Содержание к диссертации
Введение
1. Общая характеристика работы 4
1.1. Актуальность темы 4
1.2. Цель диссертации 5
1.3. Методика исследования 6
1.4. Научная новизна 6
1.5. Практическая и теоретическая ценность б
1.6. Апробация работы 6
1.7. Публикации 7
1.8. Структура и объем работы 7
2. Содержание работы 7
Глава 1. Предварительная 18
1. Многомерный логарифмический вычет 18
2. Алгоритмы исключения неизвестных 25
2.1. Классическая схема исключения неизвестных 25
2.2. Метод исключения неизвестных, основанный на формуле многомерного логарифмического вычета 27
3. Система компьютерной алгебры МАТЕМАТИКА 30
Глава 2. Формулы для нахождения степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений 38
4. Постановка задачи 38
5. Нахождение степенных сумм корней систем трансцендентных уравнений 42
6. Рекуррентные формулы Ньютона для трансцендентных функций одного комплексного переменного 52
7. Исключение неизвестных из систем мероморфных функций 59
8. Нахождение сумм некоторых кратных рядов 61
Глава 3. Компьютерная реализация полученных алгоритмов 65
9. Компьютерная реализация для систем с выделенной младшей однородной частью 65
9.1. Алгоритм 65
9.2. Описание программы 66
9.3. Примеры 67
10. Компьютерная реализация для систем трансцендентных функций с младшей однородной частью треугольного вида 71
10.1. Алгоритм 71
10.2. Описание программы 73
10.3. Примеры 74
11. Компьютерная реализация метода исключения переменных 75
Литература
- Практическая и теоретическая ценность
- Классическая схема исключения неизвестных
- Рекуррентные формулы Ньютона для трансцендентных функций одного комплексного переменного
- Компьютерная реализация для систем трансцендентных функций с младшей однородной частью треугольного вида
Введение к работе
1.1. Актуальность темы.
Алгоритмы нахождения степенных сумм корней систем нелинейных уравнений основываются на формуле многомерного логарифмического вычета. Эта формула дает интегральное представление для таких степенных сумм. Интеграл в ней вычисляется по циклам (остовам аналитических полиэдров) действительной размерности п. Для алгебраических отображений известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты полиномов, входящих в систему.
На основе этих формул Л.А.Айзенбергом (1973) был предложен модифицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений, развитый затем в монографии В.И.Быкова, А.М.Кытманова и М.З.Лазмана (1991). Но эти формулы настолько сложны, что практически (без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже для простых систем. Особенно для систем, содержащих параметры. Первые попытки создания таких алгоритмов (и их компьютерная реализация) для систем с выделенной главной частью, треугольных систем были даны в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, Т.А.Осетровой. Для невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самых общих алгебраических систем) такие разработки были осуществлены в диссертации З.Е.Потаповой (2004).
Для систем трансцендентных уравнений таких формул и алгоритмов известно не было. Это связано с тем, что системы трансцендентных функций, как правило, имеют бесконечное число корней и, тогда степенные суммы корней (в положительной степени) являются расходящимися рядами. Поэтому целесообразно рассмотреть степенные суммы корней в отрицательных степенях (т.е. степенные суммы от величин, обратных корням системы). К этим степенным суммам напрямую не применима формула логарифмического вычета, она нуждается в дополнительном обосновании. Более того, для систем трансцендентных функций не был разработан алгоритм исключения неизвестных. Заметим также, что попытки замены функций в системе отрезками ряда Тейлора (т.е. сведение к полиномам) не могут привести к хорошим результатам. Например, функция ez не имеет нулей, а любой отрезок ряда Тейлора нули имеет.
Практическая и теоретическая ценность
Если f(z) — мероморфная функция порядка р и /(0) ф 0, со, то справедливо аналогичное разложение Адамара. А именно, f(z) = e т u{zY где ад = Пвй4 иМ = п й4 Данные разложения сходятся абсолютно и равномерно в С, целые числа р, q р, степень многочлена Q не превосходит р, а числа Ьп являются полюсами мероморфной функции /. Для мероморфной функции / обозначим через S& сумму ряда Sk = 2_, 7к 1 Th и=1 Ьп Как известно, данный ряд сходится, если к max(p, д) и, следовательно, если к р. Для мероморфной функции справедлива теорема 6.4, аналогичная теореме 6.3.
