Содержание к диссертации
Введение
2 Эффекты нарушения лоренц-инвариантности в водородопо-добных атомах 12
2.1 Введение 12
2.2 Используемая модель 14
2.3 1 /с^-приближение в уравнении Дирака с поправкой Ь 15
2.4 Водородоподобный атом: квазирелятивистский подход 23
2.5 Разложение решения уравнения Дирака по bo 29
2.6 Свойства излучения атома водорода, характерные для случая Ь0Ф0 34
2.7 Обсуждение 38
3 Эффект Казимира в (3+1 )D электродинамике Максвелл а-Черна- Саймонса 41
3.1 Введение 41
3.2 Электродинамика Максвелла-Черна-Саймонса 43
3.2.1 Динамические инварианты 46
3.2.2 Квантование поля 52
3.3 Однофотонные моды электромагнитного поля между параллельными пластинами 57
3.4 Энергия Казимира: регуляризация методом дзета-функции . 61
3.5 Энергия Казимира: суммирование ряда с помощью теоремы вычетов 67
4 Эффект Казимира в электродинамике Максвелла-Черна-Сай-монса: метод диадной функции Грина . 80
4.1 Введение 80
4.2 Общее выражение для диадной функции Грина через скалярную функцию Грина 85
4.3 Диадная функция Грина: параллельные проводящие пластины 87
4.4 Обсуждение 97
Заключение 101
Приложения 106
- Водородоподобный атом: квазирелятивистский подход
- Свойства излучения атома водорода, характерные для случая Ь0Ф0
- Однофотонные моды электромагнитного поля между параллельными пластинами
- Общее выражение для диадной функции Грина через скалярную функцию Грина
Введение к работе
Актуальность темы
На сегодняшний день в физике фундаментальных взаимодействий утвердились две теории — стандартная модель и общая теория относительности (ОТО) — которые полностью согласуются с экспериментальными данными. В то же время, существенный интерес представляет изучение явлений вне стандартной модели, таких как великое объединение, суперсимметрия, дополнительные размерности и квантовая гравитация. Теория последней не может быть напрямую получена квантованием ОТО принятыми в стандартной модели методами — с другой стороны, на ее корректное описание претендуют некоторые существующие теории, такие как, например, теория суперструн. В рамках последних теорий характерным является спонтанное нарушение лоренц- и СРТ-инвариантности, происходящее при энергиях порядка планковской массы Мр\ ~ 1019ГэВ, что дает возможность изучать проявления физики планковских масштабов при достижимых на сегодняшний день энергиях с помощью постановки прецезионных экспериментов. Таким образом, изучение проявлений возможного нарушения лоренц- и СРТ-инвариантности позволило бы, в лучшем случае, прояснить природу квантовой гравитации, а в худшем случае, наложить ограничения на параметры теорий, предлагающих ее описание.
Цель диссертационной работы
Целью данной диссертационной работы является исследование влияния нарушенной лоренц-инвариантности на две квантовых системы: электрон в связанном состоянии и электромагнитный вакуум между параллельными идеально проводящими пластинами. Соответственно, задачи, которые мы перед собой ставим, — это нахождение стационарных состояний электрона в водородоподобном атоме водорода, изучение его радиационных свойств и свойств по отношению к внешним полям в первом случае и нахождение зависимости силы Казимира от расстояния между пластинами во втором случае.
Научная новизна работы
В диссертационной работе впервые получены волновые функции стационарных состояний электрона в водородоподобном атоме на фоне нарушающего лоренц-инвариантность конденсата Ьм, как в 1/ с2-приближении, так и с использованием полностью релятивистского подхода с квадратичной точностью по bo. Обнаружено, что наличие ненулевого Ьо порождает специфическое расщепление энергетического спектра водородоподобного атома по орбитальному квантовому числу и асимметрию углового распределения излучения поляризованного атома, а также вносит СРТ-нечетный вклад в анапольный момент атома.
В диссертации также проведен последовательный анализ задачи об эффекте Казимира в рамках (3 + \)D электродинамики Максвелла-Черна-Саймонса. Решена задача на стационарные состояния фотона между двумя параллельными проводящими пластинами, и в результате вычислена ведущая поправка к зависимости силы Казимира от расстояния между ними. Также предложен достаточно общий метод нахождения диадной функции Грина в электродинамике Максвелла-Черна-Саймонса. Выражение для этой функции получено для случая параллельных пластин, и на его основе найдена непертурбативная поправка к силе Казимира.
