Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ современного состояния теории интерпретации данных гравиразведки 3
1.1. Краткий исторический очерк развития теории решения обратной задачи гравиразведки 9
1.2. Некоторые методы решения обратной задачи
1.3. Методы эквивалентных перераспределений
1.4. Выводы
2. Эквивалентные перераспределения частных решенил .-56
2.1. Постановка задачи 36
2.2. Построение распределений масс с нулевым гравитационным эффектом
2.3. Эквивалентные перераспределения масс 48
3. Решение обратной пространстве НТО задачи гравиразведки на классах единственности с интегральным представлением типа свертки .6Г
3.1. Постановка задачи .6Т
3.2. Сверточные представления классов единственности.3
3.3. Получение регуляризованного решения 9Ц
3.4. Построение решения обратной задачи на классе сверток, удовлетворяющего некоторым системам ограничений на носитель и значения функции плотности J-PS
3.5. Выводы и результаты экспериментов U1*
4. Вопросы численной реализации и некоторые результаты экспериментов #9
4.1. Вычислительные вопросы решения обратной задачи гравиразведки на классах со сверточным представлением
4.2. Процедуры предобработки гравиразведочной информации при использовании метода решения обратной задачи на классе сверток
4.3. Алгоритм решения прямой задачи
4.4. Примеры обработки полевого материала
Заключение
Литературы
- Некоторые методы решения обратной задачи
- Построение распределений масс с нулевым гравитационным эффектом
- Построение решения обратной задачи на классе сверток, удовлетворяющего некоторым системам ограничений на носитель и значения функции плотности
- Процедуры предобработки гравиразведочной информации при использовании метода решения обратной задачи на классе сверток
Введение к работе
Современный этап развития разведочной геофизики характеризуется, во-первых, увеличением глубинности исследований и, во-вторых, необходимостью построения геологически содержательных картин распределения физических параметров источников для весьма сложных геологических ситуаций. Одним из основных методов здесь выспупает разведочная гравиметрия (в дальнейшем для краткости - гравиразведка).
Важнейшим этапом при проведении гравиразведочных работ является этап интерпретации экспериментальных данных. Высокие требования к конечному результату интерпретации приводят к необходимости использования сложных аппроксимационных конструкций среды, т.е, "расширению" модельного класса единственности. Последнее, как правило, чревато резким повышением неустойчивости или даже выходом за рамки класса единственности. При этом т.н. эффект эквивалентности становится практически неуправляемым. Возникает противоречивая ситуация, С одной стороны усложнение требующих решения геологических задач ведет к необходимости усложнения аппроксимационного модельного класса, с другой стороны последнее приводит к повышению некорректности задачи и, в свою очередь,необходимости "сужения" этого класса.
Выход из ситуации представляется в следующем. По аналогии с классическими задачами математической физики будем рассматривать обратную задачу гравиметрии, как задачу,характеризующуюся некоторым общим решением. Получение конкретного частного решения в задачах матфизики достигается, как известно, использованием априорных начальных и граничных условий. В нашем случае естественно потребовать,чтобы в качестве некоторого эквивалента этих условий выступало условие совпадения гравитационных полей наблюденного и от решения и условие соответствия в определенном смысле решения априорной геолого-геофизической информации, ёор-мализованое выражение такого соответствия назовём критерием оптимальности.
Таким образом ставится задача не доказательства теоремы единственности для какого либо нового аппроксимацинного класса моделей, а задача построения одной из конструктивных форм общего решения, практического использования её для формирования частного решения удовлетворяющего критерию оптимальности.
Такой подход позволит,во-первых, обойти противоречие между геологическими и математическими требованиями к классам единственности и, во-вторых, в какой-то мере продвинуться вперед в решении проблемы унификации методов интерпретации. Важность этой проблемы в последнее время резко возросла. Причина заключается в том, что становится всё более очевидной необходимость повышения оперативного анализа полевых материалов, приближения камеральных работ к полевым партиям. И элементная база для этого уже существует. Это серийные микро-ЭВМ и микропроцессорные комплексы, которые могут служить основой для создания специализированных микроинтерпретационных систем со стандартным унифицированным матобеспечением.
