Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Распространение звукоеых волн в плоском волноводе с тонкими упругими стенками, в акустическую среду 19
I.I. Акустическое поле точечного источ ника в плоском волноводе 19
1.2. Волновые числа собственных процессов системы 22
1.3. Сравнение потоков энергии в различ ных каналах ее распространения в акустической системе 32
ГЛАВА II. Дифракция плоской гидроакустической волны на открытом конце плоского, полубесконшного волновода с тонкими упругими стенками 43
2.1. Постановка задачи 43
2.2. Построение решения 46
2.3 . Факторизация %(Д) 54
2.4. Регуляризация гранично-контактных
интегралов 59
ГЛАВА III. Излучение звука из открытого плоского волновода с тонкими упругими стенками 63
3.1. Постановка и решение задачи. Низкочастотная асимптотика гранично- контактных интегралов 63
3.2. Исследование решения. Коэффициент отражения падающей волны. Диаграмма направленности 71
ГЛАВА ІV. Излучение звука от места сочленения двух волноводов 84
4.1. Построение решения задачи 84
4.2. Анализ решения. Коэффициенты отра жения падающей волны и возбуждения нормальных волн. Диаграмма направ ленности 89
ГЛАВА V. Дифракция акустических волн на идеально жесткой или мягкой диафрагме в плоском волноводе с тонкими упругим стенками 99
5.1. Постановка задачи 99
5.2. Нахождение нечетной части поля. Решение матричной задачи Римана и факторизация матрицы 103
5*3. Нахождение четной части поля III
5.4. Определение гранично-контактных постоянных ИЗ
5.5. Анализ решения при импедансных гра ничных условиях. Коэффициенты отражения и прохождения падающей волны и возбуждения нормальных волн 116
Заключение 123
Литература
- Волновые числа собственных процессов системы
- . Факторизация %(Д)
- Исследование решения. Коэффициент отражения падающей волны. Диаграмма направленности
- Анализ решения. Коэффициенты отра жения падающей волны и возбуждения нормальных волн. Диаграмма направ ленности
Волновые числа собственных процессов системы
Корни определителя (1.5) дают нам волновые числа собственных волн волновода, причем симметричным по \JL процессам отвечает дисперсионное уравнение вида (1.6) а антисимметричным - уравнение вида Ш = 0 (1.7)
Корни уравнения (1.6) распадаются на две группы. Корни одной группы (их конечное число) имеют длинноволновые асимптотики (К-т" 0), подобные асимптотикам корней дисперсионного уравнения одиночной упругой пластины, погруженной в жидкость /10/. Назовем их пластинными корнями. Корни второй грзшпы (их счетное мнокество) приближаются при увеличении плотности пластины ( р0 - с ) к волновым числам нормальных волн волновода с идеально жесткими стенками. Такие корни естественно назвать волноводными.
Сделав замену переменной 2 = IУ » найдем сначала длинноволновую асимптотику пластинных корней уравнения (1.7). Характерно, что при \Сг 0 они убывают (по абсолютной величине) степенным образом, т.е. штьЪдг - 0» но существует та кое - 0, что ит?-Аґ/ 0» Подставляя в формулу (1.7) ос - ы АҐ Qf - и пРене Регая старшими степенями / , получим d = f aN=УГехр [ізг (М+ЩЯ\ )Н-о,4,гл Таким образом, тейлоровское разложение пластинных корней сле Z/5 дует вести по специфическому параметру // . Учитывая два первых члена разложения, имеем Г (К)=к { V?fexp(i2JrJ//r) //ф/ех/ (- &Щф?+ Из (1.8) следует, что на двулистной римановой поверхности функции у/))с разрезом по линии )ч V = 0 уравнение (1.7) имеет 5 пар корней Д . При этом корни с Л/ = 0,1,4 лежат на основном листе, корни с Л/ =2,3 принадлежат второму листу. Расположение корней на. комплексной плоскости показано на рис.