Научная и практическая значимость работы
Полученные в работе результаты могут быть использованы для установления новых ограничений сверху на параметры нарушения лоренц- и СРТ-инвариантности (или даже обнаружения последнего), а также для дальнейшего исследования его влияния на радиационные и другие свойства атома водорода.
Развитые в работе методы полезны для дальнейшего развития теории эффекта Казимира, а рассмотренный в этом отношении случай электродинамики Максвелла-Черна-Саймонса может также иметь космологические приложения.
Апробация работы
Содержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов на научной сессии-конференции секции ЯФ ОФН РАН «Физика фундаментальных взаимодействий» (ИТЭФ, Москва, 2007);
на 13-й и 14-й Международных Ломоносовских конференциях по физике элементарных частиц (МГУ, Москва, 2007, 2009); на конференции «Selected problems of modern theoretical physics» (ЛТФ им. Боголюбова, ОИЯИ, Дубна, 2008); на 4-й Международной Сахаровской конференции по физике (ФИРАН, Москва, 2009); на международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2007» и «Ломоносов-2008» (МГУ, Москва, 2007, 2008); на научных конференциях «Ломоносовские чтения» (МГУ, Москва, 2009, 2010). Кроме того, автор выступал на научном семинаре «Квантовая теория поля» в ведущей организации с докладом по материалам диссертации (ЛТФ имени Н.Н. Боголюбова, ОИЯИ, Дубна, 2010).
Публикации
Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации
Диссертационная работа состоит из введения (глава 1), трех глав основного текста, заключения, четырех приложений (первое из которых содержит список основных обозначений) и списка литературы. Полный объем диссертации — 136 стр., рисунков — 3, список литературы включает 114 ссылок.
Водородоподобный атом: квазирелятивистский подход
Рассмотрим для начала гамильтониан Паули (2.33) в линейном приближении по bpi Пусть внешний потенциал А (х) удовлетворяет условиям: Как говорилось в предыдущем разделе, оператор Рь = Р + btcr связан с оператором импульса Р при bt = 0 унитарным преобразованием Тогда применим это преобразование к гамильтоігаану: Мы видим, что произведенное преобразование свело нарушение лоренц-инвариантности из-за наличия bo к модификации оператора магнитного момента электрона, который приобрел СРТ-нечетную поправку р.А. Следовательно, линейные по bt члены в преобразованном гамильтониане исчезают, как только магнитное поле Н отключается. В частности, в рамках рассматриваемого приближения, задача на собственные функции в электрическом поле ничем не отличается от случая bo = 0 после указанного выше преобразования. В релятивистской теории электрона с поправкой bo, которую мы разовьем в разделе 2.5, появляется также СРТ-нечетная Эффекты нарушения лоренц-инвариантности в водородоподобных поправка к электрическому дипольному моменту (см. (2.76)), которая, однако, не входит в приближение Паули. Пусть А11{х) = (ф(г), 0) и Ъ - (0,0, bz), где г = JC, ф(г) — потенциал ядра, считающийся сферически-симметричным. В то же время этот потенциал не обязан быть кулоновским2. Тогда наша задача напоминает задачу об электроне в однородном магнитном поле Нъ ос Ъ, но с тем отличием, то теперь соответствующий потенциал Ah, такой, что Нъ = rot Аъ, не входит в кинетический член (т.е. мы имеем импульс р вместо р - -сАъ). Взаимодействие с "внешним полем" Ъ затрагивает только спиновые степени свободы электрона и не затрагивает орбитальные. Волновые функции собственных состояний электрона с легкостью находятся в преобразованном представлении и после возвращения исходному представлению имеют вид: 1, mj = — /, / и ms = ±1/2 — соответственно, главное квантовое число, орбитальный момент, его z-проекция и z-npo-екция спина электрона (в преобразованном представлении!). Тд,„; — сферические функции, &Xms обозначают собственные состояния (двухкомпо-нентные столбцы) z-компоненты оператора спина сг3/2 (см. приложение А).
