Содержание к диссертации
Введение
I Сверхпроводниковые квантовые биты 11
1 Зарядовые квантовые биты 16
1.1 Одноэлектронная кулоновская ловушка 16
1.2 Сверхпроводящая гранула как двухуровневая система . 19
1.3 Зарядовый кубит с регулируемой амплитудой туннелиро-вания 25
1.4 Взаимодействие зарядовых кубитов и многобитовые операции 27
2 Другие джозефсоновские кубиты, эксперименты 34
2.1 Фазовый джозефсоновский кубит 35
2.2 Взаимодействие магнитных кубитов 39
2.3 Другие джозефсоновские кубиты и элементы квантовых цепей 41
3 Многобитовые операции и «перепутывание» 44
II Измерение квантового состояния джозефсоновских систем 56
4 Одноэлектронный транзистор как квантовый детектор 64
5 Когерентный резким 73
6 Некогерентный резким 80
7 Статистика тока. Эффективность детектора 82
8 Измерение током сквозь кубит 85
9 Статистика тока в открытых мезоскопических системах 96
III Диссипация и потеря фазовой когерентности 107
10 Влияние низкочастотного шума в оптимальной точке 116
11 Влияние поперечного шума 127
12 Майорановское представление для спинов 134
Заключение 144
- Сверхпроводящая гранула как двухуровневая система
- Другие джозефсоновские кубиты и элементы квантовых цепей
- Статистика тока в открытых мезоскопических системах
- Влияние низкочастотного шума в оптимальной точке
Введение к работе
Актуальность исследования. Интерес к исследованию электронных структур с размерами в микрометровом или нано-метровом диапазоне в последние годы связан со значительным продвижением в технологии изготовления таких систем, что расширяет возможности их использования как в прикладных целях, так и для изучения вопросов фундаментального характера. Настоящая работа посвящена исследованию явлений, связанных с квантовой когерентностью в системах на основе сверхпроводниковых контактов, и мотивирована вопросами из таких областей физики, как физика макроскопических квантовых явлений, свойства классических джозефсоновских контактов, одноэлектроника (область явлений на которые существенное влияние оказывают зарядовые эффекты), физика квантовых вычислений.
«Макроскопические» квантовые эффекты в системах на основе джозефсоновских контактов малого размера исследовались в течение долгого времени. В последнее время дополнительное внимание к этим системам привлекает возможность их использования для хранения и обработки квантовой информации. Недавно были проведены первые успешные эксперименты с джозефсоновскими кубитами. Технологии изготовления, управления и измерения параметров таких систем являются достаточно развитыми на сегодняшний день. Когерентность, присущая сверхпроводящему состоянию, способствует поддержанию квантовой когерентности в джозефсоновских системах.
Для реализации кубитов были предложены системы двух типов, основанные на использовании одной из двух сопряженных степеней свободы: зарядовой или фазовой (магнитной). В первом случае в качестве квантовой степени свободы ис-
пользуется заряд на маленьком сверхпроводящем островке, а логические состояния различаются «количеством куперов-ских пар» на островке. Эти системы сочетают когерентность сверхпроводящего состояния с возможностями контроля, разработанными для одноэлектронных систем (таких как одно-электронные транзисторы) и основанными на явлении куло-новской блокады. В экспериментах были продемонстрированы когерентное туннелирование куперовских пар и квантово-механические свойства суперпозиций зарядовых состояний. На-камура и др. впервые продемонстрировали разрешенные во времени квантовые когерентные колебания в зарядовом джо-зефсоновском кубите, приготовленном в суперпозиции собственных состояний, недавно аналогичные результаты были получены и для более сложной двухкубитовой системы [1,2].
Альтернативный подход основан на использовании фазы на джозефсоновском контакте или магнитного потока в сверхпроводящем кольце. В ранних экспериментах исследовались такие квантовые эффекты, как, например, макроскопическое квантовое туннелирование. В 2000 г. были созданы и наблюдались собственные состояния таких систем, являющиеся суперпозициями различных фазовых состояний, а недавно были зафиксированы когерентные колебания между фазовыми состояниями (ср. [3]).
