремы о свойствах подобных систем, которые могут быть получены без полного решения полевых уравнений. Некоторые такие теоремы для многомерных систем со скалярными полями рассматриваются в данной работе.
Особый интерес представляет проблема устойчивости решений классических уравнений поля: с одной стороны, устойчивость относительно малых возмущений дает критерий отбора модельных систем, способных описывать реально существующие астрофизические или микрофизические объекты; с другой стороны, анализ роста возмущений приводит к предсказанию характера и скорости эволюции реальных систем. Исследования устойчивости решений являются важной частью данной работы; в частности, рассмотрена устойчивость черных дыр со скалярными полями и ряда других конфигураций с физическими полями в многомерной дилатонной гравитации, возникающей в низкоэнергетическом пределе суперструнных теорий.
Первые многомерные обобщения ОТО появились уже в двадцатые годы XX века. Отметим, что одним из естественных следствий таких моделей является возможная переменность фундаментальных физических констант, прежде всего — ньютоновской постоянной тяготения G, за счет появления в эффективной четырехмерной теории скалярных полей, взаимодейст вующих с метрикой. Таким образом, многомерные теории дали естественный способ обоснования известной "гипотезы больших чисел" Дирака [1], согласно которой известные совпадения больших безразмерных величин, характеризующих реальную Вселенную, объясняются переменностью по меньшей мере некоторых фундаментальных констант.
В пионерской работе Т. Калуцы [2] и последующей работе О. Клейна [3] рассматривалась 5-мерная модель, объединяющая гравитационное и электромагнитное взаимодействия. В этой модели компонента метрики д55 полагалась постоянной, что влекло G = const. Однако П. Йордан предложил отказаться от требования #55 — const, в итоге получилась теория с дополнительным скалярным полем G. В
работе П. Йордана и последующих работах И. Тири, К. Юста, Г. Людвига и других авторов исследовались физические возможности 5-мерной теории с новым скалярным полем. Была сделана попытка обосновать посредством скалярного поля гипотезу Дирака о возможном изменении гравитационной постоянной со временем. Тогда же было рассмотрено взаимодействие скалярного поля с обычными видами материи, найдены первые сферически-симметричные и космологические решения скалярно-тензорной теории гравитации.
Несколько позже К. Бране и Р. Дикке [4], отказавшись от пятимерной теории Калуцы-Клейна-Йордана, предложили теорию со скалярным полем, не связанным геометрическими рамками. В этой теории скалярное поле связано с "гравитационной постоянной" определенным соотношением. В рамках теории Бранса-Дикке (или Йордана-Бранса-Дикке) исследован широкий круг задач и гипотез. В работе [5] получено точное сферически-симметричное вакуумное решение, рассматривались космологические решения с материей.
В 70-х годах интерес к многомерным теориям возрос главным образом в связи с развитием теории калибровочных полей Янга-Миллса. Построение С. Вайнбергом и А. Саламом теории электрослабых взаимодействий, исследования по квантовой хромодинамике, а также построение теорий большого объединения, включающих и сильное взаимодействие, стимулировали интерес к неабелеву обобщению теории Калуцы-Клейна. При этом оказалось, что в такой обобщенной теории калибровочная группа совпадает с группой изометрий компактного внутреннего пространства. В настоящее время удалось построить ряд реалистичных моделей грави-электросильных и грави-электрослабых взаимодействий [6].
Второй причиной, по которой многомерные теории упрочили свой статус в современной теоретической физике, следует назвать развитие исследований по суперсимметричным теориям и супергравитации. Интерес к суперсимметричным моделям связан главным образом со значительным (и в ряде случаев полным) сокращением расходимостей в этих моделях. С этой точки зрения наиболее привлекательны модели с расширенной суперсимметрией N > 1 (N - число дополнительных грас-смановских переменных). Однако, как оказывается, ряд перспективных 4-мерных моделей супергравитации с расширенной суперсимметрией (например, N = 8) могут быть получены размерной редукцией из многомерных моделей супергравитации с N = 1.