Корни, лежащие на основном листе, отмечены звездочкой, а корни, принадлежащие второму листу - черным крушсом. Отметим соотношения, справедливые при любом вещественном fC
Рассуждения,, аналогичные вышеприведенным, для уравнения (1.6) дают порядок поведения корней ОС при К- 0 и формулу Тейлора для симметричных пластинных корней = Ф і Г (К) K /3(y /afexpM/s) WV/ ...], 11= 0,1,2,3,4,5. Корни с номерами Д[ =0,1,5 лежат на основном листе, с /V = 2,3,4 - на втором листе. Соотношения, аналогичные (1.9), здесь таковы:
Отметим, что если антисимметричных пластинных корней 5 пар, то симметричных 6 пар. Можно установить соответствие между корнями уравнений (1 6) и (1.7), понимая под этим как сходный вид зависимостей R ХАГ( ) яА.упУ\у(к) (см. рис. 1.2, Г.З), так и подобное расположение корней на римановой поверхности: \QCL соответствует ХоС , А/л he » «Дгл Л , » \г Л,с Корень Я- , лежащий на втором листе, среди корней I А) аналога не имеет. В волноводе с жесткими стенками ему соответствует поршневая волна.
Для нахождения волноводных корней уравнений (1.6), (1.7), для которых характерно свойство {j/ftb . Ф 0, перепишем уравнение, (1.7) в виде 25. і + е Шв)- 1 (і.») явно выделив зависимость правой части от К . С точностью до величины о(к ) при К - О ъ# к$м+1)/2(1) м=Ш2 #+1)Ая ; =0,1,2,... Аналогичные рассуждения для уравнения (1.6) дают
Итак,, с точностью до величин волноводные корни уравнений (1.6) и (1.7) вещественны, однако существенно выяснить знак мнимой части 2у , ибо это определит расположение волноводных корней на комплексной плоскости. Несложный расчет дает при К« 4: К Є 7у = 2, - Z r к А, рДе Z0// =ff/l//(Zd) N = х»3»5 дая Уравнения (1.7) и f\j = 2,4,6 для уравнения (1.6). Таким образом, все волноводные корни лежат на втором листе римановой поверхности. Расположение волноводных корней на комплексной плоскости показано на рис.1.8, они показаны светлыми кружками. Численный расчет зависимости А,г(К) производился для волновода со стальными стенками, погруженного в воду, шириной 2.CL - 100 (м« табл.1.1, 1.2).
. Факторизация %(Д)
Скачок акустического давления вне пластин равен нулю, поэтому второе интегральное уравнение будет иметь вид \cXJo(t}x)Fs(X)c\} esa ( X 0) (2.7) Корни дисперсионного уравнения U)= О (2.8) дают волновые числа собственных, симметричных по СУ, колебаний волновода. Будем считать, что алгебраический порядок 2S полинома т±(Хг) не ниже степени ZS полинома №& (У) , а уравнение (2.8) при ImK 0 не имеет вещественных корней на основном листе двулистной римановой поверхности функции Y Ш . Выбор основного листа радикала Y= у 2_ осуществим следующим образом. Из точки У = f/ проводим разрез по линии К V= 0» обозначенный на рис.2.2 штриховой линией. Второй разрез из точки А = - К проводим симметрично с первым относительно точки Л = 0. Будем считать, что на основном листе Uyyi K-Є У = + при ), -т? -± оо
Корни уравнения (2.8) распадаются на две группы. Корни одной грушш (их конечное число) приближаются при раздвижении стенок волновода ( а - о ) к корням дисперсионного уравнения 49. _- r I 4 Рис2.2 50. l(\) -ут Х2-) +%тг[\г) = 0 (2.9) одиночной упругой пластины, погруженной в жидкость. Алгебраический- порядок функции 1[л) равен 2. +4 , поэтому на римановои поверхности уравнение (2 9) имеет Zf + J корней. Соответствующие корни уравнения (2.8) назовем пластинными. Корни второй группы (их счетное множество) приближаются при увеличении плотности материала стенок ( р0 .-?» ? ) к волновым числам С- =к К —(SiA /a) нормальных волн волновода с идеально жесткими стенками, дисперсионное уравнение для которого имеет вид
Такие корни условимся называть волноводными. Отметим, что если уравнение (2.8) переписать в виде d-e (-2aj)=f f - (зло) то при - оо правая часть уравнения (2.10) будет порядка \—(4+ZSi-2 Sz) , поэтому при у_ -оо для волноводных корней справедлива асимптотика а корни с ростом // асимптотически приближаются к линии
В 1.2 гл.1 отмечалось, что у волновода с полупрозрачными стенками, с граничным условием вида (1.3) все волноводные корни лежат на втором листе римановои поверхности, в то время как у идеального волновода они лежат на разрезе Кв "Y = 0.