Использование когерентной квантовой эволюции требует поддержания фазовой когерентности в течение длительного времени, а также подавления влияния внешних источников шума, что подчеркивает необходимость изучения механизмов шума в этих системах. В экспериментах по изучению квантовых свойств требуется возможность производить квантовые измерения, также необходимые, например, для считывания состо-
яния кубитов после применения квантовых алгоритмов. В отличие от квантовой динамики, в ходе которой требуется поддержание высокого уровня когерентности, во время квантового измерения фазовая когерентность с необходимостью разрушается. Следует отметить недавние достижения экспериментальных групп (например, групп в Цукубе, Сакле, Дельфте, Гетеборге, Йельском университете) по изготовлению и демонстрации квантовых детекторов заряда и фазы с высокими показателями эффективности, в том числе точности и быстроты измерения и близости к квантовому пределу.
В дополнение к физике квантовых сверхпроводящих систем интерес к их исследованию как со стороны экспериментаторов, так и со стороны теоретиков, вызван возможностью их использования в качестве приборов для хранения и обработки квантовой информации, в частности для квантовых вычислений [4, 5, 6, 7], которые позволяют решать некоторые задачи быстрее, чем классические вычислительные машины, как показывает пример квантового алгоритма Шора для разложения больших чисел на множители.
Научная новизна. Основные результаты, положенные в основу диссертации, получены впервые. Были предложены новые системы, позволяющие поддерживать квантовую когерентность и в перспективе проводить квантовые вычисления в течение длительного времени; предложены методы оптимизации управления квантовой динамикой. Разработано описание процесса квантового измерения в твердотельных системах как процесса во времени, предложен набор количественных характеристик квантовых измерителей, позволяющий описывать и сравнивать различные детекторы и использующийся при их проектировании. В связи с процессом квантового измерения ис-
следована статистика транспорта в наноструктурах с учетом квантово-когерентных эффектов.
Проведен анализ основных источников шума, подавляющих квантовую когерентность сверхпроводниковых кубитов. Исследован их относительный вклад в процессы энергетической и фазовой релаксации. Разработаны методы исследования влияния низкочастотного шума, как продольного, так и поперечного, на квантовую динамику в оптимальной точке. Исследования проводились во взаимодействии с экспериментальными группами.
Цель работы. Целью работы является развитие и приложение теоретических методов исследования квантово-когерентных явлений в твердотельных системах, в первую очередь в системах на основе джозефсоновских контактов, как в зарядовом, так и в фазовом режиме, а также в промежуточной области параметров. Особое внимание уделяется созданию таких систем и управлению их квантово-когерентной динамикой. Исследуется воздействие шума разной природы на систему, приводящее со временем к потере когерентности. Анализируются вопросы, связанные с измерением квантового состояния системы и квантово-когерентных явлений в транспортных свойствах. Практическая и теоретическая ценность работы. Предложенные теоретические методы и полученные в работе результаты широко используются для обработки и анализа экспериментальных данных, а также для анализа возможностей использования различных систем на основе сверхпроводящих контактов в приложениях, требующих квантовой когерентности, в частности для квантовых вычислений. В работе также предложены конкретные системы, удобные для создания таких приборов, и описаны их свойства. Помимо этого, раз-
работанные в работе методы описания мезоскопических квантовых измерителей используются для проектирования и количественного описания различных аспектов эффективности квантовых измерителей.
Разработанные методы управления квантовой динамикой и оптимизации последовательностей управляющих импульсов используются для исследования твердотельных и других кван-тово-когерентных систем. Полученное в работе описание процесса потери когерентности используется для обработки экпе-римента, в частности, в исследованиях влияния низкочастотного шума на когерентную квантовую динамику. Полученные результаты могут применяться для подавления процессов сбоя фазы, а также для исследования механизмов шума, подавляющего когерентность квантовых систем.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех частей, заключения и списка литературы.