Это направление получило дальнейшее развитие в серии работ, использующих в качестве основного фундаментального объекта струну, или суперструну [7]. Бозонная часть низкоэнергетического предела теории струн известна как D-мерная дилатон-ная (точнее, дилатон-аксионная) гравитация. Данное обстоятельство мотивировало
большое количество исследований ее решений и предсказаний, причем особое внимание уделяется свойствам черных дыр (см. напр. [8, 9] и приведенные там ссылки). Другая представляющая интерес проблема, в частности, в теории струн, — возможные эффекты и проявления многомерия как такового. Один из способов учета этих эффектов — рассмотрение масштабных факторов дополнительных измерений в качестве отдельных динамических переменных, как это делается, в частности, в работах [10]—[16]. В данной работе используется этот же подход. Мы исходим в общем случае из действия
S = fdDxy/ii[DR + gMSVtM
где дми — .D-мерная метрика, Dg = \detдмn\, Ч> — дилатонное скалярное поле и F2 = FmnFmni F = dU — абелево калибровочное поле, интерпретируемое как электромагнитное. Как указывается в [17], непосредственное введение электромагнитного поля в многомерное действие может показаться менее эстетичным, чем чисто гравитационное (эйнштейновское) действие, обычно используемое в теориях Калуцы-Клейна, однако элементарные калибровочные поля представляются необходимыми для построения реалистической теории большого объединения.
Теоретико-полевой предел струнной теории соответствует частному значению константы связи A = Astring = ±(-D — 2)-1/2 [7, 15]. Однако мы сохраняем произвольность А, чтобы охватить более широкий спектр возможных теорийб например, различные варианты теорий типа Калуцы-Клейна [6]. Значение А = 0, очевидно, соответствует jD-мерной (в частности, 4-мерной) ОТО с минимально-связанным скалярным полем.
Соответствующие полевые уравнения имеют вид
VMVMip + \x">FMNFMN = 0, (1.2)
VN(e2XvFNM) = 0, (1.3)
Rmn — 9mnRa/2 — —Tmn (1-4)
где Tmn — тензор энергии-импульса:
Tmn = 4>M
Заглавные латинские индексы пробегают значения от 0 до D — 1. Выберем D -мерное многообразие со структурой
М = М(3+d) х Mi х - х Mn; dim Мі = Щ D = S + d + ^Nu (1.6)
»=і
с сигнатурой (+, —,...,—), где Л/(3+^ играет роль обычного пространства-времени, а Мі — риччи-плоские компактные конфигурации с метриками dsf, i= 1,---,п.
Главы 2-4 данной диссертации посвящены получению и исследованию свойств сферически-симметричных и аксиально-симметричных решений указанных полевых уравнений в пространствах со структурой (1.6).
В главе 2 рассматриваются точные статические сферически-симметричные решения уравнений поля (1.2)-(1.4) при произвольной размерности (rf-fl) координатных сфер (орбит группы пространственных вращений), в духе обобщения Тангерлини [18] метрики Шварцшильда, в надежде по возможности точно уяснить роль четы-рехмерности физического пространства-времени. Раздел 2.1 посвящен простейшему многомерному обобщению вакуумного решения Тангерлини. В разделе 2.2 рассматривается аналогичное решение при постановке задачи с более общим числовым полем, нежели поле вещественных чисел - с р-адическими числами. Интерес к моделям с этими числами связан с работами по р-адическим струнам и их возможной роли в космологии ранней Вселенной [19, 20]. В разделе 2.3 получено и обсуждается наиболее общее статическое сферически-симметричное решение в дилатонной гравитации (1.1) с электрическим зарядом и произвольным значением константы связи Л ди-латонного поля с калибровочным. Выделено семейство решений, соответствующее заряженной дилатонной черной дыре.
Сферически-симметричные решения в D-мерной дилатонной гравитации. Черные дыры
Второй причиной, по которой многомерные теории упрочили свой статус в современной теоретической физике, следует назвать развитие исследований по суперсимметричным теориям и супергравитации. Интерес к суперсимметричным моделям связан главным образом со значительным (и в ряде случаев полным) сокращением расходимостей в этих моделях. С этой точки зрения наиболее привлекательны модели с расширенной суперсимметрией N 1 (N - число дополнительных грас-смановских переменных). Однако, как оказывается, ряд перспективных 4-мерных моделей супергравитации с расширенной суперсимметрией (например, N = 8) могут быть получены размерной редукцией из многомерных моделей супергравитации с N = 1.
