Содержание к диссертации
Введение
1 Исходные определения и вычисления 15
1.1 Финслерова метрическая функция 15
1.2 Картановский тензор, тензор кривизны, индикатриса 17
1.3 Финслерова Гамильтонова функция 18
1.4 Инвариантность финслеровой метрической функции 20
1.5 Псевдофинслероидное релятивистское пространство 21
1.6 Вращения 30
1.7 Квазипсевдоевклидово преобразование 31
1.8 Конформность 34
1.9 Ортонормированные реперы 38
1.10 Псевдофинслероидное обобщение преобразований Лоренца 41
2 Псевдофинслероидная квантовая теория поля 43
2.1 Введение 43
2.2 Уравнения свободных скалярного, электромагнитного и спинорного полей 45
2.3 Квантование свободных полей 53
2.4 Анализ скалярных волн и трактовка волнового вектора 57
2.5 Псевдофинслероидное дисперсионное соотношение 62
2.6 Причинная функция Грина 65
2.7 Калибровочная теория поля и лагранжианы взаимодействия 68
2.8 Построение 5-матрицы и правила Фейнмана 75
2.9 Псевдофипслероидные поправки в выражениях для сечения рассеяния 83
2.10 Псевдофинслероидное обобщение уравнений поля Янга-Миллса 86
2.11 Лагранжиан стандартной модели электрослабых взаимодействий в псевдофинслероидном пространстве 94
2.12 Анализ модели сильных и электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама-Глешоу 97
2.13 Анализ объединения сильной и электрослабой модели до группы SU(5) 99
3 Поправки в процессах квантовой теории поля 102
3.1 Введение 102
3.2 Эффект Комптона 103
3.3 Рассеяние электрона на электроне 106
3.4 Аннигиляция электрон-позитронной пары с образованием пары фотонов 107
3.5 Образование электрон-позитронной пары фотонами 112
3.6 Рассеяние электрона на позитроне 113
3.7 Распад мюона 117
3.8 Рассеяние мюонного нейтрино на электроне 122
3.9 Поправки, связанные с выбором системы отсчета 125
Заключение 131
Литература
- Финслерова Гамильтонова функция
- Квазипсевдоевклидово преобразование
- Квантование свободных полей
- Аннигиляция электрон-позитронной пары с образованием пары фотонов
Введение к работе
Преобразования Лоренца и лоренц-инвариантность служат для обработки феноменологии высоких энергий и вывода уравнений фундаментальных физических полей. В частности, из релятивистской инвариантности действия по теореме Нетер получаются законы сохранения полного момента количества движения, а при инвариантности относительно группы Пуанкаре - еще и закон сохранения тензора энергии-импульса [1-6].
Релятивистская инвариантность прямо связана с геометрией пространства. Например, для плоского пространства Минковского метрическая функция остается инвариантной относительно б-параметрической группы преобразований Лоренца. Что произойдет с релятивистской инвариантностью при обобщении метрики?
Важной вехой в проверке справедливости преобразований Лоренца послужили работы Хаугана и Уилла [64] (1987 год) и Уилла [63] (1992 год). В этих работах предлагается выразить в точных числах степень согласия между следствиями специальной теории относительности и экспериментальными данными, а также оценить степень верности преобразований Лоренца. Преобразования Лоренца - это проявление геометрии пространства-времени. Для их проверки необходимо провести сравнение предсказаний обобщенной теории с соответствующими экспериментальными значениями и получить, ограничения на параметры, входящие в обобщенные преобразования. С этой целью в работах Уилла и Хаугана для оценок была использована MS-тестовая теория [41, 42, 43] (поправки к преобразованиям Лоренца с произвольными кинематическими параметрами). Поскольку ко времени появления этих работ была достаточно развита лазерная техника, настал момент установки определенных границ верности специальной теории относительности. Авторы теоретически проанализировали некоторые прецизионные эксперименты, а именно: измерение зависимости резонансной частоты атомного двухфотонно-го поглощения от вращения Земли (проверка изотропности доплеровско-го сдвига первого порядка) [66]; измерение (как функции поворота Земли) времени прохождения световых сигналов по оптоволоконной линии
между двумя часами, работающими на основе водородных мазеров [74]; эксперименты с ротором Мессбауэра [75]. Также рассматривались эксперименты, проверяющие следствия общей теории относительности (измерение гравитационного красного смещения сигнала от ракеты [76, 77]). Понятно, что в последнем эксперименте обобщенные постлоренцевы поправки будут смешаны с релятивистскими гравитационными поправками. Для анализа таких экспериментов при феноменологическом подходе необходимо дополнить MS-теорией РРг1-формализм,.в значительной степени развитый Уиллом в 70-х годах [10].
