Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа Юшков, Егор Владиславович

Введение к работе

Диссертационная работа посвящена математическому исследованию вопроса о неограниченном росте за конечное время решений начально-краевых задач гидродинамического типа для уравнений, содержащих нелинейные слагаемые (u, V)u или (UU_x). Феномен неограниченного роста решений за конечное время, называемый разрушением (blow-up), характеризует временное ограниченние корректности используемых моделей и описывает широкий круг явлений как в гидродинамике, так и в других областях физики - ударные волны, уединенные волны аномальной амплитуды, пробои в полупроводниках, неустойчивость в плазме, слом конструкций,

В работе исследуется появление разрушения в нелинейных моделях идеальной жидкости, вязкой ньютоновской жидкости, вязкоупругой неньютоновской жидкости Кельвина-Фойгта, Для рассматриваемых задач методом конечномерной аппроксимации Галеркина решаются вопросы локальной разрешимости, гладкости и единственности, С помощью модификации энергетического метода X, Левина вычисляются достаточные условия разрушения решений, строятся двухсторонние оценки на время и скорость разрушения, демонстрируется переход к глобальной разрешимости при изменении начальных данных.

Для одномерных приближений задач гидродинамки, приводящих к нелинейным уравнениям Кортвега-де Фриза, КдФ-Бюргерса, Бенжамена-Бона-Махони, Розенау- Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова-Заболоцкой, Островского, Линя-Рейснера-Цзяня доказывается наличие разрушения при определенных граничных и начальных условиях, С помощью метода нелинейной емкости, развитого в работах С,И, Похожаева и X, Митидиери, исследуется влияние граничных условий на возникновение разрушения, время разрушения и его скорость.

Современное состояние проблемы и актуальность ее исследования Изучение движения жидкостей является источником большого числа математических задач. Однако, при попытках изучения даже самых простых теоретических моделей возникают проблемы, многие из которых не удается решить до сих пор, К примеру, пока остаются открытыми вопросы глобальной по времени разрешимости начально- краевых задач для классических систем уравнений Эйлера и Навье-Стокса при гладких начальных данных.

Значительного прорыва в изучении разрешимости удалось достичь во второй половине XX века с применением обобщенной постановки начально-краевых задач и использованием равенства соответствующих функционалов. Многие вопросы теории обобщенных решений для задач гидродинамики, а также первые функциональные методы их исследования были предложены и изучены в работах выдающихся математиков: Ж, JIe- ре, О,А, Ладыженской, Ю, Шаудера, С,Л, Соболева и Р, Темама, Обычно переход от классической постановки к обобщенной обусловлен тем, что существование, а иногда и единственность, обобщенного решения доказывать значительно проще с помощью идей функционального анализа и теории вложения функциональных пространств. Например, О,А, Ладыженской удалось получить наиболее полные и математически строгие результаты по разрешимости начально-краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса в некоторых областях фиксированной формы в классе функций с конечным интегралом Дирихле, что стимулировало в последующие годы исследование течений в областях со свободными границами, развитие теории устойчивости и бифуркации вязких жидкостей, исследование задач статистической гидромеханики и гидромеханики неньютоновских жидкостей. Но несмотря на всестороннее изучение эволюционных задач гидродинамики в этом направлении, доказать общую глобальную во времени разрешимости так и не удалось.