В конце параграфа приводятся аналоги формул Варинга для целых и мероморфных функций. В седьмом параграфе описывается метод исключения неизвестных из систем (0.3) трансцендентных функций вида (0.5).
Зафиксируем мультииндекс 0. Поскольку в ряде для тр+і знак Є\ равен ±1, то этот ряд представляется в виде где Uj есть произведение координат корня zy) вида 1(0 2(1) Zn(l) в который входит четное число функций /js , a ujj есть произведение того же вида, в которое входит нечетное число функций п/. Конечно, нумерация ТК"ГТИЙ , I JS корней отличается от нумерации чисел Uj и Wj. Определим бесконечные произведения -пН). ««-п(і-а В этих бесконечных произведениях не исключаются случаи, когда одно из данных произведений конечно или вообще отсутствует.
Отношение этих функций определяет тогда мероморфную функцию одного комплексного переменного раї = У&
Нулями и полюсами данной функции являются числа щ и Wj соответственно. Рассмотрим для мероморфной функции F(i) степенные суммы вида ОО - ОО .. Тогда очевидно, что s\ = ?p+j, а остальные степенные суммы $к — &0(к)+1, где мультииндекс ${k) = ((/За 4- l)fc - 1, (/ + l)fc - 1,..., (0„ + l)fc - 1). По теореме 5.3 можно найти все эти степенные суммы, не находя самих корней системы (0.3). Остается найти саму мероморфную функцию F(t). Поскольку F(0) = 1, то разложение данной функции по формуле Тейлора в окрестности нуля можно записать в виде F o =l+ЕCkt"
Для нахождения коэффициентов 1 можно применить рекуррентные формулы Ньютона из теорем 6,3, 6.4 или формулы Варинга. В этих формулах р = 0, а все qj = 0. Таким образом производится исключение неизвестных из системы (0,3) относительно переменной t = Zi 2 zf"+1 (теорема 7.1). В восьмом параграфе, используя теоремы 5.1 и 5.3, находятся суммы некоторых тройных рядов. В качестве примера приведем один из результатов. СЛЕДСТВИЕ 8.1. Справедлива формула 7Г6 Е k2(k2 + m2)(k2 + m2 + s2) 1296 Похожие ряды рассмотрены в статье Н.Н.Осипова [15].
Третья глава содержит алгоритмы, основанные на результатах второй главы, и их компьютерную реализацию в системе МАТЕМАТИКА. В 9 приводится компьютерная реализация формул, рассмотренных в теоремах 1.4 и 1.5 из статьи [13]. Написанная программа позволяет рассматривать системы алгебраических уравнений с буквенными коэффициентами, в отличие от программы, приведенной в [16]. Приведены примеры систем уравнений, демонстрирующие работу данной программы.
В десятом параграфе приводится алгоритм вычисления степенных сумм, основанный на теоремах 5.1 - 5.3. Он заключается в следующем. 1. Задаем систему трансцендентных функций /і(г), /2(2), fn{z) из 5, имеющих вид: где 03 = (0l) — мультииндекс с целыми неотрицательными координатами. 2. Формируем множество мультииндексов (QI, ..., ап) из параллелепипеда М, определяемого неравенствами: М = {a =( ,..., ):0 01 11 11+n)0 a2 A + Ii(P+n + l))..., 0 /3 + . -2+1)+ -1 -2( -3 + 1) + ...+ -1--- (1 11+ + 1)}. 3. Находим в параллелепипеде М наибольшие значения aj по рекуррентной формуле а\ = /3 + n, aj = pj-% + lj-\(aj_i + 1). Используя найденные значения, находим максимальную степень знаменателя в формуле из теоремы
Классическая схема исключения неизвестных
Чистую функцию легко превратить в именованную: для этого достаточно сделать присвоение символу, который в дальнейшем будет служить ее именем. newcube — Function[{x},x 3 ] newcube[y] = у3.
