Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Геометрическая модель гравитационного взаимодействия электромагнитного поля в аффинно-метрическом пространстве 15
1.1 На путях подхода к многомерному аффишю-метрическому пространству 15
1.2 Аффишю-мстрическое пространство 19
1.3 Пятимерная геометрическая модель гравиэлектрослабых взаимодействий 23
1.4 Пятимерная геометрическая модель гравитационного взаимодействия электромагнитного поля в аффиино-метрическом пространстве 28
Глава 2. Сферически-симметричные конфигурации геометризированного электромагнитного поля в аффинно-метрическом пространстве 33
2.1 Закон Кулона в 5-мерной геометрической модели электрослабых взаимодействий 33
2.2 Равновесные распределения геометризированного электрического поля в отсутствии геометрических скалярных полей 37
2.3 Равновесные распределения геометризированного электрического поля при наличии геометрических скалярных полей 41
2.4 Равновесные распределения геометризировашюго электрического поля и отсутствии кручения 47
2.5 Полевые конфигурации в интегрируемой геометрии Вейля...48
Глава 3. Цилиндрически-симметричные равновесные полевые конфигурации в аффинно-метрическом пространстве 54
3.1 Электростатическая конфигурация при наличии неметричности в отсутствии геометрических скалярных полей 54
3.2 Манитные конфигурации при наличии неметричности в отсутствии геометрических скалярных полей 56
3.3 Электромагнитная конфигурация при наличии неметричности в отсутствии геометрических скалярных нолей 62
3.4 Манитпая конфигурация при наличии неметричности в отсутствии геометрических скалярных полей и кручения 64
3.5 Манитные конфигурации при наличии неметричности и геометрических скалярных полей 66
3.6 Электромагнитная конфигурация при наличии геометрических скалярных полей 69
Глава 4. Вращающиеся однородные полевые конфигурации в аффинно-метрическом пространстве 73
4.1 Вращающиеся космологические модели с магнитным полем при наличии геометрических скалярных полей 73
4.2 Вращающаяся космологическая модель с магнитным полем геометрического происхождения в отсутствии геометрических скалярных полей 77
4.3 Вращающаяся однородная космологическая модель с электромагнитным полем при наличии геометрических скалярных полей 80
4.4 Спипорное поле в 5-мериой вращающейся космологической модели 84
Глава 5. Космологические полевые конфигурации в аффиино-метрическом пространстве 95
5.1 Однородная космологическая модель в интегрируемой геометрии Вейля 95
5.2 Анизотропная космологическая модель при наличии следа кручения в интегрируемой геометрии Вейля 100
5.3 Анизотропная космологическая модель в отсутствии следа кручения в интегрируемой геометрии Вейля 102
Заключение 107
Литература 114
- Пятимерная геометрическая модель гравитационного взаимодействия электромагнитного поля в аффиино-метрическом пространстве
- Равновесные распределения геометризированного электрического поля при наличии геометрических скалярных полей
- Манитные конфигурации при наличии неметричности в отсутствии геометрических скалярных полей
- Вращающаяся космологическая модель с магнитным полем геометрического происхождения в отсутствии геометрических скалярных полей
Введение к работе
Актуальность проблемы. Привлечение геометрических идей в теоретическую физику оказалось чрезвычайно плодотворным для описания физической реальности. На сегодняшний день любая фундаментальная физическая теория содержит в своей основе некоторый комплекс геометрических идей.
Путь развития теоретической физики, намеченный Т.Калуцей еще в 1919 г., привел к построению физических теорий в пространственно-временных многообразиях размерности, большей четырех. Возникло и уже оформилось целое направление геометрического описания гравитации и других фундаментальных взаимодействий в многомерной схеме Калуцы-Клейна.
Идея о многомерном мире, в котором скрытые (дополнительные) размерности проявляются в виде электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий необычайно обогащает теоретическую физику, приводит к геометрической унификации фундаментальных физических закономерностей.
Одной из центральных проблем современной теоретической физики является проблема объединения теорий известных физических взаимодействий. Большинство исследований в этой области ведется в рамках калибровочного подхода, который основан на введении тех или иных внутренних симметрии и локализации соответствующих групп Ли. Классическим примером полевой теории такого типа является модель электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама.
Другой канал исследований по этой проблеме в современной теоретической физике представляют собой многомерные геометрические модели объединенных теорий физических взаимодействий. Их создание обусловлено тем, что согласно эйнштейновской теории относительности гравитация объясняется искривлением пространства-времени, и объединение гравитации с другими полями представляется естественным развивать в рамках геометрического подхода. Основная идея этого подхода состоит в том, что дополнительные компоненты метрики многомерного пространства-времени можно интерпретировать как бозонные поля переносчиков физических взаимодействий.