Вместе с тем, был высказан ряд критических замечаний. Одно из них - MS-теория, на основании которой были получены оценки на постлоренцевы коэффициенты, является чисто кинематической, то есть оперирует соотношениями координат в различных системах отсчета. В процессе вычислений авторам приходилось делать некоторые дополнительные динамические предположения. Более того, как показано в работе Хаугана и Уилла [64], нарушение лоренц-инвариантности неустранимо ведет к изменению динамики линеек и часов, на которых основаны преобразования между инерциальными системами отсчета.
В последнее время также широко рассматривался вопрос о влиянии возможных нарушений лоренц-инвариантности на квантовые процессы. Теория с нарушенной инвариантностью используется, в частности, для оценки того, какие ограничения накладывают экспериментальные данные на эту инвариантность, то есть для нахождения верхней границы коэффициентов перед неинвариантными членами. Было предложено ([17, 64]) изменить коэффициент при квадрате магнитного поля в лагранжиане квантовой электродинамики:
В2 -> (1 + є)В2,
где б - малый феноменологический параметр. В результате лагранжиан остается инвариантным относительно сдвигов и поворотов в выделенной системе отсчета, в других же системах инвариантность нарушается. Одним из эффектов такой модификации, как показано в [17], является отличие скорости света с, даваемой выражением с2 = 1+б, от максимально достижимой материальным телом скорости, которая остается прежней. Наличие выделенной системы отсчета тогда должно проявиться в
анизотропности экспериментальных наблюдений. В такой теории высокоточные спектроскопические эксперименты, направленные на поиск анизотропии пространства [80], накладывают ограничение на отличия скорости света от максимально достижимой |1 — с2| = |є| < 6 Ю-22. Производя дальнейшее развитие теории с модифицированным лагранжианом [17], авторы предсказывают такие эффекты, как распад фотона 7 -> е~+е+, распад мюона с излучением фотона ц -> e-f 7, запрещенный в стандартной модели электрослабых взаимодействий, и другие.
Еще одна обсуждаемая в литературе в последние годы возможность нарушения лоренц-инвариантности - это модификация дисперсионного соотношения [85, 82]
где Л имеет порядок планковской длины. Такой добавочный член предсказывается некоторыми вычислениями в квантовой теории гравитации [83, 86]. Эта модификация дисперсионного соотношения приводит к таким эффектам, как зависимость скорости света от энергии фотонов [82], которую, как ожидается, можно будет обнаружить при наблюдениях космических гамма-лучей [87]. Также модификация дисперсионного соотношения приводит к изменению порогов реакций взаимодействия высокоэнергетичных фотонов и протонов космических лучей с фотонами реликтового излучения, что позволяет объяснить отсутствие предсказанного обычной релятивистской физикой излома их наблюдаемого спектра [82, 85].
Однако при таком обобщении возникает ряд новых проблем. В частности, поправки должны проявляться на масштабах меньше планков-ских, но, поскольку длина не является инвариантной относительно преобразований Лоренца, масштабы длин для разных наблюдателей будут различны.
Рассмотрению различных способов обобщения квантовой теории поля способствовали также проблемы, связанные с ультрафиолетовыми расходимостями, присутствующие в псевдоевклидовой теории. Один из методов их решения - построение нелокальной квантовой теории поля. Однако при развитии таких теорий выяснилось, что не соблюдается принцип причинности для 5-матрицы. В дальнейшем был предложен
новый класс релятивистски инвариантных формфакторов, а также методы их квантования. В этом направлении были доказаны причинность и унитарность получающейся 5-матрицы [45]. Ряд недостатков предложенных формфакторов, как показано в работах [51, 52], может быть устранен обобщением уравнения Шредингера для нелокальных взаимодействий.
