Содержание к диссертации
Введение
1 Основные сведения о непрерывном вейвлет-преобразовании 13
1.1 Об истории вейвлет-преобразования 13
1.2 Некоторые сведения из теории групп 18
1.3 Разложение по представлениям аффинной группы 20
1.4 Спектральная форма вейвлет-преобразования 23
1.5 Анализ локальной регулярности 24
1.6 Дуальные вейвлеты 25
2 Случайные процессы и квантовая теория поля 27
2.1 Квантовая теория поля как задача функционального анализа . 27
2.2 Случайные процессы и СДУ 30
2.3 Квантовая механика 37
2.4 Квантовая теория поля как задача статистической механики . 39
2.5 Сингулярности и перенормировка 41
2.6 Применение квантовополевых методов для описания классических систем с большим числом степеней свободы 48
3 Многомасштабные случайные процессы 53
3.1 Самоподобие и зависимость от масштаба 53
3.2 Вейвлет-преобразование случайных функций 59
3.2.1 Случайные вейвлет-коэффициенты 60
3.2.2 Распределение энергии по масштабам 62
3.2.3 Дельта-коррелированные процессы 64
3.3 Многомасштабная стохастическая динамика 66
3.3.1 Уравнение Ланжевена 66
3.3.2 Итерационное решение стохастических уравнений 67
3.3.3 Уравнение КПЗ с масштабно-зависимой случайной силой . 71
3.3.4 Накачка с некоррелированными масштабными компонентами 73
3.3.5 Накачка на фиксированном масштабе 76
3.4 Непрерывное вейвлет-преобразование в стохастической гидродинамике 79
3.4.1 О многомасштабном описании турбулентности 79
3.4.2 Многомасштабное разложение уравнений Навье-Стокса с помощью непрерывного вейвлет-преобразования 80
3.4.3 Стохастическая гидродинамика с многомасштабной силой . 86
3.4.4 Диссипация и передача энергии по масштабам 94
3.4.5 Гипотезы Колмогорова 98
3.4.6 Заключительные замечания о многомасштабной теории турбулентности 101
4 Стохастическое квантование 103
4.1 О методе стохастического квантования 103
4.2 Операторный формализм Намики и Ямонака 105
4.3 Стохастическое квантование и теория возмущений 106
4.4 Многомасштабное стохастическое квантование 109
4.5 Поля Янга-Миллса ИЗ
5 Квантовая механика иерархических систем 117
5.1 Иерархические системы и квантовая информация 117
5.2 Квантовое измерение 118
5.3 Волновая функция и матрица плотности иерархических систем . 121
6 Вейвлеты и устранение расходимостей в теории поля 129
6.1 Ультрафиолетовые расходимости 129
6.2 Теория ф4 132
6.3 Коммутационные соотношения для многомасштабных полей . 138
7 Многомасштабные разложения и р-адическая теория поля 141
7.1 Геометрия и числовые поля в физике 141
7.2 Архимедовы и неархимедовы нормы в математической физике . 142
7.3 Поле р-адических чисел 143
7.4 р-адическая квантовая теория поля 146
7.4.1 р-Адическая теория поля и евклидова теория поля 146
7.4.2 Геометрический подход к р-адической теории поля 148
7.5 О возможной связи неархимедовой геометрии с анизотропией реликтового излучения " 154
7.5.1 Фрактальная геометрия распределения массы во Вселенной 154
7.5.2 Дискретные симметрии и квантовая гравитация 155
7.5.3 Дискретные симметрии как возможная причина анизотропии реликтового излучения 157
7.6 р-Адическое вейвлет-преобразование 160
7.6.1 Непрерывное вейвлет-преобразование над Qp 160
7.6.2 р-адическое вейвлет-преобразование с вейвлетом Хаара . 164
8 Некоторые прилонсения вейвлетов к биологии и анализу данных 167
8.1 О биологических приложения вейвлетов 167
8.1.1 Многомасштабные разложения и первичная структура ДНК 167
8.1.2 Цветовые карты вейвлет-коэффициентов как инструмент исследования первичной структуры нуклеотидных последовательностей 170
8.1.3 Дальние корреляции в первичной структуре нуклеотидных последовательностей 172
8.2 Применение вейвлетов для разделения гауссовых пиков 181
8.2.1 Проблема разделения близколежащих пиков в ядерных экспериментах 181
8.2.2 Вейвлет-преобразование гауссовых пиков 183
8.2.3 Распределение с одним гауссовым пиком 184
8.2.4 Распределение с двумя гауссовыми пиками 185
