Содержание к диссертации
Введение
1 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений в случае пересечения корней вырожденной задачи 18
1.1 Постановка задач 18
1.1.1 Постановка задач и требования 18
1.1.2 Составное устойчивое решение 20
1.1.3 Метод дифференциальных неравенств 22
1.2 Существование и асимптотика решения начальной задачи 25
1.2.1 Начальная задача на отрезке [0, хц — 6] 25
1.2.2 Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [х0 -6,х0 + 5] 28
1.2.3 Начальная задача на отрезке [хо + 5/2,1] и формулировка теоремы 32
1.3 Существование и асимптотика решения краевой задачи 34
1.3.1 Дополнительные требования 34
1.3.2 Построение нижнего решения 35
1.3.3 Построение верхнего решения 37
1.3.4 Завершение исследования и формулировка результата . 41
1.4 Обсуждение результатов 42
2 Эллиптическая краевая задача в случае неизолированного корня вырожденного уравнения 44
2.1 Постановка задачи 44
2.1.1 Постановка задачи и требования 44
2.1.2 Метод дифференциальных неравенств 46
2.2 Существование и асимптотика решения 47
2.2.1 Функция z(x,j) 47
2.2.2 Срезающие функции 52
2.2.3 Процедура сглаживания 53
2.2.4 Верхнее решение 56
2.2.5 Нижнее решение 60
2.2.6 Формулировка теоремы 61
2.3 Случай отсутствия решения 61
2.4 Обсуждение результатов 68
3 Системы эллиптических уравнений в случае неизолированного корня вырожденной задачи 82
3.1 Постановка задачи 82
3.1.1 Постановка задачи и требования 82
3.1.2 Метод дифференциальных неравенств 87
3.2 Существование и асимптотика решения 89
3.2.1 Некоторые построения и леммы 89
3.2.2 Верхнее решение 95
3.2.3 Нижнее решение 101
3.2.4 Формулировка теоремы 106
3.3 Обсуждение результатов 107
Приложение 111
Быстрые бимолекулярные реакции 111
Заключение 115
Литература 118
- Существование и асимптотика решения краевой задачи
- Метод дифференциальных неравенств
- Случай отсутствия решения
- Существование и асимптотика решения
Введение к работе
Диссертация посвящена изучению ряда начальных и краевых задач с условием Неймана для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в случае, когда соответствующее вырожденное уравнение или система имеет неизолированные корни.
Актуальность темы
Хорошо известно, что математическими моделями многих процессов в физике, астрофизике, химии, биологии, социологии, технике служат дифференциальные уравнения, содержащие малые параметры. Входящие в уравнение параметры являются количественными характеристиками различных факторов, оказывающих влияние на ход изучаемого процесса. Естественное желание пренебречь малыми факторами приводит к более простым уравнениям, но не всегда решения таких уравнений правильно описывают наблюдаемые явления. В таком случае говорят, что исходная задача является сингулярно возмущенной — близость малого параметра к нулю не обеспечивает, вообще говоря, равномерную близость её решения к решению более простого вырожденного уравнения.
К классу сингулярно возмущенных задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в качестве множителя при старшей производной. Исследование таких задач сформировалось в большое направление на основе работ А.Н. Тихонова и получило дальнейшее развитие в работах А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова и их учеников, где для широких классов сингулярно возмущенных задач с обыкновенными и частными производными разработаны погранслойные методы, позволяющие строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений в ряды по степеням малого параметра. Альтернативные подходы к исследованию различных классов сингулярно возмущенных задач развиты в известных работах A.M. Ильина, СМ. Ломова, В.П. Маслова, И.И. Боголюбова, ЮА. Митропольского, Л.С. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Ро-
зова, В.А. Треногина и других учёных.
Одним из важных условий в классической теории Тихонова является требование существования изолированного корня вырожденного уравнения. Более сложная ситуация возникает тогда, когда вырожденное уравнение имеет пересекающиеся корни или, в общем случае, неизолированный корень. Необходимость рассмотрения такой ситуации появилась в химической кинетике при моделировании быстрых бимолекулярных реакций. Как выяснилось, пересечение корней вырожденного уравнения позволяет объяснить явление скачка скорости химической реакции, наблюдаемое на опыте.
