Кинетическая теория процессов релаксации в сверхпроводниках Валеев Валерий Галимзянович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Кинетические уравнения ддя сверхпроводников с интегралами столкновений, сохраняющими число частиц

1. Введение . 17

2. Вывод кинетических уравнений 18

3. Интегралы столкновений и частоты релаксации 26

1. Интеграл столкновений Ленарда-Балеску в теории сверхпроводимости 28

2. Частоты электрон-электронных столкновений в модели Горькова 32

3. Интеграл электрон-фононных столкновений 34

4. Интеграл столкновений электронов с немагнитными примесями 38

5. Интеграл столкновений электронов с парамагнитными примесями 39

ГЛАВА 2. Гидродинажка нейдеальнои сверхпроводящей жидкости. затухание первого и второго звуков

1. Введение 43

2. Законы сохранения 45

1. Уравнение непрерывности для объемной плотности числа частиц 45

2. Уравнение непрерывности для плотности проекции спина электронов 46

3. Закон сохранения импульса 47

4. Уравнение баланса энергии 47

5. Уравнение для сверхтекучей скорости 48

3. Уравнения гидродинамики идеальной сверхпроводящей жидкости 49

4. Применение метода Чемпена-Энскога к решению кинетического уравнения для матрицы плотности сверхпроводника 52

1. Задача о теплопроводности 59

2. Задача о первой вязкости 61

3. Задача о второй вязкости 62

5. Затухание первого и второго звуков 66

ГЛАВА 3. Столкновителшая релаксация модуля параметра порядка, релаксация, диффузия и флуктуации разбаланса заселенностей ветвей спектра возбуждений и неравновеской спиновой плотности в сверхпроводниках. о термоэлектрическом эффекте в двусвязных сверхпроводящих системах .

1. Введение 69

2. Обобщенный метод Чепмена-Энскога 71

3. Туннельный источник электронов 77

4. Кинетические коэффициенты с учетом эффектов запаздывания 79

1. Коэффициенты проводимости и теплопроводности. Термоэлектрический коэффициент 81

2. Коэффициент объемной вязкости 83

5. Столкновительная релаксация модуля параметра порядка в сверхпроводниках 86

6. Релаксация разбаланса заселенностей ветвей спектра возбуждений сверхпроводника и возможности ее экспериментального исследования 90

1. Частота релаксации, коэффициенты диффузии и термодиффузии разбаланса заселенностей ветвей спектра возбуждений сверхпроводника 91

2. Разбаланс в тонких сверхпроводящих пленках. Релаксация пространственно-однородных возмущений 94

3. Коллективные колебания. Проникновение продольного электрического поля вглубь массивных сверхпроводников.. 95

7. О термоэлектрических эффектах в сверхпроводниках 97

1. Нестационарный термоэлектрический эффект в замкнутой цепи из разных сверхпроводников 99

2. Термоэффект в биметаллическом кольце:

анализ экспериментальных данных 101

3. Неравновесный сдвиг химического потенциала в токовом состоянии сверхпроводника под действием градиента температуры 103

4. Большой термоэлектрический эффект в неоднородной двусвязной сверхпроводящей цепи 108

8. Флуктуации разбаланса заселенностей ветвей спектра возбуждений сверхпроводника. Ширина линии излучения Джозефсона 112

9. Диффузия и конвективный перенос спиновой плотности в токовом состоянии сверхпроводника с неравновесно ориентированными спинами 116

Заключение 126

Рисунки 129

Литература

• Интеграл столкновений Ленарда-Балеску в теории сверхпроводимости
• Уравнение непрерывности для плотности проекции спина электронов
• Кинетические коэффициенты с учетом эффектов запаздывания
• Неравновесный сдвиг химического потенциала в токовом состоянии сверхпроводника под действием градиента температуры

Введение к работе

В этой главе методом функций Грина-Келдыша в представлении Элиашберга' * получены кинетические уравнения для одно-электронной матрицы плотности с интегралами столкновений, сохраняющими число частиц. Затем мы обобщим на случай сверхпроводников результат Ленарда¹ ^ и Балеску и найдем выражения для интеграла электрон-электронных столкновений, учитывающее динамическую экранировку кулоновского взаимодействия и не содержащее расходимости при малых импульсах передачи. В следующих параграфах вычислены интеграл электрон-электронных столкновений в модели с точечным взаимодействием, интегралы столкновений электронов сверхпроводника с фононами, немагнитными и парамагнитными примесями. Мы покажем, что характерной особенностью интегралов столкновений электронов с любыми возбуждениями и примесями в сверхпроводниках является их недиаго-нальность в квазичастичном V -представлении. Последовательный учет v -недиагональных компонент матрицы плотности и интегралов столкновений при изучении неравновесных явлений в сверхпроводниках тесно связан с сохранением числа частиц и принципиально важен для соблюдения требования градиентной инвариантности.

Для всех указанных интегралов столкновений получено приближение времени релаксации. Возникающие при этом частоты релаксации вычислены в двух предельных случаях: вблизи абсолютного нуля температуры и в окрестности критической точки.