Физически смещение волноводных корней с разреза на второй лист связано с тем, что все волноводные моды на любой частоте неоднородны в силу излучения энергии через стенки. Покажем, что такое смещение волноводных корней носит довольно общий характер. Обозначим функцию в правой части (2.10) через Х( Jy Для идеально жесткого волновода -f/V) = ) и решение (2.9) имеет вид У = St/V /бі . Пусть теперь в окрестности Уд/ функция 4р) такова, что I j(z)\ -1. Положим У у Yv + АҐ и будем считать jo/ /Vfj I. Для оЛ, будем иметь уравнение В первом приближении dM--- Ui-2k ;ni(r;f L II)
Отрицательный знак реальной части и указывает на сдвиг корня (2.II) уравнения (2.8) на второй лист. Уравнения (2.6), (2.7) будут удовлетворяться при выполнении следующих условий: ф-и-(ю 2Л2) где - VА J - функция, аналитичеекая выше (ниже) контура интегрирования.
Исключая Fs(Xj из условий (2.12), придем к неоднородной краевой задаче Еимана /72/, которая состоит в отыскании двух функций Ц?(X), Ц, [W по линейному соотношению между ними, 52. выполненному на вещественной оси. «-"WV- 7 (Л %УН=6 А) (2ЛЗ) ее
Факторизуем дисперсионную функцию ц. (у , т.е. представим в виде произведения двух сомножителей 1- (A/ , Cj (Д/ , аналитических соответственно выше и ниже контура интегрирования Процедура факторизации рассматривается ниже в 2.3. Алгебраический порядок ls{)\) равен zSj-fi , т.е. & : J і. Потребуем следующей оценки Ш- Ш " (2Л6) Подставив (2.14) в (2.12), нетрудно получить ,17) Введем, согласно /51/, кусочно-аналитическую функцию л s и обозначим ее значения выше (ниже) контура интегрирования Y Ы" ) (л) . Согласно формулам Сохоцкого скачокУ (к) У[ ) ПРИ X 6 /\ равен 53. Теперь (2.17) можно записать в виде игШ У І +Y+W (2Л8)
Тогда правая и левая части (2,18) определяют, согласно теореме Римана об аналитическом продолжении через контур, единую функцию JX Ш , аналитическую во всей комплексной плоскости. В силу оценок (2.5) и (2.16) получаем, что 0S(X) алгебраически растет при Щ-э»00 э т«е« является полиномом степени $ -1 с SA произвольными коэффициентами, определяемыми далее.
Исследование решения. Коэффициент отражения падающей волны. Диаграмма направленности
Поскольку система симметрична относительно срединной плоскости U = О, возбуждаемое поле Qs[2. ч) имеет ту же симметрию, что и падающее. Будем пользоваться следующим представлением дифракционного поля
При такой форме записи поле Ь[ [ХрЦ) удовлетворяет уравнению (3.1), граничному условию (3.2) и принципу предельного поглощения. Применив граничный оператор L к полному полю _[ (хрУ)+ + Q (х и) и учитывая, что L0fxpu) - собственная волна бесконечного волновода, будем иметь интегральное уравнение
Пластины волновода совершают изгибные колебания под действием скачка акустического давления, который для верхней пластины [і = -4- (х , "х 0 равен Pfa, +а о)-(х, +а - г \exfti)x)F /tytU +2ЄхШ\х) (J С Ь J а для нижней отличается фактором hi J . Используем формулу в которой предполагается, что контур /\ обходит точку --А сверху. При X 0 скачок акустического давления равен нулю, что дает второе уравнение Ш-тхг№,х (з.8) Л Уравнения (3.7), (3.8) будут удовлетворены, если fs(\)i = )jM-jTj- ) (3.9) где it lit ) -функция, аналитическая выше (ниже) контура интегрирования. Исключая из (3.9) функцию Vs\)\) , придем к неоднородной краевой задаче Римана, процедура решения которой подробно описана в гл.П. Следуя ей, имеем
Здесь С0 » Zл - гранично-контактные постоянные, определяемые ниже, Iі()() - результат факторизации функции Процедура факторизации детально разобрана в 2.3. Для численных расчетов весьма удобна формула
Суммирование в формулах (3.13), (3.14) ведется по пластинным корням функции \0 , L , ), , лежащим в верхней полуплоскости дневного листа функции [ ) . Интеграл берется по правому берегу Г_ разреза &!У= 0. принадлежащему верхней полуплоскости (см. рис.1.8). Значения [ Ш на дневном листе римановой поверхности совпадают со значениями ( на втором листе.
