Содержание к диссертации
Введение
1 Оптические свойства когерентной электронно - дырочной системы: стиму лированное отражение света назад и многолучевые процессы 11
1.1 Введение 11
1.2 Когерентные оптические процессы и аномальные функции Грина 14
1.3 Разреженная 2D когерентная фаза экеитонов 16
1.4 Высокие концентрации электронов и дырок. Плотная 2D экситонная фаза 19
1.5 Отражение света назад от трехмерной плотной экситонной фазы в прямом полупроводнике 22
2 Эффект увлечения бозе-конденсата в системе двух связанных ловушек 25
2.1 Введение 25
2.2 Эффективный потенциал 28
2.2.1 Случай шіх = шіу = и>1 30
2.2.2 Случай ш1ж ф ы\у 31
3 Квантово-томографическая динамика 34
3.1 Введение 34
3.2 Метод моделирования 36
3.2.1 Описание квантовой эволюции с помощью траекторий в пространстве {X,p,v} 36
3.2.2 Вычисление средних значений 39
3.2.3 Модельная физическая задача 42
3.3 Волновой пакет в гармоническом осцилляторе 42
3.4 Моделирование туннелирования волнового пакета 44
3.4.1 Вероятность реакции 47
3.4.2 Эволюция волнового пакета и время туннелирования 49
3.5 Моделирование туннелирования экситона 56
4 Томография квантовых систем 65
4.1 Функции Грина и вероятностное представление квантовой механики 65
4.1.1 Общая схема построения символов операторов 65
4.1.2 Томографические символы 66
4.1.3 Функции Грина как операторы в томографическом представлении . 69
4.1.4 Классический пропагатор и томографический символ эволюционного оператора 72
4.1.5 Спиновая томография 73
4.2 Эволюция открытых систем в вероятностном представлении 76
4.2.1 Уравнение эволюции 76
4.2.2 Эволюция "затухающего"осциллятора 77
Заключение 83
Благодарности
- Когерентные оптические процессы и аномальные функции Грина
- Эффективный потенциал
- Описание квантовой эволюции с помощью траекторий в пространстве {X,p,v}
- Функции Грина как операторы в томографическом представлении .
Введение к работе
Изучение свойств бозе-систем при малых температурах имеет.большой.фундаментальный научный интерес. До сравнительно недавнего времени, вплоть до открытия бозе-копденсации системы атомов в магнитной ловушке (конденсация происходит при сверхнизких температурах), Hell был фактически единственным объектом для изучения коллективных свойств бозе-систем. Со времени предсказания, явление бозе-конденсанди и когерентности:в течение ряда лет обсуждается также в системе электронов и дырок в возбужденных. светом полупроводниках.
В первой главе настоящей Диссертации изучается так называемый эффект обратного отражения света, имеющий место при условии когерентности электронно-дырочной системы в двумерном ил и-трехмерном: полупроводнике. До недавнего времени в физике были известны два механизма отражения назад. Первый из низ - отражение света от неоднородной среды, связанное с эффектом слабой'локализации Андерсона. Второй механизм отражения: назад - это отражение .Андреева, в котором квазичастица, достигнув границы нормальная металлическая:фаза — сверхпроводящая фаза, превращается в античастицу и меняет: направление своего движения па обратное: Недавно был предсказан новый механизм, приводящий к отражению лазерного света от бозе-конденсата экситонов [1, 2]. По своей сути этот эффект есть стимулированная внешним лазерным лучом когерентная рекомбинация двух экситонов из конденсата с рождением двух фотонов, которые в силу закона сохранения импульса, имеют противоположные импульсы. Этот эффект был проанализирован как в системе трехмерных экситонов в CuiO, так и в системе двумерных экситонов:в связанных квантовых ямах (GaAs). В первой главе Диссертации показано, что аналогичный эффект также возможен при взаимодействии света с плотной электронно-дырочной; системой, находящейся::в: когерентном'- состоянии. Оценки скоростей : процессов. когерентной рекомбинации двух скоррелированных электроппо-дырочпых пар указывают на то, что эти эффекты должны быть обнаружены экспериментально. Помимо этого, по аналогии со случаем двумерного бозе-конденсата экситонов, показано, что в системе двумерных скорре- лированных электронно-дырочных пар их стимулированная рекомбинация проявляет себя не только как отражение лазерного света назад,.но и как аномальное прохождение света,. при>котором меняет знак лишь;параллельная квантовым ямам составляющая: волнового вектора стимулирующего лазерного излучения.