Проводились построения квантовой теории поля и в искривленном импульсном пространстве. В работах [47-50] исследуется импульсное пространство постоянной кривизны с радиусом, равном некоторой предельной массе /io, при этом в пределе /іо -> со теория должна переходить в обычную. Исследование свойств такого пространства показало, что обобщается закон сложения импульсов (в системе единиц (jlq = 1) согласно:
m , pVT^W + fc(l + рк/{1 + VT^W))
q = p@k= л , и
І + рк
При этом получается, что новый закон некоммутативен:
р Ф к ф к ф р.
Обобщение закона сложения импульсов естественным образом ведет к изменению закона сохранения энергии и импульса частиц в рассматриваемой теории. В частности, из него следует, что, как и в обычной теории свободная частица не может испустить бозон; с другой стороны, исследование процесса рассеяния бозона фермионом (например, эффекта Комптона) приводит к рассмотрению двух диаграмм Фейнмана, различающихся последовательностью испускания и поглощения бозона. Вследствие некоммутативности закона сложения импульсов эти две диаграммы, в отличие от обычной теории, при одинаковых начальных импульсах сталкивающихся частиц приводят к различным конечным состояниям. В случае эффекта Комптона для высоких энергий фотона предсказывается расщепление линии
ДсУ/u/ = тш/2,
где и/ - энергия конечного фотона, из - энергия начального фотона, т -масса электрона.
Выбрав, исходя, с одной стороны, из принципа соответствия при малых значениях импульсов, и, с другой стороны, из условия постоянной кривизны импульсного пространства пропагаторы полей, авторам удалось получить обобщенные интегралы для фотонного и электронного собственно-энергетических операторов. Они оказываются сходящимися, что позволяет избежать ультрафиолетовой катастрофы.
Другая возможность возникновения нелокальностей связана с квантованием пространства-времени. Так, в работе [53] рассматривается квантовая теория поля, построенная на квантованном пространстве-времени, получаемом из трех основных принципов: коммутационные соотношения должны быть основаны на соотношениях неопределенности между различными координатами пространственно-временных событий; в пределе больших масштабов, когда характерные расстояния намного больше планковской длины, должно получаться обычное пространство-время; полная группа Пуанкаре должна являться группой симметрии используемого пространства-времени. Развитие такой теории приводит к тому, что коммутатор свободных полей на пространствен-ноподобных интервалах убывает как гауссовский. При таком подходе квантовая природа пространства-времени заменяет локальное взаимодействие характерным нелокальным эффективным взаимодействием в обычном пространстве Минковского. Возможно, это позволит сгладить ультрафиолетовые расходимости.
Также к нелокальным взаимодействиям приводит рассмотрение квантовой теории поля в искривленном пространстве. В работах [54, 55] предлагается применить каноническое построение квантовой теории поля, которое заключается в том, что выбор основных элементов теории должен быть каноническим (естественным), то есть должен включать в себя только структуру пространства-времени, даваемую метрикой. При таком рассмотрении появляются такие эффекты, как отсутствие рождения частиц, предсказываемого обычной теорией в искривленном пространстве, нарушение уравнения Клейна-Гордона. Кроме того, локальное изменение метрики приводит к релятивистски-гравитационной нелокальности, то есть динамическая величина р = (s,t), измеренная в некоторой точке 5, зависит от метрики h(t) во всем трехмерном пространстве, а не только в s. Применение предложенной квантовой теории
поля в космологии и при рассмотрении черных дыр позволяет автору снять проблему темной материи. При этом получаемые энергии частиц находятся в согласии с общей теорией относительности.
В работах [59, 60, 61] описывается стандартная релятивистская теория ускоренных систем отсчета в пространстве-времени Минковского. Ее построение мотивировано тем, что все реальные наблюдатели находятся в неинерциальных системах отсчета, тогда как, с другой стороны, результаты экспериментов трактуются с использованием плоского пространства Минковского. Поэтому следует установить связь неинерциальных систем отсчета с инерциальными. Построение и исследование нелокальных уравнений поля для случая электродинамики линейно ускоренных систем дает интересные результаты: нелокальность остается, даже когда ускорение выключается, то есть у системы есть "память" прошлого ускорения.
Вопрос о локальности или нелокальности квантовой теории поля остается на сегодняшний день открытым.