Отметим, что если в качестве источника поля взять не поверхностную волну X t а другую собственную моду вл-новода, то соответственное решение получится из вышеприведенного заменой в формулах на Д . На основе длинноволновых асимптотик ( - 0) пластинных корней 1([Х) ( 1-2) можно получить асимптотики интегралов
Выражения для J , 7 для =2 получаются из соответственных формул для = I заменой коэффициента 1/3 на 2/5. Системы (3.10), (3.II) хорошо определены. Расчеты, проведенные на ЭВМ E3-I022 показали, что определитель системы (3.10), г равный .А --ZI и определитель системы (3.II) не обращаются в нуль ни при каких частотах. Численные расчеты проводились в предположении, что волновод образован стальными, погруженными в воду пластинами, относительная ширина волновода Xd/lV =-100. Значения гранично-контактных интегралов ±п , J » рассчитанные на ЭВМ BC-I022 при S = I, приведены в табл.3,I. Определим поле в дальней зоне К.ґ 7І по методу перевала; угол наблюдения будем отсчитывать от оси ОХ . При деформации первоначального контура интегрирования в перевальный могут быть пересечены полюса подынтегральной функции - корни 1 . (Лу . При удалении от волновода. ( Ф 0) вклад в поле пластинных и волноводных волн убывает, поэтому поле вдали от волновода представляет собой расходящуюся цилиндрическую волну и равно Функция т (Y) определяет угловую зависимость звукового поля в дальней зоне ( У / = і/ o.V?т\&.хЬ(гг, і/ f;V i/?U-(-4 t (\) і
Практический интерес представляет угловая плотность энергии Uffu ) » определяющая зависимость энергии, переносимой цилинд рической волной, от угла \р Штрихпунктирной. линией изображена диаграмма, соответствующая К = 0,01 , штриховой - К. s 0,1 , непрерывной - К = 0,3. Длинноволновая асимптотика Ufa If) для JA -симметричного поля имеет вид \ffjf) - Я/7 Ч 0(к) , а для U -антисим-метричного - yfQfyJ = frnZif + 0(к)
Отметим принципиальное отличие диаграммы излучения пластинного волновода от диаграммы идеально жесткого волновода. Если источник поля в последнем - поршневая волна (нулевая мода) , то диаграмма направленности состоит из одного лепестка и максимум мощности излучается в направлении оси волновода W = fC Если источником служит волноводная мода с номером К I, диаграмма имеет лепестки, количество которых определяется номером моды, и основная мощность излучается в прямом направлении ( $і/% f ft ).
Когда на открытый конец волновода набегает поверхностная волна, диаграмма излучения из пластинного волновода имеет дипольний характер с осью диполя, перпендикулярной оси волновода. Излучение в направлении оси волновода отсутствует. Объясняется это тем, что верхняя и нижняя кромки пластин являются движущимися в противофазе источниками колебаний. Отметим, что полубесконечная одиночная пластина,, погруженная в жидкость,
Анализ решения. Коэффициенты отра жения падающей волны и возбуждения нормальных волн. Диаграмма направ ленности
Численные исследования проводились при относительной ширине волноводов Ха/їЬ= ЮО, где її - толщина стенок, правый волновод стальной, система погружена в воду и кромки волноводов спаяны. Волновое число К полагалось комплексным, причем Im К = 0,05 Кб К «На низких частотах ( К &й ) зависимость КМ подобна функции К( в задаче об излучении из открытого конца волновода ( 3.2, рис.3.3). В окрестности частоты зарождения \(л первой волноводной модыК(к) имеет глубокий минимум (рис.4.2), вызванный открытием нового канала распространения энергии - по левому волноводу. При К = Кй коэффициент возбуждения I первой волноводной моды левого волновода имеет максиглум (рис.4.3), волна становится распространяющейся, энергоносной, что и вызывает локальный минимум
Аналогичные минимумы )R( v и максимумы МГУ г\[у имеют место в окрестности волновых чисел K,m , причем их амплитуда с номером убывает. Между волновыми числами зарождения \( зависимость I R() имеет минимумы малой амплитуды (рис. 4.2), происхождение которых связано с цилиндрической волной. Объяснение этих минимумов дано в 3.2.
