Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Квантовые аспекты абелевой теории черна саймонса в искривленном пространстве-времени 10
1.1. Уравнения ренормализационной группы в искривленном пространстве-времени. „10
1.2. Асимптотическая конечность и асимптотическая суперсимметрия в абелевой теории Черна-Саймонса с материей 20
1.3 . Поведение абелевой теории Черна-Саймоиса с материей в искривленном. пространстве—времени 27
ГЛАВА 2. Квантовая космология в теории бранса-дикке и ее устойчивость 32
2.1. Конформная аномалия в искривленном пространстве-времени 32
2.2. Теория Бранса-Дикке и эффективное действие. 39
2.3. Космологические решения 43
2.4. Устойчивость квантовых космологии 47
ГЛАВА 3. Гидродинамические свойства жидкого диэлектрика во внешнем световом поле 51
.3.1. Полуклассическое описание системы взаимодействующих молекул 53
3.2. Гидродинамика в поле. Метод неравновесного статистического оператора 60
3.3. Гидродинамика в поле. Метод полуклассического представления ...68
Заключение 73
Благодарность 75
Литература 76
- Асимптотическая конечность и асимптотическая суперсимметрия в абелевой теории Черна-Саймонса с материей
- Поведение абелевой теории Черна-Саймоиса с материей в искривленном. пространстве—времени
- Космологические решения
- Гидродинамика в поле. Метод неравновесного статистического оператора
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Модели, содержащие внешние поля, занимают важное место в современных исследованиях по теоретической физике Диссертация посвящена рассмотрению квантовых эффектов в теоретико-полевых моделях с внешними полями Изучаются квантовые аспекты абелевой теории Черна-Саймонса с материей в искривленном пространстве-времени, квантовая космология в теории Бранса-Дикке и ее устойчивость, гидродинамика жидкого диэлектрика в световом поле
Асимптотическое поведение перенормируемых калибровочных теорий с материей в четырехмерном искривленном пространстве исследовалось многими авторами Такое исследование, выполненное впервые в SU(2) калибровочной модели, было впоследствии обобщено для теорий великого объединения с калибровочными группами SU(N), O(N), Еб Поведение перенормир)емой теории поля в искривленном пространстве существенно определяется поведением соответствующих эффективных зарядов Эти эффективные заряды естественным образом разделяются на три группы
эффективные заряды, имеющие аналоги в плоском пространстве (эффективные константы юкавской и калибровочных связей и скалярного самодействия),
эффективные константы неминимального скаляр-гравитационного взаимодействия,
вакуумные эффективные заряды
При этом наиболее интересным оказывается поведение эффективных констант неминимального скаляр-гравитационного взаимодействия, которое существенно зависит от рассматриваемой модели Все эти соображения применимы к трехмерным абелевым теориям Черна-Саймонса во внешнем гравитационном поле
Представляет интерес применение общей схемы ренормгрупповых уравнений во внешнем гравитационном поте к перенормируемым моделям теории ноля типа Черна-Саймонса во внешнем гравитационном поле, а также поиск асимптотического поведения теории Черна-Саймонса при высоких энергиях (сильная скалярная кривизна) и в инфракрасном пределе Такое исследование может быть интересно и для изучения космологии
ранней Вселенной в связи с существованием как МОДМИ-ДЯЯ ияукншл ІіЯЧЧіиІГОГИи гпави-
БИБЛИОТЕКА О» W
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ \
гационной теории Черна-Саймонса
$№
Другая интересная модель, претендующая на описание ранней Вселенной-эго теория Бранса-Дикке (гравитация со скалярным полем-дилатоном). Скалярные поля очень популярны в космологии, несмотря на ряд имеющихся проблем. Теория Бранса-Дикке может претендовать на роль правильной теории ранней Вселенной, если дилагон быстро стремится к нулю в процессе эволюции Вселенной. Чрезвычайно интересным является учет квантовых эффектов в рамках модели Бранса-Дикке для описания эволюции ранней Вселенной, в которой не последнюю роль играют термодинамические соображения.