Это направление получило дальнейшее развитие в серии работ, использующих в качестве основного фундаментального объекта струну, или суперструну [7]. Бозонная часть низкоэнергетического предела теории струн известна как D-мерная дилатон-ная (точнее, дилатон-аксионная) гравитация. Данное обстоятельство мотивировало большое количество исследований ее решений и предсказаний, причем особое внимание уделяется свойствам черных дыр (см. напр. [8, 9] и приведенные там ссылки). Другая представляющая интерес проблема, в частности, в теории струн, — возможные эффекты и проявления многомерия как такового. Один из способов учета этих эффектов — рассмотрение масштабных факторов дополнительных измерений в качестве отдельных динамических переменных, как это делается, в частности, в работах [10]—[16]. В данной работе используется этот же подход. Мы исходим в общем случае из действия где дми — .D-мерная метрика, Dg = \detдмN\, Ч — дилатонное скалярное поле и F2 = FMNFMNI F = dU — абелево калибровочное поле, интерпретируемое как электромагнитное. Как указывается в [17], непосредственное введение электромагнитного поля в многомерное действие может показаться менее эстетичным, чем чисто гравитационное (эйнштейновское) действие, обычно используемое в теориях Калуцы-Клейна, однако элементарные калибровочные поля представляются необходимыми для построения реалистической теории большого объединения.
Теоретико-полевой предел струнной теории соответствует частному значению константы связи A = Astring = ±(-D — 2)-1/2 [7, 15]. Однако мы сохраняем произвольность А, чтобы охватить более широкий спектр возможных теорийб например, различные варианты теорий типа Калуцы-Клейна [6]. Значение А = 0, очевидно, соответствует jD-мерной (в частности, 4-мерной) ОТО с минимально-связанным скалярным полем. с сигнатурой (+, —,...,—), где Л/(3+ играет роль обычного пространства-времени, а МІ — риччи-плоские компактные конфигурации с метриками dsf, i= 1,---,п.
Главы 2-4 данной диссертации посвящены получению и исследованию свойств сферически-симметричных и аксиально-симметричных решений указанных полевых уравнений в пространствах со структурой (1.6).
В главе 2 рассматриваются точные статические сферически-симметричные решения уравнений поля (1.2)-(1.4) при произвольной размерности (rf-fl) координатных сфер (орбит группы пространственных вращений), в духе обобщения Тангерлини [18] метрики Шварцшильда, в надежде по возможности точно уяснить роль четы-рехмерности физического пространства-времени. Раздел 2.1 посвящен простейшему многомерному обобщению вакуумного решения Тангерлини. В разделе 2.2 рассматривается аналогичное решение при постановке задачи с более общим числовым полем, нежели поле вещественных чисел - с р-адическими числами. Интерес к моделям с этими числами связан с работами по р-адическим струнам и их возможной роли в космологии ранней Вселенной [19, 20]. В разделе 2.3 получено и обсуждается наиболее общее статическое сферически-симметричное решение в дилатонной гравитации (1.1) с электрическим зарядом и произвольным значением константы связи Л ди-латонного поля с калибровочным. Выделено семейство решений, соответствующее заряженной дилатонной черной дыре.
Глава 3 посвящена исследованию устойчивости статических решений, полученных в разделе 2.3, относительно сферически-симметричных (монопольных) возмущений. В разделе 3.1 дана постановка задачи и сформулированы граничные условия, соответствующие минимальному требованию непротиворечивости схемы возмущений. Раздел 3.2 содержит расчет эффективного потенциала и его асимптотик в случае расщепляющихся уравнеий для возмущений, а также характеристику поведения их решений на пространственной асимптотике и в области сильного поля. Наконец, в разделе 3.3 сформулированы основные выводы из исследования устойчивости: устойчивыми в линейном приближении оказываются только решения типа черных дыр.
