Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Постановка обратной задачи динамики в ото и её произвол
1.1. Алгебра интегралов движения 20
1.2. Произвол решения обратной задачи 24
1.3. Системы определяющих уравнений для линейных и квадратичных интегралов в ОТО 25
1.4. Связь обратной задачи с задачей моделирования физических полей 32
1.5. Инфинитезимальная биколлинеация в псевдоримановых пространствах и и приближённое отображение мировых линий .41^
Глава 2. Решение обратной задачи по линейным интегралам движения
2.1. Решение обратной задачи по алгебрам линейных интегралов
заряженных частиц в конфигурационном пространстве 52 ?
2.2. Решение обратной задачи по алгебрам линейных интегралов заряженных частиц в зарядовом про странстве 66 ~
ГЛАВА 3. Решение обратной задачи по алгебре линейных и квадратичных интегралов
3.1. Соотношение между линейными и квадра тичными интегралами движения 71 ?
3.2. Методы решения обра тной задачи по квадратичному интегралу 74 Г
ГЛАВА 4. Решение обратной задачи динамики в случае полного разделения переменных
4.1. Разделение переменных в случае измерений
4.2. Разделение переменных в случае четырёх измерений
Основные выводы
Литература
- Системы определяющих уравнений для линейных и квадратичных интегралов в ОТО
- Инфинитезимальная биколлинеация в псевдоримановых пространствах и и приближённое отображение мировых линий
- Решение обратной задачи по алгебрам линейных интегралов заряженных частиц в зарядовом про странстве
- Методы решения обра тной задачи по квадратичному интегралу
Введение к работе
Краткий исторический обзор. В классической механике интерес к решению обратной задачи динамики непрерывно возрастал с момента первой её постановки и решения Ньютоном [52,с.12] и в особенности в наши дни, по мере развития техники и космонавтики. Многочисленные исследования обратной задачи в классической механике подитоживает монография [ 17] . Автор монографии считает, что впервые выделил класс обратных задач Г.К.Суслов в 1890 году. [71]
Под обратной задачей в классической механике понимается задача определения активных сил и моментов, приложенных к механической системе и дополнительно наложенных на неё связей, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой механической системы [l7,c.7] . Свойства движения могут задаваться различным способом. Наиболее изучены в классической механике обратные задачи, когда свойства движения заданы в виде интегрального многообразия !_, :
6(1 ЄЕ 6а (Хк, Х\ t ) - С а , Са= Consi, /С=і7п,0ИД Такие обратные задачи ставятся в следующих вариантах.
Построить систему уравнений движения
Восстановить уравнения движения
структура которых известна, но неизвестны параметры V^ .
3. Замкнуть систему уравнений
Хк= Ус{Х\ Хк, Vr, Ur, і)
построением замыкающих уравнений
vr=Vr(xK, ±к, щ ІГ, U І,к-П, г-ЇТГп.
Обратная задача в первом варианте была поставлена и решена академиком Еругиным Н.П. [32] . Необходимые условия осуществимости движения с заданным многообразием записываются в виде
Здесь функции Сра произвольные в случае С о. = О и обращающиеся в нуль на интегральном многообразии , в случае Са * О . Аналогичные уравнения возникают во втором и третьем вариантах. [I7.C.2 8]
Как наличие функций Ч^ так и ситуация, при которой число интегралов m меньше числа уравнений n , позволяют решать обратную задачу с большим произволом, в рамках которого можно накладывать дополнительные условия. Например, подчинить силовые функции полевым уравнениям или наложить условия устойчивости движения и его оптимальности. [17,с.12],[18,19], [ю], [ 9] ,[54]
В ОТО обратные задачи пробных частиц относятся ко второму варианту. Так как, приняв гипотезу геодезических или форму сил Лоренца, действующих на заряженные частицы, мы получаем общую конструкцию уравнений движения. Неизвестными будут компоненты метрического тензора Пік и бивектора электромагнитного поля Тік. » либо вектор- потенциала flj. в той или иной калибровке. [ЗЗ] ,
' [ S2J . [ б*]
Обратная задача динамики отличается от проблемы измерений или
проблемы наблюдаемых, которые рассматривались Килмистером С. [45,c.89-99j, Владимировым Ю.С. [14] , Арифовым Л.Я. [7,с.50-57] и в других работах, где основной задачей является выбор способа
задания координат или систем отсчёта в общей теории относительности.
В работе [7,с.50-57J показано, что между координатами десяти независимых событий ( не лежащих на одной изотропной гиперпо-
верхности) Ma. , a=l,W в пространстве ОТО U,(-++*), задаваемых в малой окрестности точки наблюдателя Жо,~ (dxl)a » і= о^з , интервалами между Жо и Jia~ |= а и значениями метрического тензора О. і к: в точке Жо имеется связь:
* 5=2 е2 2
S3 П -. О 4
3"="(«Х<>)?' 9"=(oLx')f ^"(rfi»)!' ^Vl3)*
1 fe? I, *г (<*зс3Ъ tiL (da0)
?
^03 2IWxV^)? N<**bfa*3)? 5l(dx^)?(doc)J ^зг Z4dL&dx*)S ч (dx*)9(dx*)l+ Si(d *%(<**!)]'
Г2~ 2 1(^1^2)^ ^з (dix%(dL&)\ Sz(dx3)ddx*)ly
0 1 [e,0 |,l ^ (dx*),o (dx})i0 |
Z3i " 2l(dx< ct^,o 5ч (dx%(dx*)'{ ^(dxXidxyJ'
Є«- = - 1- (2)
Из формул (2) видно, что при фиксированных интервалах а
и значениях компонент й;к , для введения координат (dxl) а остаётся большой произвол. Однозначный выбор координат по каким
- б -
либо дополнительным условиям физического или математического характера - нетривиальная задача, и в настоящее время не решена до конца в виду того, что дополнительные условия можно полагать в самых разнообразных вариантах.