Такой подход развивается в так называемых "теориях типа Калуцы-Клейна", основанных на построении римановой геометрии в пространстве 4 + п измерений и последующей редукции дополнительных размерностей. При этом уравнения Эйнштейна в 4 + n-мерном пространстве будут описывать как теорию гравитации в 4-мерном пространстве-времени, так и другие фундаментальные взаимодействия.
Дополнительные возможности в решении проблемы объединения фундаментальных физических взаимодействий открывает использование в многомерных моделях других, кроме кривизны, возможных геометрических характеристик пространства-времени, таких как кручение и неметричность, что позволяет "экономить"дополнительные измерения.
В данной работе как раз и используются эти дополнительные возможности для решения указанной актуальной проблемы объединения фундаментальных взаимодействий.
5-мерные теории (п = 1) анализировались еще в 20-х годах в работах Т.Калуцы, О.Клейна, А.Эйнштейна, Г.Манделя, В.А.Фока, Луи де Бройля и других.
В пионерской работе Калуцы предложено единое описание гравитации и электромагнетизма в рамках 5-мерного искривленного пространства-времени с метрикой Gab, где А, В = 0,1,2,3,5. Калуца постулировал независимость геометрических величин от 5-ой координаты.
В конце 30-х годов был развит метод 1 + 4-расщепления 5-мерного многообразия, который впоследствии был переоткрыт в рамках 4-мерия (метод 1 + 3-расщепления) для описания систем отсчета в общей теории относительности.
Следующий этап исследований многомерия (конец 40-х - начало 50-х годов) связан с отказом от условия постоянства пятнадцатой компоненты 5-метрики (С?55 = —1). Это было сделано П.Йорданом. В результате была получена теория с дополнительным скалярным полем. В работах П.Йордана, И.Тири, К.Юста , Г.Людвига и других было рассмотрено взаимодействие скалярного поля с обычными видами материи, найдены первые сферически-симметричные и космологические решения скалярно-тензорной теории гравитации. К этому же периоду относится первая попытка обоснования гипотезы Дирака о возможном изменении гравитационной константы посредством скалярного поля. Несколько позже К.Бране и Р.Дикке предложили теорию, видимо имеющую истоки в 5-мерии, со скалярным полем, не связанным с геометрией. Она была названа скалярно-тензорной теорией Йордана-Бранса-Дикке.
Цикл исследований, проведенный в 50-х годах Ю.Б.Румером, имел большое значение для развития отечественных исследований многомерных теорий. Его результаты изложены в монографии "Исследования по 5-оптике". Следует отметить некоторые характерные черты этих работ. Массивные частицы в 4-мерном мире рассматривались в 5-мерии как движущиеся по изотропным геодезическим. В рамках 5 измерений это привело к ряду трудностей. Однако в многообразиях большего числа измерений трудности
5-оптики устраняются, а постулирование изначального отсутствия масс покоя у частиц широко используется в теоретической физике, например в модели электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама (до спонтанного нарушения симметрии) и в теории сильных взаимодействий.
Во-вторых, Ю.Б.Румер пытался связать идею Эйнштейна-Бергмана о замкнутости мира по 5-й координате с закономерностями квантовой механики. Известно, что сами авторы не связывали замкнутость с какими-либо физическими обстоятельствами. Эта идея не получила дальнейшего развития.
В конце 50-х и в 60-х годах интерес к многомерным теориям спадает.
Однако исследования по этой тематике продолжаются в группах А.Лих-неровича, М.Тоннеля (Франция), Э.Шмутцера (ГДР), Ю.П.Пытьева (СССР, МГУ) и других. Именно в этот период выполнен ряд интересных исследований. И.Сурьо рассматривает зависимость от х5 всех компонент метрики и волновых функций частиц. В.И.Родичев предложил описывать электромагнитное поле 5-мерным тензором кручения. Начинается изучение возможностей физического приложения многомерных теорий шести и большего числа измерений (Дж. Подоланский, Н.С. Калицин).
После относительного спада в 50-е - 60-е годы интерес к многомерным геометрическим моделям типа теории Калуцы-Клейна в 70-е - 80-е годы значительно возрос. Это было обусловлено рядом обстоятельств. Прежде всего, это связано с прогрессом исследований электрослабых и сильных взаимодействий. Было показано, что эти взаимодействия переносятся векторными промежуточными бозонами, как и электромагнитное поле, геометризуемое в 5-мерной теории Калуцы-Клейна. Во-вторых, многомерные модели привлекли внимание теоретиков новыми возможностями обобщения подхода Калуцы-Клейна на случай неабелевых векторных полей и грассмановых переменных, играющих на сегодняшний день принципиальную роль при описании взаимодействий элементарных частиц.
Кроме того, в последнее время удалось существенно продвинуться в решении ряда проблем многомерной теории, которые стояли еще на первом этапе ее развития: проблемы ненаблюдаемости пятого измерения, построения методики физической интерпретации дополнительных компонент многомерной метрики и других.