Во второй: главе настоящей' Диссертации; изучается поведение системы атомов. в магнитной : ловушке при сверхнизких температурах. В частности, рассматривается система, состоящая из двух плоских ловушек, расположенных друг над другом и удерживающих бозе-конденсат атомов. При этом исследуется возможность увлечения атомов одной ловушки атомами другой ловушки при вращении последней; Найдено среднее значение момента импульса системы атомов во второй ловушке, индуцированное вращением первой ловушки.
Третья глава Диссертации посвящена разработке и применению метода компьютерного моделирования, основанного на описании квантовой системы в рамках томографического представления: квантовой механики,. С помощью, разработанного метода рассматривается туннелирование экситона и анализируется вероятность его распада вследствие: рассеяния;.. на. барьере. В основу построения . техники моделирования; в томографическом представлении; (метода квантово-томографической динамики (КТД) [3, 4]), лег метод кваитово-молекулярпой динамики (КМД), основанный; на вигнеровском: представлении; квантовой механики. Многие идеи, использованные в КМД, были перенесены на КТД и успешно применены для томографического представления - вообще говоря, более сложного дляпони-мания, чем вигнеровское. Описание метода КТД и результаты соответствующих расчетов, составляют содержание второй:главы настоящей Диссертации. В основном мы применяли: КТД для изучения коллективного туннелирования: волновых пакетов. С'одной стороны, туннелирование - существенно квантовый процесс, с другой - изучение динамического туннелирования имеет сейчас практическое значение в связи с развитием наноэлектроники. В рамках метода КТД для изучения эволюции системы используется.ансамбль траекторий в томографическом пространстве. Таким образом мы избегаем прямого вычисления квантовой томограммы. С помощью разработанного метода вычисляются такие характеристики. туннелирования, как время туннелирования, вероятность туннелирования, и эволюция распределений в координатном и импульсном пространстве.
В связи с тем, что применение описания квантовых систем в терминах томограмм имеет определенные перспективы (например, в области моделирования), представляет интерес изучение некоторых теоретических аспектов томографического представления квантовой; механики. В четвертой главе настоящей Диссертации, мы рассматриваем построение томографического представления квантовой механики как один из способов отображения кван-томеханических операторов, действующих в Гильбертовом пространстве, на пространство функций с-аргумента. Ведь выбор конкретного представления квантовой механики определяется, выбором набора операторов, с помощью которых осуществляется отображение.. Легко показать [5], что томограммы это символы операторов, действующих в Гильбертовом пространстве. Томографические символы уже были рассмотрены для операторов координаты, импульса: и матрицы плотности [5]. Мы, рассматриваем томографический' символ; функции Грина стационарного уравнениям Щредипгера. В частности, получено ^интегральное представление томографического символа оператора (Я — Е)~1, где Н-- гамильтониан гармонического осциллятора. Также мы находим связь между символом.этого оператора и томографическим символом оператора эволюции. Помимо этого, па примере частицы со спином 1/2 в: магнитном поле, рассмотрена схема построения томографических символов. операторов, действующих в спинорном пространстве. Полученные выражения для томографических символов оператора (Я—Е)~1 дают возможность разработать теорию возмущений; в вероятностном представлении квантовой механики.
Также в четвертой главе Диссертации рассматривается поведение открытых квантовых систем в томографическом представлении. В случае замкнутых систем; уравнение Шре-дингера для волновой функции и уравнение фон Неймана для матрицы плотости [6] были ^ рассмотрены в томографическом представлении;квантовой механики для локальных [7] и; нелокальных взаимодействий [8]. В то же время уравнения, описываюптие эволюцию матрицы плотности открытой системы (см. [9, 10]) , до сих пор не были рассмотрены в вероят- востном представлении, хотя подобное рассмотрение является интересной фундаментальной задачей. Обобщенное уравнение, описывающее эволюцию матрицы плотности открытой системы обсуждалось также в работах [11, 12]. Эти линейные квантово-кинетические уравнения представляют собой отображение, сохраняющее эрмитовость, неотрицательность и след матрицы плотности. Это соответствие (для неограниченных систем) изучалось также в работе [13].
