Содержание к диссертации
Введение
1 Нелинейные спинорные поля в изотропной Вселенной: точные решения и проблема начальной сингулярности 11
1.1 Основные формулы 13
1.2 Линейное спинорное поле 17
1.3 Зависимость от инварианта S2 18
1.4 Зависимость Lyv от инварианта Р2 20
1.5 Зависимость L^ от инвариантов S2 и Р2 23
1.5.1 LN = F{S2 + Р2) 23
1.5.2 LN = F(S2 - Р2) 24
1.6 Выводы 26
2 Взаимодействующие спинорное, векторное и скалярное поля в пространстве—времени Бианки-1: проблема изотропизации 27
2.1 Основные формулы 28
2.2 Нелинейное векторное поле 31
2.3 Взаимодействующие векторное и скалярное поля 34
2.4 Взаимодействующие скалярное, векторное и спинорное поля . 39
2.4.1 Полевые уравнения 39
2.4.2 Общее решение 41
2.4.3 Изотроиизация системы полей 41
2.4.4 Пример 42
2.5 Выводы 45
3 Статические цилиндрически-симметричные решения нелинейной электродинамики с произвольным калибровочно-инвариантным лагранжианом в ОТО 47
3.1 Полевые уравнения и условия регулярности 48
3.2 Радиальное электромагнитное поле 52
3.3 Азимутальное электромагнитное поле 56
3.4 Продольное электромагнитное поле 57
3.5 Пример 60
3.5.1 Электромагнитное поле типа Борна-Инфельда с учетом гравитации 60
3.5.2 Электромагнитное поле типа Борна-Инфельда в плоском пространстве -времени 61
3.6 Выводы 63
4 Нелинейные спинорные поля в теории гравитации: струноподобные решения 64
4.1 Уравнения Эйнштейна и теоремы несуществования 64
4.2 Самогравитирующее нелинейное спинорное поле 68
4.3 Линейное спинорное поле 73
4.4 Примеры 76
4.4.1 Спинорное поле со степенной нелинейностью 76
4.4.2 Решение солитонного типа 77
4.5 Нелинейное спинорное поле в плоском пространстве-времени . 78
4.6 Выводы 80
Заключение 81
Литература 85
- Зависимость от инварианта S2
- Взаимодействующие векторное и скалярное поля
- Изотроиизация системы полей
- Продольное электромагнитное поле
Введение к работе
Современная космология возникла в начале XX века после создания А. Эйнштейном (1916 г.) общей теории относительности (ОТО), которая позволила физике выйти на качественно новый уровень в понимании физического мира - в ее рамках можно в принципе ставить и решать задачу описания Вселенной как целого. Как отмечают Л.Д. Ландау и Е. М. Лифшиц [1], ОТО открывает новые пути подхода к решению вопросов, связанных со свойствами мира, рассматриваемого в космических масштабах. Возникающие здесь новые замечательные возможности (впервые указанные А. Эйнштейном в 1917 г.) связаны с кривизной пространства -времени. Эти возможности тем более существенны, что ньютоновская механика приводит здесь к противоречиям, которые не могут быть обойдены в достаточно общем виде в пределах нерелятивистской теории [1].
Необходимо отметить, что ОТО резко отличается от других физических теорий поля. В теории любого поля, кроме гравитационного, есть, по образному выражению М.Е. Герценштейна [2], четкое деление природы на артистов (исследуемое поле) и сцену (пространство-время). Сцена имеет известную структуру — это пространство-время Минковского. В гравитационном поле это привычное деление на "артистов и сцену "теряется. Тяготение универсально, оно искривляет пространство-время, и введение искривленного пространства-времени основное в ОТО.
Отметим, что ОТО имеет свою специфику: точные решения уравнений Эйнштейна представляют определенный физический интерес и являются самостоятельным результатом.
Первая релятивистская космологическая модель была построена А. Эйнштейном в 1917 г. Как и все тогда, он считал, что Вселенная должна быть стационарна, она не может направленно эволюционировать. Здесь уместно привести слова С. Вайнберга из книги "Первые три минуты", отчасти объясняющие это убеждение: "Взгляд на ночное небо создает впечатление неизменности Вселенной"[3]. Однако из теории Эйнштейна следовала нестационарность Вселенной. И чтобы избавиться от этого, по его мнению, недостатка, Эйнштейн решил ввести силы отталкивания вакуума для уравновешивания сил тяготения. Так в уравнениях Эйнштейна появилась космологическая постоянная (Л - член). Проблема Л - члена в современной космологии обсуждается, например, в работах [4] — [8].
Через несколько лет после работы Эйнштейна А.А. Фридманом была создана теория расширяющейся Вселенной. Заметим, что расширение Вселенной следует также и из теории тяготения Ньютона [9]. Работы Фридмана (1922-1924 гг) показали, как с течением времени должна эволюционировать Вселенная. В частности, они предсказали необходимость существования в прошлом "сингулярного состояния "с бесконечной плотностью вещества. Это было теоретическим открытием взрывающейся Вселенной [9]. После коротких споров в кругу космологов по поводу решения Фридмана эта модель получила право на существование. Решение, описывающее расширяющийся мир, можно получить и для уравнений с Л -членом, что было также отмечено Фридманом. В 1929 г. Э. Хаббл, обобщив наблюдательные факты, вывел зависимость скорости разбегания галактик от расстояния между ними. Закон Хаббла подтверждает представление о расширяющейся Вселенной и записывается в виде V = HR, где V скорость разбегания галактик, Н — постоянная Хаббла, Я — расстояние между галактиками. После открытия этого закона теория Фридмана стала широко известной.
В ней Фридман дополнительно к уравнениям ОТО постулировал "космологический принциппв таком виде: в процессе эволюции Метагалактика всегда остается однородной и изотропной. Эти условия хорошо согласуются с наблюдательными данными по распределению материи во Вселенной в современную эпоху [10].