Сверхпроводящая гранула как двухуровневая система
Квантово-когерентные явления в мезоскопических системах давно привлекали интерес исследователей. Дополнительным толчком к развитию этой области физики во второй половине 1990-х гг. послужили достижения теории квантовых вычислений — твердотельные мезоскопические системы могут использоваться для реализации квантовых битов и построения квантовых компьютеров на их основе. По сравнению с микроскопическими реализациями кубитов (см. критический анализ различных микро- и макроскопических кубитов в [34]) твердотельные системы обладают такими преимуществами, как масштабируемость, возможность контролировать параметры гамильтониана на этапе изготовления и интегрировать кубиты в электрические цепи (что удобно как для исследования их свойств, так и для их использования в прикладных целях). Важным преимуществом систем на основе джозефсоновских контактов является сочетание присущей сверхпроводящему состоянию когерентности с возможностями управления их состоянием, известными для од-ноэлектронных систем и сквидов [3, 4]. В отличие от одноэлектронных степеней свободы в нормальном состоянии, которые могут быстро терять фазовую когерентность из-за большого числа низкоэнергетических возбуждений, наличие щели в спектре сверхпроводящих систем приводит к тому, что при достаточно низкой температуре квазичастицы не оказывают влияния на квантовую когерентность.
В работах [38, 6] проводились эксперименты по изучению когерентных свойств зарядовых джозефсоновских систем, появились первые предложения по их использованию в качестве квантовых битов [39, 40] (ср. подробный анализ в [41]). Эксперименты показали, что хотя эти системы проявляют квантовые свойства, из-за большого числа микроскопических степеней свободы они быстро теряют когерентность, так что не удается наблюдать, например, квантово-когерентные колебания системы (между макроскопически различными состояниями). Требовалось совершенствование конструкции этих систем, а также изучение шума, действующего на квантовую степень свободы. При этом необходимо создать условия для быстрого и точного совершения «квантовых операций (управления динамикой кубита) и изолировать кубиты от влияния шума (сохраняя возможности управления их динамикой и измерения их квантового состояния). В [42, 41] была исследована «зарядово-магнитная» система, было показано, что в этой системе при помощи импульсов напряжения или тока можно выполнять как однобитовые, так и двухбитовые операции с большей точностью и меньшей потерей когерентности, а также проводить более эффективные измерения квантового состояния. В системе такого типа впервые:удалось наблюдать квантово-когерентные колебания между двумя зарядовыми состояниями [28]. За последние годы в г этой области был достигнут значительный прогресс, появилось большое количество теоретических и экспериментальных исследований [15, 34].
Для реализации кубитов рассматривались джозефсоновские схемы, основанные на использовании одной из двух сопряженных степеней свободы: зарядовой или фазовой (магнитной). В:первом случае в качестве квантовой степени свободы используется заряд на маленьком сверхпроводящем островке, и логические состояния различаются «количеством куперовских пар» на островке. Эти системы сочетают когерентность сверхпроводящего состояния ; с возможностью управлять динамикой ; отдельных зарядов, известной для;одноэлектронных систем; и основанной на явлении кулоновской блокады. Используются металлические (сверхпроводящие) контакты малых размеров с характерными емкостями С в диапазоне- 1 iF и ниже. В последние 10-15 лет были достигнуты значительные успехи в технологии изготовления таких систем; что позволило производить образцы. малого размера с контролируемыми параметрами и исследовать их свойства. В таких системах характерная зарядовая энергия Ее — е2/2С, представляющая собой масштаб изменения электростат тической энергии при туннелировании одного электрона, соответствует 1KB температурных единицах...Следовательно, при.температурах порядка 1 К и ниже зарядовые эффекты оказывают сильное влияние на физику системы. Зарядовые эффекты важны также в квантовых точках в: полупроводниках ив. гранулированных: материалах. В сверхпроводящих системах наличие щели в спектре возбуждений приводит к интерференции эффектов четности (понимание которых существенно для -,. наблюдения когерентных свойств):с зарядовыми эффектами:[4;.43]. Зарядовые эффекты контролируются внешними напряжениями, что позволяет управлять эволюцией квантового состояния как отдельных кубитов, так и многокубитных систем: Я; Накамура и соавторы [28] впервые продемонстрировали разрешенные во времени-квантовые когерентные колебания в зарядовом джозефсоновском