Введение к работе
Актуальность темы. Среди новых идей, появившихся в теоретической физике в последние два десятилетия, идея суперсим-.метрии оказалась одной из наиболее популярных и плодотворных. Впервые она была введенав теорию элементарных частиц в конце 1970-х годов независимо и примерно одновременно в работах Ю.Гольфанда, Е.Лихтмана, изучавших новые возможности объединения пространственных и внутренних симметрии, и Ж.Жерве, Б.Сакиты, в рамках дуальной струнной модели адро-нов, описываемой фермионными и бозонными полями на двумерной мировой струнной поверхности. Широкую известность среди теоретиков суперсимметрия приобрела после появления работ Л.Волкова, В.Акулова и Д.Весса, Б.Зумино, которые открыли перспективы использования идей суперсимметрии для решения целого ряда самых фундаментальных проблем квантовой теории поля. Термином "суперсимметрия" называют свойство инвариантности системы при преобразованиях, которые смешивают бозонные (коммутирующие) и фермионные (анти-коммутнрующие) степени свободы, описывающие эту систему. При этом вместо обычных алгебр Ли симметрия системы описывается так называемой супералгеброй (градуированной алгеброй), которая содержит не только коммутационные, но и антикоммутационные соотношения между элементами алгебры.
Среди причин необычайно широкого распространения идей и методов суперсимметрии в теоретической физике следует отметить как эстетические, так и прагматические. К первым нужно отнести очень красивый математический аппарат теории, который развивался и до, и после введения понятия суперсимметрии в физике для описания классических систем с коммутирующими и антикоммутирующими (грассмановыми) переменными и их квантования. С суперсимметрией связывают надежды на решение многих серьезных проблем теории элементарных частиц и, в конечном счете, на создание единой суперсимметричной теории всех фундаментальных взаимодействий, включая гравитационное. В супер симметричной теории впервые удается объединить в один мультиплет как поля материи (фермионы),
так и поля - переносчики взаимодействия (бозоны). Именно суперсимметрия позволяет, в принципе, преодолеть последствия известной "no-go"' теоремы и нетривиальным образом объединить пространственно-временную группу Пуанкаре и группу внутренней симметрии.
Свойство суперсимметрии, регулируя вклад бозонных и фер-мионных петлевых диаграмм, ведет к резкому сокращению, или даже уничтожению, ультрафиолетовых расходимостеи квантово-полевых моделей. Именно по этой причине идею суперсиммме-трии начали активно использовать для построения квантовой теории гравитации — супергравитации. Дальнейшее развитие супер симметрии связано с созданием различных моделей взаимодействующих суперструн, призванных реализовать единую теорию, объединяющую все известные фундаментальные взаимодействия элементарных частиц, в том числе, гравитационное. Несмотря на все вышеперечисленные теоретические достижения и даже экспериментальные поиски частиц-суперпартнеров, до сих пор не обнаружено прямых доказательств наличия суперсимметрии в физике элементарных частиц. Тем не менее, эстетическая привлекательность идеи суперсимметрии и уже полученные результаты побуждают не только продолжать поиск ее проявлений в физике элементарных частиц, но и развивать суперсимметричный подход в других областях теоретической и математической физики: в ядерной физике, в статистической физике, в акустике, в теории нелинейных дифференциальных уравнений.
Среди таких направлений использования идей суперсимметрии, не связанных непосредственно с физикой высоких энергий, нерелятивистская квантовая механика занимает особое место, т.к. именно здесь найдены многочисленные примеры суперсимметричных систем. В определенном смысле, именно в суперсимметричной квантовой механике дается положительный ответ на вопрос о существовании суперсішметріш в реальном мире.
Одномерная нерелятивистская модель, называемая суперсимметричной квантовой механикой (ССКМ), была предложе-
на Е.Виттеном в качестве модельной системы для исследова
ния механизмов спонтанного нарушения суперсимметрии, ко
торые чрезвычайно важны при попытках использовать супер-
симметрию в теории элементарных частиц. Именно в рамках
ССКМ был сформулирован и исследован известный критерий
Виттена спонтанного нарушения суперсимметрии, связанный с
числом нормируемых нуль-мод генераторов суперпреобразова
ний, которое, в свою очередь, определяется топологическими
свойствами суперпотенциала. Однако, ССКМ оказалась весь
ма полезной не только в качестве модельной системы для изуче
ния суперсимметричных моделей квантовой теории поля, но и
сама по себе для исследования различных моделей нереляти
вистской квантовой механики. z.-
Стандартная одномерная суперсимметричная квантова я.механика Виттена задается гамильтонианом системы Н, который будем называть супергамильтонианом, и парой взаимно сопряженных генераторов суперпреобразований Q*. Они должны удовлетворять градуированной алгебре ССКМ:
[#,(^1 = 0; {Q-,Q-} = #; (<Г)2 = 0, '/(1)
с нильпотентными (степени 2) дифференциальными операторами Q±, линейными по пространственным производным, и эрмитовым супергамильтонианом Н Шредиягеровского типа. Из этих соотношений следует, что супергамильтониан инвариантен относительно суперпреобразований, все его собственные значения неотрицательны, а все положительные собственные значения, по крайней мере, двукратно вырождены. Волновые функции, соответствующие одинаковым значениям: энергии, связаны друг с другом операторами Q± и принадлежат, соответственно, "бозонному" и "фермионному" секторам модели.