2. Вывод кинетического уравнения Мы построим схему с самосогласованным полем в модели Горькова и учтем столкновения электронов друг с другом, фоно-

Гтр]

нами и примесями только как источник релаксации "-⁴ . Гамильтониан с точечным взаимодействием, записанный для "векторов" V , С si * 4, с компонентами ( % , Y^, %\ % ) имеет вид*

Н = ) АС, Н гЩ 'п - _(1Л)

_{f= г*%}

G_f ={(1 + &J , 6,= (1- І), Н_в=ҐЛт-Л,

волнистая шапочка отличает матрицы в спин-изоспиновом пространстве от двумерных матриц по изоспиновому индексу, которые мы обозначаем обычным образом. /ч*/ - стандартные матрицы Паули в представлении истинных частиц ( 5 -представлении). Рассмотрим неферромагнитную систему в случае, когда внешние воздействия диагональны по спиновому индексу. Определим обычным образом функцию Грина-Келдыша

Щ JU =-КЦыУ'Ъ>, (1-2)

где iv =^^/, индексы -і и /< характеризуют принадлеж
ность временной координаты к одной из двух ветвей контура
Келдыша - усреднение с матрицей плотности, взятой

в момент времени Ї— ?о , в который гейзенберговские операто-

ры совпадают со шредингеровскими. Функции (1.2) имеют блочную структуру вида

_{A Q}

^{б В.}

где на диагоналях - функции Грина-Келдыша в представлении Намбу. Суммирование диаграмм приводит к уравнению Дайсона:

+ \j2G_t(i.vZfi.rjE%'

В (1.3)-(1 Л) ZL - собственноэнергетическая матрица, для
вычисления которой можно пользоваться обычной графической
техникой. Каждой сплошной или волнистой линии соответствует
матричная электронная функция Грина или функция Грина поля-
переносчика взаимодействия (определяемая аналогично (1.2)
с учетом статистики), умноженная на (І) , простой вершине
соответствует матрица /₀: ^ ч ,

а каждой замкнутой петле с одной вершиной сопоставляется дополнительный (по отношению к множителю в технике Намбу) множитель 1/2 ;

- единичная матрица в спин-изоспиновом пространстве,

*. (к) z - матрица по индексу Келдыша.

Согласно '³ J , для выполнения дифференциального закона сохранения числа истинных частиц необходимо,чтобы аппроксимация функции Грина G[ удовлетворяла одновременно уравнениям

'— —. л-

(1.3) и (ІЛ). Составляя разность этих уравнений, для d

_*(& ⁺ _{к) &**>}⁼ _г ^н(_{" &'*»~}

- Но (2) Q ft, 2)Го + JU2J где

J (и) - \Щ- asjUav⁴- (j[(i,yL(3,v\ (1.8)

по повторяющимся индексам здесь и всюду ниже подразумевается суммирование; в (1.8) і =(- ; +) - традиционные значения индексов Келдыша.

Для вычисления полевой части кинетического уравнения необходимо найти интегральный член в (1.7) в первом порядке по взаимодействию. В модели Горькова )₀ f-f,2J~— D& ^K2J— ~l3lo(1-.2j,₀ =-4, = С/. Вкаючая результат вычисления в оператор энергии самосогласованного поля ,(rirj, запишем (1,7) в виде

iEl^iJQ'^^ewQI^j- ₍₁.₉₎

~Q ff,2)?W + J (1,2)

(I.IO)

fij =

(i.ii)

в -S - представлении

& = /S?oV , &, = [4 ~o). Є± =(б_л ± 16J/2

?&/= P,/zm-J

'S^S

объемная плотность электронов,

плотность проекции электронного спина на ось квантования ($?);

ш = /// S_A / і <р г/; к tj} ^(ІД4)

-комплексный параметр порядка, 3fi,2j ~ вклад диаграмм порядка выше первого по Ч, . Мы использовали соотношение между неравновесными матрицами плотности в представлениях Элиаш-берга и Намбу:

Градиентная инвариантность уравнения (1.9) позволяет обычным образом выделить фазу параметра порядка: совершить преобразование всех матриц в (1.9) по рецепту

Пк 2j=e%p(fr₀%(fj)nk 2jeip(-kr_e угю) (їде)

и потребовать, чтобы после этого параметр порядка Л стал вещественным: JfrtfA/ *Q. Всюду ниже штрих будем опускать,

-22-помня, что преобразование (I.I6) уже совершено. ФункцияXfri) имеет смысл фазы параметра порядка; уравнение для этой величины имеет вид

Переходя к переменным ^~ 7 ^ ^+/л^ , ^= К* ~" ^/ , l ~І?і"*"**/ , T=(Zr- гзу _и используя тождество

С ~tn *,, n-tj^ ь = 4$ (nri *,; _(I —

получим в смешанном вигнеровском представлении для функции

Здесь IJr,BJ±— Я 3 — BJi , p - импульс, Фурье-сопряженный разностной координате R . Мы учли, что оператор

энергии ₀{rtJ :

^о

.Л

(1.20)

<5> =^^-^^ + /3^+^/ }r=/$***-fi , p=-A-iniJI-$-tnV/ (1.21)

Ф<**)= {t^I[Ft)+ e(?*J (1.22)

_{- градиентно-инвариантный потенциал,}

- сверхтекучая скорость, ^=-/^/- заряд электрона, С—Іі-Ї_%-

—>

не перестановочен с матрицей плотности. ( 9⁷ _f ^ ) - внешнее поле, которое мы включили в (1.20). При получении уравнения (I.I9) мы считали, что р и ^ медленно изменяются на расстояниях порядка длины когерентности ^(tJ » ^{но не} предполагали медленности изменения этих величин во времени.