При решении обратной задачи динамики считается, что каким-либо образом проведена арифметизация точек пространства Vv и введена координаты в конечной области G , включающую точку наблюдателя Ло, и в этих координатах заданы свойства движения. В диссертации рассматривается точечная пробная частица, обладающая динамическим,а не стохастическим характером движения, и полагается, что ее свойства движения заданы конечным числом первых интегралов движения, записанных во введенных координатах. Причём для упрощения решения обратной задачи можно провести преобразования координат, приводящие интегралы движения к каноническому виду, а затем осуществить обратные преобразования.
В ОТО обратная задача динамики была впервые поставлена академиком Седовым Л.И', как навигационная задача. Свойства движения задавались в виде отклонений подвижного репера.базы относительно неподвижного, связанного с системой гироскопов. Определяются компоненты метрического тензора О. і к [ 62 J
Предложение приближенного определения метрического тензора 1К(х) пространства ОТО \Д по полям Якоби взаимного отклонения потока геодезических, исходящих из одной точки, было высказано в работеL I ]
Сингатуллиным Р.С. решена обратная задача в статических пространствах ока по вторым интегралам движения и по заданному полю скоростей. [64] , [65] , [63]
К особому классу обратных задач динамики относится задача определения силовых полей, которые допускают разделение переменных
в уравнении движения в форме Гамильтона-Якоби. Они решались ещё Штеккелем [103-105] и получили полное решение в классической механике в работе Яров- Ярового [81] .В ОТО квадратичная форма гамильтониана не является положительно определенной. Ввиду чего возникают новые случаи, найденные различными авторами [76] , [108] , [83] , и в нашей работе [35,36] . В работах [36] , [ЗЗ], [78] заданными считаются полный интеграл действия S( р,р), либо обобщенный импульс Р;(х), который,вообще говоря, является " ненаблюдаемой" величиной. Однако, математически проще исследовать симметрию уравнений Гамильтона-Якоби, полученные в этих работах решения позволяют находить волновые функции уравнений, для которых уравнение Гамильтона-Якоби является характеристическим,[50], например, уравнения Клейна-Гордона и Дирака в ОТО. Этой задаче посвящены многочисленные исследования. [74] , [8] , [84] , [49]
Ценность методов обратной задачи динамики состоит в частности в том, что они не требуют привлечения полевых уравнений. Это обстоятельство позволяет находить пространства ОТО, подчиненные как теории тяготения Эйнштейна, так и различным неэйнштейновским теориям гравитационных полей, если уравнения движения основываются на гипотезе геодезических или имеют подобную конструкцию, а подчинение полевым уравнениям укладывается в рамки произвола решения обратной задачи. Так в работах [10,9] , [54] найдены вакуумные и электровакуумные поля тяготения Эйнштейна, допускающие разделение переменных в функции действия S .
В рамках неоднозначности решения обратной задачи динамики в ОТО А.З. Петровым ставилась задача геодезического и квазигеодезического моделирования гравитационных и* электромагнитных полей
56 - 58] , хотя в этих работах обратная задача в общей постановке не рассматривалась. В нашей работе [66] поля тяготения моделируются произвольными силами в плоском трёхмерном простран-
стве и находится конструкция этих сил, а в работе [67] даётся обобщение задачи моделирования и выдвигается задача инфинитези-мальной биколлинеации.
Известно, что интегралы движения образуют алгебру относительно скобки Цгассона. [27,с.318-321 ]
Корректная постановка обратной задачи динамики по интегралам движения требует , чтобы заданные интегралы образовывали замкнутый идеал алгебры. [ 33 ]
Впервые в мех анике вывод интегралов движения из законов симметрии предложил Якоби в І88Ч году [79,с.54] . Клейн первым обратил внимание на теоретико-групповой характер законов сохранения, в частности, при изучении уравнений ОТО. [93] Эмми Нётер в 1918 году доказывает первую, а затем вт орую теоремы, в которых конструктивным образом строятся интегралы движения Лагранжевых систем по законам симметрии функции Лагранжа. [1011
Первая теорема Нётер гласит, что всякому конечно-параметрическому (зависящему от S постоянных параметров) непрерывному преобразованию динамических величин U.;(X) и одновременно координат Xі по формулам
X"— Хк = Хк+#х*, ^
lUlx) — UK(X) =LU(x) + 6lU,
5 S | (3)
11 = 1 пм J
где ОСО _ независимые постоянные параметры, обращающему в нуль вариацию действия динамической системы с функцией Лагранжа L (3C*J ЦК(ЗС) ІХк)Є(ЗС)) соответствует 5 интегралов движе-
№
'Здесь интегрирование ведется по пространственной гиперповерхности б' и фактически не зависит от неё, а
Во второй теореме Нётер считается, что параметры )\п и пп зависят от координат, но как и в первом случае преобразования (3) образуют группу.
Интегралы движения вида (4) называются Нётеровскими.