В главе 4 рассматриваются статические аксиально-симметричные поля в вакууме в пространстве 4 + N измерений. Получено решение вейлевского типа, с зависимостью от двух гармонических функций двух переменных. Раздел 4.2 содержит рассмотрение стационарных аксиально-симметричных полей в вакууме в пространстве 4 + N измерений; дано многомерное обобщение решения Керра. В главе 5 исследуются статические сферически-симметричные конфигурации со скалярными полями сигма-модельного типа с произвольными потенциалами в пространстве D измерений, включая пространства-времена с несколькими внутренними фактор-пространствами, причем последние предполагаются пространствами Эйн 9 штейна, не обязательно риччи-плоскими, и возникающий в результате эффективный потенциал содержит вклады от их кривизн. Полученные результаты обобщают известные в ОТО: (A) теоремы типа "no-hair" о несуществовании, в случае V О, асимптотически плоских черных дыр с переменными скалярными полями или полями модулей вне горизонта событий; (B) обобщенную теорему Розена [21], утверждающую, что частицеподобное реше ние (ЧПР) (т.е. асимптотически плоское решение с регулярным центром) с положительной массой невозможно при V 0; (C) теорему несуществования регулярных решений без центра (например, кротовых нор) [22]; (D) теорему о глобальной структуре [22], утверждающую, что список возможных типов глобальной причинной структуры пространства-времени (и соответству ющие диаграммы Картера-Пенроуза) для конфигураций с произвольными по тенциалами V(ip) и с любой пространственной асимптотикой не отличается от аналогичного списка в случае ср = const, а именно, имеются структуры: Мин ковского (или АдС), Шварцшильда, де Ситтера и Шварцшильда — де Ситтера. Результаты применимы к различным теориям типа Калуцы-Клейна, супергравитациям и струнным моделям с несколькими дилатонными полями и полями модулей.
Эффективный потенциал и асимптотические решения. Выводы
Функции и, а и е0 конечны при х = 0. Кривая х = 0, у = 0 в координатах (р, z) лежит в плоскости z = 0 и образует кольцо р — L конечной длины. В исходной калибровке (4.2) радиус кольца есть го = Ьехр(Ьтг/2 + s7r/4).
Поверхность х = 0, у 0 есть диск, ограниченный упомянутым кольцом и параметризованный координатами у и ф. Его двумерная метрика есть где = y/l — у2. Она плоская лишь при К = 0, когда решение тривиально. В остальных случаях диск искривлен и имеет регулярный центр у = 1. Этот диск соответствует приближению х — 0 из верхнего полупространства .г 0.
Другой аналогичный диск, нижний, соответствует у 0. Два диска отождествляются естественным образом при использовании данной системы координат в плоском пространстве (К = 0). В общем случае возможное отождествление точек (х = 0, у = уо, ф = фо) и (х = 0, у = -у0, 0 = 0о) где фо произвольно и 0 уо І» приводит к конечному скачку внешней кривизны отождествляетых поверхностей или, физически, к конечному скачку сил, действующих на пробные частицы. Разрыв можно интерпретировать в терминах мембранного распределения вещества, ограниченного кольцом х = у = 0.
Разрыва при пересечении поверхности х = 0 можно избежать, только если продолжить координатную карту на х 0, как это сделано в вакуумном случае в работе [53]. В результате появляется второй "экземпляр" 3-пространства, так что частица, пересекающая диск х = 0 по траектории с фиксированным у, приникает сквозь кольцо и может впоследствии оказаться на второй пространственной бесконечности х — —со с новым асимптотическим значением v и о. Функция 0 четна по і и совпадает на обеих асимптотиках. Таким образом, получаем кротовую нору (назовем ее "кротовая нора с кольцом"), С-гладкую на горловине х — 0 внутри кольца х — у = 0.