Поэтому есть все основания считать, как заметили Я.Б. Зельдович и И. Д. Новиков [11], что в настоящее время и в сравнительно недалеком прошлом Метагалактика удовлетворяла наиболее простым предположениям об изотропии и однородности распределения вещества и его движения. При этом мы отвлекаемся от той мелкомасштабной неоднородности, которая проявляется в существовании галактик и их скоплений. В пользу изотропии и однородности говорит изотропия фонового микроволнового излучения, которая свидетельствует об одинаковости условий в различных направлениях от нас. Реликтовое излучение в хорошо изученной области спектра А = 20-0,25 см слабо взаимодействует с пылью, нейтральными атомами и плазмой. Это позволяет сделать заключение об изотропии, относящейся к гораздо большему расстоянию, чем это можно сделать по стати- стике далеких дискретных объектов.
Т.о., изотропия и однородность Вселенной в наше время являются наблюдательными фактами. Но, с другой стороны, сам факт изотропии и однородности остается загадочным, что особенно подчеркивается в работе Мизнера [12].
Хотя современная космология успешно интерпретирует имеющиеся астрономические данные, в ней есть несколько серьезных противоречивых моментов. Один из них — это вопрос о сингулярности начального состояния Вселенной и возможности ее устранения [13] — [15].
В настоящее время исследуются многочисленные космологические модели (в частности работы [13] — [23]). Но, несмотря на успехи последних десятилетий в этой деятельности [24], проблема нахождения точных решений уравнений Эйнштейна, обобщающих модели Фридмана ( [25], с. 229-244) по-прежнему вызывает интерес.
Как уже упоминалось выше, наблюдаемые крупномасштабная однородность и изотропия Метагалактики говорят в пользу изотропной космологии, которая достаточно хорошо описывает современное состояние расширяющейся Вселенной. Но, несмотря на исключительность моделей Фридмана с точки зрения космологического принципа, требование полной изотропии и строгой однородности начального сингулярного состояния и прямо не наблюдаемых ранних стадий расширения Вселенной имеет априорный характер. Вполне допустима альтернативная гипотеза, что приближенная высокая симметрия Метагалактики не является изначальной, а возникает в процессе расширения из более общего анизотропного состояния как результат изотропизации — быстрого уменьшения факторов анизотрпии. Эта гипотеза обсуждается обычно в рамках ограниченного космологического принципа — Вселенная всегда однородна, но могла быть анизотропна в прошлом [26].
Если это предположение верно, то необходимо рассматривать модели, начальные стадии которых нефридмановские, и выяснить те причины, которые привели к сегодняшней изотропной картине Вселенной. Если бы удалось показать, что при произволе начальных условий космологическое решение должно выходить на фридмановское, то мы могли бы считать, что объяснили свойство однородности и изотропии [11].
Поэтому, например, сейчас исследуется динамика анизотропных пространственно - однородных космологических моделей I - IX типов Бианки [26] - [31]. Они вблизи сингулярности и на ранних стадиях существенно отличаются от фрид-мановских моделей, но в ходе эволюции процесс расширения может выходить на изотропный режим.
В работах [32], [33] исследуются анизотропные однородные космологические модели с гидродинамическим тензором энергии-импульса материи. В работах [8], [13], [31], [34] рассмотрены анизотропные модели Вселенной типа Бианки-1 с нелинейным спинорным и скалярным полями. Анизотропной космологии посвящены также работы [1], [15], [35] - [39]. Отметим также, что при изучении моделей с векторным полем необходимо рассматривать именно анизотропные модели, поскольку векторное поле задает выделенное направление в пространстве [40].
В последнее время наблюдается бурное развитие физики частиц, астрофизики и космологии. Физика элементарных частиц стала основным инструментом более глубокого понимания нашей Вселенной. Появление теории великого объединения позволило проследить историю Вселенной вплоть до самых ранних моментов ее возникновения. Отметим, что возникла даже новая область физики — астрофизика элементарных частиц, в которой предпринимаются попытки понять некоторые фундаментальные проблемы современной физики с точки зрения астрофизики и теории элементарных частиц [41]. Таким образом, построение теории эволюции Вселенной, а также полной теории элементарных частиц есть различные аспекты единой проблемы. В настоящее время большие надежды в построении единой теории поля возлагаются на очень элегантную (в математическом смысле) теорию суиерсимметрии, а также на ее обобщение — теорию суперструн. И хотя теория суперсимметрии существует уже более 25 лет, в ней остается еще ряд нерешенных проблем [10].
Как известно, теория поля, рассматривающая элементарные частицы как математические точки, обладает рядом существенных недостатков. В такой теории невозможно получить конечные значения для масс частиц, объяснить существующий спектр масс, вывести конечные значения для заряда, спина частиц и т.д. Представление о точечных частицах не позволяет ставить вопрос об их внутренней структуре, существование которой вытекает из современных экспериментов.
Один из возможных подходов к преодолению указанных трудностей - нелинейное обобщение основных уравнений поля. Для этого существуют различные пути, например, можно рассматривать индуцированную нелинейность, обусловленную взаимодействием полей (взаимопревращением частиц), или учитывать собственное гравитационное поле системы полей, которое является универсальным и неэкранируемым. Учет собственного гравитационного поля в системах взаимодействующих полей представляет интерес также в связи с принципиальной невоз- можностью введения точечного объекта в ОТО (вследствие нелинейности гравитационного поля) [42] - [44] и возрастанием влияния гравитационного поля на физическую систему по мере увеличения энергии системы. Как отмечает М. А. Марков [45, 46], ОТО открывает более широкие возможности для анализа проблемы протяженных частиц, чем СТО.
При этом возникает вопрос: какое влияние оказывает собственное гравитационное поле в самосогласованных системах материальных полей на существование и свойства частицеподобных решений нелинейных уравнений классической теории поля? Поскольку для выяснения принципиальных свойств самосогласованных систем взаимодействующих полей крайне желательно располагать точным решением соответствующей системы полевых уравнений, целесообразно рассматривать модельные системы полей, допускающие точное математическое исследование [47] - [53].