Внешние поля играют важную роль в нерелятивистской теории поля. В диссертации рассматриваются аспекты неравновесной статистической термодинамики, в которых проявляются эффекты внешнего поля. Статистическая термодинамика неравновесных процессов исходит из законов сохранения не для средних значений динамических величин, а для самих динамических величин, то есть рассматривает законы сохранения не с макроскопической, а с микроскопической точки зрения. В работе изучается модель нерелятивистской теории поля, рассматривающая систему с внутренними степенями свободы, взаимодействующую с внешним электромагнитным полем. Примером может служить гидродинамика жидкого диэлектрика во внешнем электромагнитном поле. Актуальное значение имеет задача об учете квантовых поправок, связанных с влиянием внутренних степеней свободы на динамику внешних степеней свободы.
Цель работы
Изучение квантовых эффектов в теоретико-полевых моделях с внешним гравитационным полем, а также изучение связи внутренних и внешних степеней свободы во внешнем электромагнитном поле.
Научная новизна работы
Научная новизна работы определяется тем, что в ней исследована модель теории поля типа Черна-Саймонса во внешнем гравитационном поле, учтены квантовые эффекты в рамках модели Бранса-Дикке для описания эволюции Вселенной. Получены выражения для кинетических коэффициентов в уравнениях гидродинамики жидкого диэлектрика в световом поле, содержащие квантовые поправки.
Научная и практическая значимость работы
Результаты исследования перенормируемой модели теории ноля Черна- Саймонса, приведенные в диссертации, показывают, что существуют режимы, где эта теория является асимптотически конформно инвариантной (явление, обнаруженное в работах И Л Бух-биндера и СД Одинцова) В рассмотренной модели теории Бранса-Дикке, взаимодействующей с квантовой спинорной материей, в асимптотическом случае найдены космологические решения типа Вселенной Фридмана (де Ситтера) с зависящим от времени дилато-ном, которые могут описывать реалистическую Вселенную Полученные уравнения гидродинамики жидкого диэтектрика однокомпонентной жидкости в световом поле представляются полезными при решении практических задач о генерации звуковых волн в жидкости, нагревании капли жидкости электромагнитным полем, движении ансамбля атомов в световом поле
Результаты, выносимые на защиту
1. Получены решения двухпетлевых уравнений ренормгруппы в теории Черна-
Саймонса со скаляром и спинором в трех измеренияхдля эффективных скалярной и юкав-
ской констант связи. Показано, что при высоких энергиях (сильная скалярная кривизна) и
в инфракрасном пределе теория Черна-Саймонса становится асимптотически конечной.
Доказано, что трехмерная абелева теория Черна-Саймонса с материей может быть асимптотически конечной и асимптотически суперсимметричной. Установлено, что существуют режимы, где теория Черна-Саймонса является асимптотически конформно инвариантной. Показано, что в d = 3 калибровочных теориях может реализовываться асимптотическая конформная инвариантность экспоненциального типа.
Найдены космологические решения типа Вселенной Фридмана (де Ситтера) с зави сящим от времени дилатоном в теории Бранса-Дикке с квантовой спинорной материей. Показано, что дилатон для таких решений убывает в процессе эволюции Вселенной.
4. Решены уравнения для малых возмущений. Показано, что найденные космологиче
ские решения устойчивы по отношению к малым возмущениям масштабного фактора.
5. Выведены уравнения гидродинамики в системе частиц с внутренними степенями свободы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем. Для кинетических коэффициентов в уравнениях гидродинамики найдены точные выражения через временные корреляционные функции с учетом квантовых поправок, описывающих влияние внутренних степеней свободы на внешние.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались на 16-й всесоюзной конференции молодых исследователей в институте теплофизики (Новосибирск, 1983), на конференции «Quantum fields at external conditions» в Лейпцигском университете (Лейпциг, 1995), на конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (с международным участием) «Наука и образование» Томского государственного педагогическою университета (Томск, 2004); на семинарах в Трондхеймском университете, на объединенных семинарах лаборатории Фундаментальных Исследований ТГПУ, кафедры теоретической физики и кафедры математики ТГПУ.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 6 работ.