В работах Ю.С.Владимирова и его группы (МГУ) начиная с 70-х годов систематически исследуются возможности 5-мерных, 6-мерных, 7-мерных и т.д. классических геометрических теорий. Основу этих исследований составляют:
- существенно усовершенствованные методы 1 + (п — 1) —, 1 + 1 +(п — —2) —,.. .-расщепления n-мерного многообразия (монадный, диадный и т.д.
соответственно) имеющие истоки в работах Г.Манделя, А.Эйнштейна и П.Бергмана, А.Л.Зельманова и других авторов;
рассмотрение связи скалярного поля с конформным фактором, в свое время введенным в теорию Вейлем;
использование более общей зависимости от дополнительных координат вида
Ф = ц>{хц) ехр[іа{є5х5 + вх6)],
где 1р(х^) - часть величин, как геометрических, так и вводимых в геометрию извне, зависящая лишь от классических координат, а - малый параметр размерности [с-1], характеризующий периоды компактификации по дополнительным размерностям, є$, є$ - безразмерные параметры;
процедура усреднения по периодам зависимости от дополнительных координат;
современные методы описания спиноров в многомерных искривленных многообразиях.
В результате исследований были построены многомерные теории поля, объединяющие общую теорию относительности с теориями электромагнитного, электрослабого и даже сильного взаимодействий: б-мерная модель гравиэлектрослабых взаимодействий, содержащая основные элементы модели электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама; 7-мерная модель гравиэлектрослабых взаимодействий, описывающая три поколения элементарных частиц; 7-мерная модель гравиэлектросильных взаимодействий, описывающая основные элементы классической (не квантовой) хромоди-намики.
И, наконец, совсем недавно в работах Ю.С.Владимирова и Губанова была построена 8-мерная модель грависильных взаимодействий в метрическом варианте, в которой бозонный и фермионный секторы взаимосогласованы. Она путем редукции к 7-мерию переходит в геометрическую модель гравиэлектрослабых взаимодействий для всех трех поколений леп-тонов.
При этом возможны варианты с меньшим числом измерений, если вводить в многомерное пространство дополнительные неримановы объекты: кручение и неметричность.
Одним из таких вариантов является 5-мерная геометрическая теория гравиэлектрослабых взаимодействий, построенная В.Г.Кречєтом, в которой "экономия "дополнительных измерений достигается благодаря использованию в качестве модели 5-мерного пространства-времени аффинно-мет-рического пространства с кручением и неметричностью вейлевского типа (Улдвс = 2WAgBc)-
Здесь важно отметить, что многомерные геометрические теории типа Калуцы-Клейна могут рассматриваться как генераторы аффинно-метри-ческих теорий гравитации в 4-мерном пространстве-времени, которые получаются в результате (4 + п)— разбиения определенной многомерной теории Калуцы-Клейна с помощью монадного, диадного, триадного и т. д. формализмов. В результате такой процедуры получается 4-мерная аффин-но-метрическая теория гравитации со взаимодействующими векторными и скалярными полями, имеющими геометрическое происхождение, которая возникает путем проектирования на 4-мерное пространство-время функционала действия многомерной теории. Предлагаемая в диссертационной работе теория является теорией данного типа.
Целью диссертационного исследования является построение теории гравитационного взаимодействия электромагнитного поля, имеющего геометрическое происхождение в аффинно-метрическом пространстве-времени с кручением и неметричностью, с использованием схемы пространственно-временного проектирования 5-мерной геометрической модели гравиэлектрослабых взаимодействий, рассмотрение астрофизических и космологических эффектов этой геометрической теории,исследование эффектов как в бозонном секторе модели, так и фермионном секторе.
Научная новизна. В диссертации путем редукции 5-мерной геометрической модели гравиэлектрослабых взаимодействий к 4-мерному пространству-времени построена теория гравитационного взаимодействия электромагнитного поля и скалярных полей, имеющих геометрическое происхождение в аффинно-метрическом пространстве, оснащенном кручением и неметричностью вейлевского типа. Исследованы и найдены различные астрофизические эффекты и космологические следствия разработанной теории. Показано, что представленная теория в предельном переходе к 4-мерию и римановой геометрии общей теории относительности совпадает с теорией Эйнштейна-Максвелла.
Новыми являются следующие результаты, полученные в диссертации:
-
Построена новая геометрическая теория гравитации и электромагнетизма, являющаяся обобщением теории Калуцы-Клейна с учетом возможных эффектов кручения и неметричности пространства-времени.
-
Показана возможность существования калибровочно-инвариантного взаимодействия электромагнитного поля и неметричности пространства-времени, в следствии чего, напряженность электромагнитного поля может являться источником неметричности пространства-времени.
-
В представленной теории показана возможность получения конечной
полевой массы электрона.
-
Найден способ перенормировки больших значений масс (порядка планковских) векторных бозонов, получающихся в теориях, типа Калуцы-Клейна, и больших значений космологического Л-члена векторных бозонов, получающихся в объединенных полевых теориях.
