Введение к работе
Актуальность темы. Современная тенденция усложнения математических моделей теплофизических процессов в механике сплошных сред, выдвигаемая в связи с углубленной постановкой известных или изучением новых явлений переноса массы и теплоты, требует разработок более совершенных и эффективных методов расчета сформулированных задач. Поиск таких способов решения немыслим без подробного изучения и системного анализа уже известных методов, которые предложены учеными в разное время и без нового осмысления этого научного наследия на уровне современной теплофизики. Несмотря на большое развитие и потенциальные возможности численных методов решения тепловых задач, по -прежнему аналитическое изучение процессов теплопроводности является одним из основных разделов современных инженерных исследований в машиностроительной, энергетической, атомной, строительной и других отраслях промышленности. Следует отметить, что для задач теплопроводности разработаны методы применения интегральных преобразований, когда оператор Лапласа выражен в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат, и задачи решены в основном для соответствующих простых классических областей. Поэтому применение новых интегральных преобразований, среди которых могут оказаться уже известные из теории упругости, для исследования задач теплопроводности в областях в форме клина, конуса, эллиптического цилиндра и других видов тел, причем в случае разрывных коэффициентов теплопроводности, является актуальным и перспективным. Также актуальным является и представление решения в простой форме в виде полиномов по координатам текущей точки, которое позволяет широко использовать функциональную зависимость температурного поля для эффективного исследования более сложных теплотехнических задач, таких как определение термических напряжений, решение обратных задач и других актуальных задач инженерной теплофизики.
Методы математической физики, связанные с использованием интегральных преобразований с различными ядрами, как и в символическом методе Хевисайда, позволяют сводить дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а решение последних к алгебраическим. По-
»»ОС. НАЦИОНАЛЬНА» БИБЛИОТЕКА
*
и>Ирк
С.Петербург
этому широкое применение операторных методов, к числу которых относятся операционное исчисление и интегральные преобразования, в области исследования краевых задач математической физики дает возможность создать более единообразные и унифицированные алгоритмы решения, как классических задач математической физики, так и новых, которые могут быть связаны с нелинейными уравнениями.
Систематическое применение операционного исчисления к краевым задачам для уравнений параболического типа, которые описывают процессы нестационарной теплопроводности, изложены в монографии А. В. Лыкова.
Интегральное преобразование Лапласа используется для исследования нестационарных процессов и, как правило, перевод в область изображений производится по переменной времени t. При применения двухкратных интегральных преобразований Карсона-Лапласа одна из переменных может быть односторонней простран-ственой координатой. Например, в гибридном методе совместного применения интегральных преобразований и ортогональной проекции невязки к внутренным задачам нестационарного теплообмена при течении жидкости в прямых трубах с классическими и неклассическими двухмерными поперечными сечениями, разработанном в монографии профессора П. В. Цоя и его учеников, проводится двухкратное интегральное преобразование Лапласа по времени t и вдоль односторонней координаты оси трубы (течения жидкости).
В диссертационной работе излагается метод непосредственного применения интегральных преобразований к прямым, контактным и обратным краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, которые описывают процессы нестационарной теплопроводности. По поставленной краевой задаче разработан метод целенаправленного выбора ядра интегрального преобразования. В тех случаях, когда это ядро выражается в явной форме, методами интегральных преобразований можно произвести унифицированный и простой анализ входных функций тепловых нагружений, заданных начальными, граничными и внутренными источниками тепловыделения, и определить решение поставленной задачи как синтез искомой физической величины по базису соответствующего, неальтернативного функционального пространства. Если ядро не находится в явной форме, то по про-
странственным координатам применяется метод ортогональной проекции невязки по базису уже альтернативного функционального пространства, который в случае совпадения базисов с системой функций соответствующей задачи Штурма-Лиувилля будет эквивалентен методу интегральных преобразований.
Дель работы состоит в последовательном теоретическом исследовании процессов теплопереноса в средах с тепловой памятью. Оно включает в себя следующие задачи:
-исследование задачи Коши и смешанных краевых задач для уравнений параболического типа с переменными разрывными нестационарными коэффициентами;
-исследование краевой задачи для параболического уравнения второго порядка с нестационарными коэффициентами при граничных условиях второго рода;
-получение физической и математической модели контактной задачи нестационарного теплообмена для двух полуограниченных тел;
-решение контактной и обратной задачи теплопроводности для неизолированного стержня;
-получение решения нелинейного двухкратного интегрального уравнения Вольтерра-Фредгольма;
-методы решения обратных задач теплопроводности (ОЗТ), которые основаны на представлении решения прямой задачи при произвольных входных функциях тепловых нагружений;
-методы решения краевых задач математической физики в телах конечных размеров.
Научная новизна работы заключается:
« -в развитии представлений и проведении теоретических ис-
следований по теплопереносу в средах с тепловой памятью, выясняющих их количественные и качественные свойства.
-разработан удобный для практического применения метод решения задачи Коши и смешанных краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типа;
-построены физическая и математическая модели контактной задачи нестационарного теплообмена двух полуограниченных тел;
-решена контактная и обратная задачи теплопроводности для неизолированного стержня;
-разработаны новые методы решения ОЗТ;
-построены нелинейные модели тепловых сред с памятью, обобщающие известные модели тепловых сред;
-разработан новый математический аппарат, приспособленный для решения проблем теплопереноса в средах с тепловой памятью.
Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты дают возможность практической реализации новых волновых явлений теплопереноса, таких как усиление теплового сигнала и резонансная генерация гармонических тепловых волн.
В диссертации решен ряд прикладных вопросов динамических тепловых измерений, в том числе:
-предложен алгоритм измерения параметров тепловой памяти сред;
-предложен метод сведения прямых и обратных задач к исследованиям эквивалентных интегральных уравнений;
-сформулирован модифицированный цифровой метод спектрального анализа (точные спектры разложения), используемый в теплофизических измерениях.
Апробация работы и публикации. Основные результаты и положения диссертации докладывались на: II международном форуме по тепло-массопереносу (Минск, 1992), международных и республиканских конференциях по дифференциальному уравнению и их приложениям (Куляб, 1991, Душанбе, 1998, 2000) международной научной конференции (Худжанд, 2003), Республиканской научно-практической конференции молодых ученых (Курган-тюбе, 1991). По материалам диссертации опубликовано 13 работ.
Защищаемые положения: -линейная и нелинейная модели тепловых сред с памятью, обобщающие известные модели тепловых сред;
-развитие математического аппарата для решения проблемы теплопереноса в средах с тепловой памятью;
-качественные и количественные закономерности теплопереноса в средах с памятью для огранических и неогранических областей, а также в активных средах с тепловой памятью;
-алгоритм методики обнаружения и измерения параметров тепловой памяти сред (для различных геометрий образца);
-ряд прикладных вопросов динамических тепловых измерений.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 114 листах машинописного текста, содержит 1 таблицу, 3 рисунка и библиографию из 79 наименований.