На рис.4.3 приведена частотная зависимость коэффициентов возбуждения нормальных волн левого волновода. Величина lm(j содержит множитель -/ /А иг » который определяет резонансный характер зависимости Т (\С)\ . В окрестности частоты зарождения имеем \Т І л _ Const Im К
Зависимость Т / Я от волнового числа носит резонансный характер, что типично для вынужденных колебаний при наличии поглощения /73/. В силу того, что /wWI принимает минимальное значение при / = &т , равное \} \mlh - К ]/ величина! 7 ,1 имеет на частоте зарождения максимум. Зависимость С(Ґ 1 lyn вблизи Km также характерна для вынужденных колебаний.
Диаграмма направленности акустического излучения определяется угловой плотностью энергии Uf/f) Расчет диаграммы согласно (3.16) производился для трех частот. При волновом числе К = 0,03 Х1 (штрихпунктирная линия на рис.4.4) диаграмма не имеет лепестковой структуры и близка к графику функции Соті Ки2" /7 ри К-1 появляется лепестковая структура, о происхождении которой сказано выше ( 3.2). Штриховой линией на рис.4.4 изображена диаграмма при К =#Г/50, непрерывной - диаграмма при К = К =4 /100.
Следует отметить, что если на низких частотах диаграмма симметрична относительно f = « / , то с ростом К излучение становится сильнее в сторону малых углов. Кроме того, система волноводов, кромки которых спаяны, излучает существенно сильнее системы с трещиной между кромками.
Акустическое поле удовлетворяет внутри волновода (рис. 5.1) однородному уравнению Гельмгольца, ( 4 + K )J?foyy = 0 (5.1) граничным условиям на стенках ,(5.2) и условию Дирихле либо Неймана на экране = б», -к у«? (5.4) Здесь К - волновое число в среде, М , Мд_ _ полиномы аргу-мента - дудх , коэффициенты которых зависят от механических параметров задачи. Будем считать, что порядок полинома r\t выше порядка Яиг. полинома М . Если стенками волновода слуткат только способные к изгиб-ным колебаниям пластины, то Величины М и )С приведены в І.І. Рассмотрим дифракцию на экране в волноводе симметричной по \JL нормальной моды давления, набегающей на экран из правой половины волновода
Волновое число Л о нормальной моды находится из условия, что J, /X и) удовлетворяет граничным условиям (5.2)
Отметим, что І-0 ( // удовлетворяет всем условиям задачи, кроме условия (5.3) или (5.4) на экране. Случай, когда источником поля служит антисимметричная по LL нормальная мода Lо[X ч) = Cdijo (-iJc Jfl1 \Ь1 рассматривается аналогично.
Разбивая полное поле P(l)(7W и. L0 l jfj на четную и нечетную части по координате х 102. t(w) $( #)-9(- ї приходите к двум независимым задачам в полубесконечном волноводе. т На торце этого полубесконечного волновода при X =0, в случае абсолютно жесткого экрана в волноводе выполнены такие условия: 1 =0 , ІУИЬ (5.7) ох Р 1, Н,0 у 1г; 1 --0 Л у 0 (5.8)
Если порядок Xty+d граничного оператора L больше единицы, то для единственности решения необходилго указать гранично-контактные условия,, задающие механический режим з угловых точках полубесконечного волновода. Для верхней стенки -это условие отсутствия механических дефектов в стенке волновода, для нижней - условие прикрепления диафрагмы к стенке. В соответствии с принятым в /74,75/ методом решения гранично-контактных задач будем искать решение для четной и. нечетной по X. составляющей поля Ls[X u) ,1 (3 / в виде суммы частного решения К ( неоднородной задачи и общего решения С[(хЧ) однородной задачи. Функция [хм) однозначно находится из требования, чтобы в угловых точках она имела непрерывные производные всех порядков, которые участвуют в гранично-контактных условиях.
Похожие диссертации на О точных решениях некоторых гранично-контактных задач акустики для волноводов