кубите, приготовленном в суперпозиции собственных состояний, а недавно удалось наблюдать [33]; когерентные колебания со временем затухания (потери когерентности) 1 мке, на 2-3 порядка превышающим первые результаты, а также когерентные колебания в более сложных системах [29]: Другой подход основан на использовании фазы на джозефсоновском контакте или магнитного потока в сверхпроводящем кольце с одним или несколькими контактами (ср. [44, 45]). Квантовые явления в джозеф-соновских контактах и сквидах изучались в 1980-х годов, наблюдались квантовое туннелирование фазы [13, 8,10] и дискретные уровни [8, 9,11].. Собственные состояния таких систем, являющиеся суперпозициями различных фазовых состояний, наблюдались в работах [46, 47], а недавно были зафиксированы когерентные колебания между фазовыми состояниями как магнитного потока [30], так и фазы на контакте [31, 32];
Для изучения квантовых свойств и использования для квантовых вычислений представляют интерес системы из нескольких кубитов. Простейшие с точки зрения эксперимента виды межкубитного взаимодействия позволяют продемонстрировать когерентные явления [29]. Но для повышения точности управления квантовой динамикой и подавления потери когерентности, а в перспективе для построения полномасштабных систем из многих кубитов («квантовых компьютеров») необходимы схемы, в которых можно независимо регулировать силы попарных взаимодействий : при минимальном дополнительном подавлении когерентности. Первые предложенные схемы с регулируемой силой взаимодействия между зарядовыми кубитами [39, 40] требуют большой точности и сложности управляющей последовательности импульсов для создания корреляций между кубитами («двухбитовых операций») и могут привести к сильному подавлению когерентности, В [42, 48] были предложены системы, ослабляющие ограничения на параметры системы. После первых экспериментов с парами кубитов [29, 49], рассматривается возможность реализации этих систем или их модификаций (ср. [50]). Предлагались также способы построения фазовых систем с регулируемым взаимодействием [44, 51] (см. также ссылки в работе [50]).
В этой части мы приведем общие сведения о квантовых джозефсонов-ских системах в зарядовом и фазовом режимах (как для полноты описания, так и для использования в этой и последующих частях), опишем системы, защищенные от внешнего шума, и продемонстрируем возможности управления их квантовой динамикой через параметры гамильтониана (главы 1, 2). Будут рассмотрены методы построения сложных (мно-гокубитовых) систем на основе зарядовых и фазовых джозефсоновских кубитов, проанализировано их поведение и сформулированы условия на параметры систем, при которых их поведение описывается моделью кубитов с регулируемым взаимодействием (разделы 1.4, 2.2). Также будут проанализированы возможности описания нелокальных квантовых корреляций в подобных системах и вопросы о локальной эквивалентности унитарных операций над парами кубитов в таких системах (глава 3).
Другие джозефсоновские кубиты и элементы квантовых цепей
Гамильтониан (1.4) соответствует гамильтониану модели кубита (АЛ) из Приложения А. Оптимальное управление квантовой динамикой кубита возможно, если удается независимо контролировать зарядовый вклад (эффективное поле вдоль оси z) и амплитуду туннелирования (поле в х направлении). В описанной системе однако удается изменять только зарядовый вклад (через затворное напряжение), в то время как амплитуда туннелирования постоянна и равна джозефсоновской энергии контакта. Тем не менее изменение затворного напряжения позволяет проводить все необходимые однобитовые операции (т.е. реализовать любой унитарный; оператор эволюции кубита) [15]. Пусть, например, между операциями («в покое») кубит находится далеко от точки вырождения, где собственные состояния (0) и 1) близки.к-ft) и.Ц,). (собственные состояния в точке покоя мы будем рассматривать как «логические», т.е. соответствующие 0) и 1) в квантовой теории алгоритмов; соответственно этот базис будем называть логическим). Тогда изменение затворного напряжения, переключающее систему в точку вырождения на время At и обратно, приводит к следующему повороту в спиновом пространстве: где a = EjAt/H.B зависимости от продолжительности импульса Д этот поворот может перевернуть направленный вверх (0)) спин или, например, создать суперпозицию двух зарядовых состояний (0) и 1)) с любыми заданными весами. (Именно эта операция была продемонстрирована в экспериментах Накамуры и др. [28]), Аналогичным образом для осуществления относительного сдвига фазы между логическими состояниями достаточно небольшого изменения затворного напряжения ng на конечное время, которое меняет разность энергий между основным и возбужденным состоянием.