8.2.5 Применение вейвлет-преобразования к калибровке пластиковых сцинтилляторов в эксперименте NEMO 186
Заключение 195
А Приложения 217
- Разложение по представлениям аффинной группы
- Применение квантовополевых методов для описания классических систем с большим числом степеней свободы
- Многомасштабное разложение уравнений Навье-Стокса с помощью непрерывного вейвлет-преобразования
- Волновая функция и матрица плотности иерархических систем
Введение к работе
Многомасштабные разложения широко используются во всех разделах теоретической физики - везде, где решение физической задачи не сводится к монохроматической волне или к устойчивому стационарному решению. В простейшем случае многомасштабность появляется уже в классической механике, когда решение системы гамильтоновых уравнений приводит к спектру из нескольких отличных друг от друга собственных частот. Для линейных систем это приводит к разложению решения в сумму гармонических компонент и(х) = fc с е ь; для нелинейных систем взаимодействие гармонических компонент между собой приводит к сложным интерференционным эффектам и вызывает стохастическое поведение.
При описании реальных физических, биологических, экономических и других систем с достаточно большим числом степеней свободы точное описание всех нелинейных взаимодействий, как правило, не возможно. Это приводит к необходимости перехода от детерминистического описания процессов с помощью дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) к описанию в рамках стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), в которых неизвестные взаимодействия системы с флуктуирующей средой и сложные нелинейные эффекты взаимодействия внутренних степеней свободы описываются с помощью случайных сил. Такое описание характерно как для классических нелинейных диссипативных систем - например, гидродинамической турбулентности, - так и для задач квантовой теории поля (КТП), в которых выполняется закон сохранения энергии, однако необходимость интегрирования по всем конечным квантовым состояниям, обусловленная вероятностной сущностью квантовой механики, приводит к эквивалентности квантовополевой задачи описанию некоторого случайного процесса в пространстве большей размерности [127, 74, 226].
Простым, однако весьма специфическим случаем применения многомасштабного разложения является разложение в ряд Фурье, однако, его использование для нелинейных систем весьма ограниченно. Разложение в ряд (или инте грал) Фурье представляет собой разложение по представлениям группы сдвигов G : х = х + Ь, следовательно, его применение полностью оправдано лишь в случае, когда сама физическая система однородна, т.е. инвариантна относительно сдвигов. Во всех остальных случаях приходится применять различные дополнительные приемы: разложение по малому параметру, методы ренормализационной группы (РГ), вейвлет-разложение.
Одной из целей данной диссертационной работы является унификация многомасштабных методов, применяемых в стохастических задачах и теории поля, на общей основе. Этой основой служит разложение по представлениям аффинной группы G:x = ax + b, x,beRd,a eR+®SO{d), где d-размерность евклидова пространства, известное как непрерывное вейвлет-преобразование, или вейвлет-анализ.
Несмотря на огромное число статей и монографий посвященных применению вейвлет-преобразования к анализу сигналов и экспериментальных данных, численному решению дифференциальных уравнений и численному моделированию случайных процессов, использование вейвлет-преобразования для аналитического описания нелинейных систем и квантовополевых моделей пока не нашло широкого применения. В связи с этим, важное значение приобретает вопрос о связи вейвлет-методов с методами РГ, нашедшими самое широкое практическое применив в квантовополевых и нелинейных задачах, но часто подвергаемых сомнениям, как не имеющих ясной физической основы, а представляющих лишь математический способ устранения расходимостей.