Всё вышеизложенное определяет актуальность работы, целью которой является разработка метода ( условное название - метод "линейного фильтра") решения обратной задачи гравиразведки на достаточно "широком" (параметрическом) классе функций плотности, позволяющего строить решение, оптимальное различным качественно и количественно наборам априорных геолого-геофизических данных. Подобный подход известен под названием критериального и представляет собой дальнейшее развитие одной из сторон идеи, основы которой заложены А.И.Кобруновым Г34 - 36/.
Цель работы достигается использованием в процессе исследований аппарата математического моделирования.
Решался ряд задач,которые состояли в: I).разработке одного из способов эквивалентных перераспределений частных решений;
2) построении аналитического представления одной из форм общего решения обратной задачи гравиразведки в явном виде на основании разработанного аппарата эквивалентного перераспределения;
3) изучении возможностей и путей ввода априорной геологической информации в процессе рашения обратной задачи на построенном классе, способа математической формализации этой информации;
4) анализе устойчивости получаемых решений и разработке регуля-ризующих алгоритмов;
5) разработке устойчивых итеративных схем построения решения, удовлетворяющего некоторым системам ограничений на носитель и значения функции плотности,описывающей это решение;
6) разработке алгоритмов,детальных вычислительных схем и составлении программ решения задачи на ЭВМ;
7) выяснении некоторых методических вопросов решения обратной задачи разработанными методами.
Научная новизна работы определяется тем,что впервые:
1. Построено аналитическое представление элементов из ядра оператора прямой задачи.
2. С единых позиций рассмотрены задачи эквивалентных перераспределений гравитирующих масс и обратные. Построены интегральные представления для класоов эквивалентности и единственности решений обратной задачи гравиразведки в виде свёртки.
3. Определена функциональная связь между ядром свёртки и формализованной в виде начального приближения априорной геологиче -7 ской информацией,обеспечивающая корреляционную близость решения начальному приближению,
4. Разработаны итерационные алгоритмы проектирования непрерывных свёрточных представлений решений обратной задачи на множества, определяемые различными типами ограничений.
5. Исследованы вопросы устойчивочти и регуляризации решений обратной задачи,имеющих свёрточное представление.
Практическая ценность исследований состоит в программной реализации разработанного метода в виде подсистем автоматизированного анализа гравиметрической информации для двух- и трёхмерных вариантов распределений плотностных неоднородностей в земной коре. Данные подсистемы используются во многих производственных и научно-исследовательских геофизических организациях, опыт эксплуатации в которых показал геологическую и экономическую эффективность метода. В настоящее время отделом геофизической аппаратуры специального конструкторского бюро средств автоматизации Йвано-Франковского ПО "Геофизприбор" выполняется НИР по разработке программного обеспечения для специализированных микропроцессорных интерпретационных устройств. Одним из основных программируемых методов решения обратных задач является метод "линейного фильтра".
Основные теоретические положения работы изложены в семи опубликованных статьях и трех отчетах НИР. Работа проходила ап-пробацию на конференциях профессорско-преподавательского состава Ивано-Франковского института нефти и газа, на ЯП - IX конференциях молодых ученых и аспирантов МГУ, на П конференции молодых ученых Института геологии и геохимии горючих ископаемых АН УССР, на конференции молодых ученых,посвященной 1500-летию г.Киева, на семинарах отделов Института геофизики АН УССР, на 78-м Общемосковском семинаре "Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных анамалий", на Всесоюзном семинаре "Вопросы геологической интерпретации геофизических полей".Программы обработки гравиразведочной информации,составленные на основании результатов исследований,используются кафедрой геофизики МГУ,геофизическими экспедициями ПО "Укргеофизика",комплексной геофизической экспедицией ПО "Севукргеология",геофизической экспедицией ПО "Архангельскгеология",вычислительным центром треста "Грознефтегеофизика", КТО УкрНИГРИ,предполагается использование программ в качестве подчиненных модулей в Автоматизированной Прогнозной Системе "Припять" (БелНЙГРИ).
Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Содержит 131 страниц машинописного текста, 10 страниц списка литературы, 54 рисунка.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность за постановку задачи, постоянную помощь в теоретических исследованиях и советы, сделанные в процессе практической реализации результатов этих исследований, научному руководителю кандидату физико-математических наук Кобрунову А.И. А также поблагодарить доктора физико-математических наук Страхова В.Н. за замечания и советы, сделанные в процессе обсуждения работы на научных совещаниях,семинарах и в личной беседе.