Для нахождения интеграла столкновений мы рассмотрим функцию J (PftJ . Можно показать, что эта величина содержит вклады двух типов. Первый обусловлен взаимодействием электронов с виртуальными квантами поля - переносчика взаимодействия и приводит к появлению поправок к спектру возбуждений; качественно этот эффект можно учесть, перенормировав константу Q ; мы будем считать, что такая перенормировка совершена и в дальнейшем ограничимся рассмотрением только второго типа членов, обусловленных взаимодействием электронов с реальными квантами поля и соответствующих процессам рассеяния. Если все величины медленно изменяются на длинах ~ УfTj^ и на временах ^ /^ , то искомый интеграл столкновений Я можно записать в виде

(1.24)

-+ №

- «>o

^{- QTrptto)Z^ptoo)} + (с. c.)}

- мы учли диаграммы ^ Q^z . Очевидно, (1.24) переходит в обычное выражение для штосс-члена нормальной системы, если Q и 2. коммутируют между собой. Здесь Со - частота, Фурье-сопряженная разностному времени Г .

Покажем, что в сверхпроводниках, как и в нормальных металлах, при столкновениях сохраняется полное число электронов. Для этого рассмотрим величину

$(Ю= (S\R%ptj>

где J-\ - произвольная матрица,

р Поправки к вершинам в сверхпроводниках малы, как и в нормальных металлах'⁵⁶*-⁵⁷-'. В приближении простых вершин будем иметь:

^x GTp+qjK Q*7p)[iD%j]+ (ex.) '

Мы использовали тождество

и для краткости опустили суммарные координаты в аргументах функций Грина. Формула (1.25) годится не только для электрон-электронного и электрон-фононного взаимодействий, но и для электрон-примесного в модели Абрикосова и Горькова <*' * (роль функций U при этом выполняет квадрат модуля Фурье-компоненты потенциала электрон-примесного_взаимодействия)._ В случае парамагнитных примесей следует /» заменить на 'j (см. ниже). Очевидно

f/V.rj_ =о

Ниже мы увидим, что

Поэтому У (A/J = 0 , или

Ц.26)

Легко показать,что из тождества (1.26) и кинетического

уравнения (I.19) с интегралом столкновений (1.24) автоматически следует уравнение непрерывности для объемной плотности электронов.

Далее

I 6_г, rj_ ФО

ГДв —

6, О

о -в;

и соответствует проекции электронного спина на ось ^г в представлении Элиашберга (см. ниже). Это означает, что при столкновениях электронов с электронами, фононами и немагнитными примесями сохраняется проекция спина, а рассеяние на парамагнитных примесях приводит к релаксации спиновой плотности. Анализ показывает, что в неферромагнитной системе в случае, когда внешние воздействия диагональны в пространстве спинов, интеграл столкновений R имеет диагональную блочную структуру. Положим по определению

Ясно, что в такой ситуации можно ограничиться кинетическим

уравнением для матрицы плотности в представлении Намбу
*\ .......

у (г fit) . Итак, искомое кинетическое уравнение имеет вид:

Кинетическое уравнение (1.28) вместе с уравнениями согласования для модуля параметра порядка

^Л= {%/<*> (1.29)

и его фазы

О = <Гб\, > (і.зо)

и уравнениями Максвелла образует полную систему уравнений для чистых сверхпроводников, если выразить через матрицу плотности его интеграл столкновений.

3. Интегралы столкновений и частоты релаксации

Для вычисления интегралов столкновений необходимо найти функции Грина-Келдыша в приближении самосогласованного поля, ограничиваясь локально однородным решением уравнения Дайсона для Q . Например, для Q в приближении локальной однородности системы легко получить задачу Коши по Т :

ZijfQrrptTj =1?(?н, Q7~?trj\+ _(I;_3I)

Q (Гft о) = і $ (FptJ

где ^ - неравновесная одночастичная матрица плотности; откуда

б, б' в'л (I'61)

В формулах (1.58) - (I.61)

^z₌ і//+ w lb--A^z) _(І;_б2)

—>

>е~е

1%-%1^< */Р?

У^ ⁵ - обычная "частота столкновений квазичастиц" ва счет

точечного взаимодействия. Можно показать, что Vs =0; 7^ и У^~ четные, а 1?е - с большой степенью точности нечетная - функции переменной )ip . Для функций V* , Ур , Т^а* можно получить обозримые оценки при 7~~* О и / "*" Тс "О _f вблизи поверхности Ферми - именно поведением частот столкнове-

ний при fp~~ 0 определяются кинетические свойства металла, находящегося в слабонеравновесном состоянии. Итак,

а) Т-^О

_iaHtS¹_*.

где C_oC>0 - безразмерная постоянная; б) Т-^Тс-0 :

vr~tf_ryr

⁶ (1.65)

_г~*/Л

где Vc - часюта электрон-электронных столкновений в нормальной системе при T~7l _:

' * , /з&^О - безразмерные постоянные.