Работа построена по следующему плану. Глава 1 содержит краткий исторический обзор развития многомасштабных методов, связанных с вейвлетами. Здесь описаны основные идеи метода вейвлет-преобразования и физические задачи, в которых эти методы нашли успешное применение. Глава 2 посвящена связи между теорией случайных процессов и квантовой теорией поля. В главе 3 вводится понятие многомасштабного случайного процесса, обобщающее обычное понятие вейвлет-преобразования случайных процессов. Параграф 3.3 этой главы посвящен применению многомасштабных случайных процессов для решения стохастических дифференциальных уравнений ланжевеновского типа, в частности, их применению к задаче о динамике границы раздела фаз во флуктуирующей среде; в параграфе 3.4 многомасштабные методы решения стохастических уравнений применяются к стохастическому уравнению Навье-Стокса. В главе 4, на основе разработанной концепции многомасштабных случайных процессов, вводится многомасштабная процедура стохастического квантования, основанная на вейвлет-преобразовании. Глава 5 посвящена обобщению идей вейвлет-анализа на квантовые иерархические системы. В главе 6 исследуется возможность построения евклидовой теории поля на аффинной группе, вместо обычно используемой группы трансляций. Показано, что при соответствующей зависимости константы связи от масштаба, являющегося координатой на аффинной группе, расходимости в такой теории не возникают. Глава 7 посвящена связи многомасштабной теории поля и дискретной геометрии, прежде всего р-адической, используемой в космологических моделях. Глава 8 посвящена некоторым приложениям непрерывного вейвлет-преобразования, опубликованным в работах автора, к анализу экспериментальных данных, имеющих тот или иной элемент случайности. В Заключении приводятся основные результаты, выносимые на защиту. В Приложение вынесены некоторые детали вычислений.
Разложение по представлениям аффинной группы
Слова вейвлет и вейвлет-разложение были введены французским математиком Ж. Морле сравнительно недавно, в начале 80-х годов прошлого века. В первых работах Гроссмана и Морле рассматривалось применение вейвлетов для анализа геофизических сигналов в нефте- и газо-разведке [119, 80]. С математической точки зрения вейвлет-разложение представляет собой разложение квадратично интегрируемой функции по представлением группы масштабных преобразований х1 = ax+b [118, 228]. С этой точки зрения можно сказать, что прототип вейвлет-преобразования использовался уже в начале прошлого века в работах по квантовой механике и квантовой оптике - в работах Вейля, Гейзенберга и Клаудера. Само же слово вейвлет связано лишь с конкретным видом базисной функции, использованной в первых геофизических работах, и напоминавшей маленькую уединенную волну на поверхности воды - les ondelletes. К настоящему времени вейвлет-преобразование является наиболее часто используемой и эффективной техникой анализа сигналов и изображений, наиболее предпочтительной альтернативой преобразованию Фурье, особенно в случаях, когда исследуемые поля и сигналы представляют собой сумму флуктуации различных масштабов.
Преимущества вейвлет-преобразования, которые проложили путь к широкому практическому применению вейвлетов [118, 228] в теоретическую и математическую физику, были очевидны уже Д. Габору [67], построившему оконное для локального спектрального анализа сигналов в радиолокации. Локальность оконного преобразования Фурье обеспечивается быстро спадающей оконной функцией д(х) — 0. Несмотря на несомненные практические преимущества, в сравнении с обычным преобразованием Фурье, сама идея ОПФ страдает серьезным недостатком: преобразование (1.1) плохо различает гармоники с длинной волны превосходящей ширину окна функции д(х). В обратном же случае, когда имеется короткий сигнал содержащий высокочастотные компоненты, требуется большая ширина окна и, следовательно, большее число осцилляции исследуемого сигнала внутри окна. В этом случае, когда сигнал содержит значительное число гармоник с соизмеримыми амплитудами, численная процедура восстановления сигнала из габоровского разложения становится неустойчивой.
Для решения проблемы требуется такое разложение, при котором низкочастотные сигналы будут анализироваться функцией с широким носителем (окном), а высокочастотные - функцией с узким носителем. Разложение, удовлетворяющее этим требованиям было независимо предложено несколькими авторами в начале 1980-х годов [118, 228]. Вслед за первыми работами появился большой поток различных приложений, а построенное преобразование получило название вейвлет-преобразования. Позднее техника вейвлет-преобразования была развита Гроссманом и Морле, Гоппило, Добеши и другими авторами [80, 75, 50].