Некоторые методы решения обратной задачи
Принято выделять два глобальных направления в совокупности методов получения характеристик источника поля из экспериментальной информации. Это - функционально-аналитическое направление, использующее методы теории функций и функционального анализа, и статистическое направление, в котором развивается применение аппарата теории вероятности и математической статистики, или, иначе говоря, детерминистической и статистический подход.
Оба эти направления имеют ряд важных достижений. Например, важнейшими достижениями функционально-аналитического направления являются глубокая разработка методов решения некорректных задач, теории аналитического продолжения потенциальных полей. В качестве достижений статистического подхода можно упомянуть создание корреляционной схемы интерпретации гравитационных аномалий [26-28], разработку методики определения параметров тел при осложнении аномалий высокоинтенсивными случайными помехами и пр.
Однако, для всех методов извлечения информации из данных наблюдений в рамках детерминистического подхода характерен ряд слабых мест: априорный выбор функциональных пространств, в которых осуществляется описание источников и полей; недостаточно полная характеризация погрешностей задания функционалов от поля; трудность конструирования априорных оценок точности получаемых решений и т.д.
Статистические методы изучения земной коры по данным грави-разведки в настоящее время позволяет выявить общий характер плот-ностных неоднородностей, их характерные особенности, но не позволяют получить "хорошее", конкретизованное распределение масс в нижнем полупространстве.
Не ограничиваясь общей характеристикой стержневых направлений, остановимся более подробно на основных методах определения характеристик среды по наблюденному полю, попытаемся классифицировать их по уровню сложности решаемых геологических задач, степени использования в процессе решения априорных геологических представлений .
Напомним некоторые положения теории решения обратных задач гравиразведки.
Пусть в области V нижнего полупространства распределены гравитирующие массы с плотностью бС .Ч.г) . Связь между полем силы тяжести Ы (эсо, уо) на уровне z =0 и создающими его массами с плотностью df y.z) определена соотношением где f - гравитационная постоянная.
Для компактности перейдем к операторной форме записи. Определим функциональное векторное пространство U. , такое, что где и- L- ое гравитационное наблюдение. Обратная задача гравиразведки в классе распределения плотностей состоит в решении операторного уравнения Я 6- И относительно элемента 6 , где оператор Л определен правой частью соотношения (I.I).
Известно, что задача решения уравнения (1.2) является классическим примером некорректно поставленной задачи. Понятие корректной постановки задач математической физики было введено в начале века французким математиком Жаком Адамаром в связи с вопросом выяснения типов граничных условий, накладываемых на различные типы дифференциальных уравнений [94-95]. Задача называется корректно поставленной, если выполняются следующие три условия: 1) решение существует; 2) решение единственно; 3) решение устойчиво. Вообще говоря, решение обратной задачи на некотором априори выбранной модельном классе [\ может не существовать. Однако геофизиками-гравиразведниками под термином "решение" относительно обратной задачи всегда понимается квазирешение, т.е. такой элемент 6 , что tA8-ll\\ 4U6 {l\\, -14 где - норма в выбранном априори функциональном простран стве. Таким образом, формально можно считать, что первое условие корректности по Адамару в обратной задаче гравиразведки выполняется. Иначе дело обстоит с двумя другими условиями.
Неединственность решения обратной задачи гравиразведки, в частности, в классе распределения плотностей определяется существованием непустного ядра линейного оператора связывающего под источники и поле
Построение распределений масс с нулевым гравитационным эффектом
Для практических расчетов Страховым В.Н. предложена следующая процедура [ 76] . Известно, что потенциал точечной массы m представим потенциалом простого слоя с плотностью Л (х) - - m — где (JCX, хе,ї)) - функция Грина для уравнения Лапласса в области с полюсом в точке х0 , %п - внешняя нормаль в Ъ , t) -жорданова область, зсв - внутренняя точка в Т) , несущая rn .
Предлагается рассматривать жорданову область как расслоенное пространство, а точечную массу m распределить в виде простого слоя на поверхности расслоенного пространства, для чего, естественно, саму массу т необходимо разбивать на бесконечно большое число бесконечно малых частей.
Таким образом, от процедуры выметания А. Пуанкаре совершен переход к процедуре выметания в область в широком смысле (вымета ние В.Н.Страхова).