3. Интеграл электрон-фононных столкновений

Гамильтониан Фрелиха * /, записанный в представлении Элиашберга, имеет вид:

Н,^ = У? Vt*f?jM_f ціп %_и м сі!бб>

где J_P\(?) - оператор фононного поля. Решая уравнение Дайсона для фононных функций Грина, для локально-однородной системы получим, в частности:

* (1.67)

t tffttoj = fori* {ttjr Bfco +u>J+ (/+) Sfto- coj'l

I to І*- «**¹

где I^Jcl ~~2C0QS> ' ^~ ~ ^{константа} электрон-фононного взаимодействия, g₀ - плотность вещества, Si - объем системы; для акустических фононов СО_к — S₉ к , где So — скорость звука, для простоты предполагаемая изотропной; /VgfP-tJ -функция распределения фононов, вообще говоря, неравновесная ('^4Ii , гл.10, 92). Используя (1.67) и (I.Z4), получим в V -представлении:

*lv_r ^-fc^rr+warfcfcibj]- _(I.₆₈₎
<&№<&„.>+Іч/..=о.

При столкновениях, описываемых формулой (1.68), сохраняется число электронов, проекция электронного спина, полный импульс и энергия электрон-фононной системы. (В кристаллах нужно учесть также и - процессы ). /Y ^ описывает релаксацию электронной подсистемы к состоянию вида (1.54) при Vn~Q а фононов - к состоянию /% — М/^у/т) , где №o(X)—(^e*~V\ В приближении времени релаксации при ррУ^^-Л п _е-/>/, имеет вид (1.57), где Ук =0,

x8(s_r- 6'fy-V +L( &J+M,]& ($-(ге_ґ-ил,)}* ^(I*⁶⁹⁾

fr 16'

)+

(І.70)

^{6 7} *6' S'3. ^{

Удобно, следуя работе ^ J , ввести характерную частоту
74 = Z$fT_c² , где /3 - размерная константа, завися
щая от свойств вещества. Для частот ~ V/ можно получить
обозримые формулы на поверхности Ферми, где /> = ^ . Для
частоты 1^р* такая формула была получена в > * и имеет
следующий вид: ^

Мд ' ' Т где /\ /'Л'У - бесселевы функции от мнимого аргумента второго рода.

Частота "tt. не зависит от энергии и равна **

(1.73)

-37-Можно показать,что величина У$ имеет вид

v'^k= у А/2)² 7f^ fe)

( = , -г ) имееш место формула

Zff. f) =Z 1НГ+ **?(»$)]*

1=1 +

При низких температурах ряды (1.72)-(1.74) быстро сходятся; ведущие члены разложений по параметру ~Г/Л₀ имеют вид:

(1.75)

где Л_о"⁼⁼-Л(0) , ^/^- дзета -функция Римана. При Т^Тс — О можно получить следующие предельные значения частот релаксации:

v/ =^. н?=/^«. _сі7б)

Величина К совпадает с вычисленной на поверхности Ферми частотой У_г рекомбинации куперовских пар, введенной в *^» . Однако, в отличие от Т^ , У'^к не зависит от энергии, и смысл ее иной. Наряду с параметром-порядка &(Т/ , величина^ определяет временную эволюцию недиагональных в V -представлении компонент матрицы плотности. Видно, что при Т_с—Т<^Тс релаксация функции распределения возбуждений и V -недиагональных компонент матрицы плотности характеризуется одним и тем же масштабом времени:

v^W-vfrrj ₍₁.₇₇₎

4. Интеграл столкновений электронов с немагнитными примесями

Предположим, что в чистом сверхпроводнике хаотически распределены атомы немагнитной примеси с малой концентрацией Л/4, а потенциал электрон-примесного взаимодействия tifrj удовлетворяет условию применимости борновского приближения:

Д³ Jl/(FJ _f В представлении Элиашберга

К: ^Zfru/r-vrfo^p?; ₍₁.₇₈₎

После усреднения по положениям примесей получим в -представлении:

~hr (^HJ^^-^J^'-^ ⁺ (1.79)

_{+ fee J}

Uffj = ^JifUcFjexpfifFj

Интеграл упругих столкновений (1.79) сохраняет полное число частиц, проекцию спина и энергию; он описывает релаксацию системы к состоянию вида ff Е_р -t V_s J , где jf. - любая вещественная функция. Т - приближение для (1.79) имеет вид (1.57), где частоты определяются формулами

і S- 9- (1.81)

^&рЬі" (1.82)

Можно показать,что на поверхности Ферми при Л р? /л < <Д Vi = V^ = О ; главные члены разложения VJ и V/ по параметру (Р* ^Vs/<& J имеют вид: Vi ~У;ЫА, V'_s = - il %%*(}f,J Ц-1 где )}> - частота электрон-примесных столкновений в нормальном металле при 7"-7

5. Интеграл столкновений электронов с парамагнитными примесями Гамильтониан обменного взаимодействия электронов проводи-

мости с электронами незастроенных оболочек примесных парамагнитных ионов №1 нельзя записать в представлении Намбу:

—>

где JfPJ - $-6 - оператор спина электрона; в представлении Элиашберга

5^ - оператор спина иона в узле С . Вершина взаимодействия пропорциональна матрице

r_s = (is)-l(esJl=i^Sg[ '** u«*>

5+ = S_x ± і S,

Мы рассмотрим модель Абрикосова и Горькова ' ^ . Тогда усреднение по спинам примесей выполняется так:

2 7Г5

s^ = f8,₃S„S\ s₊i=#s\ (1,86)

^{Si =: 5! = .0}

Вычисления по формуле (1.24) после усреднения по спинам и положениям примесей приводят к результату вида (1.27); соответственно

(R%L =JKZ/Ws(s+,;{i6„.3„x

J 6 V J V^' -lev ^J 6'ct'^J %, /

³ vs' /4 ^{ev 6V}' ^J^^J»«' (I.

