Содержание к диссертации
Введение
1 Изотропный магнетик Гейзенберга 9
1.1 Введение 9
1.2 Алгебраический анзац Бете 12
1.3 Первый и второй интегралы движения 14
1.4 Разделение переменных 16
1.5 Связь между методами анзаца Бете и разделения переменных 20
1.6 Решение уравнения Бакстера посредством системы связанных ТРС 21
1.7 Решение уравнения Бакстера посредством асимптотического разложения в пределе ц -*
1.7.1 Первое приближение 24
1.7.2 К-ое приближение. Индуктивный переход 25
1.8 Результаты расчетов 27
1.8.1 Струнный предел трехчастичных возбуждений магнетика 27
1.8.2 Распределение проекций струн на вещественную ось . 32
1.8.3 Слияние струн при s = 1/2 и s — 1 34
1.8.4 Неоднородный магнетик 35
1.9 Струнный предел четырехчастичного сектора 38
1.10 Статистические характеристики спектров 41
2 Тригонометрический магнетик 50
2.1 Введение 50
2.2 Алгебраический анзац Бете 52
2.3 Первый интеграл движения 54
2.4 Разделение переменных 55
2.5 Решение уравнения Вакстера посредством системы связанных ТРС СО
2.6 Решение уравнения Бакстсра посредством асимптотического разложения и пределе к
2.6.1 Первое приближение 63
2.6.2 К-ос приближение. Индукционный переход 64
2.7 Статистические характеристики спектров 65
3 Дискретная система с самопзаимодейслчшем 70
3.1 Введение 70
3.2 Алгебраический апзац Вече 71
3.3 Разделение переменных 73
3.4 Решение уравнения Вакстера 75
3.5 Результаты рас чего». Предельные случаи 76
4 Цепочка Тоды 81
4.1 Разделение переменных 81
4.2 Предел сильного поля в исходном представлении 85
4.3 Уравнение Вакстера 90
4.4 Вычисления и результаты 95
Заключение 99
Литература 103
- Разделение переменных
- Распределение проекций струн на вещественную ось
- Первый интеграл движения
- Решение уравнения Вакстера
Введение к работе
Термин «интегрируемые системы» восходит к классической, во всех смыслах этого слова, теореме Лиувилля. Она утверждает, что если в системе имеется набор независимых величин, находящихся в инволюции, причем количество этих величин совпадает с числом степеней свободы, то уравнения Гамильтона интегрируемы в квадратурах. С появлением квантовой механики понятие инволюции трансформировалось — вместо обращения в нуль скобки Пуассона величин теперь требовалась коммутативность операторов. Изменилась также постановка основной задачи: в отличие от классических систем, для которых первоочередным вопросом является интегрирование уравнений движения, в исследовании квантовых центральную роль играет спектральная проблема. А именно — поиск волновой функции, общей для всех интегралов, и их спектра.
В настоящее время квантовые интегрируемые системы классифицируются и изучаются в рамках і?-матричного формализма метода обратной задачи [7, 5]. Рассмотренные в данной работе модели порождены следующими фундаментальными коммутационными соотношениями:
Я(«і - и2) Щщ)
Вид L — матрицы 2 х 2 с операторными элементами, зависящими от спектрального параметра и — специфичен для каждой системы; числовая R-матрица — решение уравнения Янга-Бакстера — определяет их класс. В работе представлены интегрируемые системы, связанные с рациональной и тригонометрической Я-матрицами.
Тот факт, что произведение матриц L, действующих в различных квантовых пространствах, также удовлетворяет соотношениям (1), позволяет формировать составные объекты. Кроме того, инвариантность фундаментальных коммутационных соотношения относительно сдвига спектрального параметра дает возможность ввести неоднородность в узлах системы. Инте-
ВВЕДЕНИЕ
грируемая система, порожденная матрицей монодромии
г(и) = (од ад) = Ln{u~Cn)---Ыи-C2)Ll{u~Cl)' (2)
физически интерпретируется как цепочка из N частиц с взаимодействием преимущественно между соседними узлами. След матрицы монодромии t(u) = А(и) + D(u) служит генерирующей функцией интегралов движения системы. Заложенная в фундаментальные коммутационные соотношения перестановочность следов матрицы монодромии с различными значениями спектрального параметра гарантирует, что интегралы движения действительно находятся в инволюции, то есть взаимно коммутируют. Спектральная задача формулируется в виде уравнения
t{u)4f = т(и)Ф, (3)
где общая для всех интегралов волновая функция Ф не зависит от г*.