Объем и структура диссертации
Асимптотическая конечность и асимптотическая суперсимметрия в абелевой теории Черна-Саймонса с материей
Черна-Саймонса со скаляром и спинором в трех измерениях. Лагранжиан имеет следующий вид [54]: Здесь DM = дм - ieAM, Ф, F-комплексный скаляр и дираковский спинор соответственно, константы взаимодействия е, a, h безразмерны. Теория с лагранжианом (1.2.1) мультипликативно-перенормируема. Техника вычисления расходимостей описана в [33,35-36,67]. Как известно, на однопсглевом уровне теория конечна, а расходимости возникают только на двухпетлевом уровне [54]. Двухпетлевые уравнения ренормгруппы для эффективных констант связи имеют следующий вид [54,55]: A. Получим решения уравнений (1.2.2), найденных в работах Д.И. Казакова, Л.В. Авдеева и Г.В. Григорьева. Из первого уравнения следует, что е не зависит от времени, то есть e(t) = е. Если а не зависит от времени, получим: Следовательно, =3е ; or2 =-0,768е , аъ = -2,23е В случаях, когда а зависит от времени, получаем: частные случаи: 1.а(/) аг,+а(г) = 3е2 + а(/). Получим уравнение: в линейном приближении получим: Если h не зависит от времени, имеем: Решениями будут: \\ =е4, &, = -1,357е4. Если h зависит от времени, имеем: Возможны случаи: 1. Л(ґ) = й, + й(ґ) = е4 + й(ґ). В линейном приближении получим: Отсюда находим: h(t) = h-J 4t й(/) = -1,357-є4 + A-e \ При f - +оо, й(ґ) - +оо. Решениями будут: / = 0,61 бе4, / = -0,591е4. Если h зависит от времени, возможны случаи: 1. й(ґ) = Лі+й( ) = 0,616е4 + й(ґ). В линзйном приближении получаем: Если ґ --ао, й(/)-»0,616е4. 2. /Ї(/) =/ + Л (/) =-0,59 le4, Л.В. Авдеева и Г.В. Григорьева. Из первого уравнения следует, что е не зависит от времени, то есть e(t) = е. Если а не зависит от времени, получим: Следовательно, =3е ; or2 =-0,768е , аъ = -2,23е В случаях, когда а зависит от времени, получаем: частные случаи: 1.а(/) аг,+а(г) = 3е2 + а(/). Получим уравнение: в линейном приближении получим: Если h не зависит от времени, имеем: Решениями будут: \\ =е4, &, = -1,357е4. Если h зависит от времени, имеем: Возможны случаи: 1. Л(ґ) = й, + й(ґ) = е4 + й(ґ). В линейном приближении получим: Отсюда находим: h(t) = h-J 4t й(/) = -1,357-є4 + A-e \ При f - +оо, й(ґ) - +оо. Решениями будут: / = 0,61 бе4, / = -0,591е4. Если h зависит от времени, возможны случаи: 1. й(ґ) = Лі+й( ) = 0,616е4 + й(ґ). В линзйном приближении получаем: Если ґ --ао, й(/)-»0,616е4. 2. /Ї(/) =/ + Л (/) =-0,59 le4+( ). В линейном приближении получаем: l = -202,S7e4 h(t),h(t) = h-e-2a2 i7,!,t, (1.2.18) Л(0 = -0,591е4+Л-г-202 87 \ Если f — -оо, й(ґ) - +00. В случае - +оо (ультрафиолетовый предел) получим другую асимптотику. Рассмотрим частные случаи: I. a(t) = 3e2+a-e91eit. Если / - +оо, a{t) - +00. В случае зависимости h от времени в линейном приближении получим решения типа найденных в [35]: Пусть й не зависит от времени, тогда получим уравнение: Вещественных решений оно не имеет. В случае зависимости h от времени в линейном приближении получим решения: Если f-»+ao, Л( )-»-0,591е4. Как было показано в работе [54], для теории с действием (1.2.1) существуют четыре режима, в которых теория является конечной на двухпетлевом уровне:
В режиме конечности эффективные константы связи где значения a\.h даются одним из вариантов (1.2.20). Второй случай в (1.2.20) соответствует N=2 суперсимметрии [54,60]. Рассмотрим предел /- —оо (инфракрасный) для решений уравнений (1.1.2). В этом пределе независимо от начальных значений h{f)— е4,«( )-» Зе2. Таким образом, в асимптотике +( ). В линейном приближении получаем: l = -202,S7e4 h(t),h(t) = h-e-2a2 i7,!,t, (1.2.18) Л(0 = -0,591е4+Л-г-202 87 \ Если f — -оо, й(ґ) - +00. В случае - +оо (ультрафиолетовый предел) получим другую асимптотику. Рассмотрим частные случаи: I. a(t) = 3e2+a-e91eit. Если / - +оо, a{t) - +00. В случае зависимости h от времени в линейном приближении получим решения типа найденных в [35]: Пусть й не зависит от времени, тогда получим уравнение: Вещественных решений оно не имеет. В случае зависимости h от времени в линейном приближении получим решения: Если f-»+ao, Л( )-»-0,591е4. Как было показано в работе [54], для теории с действием (1.2.1) существуют четыре режима, в которых теория является конечной на двухпетлевом уровне: В режиме конечности эффективные константы связи где значения a\.h даются одним из вариантов (1.2.20). Второй случай в (1.2.20) соответствует N=2 суперсимметрии [54,60]. Рассмотрим предел /- —оо (инфракрасный) для решений уравнений (1.1.2). В этом пределе независимо от начальных значений h{f)— е4,«( )-» Зе2. Таким образом, в асимптотике теория становится конечной и суперсимметричной (асимптотические конечность и суперсимметрия [56,57]). Следовательно, суперсимметрия инфракрасно-устойчива, как ив четырех измерениях [56,57]. изучим теперь теорию в пределе t +00. Зафиксируем начальное значение для а:а(0) = 3е2. Тогда a(t) = 3e2 и при ґ-»+оо й(г)- є4 независимо от начального значения /г(0). Следовательно, в ультрафиолетовой асимптотике при фиксированном значении а(0) = 3е2 теория эффективно становится конечной (асимптотическая конечность [56,57]). При этом начальное значение h(t) является произвольным. Зафиксируем теперь а(0)я-2,23е2. Тогда при t—»+оо h{f)— 0,62е4 независимо от начального значения /г(0). Теория вновь является асимптотически конечной. В ультрафиолетовом пределе существует два режима асимптотической конечности. Таким образом , абелева теория Черна-Саймонса с материей может быть асимптотически конечной и асимптотически суперсимметричной. В более сложных моделях число режимов конечности существенно возрастает. В этом случае увеличивается также число фаз теории с асимптотической конечностью.
Поведение абелевой теории Черна-Саймоиса с материей в искривленном. пространстве—времени
Рассмотрим мультипликативно-перенормируемую абелеву теорию Черна-Саймонса с материей в искривленном пространстве—времени. В соответствии с общими результатами [33] действие такой теории имеет следующий вид: Здесь D/J=V/J-ieA/4, введена глобальная SU(N) - симметрия поля в присоединенном представлении SU(N), j,k = \,...,N\ с -зарядово— сопряженный спинор; e,atJ3,y,h, !; - безразмерные константы взаимодействия; //,/и-массы; q -константа скалярного самодействия размерности массы; д1;...,а4 -параметры лагранжиана внешнего гравитационного поля; Последнее слагаемое в Lext описывает гравитационный член Черна-Саймонса. Слагаемые Lext и КФ Фу добавлены к Lm [55], в нашей работе [101] для того, чтобы сделать теорию мультипликативно-перенормируемой в искривленном пространстве. Отметим также, что в безмассовой мультипликативно-перенормируемой теории, где т = JJ = q = 0 Lexe содержит только член Черна-Оаймонса, который является безразмерным в трех измерениях. Перейдем теперь к изучению ренормгруппового поведения. Прежде всего, поскольку теория конечна на .однопетлевом уровне, расходимости могут возникать только в двухпетлевом приближении. При этом Д -функции констант и масс, содержащихся в ш, те же самые, что и в плоском пространстве. В низшем порядке (две петли) эти /? - функции вычислены в работе [55]; При этом, однако, смысл ренормгруппового параметра t в данном пункте тот же, что и в работах [33,67], поскольку используется масштабное преобразование метрики :g- — е 2 .