+ L_r )}&(f'-f-f) ⁺t-^cJ

-f

87)

^{4,^= u}_F^{iu; =}

= (U_F ч_ґ+ Ц %.)1- 4 (V, U_r.-У_г ^vrK ^(I,88)

/>» - концентрация парамагнитных примесей. Интеграл столкновений (1,87) описывает релаксацию системы к состоянию, описываемому произвольной эрмитовой матрицей вида

j (Е_р), он сохраняет число частиц и энергию; очевидно, это единственный из рассмотренных здесь штосс-членов, приводящий к релаксации спиновой степени свободы (которая описывается частью интеграла столкновений (1.87), пропорциональной мат-рицам С^, ). В Т -приближении (1.57)

v." = JrM_mI\i(fA'jsistt/{B^B_fTs/_f,yk>_{a >9П}

J 1 6 6 О. gg

+ 2 C._r С_ґ. 6f-/r *?%)} Sfp-p-fJ

iff' 6'2 Є'(Г'

16' W -.

?»ТгЕ№П'

_{Ъ" = Ш. I &ФІ* г змій»- Вґґ&(іґ-і. )+}

⁶ ' ² "е- 6г е-б' ^r" (1.93)

+ 2c_Ft,e_e,_r siL_rф„,)} б(?-?-у

Мы показали, что интегралы столкновений электронов сверхпроводника с любыми возбуждениями и примесями недиагональны в квазичастичном представлении; именно учет у -недиагональных элементов матрицы плотности и интегралов столкновений обеспечивает автоматическое выполнение уравнения непрерывности для плотности частиц и соблюдение, градиентной инвариантности. Вклад У -недиагональных компонент матрицы плотности в макроскопические величины существенен не только при рассмотрении высокочастотных явлений в сверхпроводниках Ь^\Щ , но и в гидродинамической области частот.

1? - диагональные компоненты вычисленных здесь интегралов столкновений совпадают с соответствующими штосс-членами кинетических уравнений для функции распределения квазичастиц, естественно, в пренебрежении вклада в них от V -недиагональных элементов матрицы плотности.

Интеграл столкновений Ленарда-Балеску в теории сверхпроводимости

Для нахождения интеграла столкновений мы рассмотрим функцию J (PftJ . Можно показать, что эта величина содержит вклады двух типов. Первый обусловлен взаимодействием электронов с виртуальными квантами поля - переносчика взаимодействия и приводит к появлению поправок к спектру возбуждений; качественно этот эффект можно учесть, перенормировав константу Q ; мы будем считать, что такая перенормировка совершена и в дальнейшем ограничимся рассмотрением только второго типа членов, обусловленных взаимодействием электронов с реальными квантами поля и соответствующих процессам рассеяния. Если все величины медленно изменяются на длинах УfTj и на временах / , то искомый интеграл столкновений Я можно записать в виде (1.24) -+ № - « o - QTrptto)Z ptoo)} + (с. c.) - мы учли диаграммы Qz . Очевидно, (1.24) переходит в обычное выражение для штосс-члена нормальной системы, если Q и 2. коммутируют между собой. Здесь Со - частота, Фурье-сопряженная разностному времени

Покажем, что в сверхпроводниках, как и в нормальных металлах, при столкновениях сохраняется полное число электронов. Для этого рассмотрим величину -24 $(Ю= (S\R%ptj где J-\ - произвольная матрица, р Поправки к вершинам в сверхпроводниках малы, как и в нормальных металлах 56 -57- . В приближении простых вершин будем иметь: x GTP+QJK Q 7p)[iD%j]+ (ex.) Мы использовали тождество и для краткости опустили суммарные координаты в аргументах функций Грина. Формула (1.25) годится не только для электрон-электронного и электрон-фононного взаимодействий, но и для электрон-примесного в модели Абрикосова и Горькова (роль функций U при этом выполняет квадрат модуля Фурье-компоненты потенциала электрон-примесного_взаимодействия)._ В случае парамагнитных примесей следует /» заменить на J (см. ниже). Очевидно f/V.rj_ =о

Ниже мы увидим, что Поэтому У (A/J = 0 , или /)/#%&;) = о Ц.26) Легко показать,что из тождества (1.26) и кинетического -25 уравнения (I.19) с интегралом столкновений (1.24) автоматически следует уравнение непрерывности для объемной плотности электронов. Далее I 6г, rj_ ФО но ГДв — 6, О г о -в; и соответствует проекции электронного спина на ось г в представлении Элиашберга (см. ниже). Это означает, что при столкновениях электронов с электронами, фононами и немагнитными примесями сохраняется проекция спина, а рассеяние на парамагнитных примесях приводит к релаксации спиновой плотности. Анализ показывает, что в неферромагнитной системе в случае, когда внешние воздействия диагональны в пространстве спинов, интеграл столкновений R имеет диагональную блочную структуру. Положим по определению