Традиционным способом решения спектральной проблемы (3) является анзац Бете. Предложенный еще в 1931 г. Г. Бете [16,11], он до сих пор является весьма популярным методом определения спектров и волновых функций интегрируемых систем. В современной, алгебраической формулировке [25] анзац Бете выглядит так — волновая функция ищется в виде
Ф = В(им)...В(и2)В(и1)Фо, (4)
где ит,т = 1,...,М — набор неизвестных комплексных чисел (параметров Бете), а Ф0 — состояние математического вакуума, т.е. такое, что
С(и)% = 0 (5)
для любого и. При подстановке (4) в (3) возникает система из М нелинейных алгебраических уравнений на параметры Бете. Решая ее, получают волновую функцию (4) вместе со значениями интегралов движения, так как т{и) также выражается через ит, т = 1,..., М.
Однако анзац Бете имеет ряд недостатков. Во-первых, ограниченная применимость метода — существует значительное количество интегрируемых систем, таких, например, как рассмотренная в данной работе цепочка Тоды, у которых отсутствует состояние вакуума (5). К таким системам метод оказывается принципиально неприменим; при попытке решать аналоги уравнений Бете получаются лишь некоторые приблизительные результаты,
Вычисление спектра интегрируемых систем ... rev.E 2003-2006 А.Г. Антипов
ВВЕДЕНИЕ
далекие от реальных. Во-вторых, сложность системы нелинейных уравнений представляет серьезную проблему при выполнении практических вычислений; основная трудность заключается в правильной локализации искомых решений.
В 90-х годах был разработан иной способ [35, 36] решения спектральной проблемы (3) — квантовое разделение переменных. Смысл метода заключается в переходе к представлению, в котором волновые функции факто-ризуются — распадаются в произведение, причем каждый из сомножителей зависит только от одной переменной. Функция, удовлетворяющая (3), ищется в виде интеграла по пространству разделения R^-1
00 оо
Ф(х)= ... K(x\vu...,vN-1)${vu...,vN-1)dv1...dvN-1. (6)
—00 —оо
Размерность пространства разделения на единицу меньше исходного, ибо значение первого интеграла движения, интерпретируемого как импульс или количество возбуждений, на этом этапе обычно фиксируется. У систем, обладающих состоянием вакуума, носитель ядра интегрального преобразования К(x\vi,...,vjv-i) дискретен, поэтому вместо интегрирования в (6) выполняется суммирование по (N—1)-мерной сетке. Чтобы волновая функция в новом представлении Ф (г*!,... ,і>лг-і) факторизовалась, на ядро накладывается условие
C(vj)K(x\vl,...,vN.1) = 0, j = l,...,N-l. (7)
Выполнение условия приводит к тому, что диагональные элементы матрицы монодромии —' А(и) и D(и) — действуют как сдвиговые операторы на K(x\vi,... ,i>w_i). В результате, подстановка (6) в (3) приводит к распаду Ф (vi,... ,v//_i) на отдельные сомножители, каждый из которых удовлетворяет одному и тому же одномерному уравнению второго порядка — так называемому разностному уравнению Бакстера
T{v)ip(v) = A+(v)(p(v + 1) + A~(v)(p{v - 1), (8)
где А+, А- — некоторые функции, специфичные для каждой интегрируемой системы. Впервые (8) было получено для восьми-вершинной модели в [12, 4], где отмечалось, что система анзаца Бете эквивалентна поиску нулей решения определенного разностного уравнения.