Предел t - да соответствует пределу высоких энергий (или пределу большой скалярной кривизны) [33],а инфракрасный предел t —» -оо отвечает низким энергиям (малой кривизне): Отметим, что в предыдущем пункте смысл параметра t был другой (в плоском пространстве: существует импульсное представление и можно рассматривать растяжку импульсов р - е р). Как отмечалось в предыдущем пункте, в рассматриваемых теориях существует большое число режимов конечности ( при .№ = 1- 4; 2-5-18 и так далее). Наиболее интересным из эффективных зарядов, не имеющих аналога в плоском пространстве, с точки зрения космологических приложений [33] является заряд ( ) . Его поведение аналогично здесь. поведению %{t) в четырехмерных «конечных» теориях в искривленном пространстве—времени; [58,59]. Эффективные константы размерности массы ведут себя всегда как т(г)/"е и убывают экспоненциально при7 - со. Перейдем к построению ренормгруппового уравнения для (/). Двухпетлевые вычисления в искривленном- пространстве-времени требуют использования локально-импульсного представления или метода фонового поля, они чрезвычайно сложны и для d-Ъ не проводились. Однако можно выдвинуть следующее предположение [101]: в абелевой теории Черна-Саймонса с материей в искривленном пространстве—времени на двухпетлевом уровне где у 2) -гамма-функция для массы скалярного поля в двухпетлевом приближении. Во-первых, это соотношение тривиально выполняется в перенормируемой скалярной самодействующей теории в d = 3, так как в этом случае /Зу = 0, у 7=0. Во-вторых, в низшем порядке теории возмущений (однопетлевом) соотношение такого же типа всегда имеет место в d = 4 [33]: В теории с действием (1.3.1) при /и = // = = 0 Х.Ж + КФ Ф. конформно-инвариантен при ,-—.
Таким образом, соотношение (1.3.2) является полным о аналогом соответствующего d = 4 соотношения (1.3.3) в низшем порядке теории возмущений 3d - 3 (вс/ = 3 всегда рр = 0, у = о ) Наконец, можно привести аргументы, аналогичные данным в [17,18] для d = 4 и основанные на конформных тождествах Уорда. Тогда с использованием предположения (1.3.3) двухпетлевое уравнение ренормгруппы для %{t) имеет вид: где J Y для теории с действием (1.3.1) приведена в работе [55]. В частности, при # = 1 (в этом случае Lm дается выражением (1.2.1)) А Г$= j[a2-9e \. Тогда решение уравнения (1.3.4) в режимах (1.2.20) имеет вид: асимптотически конформно инвариантной в d - 3 при t — «э; %{t) = — о независимо от начального значения. При f-»-oo, (ґ)- оо. Для N = 2 существует 18 режимов конечности, для которых у 2 может быть положительным, отрицательным или нулем. Тогда при t - оо возможны следующие ситуации: 1 ).(/) —» — (асимптотическая конформная инвариантность); о Для t— -оо поведение (?) в 1 и 3 взаимно меняется. Таким образом, показано, что в d = 3 калибровочных теориях может реализовываться асимптотическая конформная инвариантность к экспоненциального типа. Что касается вакуумных эффективных зарядов, то в режиме конечности они имеют структуру:
Космологические решения
Найти общее решение уравнений (2.3.1) сложно. Однако существует хорошо известное решение в отсутствие дилатона, а именно в гравитации Эйнштейна с квантовой материей. Это решение описывает расширяющуюся Вселенную. Имея ввиду такое решение, можно найти частное решение уравнения (2.3.4) [74]: где Н и Hi-некоторые постоянные, найденные в работе [74]: Заметим, что в физическом времени a\tj e (Вселенная де Ситтера). В настоящее время существуют астрофизические данные, свидетельствующие, что Вселенная расширяется с ускорением (а"(0) 0), и может быть де Ситте ювской. Из решения (2.3.6) получается квантовая оценка для со: а = \-Х,Х 3 5, что незначительно больше, чем классическое ограничение Х 0. Значение Н1 увеличивается посредством вклада, связанного с дилатоном. Таким образом, изучено точное аналитическое решение, описывающее несингулярную Вселенную Бранса-Дикке с расширяющимся дилатоном [74]. Это чисто квантовое решение, которое не существует на классическом Уровне А Если 3 очень велико, У«— и можно найти другие оценки для Я1, ЗЯ, которые зависят от точного выбора параметра Бранса Дикке со. Это происходит главным образом с дилатоном. Найдем еще одно частное решение уравнений (2.3.1). Рассмотрим случай т — оо, тогда А = -J 0, Система уравнений (2.3.1) примет вид: Будемлискать частное решение уравнения (2.3.13) в физическом времени t в виде: В конформном времени оно выглядит так: Подставим решение (2.3.15) в уравнение (2.3.13) и рассмотрим линейное приближение по а :
