Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Решение задач гравиразведки с помощью CAB .
1. Об использовании систем аналитических вычислений при решении задач гравиразведки
2. Универсальные и специализированные CAB
Глава II. Применение CAB для аппроксимации и интерполя ции наблюденных полем
I. Краткие библиографические сведения
2. Алгоритмы аппроксимации и интерполяции наблюденного поля
3. Программная реализация алгоритмов аппроксимации и интерполяции с помощью CAB
Глава III. Применение в методе подбора
1.0 методе подбора .
2. К вопросу о решении систем линейных уравнений в обратных задачах гравиметрии
3. Решение прямой задачи для тела переменной плотности ,
4. Решение обратной линейной задачи гравиразведки для тел переменной плотности
5. Результаты модельных исследований
Глава ІV. Диалоговая система для эвм с аналитическим процессором
1. Общие вопросы построения иерархической системы
2. Решение прямой задачи гравиразведки в режиме диалога
3. Решение обратной задачи с использованием диалога
4. Некоторые результаты опробования диалоговой системы при построении первоначальной мо дели
Глава V. Использование разработанных алгоритмов и программ для интерпретации практических материалов
I. Интерпретация гравитационных аномалий для прогноза рифогенных образований
2. Результаты площадной интерпретации данных гравиразведки по поднятию Шмидта
3. Исследование геофизических полей области Вранча
Заключение
Литература
- Универсальные и специализированные CAB
- Алгоритмы аппроксимации и интерполяции наблюденного поля
- Решение прямой задачи для тела переменной плотности
- Решение обратной задачи с использованием диалога
Введение к работе
, В качестве главной задачи одиннадцатой пятилетки ХХУІ съезд КПСС определил дальнейшее повышение материального и культурного уровня жизни советского народа на основе высоких.темпов развития социалистического производства - повышения его эффективности, научно-технического прогресса и ускорения роста производительности труда. Прогресс науки, и техники..- это главный рычаг создания материально-технической базы коммунизма. Постоянно растущие темпы развития промышленности должны обеспечива-.. ться достаточной сырьевой.базой. При этом возрастают требования к научному прогнозированию месторождений полезных ископаемых. Большие глубины исследований, сложность тектонической обстановки районов исследований требуют осуществлять поиск минерального сырья с позиций комплексирования геолого-геофизических-методов. Использование гравиразведки позволяет проводить.как-объемное геологическое картирование всей площади исследований, так и выделение локальных структур, приуроченных непосредственно к месторождениям полезных ископаемых. Для повышения эффективности их поиска необходимо использовать специальные математические методы обработки и интерпретации геофизических наблюдений, реализованных на электронных вычислительных машинах в автоматизированных системах. Развитие автоматизированных систем обработки и интерпретации на базе новых достижений в вычислительной технике позволит поставить задачу интерпретации -результатов геофизических исследований на. индустриальную основу и значительно повысить эффективность их использования.
Актуальнооть проблемы. В комплексе геофизических методов важное место занимает гравиразведка. Она широко используется при изучении строения земной коры и разведке полезных ископаемых. Основным этапом для геологической интерпретации аномального гравитационного поля является решение обратной задачи. В общем случае она относится к классу некорректно поставленных задач.
Усилиями научных и производственных организаций, на основе новых математических методов и использования ЭВМ, созданы автоматизированные системы, которые позволяют решать эту задачу.
Вычислительная техника по темпу развития обгоняет подготовку специализированного математического обеспечения, тем самым значительно сокращаются возможности ее использования.
В последнее время внимание исследователей обращено к проведению аналитических вычислений на ЗВМ. Как показывает анализ работ, использование систем аналитических вычислений, их применение позволило получить практически новые результаты в различных областях физики и математики.
Таким образом, разработка новых и совершенствование известных методов решения обратных задач на базе новых достижений в вычислительной технике имеют большое как теоретическое, так и практическое значение. В работе рассматриваются некоторые вопросы количественной интерпретации с использованием сис-" тем аналитических вычислений.
Диссертационная работа является этапной частью темы: "Развить и ввести в эксплуатацию автоматизированную систему обработки данных научных исследований при интерпретации гравитационных аномалий для прогнозирования нефтегазоносных и рудных формаций". Задание 01.59. компексной научно-технической программы ГКНТ СССР 0.Ц.027, гос. регистр. 81089680.