Среди многочисленных попыток дальнейшего обобщения теоремы Нётер отметим следующие, Добронравов В.В. [ 26,с.151-152,159-I6IJ вводит преобразования, параметры которого зависят не только от координат Хк ,но и от скоростей Ік . Исходя из инвариантности действия механической системы относительно таких преобразований он получает обобщённо-нётеровские интегралы движения и для интегралов такой конструкции доказывает обратную теорему. То есть для обобщённо-нётеровских интегралов движения находит преобразования, оставляющие действие системы инвариантным. Но алгебраическая природа этих преобразований и интегралов не выяснена. Кроме того, механические системы могут обладать и нёнётеровскими интегралами движения. Например - вектор Лапласа-Рунге- Ленца [47,с.53] Д = V^n - ~
Алгебраические свойства этих интегралов приводятся в монографии. [27, с.322 ]
Ибрагимов Н.Х. [39] и Шаповалов В.Н. [73] обобщают теорему Нётер для преобразований, образующих группы Ли-Беклунда, параметры которых могут содержать производные динамических величин любого порядка.
Ибрагимов Н.Х. [40] , а также Кандотти и другие [83] показали, что инвариантность экстремальных значений функции действия систе-
мы является не только достаточным,.но и необходимым условием существования нётеровских интегралов.
Ибрагимов Н.Х. показал, что и вектору Лапласа-Рунге-Ленца соответствует однопараметрическая группа преобразований Ли-Беклун-да на траекториях движения частиц. [41,с-.255-25б]
Однако, вопрос о том, что каждому ли интегралу движения,включая ненётеровские интегралы, соответствует преобразование Ли-Беклунда, остаётся открытым.
Актуальность темы. В предлагаемой работе,рассматривается обратная задача динамики пробных частиц в ОТО. Работа объединяет и систематизирует многочисленные исследования симметрии полей тяготения и электромагнитных полей, устанавливая их отношение к решению обратной задачи динамики в ОТО. Выделены различные варианты решения в зависимости от вида интегралов движения в полях особой симметрии. Результаты могут найти применение в различных областях физики, механики и техники.
В космологии - для определения полей тяготения и отделения электромагнитных полей по интегралам пробных частиц, подобно тому как Ньютон нашёл вид силы тяготения по интегралам Кеплера. [52]
В матфизике - для построения волновых функций квантовых частиц, [50] , [8]
В механике - для моделирования программированного движения. Здесь программа движения задается интегралами движения, f 63 J , [20] , [19]
В технике - для конструирования приборов и узлов машин. [22 J
Целью работы является разработка алгебраического подхода к обратным задачам динамики, получение уравнений для решения обратной задачи динамики пробных частиц в ОТО по интегралам движе-
- щ-
ния и их решение для различных алгебр линейных и квадратичных интегралов движения.- .
Метод исследований основан на групповом подходе к исследованию уравнения движения, разработанном С.Ли [97] , Л.В.Овсянниковым [53] , Н.Х. Ибрагимовым [38] , В.Н.Шаповаловым [73] . Этот подход является естественным и самым общим в том смысле, что любому интегралу движения пробной частицы в ОТО соответствует некоторый вектор группы преобразований Ли-Беклунда [33,34] , а для отыскания многообразия, состоящего из уравнения движения и его дифференциальных следствий любого порядка, необходимо знать касательные к этому многообразию вектора группы Ли-Беклунда, которые выражаются, в нашем случае, через интегралы движения.
Заметим, что другие возможные подходы, как правило, приводят к другим системам уравнений. [б7] , [бб] , [5l] , [2]
Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту.
I. Дан алгебраический подход к решению обратной задачи динамики пробной заряженной частицы в ОТО.
П. Получены уравнения для решения обратной задачи динамики пробных частиц по интегралам движения применительно к ОТО. В одних случаях это известные уравнения [77, с.84-86 ] , [74] в других, когда заряд является' линейным интегралом, возникают новые системы уравнений. [34]
Ш. Дана классификация электромагнитного поля по алгебрам линейных интегралов.
ІУ. Указаны формулы зарядовых преобразований метрического тензора 0 і к и вектора НІ электромагнитного поля, сохраняющие алгебру интегралов движения в специальных случаях, когда заряд является линейным интегралом движения.
4--- . .... ,_
У. Указана возможность решения обратной задачи по квадратичному интегралу в рядах и связь линейных.и квадттичных интегралов движения, упрощающая решение обратной задачи по квадратичным интегралам.
УХ. Приведено решение обратной задачи по.заданному обобщенному импульсу в том случае, когда задана алгебра взаимно коммутирующих линейных и квадратичных интегралов движения, в. случае полного разделения переменных. В отличие от решения В. Н. Шаповалова для свободной частицы в Римановом пространстве [76] рассматрива-ется^движение_заряженной частицы в ОТО1.
Теоретическое значение. Указана связь различных геометрических
задач с обратной задачей динамики в ОТО'. Получены новые уравне--
ния,раскрывающие симметрию пространств и электромагнитных полей,
когда заряд пробной частицы ( является линейным интегралом
движения*
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались, и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:
X. % семинатэе кафедры теории относительности, и гравитации Казанского университета ( руководитель проф. В.Р.Кайгородов -июль.Х973 г, декабрь X98Q г., ноябрь Х98? г.).
?. На объдиненном семинаре кафедры теоретической физики и лаборатории антиферромагнетиков и ферритов.Башкирского государственного университета ( руководитель проФ. МЛ. %рзетдинов -ноябрь Х980 г., март X981 г., ноябрь 19р2 г.).
На П-ой научно-гпрактической конференции молодых учёных С Уфа, апрель Х98П г.).
На семинаре Отдела физики и математики Б^АН СССР )( рук.. ггооФ. Н.Х. Ибрагимов, декабрь.Х982 г., рук.проф". В.її. Хвостенко, ноябрь Х9^Х г., ноябрь 1982 г.).