Наиболее последовательным способом нарушения лоренц-инвари-антности и построения обобщенной квантовой теории поля является изменение геометрии пространства с последующим исследованием как кинематических, так и квантовых эффектов. Одним из метрических обобщений евклидовой геометрии является геометрия Финслера. За последние 30 лет появилось значительное количество работ, посвященных геометрии Финслера, в которых были обобщены многие свойства римановых пространств (см., например, [19, 20]). Релятивистская финслерова метрическая функция была предложена и использована Г.С. Асановым в серии работ [21-30]. Ближайший геометрический путь обобщения преобразований Лоренца, использующий идеи финслерова пространства - это замена лоренцевой инвариантности псевдоевклидовой метрической функции на требование инвариантности финслеровой метрической функции (ФМФ). Таким методом релятивистская ФМФ, названная впоследствии псевдофинслероидной, была впервые найдена в работе Г.С. Асанова [29] в 1995 г. При этом в теории возникает характерный параметр д, характеризующий степень отличия от псевдоевклидова пространства. Построенная финслерова метрическая функция F(g;T,X,Y,Z) обладает следующими замечательными свойствами:
1) Поверхность индикатрисы Тд, определяемой уравнением
F{giT1X1Y1Z) = l
является пространством постоянной отрицательной кривизны.
Финслерова метрическая функция сохраняет изотропность (сферическую симметричность) трехмерного подпространства (собственно пространства).
Получаемый финслеров метрический тензор обладает псевдоевклидовой сигнатурой пространства-времени (+ — ).
Выполняется принцип соответствия: при обращении финслерова характерного параметра д в ноль финслеров метрический тензор переходит в псевдоевклидов тензор Минковского.
Эти четыре условия однозначно определяют явный вид псевдофин-слероидной метрической функции.
Первая глава посвящена обзору основных свойств финслерова пространства (разделы 1.1-1.4), а также свойств псевдофинслероидной метрической функции (разделы 1.5-1.10). После вводных разделов 1.1 и 1.2, в разделе 1.3 определена финслерова функция Гамильтона (ФФГ). В разделе 1.4 вводятся понятия фипслеровой инвариантности и метричности преобразований. В разделе 1.5, следуя работам Г.С. Асанова [21-30], описывается псевдофинслероидное релятивистское пространство. Приведен явный вид псевдофинслероидных метрической и гамильтоновой функций, а также основных геометрических объектов: финслерова метрического тензора, картановского тензора кручения и тензора кривизны. Из вида последнего тензора можно сделать вывод, что финслерово релятивистское пространство является пространством постоянной отрицательной кривизны. В разделе 1.6 мы кратко описываем финслеро-вы ^"-вращения. Преобразование называется J-'-вращением, если ФМФ остается инвариантной относительно такого преобразования:
F(R) = F(R), когда R = T(R).
Принципиальное отличие этой инвариантности от обычной релятивистской теории в том, что финслеровы ^-вращения являются, вообще говоря, нелинейными преобразованиями. В них входят две очевидные под-
группы линейных преобразований, а именно: трехмерные вращения и бусты.
В следующем разделе мы выписываем формулы и основные следствия квазипсевдоевклидова преобразования и конформного отображения в псевдофинслероидном пространстве, широко используемые в настоящей диссертации. Кроме того, в разделе 1.9 мы приводим выражения для псевдофинслероидных ортонормированных реперов и коэффициентов вращения Риччи, необходимые для построения уравнений и лагранжианов спинориых полей.
Финслерова Гамильтонова функция
В следующем разделе мы выписываем формулы и основные следствия квазипсевдоевклидова преобразования и конформного отображения в псевдофинслероидном пространстве, широко используемые в настоящей диссертации. Кроме того, в разделе 1.9 мы приводим выражения для псевдофинслероидных ортонормированных реперов и коэффициентов вращения Риччи, необходимые для построения уравнений и лагранжианов спинориых полей.
Раздел 1.10 описывает псевдофинслероидное обобщение преобразований Лоренца. При этом оказывается, что рассматриваемое псевдофинслероидное пространство предполагает существование выделенной системы отсчета, а сами преобразования Лоренца, в отличие от калибровочных "-вращений, не сохраняют инвариантности финслеровой метрической функции.