Ясно, что в такой ситуации можно ограничиться кинетическим уравнением для матрицы плотности в представлении Намбу \ ....... у (г fit) . Итак, искомое кинетическое уравнение имеет вид: -26 Кинетическое уравнение (1.28) вместе с уравнениями согласования для модуля параметра порядка Л= {%/ (1.29) и его фазы О = Гб\, (і.зо) и уравнениями Максвелла образует полную систему уравнений для чистых сверхпроводников, если выразить через матрицу плотности его интеграл столкновений. 3. Интегралы столкновений и частоты релаксации Для вычисления интегралов столкновений необходимо найти функции Грина-Келдыша в приближении самосогласованного поля, ограничиваясь локально однородным решением уравнения Дайсона для Q . Например, для Q в приближении локальной однородности системы легко получить задачу Коши по Т : ZijfQrrptTj =1?(?н, Q7 ?trj\+ (I;3I) Q (Гft о) = і $ (FptJ где - неравновесная одночастичная матрица плотности; откуда С (rfrtTj = ie s(-s;f?;( (?ftjexff-±if?-) (I;32) Аналогично Qirprj -ie xpf-i- THE-f tjjexpf-i-i ) (I;33)

Приближение самосогласованного поля, в рамках которого вычислены функции Грина (1.32)-(1.33), оправдано, если частоты столкновений малы по сравнению с параметром порядка; в против -27 ном случае, например, "грязных" сверхпроводников следует учесть перенормировку вершины и поправки к спектру, связанные с электрон-примесным взаимодействием. Предположение о локальной однородности накладывает ограничение на величины волновых чисел к и частот и внешних возмущений, действующих на систему: М}гг; / (1.34) СО «А (1.35) Соотношения (І.34-) и (1.35) задают область применимости кинетического уравнения (1.28) с найденным в настоящем параграфе интегралом столкновений. Уравнение (1.28) удобно рассматривать в квазичастичном ( V—) представлении. Так мы называем представление, в котором диагональна матрица p(r J .

Уравнение непрерывности для плотности проекции спина электронов

. В работах Шумейко1 OJ и Сода и Фуджики кинетические коэффициенты уравнений гидродинамики нейтральной сверхтекучей ферми-жидкости с точечным взаимодействием найдены при помощи кинетического уравнения для функции распределения возбуждений "6 8 ДО/ # Это урав_ нение можно получить из кинетического уравнения (1.28), пренебрегая недиагональными в У -представлении компонентами матрицы плотности и интеграла столкновений. При этом уравнение для фазы параметра порядка (1.30) становится бессодержательным, и интеграл столкновений приобретает источник частиц; для восстановления градиентной инвариантности уравнение непрерывности для плотности электронов приходится накладывать дополнительно, что приводит к дополнительным ограничениям на пространственно-временное поведение макроскопических величин. Между тем, как показывает анализ уравнения (1.28), отклонение от равновесия в V - диагональном канале на больших временах, масштаб которых определяется интегралом столкновений, приводит к появлению У - недиагональных компонент матрицы плотности, учет которых необходим для соблюдения закона сохранения числа частиц. Легко получить, например, что величина ч -, Г, & / » дающая поправку от не диагональных компонент Р в полное число частиц, не осциллирует во времени, а проявляет релаксационное поведение с частотой V .

Интересно проследить, как эти особенности проявляются на самом последнем, гидродинамическом этапе эволюции системы.

Как и в l , рассмотрим нейтральную сверхпроводящую фер-ми-жидкость с прямым взаимодействием между частицами, предполагая, что внешние поля отсутствуют. Основой вывода уравнений гидродинамики является получение законов сохранения для локальных величин.

Из кинетического уравнения (1.28) и тождеств (1.39), (1.51)-(1.53) автоматически следуют законы сохранения для плотностей числа частиц, проекции спина, тока и энергии. Выражения для макроскопических величин при этом получатся правильными, если учесть связь между представлениями Намбу и Элиашберга, рассмотренную в Главе I. Уравнение (1.28) позволяет найти потоковые члены с точностью до второго порядка по градиентам, достаточной для вычисления коэффициентов переноса.

Уравнение непрерывности для плотности числа частиц Это уравнение не является следствием уравнения (1.30) для фазы параметра порядка, как может показаться (такое утверждение сделано в работе J); оно есть прямое следствие кинетического уравнения. Это можно увидеть, если исходить непосредственно из уравнения для матрицы плотности до выделения фазы параметра порядка (уравнение (1.9) при 4 = ) Из (I-I5) имеем:

Записывая наряду с (1.28) аналогичное уравнение для функции Р (г\-р, i-J и обозначая его (I.28.I), составим комбинацию 6+Р+ 6-{l JSr в СИЛУ тождества (2.3S ) получим справа После преобразования конвективных членов получим: Из (1.9) мы получили бы вместо следующий вклад в левую часть от коммутатора [ р7_ : где непосредственно следует из кинетического уравнения. Отметим, что кинетическое уравнение для функции распределения возбуждений n- 6»8»I0J приводиї к ошибочному выражению для тока, использованному в первоначальной работе Гейликмана (см. также ); поэтому, например, в работе формула (.2) была получена усреднением операторного выражения для потока электронов.