Вычисление спектра интегрируемых систем ... rev.E 2003-2006 А.Г. Антипов
ВВЕДЕНИЕ
Несмотря на значительную методологическую ценность квантового разделения переменных, оно до сих пор не применялось в практических вычислениях. Причина этого кроется в отсутствии необходимого инструментария для работы с разностным уравнением Бакстера. Разработка такого инструментария была одной из целей данного исследования.
Если поиск решений системы Бете представляет собой хотя и сложную, но чисто техническую задачу, то возможность использования уравнения Бакстера для расчета спектра интегралов движения не представляется столь очевидной. Квантовое разделение переменных не является разделением переменных в классическом смысле этого слова, так как в (8) присутствует полный набор интегралов. По сути дела, метод свелся к постановке спектральной задачи (3) в новой форме — в виде обобщенной задачи Штурма-Лиувилля для разностного уравнения Бакстера. Возникает вопрос: пригодна ли эта новая форма для практических расчетов спектра интегралов движения? Приведенные в работе материалы подразумевают положительный ответ; более того, квантовое разделение переменных оказывается предпочтительным с точки зрения вычислительной эффективности.
Хотя метод квантового разделения переменных не дает указаний, как именно решать уравнение Бакстера (8), он позволяет сформулировать условия отбора решений, необходимые для определения спектра. Основное условие — сходимость интеграла при переходе в исходное представление (6), что накладывает ограничения на поведение ip(v) при больших по модулю значениях аргумента. У систем, обладающих вакуумом, одно из решений должно иметь полиномиальный характер. 'Полиномиальность' в данном случае понимается в обобщенном смысле — у связанных с тригонометрической R-матрицей моделей в качестве мономов выступают комплексные экспоненты, у связанных с эллиптической — соответствующие эллиптические функции.
В работе представлены различные способы решения разностного уравнения Бакстера. Во-первых, это прямой метод, в максимальной степени учитывающий разностную природу уравнения; для обрыва трехчленных рекуррентных соотношений использовалась интерполяция Лагранжа. Трех-дорожечная структура возникающих матриц облегчает их одновременную диагонализацию, однако корректно прямой метод может применяться лишь к системам, обладающим вакуумом.
Во-вторых, применялись несколько разновидностей асимптотического метода, который предполагает работу с пределом по одному или нескольким параметрам, участвующим в уравнении. Предел описывается аналитически, затем решения либо непосредственно выражаются в виде асимптотическо-
Вычисление спектра интегрируемых систем ... rev.E 2003-2006 А.Г. Антипов
ВВЕДЕНИЕ
го ряда, что было сделано для магнетиков, либо рассматриваются в базисе функций первого приближения, как в случае цепочки Тоды. Наконец, можно просто отследить эволюцию по указанным параметрам, что позволяет справиться с проблемой локализации решений нелинейных соотношений.
Перспективным также представляется переход от разностного к дифференциальному уравнению посредством интегрального преобразования. Это дает возможность применить к задаче развитую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и, прежде всего, анализ особых точек.