После перехода к обобщенной постановке задач появились первые методы функционального анализа, позволяющие исследовать необычное явление, в определенном смысле противоположное глобальной во времени разрешимости - явление разрушения решения. Под разрушением решения понимается его неограниченный рост в некоторой норме на конечном промежутке времени, то есть отсутствие глобальной разрешимости при наличии локальной, В настоящее время теория разрушения, зародившаяся как вопрос об ударной волне, привлекает все большее внимание, В наше стране к классикам теории разрушения можно отнести А,А, Самарского, О,А, Ладыженскую, А,Г, Свешникова, С,А, Габова, С,И, Похожаева, М.О, Корпуеова, А.П, Осколкова, А,И, Кожанова, В,К, Калантаров и С.П, Курдюмов, За рубежом широко известны Н.А, Levine, Е, Mitidieri, S.A. Messaudi, V.A. Galaktionov, D, Chae, Е, Tadmor, Е.В, Pelz, J, Deng, J, Evans P. Souplet, H, Fujita, G, Todorova, Zhang Jian, L, Pain, D.H, Sattinger J.J, Rasmusen, A, Constantin, К сожалению, не существует пока справочников, классифицирующих основные результаты этих исследований, но некотрые обзоры можно найти в монографиях А,Г, Свешникова, М.О, Корпуеова, В,А, Галактионова и С.П, Похожаева,

Из-за сложность аналитического изучения нелинейных уравнений и их многообразия к сегодняшнему дню не разработано единого подхода к исследованию проблематики разрушения. Однако, можно выделить три наиболее развиваемых метода: энергетический метод Х.Л. Левина, метод нелинейной емкости С,И, Похожаева и Э.Л, Митидиери и метод автомодельных режимов, основанный на различных признаках сравнения и развитый в работах А,А, Самарского, В,А, Галактионова, ('.II. Курдюмова и А.П. Михайлова. Помимо этих методов существует большое количество сильно различающихся подходов к частным задачам, которые трудно обобщить или классифицировать.

Актуальность исследования явления разрушения обусловлена возможностью теоретического получения оценки времени разрушения решения модели, которая по существу дает оценку на время корректности ее использования. Однако, если модель является очень хорошо проработанной, то само явление неограниченного роста может иметь и физические аналоги, например, в виде перехода от ламинарного к турбулентному течению или возникновения волн аномально большой амплитуды. Слабая изученность этого явления для задач гидродинамики, вероятно, связана с отсутствием единого метода анализа. Представленная работа в некотором смысле является продолжением серии работ А.Г. Свешникова, С.И. Похожаева и М.О Корпуеова, в которых удалось получить достаточные и близкие к достаточным условия разрушения, оценки на времена разрушений, асимптотики сингулярных решений в задачах для идеальных и вязких стратифицированных, вращающихся жидкостей, скалярного приближения мелкой воды - уравнения Кортвега-де Фриза. В работе также предлагаются общие методы исследования разрушения: модифицированный энергетический метод М.О. Корпуеова и А.Г. Свешникова для начальных задач и метод нелинейной емкости С.И. Похожаева для краевых, что повышает ее практическую ценность.

Целью диссертационной работы является

1. Изучение локальной и глобальной разрешимости широкого класса начальных и начально-краевых нелинейных задач гидродинамики для системы дифференциальных уравнений Осколкова, интегро-дифференциальных систем Кельвина-Фойгта и предложенных в 1967 году О.А. Ладыженской систем с нелинейной вязкостью, а также задач для скалярных нелинейных уравнений типа Кортвега-де Фриза.

2. Исследование влияние нелинейных сингулярных и регулярных источников на появление феномена разрушения решения данных задач в неограниченных и ограниченных областях, при различных начальных и граничных условиях.

3. Получение необходимых и достаточных, а также достаточных, близких к необходимым, условий разрушения решений, двусторонних оценок времени разрушения, оценок на скрость разрушения.

4. Исследование возможности глобальной разрешимости при наличии степенных и енн- гулярных источников. Изучение гладкости получаемых сингулярных и регулярных решений.

Научное значение, новизна и практическая значимость работы.