В настоящее время обширная литература посвящена теории солитонов. Под солитоном обычно понимается регулярное устойчивое решение нелинейного дифференциального уравнения, обладающее локализованной энергией в том или ином' числе измерений [54]. Если не учитывать требование устойчивости, соответствующие решения естественно называть солитоноподобными [50]. Среди последних наибольший интерес представляют трехмерные регулярные локализованные решения, называемые частицеподобными (ЧПР) [55]. Впервые возможность существования ЧПР нелинейных уравнений классической теории поля исследовалась Н. Розеном [56].
Отметим, что понятие солитона широко используется в точном естествознании [57], что свидетельствует о его универсальности, но в то же время создает определенные трудности при попытке строгого определения понятия солитона [54]. Одной из областей применения понятия солитона является физика элементарных частиц, где солитонные решения нелинейных полевых уравнений используются в качестве простейших моделей протяженных элементарных частиц [58], [59]. Нахождение и исследование свойств солитоноподобных решений или ЧПР связано с надеждой создать свободную от расходимостей теорию элементарных частиц с описанием их пространственной структуры.
При этом надо иметь в виду, что нелинейное обобщение теории поля необходимо независимо от вопроса о расходимостях, т.к. учет взаимодействия полей неизбежно приводит к появлению в уравнениях поля нелинейных членов. Это означает, что нелинейность надо рассматривать не только как один из способов устранения трудностей теории, но и как отражение объективных свойств поля [60]. Точное описание элементарных частиц со всеми их физическими характеристиками может дать лишь теория взаимодействующих полей [61]. Попытки построения классических моделей элементарных частиц являются предварительным, но необходимым этапом исследования при переходе к квантовой теории.
Как показывают результаты исследований, учет гравитации важен независимо от ее силы, поскольку меняет сами условия существования ЧПР по сравнению с теорией в плоском пространстве-времени. При этом возникают как ограничения на выбор лагранжианов взаимодействия, так и некоторые новые возможности получения ЧПР [48]. Также есть указания на то, что собственное гравитационное поле может играть стабилизирующую роль в процессе образования солитоноподобных конфигураций полей [48], [62] - [72].
Влияние гравитации на свойства ЧПР существенно зависит от симметрии системы полей. Так, требование конечности полной энергии системы легко формулируется в плоском пространстве-времени для всех типов симметрии — сферической, цилиндрической и плоской. С учетом гравитации это требование можно сформулировать, например, для аксиально-симметричных или сферически симметричных ЧПР, т.к. конфигурации полей с такой симметрией образуют островную систему, которая может существовать в асимптотически плоском пространстве-времени [35], [73]. Поскольку системы полей с плоской и цилиндрической симметрией не ограничены по одной или двум координатам, то они не могут образовывать изолированную систему, и для них понятие полной энергии, включая гравитационную, не определено. Поэтому в теории гравитации интерпретация цилиндрически-симметричных и плоско-симметричных решений как солитоноподобных встречает определенные трудности. Эти трудности будут обсуждаться далее в главах диссертации.
Необходимо отметить, что после создания ОТО и квантовой теории поля возник интерес к исследованию роли гравитационного взаимодействия в физике элементарных частиц. С продвижением в область все более высоких энергий, где гравитация перестает быть пренебрежимо малой, и, по мере построения теорий остальных взаимодействий, включение гравитации в общую теоретическую схему взаимодействий элементарных частиц стало одной из наиболее актуальных проблем физики высоких энергий.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ
В главе 1 исследуется самосогласованная система гравитационного и нелинейного спинорного полей в изотропной Вселенной. Найдены точные решения полевых уравнений. Показано, что линейное спинорное поле имеет только сингулярные решения в начальный момент времени, но начальную сингулярность можно устранить за счет нелинейных членов в уравнении спинорного поля. Рассмотрены конкретные примеры.
В главе 2 исследуется система взаимодействующих гравитационного, скалярного, векторного и спинорного полей в космологической модели типа Бианки-1. В общем виде сформулированы условия изотропизации такой модели. Получены точные решения самосогласованной системы уравнений Эйнштейна и уравнений материальных полей. Рассмотрены конкретные примеры.
В главе 3 исследуются статические цилиндрически-симметричные решения нелинейного электромагнитного поля с произвольным калибровочно-инвариантным лагранжианом в теории гравитации Эйнштейна. Для отбора соли-тоноподобных решений сформулированы условия регулярности на оси симметрии и асимптотические условия плоской или струнной геометрии. Получены точные решения полевых уравнений.
В главе 4 изучается нелинейное спинорное поле в статической цилиндрически-симметричной метрике. Получены точные решения полевых уравнений. Установлено, что собственное гравитационное поле играет регуляризующую роль в формировании решений уравнений нелинейного спинорного поля с локализованной энергией.
В заключении изложены основные результаты диссертации.
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ
Как известно, проблема космологической сингулярности является одной из важных проблем современной теоретической физики. Для ее исчерпывающего анализа необходимо привлечь еще не созданную квантовую теорию гравитации. В классической теории гравитации, согласно теореме Хокинга-Пенроуза, возникает начальная сингулярность. Одно из основных условий этой теоремы - условие энергодоминантности є > Pi , где є - плотность энергии, а Рг - давление в некотором направлении. Поэтому возникает вопрос: "Можно ли устранить сингулярность начального состояния в рамках классической теории поля?"На уровне линейных полей этого сделать нельзя. Но если рассматривать нелинейные поля, то удается решить проблему начальной сингулярности.
Современная наблюдаемая часть Вселенной однородна и изотропна. Но, возможно, что расширение Метагалактики на ранних стадиях не было таким однородным и изотропным, так как полная однородность и изотропия — очень специальные начальные условия. Более вероятно, что начальные стадии были менее симметричны, и сегодняшняя картина — это результат естественных процессов, происходящих при расширении Вселенной. Поэтому рассматривают однородные анизотропные космологические модели и пытаются найти возможные механизмы изотропизации. Один из таких механизмов — это учет взаимодействия полей, т.е. нелинейных членов в лагранжиане системы полей. Поэтому исследование свойств нелинейных волновых полей в теории гравитации и космологии является актуальным направлением.