- ІЗ -
* - .......
На семинаре кафедры.теоретической и экспериментальной, фи-. зикй Башкирского педагогического института (рук. канд. физ.мат. наук, доц. Р.С. Сингатуллин, февраль X98Q г., март Т98І г., декабрь 1982 г.).
На итоговых научных конференциях Башкирского педагогического института ( январь 1979 г., январь 1980 г., февраль 1981 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано семь статей . Из них работа [37] выполнена совместно.с.Н.С.Шавохиной, работы [Зб,б7,бб] выполнялись совместно с Р.С.Сингатуллиным, работа [35| выполнена совместно с М.В.Головиным. Работы [33] , [34] являются.самостоятельными исследованиями автора. .
Объем работы. Диссертация состоит из введения,четырех глав, заключения, списка, литературы и. изложена на страницах машинописного, текста. Список литературы.включает ТО^ наименований отечественной-и.зарубежной.литературы. Краткое содержание диссертации.
Введение содержит обзор литературы по тематике данной работы и.обоснование, темы диссертации'.
Первая глава. В ней излагается и анализируется общий подход к решению обратных задач динамики пробных частиц с точки зрения алгебр Ли-Беклунда, разработанных Н.Х.Ибрагимовым [38] и В.Н. Шаповаловым. [73]
Устанавливается изоморфизм между первыми интегралами движения уравнения Гамильтона-Якоби и каноническими.операторами Ли-Беклунда симметрии уравнения Гамильтона-Якоби. Приводятся основные увавнения для решения обратной задачи динамики пробной частицы в ОТО в разных вариантах.
Указывается связь обратной задачи динамики с другими известными задачами. [5*-5*] , [б9] , [25] , [66,67] , [2^] , [50] ,
[5Т].Дг]Д5І
В І.Т кратко излагаются основные результаты тэабот Гзз]Д73]. Вводится оператор симметрии системы уравнений и инфинитезима-льннй оператор л к симметрии Ли-Беклунда. Такие операторы также называются допустимыми системой, уравнений. Рассматривается алгебра операторов Ли-Беклунда Хк . Устанавливается изоморфизм между каноническими операторами Ли-Беклунда Хб и образующими функциями, 6 .
В Т.І диссертации утверждается, что условие допуска уравнением движения оператора симметрии Ли-Беклунда Хб является основным уравнением для решения обратной задачи динамики по заданным интегралам движения, если установлена связь между 6 и интегралом движения.
Доказывается, что, по крайней мере, для уравнения Гамильтона- Якоби пробной заряженной частицы в ОТО первый интеграл движения является определяющей функцией б оператора Ли-Беклунда Л6* симметрии уравнения движения. Этим устанавливается алгебраический подход к решению обратной задачи динамики пробной частицы в ОТО [ЗЗ] , который легко обобщается для Гамильтоновых систем. Вновь возвращаемся к основополагающему для обратных задач динамики уравнению "^ругина ГГ) . но полностью раскрыв алгебраическую сторону задачи, что является существенным для ее решения по двум причинам. Во-первых, раскрывается правая часть уравнения (I)
о.(ЗС,р) от которой зависит такая структура алгебры интегралов, как ее деффект О . Во-вторых, для решения привлекаются коммутационные уравнения алгебры*
В 5 Г.? накладываются ограничения на интегралы движения. Предполагается, что пробные частицы в ОТО, описываемые квадратичным гамильтонианом, имеют генераторами алгебры интегралов только ли-
нейные и квадратичные.интегралы движения,..а интегралы с большими чем два степенями скорости или обобщённого импульса возникают как линейные комбинации с постоянными коэффициентами генераторов алгебры. Это предположение исследовалось разными авторами [?Т] и строго доказано только для систем, допускающих полное разделение переменных, [ЗЗ] , [7б] , [74] где известен полный набор интегралов и все они не выше второго порядка.
Затем предполагается, что зависимость функции действия пробной частицы в ОТО от собственного времени класса С1 .
В этих предположениях основное уравнение для допустимого оператора симметрии Хб упрощается. После чего можно сделать вывод о произволе решения обратной задачи динамики в.ОТО по интегралам движения пробных заряженных частиц или фотонов. А именно, произвол определяется алгеброй интегралов движения заряженных или незаряженных частиц с ненулевой массой покоя деффекта нуль и деф-фекта один в случае фотонов.
В 1-;3 диссертации получены системы уравнений, на которые распадается основное уравнение обратной задачи в рамках сделанных предположений.
Б случае, когда заряд пробной частицы считается постоянным числом, получаем системы уравнений Киллинга для заданного линейного или.квадратичного интеграла в искомом пространстве \ц
77,с.84-8б] , а так же для искомого электромагнитного поля.[74] Решение обратной задачи динамики по линейным интегралам движения тел в нашем подходе соответствует задаче классификации пространств ОТО по. группам изометрических движений, полностью решенной Петровым А.3.., Кайгородовым В.Р. Дбдуллиным В.И. [55, с.Х45-Т^8] , затем задаче классификации электромагнитных полей по этим векторам Киллинга, полное решение которой дается во вто-
рой главе диссертации. [ЗЗ, 34] .