В данной Диссертации выводится общее эволюционное уравнение для томограммы квантового состояния произвольной открытой системы. Используя это уравнение, мы изучаем эволюцию состояния "затухающсго"осциллятора. В процессе эволюции оператор матрицы плотности сохраняет эрмитовость, неотрицательность и нормировку.
Отметим, что существуют примеры открытых систем [14], которые не описываются уравнениями типа обсуждаемых в работах [11, 12]^ Тем не менее кинетическое уравнение, выведенное в работе [14], сохраняет эрмитовость, положительность и нормализацию матрицы плотности.
Квантовые эволюционные уравнения в томографическом представлении принимают инте--гральпо-дифференциальную форму, которая в некоторых случаях выглядит более сложно по сравнению с эволюционным уравнением фон Неймана для матрицы плотности. Тем не менее томографическое представление квантовых кинетических уравнений имеет существенное преимущество, так как эти уравнения описывают эволюцию вероятностного распределения, также как классические уравнения в классической статистической механике. Этот факт является основной причиной изучения квантовых эволюционных уравнений в томографическом представлении как для закрытых, так и для открытых систем.
Когерентные оптические процессы и аномальные функции Грина
Как известно, лазерным излучением можно возбуждать в полупроводниках равное число электронов и дырок, зависящее от иитспсивпости падающего излучения. Если время жизни таких возбуждений много больше времени их релаксации, электронно - дырочная система может находиться в квазиравновесном состоянии и образовывать ряд равновесных фаз. Рекомбинация электронно - дырочной пары в прямом полупроводнике, таком как GaAs, происходит с испусканием одпого фотона. Как уже было сказано, электронно - дырочная система при достаточно низких температурах переходит в когерентную фазу, что проявляется в наличии ненулевых аномальных средних, которые связывают одночастичные состояния с противоположными импульсами. Именно благодаря наличию этих средних возможны процессы, при которых в результате аннигиляции двух скоррелированных электронно - дырочных пар или экситонов происходит рождение двух фотонов с противоположными импульсами (в 3D системе). Этот процесс может быть стимулирован лазерным излучением резонансной частоты.
Технически вышеупомянутая когерентность для случая низких концентраций электро нов и дырок проявляется в отличной от нуля аномальной функции Беляева G(ulP) = -і [dteiujt(Tap(t)a_p(0)) = - ff —т где ар - оператор уничтожения экситопа с импульсом р ; є{р)= єр, 7 - соответственно, дисперсия и обратное время .жизни элементарного возбуждения: электронно - дырочной системы (для простоты мы положим 7 не зависящими от энергии и импульса элементарного Возбуждения), Мы будем использовать единнцы, в которых Н = 1; ТОГДа /3 = pcondVo-i Pamd - концентрация экситонов в конденсате, Vo - нулевая Фурье - компонента межэкситошгаго взаимодействия. Дисперсия элементарных возбуждений экситонной системы имеет вид: / 2 .2 / к2Л2 где v = {flfM)ll2 - скорость звука, М - масса экситона в GaAs. В случае высоких концентраций аномальная функция Грина e-h системы имеет вид: F{u,,p) = -і f dte (Tcp{t)h_p(0)) = Д J][w - [Єі(р) + Єа(р)]/2 ± ((p) + гт,)]-1 где e - оператор уничтожения электрона, h - оператор уничтожения дырки, (р) = р - дисперсия элементарного возбуждения электронно - дырочной системы, аналогичная закону дисперсии в теории БКШ, р = д/Д2 + (єі(р) — 2(р))2, где Д - щель, Єі(р), г(р) - дисперсия электронов в электронной зоне слоя А (1) и дырочной зоне слоя В (2), соответственно, при отсутствии взаимодействия между ними. Для случая квадратичной дисперсии: где импульс Ферми pF определяется концентрацией возбужденных электронов, ті,т2 -эффективная масса электрона в зоне 1 и 2, соответственно.