С технической точки зрения, вейвлет-разложение представляет собой набор сверток исследуемого сигнала с одной и той же анализирующей функцией, но -в отличие от ОПФ - сдвинутой (г) и растянутой (а):
Как выяснилось, преобразования такого типа уже давно применялись в математической физике: они представляют собой разложение функции f(x) по представлениям аффинной группы х — ах+b. Такое разложение использовалось уже в начале XX века Г. Вейлем в квантовой механике [181].
Мощь и красота вейвлет-преобразования проявляются в применении к фрактальным и самоподобным объектам. Это не удивительно. При применении любого функционального преобразования к физическим задачам, наилучшие результаты достигаются именно тогда, когда свойства симметрии задачи совпадают или близки к свойствам к симметрии применяемого преобразования. Именно по этой причине преобразование Фурье наилучшим образом работает именно для однородных - инвариантных по отношению к сдвигам - задач, а разложение по сферическим функциям применимо для задач со сферической симметрией; но никак не наоборот.
С появлением первых работ, связанных с вейвлет-преобразованием, значительное внимание уделялось вейвлет-разложению случайных процессов, таких как турбулентность и броуновское движение. Практически невозможно перечислить все работы по данной тематике; значительная часть первых работ в этом направлении, прежде всего связанных с физикой турбулентности, приведена в монографии [135]. Регулярное введение в применение вейвлет-разложения для описания турбулентности можно найти в работах [57, 159]. Некоторые интересные результаты применения вейвлет-преобразования в физике атмосферы и океана приведены в [199], Вероятностные аспекты вейвлет-преобразования рассматривались в работах [172,173, 90,13, 45, 109], а также во многих других работах, связанных с анализом турбулентных сигналов в гидродинамике и геофизике.
К теоретико-полевым работам, несмотря на известную связь между евклидовой теорией поля и теорией случайных процессов, непрерывное вейвлет-преобразо-вание фактически не применялось, за исключением работ связанных с численным моделированием полевых моделей [82, 36], попыток использовать дискретное вейвлет-преобразование в теории калибровочных полей [58] и кластерных разложений с использованием дискретного вейвлет-преобразования [31]. В связи с исследованием свойств мультифрагментации в ядерных взаимодействиях, вей-влеты также применялись к анализу множественного рождения частиц в ядерных экспериментах [2, 208, 209].
В течение последних 10 лет автором предпринимались попытки использовать вейвлет-преобразование в квантовой теории поля путем непосредственной подстановки непрерывного вейвлет-разложения в функционал действия, как это делают в обычной не релятивистской квантовой механике [11, 84]. Такой подход, несмотря на очевидные достоинства, связанные с регуляризацией потенциалов, не может полностью решить проблему расходимостей в квантовой теории поля, так как при переходе от квантовой механики к теории поля интегрирование проводится по той же мере Винера, что и в обычных моделях, остаются проблемы с упорядочением операторов.
В представляемой диссертационной работе непрерывное вейвлет-преобразование используется не только для представления квантовых полей и случайных процессов в виде суперпозиции флуктуации различных масштабов, но и для задания корреляционных свойств соответствующих случайных процессов. Этот метод является принципиально новым, так как позволяет модифицировать меру интегрирования в характеристическом функционале и, при должным образом выбранном корреляторе случайной силы, устранить петлевые расходимости в пертурбативном разложении. Возможно, петлевые расходимости в полевых моделях следовало бы считать математическим артефактом интегрирования по однородной мере плоских множеств, связанной с евклидовой метрикой. С физической точки зрения, даже в рамках нерелятивистской квантовой механики, не существует убедительных аргументов в пользу того, что на расстояниях меньше комптоновской Ас = (а не планковской!) длины петлевые интегралы
Применение квантовополевых методов для описания классических систем с большим числом степеней свободы
Квантовая теория поля обобщает теорию дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) в том самом смысле, в котором ДУЧП обобщают теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, применяемых для описания классических динамических систем [74]. В классической физике состояние системы в момент времени t позволяет однозначно предсказать ее состояние в момент времени t+At если известны все координаты и импульсы в момент времени t. В квантовой механике состоянию системы отвечает не точка фазового пространства, а вектор в абстрактном гильбертовом пространстве состояний; при этом знание гамильтониана системы позволяет определить лишь вероятность перехода между состояниями, отвечающими различным векторам гильбертова пространства состояний, за малый интервал времени At. Таким образом, само понятие эволюции приобретает вероятностный характер.