-
Найдены новые астрофизические эффекты построенной теории гравитации и электромагнетизма в аффинно-метрическом пространстве, которые не имели место в прежних теориях электромагнетизма, такие как возможность существования струноподобных конфигураций, антигравитационных эффектов, геометрий типа L-пространства (по терминологии Фролова) и другие.
-
В данной теории для космологических моделей показано, что влияние дополнительных измерений и аффинно-метрических объектов пространства-времени может проявляться в виде эффектов скрытой массы ("темной материи") и "темной энергии".
Научная и практическая ценность работы.
Методы и результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы в курсе теоретической физики, а также в спецкурсах по отдельным проблемам теоретической физики. Развитые методы носят общий характер, что позволяет применить их для построения новых вариантов теорий фундаментальных взаимодействий полей в аффинно-метрическом пространстве.
Кроме того, полученные результаты могут быть использованы на физическом факультете МГУ, во ВНИИМС, в Российском университете Дружбы Народов, в Казанском, Красноярском, Томском, Пермском, Владивостокском государственных университетах и Ярославском государственном педагогическом университете.
Научные положения, выносимые на защиту содержатся в списке основных результатов диссертационной работы.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 6-ой конференции молодых ученых (Ярославль, ЯГПУ, 1998), 10-ой Российской гравитационной конференции "Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации" (Владимир, 1999 г.), 11-ой международной конференции "Теоретические и экспериментальные проблемы относительности и гравитации" (Томск, 2000 г.), V-ой международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001 г.), а также обсуждались на научных семинарах "Геометрия и физика" под рук. док. физ.-мат. наук, проф. Ю.С. Владимирова (физи-
ческий фак-т МГУ, 2003 г), международной школы-семинара "Проблемы теоретической космологии" (Ульяновск, 2000 г.), международной школы-семинара "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии" (Ульяновск, 2003 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы из 106 названий. Объём диссертации составляет 122 страниц текста, набранного в издательской системе ЖЩХ.
Пятимерная геометрическая модель гравитационного взаимодействия электромагнитного поля в аффиино-метрическом пространстве
Лаграижева плотность рассматриваемой геометрической модели грави-элсктрослабых взаимодействий складывается из геометрической и фермиои-ной частей: где ш = const, а то — затравочная масса. Здесь QAB = &лвс? сегментарная кривизна 5-мерного пространства-времени, выражающаяся в общем случае только через напряженность поля немстричиости: лв = 5 (WB,A — WA,B) а спинорная функция ф есть четырехкомпонеитпый дираковский спинор, как и в случае 4-мерного пространства-времени. Она представляет собой линейную комбинацию полей левого нейтрино і//,, левого электрона єі и правого электрона ец, причем считается, что заряженные лептоны являются периодическими функциями пятой координаты, а незаряженные от нес не зависят: где целочисленные коэффициенты щ,щ определяют номера гармоник разложения спинорных функций по пятой координате, а — малый параметр, определяющий период компактификации по пятой координат, а а Ь Ьц — постоянные коэффициенты разложения, определяемые из сравнения со стандартной теорией, jA — полный набор матриц Дирака в 5-мерном пространстве: 7л — (T/UTSJI удовлетворяющих условию фундаментальной связи метрики пространства со спином:
Далее ЧАф — ковариантная производная спинориой функции: ЧАф = ОАФ — Г л , где Гл — коэффициенты спинорной связности 5-мерного аффинно-метрического пространства [55] Здесь К А — произвольный спи і ітензор, раскладывающийся по дираковскому спинтензорному базису 5-мерного пространства (/ 7/Ь7(Л7я]): КА — РА? + f7A + T c [ujc i где Рл,(р,Т с — компоненты вектора, скаляра и тензора 3-го ранга, соответственно. Этот спиптензор можно использовать для калибровки коэффициентов спи норной связности.
Для физической интерпретации теории используется редукция 5-мерной теории на 4-мерное пространство-время, т. е. проводится (4+ -расщепление исходного 5-мерного многообразия с помощью монадного формализма [14], а затем производится усреднение плотности действия по малому периоду зависимости входящих в нее величин от пятой координаты. Монада Ал, ортогональная 4-мерному пространственно-временному сечению, выбирается в хронометрической калибровке: Ал = длъ ХлХА = 1 = #55- В рассматриваемом случае монада зависит от пространственно-временных переменных ха и периодически от а;5.С се помощью от 5-мерного метрического тензора длв отщепляется эффективный метрический тензор длв 4-мерного пространственно-временного сечения: длв — Мя +АлАд, ортогонального монаде, — длв в = 0, зависящий лить от пространственно-временных координат. Физическое значение имеют величины, спроектированные на направление монады и на пространственно-временное сечение. Например, для произвольного 5-вектора 7л имеем разложение: Тл = Тд + АлТ, где ТА = g%Тв — пространственно-спроектированная часть вектора, а, Т — ХАТА — проекция вектора на монаду.