В главе 2 мы переходим к исследованию возможности псевдофинсле-роидного обобщения квантовой теории поля. После обзорных разделов 2.1 и 2.2, в которых мы приводим основные результаты, полученные в работах Г.С. Асанова при исследовании уравнений и лагранжианов свободных скалярного, электромагнитного и спинорного полей и способа их квантования [30], мы переходим к построению лагранжиана квантовой электродинамики. Поскольку используются конформно-инвариантные варианты уравнений, мы вначале исследуем физический смысл волновых векторов, появляющихся при разложении решений уравнений поля по плоским волнам. Оказывается, что получаемые при этом волновые векторы можно отождествить с конформными образами импульсов частиц, измеряемых в исходном псевдофинслероидном пространстве. Это позволяет нам записать уравнение массовой поверхности в псевдофинслероидном пространстве и исследовать его свойства, найдя, в частности, обобщенный закон связи энергии частицы с ее импульсом. Дальнейшие исследования помогают нам найти причинную функцию Грина для скалярного, электромагнитного и спинорного полей. Записав, исходя из принципа калибровочной инвариантности, лагранжиан взаимодействующих спинорного и электромагнитного полей, мы переходим к рассмотрению псевдофинслероидного обобщения 5-матрицы. Оказывается, что при таком рассмотрении конформные факторы сокращаются, и, следовательно, при вычислении процессов квантовой электродинамики нам не нужно заново вычислять матричные элементы. При этом мы приходим к следующему выводу: используя стандартные выражения для сечений рассеяния и матричных элементов, нам следует заменить в них внешние импульсы (волновые векторы) частиц на конформные образы импульсов, измеряемых в исходном псевдофинслероидном пространстве. Такая замена может привести, как мы покажем позднее, к появлению наблюдаемых поправок.
Предложенный лагранжиан обладает некоторыми недостатками: так, в массовом члене спинорного поля присутствует конформный множитель х. Стандартный метод построения лагранжианов в искривленном пространстве-времени [4] приводит к аналогичному результату, не содержащему этого множителя. Чтобы разрешить эту возможную неоднозначность, необходимо рассмотреть теории, в которых массы наблюдаемых частиц появляются за счет спонтанного нарушения локальной калибровочной симметрии. В частности, такими свойствами обладает стандартная модель электрослабых взаимодействий.
Переходя поэтому к исследованию псевдофинслероидного обобщения стандартной модели, в разделе 2.10 мы записываем обобщенные лагранжиан и уравнения неабелева векторного поля Янга-Миллса, исследуем его взаимодействие с полями материи и механизм генерации масс через голдстоуновские бозоны. Это позволяет нам записать лагранжиан стандартной модели электрослабых взаимодействий. Его последующий анализ показывает, что, аналогично случаю квантовой электродинамики, при рассмотрении квантовых процессов можно использовать вычисленные в рамках обычной псевдоевклидовой теории матричные элементы. При этом получается, что характерные финслеровы члены появляются в лагранжиане лишь в выражении для потенциала скалярного хиггсов-ского поля, выбор которого не-фиксирован строго. Наложив на потенциал соответствующие условия, мы получаем, что при низких энергиях происходит нарушение калибровочной симметрии, в результате чего возникают массовые члены спинорного поля с требуемым конформным множителем X.
В заключительных разделах второй главы мы кратко исследуем воз можность псевдофинслероидного обобщения теории сильных и электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама-Глешоу, основанной на группе SU(S) X SU(2) х /7(1), а также возможность их объединения до калибровочной группы SU(b).
Третья глава посвящена вычислению псевдофинслероидных поправок в различных квантовых процессах, описываемых квантовой электродинамикой: в эффекте Комптона, рассеянии электрона на электроне, двухфотонной аннигиляции электрон-позитронной пары, рождении электрон-позитронной пары двумя фотонами, рассеянии электрона на позитроне; а также в процессах, описываемых в рамках стандартной модели электрослабых взаимодействий, таких, как распад мюона и рассеяние мюонного нейтрино на электроне.
При этом оказывается, что, если в качестве измеряемых величин выступают энергия и импульс фотонов, то наблюдаемые поправки отсутствуют. Если же измеряемой величиной является энергия электронов или других массивных частиц, то в выражениях появляются нетривиальные поправки, зависящие от импульса и скорости частиц. Однако, в случае нерелятивистских или ультрарелятивистских частиц получается, что отсутствуют поправки в угловых зависимостях дифференциальных сечений рассеяния, что затрудняет экспериментальную проверку. Полученные результаты проиллюстрированы графиками.