После создания ОТО и квантовой теории поля возник интерес к исследованию роли гравитационного поля в микромире. В физике элементарных частиц солитонные решения нелинейных полевых уравнений используются в качестве простейших моделей протяженных элементарных частиц. Хорошо известно, что предположение о том, что элементарная частица является точечным объектом, приводит к значительным трудностям как классической, так и квантовой теории поля. Нелинейное обобщение полевых уравнений служит одним из возможных подходов к преодолению указанных трудностей. Отметим, что нелинейное обобщение теории поля необходимо независимо от вопроса о расходимостях, так как учет взаимодействия полей неизбежно приводит к появлению в уравнениях поля нелинейных членов. Это означает, что нелинейность является также и отражением объективных свойств поля.
В большинстве работ, посвященных солитоноподобным решениям, не учитывается собственное гравитационное поле материальных полей, хотя его учет представляет определенный физический интерес, так как оно универсально и неэкра-нируемо, а уравнения гравитационного поля нелинейны по своей структуре. Поэтому собственное гравитационное поле необходимо учитывать при изучении свойств нелинейных и взаимодействующих классических полей.
Зависимость от инварианта S2
В этом случае мы имеем F = F{Is)-Из (1.30) получаем: Выберем конкретный вид функции F(S): F(S) = ±XS2n, п 1, А О, (1.47) где Л — параметр нелинейности, п — произвольная постоянная. Из (1-23) получаем Т0 в виде Т0 = mS Т Л52п. (1.48) Из (1.25) с учетом (1.48) находим: Независимо от знака Л при а —» оо из (1.49) следует: /д 2/з а( ) ( у \l&mC\ х ) 2/3 — оо. (1.50) Поведение a(t) в начальной стадии эволюции модели существенно зависит от выбора знака параметра нелинейности Л. Если в (1.47) выбрать +Л, то a(t) имеет минимум, обращающий в нуль знаменатель в (1.49): а = A n-i, а{і)тгп = (А) 35 ) . (1.51) В этом случае решение несингулярно. Отметим, что сингулярное решение отсутствует, когда нарушается условие энергодоминантности в теореме Хокинга-Пенроуза [11] (но при этом TQ — 0 при t — 0). При выборе в (1.47) —Л получаем сингулярное решение: г / -,1/Зга при t — 0, a(t) « [пуЗЛаеС2" х Ц — 0. (1.52) Заметим, что при t — оо в выражении для а(і) не входит параметр нелинейности Л, а при t — 0 не входит массовый параметр т. Рассмотрим конкретный пример. Пусть п = 1. Тогда из (1.49) имеем: о \si і/з a(t) = \-mCMt + tQf ± 21 . (1.53) L4 m J При t — oo a(t) из (1.53) совпадает с (1.50). Если в (1.53) перед Л знак плюс, то можно выбрать 0 = 0 тогда a(t) представляется в виде о \/ t 1/3 a(t) = [-mCiset2 + -] . (1.54) Из (1-54) получаем, что ХС 1//3 amin = a(0) = ( -) , (1.55) т что совпадает с (1.51). Если в (1.53) перед Л знак минус, то a{t) есть: 3 L4 4Л (t) = [-тСізгі2 + VdazXCit] , (1.56) выбрав ц — Зге 2. В этом случае при t — со (1.56) совпадает с (1.50), а(0) = 0. Спинорные полевые функции получаем интегрированием (1-19) - (1-22), полагая в них G = 0, D = 2\nS2n 1 = 2Xn{Cl)2n-1/a2n-1 : -з. = ехР [i(mt - 2АпСГ і / Д )], (1-57) гр, р — 1, 2, 3,4 — произвольные постоянные. При выборе в (1-47) знака плюс перед параметром нелинейности Л спинорные полевые функции vp, р = 1,2,3,4 регулярны при всех t, при выборе знака минус - сингулярны в начальный момент t — 0. 1.4 Зависимость L от инварианта Р2 Далее рассмотрим систему уравнений спинорного поля при т = 0. В этом случае из (1.30) - (1-32) достаточно иметь два первых уравнения: SQ = 2GRo, PQ = —2DRQ, откуда следует S0D = -P0G. (1.58) Отметим, что в единой нелинейной теории Гейзенберга массовый параметр га отсутствует, поскольку, согласно Гейзенбергу, массы частиц должны получаться в результате квантования спинорной праматерии [94]. При нелинейных обобщениях уравнений классической теории поля массовый член не имеет того смысла, который он имеет в линейных полевых уравнениях, поскольку не определяет полную энергию (или массу) нелинейной полевой системы.