Разделение переменных
Первый интеграл движения, имеющий в терминах бозонных операторов следующий вид: выделяется из набора других интегралов тем, что оказывается возможным достаточно легко описать его инвариантные пространства. В результате, спектральная задача (1.12) естественным образом разбивается на набор подзадач размерности N—1, параметризуемый определенными значениями первого интеграла движения. Формулы (1.8) и (1.9) позволяют утверждать, что операторы В(и) и С(и) осуществляют отображение одних инвариантных пространств первого интеграла движения в другие. Более конкретно, если Х(\) — инвариантное подпространство 1\, соответствующее собственному значению Nr)s + А, то В{и)Х{\) с Х{\ - п), а С{и)Х{\) С Х{\ + rf). Функция Ф0 = 1, очевидно, принадлежит Х(0). Поэтому, собственным функциям, получаемым согласно (1.17), соответствуют значения ц (Ns—M) (М — количество взятых параметров Бете). Вычисление спектра интегрируемых систем ... rev.E 2003-2006 А.Г. Антипов
В плоском координатном представлении инвариантными подпространствами первого интеграла движения являются пространства однородных полиномов. Действительно, элементы квантовых матриц перехода действуют в пространстве однородных полиномов следующим образом: элемент, стоящий в правом верхнем углу, повышает степень полинома на единицу, стоящий в левом нижнем углу — понижает на единицу, а диагональные элементы сохраняют степень полинома. По индукции эти свойства переносятся и на матрицу монодромии. Поэтому, например, пространство однородных полиномов фиксированной степени инвариантно относительно действия следа матрицы монодромии. Функция Фо = 1 — однородный полином степени 0, поэтому собственные функции спектральной задачи (1.12), определяемые формулой (1.17) — однородные полиномы степени М. Правила коммутации оператора S = 5f + 5J" + ... + 5 , являющегося, с точностью до множителя і, коэффициентом В(и) при старшей, (N—1)-ой степени и, и элементов матрицы монодромии (1.27) Формулы (1.23), (1.24) и (1.26), (1.27) дают основание утверждать, что имея некоторую собственную функцию взаимно коммутирующих интегралов движения и действуя на нее последовательностью операторов S и S+, можно получить целый набор собственных функций, объединенных общими значениями интегралов Ik, к — 2,...,iV, и отличающимися различными значениями проекции спина. Количество функций в наборе определяется величиной второго интеграла движения, т. е. квадрата спина системы: если S2 = r)2L(L + 1), то 53 приобретает значения — rjL, —r)(L—l),..., г){Ь-1),г]Ь. Рассматривая спектральную задачу (1.12) в пространстве однородных полиномов степени М (Д = S3 = r](Ns — М)), имеет смысл выбирать значения второго интеграла движения, максимально возможные при данной величине проекции спина, а именно
Собственные функции, соответствующие меньшим значениям І2 могут быть найдены, если воздействовать оператором S" на собственные функции, полученные в пространствах однородных полиномов с меньшей, чем М, степенью. 1.4 Разделение переменных Альтернативным способом решения спектральной проблемы (1.12) является метод [36, 28, 19, 20], в основе которого лежит разделение переменных и сведение многомерной спектральной задачи к набору одномерных, связанных общими значениями спектра интегралов движения. В рамках этого метода осуществляется переход к представлению, в котором полная волновая функция факторизуется, то есть распадается в произведение, причем каждый из сомножителей зависит только от одной переменной. Решение спектральной задачи (1.12) ищется в виде линейной комбинации Суммирование проводится по гиперкубу (N — 1 )-мерной сетки с шагом щ вершины гиперкуба находятся в точках {сі ± irjs, с2 ± irjs,..., с -х ± ir)s}. Если условия (1.30) выполнены, система функций К обладает тем свойством, что действием операторов A(vk) и D(vk) на К(х vi,..., D _I ) можно получить функции, определенные в соседних узлах по направлению к. Действительно, пусть Применив вытекающее из фундаментальных коммутационных соотношений операторное равенство Воспользовавшись значением коммутатора (1.25), приходим к выводу, что действие С(и) на функцию 1 представимо в виде (1.32)
Аналогичным образом дело обстоит и с D(vk), представляющим собой оператор правого сдвига: К(х Построение системы функций К естественно начать с К(х оператора, стоящего в левом нижнем углу матрицы монодромии, на х , как и на любую другую функцию, зависящую только ОТ XNi сводится к Выбор степени М фиксирует значение первого интеграла движения h — г) (Ns — М). Воздействуя последовательностью из операторов D с соответствующими параметрами на К(х \ с\ — ins,..., c/v-i — ir)s), можно определить функцию в любом узле сетки (с точностью до нормировочной постоянной) (1.33) Применение A(vk+it])D(vk), k = l,... ,N—1, к функции K(x\vi,... , г -і) приводит к домножению ее на числовой коэффициент, представляющий со (см. (1.13) и (1.14)). В связи с этим возникает проблема выбора нормировки функций в узлах сетки. Будем считать, что