Сделаем еще несколько замечаний [41, 15]: а) Для осуществления произвольного преобразования квантового состо яния двухуровневой системы достаточно поворотов вокруг . и Дг. Ис пользуя комбинацию не более чем трех таких элементарных поворо тов можно реализовать любое унитарное преобразование в гильбертовом пространстве кубита [41, 15]. б) В приведенном выше примере, в котором контролировалось только Дг, можно осуществить переворот спина только приблизительно, да же в ситуации с настройкой] (между операциями) вдали от точки вы рождения при с Е). Тем не менее в базисе логических состояний (собственных состояний в покое) переворот несложно реализовать точ но. Для этого достаточно переключения из точки покоя Tftdie в точку Ц — %ш-Ьтг/2, в которой эффективное магнитное поле перпендикулярно полю покоя. Это приводит к замене гамильтониана Н . — — jAE(r)i,ne)pz па Н = АЕ(Г]\АЪ + я/2)рх- Такая замена достигается; при изменении безразмерного затворного заряда ng на j/(4i?c sin 2) В обсуждавшемся выше пределе ijidie М при этом осуществляется переключение в точку, близкую к точке вырождения 7} — тг/2. в) Для управления состоянием кубита можно прикладывать импульсы не постоянного, а резонансного переменного напряжения с частотой, близ кой к. расщеплению уровней квантовой системы. Такой подход хорошо известен и детально разработан в области ЯМР. г) Выше мы обсуждали динамику только во время операций, т.е. при ложения импульса. Однако полезно уметь не только преобразовывать, но и сохранять квантовое состояние, в том числе в процессе квантовых вычислений на время работы с другими кубитами. Даже в точке покоя Ше из-за разности энергий логических (собственных) состояний со временем растет относительная фаза между ними. Это приводит к «коге рентным колебаниям», характерным для суперпозиций собственных со стояний. Сохранение информации о квантовом состоянии при этом тре бует точного знания накопленной разности фаз, и значит, и времени to, истекшего с момента начала всей процедуры. Можно избавиться от необ ходимости хранить информацию о фазах, если «проводить квантовые вычисления» в представлении взаимодействия (по отношению к затра вочному гамильтониану в точке покоя), т.е. выбрать эволюционирующий во времени логический базис. Однако переход к представлению взаимо действия приводит к дополнительной явной зависимости от времени в гамильтониане. Возникающие сложности обсуждались в работе [41], д) Выбор «логического» базиса, разумеется, неоднозначен. Как видно из предшествующего обсуждения, в данной системе возможно осуще ствление х- и г-поворотов в зарядовом базисе f), 4-), что позволяет осуществить любой унитарный оператор эволюции. С другой стороны, поскольку мы можем осуществить любое унитарное преобразование, мы можем выбрать в качестве логического любой базис. С разных точек зрения более удобным может оказаться тот или иной базис. Так гамиль тониан в точке покоя диагоналей в собственном базисе (1.8), в то время как изменеямая часть гамильтониана, зарядовая энергия, выделяет заря довый базис. Приготовление начального состояния (релаксацию в точке покоя) естественнее описывать в собственном базисе, а взаимодействие в измерителем (ОЭТ, см. Часть П) диагонально в зарядовом базисе. Таким образом, логический базис может быть выбран разными способами. Рассмотрим систему на рис. 1,5, в которой джозефсоновский контакт заменен сквидом, т.е. петлей из двух джозефсоновских контактов, соединенных параллельно [42, 57]. Эта система еще ближе к модели куби-та (А. 1), поскольку в ней, можно регулировать не только расщепление уровней, но и амплитуду туннелирования между ними (х-компоненту эффективного поля). Управление системой осуществляется при помощи магнитного поля, создаваемого током в катушке, поток этого поля через петлю обозначим Фх. Для достаточно маленьких петель (с малой индуктивностью) [4] кубит со сквидом описывается эффективным гамильтонианом вида (1.2), но с модифицированной потенциальной энергией:
Здесь Фо = hc/2e обозначает величину (сверхпроводящего) кванта магнитного потока. При записи этой формулы мы предположили, что джо-зефсоновские: контакты имеют одинаковые характеристики 2 и обозначили их джозефсоновскую энергию Ej. Емкость сквида равна сумме емкостей составляющих его контактов, в симметричном случае Cj = 2Cj. При подходящем выборе параметров система ведет себя; как двухуровневая. Она описывается гамильтонианом (1.4) с регулируемой эффективной джозефсоновской энергией
Статистика тока в открытых мезоскопических системах
В предыдущей главе мы рассматривали квантовую динамику низкоемкостных джозефсоновских систем, в которых масштаб зарядовой энергии превосходит джозефсоновекую энергию, Ее 3 Ej, и хорошо определенной квантовой степенью свободы является заряд на сверхпроводящем островке. Рассмотрим теперь квантовые свойства сверхпроводящих систем в противоположном пределе, Е$ ; Ее, в которой хорошо определенной степенью свободы является фаза на контакте или магнитный поток. Подобные системы предлагались в 80-х годах в качестве удобного объекта для изучения т.н. макроскопических квантовых эффектов [65], в том числе «макроскопического квантового туннелирования» фазы (потока) и резонансного туннелирования. Эти явления наблюдались экспериментально [13, 8, 9, 10]. В 1999-2000 г. было продемонстрировано еще одно макроскопическое квантовое явлепие — отталкивание близких уровней, связанное когерентным туннелированием фазы в двухъямном потенциале [47, 46]. В недавних экспериментах были продемонстрированы когерентные колебания фазы [30, 12, 14]. Отличием фазовых систем от зарядовых является их меньшая чувствительность к флуктуациям фонового заряда, однако они более чувствительны к магнитному шуму.