Решение обратной задачи по интегралам фотонов, соответствует классификации пространств по группам конформных движений, когда траектории группы лежат на изотропных„поверхностях. Такие группы и пространства ОТО Vv найдены Биляловым Р.а>. [12 , 13] , [55,с.274]
Заметим, что предположение об определенности собственного времени пробной частицы класса С1 является существенным. Так как. заметил Килмистер С. [45] , из общих алгебраических позиций теории наблюдаемых, а в работах [2-5] , [56І , І67І „ [69І , [701 непосредственными вычислениями показано, что когда.собственное время пробой частицы не определено однозначно, пространства \Л/ допускают группы.проективных движений, полностью найденных Амино-вой А.В- [г- 5].. либо биколлинеации.
Ситуация меняется, если заряд частицы О сам.является интегралом движения (J= 3,4 х) Pi +VR (^) .В работах Калуцы [ 43 ;, с.529] , Эйнштейна [7В, с.317] и других [і4,с.213-234] условие того,что заряд частицы является интегралом движения,оказывается необходимым следствием соответствия псевдоримановых.пространств V5 и пространств ОТО Vh . В этих пространствах совпадают движения, по геодезическим в VS и траектории заряженных частиц в
. При решении.обратной задачи динамики в ОТО по алгебре интегралов движения возможны два варианта: либо запяд частицы является числом, тогда находим Уц и электромагнитное поле пі ; либо заряд -г линейный.интеграл движения, тогда находим другие Уц и Ні . Тепетзь условие того, что заряд - линейный интеграл, выступает ДОСТаТОЧНЪШ. уСЛОВИеМ СООТВеТСТВИЯ Vvf^Vi/, пі^/іі , сохраняющего интегралы движения, ^го назовем затэядовым преобра-
зованием. [34]. В 1.3 диссертации найдены формулы, осуществляющие зарядовые преобразования. Они легко обобщаются на пространства большой размерности и тогда получающееся соответствие является более общим, чем соответствие Калуцы-Эйнштейна, где в пространстве V5 нет электромагнитного поля.
В 1.3 для алгебры квадратичных интегралов ба = 6а (хірірк**" * ^{xjp^ + Ч^а(х) выясняется,что если в \Д нет линейных интегралов, то пространство уц является частным случаем Штеккелевых пространств. [33]
Если ба.К взять за метрику пространства V<, , то, если Ja - вектор движений пространства Vi, , то этот же вектор будет вектором электромагнитных движений в пространстве Vij »[33j
Если среди линейных интегралов Ja нет интеграла, через который выражается заряд Q , то квадратичные интегралы приводятся
К виду ба=баК(ЗС)(Рі-!азс))(Р,с-!Д^))+^а(Х) * если линейная часть задана в том же пространстве, что и квадратичная, либо в противном случае линейная часть и квадратичная по отдельности являются интегралами движения. [33,34]
После такого уточнения системы определяющих уравнений упрощаются, [з^]
В 1.4. указаывается связь обратной задачи с задачами геодезического отображения и квазигеодезического моделирования физических полей. Выясняются условия, когда трехмерная сила, действующая на пробную частицу понижает порядок зависимости от скорости.
[ее]
В 1.5 проводится попытка обобщения задачи квазигеодезического моделирования и выявляется класс особой симметрии, при преобразованиях которой миро**ая линия одного пространства V<, переходит в мировую линию другого пространства Уц ,геодезическая в \А,
переходит в геодезическую в Х/ц .По аналогии с коллинеацией, такие групповые преобразования получили название инфинитезимальных биколлинеаций. [ 67І
Приводится пример биколлинеаций в статических пространствах Эйнштейна. [б7]
Выявляются условия биколлинеаций. [67]
Вторая глава посвящена решению обратной задачи по линейным интегралам движения пробных частиц в ОТО.
В 2.1 на основе классификации пространства ОТО по группам изометрических движений [55,0.149-189] строится алгебра линейных интегралов движения пробных заряженных частиц и даётся классификация электромагнитного поля по этим алгебрам. [ 38,34]
В 2^2 приводится решение обратной задачи по линейным интегралам в том случае,когда заряд частицы является одним из линейных интегралов алгебры.
Системы определяющих уравнений для линейных и квадратичных интегралов в ОТО
Очевидно, что произвол решения тем выше, чем меньшей информацией о движении, а в нашем случае об интегралах движения, мы располагаем. Известна теорема А.З. Петрова: если определены все изотропные траектории фотонов, то метрику пространства ОТО можно определить с точностью до конформного множителя, а если при этом известны и траектории пробных частиц, движущихся по времени подобным геодезическим, то метрика определяется с точностью до постоянного множителя. [55,с. 323 J . Но совершенно не исследован вопрос о произволе определения электромагнитного поля.
Если в равенстве (I.I.4) заменим Lr на - . —г ат эа .-эх1» то оно становится тождеством относительно ip, І -Іу Из этого тождества видно, что интеграл б определен с точно - 25 стью до тривиального слагаемого бТр = 6с гиіі--чг(р) . Действительно, если д- бтр , то (1.2.1) примет вид: г » Разложение имеет смысл, если коэффициенты 6olt "tr и Фч представленные в виде формальных рядов по У, if ls , не зависят от , LI- -LK » К9ІГ .В противном случае перегруппируем, относя их к членам с большим г , либо к члену -р Выражения F , DL ( Г) = Ц±+ Ч7, LK АУ__ + i±L , 9Т 9 рк э х1 содержит каждый только свои переменные, например, Эт , 3Т Pi Ут р, ік, , соответственно. Значит, в тождестве (1.2.2) каж дни член —Q ... :(р) приравнивается члену ф " Dir -u»(F) , если в %$- не содержится таких переменных. а С Выражения (I .2.3) вдоль траекторий должны обращаться в нуль. Тогда мы имеем уравнение Гамильтона-Якоби К = 0 , уравнение Гамильтона Di(F)= -77 + - - = 0 » и так далее. Но каждое из них cLL oXL будет следствием предыдущего, если зависимость if от Т класса Ск .