Таким образом, в асимптотическом случае при больших значениях параметра Бранса-Дикке получено еще одно космологическое решение, которое может описывать реалистическую Вселенную. В этом разделе решения уравнений движения, найденные в предыдущем параграфе, будут исследованы на устойчивость [102,103]. Положим а{г}) = (- Л(?7), где h{n) - малое возмущение. Подставим а{п) в уравнение (2,3.4), получим уравнение на h(r}): Рассмотрим коэффициенты в уравнении (2.4.5): Тогда уравнение (2.4.5) запишется так: Если rj — 00 получаем h - 0, то есть общее решение однородного уравнения устойчиво и, значит, найденное космологическое решение устойчиво. Будем искать общее решение уравнения (2.4.7) в виде: Произвольные постоянные Ci(//) и C2(tj) определим из системы уравнений: 2324jd 2 _i /(7)-7 5 -cos(28-ln7) + C2 (7)-7 5 -sin(28-ln7) = 0 -С/( 7И5 -С; (rj)- гр Если 7] - oo, то A — 0. Таким образом, малое возмущение при неограниченном увеличении конформного времени т] не влияет на вид решения уравнений движения, тем самым устойчивость решения показана. Рассмотрим другое частное решение, когда со -»со: Таким образом, найденное космологическое решение устойчиво. В данной главе получены космологические решения типа Вселенной Фридмана (де Ситтера) с зависящим от времени дилатоном в теории Бранса Дикке с квантовой спинорной материей. Показано, что такие квантовые космологии могут быть устойчивы по отношению к малым возмущениям масштабного фактора. При этом дилатон убывает с расширением Вселенной. A В этой главе методом неравновесного статистического оператора [92] получены уравнения переноса в системе с внутренними степенями свободы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем. Подобные вопросы изучались также в [39,40,93,94]- Система состоит из молекул одного сорта и может рассматриваться как упрощенная модель теории поля с. внешним источником. В этом смысле вопросы, изученные в данной главе, схожи с задачами предыдущих глав. Первый параграф носит обзорный характер, в нем дается описание метода:, полуклассического представления в статистической физике взаимодействующих молекул. Во втором параграфе эволюция внешних степеней свободы описывается уравнениями гидродинамики в поле, в которые входят кинетические коэффициенты, учитывающие влияние внутренних степеней свободы на внешние через термодинамические параметры. Для кинетических коэффициентов получены точные выражения через временные корреляционные функции; Аналогичная задача, но без поля решалась в [95].
Полученные уравнения гидродинамики сравнивались с [95], выделены слагаемые, учитывающие влияние электромагнитного поля на динамику среды. В третьем параграфе с помощью метода неравновесного статистического оператора осуществлен: переход к огрубленному описанию, а учет влияния внутренней неравновесности на динамику внешних степеней свободы: проводился методом полуклассического представления [96-98]. Методом; [99] получены уравнения гидродинамики однокомпонентной жидкости в световом поле. При этом;не делалось предположение о малости взаимодействия внешних и внутренних степеней свободы, так как при получении уравнений гидродинамики не использовались законы сохранения энергии и импульса для каждой подсистемы. Применение метода полуклассического представления привело к более полному учету через корреляционные функции влияния внутренних степеней свободы на внешние.