4. 1. В работе изучались задачи, описывающие процессы в вязко-упругой жидкости Кельвина-Фойгта, в ограниченной и неограниченной области. Впервые показано наличие явления разрушения для задач такого типа и влияние на него внешних и интегральных слагаемых,

   2. Показано наличие разрушения решений задач для систем Навье-Стокса и Эйлера при специальных граничных условиях, что является существенным вкладом в изучение вопроса о глобальной неразрешимости этих задач,

   3. Рассмотрен класс начально-краевых задач для нелинейных уравнений типа Кортвега- де Фриза на ограниченных и неограниченных областях, включающий в себя широко используемые в настоящее время уравнения Бенжамена-Бона-Махони-Бюргерса, Розенау- Бюргерса, КдФ-Бюргерса, Кадомцева-Петвиашвили, Захарова-Кузнецова, Хохлова- Заболоцкой, Островского, Линя-Рейснера-Цзяня, Для этого класса впервые найдены достаточные условия разрушения решений задач с естественными граничными условиями,

   4. Получены оценки времени разрушения решений рассматриваемых задач, то есть времени корректного описания данными моделями соответствующих физических явлений,

   5. Полученные результаты и предложенные методики, позволяют получать временные оценки корректности решений прикладных задач нелинейной физики, использующих данные модели.

   Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

   4. 5. 1. Впервые исследовано явление разрушения в задачах для систем уравнений типа Осколкова с источниками, описывающих процессы в неньютоновских жидкостях. Изучены достаточные условия разрушения, получены оценки на время и скорость разрушения решения задач с сингулярными и регулярными источниками,

         2. Доказана теорема о разрушении для задачи Навье-Стокса со специальными граничными условиями. На примере задачи Эйлера показано различие между эффектами разрушения в ограниченных и неограниченных областях,

         3. Для ряда уравнений типа Кортвега-де Фриза доказаны теоремы разрушения решений и получены оценки времени разрушений,

         4. Для уравнений Бенжамина-Бона Махонп-Бюргерса, Розенау-Бюргерса и Кортвега- де Фрнза-Бюргерса доказана локальная разрешимость начально-краевых задач с есте- етвенными граничными условиями. Получена зависимость времени обострения от начальных условий.

         Апробация результатов диссертации.

         Основные результаты опубликованы в 9 работах в реферируемых журналах. Список этих работ приведен в конце автореферата.

         Отдельные результаты также докладывались на

         4. 5. 4. 1. научном семинаре профессора И, А, Шишмарева по нелинейным дифференциальным уравнениям (фак,-т BMnK МГУ);

                  2. научном семинаре профессора А, Н, Боголюбова по математическим методам в естественных науках (физ, фак,-т МГУ);

                  3. научном семинаре по ассимптотическим методам математической физики под руководством академика В, П. Маслова и профессора С, Ю, Доброхотова (IIiIM РАН);

                  4. научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В, Ф, Бутузова;

                  5. международных научных конференциях молодых ученых «Ломоноеов-2011, -2012»,

                  Структура и объем диссертации.

                  Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, математического дополнения и списка литературы, включающего 101 наименование, и изложена на 183 страницах.
                  

                  Похожие диссертации на Исследование разрушения в задачах гидродинамического типа

                  

                  Метод энергетических оценок в задачах о разрушении решений нелинейных уравнений псевдопараболического типаКорпусов Максим Олегович

                  

                  Разрушение решений смешанных краевых задач для уравнений соболевского типаМакаров Павел Александрович

                  

                  Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве в задачах случайно-матричного типаБородин Алексей Михайлович

                  

                  Асимптотические методы в некоторых задачах математической физики, связанных с уравнениями типа sin-Гордона и геометрией псевдосферических поверхностей Маевский Евгений Валерьевич

                  

                  Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция - диффузия - адвекция с пограничными и внутренними слоямиНикитин Андрей Геннадьевич

                  Исследование краевых задач в областях типа резонатора ГельмгольцаГадыльсин, Рустем Рашитович

                  Исследование краевых задач в областях типа резонатора ГельшгольцаГадыльшин, Рустем Рашитович

                  

                  Исследование краевых задач для уравнений соболевского типа в нецилиндрических областяхВинокур Марина Владимировна

                  

                  Исследование и разработка алгоритмов решения некоторых комбинаторных задач типа разрезания графаГильбурд, Михаил Марксович

                  Исследование краевых задач со смещениями для уравнений смешанного типаЖегалов, Валентин Иванович