Если индуктивность достаточно велика, 0і = Е]/(ФІ/4тт2Ь) 1, и величина приложенного потока близка к Фо/2, первые два члена в выражении для гамильтониана представляют собой (в области низких энергий) двухъямный потенциал вблизи Ф = Фо/2. При низких температурах на физику системы оказывают влияние только низшие состояния в обеих ямах. Эффективный гамильтониан этой двухуровневой системы имеет вид (1.4), %ctri = — \Bzoz — \Вхох. Диагональный элемент гамильтониана Bz описывает асимметрию двухъямного потенциала; в пределе
Бг можно изменять, регулируя поток Фх. Недиагональный член Вх представляет собой амплитуду туннелирования между ямами. Он зависит от высоты барьера между ямами, и следовательно, от Ej. Джозефсонов-скую энергию, в свою очередь, можно регулировать, если заменить джо-зефсоновский контакт на dc-сквид, как показано на рис. 2.1 б, при этом магнитный поток Фх сквозь кольцо сквида является дополнительным управляющим параметром 1. Управляя этими двумя параметрами гамильтониана, можно реализовать такие операторы эволюции двухуровневой системы, (псевдоспина), как г-н s-по вороты, а значит, и: любые повороты, т.е. любые унитарные операторы эволюции спинора (аналогично ситуации с зарядовым кубитом). Помимо этого отметим, что для фазовых кубитов также можно управлять их квантовой динамикой при помощи прямоугольных импульсов величин Фх и Фх (резкое включение и выключение) или при помощи резонансных импульсов переменного поля. Для создания двухъямного потенциала необходимо, чтобы параметр fa превосходил единицу, но не намного, поскольку в противном случае высокий барьер между ямами подавит туннелирование.
Описанный выше rf-сквид обсуждался уже в 80-х годах как потенциальная квантово-когерентная двухуровневая система. В экспериментах были продемонстрированы некоторые черты квантового поведения на макроуровне, например, макроскопическое квантовое туннелирование фазы, резонансное туннелирование и квантование уровней [13, 8, 9, 10, 11]. Однако только недавно удалось наблюдать отталкивание близких уровней вблизи точки вырождения [47, 46].