Наконец, R„i(r) и Е — это радиальные волновые функции и энергетические уровни электрона при bo = 0, соответственно. В кулоновском где р = 2Zr/nrB, rB = h/amc — боровский радиус, or = lAnhc « 1/137 — постоянная тонкой структуры, Z — заряд ядра в единицах -е, а R = у — постоянная Ридберга (приведенная к размерности обратного времени). Обобщенные полиномы Лагерра порядка п равны, по определению, Как видим, в преобразованном представлении наличие константы связи Ъ в ведущем порядке приводит к снятию вырождения по спиновому квантовому числу ms, причем соответствующее расщепление спектра должно быть 10 4Гц, исходя из оценок (2.4). В этом представлении наличие bo не сказывается ни на спектре, ни на виде собственных функций электрона, в рамках используемого приближения. Наличие последней константы проявляется только в модификации оператора взаимодействия электрона с внешним магнитным полем. Надо помнить, что индуцированное взаимодействием с Ь расщепление энергетического уровня в дублет является формальным результатом решения задачи на собственные значения в 1/с-приближении и не соответствует физике, которая проявляется, если мы рассмотрим хотя бы 1 /с2-приближение. В последнем приближении имеет место спин-орбитальное взаимодействие [61], которое снимает вырождение по квантовому числу у (полному моменту электрона, включающему его спин). Корректная величина расщепления может быть получена с помощью теории возмущений.
В отсутствие Ъ спектр является вырожденным по орбитальному моменту / и z-проекции полного момента ntj. Возмущающее слагаемое or Ъ коммутирует с Г и с jz, поэтому, выбрав квантовые числа п, /, у, ntj, мы можем использовать невырожденный вариант теории возмущений по Ь [58,61]. Эта физическая ситуация аналогична аномальному эффекту Зеемана [61]. Указанная задача была впервые рассмотрена в [49], но мы еще раз посчитаем энергетическое расщепление. Используя выражения для волновых функций состояний с квантовыми числами п, I, j, rrij при Ьц = О [57,58], что отличается от результата, полученного в [49], в 2 раза. Как видим, происходит расщепление по квантовым числам / и rrtj, причем по rrij расщепление эквидистантно и имеет 2/ + 1 компонент, как в случае аномального эффекта Зеемана [61]. Тем не менее, поправки, связанные с наличием Ь, должны быть крайне малы, поэтому далее мы будем считать Ъ чисто времениподобным вектором с временной компонентой Ьо. Попытаемся сначала найти 60-поправки к собственным состояниям электрона, используя гамильтониан 1/с2-приближения. Рассмотрим куло-новский случай еф(г) = -Zahcfr в линейном приближении по If = (cbt, 0). Этот случай замечателен тем, что собственные функции электрона при Ьо Ф 0 могут быть явно выражены через их значения при bo = 0. Отображение одних функций в другие, как и несколько ранее в этом разделе,
Свойства излучения атома водорода, характерные для случая Ь0Ф0
В заключение данной главы мы рассмотрим пример того, как нарушение СРТ- и лоренц-инвариантности может отражаться в свойствах излучения атома водорода. Рассмотрим случай 6м = (bo, 0) и будем работать в линейном нерелятивистском приближении по bo. Используя ту же систему единиц, что в разделе 2.3, мы положим bo = cbt. Нашей целью будет найти ведущие 6о-поправки к распределению излучения атома водорода (Z = 1) по сфере. Совершим унитарное преобразование (2.45) над гамильтонианом (2.42), включающим взаимодействие с внешним потенциалом длина, а операторы а л/а л рождают/уничтожают один фотон с импульсом hk и поляризацией Л. Потенциал излучения взят в радиационной калибровке А0 = 0, div А = 0, поэтому векторы поляризации e l\k) ортогональны волновому вектору к. В преобразованном оператором Up гамильтониане hp (см. (2.47)) единственным слагаемым, содержащим bo, будет —р.л - Н. Это слагаемое нарушает пространственную четность. Тогда, используя стандартные формулы [58], мы находим угловое распределение вероятности излучения атома в единицу времени (ведущие мультипольности): Здесь (f] и \i) — конечное и начальное состояния электрона в атоме, преобразованные к их виду при bo = О (т.е. в преобразованном оператором Up представлении). Изменение динамики электрона, возникающее при bo Ф 0, оказалось полностью сосредоточенным в поправке р.А (см. (2.48)) к оператору магнитного момента fi. Три вклада в оператор т, выписанные в (2.96), соответствуют электрическому дипольному (El), электрическому квадрупольному (Е2) и магнитному дипольному (Ml) излучению. Поправка \іл вносит Р-нечетный вклад в оператор m и поэтому открывает возможность для переходов с нарушением четности.