Существует более компактная и удобная форма представления чистой функции, которую называют анонимной функцией. В анонимных функциях вместо связанных переменных используются специальные выражения с заголовком Slot, имеющий вид #, #1 и т.д. При этом для функции одной переменной используется #, а в функциях нескольких переменных первый аргумент обозначается #1, второй — #2 и т.д. В конце анонимной функции ставится знак &. Например, функция newcube, переписанная в форме анонимной функции, выглядит как #Л3&.
Рассмотрим в качестве примера функцию Jacob, которая по данным п функциям f і, f 2,..., fв от п переменных xi, Х2,..., хп вычисляет их якобиан: jacob[f_,xJ :=0pr[D[#i,#2]M,x] здесь подчеркивание означает, что f их есть переменные. В этом определении под f понимается список функций, а под х — список независимых переменных, являющихся аргументами функций из списка f. В анонимной функции D[#l, #2]& при ее вычислении на место первого аргумента #1 подставляется функция, на место второго аргумента #2 — независимая переменная в соответствии с определением функции Орг. jacob[{f[x, у],д[х, у]}, {х, y}]//MatrixForm = /(1 у] /«".«[я, у] д [х,у] g W[x,y] Во входном формате пакета МАТЕМАТИКА возможны три вида представления функции. Стандартная или префиксная форма используется для любого количества независимых переменных. В этом случае имя функции ставится впереди аргументов f[x,y] или fu{x,y], например, Л{я_, 2/_, О] = з? + У2 + \ /Щх, у, z].
Постфиксная форма, когда аргумент ставится впереди функции x//f, используется только для функции одной переменной,например, F[x_]:=x3;x//F. Инфиксная форма используется только для функции двух аргументов. Имя функции располагается между этими аргументами х / у, например, д[х, у] := Ехр[а: - у]\ х у z.
Процедурный стиль программирования характеризуется тем, что программа состоит из определенных блоков, имеющих глобальные и локальные переменные, имеет разветвления, управляется логическими условиями и выполняется в виде отдельных процедур. Процедуры задаются своим именем и связаны с выполнением некоторой последовательности операций, отделяемых друг от друга точкой с запятой. Для создания более совершенных процедур можно использовать блочную структуру: Block[{х,у,. . .},procedure] и Module[{x,y,. . .},ехрг]. Здесь в фигурных скобках указаны локальные переменные, используемые в процедуре. Оператор В1оск[{х,у,...},ргос] вычисляет процедуру ргос, объявляя значения переменных в фигурных скобках локальными внутри блока. После выхода из блока локальные переменные восстанавливают свои значения, например, z = l;Block[{z — 5},z],Block[{z},z] получим {5,1}. Аналогичным свойством обладает функция Module[{x,y,...}, ехрг]. Она вы числяет программу ехрг, создавая свои локальные временные переменные с именами вида х$п, у$п,..., где п - номер переменной. При вычислении про граммы ехрг, входящие в него локальные переменные {х,у,...} заменяются временными переменными х$п,у$п, Эти переменные каждый раз увели чивают свой номер п на единицу при очередном использовании Module[]. На пример, // = .; У = //; Module[{ff},ff = 7; ff y}; получим! ff. отделяет одну команду от другой, знак =. - отменяет предыдущее значение, присвоенное переменной. Оператор With[{x = хО, у = уО,...}, ехрг] вычисляет выражение ехрг, заменяя в нем символы {х,у,...} на {хО,уО,...}. Причем {хО,уО,...} могут представлять собой как символы так и числовые значения - локальные постоянные.