Подход Кобрунова А.И.к созданию аппарата для построения классов эквивалентности решения обратной задачи гравиразведки состоит в использовании того факта, что суммирование некоторого произвольного распределения масс 8 с любой линейной комбинацией элементов линейного пространства, которым является ядро оператора прямой задачи, не изменит начальный гравитационный Эффект, создаваемый d .
Кобруновым А.И. в L35 J доказана теорема: Пусть Р[б\ проекция по норме II II L2 элемента 6 на замыкание подпространства Л с интегральным представлением (1.5), т.е. б- P[d] : II (5-б II, -.п И- Иь, . (і. О Тогда нижняя грань в (1.6) достигается, гравитационные поля от d и б" совпадают.
Эта теорема позволяет строить ненулевые распределения масс с нулевым полем силы тяжести. Действительно, спровктирввав произвольное распределение масс на множество А и вычтя из исходного распределения проекцию, получим элемент из ядра оператора прямой задачи, добавление которого к любому частному решению обратной задачи позволит эквивалентно полю перераспределения его.
Подобный подход к задаче эквивалентных перераспределений масс привлекает прежде всего простотой технической стороны решения вопроса, однако, как будет показано в главе 2 данной работы, основное преимущество этого подхода состоит не только (и, вернее, не столько) в простоте реализации. Процедура построения элементов ядра
Близкое и также весьма конструктивное решение этой задачи дано в оператора У\ на основе операции проектирования (Ю.6) и дальнейшее добавление этих распределений к нормальным решениям обратной задачи гравиразведки позволяет сделать вывод о сущности эквивалентных перераспределений масс как об определенном виде линейного интегрального преобразования. 1.4. Выводы.
В конце раздела I.I была отмечена основная проблема современного этапа развития теории), решения обратной задачи. Резюмируя в этом плане сведения, приведенные в разделах 1.2 и 1.3, отметим следующее.
1. Для построения сложных геологических разрезов по данным гравиразведки наиболее перспективны (по своей идеологии) методы оптимальной фильтрации. Однако современный уровень их развития (как теоретический, так и технологический) для решения подобных задач недостаточен.
2. В проблеме разработки общей аналитической теории решения обратной пространственной задачи гравиразведки (и на ее базе эффективных методов решения этой задачи) на первый план выступают вопросы, связанные с эффектом эквивалентности. Решение их возможно лишь при создании аппарата эквивалентного перераспредления (естественно, оптимального в некотором смысле и содержательного). Проделанная в этом направлении многими исследователями работа весьма значительна, однако, далеко не завершена. Сделанные выводы позволяют доопределить и конкретизировать, цель данной диссертационной работы. Представляется весьма важным: I) создание аппарата решения обратной задачи гравиразведки в мак симально возможном широком классе априорных математических моделей (общего решения) на базе идеи оптимальной фильтрации; 2) разработка эффективного в смысле простоты реализации метода эквивалентных перераспределений гравитирующих масс; 3) реализация первых двух пунктов в трехмерном варианте.
Следующие две главы (глава 2,3) настоящей работы посвящены теоретическим и экспериментальным исследованиям в вышеуказанных направлениях и снабжены рисунками, иллюстрирующими некоторые наиболее интересные результаты этих исследований.
В главе Ч разрабатываются методические и вычислительные вопросы реализации предложенных спосбов получения различных распределений масс, даны описания алгоритмов решения. В конце главы 4 приводится описание результатов обработки полевого материала с целью решения обратной плоской и пространственной задачи гравиразведки (на базе результатов теоретических исследований, проведенных в главах 2,3.
Известно, что обратная задача гравиразведки неоднозначна и обладает исключительной неустойчивостью решений даже в классах единственности. В этой связи исследование степени неоднозначности обратной задачи представляет большой интерес. Построение общих решений, т.е. решений в достаточно общих классах, содержащих произвольные функции, изменяяикоторые можно управлять решением, позволит исследовать вышеотмеченную неоднозначность как одну из сторон проблем эквивалентности. Уточним смысл понятия " эквивалентность", который вкладывается в этот термин в работе.
Под эквивалентным семейством распределений масс будем понимать параметрическое семейство эквивалентных по наблюденному полю распределений с параметром, в качестве которого выступает пространственная функция плотности, т.е. параметр - характеристика источника и его носителя.