Последние запрещены в обычной КЭД [57]. В ней Ej (электрические 27-польные) фотоны имеют четность (— \у, что соответствует четности соответствующего вклада в оператор m. Mj- (магнитные 27-польньіе) фотоны имеют четность (—іу+1. В частности, последнее означает, что 1-излучение соответствует переходам между состояниями электрона с противоположной четностью, а Е2-, Ml -фотоны излучаются при переходах между состояниями с одинаковой четностью. Иначе обстоит дело с переходами, обусловленными вкладом jxA в матричный элемент. Мы будем обозначать такие переходы Aj, где j — угловой момент фотона. А\-переходы имеют правила отбора, аналогичные правилам отбора для Е\-переходов, однако вносят вклад в распределение излучения, имеющий вид вклада Ml-излучения. Поэтому Л1- и Е\ -излучение имеет одинаковую мулътипольностъ, но разную четность. Линейные по bo поправки к угловому распределению могут возникать только благодаря интерференции между El- и ЛІ-излучением. Как следствие, эти линейные вклады в распределение дают нулевой вклад в суммарную интенсивность излучения, поскольку содержат произведение шаровых спиноров с разной четностью. В итоге полная мощность излучения не содержит линейных по bo поправок. Интерференциошюе слагаемое не исчезает, например, для перехода 2/7i/2,i/2 —» 1 1/2,-1/2 (как и в предыдущем разделе, используются обозначения вида w//,OT.)- После суммирования по поляризации излучаемого фотона Я = 1,2, мы имеем распределение вероятности излучения в единицу времени по сфере (0 — полярный угол между волновым вектором фотона к и осью z квантования момента jz): Как видим, при ненулевом bo нарушается центральная симметрия распределения (т.е. в противоположных направлениях излучается неравное количество энергии). Относительная величина нарушения этой симметрии имеет порядок \bo\fmc1 2 10-8 (с учетом ограничений (2.3)).
Схематически распределение (2.98) изображено на рис. 2.1, на котором пунк тирная кривая относится к случаю bo = 0. График построен для значения bo/тс2 = 0.05. Нетрудно показать, что для неполяризованных атомов, т.е. после усреднения по начальным и конечным значениям квантового числа rrtj, сферическая (и, в частности, центральная) симметрия распределения восстанавливается, и последнее уже не содержит линейных по bo вкладов. Это является следствием S 0(3)-инвариантности, которая сохраняется даже при bo Ф 0 (нарушается только 0(3)-симметрия, которая включает отражения, — в силу Р-нечетного характера добавки bo). В нашем рассмотрении мы оставили в стороне вопрос о поляризации атомов. Можно было бы помещать атомы в однородное магнитное поле и использовать эффект Зеемана для частотного разделения излучения атомов с различной поляризацией. Однако это магнитное поле также будет приводить к нарушению Р-четности из-за взаимодействия с fiA. Более того, даже при Ъо = 0 магнитное поле приводит к нарушению Р-четности атома. Дело в том, что атомы не являются покоящимися, поэтому в системе покоя атомного ядра, движущейся с ненулевой скоростью относительно лабораторной системы отсчета, имеется еще и постоянное однородное электрическое поле (из-за преобразования Лоренца магнитного поля, которое создавало поляризацию). Последнее поле и приводит к нарушению Р-четиости [68, 69]. Поэтому для высокоточного наблюдения эффектов нарушения Р-четности необходимо использовать низкие температуры, а также учитывать ряд других факторов, например, аберрацию излучеьгая [68,70]. В нашем коротком обзоре мы не вникаем в эти вопросы, которые требуют детального рассмотрения экспериментальной стороны явления. Итак, в данной главе мы рассмотрели различные решения уравнения Дирака в рамках расширенной электродинамики, выбрав в ней конкретный вид нарушения лоренц-инвариантности. Для начала перечислим основные итоги нашего исследования. Мы получили 1 /с -приближение для уравнения
