Введение к работе
Актуальность работы определяется тем, что в ней исследуются задачи нахождения свойств волнопроводящих сред посредством зондирования этих сред с помощью наблюдаемых волновых полей. Если в сравнительно недавнем прошлом большинство подобных задач представлялось безнадежным с точки зрения объема необходимых вычислений, то в настоящее время в связи с бурным развитием вычислительной техники многие важные для приложений задачи допускают применение численных методов. В связи с этим особую актуальность приобретают принципиальные теоретические исследования того, какая именно информация о среде может быть извлечена с помощью произведенных измерений, достаточны ли они для определения всех коэффициентов дифференциальных уравнений, отвечающих за распространение волн и если достаточны, то каковы методы их нахождения. Если недостаточны, то что надо знать дополнительно о среде? Не являются ли результаты измерений внут-
ренне противоречивыми в рамках принятой математической модели, иными словами, справедлива ли теорема существования? Нарушение теоремы существования - признак неприменимости выбранной математической модели (например, рассмотренный в работе случай предположения о слоистости среды).
Освещение затронутых выше вопросов в разнообразных конкретных ситуациях и составляет содержание работы. Излишне говорить об их важности для приложений, в числе которых геофизика, акустика, теория упругости, электродинамика.
Новизна. Все содержащиеся в работе результаты впервые получены ее автором. К ним относятся: метод нелинейных вольтеровских уравнений для решения одномерных обратных задач; явное решение одномерной обратной задачи в случае специальных данных обратной задачи и его связь с нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями; решение задачи определения двух коэффициентов в гиперболической системе первого порядка (или в струне с затуханием, но при нефизической постановке задачи); задача восстановления свойств мембраны, находящейся в акустической среде; исследован ряд постановок обратных задач для уравнения акустики в слоистой среде, в частности, показано, что при решении обратной задачи методом моментов одно из возникающих при этом интегральных уравнений допускает явное решение в квадратурах; рассмотрена задача восстановления произвольного эллиптического оператора с коэффициентами, зависящими от одной пространственной переменной как в случае задачи в полупространстве, так и в ситуации задачи рассеяния, в частности, доказано, что несмотря на переопределенность задачи однозначное восстановление оператора невозможно, полностью описана информация об операторе, могущая быть получена при решении обратной задачи; решена обратная задача приближенного восстановления характеристик случайной среды, если среда по своим свойствам мало отличается от детерминированной в ситуациях а) одномерной среды, б) слоисто-неоднородной среды, в) однородной среды, возмущаемой произвольной малой случайной добавкой; построено полное решение обратной задачи Лэмба для уравнений упругости в случае слоистой среды; построена конструкция решения обратной задачи распространения акустических волн в одномерной и слоистой движущихся средах; построены интегральные уравне-
ния для решения одномерной обратной задачи восстановления части коэффициентов в гиперболической системе первого порядка при известных остальных; построен метод восстановления в уравнении коэффициента, зависящего от конечного набора неизвестных функций, по данным о нормальных волнах в волноводе; исследован ряд задач интегральной геометрии, тесно связанной с теорией обратных задач, речь идет в основном об обращении преобразования Радона по неполным данным, при априорных ограничениях на носитель искомой функции, в рассмотренных ситуациях оператор задачи удается диагонализировать.
Апробация и публикации.
Все основные результаты диссертации опубликованы в печати (список из 23 названий прилагается), докладывались на международных, всесоюзных и всероссийских конференциях, общегородском семинаре им. В.И. Смирнова Санкт-Петербурга по математической физики, городском семинаре по дифракции.
Структура диссертации.