Распределение проекций струн на вещественную ось
При малых значениях проекции струны различных типов чередуются между собой, образуя эквидистантную последовательность с расстоянием между точками — см. вставку 1 на рис. 1.2. При приближении к мнимой оси параметр а у струн типа 3 стремится к 0, у струн типа 2-1 — к —2п/3, у струн типа 1-2 — к 27г/3. На вставке 2 рис. 1.2 жирными точками показаны компоненты псевдострун — решений, идентифицируемых наборами вида m = {...,1,1,1,...}. У псевдострун параметр /3 близок к 7г, однако расстояние между соседними компонентами стремится к 1/2, а не к 1, как у настоящих струн. На краях цепочки псевдострун наблюдается явление, отмеченное в [22]: вместо двух комплексно сопряженных компонент у решений ст = {1,1,1,...}, {0,1,1,1,...} появляются две вещественные. Изложенные выше факты подтверждаются при аналитическом рассмотрении. Вместо трех компонент вектора Бете {иі,и2,из} перейдем к тройке вещественных параметров {її, є, а} в соответствии с рис. 1.1. В новых обозначениях система уравнений Бете (1.19) для однородного магнетика сводится к (u + is)N(2eia + є) = (її- is)N(2e- ia + є), (1.52) (u + iee- ia + i{l + s))Nee-[a(l + 2ecosa) = (1.53) = (її + іее іа + і(1 - s))N(2 + е-іа)(3 + 2ecosa). Предполагая, что є мало (струна близка к идеальной), из сравнения модулей правой и левой частей равенства (1.53) в первом приближении получаем При любом 5 0 числитель дроби меньше знаменателя, отсюда следует, что при достаточно большом N величина отклонения струны от идеальной є действительно мала, причем зависимость экспоненциальная. Уравнение (1.52) в первом приближении дает следующую связь между фазой отклонения а и проекцией на вещественную ось її: a=l±l + N arctan (V) . (1.55) Вычисление спектра интегрируемых систем ... rev.E 2003-2006 А.Г. Антипов правой и левой частей равенства (1.53) для четного N получаем (выбор ветви функции u(t) определяется величиной правой части (1.56)). Каждая струна характеризуется единственным параметром, не исчезающим при N — со, — величиной проекции на вещественную ось її. Несложная формула (1.56) дает возможность оценить эту величину, в связи с чем представляется целесообразным изучить адекватность подобной оценки. В табл. 1.2 представлены значения проекции струн, вычисленные по приближенной формуле (1.56) и точные, удовлетворяющие (1.52-1.53). Из данных, приведенных в таблице, следует, что в большинстве случаев приближение дает неплохую оценку для проекций струн, пригодную, по крайней мере, для качественного описания. Однако при больших величинах проекций приближение становится явно неадекватным: отклонение от идеальной струны (1.54) перестает удовлетворять условию малости.
Следует отметить, что при слишком большой величине проекции решение уже не может считаться струной по формальным признакам — расстояние между соседними компонентами вектора Бете сильно отличается от единицы (см. рис. 1.2). Кроме того, у струн типов 1-2 и 2-1 параметр /3 становится малым по сравнению С 7Г. Формула (1.56) также позволяет аналитически описать плотность распределения струн по вещественной оси в пределе N — со. Полагая, что при больших N распределение величины в правой части (1.56) можно считать непрерывным и равномерным, после дифференцирования и нормировки получаем Функция р не зависит от числа частиц, т. е. при увеличении числа струн расстояние между ними однородно по и уменьшается обратно пропорционально N, однако сам вид распределения не меняется. На рис. 1.4 изображена кривая (1.57) и гистограмма — результат точных вычислений. Как и следовало ожидать, кривая хорошо аппроксимирует реальное распределение при небольших и. При больших же значениях проекции представленное аналитическое приближение и вычисленное распреде ] Computation output Analytic description Рис. 1.4: Распределения проекций струн на вещественную ось — вычисленное и полученное в результате аналитического приближения — для однородного изотропного магнетика N = 40, М = 3, s = 3 ление носят принципиально разный характер. Аналитическое приближение предсказывает непрерывное монотонное убывание, в то время как реально наблюдается дискретизация распределения. Действительно, если и велико, проекции струн группируются вблизи точек Количество струн, обнаруживаемых в общем случае при М = 3, — 3N (N — 1 струна типа 3 и по N — 2 струны типов 2-1 и 1-2). Однако при определенных значениях спина число струн может сокращаться, что есть следствие вырождения решений системы Бете (1.19). Расстояние между струнами, характеризующимися малой величиной вещественной проекции, согласно (1.51) при s - 1 стремится к нулю. В результате оказывается, что при s = 1 треть всех струн сливается в точке и = 0. Рис. 1.5, графически отображающий (1.56) при различных значениях спина, наглядно иллюстрирует ситуацию.