Рассмотрим случай, когда F = F(Ip),D = 0. Из уравнения (1.31) находим: Р0 = 0, Ро = С2, Р = С2/а3. (1.59) Выберем F{IP) в виде F(IP) = -А 1 ± А2/2, п2 т, Лі О, Л2 О, (1.60) где ЛХ]2 - параметры нелинейности, П\ - произвольные постоянные. Подставляем F(IP) из (1.60) в (1.23) и получаем выражение для Т0: 7? = A, TW. (1.61) Подставляем Т из (1.61) в (1.25) и получаем равенство: f da /зеЛі , . . W (») (t+W Из (1.62) видно, что a(t) « [щС ЗаАі х i] m і1/3"1 — ею. (1.63) Поведение a(t) в начальной стадии эволюции Вселенной существенно зависит от выбора знака перед Л2. Если в (1.60) перед Л2 знак плюс, то при этом a{t) имеет минимум, обращающий в нуль знаменатель в (1.62): Д 1/6(П2-Пі) Omin( ) = (д ) Cl!\ (1.64) В этом случае имеем несингулярное решение. Если в (1.60) перед Л2 знак минус, то получаем сингулярное решение: Г І -ІІ/ЗП2 при t — 0, a(t) и [п2С2П2-\/ЗэеЛ2 х t\ — 0. (1.65) Отметим, что при t — оо в выражение для a(t) входит параметр Aj , при t — 0 только параметр А2. Рассмотрим частный случай, когда щ = 1, n2 = 2. Тогда из (1.62) получаем: a{t) = [ЗжЛіС(і + t0)2 ± Cl . (1.66) При t — оо (1.66) переходит в (1.63). Если в (1.66) перед А2 знак плюс, то решение несингулярно и amjn, соответствующее t0 = 0, t = 0, совпадает с (1.64). Если перед А2 знак минус, то получаем решение, сингулярное в начальный момент времени t = 0, при этом tg = А2/ЗаеАі: a{t) = [ЗагАіС 2 + 2 3aeA2Cf t] . (1.67) При t — 0 (1.67) совпадает с (1.65). Спинорные полевые функции получаем интегрированием системы уравнений (1.19) - (1.22). Для нахождения общего решения этой системы перейдем к новым функциям up(t): ир = ура3/2, р= 1,2,3,4. (1.68) Подставляя vp{t) из (1.68) в (1.19) - (1.22), получаем систему уравнений для ир (t): u1-G{P)u3 = 0 щ + С(Р)щ=0, й2 - G(P)u4 = О, щ + G(P)u2 = 0. (1.69) Из (1.69) имеем: ui Щ . . — = , щщ = -щщ, (1-70) Щ Щ откуда находим ul + uj = г\, гі = const. (1-71) Подставляем в первое уравнение (1.69) щ = ±yjr\ - и\ (1.72) и получаем уравнение для щ: u1-G{P)y/r[ = 0, (1.73) с решением щ = Гі sin f / Gdt + qA, qx = const. (1-74) Для «з из (1.72) получаем: щ = п cos ( f Gdt + gx). (1.75) Поступая аналогичным образом, находим выражения для и2 и и$\ u2 = r2sm(JGdt + q2), (1.76) где r2 = const, q2 = const; щ = r2cos( J Gdt + q2). (1-77) Окончательно для функций vp{t) имеем следующие выражения: v1 = - sin{jGdt + q1), (1.78)
Взаимодействующие векторное и скалярное поля
Рассмотрим систему взаимодействующих векторного, скалярного и гравитационного полей с лагранжианом: L = — + Lvec + Lsc + Ьы, (2.43) 1 М2 Lvec = -jF FаР + ——АаАа, bint = Ч ,аЧ аН(І), (2.44) где Н(I) - произвольная функция инварианта / = АрА13, описывающая взаимодействие нейтрального скалярного и векторного полей. Из лагранжиана (2.43) получаем уравнения Эйнштейна (2.18) - (2.21) с ТЭИ взаимодействующих векторного и скалярного полей. Уравнения скалярного и векторного полей: 1 д ддх -W49V ,»E{I)} = 0, (2.45) ЛЕ Fff - M2Aa-ip Aa = 0, (2.46) UJ-L где E(I) — 1 + Н(1). Решение уравнения (2.45) имеет вид ф = -Ц г, / о = const. (2.47) Компоненты векторного поля А (т) выбираем в виде (2.24) [98], при этом выполняется равенство (2.25). Тогда уравнение (2.46) с учетом (2.47) принимает вид м2А щг А = 0- (2 48) или М2-Щш)=0- {2А9) Как видно из (2.49), отличное от константы векторное поле существует исключительно благодаря взаимодействию со скалярным полем. Выпишем ТЭИ взаимодействующих векторного и скалярного полей: T;SC)V = -v + J V" + ч »ч "Е{і) + dE + (p a —A -6;LSCtV, (2.50) где Z/SC)V = Lsc + Lvec + Ljnt. В нашем случае получаем: ъ =ёЩ+Ш- (2-51) т = +Щ- (2-52) В рассматриваемом случае Lsc v записывается так: Lsc,, - + Е{1) - ТА + 2 Щ (2-53) Введем обозначение 1 1 + 0(/), Е(1) E(I) "w w i + Q(/V Е(/) = і + #(/), #(/) = - YTQ(7) (2 54) С учетом (2.54) равенство (2.49) примет вид —V2 - - = 0. 2.55 Щ dl При Q = 0, # = О, Е(/) = 1, взаимодействие при этом отсутствует и уравнение (2.46) имеет только тривиальное решение А = 0. При задании Q(/) в явном виде из (2.55) можно найти I(v). Рассмотрим простейший вид Q(/): Q(I) = _/ , п = const, (2.56) п где Л - параметр взаимодействия. При подстановке Q{I) из (2.56) в (2.55) получаем М2 у2 - Л/""1 =0, n l, (2.57) откуда следует, что = А2 М2 2 X(fl і п-1 (2.58) л=Ы ) ("9) Выпишем компоненты ТЭИ взаимодействующих векторного и скалярного полей, соответствующих выбору Q(I) в виде (2.56): Г2 л . Л/г2 П = Т2 = Т! = - -(I + 1)/ - Z1-, (2.61) T = T" = -M2f- + 2)/- /1-n, (2.62) чп ; Л TJ-ІГ = ( +1)/+ /-, (2.63) 111 /If2 /Iі - ІТ = ТІ - -Т = Т33 - -Т = —/. (2.64) і 2 2 2 з 2 2 v у
Рассмотрим решение уравнений Эйнштейна. Сумма уравнений (2.18)+ (2.19)+ (2.20) приводит к уравнению (2.65) v _ ЗэеМ2 v 2 или с учетом (2.58) ii = — (тз) (?) = (2-66) ЗаеМ2 /М2 У-1, ч2±1 Первый интеграл и общее решение уравнения (2.66) есть 1, ч2 ЗаэМ2/М2\"-1 (п-1)/ч_а»_ w0 2(W) =—2-UsJ X 2 -(w)-1+2 і .(.)2 = __ _ x __4{v) + t Vo = constj (2.67) / . =±(r + r0), r0 = const. (2.68) Далее заметим, что симметрия компонент ТЭИ взаимодействующих векторного и скалярного полей одинакова. Следовательно, что в рассматриваемом случае выражения а(т), Ь(т), с(т) через v совпадают с предыдущим случаем, т.е. имеют вид (2.40). Теперь необходимо определить VQ в (2.67). Для этого используем уравнение (2.21). Подставляя а(т), Ь(т), с(т) из (2.40) в (2.21), получаем равенство: Подставляя в (2.69) г; из (2.66), (у)2 из (2.67) и/из (2.59), получаем равенство: о = \{Х\ + ХгХ3 + Х\) + . (2.70) Из (2.70) следует, что v0 0. Это значит, что v(r) может обращаться в нуль, т. е. сингулярность начального состояния не устраняется. Рассмотрим свойства решений и(т) из (2.68) при разных значениях 7г. При п 1 из (2.68) следует, что v(r) меняется в ограниченных пределах 0 v vmLX, где п-1 2п (2.71) пу0 2 А РІ\ г (п - 1) ЗаеМ2 v М2 / Это означает, что полученное решение описывает режим с сингулярным начальным состоянием и охватывает конечный промежуток времени, без асимптотики t — со. Для начальной стадии эволюции из (2.68) имеем: при т —у 0, v(r) и /щт — 0. (2.72) При подстановке v(r) из (2.72) в (2.40) получаем, что закон расширения по всем трем осям различный. При 0 п 1 из (2.68) следует, что ь{т) изменяется в пределах 0 V(T) оо. (2.73) При т — 0 из (2.68) находим: 1-71 При т — оо из (2.68) имеем: V(T) « У/TQT — оо. (2.75) Подставляя v(r) из (2.75) в (2.40) получаем, что в общем случае при 0 п 1 процесс расширения пространства в модели Бианки-1 анизотропен. Рассмотрим конкретный пример. Пусть п = 1/2, тогда из (2.68) находим: L2+W = {T+TO)