Принципиальным отличием описания квантовых систем от классического описания случайных процессов, является то, что вероятностное описание последних связано с неполнотой нашей информации об исследуемых процессах; квантовая же система, согласно принципу суперпозиции, находится в суперпозиции нескольких состояний: вероятность результата измерения, проведенного над системой, определяется соответствующей амплитудой перехода между начальным и конечным состояниями. Значения наблюдаемых величин - энергии, импульса, момента импульса и др. - в квантовой механике определяются собственными значениями соответствующих эрмитовых операторов, действующих в гильбертовом пространстве состояний. Таким образом, квантовое описание физической реальности потребовало замены аппарата дифференциальных уравнений, используемого для классических динамических систем и волновых процессов, на более общий формализм функционального анализа, в частности, теорию гильбертовых и метрических пространств.
Невозможность одновременного измерения координаты и импульса для квантовых объектов ведет к отсутствию у них классической траектории (q{t),p{t)), являющейся решением уравнений движения. Например, в известном эксперименте с двумя щелями, электрон как бы переходит из начального состояния в конечное по всем возможным траекториям; при этом вклад каждой траектории в общую вероятность перехода определяется классическим интегралом действия, вычисленным вдоль данной траектории. Такая формулировка квантовой механики, называемая Фейнмановской, или формулировкой в терминах функциональных интегралов, позволяет провести параллели между квантовой теорией и теорией марковских процессов (126,127, 74, 215].
Вместе с тем, задачи КТП оказались существенно сложнее обычных стохастических задач. Связано это с тем, что волновая функция задает не вероятность состояния, а ее амплитуду. Как следствие этого, (псевдо) мера Фейнмана, возникающая в интеграле по путям в КТП - в отличие от меры Винера для стохастических процессов - корректно не определена, а сами квантовые поля являются сингулярными (или обобщенными) функциями.
Нетривиальность построения теории квантовых полей, непротиворечивой с точки зрения функционального анализа, инвариантной относительно преобразований Лоренца, не нарушающей принципов причинности и унитарности, а также удовлетворяющей принципу соответствия при переходе к классическому пределу (ft- 0), привела к значительному числу математических и физических исследований, связанных с обобщенными функциями в гильбертовых пространствах, аксиоматической и конструктивной теорией поля [215]. Можно, однако, сказать, что решающий шаг в превращении теории поля из области математики в физическую теорию был сделан в начале 50-х годов прошлого века, с созданием методов теории перенормировок [204] и вычислением на этой основе лембовского сдвига и аномального магнитного момента электрона, с точностью совпадающей с экспериментом, как минимум, в пятом десятичном знаке.
Создание теории перенормировок и ее последующее применение к различным физическим моделям блестяще продемонстрировало, что КТП является работоспособной физической теорией. Отказ от концепции непрерывных и дифференцируемых траекторий элементарных частиц привел к пониманию того, что геометрия пространства-времени на малых расстояниях имеет фрактальный характер [59, 137]; самоподобие же, связанное с ренормализационной инвариантностью, подтвердило представление о фрактальной природе микромира. Развитые математические методы, однако, не решили всех проблем, возникающих при вычислении амплитуд квантовых переходов: построенные процедуры регуляризации позволили лишь формально устранить расходимости в бесконечных рядах теории возмущений, но не дали ответа на вопрос, какой должна быть мера в пространстве состояний, чтобы построенная физическая теория с самого начала не содержала расходимостей.
Важность этой проблемы трудно переоценить: существующие полевые модели, по сути, построены на теории квадратично-интегрируемых функций в (псев-до) евклидовом пространстве, они являются экстраполяцией теории классических полей, в частности, классической электродинамики, в квантовую область. Возникающие при такой экстраполяции сингулярности являются следствием неадекватности классической евклидовой геометрии уже на масштабах порядка комптоновской длины волны, а не на планковских масштабах. В операционном смысле сингулярности в КТП является математическим артефактом - любое измерение всегда приводит к конечному результату. Адекватная модификация метрической структуры исходного пространства функций позволила бы устранить расходимости с самого начала.