Само кольцо х — у = 0 сингулярно при всех К 0, что проверяется вычислением скаляра Кречмана R up R . Тем не менее, поскольку все метрические коэффициенты на кольце конечны, представляет интерес геометрия пространства в его окрестности.Эту геометрию можно характеризовать с помощью свойств двумерных сечений с фиксированным углом ф. Рассмотрим (гс,у)-компоненту 3-метрики в квадратных скобках в (4.26). В полярных координатах (г, -ф) (х = г cos , у = rsin ), и других новых координатах R и т], определяемых соотношениями эта метрика при малых х и у есть и, таким образом, оказывается локально плоской вблизи кольца. Однако область значений полярного угла ц в общем случае не равна 2л-.В самом деле, возвращаясь к "мембранной" интерпретации и полагая х О, получаем, что полярный угол гр определен на отрезке [—7г/2, 7г/2], так что т\ Є [—к — К7г/2, тт+Кіг/2]. Таким образом, метрика (4.29) регулярна (локально плоская) при х = у = 0 только в тривиальном случае К = 0, а при К 0 угол имеет избыток — в противоположность тому, что имеет место в космических струнах. (Заметим, что отношение длины окружности к радиусу не изменяется за счет конформного фактора при dl\ в (4.26), несмотря даже на то, что зависимость этого фактора от х приводит к сингулярности метрики ддв )
Таким образом, решение содержит (анти)струиоподобную кольцевую сингулярность, причем избыток полярного угла больше 27Г при К 0. Если бы случай К = 0 был нетривиален (что возможно лишь при включении электрического поля [56]), его можно было бы интерпретировать как "квазирегулярный", поскольку геометрия пространства вокруг кольца тогда в точности соответствует тому, что должно происходить в окрестности горловины подобной кротовой норы. В самом деле, сделав один оборот с проникновением сквозь кольцо при фиксированном ф (обойдя угол 27г), наблюдатель оказывается в аналогичном положении, но в "другом мире", с (вообще говоря) другими значениями трехмерных скаляров v и а, и возвращается в начальное положение только обойдя угол Дт? = 47г. Иначе говоря, при К = 0 поверхность (х, у) вблизи х — у = 0 ведет себя как двукратная риманова поверхность аналитической функции л/ ; и, в е, описанный переход (х, у) = (г, -ф) н- (R, rj) может быть описан как конформное преобразование комплексной плоскости с помощью этой функции: тег = VR є"?. (Другие примеры точек ветвления в пространстве-времени известны в некоторых полях Эйнштейна-Максвелла в 4 измерениях [57, 58].)
В рассматриваемом случае (многомерие, скалярный вакуум), как мы убедились, всегда присутствует избыток полярного угла. Если постулировать, что сингулярное кольцо ведет себя как набор точек ветвления, то условие целостности (К = целое число в (4.30)) оказывается условием типа условия квантования для параметров решения. В частности, при условии s = 0, т.е. для чисто вакуумного решения (возможно, с тривиальными дополнительными измерениями) массв определяется соотношениями GM = ЬЬ и К = Ь2, так что при фиксированной длине L спектр масс имеет вид GM = L\[K, где К — натуральное число.
В заключение данной главы заметим, что во всех рассматриваемых несферических аксиально-симметричных решениях сингулярности оказываются голыми. В рамках ОТО это - проявление (а в случае многомерной теории — обобщение) известных теорем о единственности черных дыр, известных также как теоремы "об отсутствии волос".
Полученные решения в виде кротовых нор могут представлять интерес для описания поздних стадий гравитационного коллапса и/или космологической темной материи. Их монопольный характер, вероятно, означает, что они не могут распадаться путем излучения гравитационных волн. Существенный интерес в связи с этим представляет исследование их обобщений и устойчивости.
Некоторые такие обобщения получаются достаточно просто — например, на случай набора дополнительных риччи-плоских пространств, подобно тому как это делалось в главе 2, а также на набор линейных безмассовых полей с минимальной связью. Часть таких полей может быть чисто мнимыми (или, что то же самое, отталкивающими); при этом соответствующий скалярный заряд типа Ъ или s войдет в константу К со знаком минус, так что условие К = 0 ("условие квазирегулярности", — правильности соотношения длины окружности, сцепленной с кольцом, и ее радиуса) может выполняться и для нетривиальных конфигураций. Аналогичное решение в рамках многомерной дилатонной гравитации получено в работе [56].