В результате процедуры (4+1)-расщепления используемые в геометрической модели геометрические объекты представляются следующим образом: Здесь FpV = Xfcj,] + A A r;; S = SABCXAgugC; 6 = cliU Sv \ Sjwt — SABC9U9V9?- Считается, что антисимметричный пространственно-спроектированный тензор кручения Sfivi как и тензор F , выражается через свой потенциал Bfl: Sllv = В ] + В В . В рассматриваемой модели все геометрические векторы (монада, вектор неметричиости, векторы кручения) — А/(, В,и iSfj, W , Qn являются пропорциональными векторным бозонам 2G переносчикам электрослабых взаимодействий: электромагнитному потенциалу А(и нейтральному Z-бозону Z заряженным бозонам W } W , причем, через нейтральные бозоны выражаются независящие от пятой координаты составляющие геометрических векторов, а через заряженные бозоны их зависящие от пятой координаты составляющие, т. е. заряженные ТУ-бозоны являются гармониками разложения геометрических объектов по пятой координате:
Здесь постоянные a, b, q} ci, eg, k+, к-, m+, m_, р+, p_ — коэффициенты пропорциональности между геометрическими и физическими величинами, которые определяются или из эксперимента, или из сравнения со стандартной теорией, каковой считается калибровочная модель электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама.
Подставляя теперь соотношения (1.3.22), (1.3.21), (1.3.19) в лагранжиан (1.3.18) рассматриваемой геометрической модели гравиэлектрослабых взаимодействий и производя усреднение всех величии по малому периоду их зависимости от пятой координаты [14], получим лагранжиан, совпадающий с точностью до коэффициентов пропорциональности с лагранжианом стандартной теории электрослабых взаимодействий в унитарной калибровке. Эти коэффициенты затем находим из срапиепия с соответствующими коэффициентами в стандартной теории. Чтобы совпадали кинетические члены в фермионном секторе, следует положить коэффициенты a Lai, = Ь ьЬь = ЬдЬд = 1- После этого лагранжиан взаимодействия лептонов в данной модели примет вид:
Наличие Р-пеиивариаитпого слагаемого в лагранжиане взаимодействия обуславливает известное свойство Р-неинвариантности слабых взаимодействий. В данной модели нарушение Р-инвариантности слабых взаимодействий вызвано Р-иеинвариантностыо самого пространства, вследствие наличия в нем Р-неинвариантной пространственно-спроектированной связности Полученный лагранжиан взаимодействия, как видно, с точностью до коэффициентов а, 6, П2, а, су ,А+, к- совпадает с соответствующим лагранжианом взаимодействия стандартной теории, из сравнения с которым и опре-деляем эти коэффициенты: к+к — 2эе, а — ео/\/2зё, 6а — yjg\ + 521 ЮЬ = -Ъу/д\ + д% п2С\а — е0, ci/c2 — 9іІ9і, Щ = -2n2, где e0 — элементарный электрический заряд, д\, дг константы взаимодействия в стандартной теории. Примечательно, что такие же значения для коэффициентов а, 6, с\, С2, ...получаются из сравнения бозоиных секторов данной геометрической модели и стандартной теории, что свидетельствует о внутренней согласованности представленной модели. Кроме того в ней определяется и значение угла Вайнбсрга 0и/, очень близкое к его экспериментальному значению: tan(#ty) = 9\ідг — у/З/10.
В данной модели моиадная проекция вектора неметричности, являющаяся скаляром, W = \AWA играет роль хиггеовского ноля, спонтанно иа-рушающего локальную киральную группу 7(1) и{Х), гЛе U{1) — группа 7s вращений спинорного поля. Относительно этой группы до ее спонтанного нарушения инвариантен нейтральный сектор модели (и теории Вайиберга-Салама). При этом нейтральные бозоны — фотон и Я-бозон — являются калибровочными полями этой группы, а отдельно Я-бозоп и, соответственно, псевдослед 4-мерного кручения S(t являются калибровочными полями локальной группы 7s — вращений. Поэтому массы фермиоиов и бозонов в данной модели выражаются через вакуумное среднее скалярного поля W: масса электрона тс = y/(ri2Ct — bW)2 — Шд, масса нейтрино равна нулю, масса заряженных бозонов mw = л/3р+р-/п — шУУ2п\а2, масса Z-бозона mz = y/3{gf + #2)(92 — 6?/5 + 6W2)/2, масса фотона равна нулю.