Цель исследований. В практике обработки и интерпретации геофизических данных широко используются автоматизированные системы, в основу которых положены довольно сложные алгоритмы. Они позволяют решать интерпретационные задачи даже в сложных физико-геологических условиях. Вместе с тем при решении теоретических и практических задач часто сталкиваются с такими проблемами как сходимость и устойчивость вычислительного процесса, влияние ошибок округления и др. Успехи в области аналитических вычислений на ЭВМ создают для вычислительной математики, вообще и для обработки и интерпретации геофизических наблюдений в частности новые возможности в разработке эффективных методов решения задач. Поэтому целью исследований является развитие приемов количественной интерпретации потенциальных полей..с существенным использованием систем аналитических вычислений.
Задачи исследований состоят в следующем. -I... Про вести анализ существующих систем аналитических вычислений и их использование в физике и математике.
П. Исследовать эффективность применения систем аналитических вычислений при решении обратных задач гравиразведки.
С этой целью рассмотреть следующие задачи: а) постановка и решение задач.интерполяции и аппроксимации; б) постановка и решение прямой и обратной линейной задачи для тел переменной плоскости; в) разработка нового подхода к определению параметра регуляри зации; г) разработка диалоговой системы на базе новых возможностей, предоставляемых системой аналитических вычислений.
Ш. Опробование разработанных алгоритмов и программ на модельных и практических задачах.
Методы исследований. При решении поставленных задач использовались методы теории потенциала, методы математического программирования и вычислительной математики, теория решения обратных задач математической физики. Эффективность, работоспособность разработанных алгоритмов и программ оценивалась модельными исследованиями и вычислительным экспериментом на ЭВМ серии ЕС, CM-I4I0 и "Мир-2". .. Научная новизна проведенных исследований заключается в следующем.
I. Обосновано использование систем аналитических вычислений при интерпретации гравитационных аномалий...
П. Рассмотрен вопрос решения обратной задачи гравиразвед-ки, целиком опирающейся на применение систем аналитических вычислений. При этом получены следующие результаты: а) построены вычислительные конструкции для интерполяции и аппроксимации дискретно или аналитически заданной функции; б) показано, что можно получать -решение не только по ис ходному полю, но и по полю-.трансформант.; .. в) на примере обратной линейной задачи получено решение плохо обусловленных систем без привлечения специальных алгоритмов; г) разработано два новых подхода к определению параметра регуляризации; „ ........ д) предложен.и разработан-алгоритм обратной задачи для блоковых тел переменной плотности; -. . е) поставлена и решена обратная линейная задача для тел блокового, строения при неточных данных о геометрических пара метрах модели.
Ш. Описана работа блоков прямых и обратных задач в режиме диалога с использованием систем аналитических вычислений, пока- зана на модельных примерах.
Практическая ценность и реализация работы. Предложенный в диссертационной работе подход к решению задач гравиразведки представляет собой дополнительные этапы к автоматизированной системе интерпретации гравитационных аномалий, разрабатываемой в отделе математической геофизики Института геофизики им. СИ. Субботина.
Математическое обеспечение может найти широкое применение при решении рудных и структурных геологических задач. Практическая ценность не ограничивается областью гравиметрии. Методы и алгоритмы носят общий характер и могут быть использованы при интерпретации других аномальных полей.
Основной объем разработанных алгоритмов .и программ использовался и внедрен при выполнении работ по хоздоговорной тематике и о научно-техническом-содружестве в следующих предприятиях: тресте "Волгограднефтегеофизика", Черноморской геофизической экспедиции, Институте, сейсмологии ТССР, Институте геологии и геофизики УзССР, Центральной геофизической экспедиции Министерства нефтяной промышленности.