Циклически выполняющиеся процедуры осуществляются несколькими операторами. Оператор Do[expr, {і, imin, imax, d}] создает цикл вычисления ехрг по локальной переменной і от значения imin до imax с шагом d, причем шаг может быть отрицательным числом. Например, 6:=0; Do[b=b + j2,{j,l,5},b]}. Если нужно получить промежуточную информацию внутри цикла, используют команду Print[]. Возврат значений из цикла можно получить с помощью оператора выхода Return
Рекуррентные формулы Ньютона для трансцендентных функций одного комплексного переменного
Пусть f(z) — целая функция на комплексной плоскости С конечного порядка роста р 0. Предположим, что /(0) 0и что ап (п = 1,2,...) — нули этой функции и их число бесконечно. Хорошо известна следующая теорема Адамара (см., например, [18, с. 259]) ТЕОРЕМА 6.1. Справедливо разложение f{z) = eQ h(z) - е г Д Е (—,р\ , (2.14) п=1 " которое сходится равномерно и абсолютно на плоскости С. Где E(w,p) = (l-w)ew+!+-+1 — первичный множитель, р р и степень многочлена Q не превосходит р.
Если число нулей функции / конечно, то фактически это представление сводится к произведению множителя е на полином. Для полиномов формулы Ньютона хорошо известны. Наша цель — рассмотреть более сложные случаи.
Функция h(z) является каноническим произведением первичных множителей Е [ —,р ) и целое число р называется родом этого произведения. Числовой ряд У абсолютно сходится при к р, а значит и при к р (см, например, [18, с. 258]). На самом деле р р\ р, где р\ — показатель сходимости целой функции / (см. [18, с. 258]). Если р не целое, то р\ — р и р = [р] = [pi] (см. [18, с. 258-260]), где \р\ — целая часть числа р. Если р\ — целое, то р равно либо pi, либо р\ — 1.
В дальнейшем сумму ряда (2.15) будем обозначать через s , тогда числа s являются степенными суммами нулей функции / в отрицательной степени. Если f(z) — мероморфная функция порядка р и /(0) ф 0, со, то справедлива аналогичная теорема Адамара (см., например, [18, с. 292]). А именно, ТЕОРЕМА 6.2. Справедливо разложение f{z)=eQ( m (2Л6) м ФУ где оо / ч оо , ч n=l V"" / „=1 Ч" Данные разложения сходятся абсолютно и равномерно в С, целые числа p,q р, степень многочлена Q не превосходит р, а числа Ьп являются полюсами мероморфной функции f. Для мероморфной функции / обозначим через s . сумму ряда 1_ я=1 " П=1 П
Как известно, данный ряд сходится, если k max(p, q) и, следовательно, если к р. Заметим, что если р ф q, то ряд из степеней обратных величин нулей может сходится, а ряд из степеней обратных величин полюсов может расходится для одной и той же степени.
Цель параграфа является получение рекуррентных формул Ньютона, связывающих степенные суммы корней (и полюсов) Sfc с коэффициентами Тейлора разложения функции / в точке 0, т.е. с коэффициентами разложения вида
Вернемся к многомерным системам, удовлетворяющим условиям теорем 5.2 и 5.3.
Зафиксируем мультииндекс J3. Поскольку в ряде для 7g+i знак Єї .равен ±1, то этот ряд представляется в виде оо 1 1 -.- - Щ г-! vjj где щ есть произведение координат корня 2(j) вида Zl{l) Z2{1) Zn(l) в который входит четное число функций /-s , a Wj есть произведение того же вида, в которое входит нечетное число функций fj/. Конечно, нумерация корней отличается от нумерации чисел щ и Wj. Из условия, наложенного на ряд (??), следует, что ряды оо - оо также сходятся. Определим бесконечные произведения
В этих бесконечных произведениях не исключаются случаи, когда одно из данных произведений конечно или вообще отсутствует.
В силу условия, наложенного на ряды (2.22), данные произведения сходятся абсолютно и равномерно на комплексной плоскости, поэтому они определяют целые функции. Отношение этих функций определяет тогда меро-морфную функцию одного комплексного переменного
Рассмотрим для мероморфной функции F{z) степенные суммы вида Тогда очевидно, что sj = &p+i, а остальные степенные суммы где мультииндекс р(к) = ((& + \)к - 1, (/ + 1)& - 1,..., (А, + \)к - 1). По теореме 5.3 можно найти все эти степенные суммы, не находя самих корней системы (2.6) с функциями вида (2.12).