При анализе таких точно измеренных величин, как аномальный магнитный момент электрона и мюона, мы получаем, что наблюдаемые псев-дофинслероидные поправки отсутствуют.
Для полноты рассмотрения необходимо учесть также возможные поправочные члены, возникающие из-за неинвариантности сечений рассеяния по отношению к псевдофинслероидному обобщению преобразований Лоренца. Анализ с учетом этих факторов эффекта двухфотонной аннигиляции электрона и позитрона позволяет нам в последнем разделе третьей главы найти поправки, содержащие, кроме псевдофинслероидного характерного параметра д, скорость движения лабораторной системы отсчета относительно выделенной. Кроме того, оказывается, что нарушается изотропность пространства в лабораторной системе отсчета, вследствие чего возникают поправки и в угловых распределениях сечений рассеяния указанных процессов.
Квазипсевдоевклидово преобразование
Рассмотрим теперь возможность построения теории классических и квантовых полей в четырехмерном псевдофинслероидном пространстве Eg. Существует несколько подходов к записи уравнений поля.
Во-первых, можно строить лагранжианы и уравнения поля в псевдофинслероидном пространстве общими методами, разработанными для искривленного пространства-времени [4]. Однако, основываясь на конформных свойствах пространства 6gR, можно предложить другой метод обобщения квантовой теории поля, записывая лагранжианы, превращающиеся после конформных преобразований в стандартные псевдоевклидовы. На 0(#)-уровне эти методы очевидно дадут одинаковый результат. Более того, как окажется, множители, отличающие эти два способа построения, содержится только в массовых членах лагранжианов. В частности, переход к рассмотрению стандартной модели электрослабых взаимодействий с использованием голдстоуновского механизма генерации масс позволит снять противоречия между этими методами построения квантовой теории поля. Поэтому воспользуемся вторым методом, который более перспективен для получения результатов и обобщения основных выражений.
Во втором и третьем разделах мы приводим результаты, изложенные в работе [30], на которых и основывается наше дальнейшее рассмотрение. Использованный способ построения уравнений поля и лагранжианов основан на выполнении свойства конформной инвариантности. Это позволяет отображать уравнения в конформное пространство, в котором их решения будут записываться стандартным образом. Последующее преобразование решений уравнения обратно в исходное псевдофинсле-роидное пространство приводит к появлению различных эффектов, исследованию которых посвящена следующая глава. При квантовании полей в выражениях появляются волновые векторы к{. В стандартной теории они отождествляются с импульсами частиц. В четвертом разделе мы исследуем их свойства и показываем, что теперь они являются конформными образами импульсов. Этот результат позволяет нам в пятом разделе записать уравнение массовой поверхности в псевдофинслероидном пространстве и исследовать его основные свойства. При этом мы получаем обобщенные выражения для зависимости энергии частицы от ее импульса, связь импульса со скоростью частицы и другие полезные для дальнейших рассмотрений формулы.
Следующий раздел посвящен построению причинной функции Грина для квантованных полей в псевдофинслероидном пространстве. В седьмом разделе мы, используя лагранжианы свободных электромагнитного, скалярного и спинорного полей, на основании свойств калибровочной инвариантности строим лагранжианы взаимодействия. Их использование совместно с записанной ранее причинной функцией Грина позволяет нам предложить выражение для 5-матрицы, исследовать свойства нормального и хронологического произведений в псевдофинслероидном пространстве и записать обобщенные правила Фейнмана. Вычисления показывают, что при этом все конформные множители сокращаются, что позволяет не вычислять заново матричные элементы для различных квантовых процессов, а использовать результаты стандартной псевдоевклидовой теории.
Девятый раздел исследует возможность появления поправок в выражениях для сечения рассеяния. Предложенный способ вычисления позволит в следующей главе рассмотреть в псевдофинслероидном пространстве ряд квантовых процессов.