Дирака с нарушающей лоренц-инвариантность аксиально-векторной поправкой by. С другой стороны, мы провели разложение по bo точного релятивистского уравнения Дирака, что позволило нам найти приближенные выражения для собственных функций электрона в сферически-симметричной потенциальной яме. По сути дела, мы выразили последние через решения при bo — 0, которые предполагались известными, с помощью унитарного преобразования, с точностью до слагаемых порядка 0(6Q). Соответственно, в случае куло-новской потенциальной ямы мы получили решения в явном виде и, как оказалось, при bo Ф 0 возникает квадратичное по bo расщепление энергетического спектра по орбитальному квантовому числу / = j ± 1/2. Более того, величина данного расщепления возрастает линейно с ростом у, в отличие от конкурирущего с ним лэмбовского сдвига, характерного главным образом для 5-состояний (т.е. состояний с / = 0). Все указанные выше
Однофотонные моды электромагнитного поля между параллельными пластинами
В данном разделе мы получим выражения для решений Ап(х) секуляр-ного уравнения Максвелла-Черна-Саймонса (3.53) в случае к?А = (AAF, 0). Другими словами, мы решим квантовомеханическую задачу для свободного фотона между проводящими пластинами. В силу трансляционной инвариантности в направлениях х,умы можем искать решения в виде: где N — нормировочная константа. Из-за условий периодичности (3.49) компоненты вектора к квантуются, так что кх = fnXy, пх,у є Z. Далее, 5" 0(2)-инвариантность по отношеншо к вращениям вокруг оси z позволяет нам повернуть оси х, у так, чтобы после поворота ку = 0, кх = к 0. В этой системе координат мы и будем искать функции f{z). Калибровочное условие связи (3.48) принимает вид: Граничные же условия для потенциала (3.54), вместе с калибровочным условием, дают: Проекции секулярного уравнения MCS-электродинамики (3.53) на оси х, у, z теперь запишутся в виде, соответственно: где й)п — энергия стационарного состояния. Заметим, что дифференцируя (3.73) по z и подставляя dzfz = —ikfx согласно (3.68), мы получаем (3.71), поэтому последнее уравнение является следствием остальных и может быть исключено из рассмотрения. Теперь, используя (3.68), подставим j3%fz вместо dzfx в уравнении (3.72). В итоге мы приходим к системе уравнений на fy, fz: Из этой пары уравнений, а также из калибровочного условия и из граничных условий видно, что наша система обладает особым видом дискретной симметрии, которую мы будем называть z-четностыо и обозначать соответствующий оператор П: Заметим, что її2 = 1, поэтому собственные значения z-четности равны ± 1.
Пусть теперь решение А„{х) обладает точно определенной z-четностью П: Решение f(z), соответствующее определенным П и к, очевидно, можно представить в виде суперпозиции двух решений у (z), отвечающих тем же квантовым числам П, к, но не учитывающих граничные условия на пластинах (другими словами, решений в неограниченном пространстве). Здесь Л = ±1 обозначает две возможные поляризации фотона. Поскольку из (3.79) fy (-z) = Rfy.{z), Как видим, неоднозначность в выборе знака к\ не влияет на вид решений, с точностью до знака. Также надо отметить, что решения с комплексным д, являющиеся неограниченными при \z\ — х , также могут входить в суперпозицию (3.80), поскольку в последняя имеет отношение к области между пластинами, где z конечно. Наложим теперь граничные условия (3.69), (3.70) на суперпозицию (3.80). Для решений с определенной z-четностью граничные условия при z = +а и z = -а эквивалентны, поэтому достаточно рассмотреть их при z = +а. В дальнейших вычислениях мы будем использовать обозначение ± = ы для всех величин д, зависящих от поляризации Л, а именно Сд, лгд, в,\ и т.п. Тогда граничные условия для fynfz принимают вид системы линейных уравнений на С±: Граничные условия для fx выполняются автоматически, в силу (3.68). Для существоваїшя нетривиальных решений для С± необходимо, чтобы детерминант матрицы системы уравнений (3.87), (3.88) обращался в нуль, т.е. gn(o l) = рп(х+а) р-п(х-а) sin 0_ + п( -«) -п( +«) sin 0+ = 0. (3.90) Это уравнение неявно задает спектр энергий однофотонных состояний для каждого & 0иП = ±1. Как это и указано явно в уравнении выше, gn не зависит от знака соп.