Простейшим вариантом такой модификации является переход к пространству кусочно-постоянных функций в решеточных моделях: никаких расходимостей при любом фиксированном значении шага решетки (а) быть не может; при переходе же к континуальному пределу (а—»0) расходимости устраняются с помощью формальных процедур регуляризации и связанной с ними ренормализационной группы. Решеточные модели, однако, не могут претендовать на роль физически адекватной теории, так как содержат искусственный параметр, шаг решетки (а).
Какова должна быть метрическая структура КТП в общем случае, так чтобы расходимости отсутствовали в теории с самого начала? Для ответа на этот вопрос проводятся различные исследования в теории метрических пространств, теории случайных процессов, связанных с этими пространствами. К физическим аспектам этих исследований относятся гиббсовские модели, стохастическое квантование калибровочных теорий, конструктивная и аксиоматическая теория поля в евклидовых пространствах.
Некоторые понятия теории вероятности Кратко напомним основные понятия, связанные с теорией случайных процессов. Вероятностное пространство - это тройка (17, ZV, /х), где 17 - множество, U - заданная а-алгебра подмножеств множества 17, а /І - мера на О,, нормированная на единицу /л(12) = 1. Случайная величина -это измеримое отображение вероятностного пространства (Q.,U, L) В измеримое пространство (X, X) или, другими словами, измеримая функция на 17. Случайный процесс - это семейство случайных величин, зависящих от некоторого параметра t, принимающего значение на произвольном множестве, обычно называемым индексным множеством; другими словами, случайный процесс есть отображение индексного множества в пространство измеримых функций на 17. В физических приложениях индекс t часто имеет смысл времени и принимает значения на вещественной оси R. В обозначениях случайного процесса индексный параметр часто указывается в виде индекса у случайной величины
Многомасштабное разложение уравнений Навье-Стокса с помощью непрерывного вейвлет-преобразования
Символ Т означает, что поля записаны в порядке возрастания временного аргумента (справа налево). Операция временного упорядочения возникает вследствие того, что интегрирование в функциональном интеграле (2.40) осуществляется по всем траекториям упорядоченным по времени. В случае двухточечной функции Грина, подстановка разложения на положительно- и отрицательно- частотную части (2.43) и использование канонических коммутационных соотношений (2.47), приводит к пропагатору (двухточечной функции Грина)
Видно, что при совпадающих аргументах хі=хг интеграл (2.49) расходится при больших значениях импульса к — со. Такие расходимости, связанные не с бесконечным объемом области интегрирования, а с поведением подынтегральной функции на малых расстояниях, называют ультрафиолетовыми (УФ). Ультрафиолетовые расходимости, связанные с самодействием поля на малых расстояниях, появляются уже в простейшей теории скалярного поля и присутствуют фактически во всех полевых моделях с размерностью большей 2. УФ расходимости петлевых интегралов не исчезают и при аналитическом продолжении в евклидову область t = —гт. Таким образом, мы видим, что экстраполируя теорию скалярного массивного классического поля ф, удовлетворяющего уравнению Клейна-Гордона (2.42), в квантовую область с использованием канонических коммутационных соотношений (2.47), мы приходим к формально бесконечным величинам.
Заметим, что в квантовой механике значение любой физической наблюдаемой определяется средним значением оператора, соответствующего этой наблюдаемой, т.е. матричным элементом (В) = (ф\В\ф). Действие же оператора В, соответствующего физическому измерению, на состояние системы опосредовано действием некоторого проекционного оператора, имеющего конечное пространственно-временное разрешение. По этой причине, нет никаких физических оснований a priory предполагать справедливость классической интерполяции, не зависящей от проекционного оператора измерения, в область сколь угодно малых масштабов.
Примерно то же самое, как это будет рассмотрено ниже, происходит в классических моделях сплошной среды, - например, при описании гидродинамической турбулентности или изинговского ферромагнетика, - когда классические уравнения экстраполируются на масштабы, соизмеримые со средней длинной свободного пробега или средним расстоянием между молекулами. В этой ситуации, вероятность передачи импульса от молекулы к молекуле реально определяется кинетическими уравнениями, т.е. мерой, связанной со случайным процессом передачи импульса, а не уравнениями сплошной среды. Аналогичным образом, в квантовой теории поля передача импульса на малых расстояниях определяется амплитудой квантовых переходов и связанной с ними мерой.