При 5 = 1 один из арктангенсов в (1.56) превращается в ступенчатую функцию, что дает девятикратное (для N = 8) вырождение чисто мнимой струны. В два раза сильнее вырождение проявляется при s = 1/2 — невырожденной остается лишь треть от количества струн в общем случае. Если s = 1/2, то вырождение наблюдается и среди решений системы Рис. 1.5: Графическое решение уравнения (1.56), иллюстрирующее процесс вырождения струн при определенных значениях спина. Однородный изотропный магнетик N = 8, М = 3. Величины спина s = 3, s = 1, s = 1/2 (слева направо) уравнений Бакстера, не относящихся к струнному типу: из общего числа (N — 1)N(N + 1)/3! только (N — 1)N(N — 5)/3! оказываются уникальными. На рис. 1.6 представлены аналоги рис. 1.2 для s = 1 и s = 1/2. Наблюдаемые вырождения — следствие компактности модели при целых и полуцелых значениях спина. Тот факт, что они обнаруживаются лишь при s = 1/2 и s = 1, объясняется величиной М = 3: первые вырождения возникают при М = 25 + 1. При дальнейшем увеличении числа возмущений количество вырождений растет абсолютно и относительно общего количества решений; последние невырожденные решения обнаруживаются при Описание струнного предела неоднородного магнетика (с ненулевыми сп, п = 1,...,N) принципиально не отличается от однородного. В частности, совпадает число решений струнного типа, сохраняется их идентификация набором {шп} 1 и классификация. Однако количественные показатели, такие, как распределение проекций струн на вещественную ось, существенно зависят от величин сп. На рис. 1.7 изображена приблизительно половина из тех решений системы Бете, которые имеют комплексные компоненты, для случая N = 70, М = 3, s = 2. Параметры cn, п = l,...,iV, выбирались
Первый интеграл движения
В отличие от изотропного магнетика, у тригонометрического нет интеграла, имеющего смысл квадрата полного спина системы и нет вырождений, снимаемых значением проекции этого спина. Тем не менее, сама проекция недеформированного спина S3 существует и является сохраняющейся величиной. Действительно, первый интеграл движения есть, с точностью до множителя, косинус этой проекции: Инвариантные пространства оператора 53, они же — инвариантные пространства первого интеграла движения, описываются достаточно легко. В результате, спектральная задача (2.5) разбивается на набор подзадач размерности N — 1, параметризуемый определенными значениями первого интеграла движения. Проекция недеформированного спина системы коммутирует с элементами матрицы монодромии по следующим, доказываемым индукцией по iV, правилам: Из формул (2.13) и (2.14) следует, что операторы В(и) и С(и) осуществляют отображение одних инвариантных пространств первого интеграла движения
Вычисление спектра интегрируемых систем ... rev.E 2003-2006 А.Г. Антипов в другие. Более конкретно, если Х(Х) — инвариантное подпространство 1\, соответствующее значению проекции недеформированного спина Ns + Л, то В(и)Х(Х) С Х(Х - 1), а С(и)Х(\) С Х{\ + 1). В представлении (2.8) 3 = Ns — {х\ді + ... + х д ), а Ф0 — постоянная функция, то есть состояние вакуума принадлежит Х(0). Следовательно, волновым функциям, получаемым согласно подстановке (4), соответствуют значения Сами же волновые функции в представлении (2.8) Ф(жі,... ,xN) суть однородные полиномы степени, равной количеству взятых параметров Бете. Разделение переменных для тригонометрического магнетика схоже с аналогичной процедурой для изотропного. Собственная функция спектральной задачи (2.5) ищется в виде линейной комбинации Шаг сетки, по которой проводится суммирование в (2.16), определяется параметром анизотропии х. Покажем, что