Из определений параметра /и и сверхтекучей скорости (I.2I), (1.23) следует, что

Следуя рассуждениям , выясним смысл величины Л1 . В состоянии полного термодинамического равновесия в системе от-счета, где К, =0, параметр J большого канонического ансамбля равен химическому потенциалу системы p ofPJluJ , где Р - давление, 7" - температура, Ц — Vs -К? . Поэтому в равновесии р = j .iP. T.uj- iqm - // и" (гл4)

Предположим, что равенство (2.14) остается справедливым и в локальном равновесии, когда Тогда для состояний, близких к локально-равновесному, из (2.13) и (2.14) получим: где &/ - неравновесная добавка к самосогласованному пара-метру М ; для определения этой добавки служит уравнение для фазы параметра порядка (1.30). Условие применимости уравнения (2.15) имеет вид ty/for 4

В работе J величина М отождествлена с химическим потенциалом системы в системе координат, где VH & , а в уравнении, аналогичном (2.15), отсутствует функция " . Уравнения (2.1), (2.3), (2.5) и (2.8) представляют собой законы сохранения и учитывают существование спиновой степени свободы. В неферромагнитной системе в случае внешних воздействий, диагональных по спиновому индексу, естественно рассматривать состояния фермионов с компенсированным спином. Выбирая начальные условия для уравнения (1.28) в этом классе состояний, можно исключить релаксацию проекции спина.

Кинетические коэффициенты с учетом эффектов запаздывания

Применение обобщенного метода Чепмена-Энскога (2 настоящей главы) к решению кинетического уравнения (1.28) приводит к системе уравнений двухжидностной гидродинамики с запаздыванием, которая после вычисления кинетических коэффициентов становится замкнутой и позволяет в принципе полностью описать слабонеравновесные состояния чистых сверхпроводников во внешних полях, характеризующихся частотами Си и волновыми числами к (ор n/axfco j щж наличии туннельной инжекции возникает очевидное условие малости интенсивности туннельного источника частиц. Эта система уравнений обобщенной гидродинамики имеет стандартный вид и отличается от классической (см., например, 6 наличием частотной зависимости входящих в нее -80 кинетических коэффициентов объемной вязкости, проводимости, теплопроводности и термоэлектрического коэффициента.

Вычисляя неоднородный член уравнения (3.7) в соответствии со сказанным выше, получим следующее уравнение для неравновес Л. ной добавки oQ к матрице плотности: Мы предполагаем, что Y5 мало, и выписали в (3.26)-(3.28) ведущие члены разложения левой части уравнения (3.7) по параметру Pf Vs/ & . Символом м мы, следуя , обозначим "действующее" электрическое поле в сверхпроводнике, наличие которого приводит к возникновению электродвижущей силы:

Нас интересует установившееся решение начальной задачи для уравнения (3.25) при условиях (3.9)-(3.12). Для нахождения такого решения удобно совершить в этом уравнении одностороннее преобразование Фурье по времени. I. Коэффициенты проводимости и теплопроводности. Термоэлектрический коэффициент Вычислим диссипативную поправку к потоку числа частиц, которая по определению равна /„ №/ = / V4 - eft Т (3.30) где в" - проводимость, VT - термоэлектрический коэффициент, подставляя общее решение уравнения (3.25) в выражение микроскопической теории Л = V &?} (3.31)

При вычислении неравновесной добавки &Р к матрице плотности, как и в главе 2 диссертации, используем для линеаризованного интеграла столкновений - приближение времени релаксации (1.57) и учтем наличие "паразитных" решений (3.16). Из (3.31) следует,что величина Jn определяется V -диагональной частью общего решения SP , пропорциональной единичной матрице. Эта часть О имеет вид:

Здесь - частота релаксации по импульсам, которая в сверхпроводниках, как правило, определяется упругими столкновениями (за исключением особо чистых материалов). В случае 71—Т Тс , который нас будет интересовать, из (3.33), (3.) получим:

Эволюция V - диагональных компонент матрицы плотности, определяющих перенос заряда и энергии, обусловлена релаксацией по импульсам и характеризуется транспортным временем релаксации У" . Поэтому формулы (3.33), (3.34) и (3.38) для кинетических коэффициентов применимы при условии ktfF« т х{ oof v J .

2. Коэффициент объемной вязкости

Анализ показывает, что при Д 14 V 3 с точностью до поправок порядка ( 7"« //nF ) поведение неравновесной добав-ки к химическому потенциалу о/и определяется нечетной по переменной , частью у - диагональных компонент общего решения уравнения (3.25) и четной по fp частью его V - недиагональных компонент. Как можно показать, 1) при Яр? УХ матрица плотности с компонентами такой четности не релаксирует на немагнитных примесях; 2) действие электрон-фононного интеграла столкновений сохраняет , - четность компонент матрицы плотности, если ее у - диагональные и V - недиагональные компо-ненты имеют разную четность по переменной }Р Поэтому под с в уравнении (3.25) в задаче об объемной вязкости нужно понимать линеаризованный интеграл электрон-фононных столкновений.

Неравновесный сдвиг химического потенциала в токовом состоянии сверхпроводника под действием градиента температуры

Эксперименты 10 по проверке соотношения (3.78) в стационарном случае подтверждают, что неквантованная добавка к магнитному потоку пропорциональна разности температур спаев и возрастает в окрестности критической температуры 7 /fft#/%f я j Формула (3.78) в этом случае уравнения для функции распределения возбуждений предложена кинетическая модель явления, согласно которой большие дополнительные токи появляются на внутренней поверхности кольца в неравновесных условиях; в работе решена задача о термоэлектрическом эффекте в кольце в модельной постановке, когда вместо градиента темпера-туры задан ток / нормальных возбуждений, и в рамках теории Гинзбурга-Ландау показано,что даже при отсутствии "вмороженного" потока с ростом J » в системе становятся энергетически выгодными переходы в состояние с возрастающим числом квантов потока. Вопрос о том, реализуются ли такие переходы, остается открытым.