Если рассматриваемая нами электронно - дырочная система является квазидвумерной, то в процессе рекомбинации электрона и дырки сохраняется лишь компонента импульса, лежащая в плоскости квантовой ямы, и, следовательно, компонента импульса фотона, перпендикулярная плоскости, фиксируется лишь законом сохранения энергии. Скорость генерации двух фотонов, с компонентами импульса fciH (fci = —&2 = &)) лежащими в плоскости квантовой ямы, дается выражением (величины относящиеся к случаю низких (высоких) концентраций мы обозначаем с индексом а {Ь)): где кх,і - компоненты импульса двух фотонов, перпендикулярные плоскости квантовой ямы, Wj(к,к±#) = cWrejj -f-AXji—ju, - энергии фотонов, отсчитанные от химического потенциала ц электронно - дырочной системы, -M(a j,)(w,fc) - матричный элемент перехода. Химический потенциал \i в пределе низких и высоких концентраций можно записать как цл. = Ед — Еъ и ці — Eg + fie + fih соответственно, где Ед - ширина запрещенной зоны полупроводника, Еь - энергия связи экситона; ц ьг химические потенциалы носителей заряда отсчитанные от зоны проводимости и валентной зоны, соответственно. Ширина запрещенной зоны на несколько порядков больше, чем любая ИЗ ЭТИХ ВСЛИЧИІЇ И ПОЭТОМУ д й2 jUfj д- 1.3 Разреженная 2D когерентная фаза экситонов.
Сначала мы рассмотрим случай низких концентраций электронов и дырок. В этом случае экситон-фотошюе взаимодействие имеет вид:
Для удобства, положим толщину ямы L = 1, так как эта величина не входит в конечный результат. С учетом сказанного выше, в данном случае рассматриваемый процесс является
Переходом Системы ИЗ СОСТОЯНИЯ Ф0) = JVes)[0) В СОСТОЯНие Ф;) = (JV — 2)ех)\1 , , Ід, ), где \Nex) - основное состояние системы из N экситонов, взаимодействующих друг с другом, 0) - основное состояние системы фотонов и 1д. ,1 ) = cj!" cjj" 0), с - оператор рождения фотона с импульсом-(fcijfcx.i) В наинизшем, порядке по экситон-фотонному взаимодействию матричный элемент рассматриваемого процесса имеет вид (см. Рис. 2):
Эффективный потенциал
Рассмотрим обычно исследуемую экспериментально ситуацию - разреженный бозе-газ при температуре ниже температуры бозе-коидеисации. Тогда число атомоп в бозе-конденсате в ловушках много больше числа падконденсатных частиц. Будем также считать что для атомов в ловушках справедливо приближение Томаса-Ферми.
Уравнение типа Гросса-Питаевского для конденсата во второй (первоначально покоящейся) ловушке с учетом взаимодействия с первой ловушкой записывается следующим образом3: Ь5Ф h2V Ф, (1G) 2т + V2ext — № + дпс + 2gfi + Ux где UI(T) = J4(T )U(T - г ) і(г ) dr , a Vi J i - полевые операторы в первой (вращающейся) ловушке,/х2 - химический потенциал,пс - плотность конденсата, п - плотность падконденсатных частиц. Константа эффективного взаимодействия д (а также основное состояние) в двумерном бозе-газе изучается в работе [80]; величина д равна: 9=—-— х/а--7=Щприі;) "ь L Л/ZTT где Ріг = (Pi — Рг)/2 - относительный импульс двух атомов, а - 3D амплитуда s-рассеяния, а 1г — y/U/mbJz. В работе [81] было показано, что в разреженном бозе-газе зависимостью от относительного импульса можно пренебречь и ввести эффективную длину рассеяния а: 2тгй2„ 2у/2 Н2 ,„ а = all, m m
Уравнение (16) получено из системы двух связанных уравнений Гросса-Питаевского для связанных ловушек. Обратное влияние второй ловушки на вращающуюся первую ловушку пренебрежимо, поскольку наведенная анизотропия второй ловушки мала по сравнению с исходной.