В теории скалярного поля простейшие однопетлевые расходимости появляются при нелинейном самодействии поля %ф4: С физической точки зрения, ультрафиолетовые расходимости обычно связывают с бесконечным числом виртуальных квантов поля, рождающихся и уничтожаемых в одной и той же пространственно-временной точке xi = хч, т.е. как бы пробегающих виртуальную петлю, см. (2.50); число квантов поля при этом растет с увеличением передачи импульса q.
Следует заметить, что любое квантовое измерение всегда осуществляется с конечным пространственным и временным разрешением, а значит - с конечной передачей импульса и энергии. Функция Грина с совпадающими аргументами лишена смысла с точки зрения квантовых измерений: физический смысл должны иметь средние значения операторов наблюдаемых и квадраты модулей матричных элементов перехода между различными квантовыми состояниями. Значения этих величин не должны зависеть от каких либо бесконечностей, возникающих в результате экстраполяции теории классических полей в область малых масштабов (больших передач импульса). Поэтому, для построения физически интерпретируемой теории, обычно поступают следующим образом. Используя разложение по константе связи д, стоящей при потенциале взаимодействия У(ф), т.е. диа-грамную технику Фейнмана, вычисляют соответствующие вариационные производные (2.48) от производящего функционала W[J\. Затем, в каждом из членов построенного разложения полагают верхний предел интегрирования в импульсном пространстве равным фиксированной величине Л, называемой импульсом обрезания. При этом подразумевается, что при переходе к физической теории необходим предельный переход Л — со. Если удается построить модель, в которой наблюдаемые величины инвариантны относительно выбора импульса обрезания, т.е. относительно масштабного преобразования Л —» е Л, то такую теорию называют перенормируемой. В дифференциальной форме, перенормируемость, т.е. независимость от изменения импульса обрезания приводит к уравнению для каждого из членов разложения производящего функционала в ряд по константе связи д.
Исторически, борьба с УФ расходимостями началась с устранения бесконечных радиационных поправок в квантовой электродинамике. В первых работах Вайскопфа (V.Weisskopf) и Бетте (H.Bethe) указывалось, что по крайней мере некоторые из бесконечных радиационных поправок могут быть адсорбированы в так называемые "голые" параметры (масса, заряд), которые характеризуют (фиктивные) не взаимодействующие поля - физические же поля получаются путем одевания голых полей "шубой" взаимодействия; при этом бесконечные радиационные поправки компенсируют бесконечные величины голых полей, приводя к наблюдаемым (конечным) величинам заряда и массы. Дальнейшая проработка этих идей была осуществлена в работах Швингера, Томонага, Фейнмана и Дай-сона, Штукелберга и Петермана [168], Гелл-Манна и Лоу [70]. В последствии, на этой основе, Н.Н.Боголюбовым и О.С.Парасюком [202,203] была создана строгая в математическом смысле теория перенормировок. Позднее, независимо от кван-товополевых работ, теория перенормировок в классической теории критического поведения была развита К. Вильсоном [183,184], который получил дифференциальное уравнение РГ и построил 6-разложение по малому параметру отклонения от размерности пространства. Разработка общей идеологии РГ подхода на этом этапе фактически завершилась, развиваясь далее в техническую сторону.
Волновая функция и матрица плотности иерархических систем
Большинство нелинейных динамических систем, испытывающих сложное хаотическое поведение, тем или иным способом проявляют самоподобие, выражающееся в сходном поведении системы на малых и больших масштабах. Смысл термина самоподобие далеко не всегда один и тот же. В работе автора [13] была предпринята попытка дать более строгое определение этого термина для классических распределенных систем, в частности, для гидродинамической турбулентности, в терминах функционального анализа. Следуя основным идеям работы [13], мы рассмотрим необходимость введения функций, зависящих как от координаты, так и от разрешения в задачах классической физики, и перейдем к рассмотрению свойств этих функций используя вейвлет-разложение и аппарат функционального анализа.