Гидродинамика в поле. Метод неравновесного статистического оператора
В этом параграфе методом неравновесного статистического оператора [92] получены уравнения теплопроводности и Навье Стокса для однокомпонентной жидкости во внешнем электромагнитном поле. Кинетические коэффициенты в уравнениях определены не феноменологически, а получены в явном виде. Более полно учтено влияние поля на внешние степени свободы [100]. Рассматривается система с релаксацией, состоящая из молекул одного сорта, находящихся в различных квантовых состояниях, взаимодействующая с внешним электромагнитным полем. Гамильтониан задачи в представлении вторичного квантования имеет стандартный вид: Здесь использованы обозначения: Ф"(дг,д: )-потенциал взаимодействия между молекулами, находящимися в состоянии к—1 соответственно, в результате которого молекулы переходят в состояния і и j;dy = (i\d\j} - матричный элемент оператора дипольного момента; є{ - собственная энергия внутреннего состояния і. Запишем законы сохранения для плотностей энергии Н{х), импульса р[х) и числа частиц п{х)\ В этих уравнениях jH{x) -плотность потока энергии; JfI{x) -изменение энергии системы в единицу времени; j(JC) -плотность потока частиц; J(x) скорость образования частиц; Т{х) -тензор плотности импульса; f(x) плотность силы, действующей на систему со стороны поля. Обозначим индексом "О" потоки в пренебрежении внутренними степенями свободы, и с индексом "1" потоки, содержащие внутренние степени свободы. Выпишем обозначения из (3.2.2) в явном виде: В выражении для плотности потока энергии (3.2.3) и в правой части закона сохранения энергии появились дополнительные слагаемые (3.2.6), (3.2.7) и (3.2.8), обусловленные действием электромагнитного поля на диэлектрик. Так (3.2.6) учитывает влияние электромагнитного поля на внешние степени свободы, а (3.2.7)-на внутренние. Действие поля на внутренние степени свободы приводит к тому, что меняется собственная энергия молекул как до столкновения, так и после. В приведенных формулах Р (х) -плотность заряда, у Дл:)-плотность потока частиц і-й компоненты, у (х)-плотность потока частиц г-й компоненты, которая под влиянием столкновений с другими молекулами и под действием поля перешла в состояние у, то есть является результатом диффузии молекул однокомпонентной жидкости, находящихся в различных состояниях.
В правой части закона сохранения импульса появилась пондермоторная сила f{x), которая представляет собой силу, действующую со стороны электромагнитного поля на точечный дипольный момент. Для плотности числа л. частиц после включения поля уравнение не изменится [91]. Теперь на основе законов сохранения запишем неравновесный статистический оператор: Термодинамические параметры Fim(x,t) выбраны из условия равенства среднего значения по неравновесному статистическому оператору ре среднему значению по локально равновесному оператору р{: что означает переход к огрубленному описанию. где Д(х,/)-обратная температура і -й подсистемы, //. [х,t) -ее химический потенциал, vt(x,t)-массовая скорость. Запишем неравновесный статистический оператор, ограничиваясь линейными членами в разложении V/?, Vv,V vi: Штрих означает переход к движущейся системе отсчета. После усреднения по неравновесному статистическому оператору законов сохранения энергии, импульса и числа частиц, получим уравнения гидродинамики в поле. Затем выразим стоящие в уравнениях гидродинамики средние через коэффициенты теплопроводности Л, объемной вязкости и сдвиговой вязкости г}. Для этого используем кинетические коэффициенты тп В разложении неравновесного статистического оператора по малому параметру мы ограничились линейным приближением, поэтому усреднение по локально-равновесному оператору р, в (3.2.20) заменено усреднением по равновесному статистическому оператору pQ. Тогда можно записать: В дальнейшем удобно использовать операторы плотности потока тепла J Q(X) и плотности потока диффузии jd {х): Линейные соотношения между потоками, источниками и термодинамическими силами получаются, если усреднить законы сохранения по неравновесному статистическому оператору и ограничиться линейными членами по термодинамическим силам. Здесь Xin - термодинамические силы, соответствующие операторам _ —. _( теплового уе, вязкого ju и диффузионного потоков jd.