Активное исследование задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) в случае пересечения корней вырожденного уравнения началось лишь недавно и ведется последние 10 лет. За это время для широких классов дифференциальных уравнений и систем тихоновского типа, как с обыкновенными, так и с частными производными (задачи Неймана эллиптического и параболического типов), доказаны теоремы о существовании и предельном переходе от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Прогресс в исследовании данного типа задач (они называются также задачами в случае смены устойчивости) связан с разработкой Н.Н. Нефедовым и его последователями асимптотического метода дифференциальных неравенств, который позволяет обосновывать асимптотические разложения решений более простым способом, чем это делалось ранее.
Перед автором была поставлена задача исследовать существование и асимптотику решений для некоторых классов систем сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений в частных производных эллиптического типа с разными степенями малого параметра при старших производных в ситуации, когда правые части уравнений зависят от малого параметра. В ходе исследования удалось решить
ряд проблем, касающихся рассматриваемого класса задач. Полученные результаты содержат:
обобщение известных результатов на случаи произвольной размерности искомого решения и независимой переменной
установление независимости поведения решения от структуры множества неизолированности корней вырожденного уравнения
выяснение вопроса о том, насколько используемые достаточные условия существования решения являются необходимыми
построение асимптотики произвольного порядка для решения возмущенной задачи
разработку представлений о природе явлений в рассматриваемом классе задач
Результаты диссертации расширяют классическую теорию А.Н. Тихонова и А.Б. Васильевой на новый класс задач, в которых вырожденные уравнения имеют неизолированные корни, а также расширяют применения асимптотического метода дифференциальных неравенств.
Цель работы
Главной целью диссертационной работы является доказательство теорем о предельном переходе для систем сингулярно возмущенных ОДУ, а также для уравнений и систем уравнений в частных производных эллиптического типа с разными степенями малого параметра в случае, когда вырожденная задача имеет неизолированные корни.
Научная новизна
Как основной результат, в диссертации доказаны теоремы о предельном переходе и получены асимптотические оценки для решений ряда сингулярно возмущённых задач с разными степенями малого параметра при старших
производных в случае, когда вырожденные задачи имеют неизолированные корни.
Показано, что допустима произвольная структура множества, где нарушается изолированность корней, включая естественный случай пересекающихся корней у вырожденной задачи. Оказалось также, что в рассматриваемом классе задач результаты не зависят от размерностей искомого решения и независимой переменной.
Исследована роль достаточных условий, гарантирующих существование решения задач рассматриваемого типа. Впервые доказаны утверждения об отсутствии решения при невыполнении этих условий.
Существенно развиты представления о природе явлений в рассматриваемом классе задач. На их основе предложен метод построения регулярной части асимптотики любого порядка для решения возмущенной задачи.
Практическая ценность
Полученные в диссертации результаты могут быть использованы
для исследования разрешимости и построения асимптотик решений ряда модельных задач химической кинетики
для описания явления скачка скорости химической реакции бимолекулярного типа
при исследовании новых классов сингулярно возмущенных задач в случае неизолированного корня вырожденного уравнения
Положения, выносимые на защиту
На защиту выносится ряд теорем о предельном переходе для некоторых классов систем сингулярно возмущенных ОДУ, а также сингулярно возмущенных уравнений и систем уравнений в частных производных. Кроме того, на защиту выносится теорема об условиях отсутствия решения для сингулярно возмущенного уравнения эллиптического типа.