Используемый для построения спинорной электродинамики лагранжиан, однако, не лишен ряда недостатков. Так, в массовом члене спинорного поля присутствует конформный множитель х, что приводит к отличию этого лагранжиана от лагранжиана, который может быть построен стандартными методами общей теории относительности. С целью разрешить эту неоднозначность, мы далее рассматриваем стандартную модель электрослабых взаимодействий в рамках псевдофинслероидного конформного метода обобщения. Для этого в десятом разделе мы записываем лагранжиан неабелева векторного поля и получаем уравнения поля. Дальнейшее квантование позволяет нам записать перестановочную функцию. Из свойств локальной калибровочной инвариантности мы записываем лагранжиан взаимодействующих спинорного и векторного неабелева поля. Мы также демонстрируем механизм генерации массы векторного поля с помощью введения голдстоуновских бозонов, что позволяет избавиться от содержащих конформный множитель х массовых членов в лагранжиане.
Полученные результаты позволяют нам в одиннадцатом разделе предложить псевдофинслероидное обобщение лагранжиана стандартной модели электрослабых взаимодействий. Исследовав все его члены, включая юкавские взаимодействия, мы получаем, что содержащие конформный множитель части находятся лишь в потенциале голдстоуновского бозона, выбор которого не фиксируется строго. При этом нарушение калибровочной симметрии приводит к лагранжиану спинорной электродинамики, записанному именно в конформно-инвариантном виде.
Заключительные разделы посвящены краткому анализу теории сильных и электрослабых взаимодействий в псевдофинслероидном пространстве, основанной на калибровочной группе SU(3) х SU(2) х U(l), и возможность их дальнейшего объединения до калибровочной группы 5/7(5). При этом мы опять показываем возможность отображения указанных лагранжианов в конформное пространство и обратного отображения получаемых результатов.
Квантование свободных полей
Перейдем к исследованию причинной функции Грина скалярного поля. Мы предлагаем искать эту функцию Грина как решение уравнения скалярного поля с источником: где разность векторов в дельта-функции следует понимать как
Выбранный коэффициент перед дельта-функцией позволяет получить псевдоевклидово уравнение для функции Грина в конформных координатах. В следующих разделах мы покажем, что именно такая причинная функция Грина появляется при рассмотрении разложения 5-матрицы, выполняемого при расчете различных квантовых процессов. Переходя к конформным координатам и заменив поле согласно получим стандартное уравнение (отметим, что домножение на величину н(д; RQ) не меняет вида уравнения, поскольку дифференцирование по До не проводится): решение которого можно сразу записать в виде
Данный интеграл имеет полюса при к2 = ш2, поэтому для фиксации функции Грина нам необходимо задать правила обхода полюсов. Поскольку конформное отображение происходит в псевдоевклидово пространство, то мы можем выбрать стандартное правило обхода полюсов: В исходном псевдофинслероидном пространстве функция Грина будет записываться в виде Явное выражение для причинной функции Грина тогда будет записываться как гдеЕсли ввести вектор R = RQ RQ согласно (2.160), то получаем
Данное выражение меньше нуля для пространственноподобных интервалов Д и больше нуля для времениподобных интервалов В!, поэтому свойство причинности построенной функции Грина очевидно выполняется. Отметим, что теперь функция Грина зависит не только от интервала Д , но, из-за входящих в нее множителей х(#; Д)х(#; До), также и от выбора точек, между которыми вычисляется этот интервал.
Выражение для перестановочной функции Паули-Йордана мы можем выписать, используя результаты псевдоевклидовых рассмотрений
Очевидно, что в пространственноподобной области Л 0 и, следовательно, перестановочная функция обращается в 0. Другими словами: операторы поля в точках, интервал между которым пространственно-подобен, коммутируют, и, следовательно, не оказывают друг на друга никакого действия.
Аналогичные (2.170) выражения получаются для причинной функции Грина электромагнитного и спинорного полей заменой частотных компонент перестановочной функции.
Таким образом, мы построили калибровочно-инвариантный лагранжиан в исходном псевдофинслероидном пространстве, введя ковариант-ные производные. Выразив далее этот лагранжиан через конформные переменные pi, мы получили стандартное выражение для уравнений и лагранжиана скалярного поля в псевдоевклидовом пространстве, что позволит нам в дальнейших рассуждениях применять результаты обычной теории поля.