Апробация работы. Отдельные .разработки по теме диссертационной..работы докладывались и,обсуждались на заседаниях отдела математической геофизики Института геофизики им. СИ. Субботина АН УССР, на международном совещании по теме "Изучение глубинного строения литосферы вдоль основных геотраверсов по данным комплексных геофизических исследований" проекта К/ШГ (Киев, Ялта, 1983 г.); на общесоюзных, семинарах: "Изучение ри-фогенных структур геофизическими методами" (Пермь, 1979, 1981, 1983 г.г.); на общесоюзном гравиметрическом семинаре им. Г.Д. Успенского (Москва, 1978, 1979 г.г.), (Киев, 1980 г.); на конференциях аспирантов и молодых ученых:(Киев, 1977 г.; Тюмень,
1978 г.; Баку, 1979 г.; Ленинакан, 1980 г.; 1983 г.; Москва, І9Й2 г.); на совещании "Состояние и перспективы развития грави-разведки в Миннефтепроме СССР" (Саратов, 1982 г.).
Публикации. Основные положения диссертационной работы опубликованы в А**, статьях и монографии.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, изложенных на ..Щ страницах машинописного текста, Л6, рисунков, Л. таблиц и списка литературы из Л2*? наименований.
Работа выполнена в отделе "математической геофиз.ики Института геофизики им. СИ. Субботина АН УССР под руководством доктора физико-математических наук, профессора Е.Г. Булаха, которому автор выражает искреннюю благодарность и дризнательность за ценные советы, идеи, постоянное внимание и поддержку в работе.
Автор признателен В.А. Ржаницыну, В.А.. Шляховскому, Я.Б. Ливенкову за полезные советы на все* этапах--исследований, всему коллективу, сотрудников отдела математической геофизики за внимание и содействие в процессе выполнения работы. .
Автор признателен А.И. Пузырь, Е.А. Розе за помощь при оформлении работы.
Универсальные и специализированные CAB
В практике обработки и интерпретации геофизических данных широко используются автоматизированные системы, в основу которых положены довольно сложные алгоритмы. Они позволяют решать интерпретационные задачи даже в сложных физико-геологических .... условиях. Вместе с тем, при решении теоретических и практических задач часто сталкиваются с проблемами численного программирования. Это вопросы сходимости, устойчивости вычислительного процесса, влияния ошибок, .округления и др. Многие из них вообще могут быть сняты с рассмотрения, если на ЭВМ производить не только численные, но и аналитические вычисления. Академик IVH.Map-.-чук отмечает,, что -успехи в области .аналитических-преобразований на ЭВМ создают-для вычислительной математики новые возможности в разработке эффективных методов решения задач и будут все активнее проникать в сферу математического обеспечения ЭВМ [6 ] .
Поэтому в последние годы придается особенное значение возможности -решения на ЭВМ задач в аналитическом виде с использовав, нием систем .аналитических вычислений (CAB). В рамках этих систем имеется возможность аналитически выполнять такие операции, как дифференцирование, упрощение выражений (приведение подобных), осуществлять подстановки вместо символа другого символа или выражения и т.д. В.-итоге результат вычисления может быть представлен аналитическим -выражением (например, функцией, явно зависящей от нескольких параметров). Кроме этого CAB дают возможность использовать как точную рациональную арифметику, так и обычную вещественную, поскольку она в общем случае необходима для связи с численными системами программирования.
Программные системы аналитических вычислений являются мощ ным и практически единственным инструментом решения задач, тре бующих предварительно больших затрат ручного труда, и вычисли тельные процедуры которых очень чувствительны к потере точности при численном решении. Достаточно полный анализ, использования CAB при решении широкого класса задач физики и математики дан в работе С161 . Обобщая опыт использования CAB, некоторые исследо ватели (например: L3W ) отмечают, что-при этом не сталкива ются с такими проблемами численного программирования, как ошиб ки округления, сходимость, устойчивость. Пока еще нет-сколь либо значительного опыта использования CAB при решении геофизических задач. Поэтому не будем столь категоричны в подобных утвержде ниях. Эти вопросы требуют большого вычислительного эксперимен та ПЯ
В настоящее время системы аналитических вычислений привлекают к себе внимание исследователей различных направлений. Несомненно,..CAB может найти широкое .применение и при решении геофизических задач. Отметим некоторые возможности использования систем для обработки и интерпретации неустойчивых задач гравиметрии.