С помощью суперсимметричной квантовой механики исследовались различные проблемы, и среди них следует отметить классификацию одномерных гамильтонианов, спектры которых могут быть найдены алгебраически ("потенциалы инвариантной формы"), модифицированное квазиклассическое приближение, которое для ряда потенциалов позволяет получать точные
собственные значения энергии, другие приближенные методы, такие, как 1/ЛГ—разложение и вариационный метод.
Другое направление исследований в ССКМ, -которое уже упоминалось выше - спонтанное нарушение супер симметрии и топологические свойства ССКМ-моделей. Особое внимание уделяется индексу Виттена (Ліг = пв — пр, где пв,пр - число бозонных и фермионных собственных состояний с нулевой энергией супергамильтониана Н). который устойчив относительно непрерывных изменений суперпотенциала и других параметров модели, что позволяет вычислять его в простых моделях и затем использовать в более сложных. Полезным оказалось наблюдение, что индекс Виттена в ССКМ совпадает с индексом оператора Q~ : Aw — IndQ~ s dirnkerQ- — dimkerQ+. Оно позволило развить новый подход к доказательству и исследованию известной теоремы Атьи - Зингера об индексе с помошью континуального интеграла по коммутирующим и антикоммути-рующим переменным.
Цель диссертационной работы. Основная цель диссертационной работы состоит з разработке и развитии суперсимметричного метода анализа многомерных и многокомпонентных квантовомеханических систем, а также его обобщений, для исследования более широкого класса одномерных систем.
Практически, всем различным реализациям и обобщениям алгебры ССКМ свойственна одна общая черта: суперсимметрия квантово-механической системы означает, что в ней присутствуют две подсистемы, "бозонная" и "фермионная:\ спектры которых эквивалентны, а волновые функции выражаются друг через друга с помощью определенных дифференциальных операторов. Эквивалентными называются системы, спектры которых могут отличаться положением нескольких (часто одного) дискретных уровней энергии. Обе эти подсистемы могут иметь достаточно сложную внутреннюю структуру, что и про-являетсяв различных реализациях ССКМ. Таким образом, для ССКМ и ее обобщений характерно наличие нетривиальных ди-
намических связей между компонентами супергамильтониана. Обнаружение и анализ этих связей представляется одним из главных направлений исследований в ССКМ. Они, в частности, могут использоваться для построения новых модельных систем с известными свойствами, на базе которых можно развивать те или иные процедуры аппроксимаций. Скрытые динамические симметрии, соответствующие суперсимметрии, позволяют анализировать спектральные свойства систем, а также конструировать системы с заранее заданными свойствами. .Действительно, зная спектральные характеристики исходного гамильтониана, методом суперсимметрии можно строить семейства других гамильтонианов (суперпартнеров} с эквивалентными спектральными характеристиками.
Научная новизна. Основные результаты диссертации явля
ются оригинальными и получены впервые. *""
В одномерном пространстве методом суперсимметрии проведен анализ ряда новых эквивалентных квантовых систем:
предложена общая схема построения квантовых систем, обладающих обобщенной (полиномиальной) суперсимметрией с супергенераторами высших порядков по производным. Исследована роль индекса Виттена для таких систем, найдены следствия q - деформированной суперсимметричной алгебры для характеристик рассеяния:
исследован класс двухканальных систем с сильной связью каналов, допускающих диагонализацию методами ССКМ с матричным суперпотенциалом.
Разработан супер симметричный метод исследования квантово - механических систем с размерностью пространства d > 2:
построено двумерное обобщение метода факторизации и преобразования Дарбу, получено семейстьо изоспектралъных двумерных гамильтонианов и связь их собственных функций;
предложено обобщение преобразований Дарбу и метода факторизации для произвольной размерности пространства. Найден класс многомерных гамильтонианов с взаимосвязанными
спектрами и волновыми функциями;
-получена связь характеристик рассеяния для компонент суперсимметричного гамильтониана в трехмерном пространстве с 0(3) - инвариантным суперпотенциалом. Найдены следствия суперсимметрии нуклон-нуклонного и нуклон-антинуклонного рассеяния в приближении однопионного обмена;
построены двумерные суперсимметричные квантовые системы, обладающие операторами симметрии, получен явный вид этих операторов, а также исследован классический предел таких систем;
найден класс внешних электромагнитных и скалярных полей, для которых уравнение Паули со спином s=l/2 допускает диагонализацию методами двумерной суперсимметрпчной квантовой механики;
построен ряд новых двумерных квантовых моделей, обладающих парасуперсимметрией. В рамках парасуперполевого формализма найдены многомерные реализации алгебры пара-суперсимметрии для осцилляторного царасуперпотенциала.
Научная и практическая ценность. Представленные в диссертации суперсимметричные методы исследования нерелятивистских квантовых систем могут быть использованы для поиска динамических связей, обусловленных скрытыми или обобщенными симметриями между физическими характеристиками квантовых систем. Этот поиск необходим для разработки принципов отбора квантовых моделей, исследования их спектральных данных алгебраическими методами, для описания явлений, зависящих от глобальных свойств потенциалов в квантовом гамильтониане, для построения модельных систем с заданными свойствами, для разработки новых приближенных методов исследования в квантовой механике.
Апробация работы. Основные результаты диссертации в разные годы были представлены на :ессиях Отделения Ядерной физики АН СССР, на Международной конференции "Проблемы
квантовой теории поля и математической физики" в Либлице (Чехословакия), на Всесоюзном семинаре по суперсимметрии в Харькове (Украина), докладывались на научных семинарах Санкт-Петербургского государственного университета, Будапештского университета (Венгрия), Вроцлавского университета (Польша), Института Ядерной физики и Университета Болоньи (Италия). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Полный объем диссертации - 195 стр., список литературы включает 149 ссылок.