В ОТО собственное время Т - измеряемая величина. Это время в системе покоя пробной частицы. А зависимость от Т постулируется в виде if- ( Pi.) -Т»ОС2Т , то есть класса С1. Но тогда Р - полный интеграл уравнения (Г.Г.З) и все первые ин-тегралы являются функциями интегралов р = Ч\і XL= -4 , то есть LO = uJ(ac к, pL) . Тогда интегралы б в ОТО, со - 26 держащие выражения ftif-Lr , г і , могут содержать их только в тривиальной части бТр .Из тождества (Г.2.І) такие члены могут быть заранее отброшены. Но нельзя отбросить члены =- р и ф F до решения обратной задачи и определения 9U dT-. «і Из сказанного ясно, что в ОТО тождество (I.2.I) упрощается до два ЗН дба дН rh /A ,n и\ где 4-а. (XL, pL 3 Эхф) -О в случае пробных частиц с ненулевой массой покоя, так как слева в уравнении (1.2,4) не содержится члена Эх Р » и Фа(ЗСс) 0 , если заданы интегралы фотонов, для которых дх f равно нулю и из правой части (1.2.4) выпадает. Уравнение (1.2.4) является уточнением уравнения Е ругина (I) применительно к ОТО, а вместе с замечаниями определяет произвол решения обратной задачи динамики в ОТО.
Теперь мы должны ограничить себя тем, что в ОТО интегралы движения пробных частиц могут быть только полиномами относительно рі не выше второй степени. Линейные интегралы 3 = Ji(X)pL + 4V(X) , L = ТТТ, a=Cm, (І.З.І) задают законы сохранения энергии-импульса и момента. Квадратичные интегралы имеют вид 6а = ба (Х) ptpK - 6aL(X)pc- 4VX) , (Ie3#2) L к: = і, ц , a = ITn.
Они могут быть получены и как произведение линейных интегралов баЛ Са дь Зё + С Зь , где 0« , Со. - постоянные. Такие интегралы не дадут ничего нового по сравнению с линейными интегралами, из которых они составлены. Поэтому необходимо выделить существенно квадратичные интегралы. Для них квадратичная форма 6а Pip к должна быть невырожденной. Ранг ба равен размерности подпространства, на котором задан интеграл бо . То есть существенно квадратичные интегралы имеют смысл, аналогичный функции Гамильтона в ОТО - нормировка обобщенного импульса на подпространстве.
Хотя из тождества (Ґ.2.4) можно получить уравнения для интегралов Г 74] , представленных полиномами любых степеней, для пробных частиц в ОТО с квадратичным Гамильтонианом в уравнении (І.І.З) такие интегралы в диссертации не рассматриваются. Кубичные интегралы могут встречаться в динамике потока взаимодействующих частиц, частиц с самодействием и так далее. Короче тогда, когда гамильтониан системы сам содержит члены кубичные или более по степеням обобщенного импульса. Все эти случаи не относятся к пробным частицам. В случае полного разделения переменных в функции действия строго доказано, что не существует первых интегралов движения степени выше второй по обобщенному импульсу как для свободных частиц [74] , [їв] , так и для заряженных [33] , в частности в метрике Шварцшильда [2і] , для которой уравнение Гамильтона- Якоби допускает полное разделение переменных.
Инфинитезимальная биколлинеация в псевдоримановых пространствах и и приближённое отображение мировых линий
Но из замечания к уравнениям (1.3.17), (І.З.І8) следует, что исключая особый случай ті-О » и из равенства (1.4.25) следует, YK - 4 к. Теперь вводя конформный множитель X : 0-і = = ЄХр(Л) 6\к(Х) , где А=- У » приводим уравнение (1.4.24) к равенству (1.3.21): 6(iKj) = 0 . Отсюда делаем вы вод. Метрика пространства V/j находящегося в квазигеодезическ ом соответствии пространству V/, , только конформным множителем отличается от тензора (5lK квадратичного интеграла в простран стве Vz» у у± - О. Мнфинитезимальная биколлинеация в псевдоримановых пространствах V/» и V4 и приближенное отображение мировых линий.
Это обобщение задачи квазигеодезического моделирования на случай, когда заданы траектории как заряженных частиц, так и незаряженных частиц или фотонов, впервые вводится в нашей работе [ 67]
Если бесконечно малое точечное преобразование отображает каж дую геодезическую пространства V ( +) в геодезическую, то оно называется инфинитезимальной проективной коллинеацией. [29] Если при этом канонический параметр Т преобразуется аффин-но ( можно сказать, что Т сохраняется, так как он определяется с точностью до &Т + В ), то преобразование называется аффинной коллинеацией [80,с.112] . Теория этих преобразований впервые рассматривалась Ли, её дальнейшее развитие связано с работами Зйзенхарта, Схоутеиа, Яно, Егорова Г29,ЗОЇ ,Аминовой А.В. в ОТО [2-5І и др. Изучение коллинеаций является одним из аспектов проблемы отображения полей тяготения. Регультаты данного параграфа примыкают к работам указанных авторов.
В настоящем параграфе мы рассмотрим пути пробных тел в присутствии как гравитационных, так и других физических полей. Опираясь и развивая известные определения коллинеаций, в первом пункте дадим новое определение инфинитезимальной биколлиниации в псевдо-римановых пространствах V4 и V ".Мы получим необходимые и достаточные условия существования биколлинеации, эти условия изучим в случае эйештейновских пространств. Цель второго пункта параграфа - отыска ние всех локальных условий, нужных для того, чтобы существовали приближенно общие мировые линии тел под действием различных причин - гравитационных и негравитационных сил. Покажем, что при произвольных начальных данных движения частиц, описываемые уравнениями (I.5.I.I) и (1.5.1.2), не могут быть одинаковыми даже приближённо.