Изотроиизация системы полей
Было показано выше, что модель типа Бианки-1 выходит на изотропный режим на поздних временах только если T v2 = TQ е2а — со при v —» сю (условие (2.15)), которое означает, что плотность энергии не должна убывать слишком быстро при больших V. Покажем сначала, что рассматриваемые скалярное и векторное поля без спи-норного поля не изотропизуют модель, независимо от вида лагранжиана взаимодействия. Отметим также, что изотропизации процесса расширения не происходит, если нет взаимодействия (нет векторного поля, т.е. Е = 1), так как в (2.51) T0V = Т0е2с = const. Пусть Е(1) нетривиально, и предположим, что w2T0sc v — со при v — со. Из (2.49) следует, что dZ/dl — со при больших v, где Z(I) = 1/Е(1) по определению. С другой стороны, выражение в скобках в (2.51) может быть записано как Z — IdZ/dl, где второй член отрицательный, следовательно, при нашем предположении, Z — со при больших v. Т.к. и Z и dZ/dl растут, следовательно, 1{у) - также возрастающая функция при больших v. Выражение (2.51) может быть переписано так losc vV - 2 Е dl {2Ш} При больших v, I может стремиться как к конечной положительной величине, так и к бесконечности. В обоих случаях легко получить, используя (2.49), что произведение 1Е(1), оставаясь положительным, стремится к нулю, тогда как / возрастает. Следовательно, d(IE)/dI 0, и все выражение (2.98) отрицательно при больших v. А это противоречит нашему предположению. Т.о., безмассовое скалярное поле, свободное или взаимодействующее с векторным полем (2.24), будучи источником гравитации, не изотропизует космологическую модель типа Бианки-1. Но линейное или нелинейное спинорное поле исправляет эту ситуацию. Действительно, как следует из (2.94) и (2.90), В линейном случае, F = 0, величина T0sp ос І/v (такая же зависимость от г , как для пылевой материи; из (2.94) видно, что давление равно нулю в этом случае), приводит к изотропизации в соответствии с критерием (2.15). Добавление скалярного поля, даже взаимодействующего с векторным полем, не меняет этого вывода, т.к. вклад скалярного поля в TQ исчезает слишком быстро при v — со. Только отрицательный вклад функции F(S), если она не исчезает быстрее, чем 5" при S — 0, может "испортить" изотропизацию модели. Если, например, F(S) = S , , к = const, условия изотропизации могут быть нарушены только в случае /и. 0, к 1. Может случиться, что решение не имеет асимптотики такой, что v — ею (т.е., осциллирующие модели), тогда все рассуждения об изотропизации теряют смысл. С учетом (2.13) это возможно только тогда, когда Г0 0. Для плотности энергии взаимодействующих скалярного и векторного полей из (2.50) с учетом (2.100) получаем:
Проанализируем полученное решение. Во-первых, в согласии с общими выводами, ясно, что в отсутствие спинорного поля нет изотропизации. Действительно, в (2.102), второй (нелинейный) член отрицательный, и его модуль растет при больших v, поэтому при некотором значении v расширение сменится сжатием. Максимум v достигается при конечном т, вблизи него интеграл (2.104) ведет себя С другой стороны, для п 1 этот нелинейный член исчезает при больших V, и ситуация аналогична случаю линейного скалярного поля. Во-вторых, в отсутствие скалярного и векторного полей, как уже было отмечено, линейное спинорное поле приводит к изотропизации [29], и (/л 0) нелинейный член в (2.103) может только ускорить изотропизацию процесса расширения модели. Это видно из явного вида для а т)/ 1/3: Для нелинейного спинорного поля с к 1, второй, нелинейный член, в (2.103) растет медленнее, чем первый, линейный, и режим (2.107) выполняется снова (если т Ф О, когда имеем только второй член). Наконец, для к 1 получаем где последний член убывает быстрее, чем в (2.107). Когда все три поля присутствуют, расмотрим следующие случаи: 1. п 1, fj, 0. Т.к. в этом случае 2п/п— 1 2 —А; и 2п/(п— 1) 1, система полей ведет себя, как в отсутствие спинорного поля: имеет место реколлапсирующая модель (что согласуется с [101]) за счет члена, содержащего Сі в (2.104), который, оставаясь отрицательным, по модулю растет при росте v. Аналогичная картина возникает и в случае fj, 0 с любым пик 1, так как теперь нелинейность спинорного поля дает основной отрицательный вклад в TQ. 2. п 1, /J. 0, к 1. Изотропизация происходит за счет члена aemSov в (2.104) (как в случае линейного спинорного поля [34] и в случае взаимодействующих скалярного и спинорного полей [31], и мы возвращаемся к режиму (2.107) при больших т. З.п 1, (л 0, к 1. Теперь изотропизация имеет место за счет нелинейного члена зец8$у2 к, как если бы не было скалярного и векторного полей, и снова приходим к режиму (2.108). В случае к 2/3, а,і(т) г7 с у 1, изотропизация происходит по степенному закону, т.