если условие (2.17) выполнено, то волновая функция в новом представлении b(vi,..., v -i) факторизуется, причем каждый их сомножителей зависит только от одной переменной. Система функций К обладает тем свойством, что действием операторов A(vk) и D(vk) на К(х vi,..., v -i) можно получить функции, определенные в соседних узлах по направлению к. Действительно, пусть где Cpf21 - старший коэффициент в экспоненциальном разложении оператора С (и) (с учетом структуры С (и) указанное выражение эквивалентно (2.17)). Применив вытекающее из фундаментальных коммутационных соотношений равенство Выбор степени М задает значение проекции недеформированного спина S3 = Ns — М, в результате первый интеграл движения оказывается зафиксированным (2.15). Воздействуя последовательностью из операторов D с соответствующими параметрами на К(х С\ — ixs,..., c/v_i — ixs), можно определить функцию в любом узле сетки. Применение A(vk+ix)D(vk), к = 1,... ,N—1 к функции К (x\vi,... ,u/v-i) приводит к домножению ее на числовой коэффициент, представляющий со (CM. (2.6) и (2.7)). В связи с этим возникает проблема выбора нормировки функций в узлах сетки. Будем считать, что где Д — факторы квантового детерминанта (2.10). Формулы (2.22) определяют действие следа матрицы монодромии при значениях спектрального параметра, совпадающих с координатами в пространстве разделенного представления.
Интерполяцией по точкам vk, k = 1,... ,N—1 можно восстановить вид оператора t(u) в подпространстве, выделяемом заданной величиной проекции недеформированного Чтобы выполнялось (и)Ф = т(и)Ф, где r(u) — экспоненциальный полином с числовыми коэффициентами необходимо приравнять выражение в фигурных скобках в (2.24) к г(г; )Ф(г;1,..., fjy-i). Тогда то, что находится в круглых скобках, будет представлять собой про изведение Ф(г ь..., илг-і) на интерполяционную формулу функции r(u). Решение уравнения Произведение синусов позволяет избавиться от дробных сомножителей, а каждая из функций щ, зависящая только от одной переменной, должна — разностному уравнению Бакстера для тригонометрического магнетика. Если из (2.26) получить выражение для собственного значения следа матрицы монодромии то формула в точности совпадет с той, что была получена в методе анзаца Бете (см. содержимое квадратных скобок в
Решение уравнения Вакстера
Наличие состояния математического вакуума свидетельствует о существовании полиномиального решения у уравнения Бакстера (3.11). Количество возбуждений системы М указывает степень полинома. Пусть фі = { p(vi),if(vi+r]),...,ip(vi+t]M)} — вектор значений, которые принимает искомое решение уравнения Бакстера на эквидистантном наборе из М + 1 точек. По этому вектору можно восстановить решение при любом значении аргумента. В частности, выполняя интерполяцию Лагранжа, получаем, что значения, принимаемые в точках v\—г/, Vi+r](M+l), равны Требование выполнения уравнения Бакстера в точках vi, vi + 77,..., Vi + цМ приводит к однородной системе линейных уравнений с матрицей Чтобы система уравнений имела нетривиальные решения, определитель матрицы должен обращаться в нуль, откуда возникает уравнение, связывающее значения интегралов движения. Левая и правая части равенства (3.11) — полиномы стенени M+N с двумя зафиксированными старшими коэффициентами, поэтому выполнения уравнения Бакстера в М + 1 точке недостаточно (за исключением системы с двумя степенями свободы), чтобы оно выполнялось на всей комплексной плоскости. Поэтому, необходимо рассмотреть по крайней мере N — 1 векторов фі,ф2,--- , A/v-i и соответствующих им систем линейных уравнений. Совокупность условий обращения детерминантов матриц последних в нуль и дает систему уравнений на собственные значения интегралов движения /2,..., IN