Два выражения для массы и свойства частицеподобных решений
Легко заметьть, что метрика в картине Эйнштейна д „ в Mext играет вспомогательную роль в рассматриваемой многомерной теории с действием (5.39). Поскольку теория не обладает конформной инвариантностью, физическая ситуация зависит от выбора конформной калибровки ("картины"), и весьма важно, какая конформная калибровка рассматривается как истинная, физическая. Это, в свою очередь, зависит от выбора исходной фундаментальной теории, приводящей к действию (5.39) в низкоэнергетическом пределе (см. обсуждение вопроса о физической конформной калибровке в статье [80] и цитируемых там работах). В данной работе окончательный выбор такой теории (возможно, пока неизвестной) не делается. Представляется разумным вместо этого использовать D-мерную метрику gMN, заданную формулой (5.38), как характерный пример, "условно физическую" метрику. "Внешняя" часть дм„ связана с д конформным преобразованием (5.43). Поскольку действие (5.39) соответствует ОТО в D измерениях, данная конформная калибровка может быть названа D-мерной картиной Эйнштейна, и мы будем обозначать как М? многообразие MD, снабженное метрикой дмы
Величины а0, /#) Рх, характеризующие д и в (5.38), связаны с а, (3, 7 соответствующими д в формуле (5.2), следующим образом:
Коэффициент неминимальной связи в действии (5.41), выраженный через фактор объема дополнительных измерений е"2, неотрицателен по определению, более того, область определения решения заканчивается там где еаг стремится к нулю или бесконечности. Следовательно, в отличие от ситуации в СТТ (см. введение к данной главе), конформное продолжение невозможно: нельзя пересечь возможную поверхность, где е 72 =0. Грубо говоря, из-за отсутствия конформных продолжений многообразие Mext [д] картины Йордана может быть меньше, но не может быть больше, чем Mext [] Точнее, преобразование (5.43) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между двумя многообразиями, если функция е 72 регулярна во всей области определения Ru радиальной координаты в (5.2). Если ст2 — ±со при промежуточном значении радиальной координаты, то преобразование (5.43) отображает Mext [п] лишь в часть многообразия Mext [d]
Из условий регулярности (А9) и (А10) легко видеть, что асимптотически плоская метрика дмы в Mg переходит в асимптотически плоскую эйнштейновскую метрику дм„ в Mext с конечными предельными значениями полей модулей Р1, і 2, в пределе больших г. Аналогична ситуация с условиями регулярного центра: регулярный центр в Mg возможен только если имеет место регулярный центр В Mext[ 7] и /3 , і 2 ведут себя так, как предписано условиями (А9). Горизонт в Mg соответствует горизонту в Mext[s]- (Последние утверждения не обязательно верпы, например, регулярный центр в Mext[i?] может быть "испорчен" при переходе к дмн за счет свойств полей модулей /Зг.)
Таким образом, глобальные свойства Mext [д] и Mext [д] (и, следовательно, Mg ) тесно взаимосвязаны, но не полностью совпадают. Опишем некоторые существенные свойства Mext [д] и Mg , связанные с Утверждениями A-D, сформулированными в начале главы. А. Теорема "no-hair" может быть сформулирована в Mg следующим образом: Теорема 5.5. Пусть дано действие (5.39), (5.40), с положительно-определенной матрицей hab и неотрицательным потенциалом (5.46) в пространстве-времени Mg с метрикой (5.38). Тоща единственное статическое асимптотически плоское решение уравнений поля в виде черной дыры характеризуется во всей области внешней связи условиями фа = const, j3% = const (і = 2,п), У(ф) = 0 и метрикой Тангерлини д и. Итак, единственное асимптотически плоское чернодырное решение задается метрикой Тангерлини в Mext постоянными скалярными полями фа и постоянными полями модулей /Зг вне горизонта событий. Отметим, что в этом решении метрики д „ и g v в Mext связаны простым масштабным преобразованием, поскольку о"2 = const. Другая интересная особенность заключается в том, что в чернодырном решении равен нулю именно потенциал (5.46), а не исходный потенциал Уй(Ф) в формуле (5.40). Если все внутренние фактор-пространства риччи-плоские, то оба потенциала Ув{Ф) и У(ф) в чернодырном решении равны нулюодновременно. Если это не так то кривизны внутренних пространств и/или потенциал Уо(Ф) компенсируют друг друга. Если потенциал Уо(Ф) отличен от нуля, то в чернодырном решении он с необходимостью постоянен. Теорема 5.1 обобщает теорему 3 из Sec. 2, а также ранее установленное свойство черных дыр с метрикой (5.38) в том случае, когда внутренние пространства риччи-плоские и источником гравитации является безмассовое минимально-связанное скалярное поле без потенциала [?]