При.обработке и интерпретации потенциальных.-полей мы сталкиваемся с тем обстоятельством, что интересующая нас функция дискретно и отягощена ошибками. Непосредственное использование ее для .качественной.!! количественной интерпретации затруднительно. Здесь и возникает непростая задача интерполяции и аппроксимации функции. Известно, ..что представить табличную функцию аналитической можно, различными.способами: в виде алгебраического полинома, рядом Фурье, суммой специально ..построенных функций и др. Каждый .способ может найти свое применение при решении определенной задачи.
В теоретическом плане задачи этого класса разработаны довольно полно. При практической же реализации мы сталкиваемся с серьезными-проблемами вычислительного характера, например, численное дифференцирование и интегрирование, решение плохо обусловленных систем линейных уравнений. Использование CAB в определенной мере позволяет уменьшить эти трудности.
Алгоритмы аппроксимации и интерполяции наблюденного поля
Исследования в области аналитических преобразований в СССР были начаты в конце 50-х годов Л.В. Канторовичем и его учениками [363 и позднее В.А. Шурыгиным и Н.Н. Яненко L109J . Однако, только в последнее десятилетие, в основном при решении задач небесной механики, общей теории относительности, квантовой теории .поля, применение CAB.дало существенные результаты и показало их-эффективность. При этом были выбраны, .системы, которые в полной мере отвечают требованиям, необходимым для успешного их решения. . .- Исходя из специфики задач гравиразведки, а также незначительности опыта применения CAB для их решения, необходимо было рассмотреть многие реализованные в СССР CAB и выбрать ту, которая обладала бы следующими возможностями: а) наиболее полным набором операторов аналитических преобразований; б) простотой алгоритмического языка; в) работа в интерактивном режиме; _ .. г) формирование ФОРТРАН - операторов; д) наглядностью вывода результатов счета.
В последние двадцать лет, благодаря интенсивному развитию вычислительной техники, было создано более тридцати программных систем для аналитических вычислений. Их условно можно подразделить на универсальные и специализированные.
Универсальные и специализированные системы аналитических вычислений..имеют, различные назначения..Поэтому они отличаются как набором представляемых пользователям операций, так и алгоритмами, реализующими эти операции,_а также внутренним представлением данных. К настоящему времени разработано достаточно большое число CAB, но действительно широко используется лишь незначительное их количество. Это-объясняется, в первую очередь, появлением новых вычислительных средств, сложностью адаптации к различным ЭВМ, набором предоставляемых возможностей, эффективностью, и простотой программирования.
Одной из первых универсальных CAB, созданных в СССР, является система АНАЛИТИК, которая была разработана в 1966 году.в институте кибернетики АН УССР группой ученых под руководством В.М. Глушкова СШ . Этот, язык предназначался для описания процессов преобразования формул, а также для вычисления по формулам -Наиболее основной особенностью языка являлось его максимальная близость к языку математики. С помощью этой-.системы было решено большое количество задач из различных отраслей науки--и техники...Ограниченность более-широкого применения объясняется реализацией ее на вычислительной машине для-инженерных-расчетов (МИР), которая имеет малый объем оперативной памяти, что совершенно недопустимо при аналитических вычислениях, и сравнительно небольшим -быстродействием. Разработка новых систем АНАЛИТИК-74 US] на ЭВМ МИР-3 и АНАДИТИК-79 на ЭВМ серии СМ-4 .13?] . , в которой .используется-специализированный аналитический процессор со значительным-объемом памяти.и быстродействием,- позволяет расширить объем решаемых аадач.-Язык АНАЛИТЙК-79 является входным алгоритмическим языком серийно выпускаемого отечественной промышленностью двухпроцессорного комплекса CM-I4I0. Кроме того, что язык позволяет производить вычисления-.в алгебре десятичных чисел-произвольной точности и в алгебре рациональных, .чисел, он,-обладает развитым аппаратом символьных вычислений над выражениями- математического анализа и над произвольными-последовательностями символов. Интерпретация языка программирования позволяет широко применять интерактивные методы решения задач, то есть, имеется возможность в режиме диалога в ходе выполнения програм
мы изменять ее элементы и данные с сохранением полученных результатов и без необходимости повторять счет программы сначала. Благодаря технической реализации имеется, пожалуй, одна из интереснейших возможностей выполнять параллельно программы на языке ФОРТРАН и АНАЛИТИК..