В работе [47] было проведено спектроскопическое исследование возбужденных состояний в разных ямах. Индуктивность rf-сквида в этих экспериментах составляла L = 240 рН, а величина параметра fa — 2.33. Из-за значительного расстояния между минимумами потенциальных ям (порядка Фо) и значительной высоты барьера туннелирование между нижними состояниями в ямах было пренебрежимо малым. Однако энергии более высоких состояний в ямах — при определенных условиях ямы содержат по одному возбужденному состоянию; — также определяют В работе [44] обсуждаются возможности независимого изменения потоков ся потоками Фх и Фх. Поскольку, эти состояния расположены выше по энергии, амплитуда туннелирования между ними больше, чем; между нижними состояниями; в результате собственные состояния оказываются; суперпозициями фазовых состояний, локализованных в правой. и левой ямах. Внешнее микроволновое излучение использовалось для возбуждения; системы из низших состояний, локализованных в: ямах, в одно из этих собственных состояний. Был исследован энергетический спектр системы при различных значениях параметров Фх, Фх, с результатами, в соответствии с гамильтонианом (2;1). В частности, наблюдение отталкивания уровней в точке вырождения является признаком того, что система находится в суперпозиции макроскопически различных квантовых состояний: (локализованных по фазе), отличающихся величиной потока на Фо/4, тока — на 2-3 мкА, и магнитного момента на; 1010 в В работе [46] проводились спектроскопические исследования аналогичной, но меньшей: по размеру системы их трех джозефсоновских контактов, которая будет описана ниже. В этой системе наблюдались суперпозиции низшие (-«основных») состояний в ямах джозефсоновского потенциала. И в этом опыте наблюдение отталкивания уровней подтвердило, что система действительно ведет себя как двухуровневая квантовая система, описываемая гамильтонианом (1.4), параметры BX,BZ которого вычисляются на основе выражения (2.3) для потенциала.
Несмотря на описанные успешные эксперименты попытки наблюдения когерентных квантовых колебаний системы [12,14], приготовленной в суперпозиции собственных состояний, долго оставались неудачными. Возможная причина была установлена недавно [44] и состоит в слишком сильных ограничениях, которые нужно наложить на параметры- системы (2.1) для создания двухъямного потенциала: для выполнения условия PL 1 требуются высокие значения критического тока контактов и большая индуктивность кольца, что достигается на практике только в кольцах относительно больших размеров. В результате система оказывается, чувствительной к внешнему шуму, что ограничивает ее время когерентности. Для;увеличения времени когерентности в работах [44,.66] было предложено использовать кольца меньшего размера, но с несколькими (тремя или-четырьмя) контактами. Рассмотрим, например; систему на рисунке 2.2 а,с. В таком кольце с малой индуктивностью величина магнитного потока может лишь слабо флуктуировать вблизи приложенного значения,, Ф = Фх. Как следствие,, разности- фаз на : контактах связаны соотношением:(рг+& + у з = 27гФх/Фо, т.е. только две разности фаз;
Влияние низкочастотного шума в оптимальной точке
При управлении квантовой динамикой системы (например, в процессе квантовых вычислений) одной из задач является построение требуемого унитарного оператора эволюции из элементарных одно- и двухбитовых операций. При этом можно показать, что одно- и двухбитовых операций достаточно [100, 101, 102, 103]. Таким образом, в любой системе, реализующей квантовый компьютер, необходимо уметь выполнять небольшой набор элементарных операций с одним-двумя кубитами. Так, Баренко и др. [103] показали, что двухбитовый оператор контролируемого НЕ (CNOT, controlled NOT) вместе с однобитовыми операциями достаточен, т.е. порождает всю группу SU(/V) («операторы образуют универсальный набор»). Более того, несложно показать, что любой двухбитовый оператор М образует универсальный набор вместе с однобитовыми (при условии, что М не тривиален, т.е. не является комбинацией однобитовых операций и оператора SWAP, переставляющего состояния кубитов). Тем не менее эффективность такого универсального набора, т.е. количество операций из набора, необходимых для выполнения того или иного квантового алгоритма (унитарного преобразования) зависит от оператора М.
Для конкретной системы (например, джозефсоновской реализации квантового компьютера) обычно имеется выделенный «элементарный -двухбитовый оператор М (или набор ехр[г"Ні] операторов эволюции, порожденных определенным гамильтонианом). Такой оператор легко реализовать посредством простой физической операции (изменения одного параметра или приложения импульса). Например, для зарядовых куби-тов в системе на рис. 1.7 такой оператор порождается гамильтонианом (1.21). В такой ситуации встает вопрос об оптимизации: как можно выполнить конкретное вычисление (унитарную операцию) самым экономным способом, т.е. за наименьшее число «шагов» (элементарных операций)? Во многих ситуациях двухбитовые операции оказываются -«более дорогими», чем однобитовые (например, занимают больше времени, как для описанных выше джозефсоновских систем, требуют более сложных управляющих последовательностей импульсов или дают больший вклад в сбой фазовой когерентности), при этом следует оптимизировать в первую очередь количество двухбитовых операций.