Из уравнения (16) видно, что влияние атомов первой ловушки (в которой газ вращается) на вторую сводится к появлению дополнительного эффективного потенциала UI(T), который в рассматриваемом приближении сводится к добавке к удерживающему потенциалу V2ext- Чтобы понять характер изменений в состоянии бозе-конденсата во второй ловушке нужно найти эффективный потенциал в явном виде. В приближении Томаса-Ферми он записывается следующим образом: fc(r) = jnTF{T ,t)U{T - г ) dr , (17) где riTF\? , t) — Интегрирование, как это видно из формулы для плотности UTF-І проводится по области Цеі (гі ) / которая зависит от времени t. Для вычисления этого интеграла перейдем во вращающуюся систему отсчета, в которой первая ловушка покоится. Этим мы добьемся того, что область интегрирования зафиксируется во времени, а зависимость от времени перенесется в потенциал взаимодействия U(г — г7). Уравнение (17) мы перепишем следующим образом: где х = xcosQt ysia.Di и у = rrsinfif + ycosQt. Т.к. потенциал взаимодействия ловушек на расстоянии г— { = 0 убывает почти на порядок: щт — 8, то его можно заменить на более простой и удобный для вычислений: Щт -г ) = %, при г - г } D О, приг-г 1)
Пусть продольные размеры вращающейся ловушки больше размеров второй ловушки (другие случаи дают качественно схожие результаты) иИ Rtri где R - горизонтальные размеры ловушек. Вычисляя наведенный потенциал (18), находим:
Таким образом, мы видим, что влияние первой ловушки, которое записывается с помощью 7i, приводит к изменению как химического потенциала бозе-газа, так и эффективного удерживающего потенциала во второй ловушке результате уравнение для бозе-конденсата во второй ловушке выглядит так:
Исследуем подробнее эффективный потенциал V2 ((г). Он представляет собой квадратичную форму относительно координат х и у: V& ( , У) = J (« + Ь У + Л (19) где а = WL - 7(wL cos2 + Wij, sin2 Ш), с = ы\у — 7(0; sin2 fit + a72j, cos2 fit), 6 = 7(Wie-Wiv)sin2ftt, _ тга6 Исследуем потенциал в зависимости от параметров ловушек.
Пусть нижняя ловушка изотропна, т.е. Wix = U\y = wi- Тогда, подставляя эти параметры в уравнение (19), получим:
Таким образом, мы видим, что в этом случае происходит просто деформация эффективного удерживающего потенциала ш = \/w2 — 7ші- Никакого эффекта увлечения не наблюдается. Этого следовало ожидать, т.к. нет анизотропии в плотности распределения атомов вращающегося бозе-конденсата.
Описание квантовой эволюции с помощью траекторий в пространстве {X,p,v}
Уравнение (22) можно переписать в виде - + gxGx(X, ц, и) + G,№ / , і/) + 0 {Х, Л ) = 0, (23) где функции G зависят от квантовой томограммы, ее производных и первообразных (первообразные соответствуют членам с (д/дХ) г в (22)). Для рассмотренной нами задачи функции G в явном виде приведены ниже. Эволюционное уравнение, переписанное как (23), имеет вид уравнения непрерывности для квантовой томограммы: dw dw dw - dw dw , . -Ш=т+Шх + Т +Т," (24
Это уравнение аналогично уравнению непрерывности для классической функции распределения, или уравнению Лиувилля, чьи характеристики - классические траектории в фазовом пространстве, подчиняющиеся гамильтоновым уравнениям движения. Квантовая томограмма неотрицательно определена, и мы используем ее как функцию распределения траекторий п пространстве (X, fi, v). Из сравнения уравнений (23) и (24) видно, что в данном случае уравнения движения для траекторий имеют вид: X = Gx(X,it,u),it = G„(.Y,/і, !/),! = Gv(X, ft,u) (25)
