Содержание к диссертации
Введение 4
1 Начально-краевая задача для системы быстрого уравнения второго порядка и медленного
уравнения первого порядка 12
1.1 Постановка задачи. Требования 12
Постановка задачи 12
Построение предельного решения 15
Понятие нижнего и верхнего решений 18
1.2 Существование и асимптотика решения 19
Формулировка теоремы 19
Сглаживание функции й(х) 19
Построение нижнего и верхнего решений в 5— окрестности точки жо 21
Построение нижнего и верхнего решений на отрезках [0, жо — 25, ] и [жо + 25,1] 25
Построение нижнего и верхнего решений на отрезках [а?о — 25, #о — 5] и [xq + 5, #о + 2S] 28
Доказательство теоремы 33
2 Краевая задача для системы быстрого и мед
ленного уравнений второго порядка. 35
2.1 Постановка задачи. Требования 35
Постановка задачи 35
Построение составного решения вырожденной задачи 37
Понятие нижнего и верхнего решений 42
2.2 Существование и асимптотика решения 43
Формулировка теоремы и схема доказательства . 43
Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [0, жо - 2
Сглаживание функции й{х) 48
Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [xq — 6, ж0 + 5] 49
Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [xq — 26, xq — 5] 54
Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [жо + 2571] 59
Построение нижнего и верхнего решений на отрезке \х о + Sf Xq + 25] 60
Завершение доказательства теоремы 61
3 Сингулярно возмущенная параболическая за
дача в случае пересечения корней вырожден
ного уравнения. 63
3.1 Постановка задачи и основной результат 63
3.2 Доказательство теоремы 68
Первый этап 68
Второй этап. Нижнее и верхнее решения 69
Построение нижнего решения 71
Построение верхнего решения. Завершение доказательства теоремы 76
Заключение 79
Литература 81
Введение к работе
Хорошо известно, что математическими моделями многих физических процессов являются дифференциальные уравнения, содержащие параметры. Входящие в уравнение параметры служат количественными характеристиками различных факторов, оказывающих влияние на ход изучаемого процесса; если некоторый фактор незначительно влияет на процесс, то соответствующий параметр будет малым. В таких случаях естественно положить малый параметр равным нулю и получить более простую задачу, которая называется невозмущенной. При этом можно надеяться, что решение исходной (возмущенной) задачи при достаточно малых значениях параметра будет мало отличаться от решения невозмущенной задачи.
Однако в сингулярно возмущенных задачах близость малого параметра к нулю не обеспечивает равномерную близость решений невозмущенной (ее в этом случае называют вырожденной) и возмущенной задач. К классу сингулярно возмущенных задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в качестве множителя при старшей производной. При переходе к вырожденной задаче порядок такого уравнения понижается; поэтому решение вырожденного уравнения, вообще говоря, не может удовлетворить всем дополнительным условиям, заданным для исходного уравнения, и от некоторых из дополнительных условий приходится отказаться. В результате в
окрестности той части границы рассматриваемой области, где дополнительные условия оказались отброшенными, решение вырожденной задачи заведомо не будет приближать решение исходной задачи.
Исследование сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений сформировалось в большое направление на основе работ А.Н.Тихонова [1]-[3]. Эти работы посвящены системам нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых часть уравнений содержит малый параметр при старшей производной. Решение такой системы имеет "быстрые" и "медленные" компоненты (указанные системы называются теперь системами тихоновского типа).
А.Н.Тихонов установил условия, при которых решение начальной задачи для сингулярно возмущенной системы стремится к решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю (теорема о предельном переходе). Исследования А. Н. Тихонова получили дальнейшее развитие в работах А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова и их учеников (см. [4]). В этих работах для широких классов сингулярно возмущенных задач с обыкновенными и частными производными разработаны погранелойные методы, позволяющие строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений. Другие подходы к исследованию сингулярно возмущенных задач развиты в известных работах A.M. Ильлина, СМ, Ломова, В.П. Маслова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розова (см. [6]-[21]) и ряде других (перечислить их не представляется возможным).
Одним из важных условий теоремы А. Н. Тихонова является требование существования изолированного корня вырожденного уравнения. Более сложная ситуация возникает тогда, когда вырожденное уравнение имеет пересекающиеся корни. В теории сингулярных возмущений
задачи с пересечением корней вырожденного уравнения получили название сингулярно возмущенных задач в случае смены устойчивости, так как в точках на линиях пересечения корней вырожденного уравнения происходит изменения типа точек покоя соответствующей присоединенной системы [4] (точки покоя претерпевают переход от устойчивых к неустойчивым и наоборот). Классическая тихоновская теория не позволяет дать ответ на вопрос о поведении решений сингулярно возмущенных задач в случае смены устойчивости. Предметом исследования данной работы является асимптотическое поведение решения при стремлении малого параметра к нулю сингулярно возмущенных задач как раз в случае пересечения корней вырожденного уравнения.
Сингулярно возмущенные задачи в случае смены устойчивости возникают в качестве математических моделей во многих прикладных задачах. В частности, в задачах химической кинетики они описывают быстрые бимолекулярные реакции. Как выяснилось, пересечение корней вырожденного уравнения позволяет объяснить явление скачка скоростей реакций, наблюдаемое на опыте.