. B. ЧПР: Теорема 4 верна в М? в прежней формулировке, но упомянутое в ней условие V 0 относится к потенциалу (5.46), а не к Уй{Ф) из формулы (5.40). Отметим, что более узкая формулировка обобщенной теоремы Розена, учитывающая знак массы, не обобщается столь непосредственно на метрику д , поскольку значение массы, вообще говоря, меняется при конформных преобразованиях. C. Кротовые норы и даже горловины невозможны в метрике д . Конформный множитель e2 T2/d в (5.43) устраняет запрет на горловины, так как для д усло вия типа г" 0 (см. уравнение (А15)) не возникают. Однако кротовая нора как глобальная конфигурация с двумя плоскими асимптотиками не может возникнуть в Mj = Mext [5 1/] В самом деле, если предположи ть противное, то в силу со ответствия между плоскими асимптотиками двух метрик мы немедленно получим кротовую нору уже в ME = Mext [ ] 1 запрещенну теоремой 1. Трубки с потоком при нетривиальных скалярных полях и/или полях модулей, как и ранее, отсутствуют, однако "рога" не исключены, так как поведение метрического коэффициента доо меняется при конформных преобразованиях. Подчеркнем, что все ограничения А-С не действуют, если метрика пространства целей hab не является положительно-определенной.
Теоремы, не выполняющиеся в мире на бране
Концепция мира на бране, интенсивно исследуемая в последние годы, рассматривает наблюдаемую Вселенную как брану, или доменную стенку, погруженную в многомерное пространство-время с большими или бесконечными дополнительными измерениями. Поля стандарной модели предполагаются привязанными к бране, а в окружающем многомерном объеме распространяется лишь гравитация. История подобных моделей прослеживается как минимум с начала 80-х годов [84], продолжение исследований привело к ряду результатов (см. напр. [85]), а последовавший недавно всплеск интереса к подобным моделям объясняется прогрессом в струнной теориии М-теории, в частности, появлением 11-мерной модели Хожавы-Виттена [86]. В этом подходе предложен естественный механизм решения известной проблемы иерархии в физике частиц [87, 88] и обсуждаются возможности решения многих других важных проблем космологии и физики частиц — см. обзоры [89, 90].
В большей части современных исследований рассматривается самый простой вариант этой картины — так называемый класс моделей РС-2, обобщающей вторую модель Рендалл-Сундрума [23]. В моделях класса РС-2 гравитация действует в пятимерном объеме, а четырехмерный мир рассматривается как эволюционирующая во времени 3-брана. Гравитационное поле на бране описывается модифицированными уравненими Эйнштейна [91] [уравнения (А1) в разд. 6.2, которые содержат дополнительные члены, приводящие к ряду новых эффектов по сравнению с ОТО. Один из дополнительных членов, бесследовый тензор Е, происхождение которого связано с тензором Вейля 5-объема и который описывает приливные эффекты на бране за счет 5-геометрии, может вностить вклад в "темную энергию" и приводит в случае сферической симметрии к многочисленным новым решениям в виде черных дыр [92, 93] и кротовых нор [94]. Другой дополнительный член П, квадратичный относительно ТЭИ материи, запертой на бране, приводит к новым эффектам сильного поля в космологии ранней Вселенной и в локальных гравитационных полях. Как и в других классах моделей, космологические модели на бране обычно содержат различные скалярные поля с разнообразными потенциалами [89, 95, 96], в значительной мере определяющие космологическую динамику и, по-видимому, необходимые для описания инфляции и темной энергии. Значительно меньше известно о свойствах скалярных полей в физике локальных объектов на бране.