Равновесные распределения геометризированного электрического поля при наличии геометрических скалярных полей
Для рассматриваемой системы уравнений (2.5.24) в координатах кривизн было получено также решение для двух скалярных полей, т. с. в отсутствии скалярного поля Ф, т. е. когда 555 = 1 где nt — минимальное значение координаты г, а С2, Сз — постоянные величины, играющие роль зарядов рассматриваемых полей, связанны между собой соотношением
Из решения следует, что г изменяется в пределах Tk г со. При г г к еА — отрицательная величина, т. е. пространство внутри г имеет две пространственные и две временные координаты. При г — оо еЛ —V 1, т. с. данная конфигурация будет асимптотически плоской. Для данного решения интеграл, определяющий полную энергию материальных полей [70, 74] сходится, т. е. решение является частицеподобным. Кроме того это решение обладает интересным свойством. Если мы в некоторой системе отсчета, определяемой полем врем ей и подобных монадных векторов та (тата = 1) хотим вычислить гравитационную силу, действующую на пробную частицу массой m со скоростью v в этой системе отсчета, то для этой силы получим выражение [105]: где со — угловая скорость вращения системы отсчета. Если частица покоится, вращение отсутствует, то имеет место следующее выражение F = —тГ дДля статических полей В данном случае она равна нулю, то есть в получившейся геометрии на пробную частицу гравитационное поле не действует. Это значит, что в полученном гравитационном поле существуют гравитационные силы как притяжения так и отталкивания, которые уравновешивают друг друга во всем пространстве данной геометрии. Итак, в заключении этой главы сделаем некоторые выводы. I. В рассматриваемой геометрической теории электрическое поле изо лированного электрического заряда (обобщенных закон Кулона) для первого варианта теории, когда д ъ = 1, иа. атомных и макроскопических расстояниях совпадает с законом Кулона стандартной электромагнитной теории. Для второго варианта рассматриваемой теории, когда д = (р2 1 результат получается намного интереснее. А именно при учете геометрического скалярного поля в законе Кулона устраняется сингулярность в центре для напряженности электрического поля при сохранении обычной кулоновской зависимости на атомных и макроскопических расстояниях, что приводит к конечному значению полевой массы электрона. II. При учете собственного гравитационного поля в задаче о распределе нии полей сферически симметричного источника (обобщенная задача Райс нера-Нордстрсма) решение этой задачи отличается от решение стандартной задачи Райснера-Нордстрема лишь постпостньютоновскими эффектами, ко торые приводят к расширению зоны антигравитации по сравнению со стан дартной задачей и к существованию решений типа Райснсра-Нордстрема да же в отсутствии электрического заряда, когда сферический объект является источником лишь поля исметричности. Кроме того в этом варианте существуют особые решения, которые отсутствуют в задаче стандартной теории. А именно существует решение, соответствующее наличию "духовых" полей, не дающих вклада в тензор энергии-импульса, и решение типа L-простраиства, когда пространство-время является конгруэнцией сфер одинакового радиуса, определяемого через электрический и дилатонный заряды. III. Во втором варианте теории, учитывающей наличие геометрических скалярных полей #55 и Т, пространство рассматриваемой полевой самограви тирующей конфигурации получается асимптотически плоским и не содержит поверхности горизонта, благодаря влиянию скалярных полей д и Т, с иаличием "голой" сингулярности в центре. Кроме того, для рассматриваемого случая существует особое асимптотически плоское решение, в котором шварцшильдовская масса рассматриваемой нолевой конфигурации является отрицательной, а гравитационное поле отталкивающим (ант и гравитация). IV. При отсутствии следа кручения получается (как уже говорилось выше) теория с массивными векторными полями с массами порядка планков-ских. Соответствующая сферически симметричная конфигурация не является асимптотически плоской с бесконечно возрастающей силой гравитационного отталкивания (антигравитацией), благодаря влиянию эффективного космологического члена ЛЭф = —ЗГ2/50. V. Б том случае, когда вектор неметричности Всйля является градиентным, получается гравитационная теория с тремя взаимодействующими скалярными полями. Равновесная сферически симметричная полевая конфигурация является частицеподобной.