Известно,Клейн І80] , Аминова А..В. [2-5], что существование проективных и аффинных коллинеаций приводит к важным механическим и полевым законам сохранения в теории гравитации. А налогично, полученные нами условия допуска биколлинеации могут быть использованы при построении законов сохранения в присутствии нескольких физических полей. а некоторой системе координат в VA С метрической Формой ds1 = tj d.x ldxj уравнения изотропных и времени -подобных геодезических имею вид: Dt " " V dt dt (I.5.I.I) Где T - канонический параметр. В той же системе координат в Пространстве Vt,( +) с формой d.S = (Jij dxcdxj урав Нения времениподобных мировых линий заряженного пробного тела, Движущегося в поле сил (X) и О/Т к. Л— » имеют вид: Го,с1ях 1 pi dx3 dxvfi ті с(.Хк N dxl dxk_ . TL _ aint x -- T Причём " J" QLS " K "K пиг кп -тен зор электромагнитного поля, удовлетворяющий уравнениям Шксвелла, pi и П - символы Кристоффеля. Нас интересуют те V и \JL , где р= СЦк - 7- -- ==- О , то есть в каждой точке конус изотропных направлений в V4 , содержится внутри конуса изотропных направлений в Л/ц Пусть -fc - общий параметр вдоль интегральных кривых уравнений (I.5.I.I) и (1.5.1.2), т.е. Т Т(4) , 5=S(+). С физической точки зрения в качестве -Ь удобно выбрать собственное время {» тогда Т-Т( ).
Определение. Инфинитезимальное точечное преобразование Xі = ХЧ]=(Х)оЧ назовём инфинитезимальной биколлинеацией в псевдоримановых пространствах уг, и V4 » удовлетворяющих условию Р 0, если преобразование отображает инфинитезимально каждую неизотропную геодезическую (I.5.I.I) в геодезическую, а каждую мировую линию (1.5.1.2) в мировую линию такого же типа, и если при этом общий параметр $ вдоль кривых сохраняется.
Теорем І. Необходимые и достаточные условия того, чтобы ин-финитезимальное точечное преобразование uCL- XL=Xl+ 1(Х) 4: было инфинитезимальной биколлинеацией геодезических и мировых линий в Vzf и V » удовлетворяющих условию р О , заключаются в выполнении равенств: (1.5.1.3) (Г.5.І.4) (I.5.1.5) L T.\ - о, (І.5.Ї.6) где С e] к = L (9-em (І]Г""П ) символ производной Ли относительно векторного поля 1 , точка с запятой означает ковариантную производную относительно тензора СЬц.
Решение обратной задачи по алгебрам линейных интегралов заряженных частиц в зарядовом про странстве
В этом параграфе рассматривается зарядовое пространство, ко- . торое допускает линейный интеграл заряда =Зі(х)Р;. + Ц\ІХ)4 А.Эйнштейн впервые указал, что существование интеграла в заря- v /1 /4 от тп Н.ОС0 довом пространст ве вида - Нт—гг " " " г ) m-i,A , Xе - координата пятого измерения, п вектор потенциал электромагнитного поля, приводит к теории Калуцы. [78, с.195 1
В нашем рассмотрении вектор 1 (3е) — произвольный. Он может быть задан как в V$ , так и в V/, , может быть равен Н и тогда полученные нами поля удовлетворяют полевым уравнениям Эйнштейна и Максвелла, согласно Г 78,сЛ95] , так и отличным от Д-т . Так как отмечено во введении, при решении обратной задачи нам заданы только уравнения движения, а полевые уравнения могут быть произвольными.
Возможное перечисление результатов в этом параграфе такое же, как в 2.1. При этом метрики, вычисляются по формуле (I.3.I6), через метрики Q. LI , которые сут ь метрики, приведенные в монографии [55,с.I 57-1591 . Следует указать вектора (\\ и различные ситуации вырождения, в зависимости от конкретного вида интеграла J і .
Один интеграл приводится к виду 9. Pi 3j Здесь Э{ произвольная функция. Если д ЩфО , то /}t = (Bc+dt)&_i где щ-о Х Х Х $ () Зсли djS O » то Лі " произвольный вектор, так как 1 =0 и уравнение (I.3.I3) выполняется тождественно. При этом, если /li+l , то Qn (l-fb)7 Qn , где %іК $і {Х.%х «), ,p 2,3,4 - 68 К такому же результату приходим и из уравнений (1.3.17).