Самоподобие и зависимость от масштаба почти неразделимы во многих физических задачах. Одним из наиболее известных примеров является теория развитой гидродинамической турбулентности [220]. Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса имеющими широкий спектр хаотических решений. С формальной точки зрения, решение v = v(x, і) уравнения (3.1), с заданными начальными и граничными условиями, представляет собой непрерывную дифференцируемую функцию от аргументов х и t. На самом же деле, как показывают численные исследования, поведение решений уравнений Навье-Стокса весьма нерегулярно и может сильно зависеть как от начальных/граничных условий, так и от шага сетки [200,211, 201]. Таким образом, даже с чисто технической, вычислительной стороны представляется целесообразным введение пространства функций, зависящих как от координат, так и от разрешения по этим координатам,
Это означает, что если при решении исходного дифференциального уравнения в обычном формализме мы имели одно пространство функций v = v(x), - здесь х обозначает весь набор аргументов, а и - весь набор зависимых переменных, -то теперь нам необходимо расширить это пространство до семейства v&x(x), где Ах пробегает дискретное или непрерывное множество допустимых разрешений (масштабов).
С экспериментальной точки зрения, введение функций, зависящих от масштаба также представляется весьма обоснованным. Действительно, значения любой векторной величины v(t,x), характеризующей поведение сплошной среды в точке х, всегда вычисляется как среднее значение по некоторому физическому объему (Ax)DAt с центром в точке х - усреднение же по бесконечно малому объему (Ах - 0) может оказаться физически бессмысленным. Чему, например, равна температура газа при отсутствии в нем атомов?
В случае гидродинамической турбулентности, как натурные исследования в аэродинамических трубах, так и численное моделирование показывают, что поле скорости турбулентных флуктуации напоминает броуновское движение с показателем h = 1/3:
Этот результат был получен еще А. Н. Колмогоровым из простых соображений размерного анализа [214]. По сути, именно в этой работе заложены физические основы описания турбулентности в терминах масштабно-зависимых функций. В практических вычислениях зависимость поля v(x) от масштаба обычно исследуется либо с использованием мультифрактального формализма - часто с использованием вейвлетов [29, 172], - либо посредством метода РГ [61]; в последнем случае под параметром масштаба понимается импульс обрезания Л.
Таким образом, по крайней мере насколько это известно автору, анализ свойств масштабно-зависимых полей и сигналов обычно проводится в пространстве квадратично интегрируемых функций v(x) Є L2, где подразумевается, что конкретные значения v(x) измеряются на каком-то определенном пространственно- временном разрешении; этому факту однако не приписывается никакого строгого математического смысла. Следуя работе [13], мы попытаемся посмотреть на эту проблему с точки зрения функционального анализа.
Заметим, что упомянутая выше зависимость от масштаба всегда связана с некоторой процедурой усреднения , усреднена же может быть только случайная, или измеримая, функция. Связанная с масштабной зависимостью инвариантность означает, что нечто имеет одинаковые свойства при разных масштабах измерения1.
Классические фракталы, и связанные с ними меры, масштабно-инвариантны по построению. Броуновское движение - частный случай фрактала - также масштабно инвариантно: посмотрев в микроскоп на траекторию броуновской частицы при различных разрешениях, мы увидим примерно одну и ту же картину.
Самоподобие флуктуации гидродинамического поля скорости {(5v(l))2) l2lz относится к поведению турбулентных пульсаций измеряемых на различных пространственных масштабах. Для гидродинамического поля скорости физически ясно, что измерение на фиксированном пространственном масштабе /о с необходимостью включает усреднение по молекулярным скоростям внутри некоторой пространственной области с характерным размером /о. Эта процедура может быть обобщена до "усреднения функции ф на масштабе Г (см. например [54]):в D-мерном евклидовом пространстве ШР. Определение (3.2) содержит, как минимум, два предположения:
Физически, с точки зрения измерительной процедуры, абсолютно ясно, что две функции фі(х) и фі (х) при І ф Iі, принадлежат двум различным функциональным пространствам: совершенно бессмысленно, скажем, вычислять разность фі(х) - фі (х), І ф V. Таким образом, мы приходим к выводу, что поле скорости гидродинамической турбулентности - корректно определенное с точки зрения измерительной процедуры - есть нечто большее чем случайная функция вида v(x, t, ), определенная на (Rd х R, О).