е. имеет место инфляция [102]. Пример (2.100), (2.101) подтверждает наши общие выводы: расширение мо- ") дели (2.1) с неотрицательной плотностью энергии начинается с космологической / сингулярности и становится изотропным на поздних временах за счет вклада спи- / норного поля; нелинедность спинорного пдля,может_уіжорять процесс расширения и, более того, может приводить к инфляции. В рамках однородной анизотропной космологической модели Бианки-1 рассмотрено векторное поле с нелинейным членом, описывающим самодействие векторного поля. В предположении, что векторное поле описывается одной компонентой вектор-потенциала А0(т) = А(т), получены точные решения уравнений Эйнштейна и уравнения нелинейного векторного поля. Для уравнения векторного поля с членом самодействия вида Х(АаАа)2 показано, что решение — постоянная величина A = ±m/vA, где тп — массовый параметр в уравнении поля, Л - параметр нелинейности. Эволюция модели в этом случае происходит по осциллирующему режиму из сингулярного начального состояния. Исследовано векторное поле с нелинейным членом, индуцированным взаимодействием векторного поля со скалярным.
В предположении, что векторное поле описывается одной компонентой вектор-потенциала AQ(T) = А(т), полностью проинтегрирована самосогласованная система уравнений Эйнштейна и уравнений векторного и скалярного полей. Лагранжиан взаимодействия выбран в виде Ьш = Р,а Р аН(1), где #(/) = -if y, I = АрАР, Q(I) = /», п = const, А- параметр взаимодействия нейтрального скалярного и векторного полей. При п 1 полученное решение описывает осциллирующий режим с сингулярным начальным состоянием; при п 1 решение описывает эволюцию модели из сингулярного начального состояния без изотропизации при г — со. Рассмотрена анизотропная модель Бианки-1 с взаимодействующими спинор-ным, векторным и скалярным полями. Лагранжиан спинорного поля содержит нелинейность в виде произвольной функции инварианта S = ф ф; лагранжиан скалярного и векторного полей содержит член взаимодействия вида ір аір аН(І), где Н(1) — — QIJ) , / = АрА13, Q(I) = ln, п = const, А — параметр взаимодействия нейтрального скалярного и векторного полей. Получены точные самосогласованные решения уравнений Эйнштейна и уравнений материальных полей с произвольными нелинейностями. Сформулированы в общем виде условия изотропизации космологической модели типа Бианки-1. В общем виде показано, что скалярное и векторное поля не изотропизуют модель при т — оо, независимо от вида функции Н(І). В то же время в присутствии спинорного поля (линейного или нелинейного) происходит изотропизация модели. При конкретном выборе лагранжиана спинорного поля {F(S) = LiSk, [л, к = const, к 0, к ф 1) и члена взаимодействия векторного и скалярного полей {Q{I) = In, n = const, Л — параметр взаимодействия нейтрального скалярного и векторного полей) в явном виде выписаны точные решения полевых уравнений и сформулированы условия, изотропизации процесса расширения Вселенной при т — со.
Продольное электромагнитное поле
В этом случае получить решения с регулярной осью не представляет особых сложностей. Такие решения существуют даже для линейного электромагнитного поля, например, магнитная Вселенная Мелвина [114]. В работе [113] получена метрика для линейного продольного магнитного поля в виде ds2 = %?l[e2B dt2 - e2 A+B dx2 - e2A dz2} - -1 -dtp2, (3.48) kh2 ch (hx) где к = - 2, ip = const, h = AB,A, В = const, A О, В 0. Этот случай имеет интересную особенность: независимо от вида функции Ф(/), нет решений с пространственной бесконечностью, т.е. ни при каких значениях х е2 не обращается в бесконечность. При А = В = h, kh3 = 1 получаем несингулярную Вселенную Мелвина, где х — —со - регулярная ось, х — +оо - другая ось, бесконечно удаленная от первой. Решения уравненй (3.13) и (3.14) для нелинейного электромагнитного поля имеют вид FQ2 = Qip, Q p = const; (3.49) F13 7 = ve_2a, iv = const, (3.50) где постоянные q,p и i интерпретируется как эффективные азимутальные магнитный и электрический токи. С учетом (3.49) и (3.50) получаем: Е2 = &- - , (3.51) В2Ф2 = г2е-27-2«.; (3.52) Из (3.19) с учетом (3.51) и (3.52) находим компоненты ТЭИ: Т0 = Г2 = 42Ф7 - Ф, (3.53) ТІ = ТІ = -4В2ФІ - Ф. (3.54) Рассмотрим решение уравнений Эйнштейна. Разность уравнений (3.16) - (3.18) с учетом (3.53) приводит к уравнению " - 7" = 0, (3.55) имеющему решение (х) = 7(я) + сзх, с3 = const, с3 0. (3.56) Для того чтобы существовала регулярная ось, необходимо в (3.56) положить с3 = 0. Разность уравнений Эйнштейна (3.17)-(3.18) с учетом (3.54) приводит к уравнению " - «Є 2 - 2/?Y = 0. (3.57) Из (3.57) находим связь /5 с : e2f3 = Ke- , К = const 0, f = df/dx. (3.58) Сумма уравнений Эйнштейна (3.17)+(3.18) с учетом (3.54), (3.55), (3.58) приводит к уравнению =-эеКТ е3 . (3.59) Т.к. = 7) то Z?2 и ?2 зависят только от . Значит, компоненты ТЭИ есть тоже функции от . Тогда решение уравнения (3.59) можно записать в квадратурах / = х + хи (3.60) N-eeKfTfeKdet где iV и Х\ — постоянные интегрирования. В случае только магнитного поля на регулярной оси В2 конечно и, следовательно, \Bi\ со, где BL — продольное магнитное поле, определенное хронометрически инвариантным образом [112]. Т.о., все условия необходимые для существования решений с регулярной осью в случае продольного магнитного поля могут быть выполнены. Регулярное решение реализуется, если Ф(7) задаем так, чтобы на оси она имела конечное значение. В случае продольного электрического поля отметим, что функция Е2 принимает конечное значение на оси, но Ф(/) = 0 и Ф/ = 0, и также выполняются условия регулярности на оси симметрии системы. Т.е. и в этом случае мы имеем решение с регулярной осью. Решение в рассмотренном случае не удовлетворяет условиям регулярности на пространственной бесконечности. Действительно, из (3.58) следует, что е — оо при (3 — оо, тогда как требование (3.9) приводит к (е ) — 0.