Построение решения обратной задачи на классе сверток, удовлетворяющего некоторым системам ограничений на носитель и значения функции плотности
Пусть К4(хУіг) = [ kd(ur,V,Z)] И QCoc.tj.O tQK )] таковы, что (2.19) выполняется. Тогда эквивалентное перераспределение любого б С .у, ) «d Li(V) , где \ ( ч.О = Щх,у) - КД .у.О, (2.20) есть линейное интегральное преобразование типа свертки исходной функции с4(эс,у,2) с ядром Q ( , У, ) .
Необходимо отметить, что в предположении (эс.у.г) ? L д ( V ) представление частного решения в виде (2.20) не будет ограничительным, если функцию КІ(Х»У,Ї) рассматривать как элемент из класса обобщенных функций. Однако, это условие потребовало бы в дальнейшем при каждой реализации уточнять понятие преобразования Фурье от тех либо иных элементов. Поэтому мы будем считать, что Кі(х,ч,0 при каждом фиксированном н квадратично-интегрируема по ос , у
Итак, эквивалентное гравитационному полю перераспределение функции плотности суть линейный интегральный оператор типа свертки . Рассмотрим его несколько подробней. Пусть условие (2.19) выполняется. Тогда возможно: Л/ \ КгО .О 0(0/ , ) п (г.гі) Ни Символ ( ) означает операцию свертки. Говоря о свертке, мы подразумеваем формальный математический аппарат; преобразования. Полный смысл, вкладываемый нами в это определение, будет расшифрован ниже. для любых функций (ЛІ(«Г, О , Нг), ъ) , интегрируемых по на интервале [ гн, z, ] . Действительно, подстановка (2.21) в (2.19) приводит к тождеству. Следовательно, $ъ ( ,\J. О Кл«ио V t н (uf,V, г)- К а). е-ма.с1г 1 Ое.гг)
Поскольку первый сомножитель в правой части (2.22) в соответствии с (2.20) - это распределение плотности в классе (Х,У) / (=s -jtt) , создающее гравитационное поле (Х(х,у), и то же поле создает распределение, соответствующее (2.22), то -полученное равенство можно трактовать как эквивалентное перераспределение решения из класса U (3 У ) (х , у, г ) в класс lU .a) Т( ,Ч.-0 (Т( . У, 0 = (=,4.0 .. осуществляемое оператором свертки, спектр ядра которого есть функция (2.21). Таким образом, если 0(х,ч,г) [QKV,7)J V (г.23) ТО . э( ,у. ) = (? ( ,y« ) 0б .Ч."О. ( .«/)
Отметим, что (2.24) нельзя рассматривать как свертку в полном смысле этого слова даже если обратная трансформанта Фурье (2.23) существует. Это связано с тем, что параметр сварачиваемой функции в уъ) і(хіу.г) входит в ядро свертки. Однако, при фиксированном значении ( у. ) (а значит и \А±(ххукг) ) описываемая процедура перераспределения решения эквивалентна операции свертки. Обобщая вышеизложенные рассуждения, можно утверждать следующее.
1. Рассмотрение процедуры эквивалентного перераспределения масс как процедуры суммирования исходного распределения с линейными комбинациями элементов из ядра оператора Я позволило построить важный класс ОПЭР.
2. Найдено аналитическое представление этого класса ОПЭР, которое представляет собой интеграл свертки функции плотности исходного распределения с ядром, определенным условием (2.21).
3. Физический смысл построенного ОПЭР очевиден: часть массы, сосредоточенная на элементе dx-dy переносится на элемент dx„- dy0 . Это следует из другой записи (2.24): 4.( , ъ) Q (х-хо y-ye , z ) dxdtj = 6Э (X0LJO( г) 4. Нетрудно проверить, что если Я зі и Я зі есть ОПЭР типа свертки, то отображение также является ОПЭР. Несколько слов об ограниченности ОПЭР типа (2.24). Для того, чтобы соотношением (2.24) был определен линейный ограниченный оператор, необязательно существование обратной трансформации Фурье выражения (2.21). Если функции 6± Сх, У, ъ ) и 6э(х У, ) в (2.24) рассматривать как элементы пространства L 2 (V ) ,где \[=(х,),г . --о эс,ал«. .( z ziz l , то соотношением (2.24) определен линейный ограниченный оператор Яэ , когда [35 ] Р\ = утаї! sup.:.( Q(V,V, г) / о При этом Ыэ\\ R . Это следует из равенства Парсеваля [зэ.яч] :
Анализ (2.25) показывает, что вообще говоря, в реальных ситуациях это условие невыполнимо. Поэтому, фактически, при выполнении процедуры (2.24) речь идет о вычислении значения неограниченного оператора на заданном элементе. Для построения регуляри-зованного приближения, очевидно, необходимо воспользоваться достаточно развитыми на настоящий момент методами приближенного решения уравнений типа свертки \s Qi {нч {п! , вследствии чего следует рассматривать эквивалентные перераспределения частных решений обратной задачи гравиразведки типа ( .24) как - эквивалентные.