Ансамбль траекторий вводится чтобы избежать прямого вычисления функции распределения. Так методы конечных разностей используют сетку, на которой задастся, папример, волновая функция при численном решении уравнения Шредингера. Такой подход зачастую позволяет добиться высокой точности, однако число элементов массива, представляющего волновую функцию, и число элементарных операций, соответствующих переходу на очередной временной "слой", растет экспоненциально с увеличением числа степеней свободы. Из-за этого сеточные методы моделирования трудно применять уже для изучения систем с 4-5 степенями свободы. В то же время методы, использующие траектории, позволяют рассматривать системы, состоящие из тысяч и более частиц, например, в классической молекулярной динамике. При моделировании методом классической молекулярной динамики используются независимые траектории в фазовом пространстве. Мы же рассматриваем квантовомсханические задачи, и в правой части уравнений движения (25) для квантовых траекторий: стоит функция, зависящая от функции их распределения, то есть от плотности траекторий в данной точке. Поэтому в данном методе траектории, вообще говоря, не являются независимыми. Ансамбль траекторий используется, чтобы, избежать прямого вычисления квантовой томограммы на сетке. Однако квантовая томограмма входит в уравнения движения для траекторий. Поскольку мы отказываемся от вычисления квантовой томограммы в явном виде, то для получения правой части уравнений движения (25) приходится использовать некоторую аппроксимацию этой функции. Мы используем локальную экспопсициальную аппроксимацию. (аналогичную аппроксимации для функции Вигнера, использованной нами в методе КМД): где у = {X, ju, и}, и уа - рассматриваемая точка. Параметры этой аппроксимации - матрица Аа и вектор Ьа. Вместо производных и первообразных квантовой томограммы в эволюционное уравнение (22) теперь входят некоторые комбинации этих параметров. Матрицу Аа и вектор Ъа можно найти, вычислив средние X, , v и их средние произведения в окрестности рассматриваемой точки. После этого функции G становятся известными, и уравнения (25) можно решить численно. Аппроксимация (26), конечно же, не универсальна, она хорошо работает, если среднее расстояние между траекториями не очень велико и соответствующая квантовая томограмма (функция распределения) достаточно гладкая. Например, эта аппроксимация может оказаться неприменимойj если рассматривать плоскую волну с волновым вектором А: тогда w(X, {j, — 0, v = 1) = 5(Х — к). Эту аппроксимацию следует использовать с осторожностью также при изучении инфинитного движения, поскольку в этом случае расстояние между траекториями увеличивается со временем. Если в окрестности точки, где применяется (26), имеется слишком мало таекторий, то эта аппроксимация.ис будет адекватно восстанавливать квантовую томограмму из-за недостаточной статистики.
Мы рассматриваем движение волнового пакета в гармоническом осцилляторе и тунне-лирование из потенциальной ямы через барьер. Сравнивая результаты моделирования в представлении квантовой томографии с точным численным расчетом, мы убедимся, что аппроксимация (26) подходит для данных задач (см. Разделы 3.3 и 3.4). В случае туннели-рования имеются как область финитного движения (в потенциальной яме), так и область инфинитного движения (за барьером), и все же аппроксимация работает неплохо. Для достаточно высокой начальной энергии пакет почти полностью проходит за барьер, поэтому эволюция большей части траекторий соответствует неограниченному движению, и аппроксимация (26) уже не так хорошо подходит для решения квантовых уравнений движений (см. конец Раздела 3.4). Но в целом локальная аппроксимация (26) оказывается вполне удовлетворительной даже для достаточно больших промежутков времени (см. Рис. 7 в Разделе 3.4).