Если fl±-i , метрика вырождается,и, следовательно, этот случай пространства Калуцы \[s Точно по этой схеме рассматриваются алгебры других интегралов. С той лишь разницей, что у интегралов ( = U/(X) (рк- )К) более сложного вида условие \ t- О заменяется условием -Ji ,к О . При этом требование fix Р 1 отпадает у тех интегралов Q= 3 (Пк- Л Для которых метрика не вырождается. Но не любой интеграл алгебры может быть интегралом заряда. Например, трехчленная алгебра интегралов і= Рі ? і , 3z= Рг f 33= 4(зг-а2)- хчзі-оц) приводит к тем же результатам, что алгебра 3± t 1% есЛИ 0.= или Q. , но С[ не может быть равен 33 Так как в этом случае в знаменателе формулы (I.3.I6) возникает нуль, а системы (I.3.I 7),(1.3.18) приводят к вырождению метрики: CL L = QL%K О Также не допускает интеграл заряда ни один из интегралов алгебры (2.I.I). В алгебре (2.1.2) только интеграл может быть интег ралом заряда Q=33 . В алгебре (2.1 .3) невозможно равенство CJ=-p1. . В алгебрах ЗІ — П 32=П D3=x - зс р2 + сцх«.)(х3) 3 = (я-с)х3р3+ сх\, + Х ра; Э«, = Р5 + ях]р1 + хгра, 3,, = (В зсЧіхг4)pt- зс225р,,- (х3 8эсМ)р3 - 69 и в алгебрах, полученных присоединением к алгебрам (2.1.1) интеграла З -Рз, заряд О может быть только интегралом 3 , .
В шестичленных алгебрах, полученных на основе алгебры (2.І.І) электромагнитное поле не допускается. В оставшихся двух шестичленных алгебрах С[= ] 44 9. . Алгебры порядка больше шести приводят к субпроективным пространствам Кагана или к пространствам постоянной кривизны (j35,c. 1791 , которые не допускают электромагнитного поля. Остальные интегралы дают всё множество зарядовых преобразований в пространствах по формулам (Г.З.І6) на основе списков
Методы решения обра тной задачи по квадратичному интегралу
В диссертации даётся и исследуется алгебраический подход к решению обратной задачи динамики пробной заряженной частицы в ОТО. Анализируется произвол определения первых интегралов движения пробных заряженных частиц в ОТО и их отличие от интегралов движения свободных частиц.
Принимается предположение, которое в случае полного разделения переменных в функции действия строго доказывается, о том, что гамильтоновы системы с квадрат ичной по обобщенным импульсам функцией Гамильтона не могут иметь независимых интегралов движения со степенями обобщенного импульса выше второй. Также накладывается ограничение на произвол определения собственного времени пробной частицы Т . Считается, что зависимость функции действия пробной частицы от её собственного времени Т класса С"1 .
В этих предположениях алгебраический подход к обратным задачам приводит к основополагающему для решения обратных задач динамики уравнению Еругина Н.П., детализированному для пробной частицы в ОТО.
В свою очередь оно распадается на системы уравнений, справедливых для той или иной алгебры интегралов движения пробной частицы, которые определяют ту или иную симметрию гравитационных и электромагнитных полей.
Указано отношение различных задач, выявляющих симметрии изометрических, гомотетичных, проективных движений, геодезического и квазигеодезического моделирования гравитационных и электромагнитных полей к решению обратной задачи динамики. Тем самым подчеркивается практическая значимость этих, рассматриваемых ранее задач.
Дается полная классификация электромагнитных полей по допустимым алгебрам линейных интегралов движения пробной заряженной частицы в ОТО.
Вводится и анализируется зарядовое преобразование электромагнитных и гравитационных полей, сохраняющее алгебру интегралов движения при условии, что заряд пробной частицы является линейным интегралом движения. Последнее условие выступает как достаточное, тогда как в подходе Калуцы-Эйнштейна это условие является необходимым следствием.
Заряд - линейный интеграл движения выступает достаточным условием и в других задачах, выявляющих особые симметрии. В частное-ти в диссертации анализируется симметрия гравитационной силы, действующей на пробную частицу с точки зрения вспомогательного трёхмерного евклидова пространства Е3 . Показано, что в случае, когда заряд является линейным интегралом движения в Е3 , трехмерная сила гравитации может иметь характер силы Лоренца, То есть быть линейной по скорости.
В другом случае, в пространствах, где заряд будет линейным интегралом движения в четырехмерном пространстве ОТО, возможны групповые преобразования, которые в диссертации названы биколли-неацией.
В диссертации доказывается теорема о связи линейных и квадратичных интегралов движения, пробной частицы, которая упрощает решение обратной задачи по квадратичным интегралам, так как линейные интегралы искомого пространства, найденные при помощи квадратичного интеграла частично определяют симметрию искомого . пространства и электромагнитного поля. По квадратичному интегралу остаётся доопределить метрический тензор и вектор электромагнитного поля.
Указывается способ приближенного определения метрики искомого пространства по квадратичному интегралу движения.
Пространства, которые не допускают линейных интегралов движения, допускают полный набор взаимно-коммутирующих квадратичных интегралов движения, а значит относятся к Штеккелевым пространствам.
Найдены все Штеккелевы пространства и электромагнитные поля в них. К такому классу относятся многие известные решения. В частности, метрика Шварцшильда, метрика Районера-Нордстрема, которые в диссертации рассматриваются как примеры решения обратной задачи. В частности указано, что утверждение о том, что в метрике Шварцшильда не существует независимых интегралов движения порядка выше второго, вытекает из условия полного разделения переменных в функции действия пробной частицы в пространстве Шварцшильда.
В диссертации рассматриваются первые интегралы движения, линейные и квадратичные по обобщенному импульсу пробной частицы. Л ля многочисленных практических приложений обратной задачи динамики задаются вторые интегралы движения и первые интегралы, которые считаются заданными или вычисляются по вторым интегралам как линейные или квадратичные выражения по скорости пробной частицы. Что бы применить полученные в диссертации результаты для практических целей нужно знать формулы обратных преобразований Лежандра Ц1= -—- . Эти формулы можно записать только после ре-шения обратной задачи и определения метрического тензора СЦк(0С)«
Похожие диссертации на Решение обратной задачи динамики в ОТО по алгебрам первых интегралов