Отметим,что в первых экспериментах по изучению термоэлектрического эффекта в кольцах, выполненных Заварицким , где наблюдались малые значения термоэлектрического потока

SWT — /О" W. ( W0= = 2.I0"7 Гс.см2) в согла сии с предсказанием (3.78), специально отбирались образцы, в которых эффект был обратимым при смене знака градиента температуры, что гарантировало отсутствие в них "вмороженного" потока. Здесь мы покажем, что если в кольце присутствует остаточный квантованный поток / W, , где /Ґ - целое, то существует кинетический механизм, который ранее не рассматривался, действие которого способно объяснить величину и характер температурной зависимости термоэлектрической добавки к магнитному потоку в двусвязных биметаллических системах. Этот механизм связан с проникновением в сверхпроводник продольного электрического поля, которое имеет место в неравновесном состоянии, возникающем при наличии термических неоднородностей и сверхтекучего движения.

Эффект, о котором идет речь, был предсказан в работе , основанной на кинетическом уравнении для функции распределения возбуждений, полученном В 6Ї8»І0І . в этой работе считалось, что при наличии тока в термически-неоднородной системе основным механизмом релаксации разбаланса ветвей являются неупругие столкновения, и интеграл электрон-примесных столкновений в кинетическом уравнении был опущен. Однако опубликованные одновременно с J107- результаты экспериментов Кларка с соавторами , выполненные на двойной туннельной И/— Л/р » структуре, по-казали, что на опыте реализуется величина &/ , на два-три порядка меньшая предсказанной в , Это обстоятельство явилось указанием на то, что доминирующую роль в формировании неравновесной добавки к химическому потенциалу сверхпроводника в такой ситуации играют упругие столкновения, которые при наличии сверхтекучей скорости в силу теоремы Андерсона 0 приводят к "перемешиванию" электронной и дырочной ветвей спектра возбуждений. Наличие такого механизма релаксации разбаланса ветвей было обнаружено в работе Р1. Вычисления, проделанные в 111 112;, привели к следующему выражению для неравновесной добавки of" при U і : /с : где &- 1 - безразмерная константа. Линейная зависимость &fi от v и Р и знак в формуле (3.79) подтверждены экспе риментально в . Измерения у проводились в условиях, когда величина сверхтекучей скорости К близка к своему критическому значению Ус /pF

Мы покажем, что при У$ /ірр сдвиг химического потенциала в токовом состоянии сверхпроводника при наличии градиента температуры формируется только за счет неупругих столкновений, и его температурная зависимость отличается от (3.79). Для простоты рассмотрим стационарный случай. Пусть по-прежнему / # "?; однако, в отличие от вычислений предыдущих разделов в диссерта-ции, будем считать,что сверхтекучая скорость Vs наряду с макроскопическими величинами М и является величиной нулевого порядка малости по пространственным градиентам. Вновь /Л записывая неравновесную матрицу плотности О в виде где теперь необходимо учесть, что получим следующее внражение для неоднородного члена в уравнении для поправки предсказывает расходимость ; однако результаты опытов говорят о более резком увеличении SWj в окрестности Те. и о величине эффекта, во много раз превосходящего предсказание (3.78). Например, измерения , проведенные в топологически эквивалентной кольцу тороидальной геометрии, показали, что ; величина наблюдавшегося магнитного потока &Щ- была примерно на 5 (!) порядков больше ожидаемой согласно стационарному пределу Sl0 =0 в (3.78). Вопрос и происхождении такого серьезного разногласия теории и эксперимента до сих пор не ясен и служит предметом интенсивного обсуждения. В работе изучается возможная роль "паразитных" эффектов, связанных с захваченным в цепи квантованным магнитным потоком; в 0 на основе кинетического первого по градиентам порядка к матрице плотности:

Похожие диссертации на Кинетическая теория процессов релаксации в сверхпроводниках

Исследование модели с локальным энгармонизмом в теории высокотемпературных сверхпроводниковШвайка, Андрей Михайлович

Феноменологическая теория фазовых переходовв высокотемпературных сверхпроводниках и суперионных кристаллахШахматов, Владимир Степанович

Теория электронного парамагнитного резонанса в сверхпроводникахТагиров, Ленар Рафгатович

Теория спин-волнового и электронно-ядерного резонансов в сверхпроводникахЦаревский, Сергей Леонидович

Классическая и квантовая теория процессов излучения релятивистских частиц во внешних электромагнитных поляхКопытов, Геннадий Филиппович

Квантовоэлектродинамическая теория процессов рекомбинации электронов с многозарядными ионамиМистонова Евгения Александровна

Неадибатическая асимптотическая теория процессов одно- и двоэлектронной перезарядки при атомных столкновенияхГорват, Петр Петрович

Вейвлет-преобразование в теории случайных процессов и квантовой теории поляАлтайский Михаил Викторович

Теория межфазных процессов при контакте бинарного сплава с внешней агрессивной средойСайф Мухаммед

Вопросы теории нелинейных процессов переноса.Тараненко Сергей Николаевич