Всем перечисленным выше требованиям данная система удовлетворяет полностью. Большинство производственных организаций снабжены ЭВМ серии Единой Системы. Поэтому, особое значение имеет-реализация развитых отечественных и зарубежных CAB на ЭВМ этой серии. С этой точки зрения заслуживают внимание сведения о системе аналитических вычислений РЭДЫОС-2.
Система РЭДЬЮС была разработана в 1966 году А. ХерномН15] Вначале она была предназначена для решения задач физики высоких энергий, но после соответствующей доработки была объявлена уни версальной CAB. Новая ее версия РЭДЫОС-2 является одной из наи более широко используемой и одной из немногих выполняющих анали тическое интегрирование выражений.
Решение прямой задачи для тела переменной плотности
На основе-описанных в предыдущем параграфе алгоритмов достроены -вычислительные процедуры. Эти процедуры-разбиты на две группы. В первую группу включены алгоритмы построения приближающей функции в виде алгебраического полинома, во вторую - в виде ряда Фурье А. Построение, алгебраических полиномов. .
Рассмотрим реализацию алгоритмов первой группы. Эта группа состоит из четырех процедур: а) разложение аналитически заданной функции в ряд; б) построение полиномаЛагранжа; в) нахождение полинома способом наименьших квадратов; г) использование функций вида (2.II) для построения многочлена.
Дадим. краткое описание этих процедур, так как использование CAB для их реализации требует несколько другого подхода, отличного от численного программирования (ЧП).
При разложении непрерывной, дифференцируемой функции в ряд Тейлора,.в методах ЧП для вычисления производных необходимо, как правило, применять конечно-разностные схемы.
Если функция имеет сложный вид, что свойственно функциям, применяемым в гравиметрии, запись конечно-разностного выражения затруднительна, а подчас и не возможна. Следует обратить внимание и на то, что часто мы имеем дело с функциями многих переменных. Это-вносит дополнительные трудности, т.к. для каждой из переменных бывает необходимость построения ряда, что потребовало бы соответственно конструирование конечно-разностных схем по каждой переменной. Второй трудностью при-использовании ЧП является приведение подобных членов. Пожалуй, основным недостатком использования ЧП является наличие ошибок округления, что существенно сказывается на вычислительном процессе. В языке "АНАЛИТИК" оператор дифференцирования аналитически заданной функции, а также операторов приведения к каноническим формам, позволяют избежать выше изложенных трудностей. Подпрограмма -разложения аналитически заданной функции в ряд Тейлора является одной из подпрограмм общего математического обеспечения CAB, в разработке которого автор настоящей работы принимал непосредственное участие ПОЗ] . Исходными данными для этой программы являются: а) функция; б) точка разложения; в) переменная,по которой строится ряд; г) количество членов ряда.
А2. Известно, что построение интерполяционного многочлена Лагранжа связано с большой вычислительной работой. Кроме того, мы теряем точность из-за вычислительной.ошибки. При использовании CAB нет необходимости строить сложные вычислительные схемы.
Нужно предусмотреть следующее: а) перейти от десятичной в рациональную область, чтобы уничтожить погрешность вычислений за счет округлений; б) вычисление многочлена $ (х) = П. № XL) » которое ево 1=0 дится к использованию оператора приведения к канонической форме; в) вычисление . (х) (x)/(I-Xj) .
Если этот алгоритм использовать в системе, где отсутствуют операторы приведения к канонической форме, то этап б) и в) заменяются вычислением коэффициентов полинома (X) по следующим рекурентним соотношениям: где Коэффициенты $;(Х) вычисляются по следующему рекуррентному соотношению: Г) вычисление (х) Естественно, что мы получаем полином над областью рациональных чисел, который: II5 =таэс AQ(Xt,o)-Pra( i)ls т.е. в..узлах интерполяции мы будем получать абсолютное совпадение. Однако амплитуда осцилляции.между узлами может быть.значительна. Это ограничивает его дальнейшее применение. Метод можно использовать для сравнительно простых функций. ..