Рассмотрим один из вариантов такой задачи для двухбитовых операций, которая важна как для сверхпроводящих двухуровневых систем, так и для других физических систем, а именно вопрос о том, как заданный двухбитовый оператор L можно реализовать при помощи возможно меньшего числа элементарных двухбитовых операторов М [104]. Более конкретно, мы приведем условия, при выполнении которых достаточно применить М всего один раз. Мы приведем набор алгебраических инвариантов (полиномов от элементов матрицы плотности, легко вычисляемых по этой матрице), совпадение значений которых для операторов М и і и является необходимым и достаточным условием. Кроме того, мы найдем набор алгебраических инвариантов квантовых состояний пары двухуровневых систем, определяющий, можно ли одно из этих состояний перевести в другое при помощи однобитовых операций (т.е. без использования взаимодействия). Элементы этого набора полностью характеризуют корреляции между подсистемами и любая характеристика таких корреляций (в частности, зацепление кубитов) является функцией величин из набора (более того, для слегка расширенного набора [см. І1-20 ниже] любая полиномиальная характеристика корреляций является полиномиальной функцией величин из набора).
Нелокальные корреляции между подсистемами квантовой системы важны как для описания их физических свойств, так и в области квантовой теории алгоритмов. Такие корреляции отражают т.н. зацепление (перепутывание или entanglement) между подсистемами. Они должны количественно описываться величинами, инвариантными по отношению к локальным унитарным преобразованиям, затрагивающим; только одну подсистему (однобитовым операторам, если речь идет о паре куби-тов). Изучим такие локально-инвариантные характеристики (і) унитарных преобразований и (и) (смешанных) состояний системы из двух ку-битов [105].
Два двухбитовых унитарных преобразования М и L Є SU(A) называются локально эквивалентными, если они отличаются только однобитовыми операциями: L = U1MU2, где U\,Uz Є 517(2)х2 являются комбинациями однобитовых преобразований 1. Характеристика двухбитовой.; операции является нелокальной, только если ее значения для локально эквивалентных преобразований совпадают. Мы приведем полный набор локальных инвариантов двухкубитовой операции, т.е. такой,что две операции локально эквивалентны;тогда.и только тогда, когда для этих операций совпадают значения всех инвариантов из набора. Этот набор состоит из трех вещественных многочленов от элементов матрицы двух-кубитового оператора, (ReGi,.ImC?i и G2 в таблице 3.2, ср. (3.2)). Этот набор минимален: группа SU{A) 15-мерна и локальные операции «устраняют» не более 2dim[5I7(2)x2] = 12 степеней свободы; следовательно, любой набор инвариантов должен содержать не менее 15 — 12 = 3 инвариантов.
Б случае пары кубитов локальная эквивалентность операторов М и L равносильна утверждению, что один из этих операторов можно получить, применяя другой только один раз (а также применяя дополнительно несколько однокубитовых операторов). Более того, для локально-эквивалентных операторов мы приводим эффективный способ явно найти такое представления одного оператора через другой, L = U\MUi, где Ui, U2 — однокубитовые операторы В случае, когда для реализации L одного применения М недостаточно, можно задаться вопросом, сколько раз нужно применить М. Подсчет размерностей заставляет думать, что двух шагов (применений М) всегда достаточно: действительно, для однобитовых операторов Ui выражение U1MU2MU3 содержит 3 х 6 = 18 свободных параметров и в принципе его значения могут покрывать всю 15-мерную группу SU(4) двухбитовых операторов. Однако это не всегда так: если М почти не зацепляет кубиты, например, близок к 1 (или любому однокубитовому оператору),.то U1MU2MU3 также близок к од-вокубитовому оператору для любых .Ui и не может совпадать с L, если последний сильно перепутывает состояния кубитов (например, CNOT).
Связанной с этой задачей является: задача о локальных инвариантах квантовых состояний. Смешанное состояние описывается матрицей плотности р. Два состояния называются локально эквивалентными, если одно из них можно получить из другого при помощи локальных (однобитовых) операций: р — WpU, где U — локальный оператор. Очевидным образом коэффициенты характеристического многочлена матрицы р и приведенных матриц плотности каждого из кубитов локально инвариантны. Методы, описанные в работах [106, 107], позволяют в принципе выписать все инварианты.