В качестве Vi, t 2,. і VJV-I удобно выбирать нули Д+(и), а именно сі, с2,..., с/у Тогда элементы (Mf) , А; = 3,...,М+1, верхней строки матрицы обращаются в нуль и между главными минорами возникают рекуррентные соотношения Указанные рекуррентные соотношения упрощают вычисление определителей матриц, что немаловажно при решении системы уравнений (3.12). Особый случай представляет собой модель с двумя степенями свободы (димер) [21]. При N = 2 остается всего один неопределенный интеграл движения /2) который входит как слагаемое в диагональные элементы матрицы Mi (3.4). Таким образом, отыскание спектра 12 сводится к отысканию набора собственных чисел матрицы М\. Если взять t i равным с\ или с2, то удобно воспользоваться преобразованием подобия, переводящим матрицу в трех-диагональную (в исходном представлении это преобразование соответствует переходу в базис однородных мономов). Тогда главные миноры не только связаны между собой рекуррентными соотношениями, но и как функции от /2 образуют систему Штурма. Последнее обстоятельство позволяет легко находить корни det(Mi), то есть собственные значения интеграла 1%, На рис. 3.1,3.2 представлены результаты численного расчета системы, состоящей из трех узлов (N = 3) — спектры энергии (связанной с /2 (3.4)) и третьего интеграла движения Із при различных значениях параметра г). Вычисление спектра интегрируемых систем ... rev.E 2003-2006 А.Г. Антипов Остальные параметры фиксировались — С\ = 1, с2 = 17, сз = 20, Ь = 1, М = 3 (її = —38 —Згу). Использовался как метод разделения переменных (численно решалась система уравнений (3.12)), так и метод анзаца Бете (3.9). Результаты расчетов по обоим методам совпали с точностью до вычислительной погрешности. Поведение спектров при т/ — 0 (рис. 3.1) и г\ — оо (рис. 3.2) можно описать аналитически. В пределе 77 — 0 первое слагаемое в гамильтониане исчезает. Оставшаяся часть Я = lim o Я обладает свойством распределительности благодаря которому собственные функции оператора Я представляются в виде произведения собственных функций из линейной оболочки Жі, #2, . . . , Хц где {mi,m2,... ,rn/v} — квантовые числа, сумма которых определяет значение первого интеграла движения, а г і, r2,..., г N — корни полинома (Д+ (v)—Д (v)) (Д± — факторы квантового детерминанта (3.7)). Полином (3.13) есть детерминант матрицы описывающей уравнение ЯФ = иФ в базисе {xi, х2,..., х }. С другой стороны, выражение (3.13) возникает, если рассмотреть асимптотический предел rj - 0 уравнения Бакстера (3.11) так, как это было сделано для изотропного магнетика в разделе 1.7. По аналогии с (1.46) поправки первого порядка к значению следа матрицы монодромии определяются формулой При больших г/, напротив, определяющий вклад в гамильтониан вносит именно первое слагаемое.
Индукцией по N можно показать, что при ту -» со Общими собственными функциями операторов, стоящих при старших степенях J7, являются однородные мономы а интегралы приобретают следующие значения Так, предельными значениями отношения энергии к г] оказываются Соответствие между квантовыми числами, введенными при малых и при больших г} устанавливается, если рассмотреть предел 6 —» 0. Когда параметр связи b стремится к нулю, система распадается на набор невзаимодействующих частиц - в исходном представлении происходит разделение переменных. Волновые функции факторизуются, перестают зависеть от т] и совпадают с Ф (3.14). При 6 = 0 зависимость интегралов движения от т) станомится полиномиальной; степень полинома определяется порядком интеграла.