Личный вклад автора
Основные результаты диссертации, приводимые ниже, получены автором диссертации лично.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на X Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003» (Москва, 2003 г.), на II международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (Обнинск, 2004 г.), на Международной конференции к 100-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006 г.), на ежегодных Ломоносовских чтениях в МГУ (Москва, 2007 г.), на ежегодных математических чтениях РГСУ «Математические методы и приложения» (Руза, 2003, 2008, 2009 гг.), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководители семинара профессора А.Б. Васильева и В.Ф. Бутузов).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Существование и асимптотика решения краевой задачи
Как известно, в случае изолированных корней уравнения (1.5) и выполнения условия (1.7) к задаче (1.2) применима стандартная теория, которая даёт положительный ответ на вопрос о существовании решения рассматриваемой задачи, близкого при малых є к устойчивому корню вырожденной системы. Теперь же мы считаем, что выполнены Условия 1.1-1.5, и поскольку в нашем случае hv(xo) = 0, то, как и в задаче (1.1), стандартная теория не работает. Как и в Разделе 1.2, нам потребуются дополнительные условия, связанные с точкой х0. Простейшим примером функции h(v,x), удовлетворяющей Условиям 1.3, 1.4 и 1.10, является функция при условии, что v\{x) и У2{Х) удовлетворяют соотношениям (1.6). Ещё одно требование связано с зависимостью функций / и g от є и выражено Условием 1.9. Как и в случае начальной задачи эта зависимость играет важную роль [11]. Займёмся построением нижнего и верхнего решений рассматриваемой краевой задачи. Возьмём нижнее решение задачи (1.2) в виде Здесь функция а(х,є) равна 1 в 5/2-окрестностях точек х — О и х — 1, равна 1_р на отрезке [8,1—8] и монотонно изменяется от є1 р до 1 на отрезках [8,8/2] и [1 — 8,1—8/2], причём а (х, є) Є С2 [0,1] для каждого є Ои \а"(х,є)\ const, где х Є [0,1]; 8 — любое малое, но фиксированное положительное число. Функции Zi(x,e) И 22(ж, Є) ИМеЮТ ВИД Величины констант А 0, кі 0 и к2 0, а также вид функции В(х) из класса С2[0,1] будут указаны ниже. Отметим тот факт, что в силу Условий 1.2 и 1.5 (pv(x) 0, х Є [0,1], так что согласно соотношениям (1.6) функции v(x) и u(x) = tp(v{x), х) и, как следствие, V (х, є) я U (х, є) имеют в точке XQ неотрицательный скачок производной, а это допустимо для нижнего решения (см. Замечание 1.1 в п. 1.1.3). Перейдём к проверке операторных неравенств 1.1 из
Определения 1.2 для нижнего решения, учитывая Условие 1.5 квазимонотонности вектор-функции (g,f). Как и в Разделе 1.2, ниже мы не будем специально оговаривать исключение из отрезка [0,1], на котором проверяются неравенства, точки XQ, В которой, возможно, нарушается гладкость нижнего решения, а также проверку неравенств для предельных в этой точке (слева и справа) значений соответствующих выражений для операторов, так как эти предельные неравенства будут следовать из доказанных нами неравенств ввиду vi(x), v2(x) Є С2[0,1]. Предварительно заметим, что Тогда для оператора L2 получаем Возьмём B{x) такой, чтобы при x Є [0,1] выполнялось неравенство Это возможно сделать в силу р 1 и положительности ди(х) на [0,1]. Тогда при достаточно малых є получим на отрезке [0,1] Для оператора М2 имеем Вне 5/2-окрестностей точек х = 0 и а; = 1 слагаемые — ер к\ z±(x, є) и є fu(x) z2(x, є) являются величинами порядка о(єп) для любого положительного п, а слагаемое, содержащее Л„(ж), неотрицательно. Заметим также, что в достаточно малой 5-окрестности точки хо неравенство (1.35) будет иметь место для достаточно малых є, если выполнено неравенство Возьмём В(х) такой, чтобы в -окрестности х0 наряду с неравенством (1.36) выполнялось неравенство Существование функции В(х), удовлетворяющей в 5-окрестности точки XQ неравенствам (1.36) и (1.37), гарантируется Условием 1.9, если взять 8 достаточно малым. Доказательство этого факта аналогично доказательству существования подходящего числа В для нижнего решения начальной задачи (1.1) в п. 1.2.2. И тогда при ге Є [ж0 — 5, х0 + 6] мы получим для достаточно малых е. Вне рассматриваемой J-окрестности точки х0 неравенство будет выполнено за счёт члена ephv(x)Aa(x,e) при достаточно большом А и достаточно малых є в силу того, что вне 5/2-окрестностей точек і = 0иж = 1 этот член больше или равен С\Ае, а внутри указанных 5/2-окрестностей — больше или равен С2Аєр, где С\ и С% — положительные постоянные. Обратимся теперь к проверке граничных неравенств 1.2 для нижнего решения из Определения 1.2. Для функции V(х,є) получаем если взять кі достаточно большим. Для U (х, є) имеем: если к2 достаточно велико. Аналогично проверяется выполнение граничных неравенств в точке х = 1. Таким образом, нижнее решение задачи (1.2) построено в виде (1.33).