Для изучения рассматриваемых задач мы вычисляем средние значения некоторых величин. В представлении квантовой томографии среднее значение (Л) физической величины (соответствующий оператор - A(q,p)) вычисляется по формуле: {А}= / A(n,v) xw{X,iiiv)dXdfidu где А ({Л, v) - Фурье-образ символа Вейля Aw(q,p) Aw(q,p,t) = fd [йтрт{А&р,г)е )г «-ігв оператора А( ?,р): A{frv) = / Aw{q,p)cxp{-i{№ + vp)) Jr
Для вычисления средних значений мы используем следующую аппроксимацию квантовой томограммы: j w(X, v,t) = S(X- ЗД№ - М )Ж - j( )) (27) j=i где суммирование производится по всем J траекториям; Xj{t),iij(t),t j{t) - координаты j -й траектории в пространстве X, [i, v в момент времени t. Такая аппроксимация как раз и соответствует использованию ансамбля траекторий: в областях, где функция w(X, ц, и) мала, траектории разрежены, а где w(X,fj,,i ) велика, плотность траекторий выше. Чем больше траекторий используется, тем лучше работает аппроксимация (27). Если в процессе моделирования волновая функция частицы имеет вид компактного волнового пакета, пусть даже состоящего из нескольких отдельных частей, аппроксимацию (27) можно использовать, поскольку в этом случае имеются компактные паборы траекторий в пространстве X,JJ,,V, И можно набрать хорошую статистику. Такая ситуация имеет место для рассмотренных нами задач, поэтому использование данной аппроксимации не сильно искажает результаты по сравнению с точным квантовым расчетом (см. Разделы 3.3 и 3.4).
Функции Грина как операторы в томографическом представлении .
На Рис.. 10 представлены зависимости вероятностей реакции (70) (см. Приложение Б) от времени для трех значений начальной средней координаты волнового пакета 70 = —0.2, —0.3 и —0.4, соответственно с начальной средней энергией РУ 0.75Vo, к-1.251 и ft 2.0 VQ. Сплошные линии представляют результаты моделирования в представлении квантовой томографии (КТД), пунктирные линии соответствуют численному решению уравнения Шредингера (точные квантовые вычисления). Из-за увеличения средней энергии с ростом 7о в волновом пакете растет число компонент с высокой энергией. Это приводит к тому, что больше компонент проходит за барьер - либо над барьером, либо туннелируют через него. Поэтому с ростом до возрастает и вероятность реакции (кривые, соответствующие различным gQl располагаются друг над друтом на Рис. 10). Качественно вероятность реакции:меняется со временем одинаково для всех рассмотренных здесь qo- Компоненты, прошедшие за ба рьер, назад вернуться не могут, поскольку для д 0.6709 потенциал уменьшается с ростом координаты, так что вероятность реакции не может уменьшаться со временем. Сначала она быстро возрастает из-за прохождения над барьером компонент с энергией, большей его высоты (в этом можно убедиться, если рассмотреть классическое решение этой задачи, когда возможно лишь прохождение над барьером). Затем вероятность реакции продолжа ет медленно расти из-за туннелирования. Все эти характерные черты заметны на кривых, соответствующих как квантово-томографической динамике, так и точному квантовому рас чету.
Вероятность реакции для КТД получается немного больше, чем для точного численного решения. Также заметна некоторая разница в характере возрастания вероятности реакции для КТД и точного решения: в первом случае кривые получаются менее гладкими. Эти различия связаны с конечным числом траекторий, используемых в КТД: для меньшего числа траекторий (пе показано на рисунке) вероятность реакции еще сильнее напоминает ступени лестницы (что связано с численной переоценкой роли осцилляции волнового пакета в квантовой ямс при использовании конечного числа траекторий), также становится более сильным количиствсшгое различие с точным расчетом. Но в целом, для достаточно большого числа траекторий, как в случае, показанном да Рис. 10, результаты КТД оказываются довольно близкими к результатам точного квантового вычисления (также получается хорошее согласование с результатами, полученными методом "вигнеровских траекторий" [127]).
Кроме вероятности реакции мы получили и ряд новых качественных и количественных результатов, которые подробно описывают поведение волнового пакета в процессе туннелирования.
Здесь и далее мы рассматриваем туннелирование волнового пакета с начальным средним значением координаты q$ = —0.2. Нормированные плотности вероятности в координатном пространстве ( (#)j2) представлены на Рис. 11 - 13, в пространстве импульсов ( (р)2) -на Рис. 14 , 15. Рассмотрено несколько последовательных моментов времени. Сплошные непрерывные линии показывают форму волнового пакета, полученную с помощью точного квантового расчета. Гистограммы соответствуют результатам одного запуска КТД. Для одного и того числа траекторий можно провести несколько таких запусков и усреднить по ним плотность вероятности - тогда графики получатся более гладкими. Здесь мы хотим показать, что можно получить за один запуск КТД по сравнению с точным квантовым расчетом. Из-за этого соответствие между гистограммами (КТД) и сплошными линиями (точное решение) на Рис. 11 - 13 неидсалыюе, и все же сходство очевидно.