Построив такой лагранжиан, мы можем выделить члены, отвечающие за взаимодействие скалярного поля ф с электромагнитным полем Ар. В конформных переменных это В исходном пространстве получаем На основании полученного лагранжиана мы можем заключить, что при построении диаграмм Фейнмана в скалярной электродинамике будут возникать следующие вершины взаимодействия:
Аннигиляция электрон-позитронной пары с образованием пары фотонов
Считая, что интегрирование ведется по некоторой конечной области (в конформных координатах) с четырехмерным объемом v A\ получим Если поделить полученное выражение на v \ результат будет характеризовать плотность вероятность перехода из начального состояние в конечное в единице объема и времени:
Чтобы получить вероятность перехода из начального состояния в конечное, при котором волновые числа частиц лежат в пределах {p/,Pf + dpf), умножим полученное выражение на J\ т к. Кроме того, учтем, что
при вычислениях матричных элементов обычно используются разложения волновых функций без дополнительных нормировочных множителей -4= (здесь введено обозначение е = ро = у/т2 — р2). Если матричный элемент, вычисленный и использованием таких ненормированных выражений обозначить через М/г-, то для вероятности получим
Рассмотрим процессы столкновения двух частиц. Чтобы выделить из полученного выражения величину, инвариантную относительно фин-слеровых -вращений, поделим вероятность на плотность потока частиц
В результате получим выражение для дифференциального сечения рассеяния в виде Данное выражение явно финслер-инвариантно. Чтобы убедиться в этом, заметим, что - - = dipf5(p2t — ml). Для процессов, у которых в начальном и в конечном состоянии имеется по две частицы, удобно ввести кинематические инварианты
Дельта-функция в (2.282) позволяет снять интегрирование по одному из импульсов и определяет величину модуля второго импульса, в результате чего после вычислений получаем выражение стандартного вида
Величину I при этом можно записать как Таким образом, если матричный элемент также выразить через кинематические инварианты, то мы получим сечение рассеяния, зависящее от трех величин {s, і, и}, причем выражение для этого сечения будет совпадать с результатом обычной псевдоевклидовой теории. Финслеро-вы поправки в таком случае могут возникать только при записи величин {s, t, и} через переменные в исходном пространстве.
Итак, наше последовательное рассмотрение псевдофинслероидного обобщения спинорной электродинамики привело к следующему способу вычисления поправок в квантовых процессах: используя матричный элемент или выражение для сечения рассеяния, вычисленные в рамках стандартной квантовой электродинамики, нам необходимо вместо стоящих в них внешних импульсов частиц подставить конформные образы соответствующих псевдофинслероидных импульсов.
Одним из основных недостатков построенной теории является неоднозначность выбора лагранжиана, используемого для описания взаимодействия электромагнитного и спинорного полей. Действительно, если исходить из соображений конформной инвариантности, то необходимо выбрать лагранжиан вида хгпфф, тогда как стандартный метод построения лагранжианов в искривленном пространстве-времени, развитый в рамках общей теории относительности, предполагает выражение вида в котором отсутствует конформный множитель я в массовом члене спи-норного поля. Чтобы устранить эту противоречивость, нам необходимо перейти к рассмотрению теорий, в которых отсутствуют явные массовые члены наблюдаемых полей, а их появление обеспечивается за счет механизма спонтанного нарушения калибровочной симметрии. Естественным расширением квантовой электродинамики является стандартная модель электрослабых взаимодействий, которая обладает всеми требуемыми нами свойствами. Поэтому в следующих разделах мы перейдем к ее рассмотрению в рамках псевдофинслероидного подхода и покажем обоснованность нашего выбора конформно-инвариантного лагранжиана согласно (2.215).
Для построения псевдофинслероидного обобщения лагранжиана и уравнений стандартной модели нам требуется сначала рассмотреть в рамках данного подхода неабелевы калибровочные поля. Обозначим через Ар векторное поле, определенное в исходном псевдофинслероидном пространстве и являющееся элементом представления некоторой неабелевой калибровочной группы. Разложение этого поля генераторам ta калибровочной группы записывается как
В коэффициентах разложения Ар присутствует векторный индекс р и групповой индекс а. При этом, если фиксировать индекс а, то объект Ар будет являться вектором по отношению к псевдофинслероидным калибровочным преобразованиям ( "-вращениям). Далее мы будем через обозначать индексы неабелевой калибровочной группы; через векторные индексы в квазипсевдоевклидовом и конформном пространствах, а черезр...-векторные индексы в исходном псевдо-финслероидном пространстве.