Для построения верхнего решения снова будем использовать компоненту v (х) составного решения вырожденной задачи. Однако делать это подобно тому, как в случае с нижним решением, нельзя, поскольку можно получить негладкое верхнее решение, содержащее компоненты с положительными скачками производных в точке х0, что, согласно Замечанию 1.1, недопустимо. Исправить ситуацию поможет процедура сглаживания составного устойчивого решения [11, 14]. Введём функцию а — какое-то положительное число (оно будет выбрано ниже). Вместо v(x) примем к рассмотрению следующую всюду гладкую функцию Функция v(x, є) дважды непрерывно дифференцируема, и можно показать [11], что в любой фиксированной при є — 0 5/2-окрестности точки х0 (5 — будет выбрано ниже) для неё выполняются соотношения где 0 г)(х,є) = 0(1). Вне 5-окрестности точки хо для v(x,є) справедливы равенства положительное число. Построим
Метод дифференциальных неравенств
Для доказательства существования решения и предельного перехода при є — 0 к решению вырожденного уравнения будет использован метод дифференциаль ных неравенств. Напомним понятия нижнего и верхнего решений для задачи (2.1). Определение 2.1 Функции U (х, є) и U (х, є) называются соответственно нижним и верхним решениями задачи (2.1), если выполнены неравенства: Если, кроме того, выполнено неравенство то U (х, є) и U (х, є) называются упорядоченными нижним и верхним решениями. Справедлива следующая теорема [79]. Теорема 2.1 Если существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения U(x,e) и U (х,є) задачи (2.1), то задача (2.1) имеет решение и(х,е), удовлетворяющее при х Є О, неравенствам Наши дальнейшие действия будут состоять в построении подходящей пары функций U(x,e) и U (ж, є), переходящих в ср(х) при є — 0. Для построения нижнего и верхнего решений задачи (2.1) нам потребуется ввести некоторые функции и процедуру сглаживания, вообще говоря, негладкого решения р(х) вырожденного уравнения (2.2). Пусть JV( ) — бесконечно дифференцируемая функция при г 0, равная AN 0 при г = 0, нулю при г 1 и монотонно убывающая при 0 г 1, причём Очевидно, такая функция существует, причём "0jv(r) О ПРИ г 0. Введём функцию где x Є 2, 7 0. Свойства этой функции играют решающую роль при получении неравенств 2.2 для нижнего и верхнего решений. Рассмотрим свойства z(x,-y). Носитель supp K (x — ,7) представляет собой шар радиуса j с центром в точке х в пространстве RN. Поэтому интеграл (2.4) собственный, и функция z(x,j) бесконечно дифференцируема при і Є 11 и 7 0.
При этом любые её производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла. Введём « -окрестность границы сЮ: Как можно заметить, при достаточно малых фиксированных 7 функция z(x, 7) обращается в ноль при х Є 2 \ Е (5Г2) и неотрицательна, но не превосходит единицы при х Є 2 П Ег(сЮ). Действительно, производя замену переменной = а; — 7С, получаем Далее, для производной z(a;, 7) вдоль внутренней нормали к дО, имеет место следующее представление: (2.5) где CQ 0 — некоторая константа, а @(х, 7) =4 0 при 7 0, же 9ft. Тем самым, z(x, 7) убывает при движении точки х от границы внутрь области 2 (7 фиксировано). Докажем (2.5), для чего введём в рассмотрение полупространство, ограниченное плоскостью, касательной к дО, в точке х: где пх — внутренняя нормаль к дії в точке х, {-,4)N — скалярное произведение в Яр/. При этом дИх — касательная плоскость к дії в точке х, а пх — внешняя нормаль Производя замену переменной = re — 7 в интеграле Д, получаем (C.nxJw O.IICHjv l Со 7 где Со — положительная в силу ip N О константа, не зависящая от направления единичного вектора пх. В самом деле, для любого единичного вектора пх можно указать ортогональное преобразование Qx, переводящее, например, единичный орт пі = (1,0,...,0) в этот вектор: пх = Qxn\. Производя замену переменной Перейдём к оценке її. Зафиксируем некоторую точку на дО. и рассмотрим её 25-окрестность Vis- Так как граница дії Є С1, то при достаточно малом 5 в окрестности Vis она может быть задана уравнением где х = (х1,..., хк 1, xk+1,..., xN), а. ш(х ) — непрерывно-дифференцируемая функция, зависящая от выбранной точки. Через VJg обозначим проекцию указанной 25-окрестности на соответствующее подпространство координат х пространства RN. Рассмотрим теперь некоторую точку у Є дії П Vs- Уравнение касательной плоскости к дО, в точке у запишем в виде