Плотность вероятности в координатном пространстве для КТД (гистограмма) и точного решения (сплошная линия), в момент времени і = 300 а.е. Вершина барьера - в точке 0.6709 а.е., до -О-2 а.е. волновой пакет имеет гауссовский вид (Рис. 11). Он движется как целое по направлению к минимуму потенциала в точке х = 0 (начальный средний импульс равен нулю, но потенциал уменьшается в направлении х = 0), проходит эту точку и сталкивается с барьером. В процессе движения волновой пакет расширяется (из-за дисперсии в пространстве импульсов, сравн. правую и левую картинки на Рис. 11), а при взаимодействии с барьером его форма изменяется еще сильнее (t = 300 и t = 400, Рис. 12, 13). Волновой пакет немного сжимается, некоторые его компоненты проходят через барьер, и прошедшая часть пакета появляется справа от барьера (х = 0.6709). Поскольку прошедшая часть пакета не может вернуться назад и ускоряется (потенциал уменьшается с ростом координаты для х 0.6709), то должно присутствовать обогащение пакета высокоэнергетическими компонентами (см. ниже). Все характерные детали описанные в предыдущем абзаце присутствуют как для точного
Плотность вероятности в координатном пространстве для КТД (гистограмма) и точного решения (сплошная линия), в момент времени t — 400 а.е. Вершина барьера - в точке 0.6709 а.е., q» = -0.2 а.е. решения, так и для КТД. Гистограммы на Рис. 11 - 13 лучше соответствуют сплошным линиям, представляющим точное решение, для более ранних времен, но даже после взаимодействия с барьером (Рис. 13) сходство остается достаточно очевидным. Это свидетельствует о том, что аппроксимации (26) и (27) неплохо работают для данной задачи.
Рассмотрим теперь эволюцию волнового пакета в пространстве импульсов. Чтобы подтвердить вывод об ускорении прошедшей части волнового пакета, мы приводим плотность вероятности в пространстве импульсов \ф (р)2 на Рис. 14, 15, в моменты времени t — 0 и t = 400, соответственно. Поскольку волновая функция сначала имеет вид гауссовского волнового пакета, то начальное распределение вероятности - гауссово, как в координатном, так и в импульсном пространствах (сравн. Рис. Ни Рис. 14). Однако после взаимодействия волнового пакета с барьером распределение вероятности в пространстве ипмульсов претерпевает значительные изменения (Рис. 15). Возникают компоненты с большим импульсом, так как прошедшая часть пакета ускоряется в области уменьшения потенциала (справа от барьера). Это говорит о том, что барьер служит селектором энергии, взаимодействие с ним обогащает прошедшую часть компонентами с высокой энергией. Для распределения по импульсам па относительно больших временах (t = 400, Рис. 15) соответствие между гистограммой (КТД) и сплошным графиком (точное решение) немного хуже, чем для распределения в пространстве координат (Рис. 13). Причина в том, что мы работаем с ограниченным числом траекторий, а для t 400 приходится рассматривать достаточно большую область но импульсам, поскольку прошедшая часть пакета постоянно ускоряется. Из-за этого распределение по импульсам сильно расширяется со временем и траекторий с (л,, и достаточно близкими к /І = 0, v = 1 для данного импульса р становится слишком мало (см. Раздел 3.2.2). Для рассматриваемого начального значения средней координаты д0 —0.2, начальная энергия волнового пакета де очень велика (РЗ 0.75VO, где VQ - высота барьера), и поэтому большая его часть остается в квантовой яме (в рассматриваемый момент времени і = 400 только 20% волнового пакета оказывается за барьером, см. Рис. 10), из-за чего распределение в координатном пространстве оказывается более компактным.