В случае продольного электромагнитного поля регулярную асимптотику можно получить для особого решения, которое приводит к солитоноподобным конфигурациям поля, если функция Ф(/) У/1. Покажем это. Уравнение (3.58) имеет особое решение = 0. Тогда из (3.56) следует, что и у = 0. Из (3.51) и (3.52) находим: Е2 = г2т = const, В2Ф2 = i\. (3.61) авенства (3.61) позволяют найти функцию Ф(/): Ф2 = 8г2е(/ + 2г ). (3.62) Очевидно, что Ф(/) имеет не максвелловское поведение при / —У 0. Из уравнений Эйнштейна получаем, что Т = Г33 = 0. Легко проверить, что Ф(1) из (3.62) удовлетворяет этому условию. Из (3.16) находим единственное уравнение, которое надо решить: /3" = -х (р + ф) е2р. (3.63) В это уравнение входят две неизвестные функции F(x) и Р(х), поэтому одна из функций может быть выбрана произвольным образом. Этот выбор дает возможность получить солитоноподобное решение. Зададим 0(х) в виде п2 4- Р2х ? = е2 Ьт (3-64) где а,Ь = const, афЬ. В этом примере оси соответствует значение х —у —оо, а пространственной бесконечности - х —У оо. Легко убедиться, что на оси j3 —У —оо и /5 —у 1; на пространственной бесконечности (5 —у оо и/5 —у 1 — /i, /J, = а2 — b2. Т.о., условия регулярности и на оси симметрии, и на пространственной беско- нечности выполняются, и мы имеем солитоноподобное решение. Рассмотрим статическое цилиндрически-симметричное решение уравнения для радиального электрического поля, соответствующее лагранжиану Борна Инфельда: где Л — параметр нелинейности. pOl. Из (3.22) получаем следующее выражение для FL (3.66) В этом случае для Т0 из (3.26) имеем: Отсюда видно, что плотность энергии сингулярна на оси симметрии системы. Инвариант / = 2?2 с учетом (3.24) запишется так: Из (3.68) следует, что на оси х = ха I = 1/Л, на пространственной бесконечности І" — 0. Энергия электрического поля, приходящаяся на единицу длины по оси z +00 у бесконечна. Т.о., полученное частное решение сингулярно. Рассмотрим статическое цилиндрически-симметричное решение уравнения для радиального электрического поля, соответствующее лагранжиану Борна-Инфельда (3.65), в плоском пространстве-времени с метрикой Для тензора электромагнитного поля F01, инварианта / и плотности энергии TQ имеем следующие выражения: -2а откуда видно, что плотность энергии TQ сингулярна на оси р = 0, а полевая энергия Ef, приходящаяся на единицу длины по оси z, бесконечна вследствие ее логарифмической расходимости на пространственной бесконечности. Т.о., при учете собственного гравитационного поля энергия, приходящаяся на единицу длины по оси z бесконечна, также как и в случае плоского пространства-времени. На этом примере видно, что если лагранжиан электромагнитного поля удовлетворяет условию предельного перехода к электродинамике
Максвелла (3.2), то не существует регулярных решений полевых уравнений, а энергия электромагнитного поля, приходящаяся на единицу длины вдоль оси z, бесконечна. 3.6 Выводы В этой главе исследовались такие конфигурации полей, которые с точки зрения j удаленного наблюдателя ведут себя как струны. Получены точные статические J цилиндрически-симметричные решения нелинейного электромагнитного поля с произвольным калибровочно-инвариантным лагранжианом в теории гравитации Эйнштейна. Сформулированы условия регулярности решений на оси симметрии и на пространственной бесконечности. Доказана теорема о том, что не существует решений с регулярной осью в случае "3 радиального электромагнитного поля, если эффективный электрический заряд не равен нулю и функция Ф(7) удовлетворяет условию Максвелла. Показано, что для радиального магнитного поля и азимутального электрического поля возможно решение с регулярной осью при условии, что функция Ф(7) принимает конечные значения на оси симметрии. В случае азимутального магнитного поля нет решений с регулярной осью, а в случае продольных электрического и магнитного полей приведены регулярные решения, обобщающие известные решения Мелвина. Для продольного поля решение записано в квадратурах, т.е., зная Ф(/), находим все метрические функции; во всех остальных случаях решение можно получить, задавая генерирующую метрическую функцию. Установлено что, для всех рассмотренных конфигураций полей не существует решений с регулярной асимптотикой, если на пространственной бесконечности реализуется максвелловский режим. В случае продольного электромагнитного поля решение с регулярной асимп- тотикой возможно в особом решении; это решение приводит к солитоноподобным конфигурациям поля. Приведен явный пример такого решения. / Т.о., для существования струноподобных решений необходим достаточно спе- / циальный выбор как лагранжиана поля, так и самого поля. /