Манитные конфигурации при наличии неметричности в отсутствии геометрических скалярных полей
Учитывая приведенные в этой главе результаты, можно сделать следующие выводы: I. В отсутствии геометрических скалярных полей и при наличии только одного электрического поля и магнитного поля, взаимодействующих с полем неметричности, полевые конфигурации могут образовывать объекты типа струны с коническим пространством в своей окрестности. И. Во многих случаях как при наличии геометрических скалярных нолей, так и при их отсутствии полевая конфигурация может образовывать пространство замкнутой геометрии по радиальной координате. Также конфигурации будут не наблюдаемы (100% гравитационный дефект массы). III. При наличии только одного азимутального или только одного осевого магнитных полей в отсутствии геометрических скалярных полей существуют духовые решения, когда результирующий тензор энергии-импульса равен нулю при отличных от нуля напряженностей полей. IV. Если присутствует только одно осевое магнитное поле у рассматри ваемой полевой конфигурации на асимптотике образуется бесконечно боль шой отталкивающий гравитационный барьер, который существует как при наличии геометрических скалярных полей, так и при их отсутствии. Разни ца заключается в том, что при наличии геометрических скалярных полей в окрестности оси существует обычная гравитация, сменяющаяся на антигра витацию при дальнейшем удалении. В отсутствии геометрических скалярных полей зона нормальной гравитации отсутствует. V. При наличии магнитного поля в зависимости от соотношения между физическими параметрами цилиндрически симметричные полевые распреде ления в рассматриваемой теории могут образовывать поверхность горизонта на бесконечности. VI. Существуют решения тина L-простраиства, когда пространство-вре мя — есть конгруэнция цилиндров одинакового радиуса. Они соответствуют решениям для L-нространства в сферической симметрии. В данной главе будем рассматривать вращающиеся однородные равновесные и иераиповесные нолевые конфигурации исследуемой модели [78]. Такие конфигурации часто встречаются в астрофизике, например, звезды, пульсары, галактики, а возможно и наша метагалактика. На микромасштабах вращающиеся конфигурации солитопного типа могут моделировать элементарные частицы со спином. Рассмотрим вращающуюся конфигурацию при наличии геометрических скалярных и магнитных полей, а также следа кручения, благодаря которому нолевые массивные члены компенсируются. Метрику 4-мерного пространственно-временного сечения выбираем в виде: где А, к — постоянные величины, к —1, a(t) — масштабный фактор. Такая метрика описывает вращающуюся нестационарную однородгіую космологическую модель [80] и является обобщением известной стационарной космологической модели Геделя [81], описывающейся метрикой па нестационарный случай и на наличие причинной структуры (позможности отсутствия замкнутых времениподобных кривых), определяемой параметром к; при к 0 — отсутствуют замкнутые времениподобпые кривые, а при к 0 — причинная структура нарушается. В случае модели Геделя к= -1/2, a(t) = 1. Угловая скорость вращения времени-подобиых конгруэнции модели, т. е, самого пространственного сечения этой модели, определяется формулой она убывает по мере расширения Вселенной. Из соображений симметрии векторные потенциалы выбираем в виде: Потенциал Ар в рамках геометрической трактовки электромагнитного поля соответствует метрическому коэффициенту С?5/(: Ар, Gfy. Такой потенциал описывает магнитное поле, направленное вдоль второй координаты на оси #2 . 31 = Лз,1. Основным видом материи, который обычно рассматривается в космологии, является идеальная жидкость. Поскольку мы здесь рассматриваем астрофизические и космологические приложения 5-мерной геометрической модели гравиэлсктрослабых взаимодействий, то будем учитывать возможное дополнительно наличие геометрического скалярного поля: ц = \Л 55 = еф.
При современном состоянии Вселенной видимая материя представляет собой идеальную жидкость с нулевым давлением. Излучение можно моделировать идеальной жидкостью с уравнением состояния р = є/З. Кроме того, в экстремальных условиях, существовавших на ранних стадиях развития Вселенной, бозонный концентрат векторных нолей описывается идеальной жидкостью с предельно жестким состоянием р = е. А вырожденный (ложный) вакуум описывается уравнением состоянием р — —є. Поэтому идеальная жидкость является одной из основных материальных компонент при исследовании космологических моделей.
Вращающаяся космологическая модель с магнитным полем геометрического происхождения в отсутствии геометрических скалярных полей
Здесь коэффициент ш = еа ХаIVQ h 0, где 1ц? — тетрадные коэффициенты, — угловая скорость вращения локального тетрадного репера (ротор тетрады), т. е. угловая скорость вращения пространства-времени. Он учитывает гравитационное взаимодействие спинорного поля.
Из приведенной формулы следует, что спинорное поле взаимодействует лишь с псевдоелсдом кручения пространства-времени и с вихревой составляющей гравитационного ноля, причем одинаковым образом, т. е. для спииорной материи оба эти объекта эквивалентны, и играют роль калибровочного поля локальной группы 75-вРаЩении Из выражения (4.4.7) также, следует, что, когда псевдоскалярное поле (аксионное поле) ipa удовлетворяет условию: (лф%ф = а рфф, то лагранжиан спинорного поля будет инвариантным относительно локальной группы 0(1) (75-вращений) и при ненулевой массе /А 0.