Процедуры предобработки гравиразведочной информации при использовании метода решения обратной задачи на классе сверток
Однако, в ряде случаев, несмотря на введение регуляризующего множителя, решение, получаемое на классе сверток, неудовлетворительно с точки зрения совпадения гравитационных полей. Причина подобного явления состоит в следующем. Анализ соотношения (3.7) позволяет определить процедуру получения решения обратной задачи гравиразведки на классе сверток, как процедуру преобразования исходной экспериментальной информации типа аналитического продолжения, что и приводит к эффекту распада и невозможности получения решения даже с применением регуляризации.
В этом случае нами применяется следующий алгоритм построения решения обратной задачи гравиразведки на множестве единственности С3,7): Его регуляризующее свойство очевидно, оно следует из затухания амплитуды помехи на каждом шаге итераций вследствии аддитивности затухания амплитуды A U. вообще.
Однако, иитерационная схема алгоритма поиска решения на классе сверток типа вышеприведенной не всегда позволяет получать распределение масс в V , в достаточной степени удовлетворяющее условию совпадения полей. Точнее, теоретически такое распределение получить можно, фактически же невязка убывает (с некоторого шага) настолько слабо, что количество итераций, требуемое для получения решения, приближается к практически нереальной цифре.
Причина очевидна: построенный фильтр (априорная геоплотност-ная модель) таков, что попытка "отфильтровать" посредством его от входного сигнала ту часть информации, которая необходима для построения распределения масс, оптимального априорным представлением, приводит к "ослаблению" части спектра входного сигнала, необходимого для построения решения обратной задачи, т.е. множество решений настолько далеко отстоит от множества распределений масс, оптимальных модели, что квазирешение здесь уже нельзя рассматривать как решение. Таким образом, очевиден и способ преодоления этого затруднения: переопределение функции ьбх.у.О . Построим следующий итерационный процесс: V т.е. для к-го шага функция С ,у, г 1 оптимальна функции ( Sy. O , полученной на (к-1) - м шаге.
Если dj оптимальна (э» (соответствующая пара полей Ui— (і ) и $А оптимальна $4 ( по паре полей (!; - (it ), то o z оптимальна, в свою очередь, и 60 для пары полей iif U0 . Следовательно, если процесс сошелся, то полученное решение оптимально начальному приближению.
Наиболее эффективно строить решение обратной задачи гравираз ведки на классе сверток по комбинированной итерационной схеме: ядро свертки i(Xy.z) переопределяется не на каждом шаге итераций, а лишь при уменьшении градиента невязки до некоторого малого f
Другими словами, итерационный процесс должен состоять из двух циклов, один из которых является внутренним (построение функции б ), а другой относительно него - внешним (построение функции t ).
Такая итеративная схема построения распределений масс на классе (3.7 ) при использовании на каждом шаге стаадартной регуляризации позволяют получать, практически, для любого поля и начального приближения устойчивые решения.
В предыдущих разделах данной главк были решены три из пяти, поставленных в разделе 3.1. задач. А, именно, шостроено; аналитическое представление ядра t , определена функциональная связь между формализованной априорной информацией (спектром начального приближения) и ядром, построены устойчивые итерационные схемы решения обратной задачи на классе типа (3.1). Решить эти задачи позволили два фактора: решение предполагалось суть непрерывной и даже непрерывно-дифференцируемой функцией своих аргументов и рассмотрения касались специфического вида области, в которой распределялись гравитирующие массы - бесконечного горизонтального слоя.