Остается найти саму мероморфную функцию F(z). Поскольку F(0) = 1, то разложение данной функции по формуле Тейлора в окрестности нуля можно записать в виде F{z) = l + 2ckzk. (2.23)
Для нахождения коэффициентов с , можно применить рекуррентные формулы Ньютона для мероморфных функций из теоремы 6.4 или формулы Ва-ринга из следствия 6.1. В этих формулах р = О, а все qj = 0. Таким образом доказано утверждение ТЕОРЕМА 7.1. По теореме 5.3 для системы (2.6) с функциями вида (2.12) находятся степенные суммы Sk- Затем по формулам (2.19) находятся коэффициенты Тейлора мероморфной функции (2.23). Корнями и полюсами полученной мероморфной функции являются выражения корней системы (2.6) вида zf}p z nt А , тем самым произведено исключение неизвестных из системы (2.6).
Компьютерная реализация для систем трансцендентных функций с младшей однородной частью треугольного вида
Алгоритмы нахождения степенных сумм корней систем нелинейных уравнений основываются на формуле многомерного логарифмического вычета (см., например, [2, 19, 20]). Эта формула дает интегральное представление для таких степенных сумм. Интеграл в ней вычисляется по циклам (остовам аналитических полиэдров) действительной размерности п. Для алгебраических отображений известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты полиномов, входящих в систему (см., например, [2, 5, 19, 23]).
На основе этих формул Л.А.Айзенбергом [1] был предложен модифицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений, развитый затем в [5, 23]. Но эти формулы настолько сложны, что практически (без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже для простых систем. Особенно для систем, содержащих параметры. Первые попытки создания таких алгоритмов (и их компьютерная реализация) для систем с выделенной главной частью, треугольных систем были даны в работах В.И.Быкова, А.М.Кытманова, М.З.Лазмана, ТА.Осетровой [4-7, 23]. Для невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самых общих алгебраических систем) такие разработки были осуществлены в [8,16].
Для систем трансцендентных уравнений таких формул и алгоритмов известно не было. Это связано с тем, что системы трансцендентных функций, как правило, имеют бесконечное число корней и, тогда степенные суммы корней (в положительной степени) являются расходящимися рядами. Поэтому целесообразно рассмотреть степенные суммы корней в отрицательных степенях (т.е. степенные суммы от величин, обратных корням системы). К этим степенным суммам напрямую не применима формула логарифмического вычета, она нуждается в дополнительном обосновании. Более того, для систем трансцендентных функций не был разработан алгоритм исключения неизвестных. Заметим также, что попытки замены функций в системе отрезками ряда Тейлора (т.е. сведение к полиномам) не могут привести к хорошим результатам. Например, функция е не имеет нулей, а любой отрезок ряда Тейлора нули имеет.
Содержание диссертации также связано с активно развивающимся в последнее время новым направлением в вычислительной математике — компьютерной алгеброй, лежащей на стыке алгебры, математического анализа и программирования. Многие нелинейные задачи в приложениях характеризуются множественностью стационарных состояний. Эти проблемы инициируют появление новых теоретических результатов в области анализа систем нелинейных уравнений. Внедрение в практику научных исследований различных систем аналитических преобразований на ЭВМ сделало работоспособными достаточно сложные алгоритмы теории исключения.
Нелинейные системы уравнений возникают в различных областях науки. В частности, в процессах, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в заданных областях и их локализации. Эта проблема приводит к задачам компьютерной алгебры: построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных областях, определения самих корней, исключения части неизвестных из системы. Такие вопросы, естественно, требуют развития методов работы с аналитическими выражениями на ЭВМ. В частности в монографиях [5, 23] приведены многочисленные примеры из химической кинетики, где работают алгоритмы вычисления многомерного логарифмического вычета.