При реализации метода наименьших квадратов, с целью получения аппроксимирующей функции.в виде,полинома, необходимо" решать систему нормальных уравнений. При этом, помимо .трудностей, связанных с плохой обусловленностью системы, повышение степени полинома приводит к слишком большой неустойчивости между узлами интерполяции. В разработанной нами программе все вычис-.. ления ведутся в рациональной области,, что не требует применения регуляризирующего алгоритма решения.таких систем. Однако проблемы неустойчивости это не .решает.
Решение обратной задачи с использованием диалога
Нахождение минимума функции (3.3) является классической задачей, нелинейного программирования.-Для ее решения в настоя щее время, применительно к задачам геофизики, разработано зна чительное количество алгоритмов и программ.. При их реализации возникают вопросы, связанные с выбором параметра регуляризации и регуляризованного приближения. Это, в основном, математичес кие проблемы, требующие теоретических разработок. Наряду с этим, имеются вопросы вычислительного характера. Приведем некоторые из них. I. Во всех разработках применяются.аппроксимационные выражения. Программная реализация базируется.на использовании определенного класса как простых (шар, уступ, цилиндр и т.д.), так и относительно сложных (купол, синклиналь, многогранник и т.д.) тел. Такой подход обусловлен, в первую очередь, тем, что для выбранного класса моделей имеются аналитические выражения и удалось получить первые или вторые производные (градиентные методы). Но. поскольку каждая геолого-геофизическая задача требует индивидуального подхода, то совершенно, очевидно, что здесь не может быть, универсального решения. Для различных геолого--геофизических задач и различных регионов требуется различная аппроксимационная особенность. В общем случае можно было бы реализовать все существующие аппроксимационные конструкции, а также,.если для используемого метода необходимо вычисление производных либо непосредственно через аналитические выражения,, либо через их конечно-разностные аналоги. При таком подходе мы не сталкивались бы с проблемой выбора аппроксимационной конструкции, которая просто и в то же время достаточно детально описывает заданное распределение. Но даже такая реализация не обладает полнотой. Появление новых аналитических конструкций, с целью более экономичных решений, влечет за собой определенные (в.общем случае существенные) изменения в вычислительной схеме метода.
Широкое распространение получили алгоритмы минимизации (3.3), в основу которых положено решение системы линейных алгебраических уравнений. При использовании этих методов возникают проблемы вычислительного характера, связанные с построением матрицы Якоби. Как указывает В.И.. Старостенко в С953 , при решении задач интерпретации необходимо располагать различными формулами как-с большей,-так,и-.с меньшей степенью обобщения. Дело в том, что конкретная задача получает оптимальное решение, если пользоваться формулами определенной сложности. Например, при решении обратных линейных .задач в качестве элементарных тел удобно брать усложненные формы, а при решении обратных нелинейных задач приходится пользоваться формулами для тел менее сложной формы, поскольку в детерминированных алгоритмах для-тел сложной формы затруднительно строить матрицы Якоби. Из .этого следует, что: а) использование в обратных нелинейных задачах формул для тел несложной формы приводит к увеличению количества искомых параметров и это, в свою очередь, понижает устойчивость решения; б) привлечение более..сложных формул требует существенных изменений в вычислительной схеме алгоритма.
Приведенные выше особенности указывают на смешанный, характер решения задач методом подбора, т.е. как аналитический, так и численный. Поэтому при разработке, вычислительных схем естественным является связь САБ с системой численного программирования. При этом следует признать модульный принцип реализации метода. Изменение или дополнение в одной программной единице не вызывает переделку в других программах . Введение новой аппрок-симационной функции влечет за собой автоматическое получение выражений производных (градиентов, матрицы Якоби).
Известно, что в любой производной гравитационного потенциала заложена информация о параметрах аномального объекта. Казалось бы безразличным по какой функции осуществляется решение обратной задачи. Иначе обстоит дело на практике. Ввиду неустойчивости решения, проведение подбора по различным производным гравитационного потенциала может значительно повысить надежность интерпретации CAB позволяет по наблюденным данным выполнить аналитическую- аппроксимацию.,, а затем рассчитать различные производные этой, функции или другие аналитические трансформанты. Таким образом, исследователь вместо одной наблюденной функции имеет некоторую совокупность функций. Имеется возможность, подбора решений как по каждой функции раздельно, так и по всей их совокупности.