Некоторые классы начальных задач в случае смены устойчивости изучались в [22]. Отметим, что использовавшийся в [22] метод специфичен именно для начальных задач и не пригоден для краевых задач. Исследование краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) в случае смены устойчивости началось лишь в самое последнее время. Этому вопросу посвящены работы [23]-[45], в которых в основу исследования поведения решения при стремлении малого параметра к нулю положен асимптотический метод дифференциальных неравенств, базирующийся на известных теоремах Чаплыгина [46]. Следует заметить, что в
теории дифференциальных уравнений метод дифференциальных неравенств известен давно. Впервые он был сформулирован для начальных задач С. А. Чаплыгиным [46]. Впоследствии М. Нагумо перенес его на краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений [48], а П. Файф, Д. X. Саттингер и Г. Аманн распространили на краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных [49]-[52]. Суть асимптотического метода дифференциальных неравенств состоит в том, что для построения нижнего и верхнего решений используется формальная асимптотика, которая модифицируется соответствующим образом [53]-[54]).
Использование асимптотического метода дифференциальных неравенств при исследовании сингулярно возмущенных уравнений позволило значательно упростить обоснование асимптотических разложений сингулярно возмущенных задач, доказать ряд теорем существования решений для новых классов сингулярно возмущенных задач, обосновать асимптотическую устойчивость и локальную единственность решений сингулярно возмущенных задач [56-61].
В работе активно используется асимптотический метод дифференциальных неравенств. Показано, что он может с успехом применяться ко многим сингулярно возмущенным задачам в случае смены устойчивости.
Краткое содержание работы:
Диссертация состоит из 3-х глав.
В главе 1 рассмотрена система уравнений тихоновского типа, состоящая из быстрого уравнения второго порядка
eV — g(u,v,x), (0.1)
и медленного уравнения первого порядка
J = f{u,v,x) (0.2)
Здесь є > 0 - малый параметр, и и v - скалярные функции. Уравнения рассматриваются на отрезке 0 < х < 1 с краевыми условиями для функции w и начальным условием для функции v.
и'(0)=и'(1) = 0, (0.3)
v(0) = v. (0.4)
В отличие классического тихоновского случая, система (0.1), (0.2) рассмотрена при условии, что вырожденное уравнение
g(u,v,x) = Q (0.5)
имеет два корня и =
Такой случай для задачи (0.1), (0.2) рассматривался в [24] при условии, что правая часть д уравнения (0.1) зависит от є. Эта зависимость от є играет существенную роль. Как показано в [24], принципиальное значение имеет знак производной дЕ на кривой v = v&(x). Теорема о предельном переходе доказана в [24] при условии дЕ < 0 на этой кривой. Случай, когда функция д не зависит от є, оказывается более сложным.
В главе 1 доказано, что при определенных условиях решение u(x,t), г;(ж, і) задачи (0.1)-(0.4) существует при достаточно малых є и стремится при є —> 0 к решению вырожденной задачи й(х), v(x), где v(x) - решение начальной задачи -й'(ж) = f(ip(y(x),x)yv,x), (0) = и0,
(p{v,x) ~ < - составной корень уравнения (0.5),
у
й(х) = (p(v[x)7x). Для доказательства применяется асимптотический
метод дифференциальных неравенств. В отличие от [24] для построение нижнего и верхнего решений задачи (0.1), (0.2). отрезок [0,1] разбивается на 5 отрезков: [0, же—2<5], [щ — 25, ж о+2<5], [xq—S, sq+
В главе 2 рассмотрена система уравнений тихоновского типа, в которой медленное уравнение, в отличие от (0.2), имеет второй порядок.
є и" — g(u,v,x), (0.6)
і/'= /(«,«, х) (0.7)
Уравнения рассматриваются на отрезке 0 < х < 1 с краевыми условиями:
и'(0) = и'(1) - 0, v(0) = Л v{l) = гЛ (0.8)
Снова рассматривается случай пересекающихся корней вырожденного уравнения (0.5). С помощью метода дифференциальных неравенств доказана теорема о предельном переходе, аналогичная теореме из главы 1.
Системы, рассмотренные в главах 1 и 2, возникают в качестве математических моделей во многих прикладных задачах, в частности, как уже отмечалось, они описывают быстрые бимолекулярные реак-
ции [25]. Поэтому результаты глав 1 и 2 могут быть использованы для описания скачков скоростей химических реакций.
В главе 3 рассматривается начально-краевая задача для сингулярно-возмущенного параболического уравнения:
є2(щ ~ихх) = g(u,x,t,s),
(М) Є Q = (0 < х < 1)х (О <*<Г), (0.9)
и(х,0) = щ(ж), ^,.(0,4)=^.(1,4)=0,
где є > 0 - малый параметр, и - скалярная функция.
Предполагается, что вырожденное уравнение имеет два корня и ~
В главе 3, в отличие от работ [37], исследуется случай, когда функция д не зависит от є. Этот случай более сложен. Для доказательства теоремы о предельном переходе приходиться накладывать дополнительные требования на корни ц>\ и (рі вырожденного уравнения и на кривую t = ф(х), 0 < х < 1. Установлено, что при определенных условиях решение u(Xjt,) задачи (0.9) существует для достаточно малых Є и ведет себя следующим образом: экспоненциально быстро изменяется на малом промежутке времени от начального значения и(х) до значений, близких к корню и = ipi(xzi) далее остается вблизи этого корня до тех пор, пока он остается устойчив. Но при переходе через
Кривую t ~ ф{х) ПРОИСХОДИТ Изменение УСТОЙЧИВОСТИ Корней (pi И if2i
и поэтому решение будет близко уже ко второму корню и =
Таким образом, основные результаты диссертации состоят в доказательстве теорем о существовании и асимптотическом поведении при стремлении малого параметра к нулю решений широкого класса сингулярно возмущенных начально-краевых задач для обыкновенных и параболических дифференциальных уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения (случае смены устойчивости).