Соответствующим инвариантом Нетер для этой группы является аксиальный ток спинорного поля Іа = ф Ча.ІьФі удовлетворяющий закону сохранения Ч а{Фіа1ьФ) — 0. Особенно наглядно видна физическая роль псевдоследа кручения и угловой скорости вращения пространства-времени если выписать первое релятивистское приближение к уравнению Дирака в аффиннометрическом пространстве с кручением (следующее из лагранжиана (4.4.7)), т. с. соответствующее уравнение Паули [86]: Здесь Л — магнитный потенциал, Н — магнитное поле, Q, Q — пространственная составляющая псевдоследа кручения и вихря тетрады соответственно. Отсюда видно, что эффекты кручения и вращения одинаковы и совпадают с эффектами магнетизма, но они более слабые. С другой стороны следует отметить, что дираковскио спиноры ф присущи многообразию не четырех, а пяти измерений. Это связано с тем, что дираковские спиноры являются представлением алгебры Клиффорда С(4,1), соответствующей 5-мерному многообразию с сигнатурой (+ + +Ч—), а 5 матриц Дирака 71)72)73)74)75 = o! Al77o7y37A7ff являются образующими алгебры Клиффорда С(4,1). Следовательно, более корректно использовать уравнение Дирака в пяти мерном пространстве, выводимое из 5-мериого лагранжиана являющимся ковариаитпым обобщением на 5-мерное пространство, 4-мерного дираковского лагранжиана. Будем рассматривать спинорное поле в пятимериом пространстве-времени, в общем случае с учетом возможного присутствия кручения и пемст-ричности VА9ВС№ГЛВС Ф О, описываемом метрикой Будем использовать метод (4+1)-разбисния геометрических и физических объектов с помощью монадного формализма [2]. В качестве 5-мерной монады Ал выберем вектор Ад = дъл/л/Шъ, ЛлАд = 1, д = А5. С его помощью можно отщепить эффективный метрический тензор длв 4-мерного пространственно-временного сечения, ортогонального монаде Рассмотрим сначала случай, когда геометрическое скалярное поле V — л/Шь отсутствует, т. е. когда 55 = 1, и все полевые функции не зависят от 5-й координаты (условие цилиидричиости по 5-й координате). Тогда 5-мерный дираковский лагранжиан в 5-мерном аффинно-метрическом пространстве после процедуры 4+1 разбиения представится в виде: В геометрической теории электромагнитного поля компоненты монады А,, отождествляются компонентами электромагнитного потенциала Ац : А = 2%p-Afl, тогда Fftl/ = -{А и — Аи 11) — является тензором напряженности электромагнитного поля. Предпоследнее слагаемое в (4.4.10) описывает взаимодействие фермионов с электромагнитным полем через аномальный магнитный момент и нарушает СР-иивариантность лагранжиана. Это «нежелательное» слагаемое можно устранить или подбором тензора Qa , или же калибровкой спинориой связности Гд [85], Последнее слагаемое описывает геометрическим способом аксионное взаимодействие снипорного поля. В нем в качестве геометрического аксионного поля выступает монадная проекция 5-вектора следа неметричности. Кинетическая и потенциальная составляющие геометрического аксионного поля TQT a + U{T) содержится в геометрическом лагранжиане если в нем также провести процедуру 4+1 разбиения [87]. Здесь RPCAB сегментарная кривизна аффинно-метрического пятимерного пространства. В отсутствии неметричности она обращается в нуль. Таким образом, в пятимерной теории спииорного поля в аффинно-мет-рическом пространстве аксионное поле геометризуется, как и электромагнитное поле. В качество аксионного поля выступает монадная проекция следа неметричности пространства-времени: а(р Т — ХАТА. Можно указать еще один капал геометризации аксионного поля в 5-мерном пространстве. Аксионное поле можно рассматривать как масштабный фактор при пятой координате. Он содержится как в метрике; A? = G55 = a f 2 } даъ == 2AQAs, так и в экспоненциальной составляющей спинориой функции, если последнюю считать циклически зависящей от пятой координаты: ір(хл) = ф{ха)е 5Ірх (є — заряд электрона), С учетом введенных зависимостей, сиинориый оператор УЛ х после его (4+1)-представления запишется в виде: Учитывая полученное разложение в лагранжиане спинорного поля (4.4.10) и проводя в нем процедуру усреднения но периоду пятой координаты, окончательно перейдем к следующему представлению спинорного лагранжиана: .4.11) видно, что геометрическое скалярное поле Ад = \/дьь = V9 в последнем слагаемом лагранжиана (4.4.11) вместе с монадной проекцией немстричности Т также определяет аксионнос поле: В отсутствии неметричпости масштабный фактор при пятой координате А5 = (р целиком определяет аксионнос поле. Таким образом в рамках 5-мерной теории спинорного поля в аффинно-метрическом пространстве гсомстризируется как электрослабые взаимодействия [87], так и аксионное взаимодействие фермионов. Поскольку аксиопиые поля с неизбежностью возникают в теории спинор-ных полей в аффннно-мстричсском пространстве, их можно рассматривать в качестве главных кандидатов, объясняющих природу скрытой массы (темной материи), обнаруженной в наблюдательной космологии. Ниже для конкретного представления эффектов вращения и аксионного взаимодействия спинорного поля рассмотрим 5-мерную вращающуюся нестационарную космологическую модель со спииориым полем при наличии масштабного фактора tp{t) при 5-й координате, могущей играть роль, как было показано выше, геометризированного аксионного поля.