В данной главе рассматриваются модифицированные уравнения Эйнштейна для статических сферически-симметричных конфигураций скалярых полей с произвольными потенциалами У(ф) в отсутствие других видов материи (скалярно-вакуумные конфигурации) и делается попытка распространить на модели мира на бране ряд теорем, справедливых для скалярных полей в ОТО и некоторых многомерных моделях гравитации (см. главу 5 — утверждения А, В, С, D).
Для скалярых полей на бране ситуация усложнена незамкнутым характером системы уравнений гравитационного поля в четырех измерениях (А1): "приливной" тензор Е несет информацио о гравитации в 5-объеме; более того, в общем случае существует обмен энергией-импульсом между Ер и материей на бране, представленной квадратичным тензором П. Оказывается, правда, что для скалярного поля в статическом сферически-симметричном случае тензор П консервативен, что дает право положить Ер = 0. Данное предположение замыкает систему четырехмерных уравнений поля. Мир на бране в этом случае будем называть минимально-связанным, так как четырехмерная гравитация тогда не взаимодействует непосредственно с 5-геометрией. При Тр = 0 четырехмерная гравитация описывается вакуумными уравнениями Эйнштейна, а при Т ф 0 единственный эффект 5-геометрии связан с появлением тензора П, квадратичного относительно Т и существенного лишь в сильных полях.
В разд. 6.3, рассматривая скалярные поля в минимально-связанном мире на бране, мы установим, что даже в этом идеализированном случае указанные теоремы действуют не всегда. Теорема о глобальной структуре (утверждение В) справедлива без изменений. Теорема "no-hair" Бекенштейна [61] для скалярных полей с потенциалами V = V(02), такими, что dV/d( f)2) 0, также остается верной. Наоборот, ЧПР для V 0, как и кротовые норы, не исключаются. Горловины оказываются допустимыми в области сильных полей, и именно это обстоятельство не даст возможность доказать в ее полной общности теорему "no-hair" для скалярных полей с произвольными неотрицательными потенциалами: нельзя исключить появление черных дыр с внешними скалярными полями и с горизонтом событий, расположенным за горловиной. Однако оценка, основанная на известном экспериментальном ограничении на масштаб длины в 5-объеме, показывает, что горловина на бране требует существования плотностей энергии и давлений, на несколько порядков превышающих ядерную плотность. Таким образом, нарушения указанных теорем, по-видимому, невозможны в реальных астрофизических условиях.
Ясно, что решения четырехмерных уравнени,йдля недостаточно полного описание модели, которое требует знания полной 5-геометрии. Любое частное решение уравнений на бране должно быть "продолжено" в 5-объем, что оказывается нетривиальной задачей даже для весьма простых метрик на бране [92, 97, 98]. Заметим, однако, что само существование соответствующих решений многомерных уравнений гравитации (в нашем случае пятимерных вакуумных уравнений Эйнштейна с космологической постоянной) гарантировано известными теоремами погружения типа Кэмпбелла-Магаарда [99], которые обсуждались с современной точки зрения, и, в частности, применительно к концепции мира на бране в работах [100, 101].
В разд. 6.4 рассматривается следующий подход к поиску 5-метрик, способных включать в себя минимально-связанный мир на бране. Исследуются условия, при которых четырехмерный тензор Ери электрической части пятимерного тензора Вей-ля — обращается в нуль во всем 5-объеме. Это является достаточным (но не необходимым) условием того, что Е = 0 на бране, и уравнения гравитации на бране образуют замкнутую систему. Показывается, что пятимерные уравнения Эйнштейна GAD + Л5ддв = 0 совместно с условием Efll/ = 0 полностью определяют зависимость метрики от пятой координаты, но приводят к переопределенной системе уравнений для функций радиальной координаты. Получены некоторые частные решения, среди которых известная "черная струна" с метрикой Шварцшильда на бране и ее обобщения с метриками Шварцшильда-(анти-)де Ситтера на бране.
Таким образом, условие Е = 0, принятое для всего 5-объема, приводит лишь к узкому классу метрик на бране. Этот результат, разумеется, не означает неправильность других решений четырехмерных уравнений, полученные при условии Е = 0: вывод заключается в том, что минимально-связанная брана в общем случае погружена в пятимерное пространство-время, в котором, в целом, тензор Е отличен от нуля и обращается в нуль только на бране.