Более того, обращение знака &AF приводит к тому, что все величины д, зависящие от поляризации Л = ±1, преобразуются по закону д — _д. Функции gn(ct 2), очевидно, являются инвариантными по отношению к такому "перевороту" поляризации, поэтому они не зависят и от знака &AF- Соответственно, не зависят от знака &AF И собственные значения энергии со„. Для будущих ссылок мы отметим здесь также, что, согласно (3.84), В приложении В.1 (см. замечание В.1), мы покажем, что квадраты собственных значений частот а 2 —k F, поэтому соответствующие им К,\ вещественны, а с\ могут быть вещественными или чисто мнимыми. После того как найдено решение уравнения (3.90), решения для С± выражаются в виде:
Общее выражение для диадной функции Грина через скалярную функцию Грина
Забудем пока о граничных условиях, которые налагаются на функцию Грина T j-ix, xf; D), и попытаемся выразить частное решение П. волнового уравнения (4.21) с условием поперечности (4.22) через фунісции eij(x,xf;K)t удовлетворяющие уравнениям Эти уравнения являются, по сути дела, скалярными, и их частное решение можно выразить через скалярную функцию: Далее мы будем пользоваться матричными обозначениями, а именно 6у — 1, VZV, — V 8 V, ejaj — єк, є-фдк —» є - V, П. — Г . Такие операторы как rot, div, будут действовать по первому индексу матриц. Теперь нетрудно показать, что если рассмотреть функцию ё = (1 + Crot)e(x,xf;K), где С є Е, то при мы получаем: т.е. уравнение с дельтаобразнои правой частью, оператор в левой части которого совпадает с таковым в уравнении (4.21) для матрицы Г . Кроме того, очевидно, что матричная функция ё поперечна по своему первому индексу, поскольку divrot = 0. Возьмем поэтому Теперь, чтобы функция Г удовлетворяла уравнению (4.21), достаточно выполнения двух уравнений на коэффициенты Сл: Отсюда выражение для Г принимает вид: Наконец, выра пользоваться матричными обозначениями, а именно 6у — 1, VZV, — V 8 V, ejaj — єк, є-фдк —» є - V, П. — Г . Такие операторы как rot, div, будут действовать по первому индексу матриц. Теперь нетрудно показать, что если рассмотреть функцию ё = (1 + Crot)e(x,xf;K), где С є Е, то при мы получаем: т.е. уравнение с дельтаобразнои правой частью, оператор в левой части которого совпадает с таковым в уравнении (4.21) для матрицы Г . Кроме того, очевидно, что матричная функция ё поперечна по своему первому индексу, поскольку divrot = 0. Возьмем поэтому Теперь, чтобы функция Г удовлетворяла уравнению (4.21), достаточно выполнения двух уравнений на коэффициенты Сл: Отсюда выражение для Г принимает вид: Наконец, выражая е(х,х/;КА) через скалярную функцию ср и пользуясь уравнением (4.33) для последней, мы получаем в итоге: В дальнейшем мы будем использовать это выражение, разложенное по определенной системе ортонормированных функций, например, по системе собственных функций операторов проекций импульса на оси х, у.
Теперь мы очертим метод, которым мы будем находить решение Гу(х, х ; со), удовлетворяющее уравнениям (4.21), (4.22) и граничным условиям (4.25). Для начала мы выберем подходящую функцию р(х, х?\ со) так, чтобы она удовлетворяла уравнению (4.33). Затем, используя (4.41), мы получим выражение для функции T -. xf to). Тогда искомая функция Гу(х, xf;co) отличается от последней на слагаемое Btj{x,xf; со), удовлетворяющее однородному волновому уравнению, но с приложенными к нему неоднородными жая е(х,х/;КА) через скалярную функцию ср и пользуясь уравнением (4.33) для последней, мы получаем в итоге: В дальнейшем мы будем использовать это выражение, разложенное по определенной системе ортонормированных функций, например, по системе собственных функций операторов проекций импульса на оси х, у. Теперь мы очертим метод, которым мы будем находить решение Гу(х, х ; со), удовлетворяющее уравнениям (4.21), (4.22) и граничным условиям (4.25). Для начала мы выберем подходящую функцию р(х, х?\ со) так, чтобы она удовлетворяла уравнению (4.33). Затем, используя (4.41), мы получим выражение для функции T -. xf to). Тогда искомая функция Гу(х, xf;co) отличается от последней на слагаемое Btj{x,xf; со), удовлетворяющее однородному волновому уравнению, но с приложенными к нему неоднородными граничными условиями: Поскольку дельта-функция в выражении для Г (х, xf) обращается в нуль в правой части (4.45), а оставшиеся слагаемые в Т (х, х/) имеют вид суммы по поляризации Л, то и решение Btj(x, xf) можно представить в виде такой же суммы: Таким образом, остается найти функции В л\х, xf; со), чем мы и займемся в следующем разделе. Выберем пластины так, чтобы они занимали плоскости z = OHZ = D в декартовых координатах х, у, z. Нетрудно показать, что, поскольку Ави = 0 (см. (3.17)), интеграл от касательной компоненты ТЭИ 6му, а именно от въъ, по пластине z = О калибровочно-инвариантен. Так же как и в предыдущей главе, мы будем считать поля х, -периодичными с длиной периодичности L —» со. Тогда