Случай отсутствия решения
Покажем, какую роль играют Условия 2.4 и 2.5 для существования решения задачи (2.1), в частности, такого, для которого справедливо представление (2.19). Заметим, что Условие 2.4 (fuu(tp(x),x,0) 0 при ж Є Г) достаточно естественно для квадратичной нелинейности, а конкретный знак производной взят для определенности (в противном случае достаточно сделать замену v = —и). Но что можно сказать о решении, если вместо Условия 2.5 (f( p(x),x, 0) 0 при ж Є Г) выполнено Условие 2.6 fe{ip{x0), хо, 0) 0 при некотором х0 Є Г П П Покажем, что в этом случае решение задачи (2.1), если оно существует, не может иметь асимптотику вида (2.19) в окрестности точки XQ. Доказательство этого факта будет проведено с использованием принципа максимума. В [11] аналогичное утверждение было получено другим способом на конкретном примере обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Прежде всего, получим оценку снизу значений функции f(u,x,e) в окрестности корня ip(x) и точки х0. По формуле Тейлора, где 0 0 1, 0 ?7 1и f( p(x),x,Q) = 0. Полученное выше представление является квадратным трехчленом относительно разности и — (р(х), отсюда в некоторой окрестности р(х) и точки Хо при достаточно малых є 0 справедлива оценка где к 0 и I 0 — некоторые константы, зависящие только от выбранной окрестности. В самом деле, перенося слагаемые в неравенстве (2.20) в левую часть, получаем снова квадратный трехчлен, неотрицательность которого будет следовать из условия неположительности дискриминанта: и условия положительности коэффициента \}ии — к при старшем члене. Заметим, что /uu — к const 0 и (/ым — 2fc)(/e — Z) const 0 при подходящем выборе положительных констант к яі, так как в силу
Условий 2.4 и 2.6 функции /uu и /е сохраняют положительный знак в некоторой фиксированной окрестности ip(x) и точки ж0 при достаточно малых є 0. С другой стороны, по формуле Тейлора, где М 0 — некоторая константа (здесь и далее индекс N у нормы опускаем для краткости). Возьмем в качестве окрестности х0 шар Уо(є) радиуса г0л/є с центром в точке XQ. В ЭТОЙ ОКреСТНОСТИ откуда следует, что неравенство (2.21) будет выполнено, если г0 взять достаточно малым. Тем самым (2.20) выполняется в некоторой фиксированной окрестности ip(x) в шаре Vo(e) при достаточно малых є 0. Предположим, что при достаточно малых є 0 задача (2.1) имеет решение и(х, є) =4 у{х) при є — 0, х Є Сі. Пользуясь оценкой (2.20), получаем Введем функцию v = и— 2 є1-2рж — х0\\2. Для этой функции Если (2.19) имеет место, то и(х,е) = ip(x) 4- 0{єх12) при х Є VQ(E), поэтому с учетом липшицевости р(х) имеем Однако последнее соотношение не может быть выполнено при условии р 3/4 и достаточно малых є, так как оно противоречит оценке (2.22). В самом деле, при р 3/4 имеем 2 — 2р 1/2. Тем самым доказано, что решение задачи (2.1), если оно существует, не может иметь асимптотику вида (2.19) в окрестности точки xQ. Более того, при р 1 невозможен равномерный предельный переход и(х,є) к р(х) в окрестности точки ха при є — 0. Данный результат можно доказать и другим методом, а именно, методом априорных оценок решения, предложенным в [34] в качестве метода исследования отсутствия и разрушения решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. Однако ниже мы применим этот метод для доказательства двух более общих утверждений, в связи с чем потребуется ввести два дополнительных требования.
Условие 2.7 Уравнение f(u, ж0,0) — 0 не имеет других решений, кроме и — р(х0), па промежутке [и,й] (и ір(х0) й). Из этого условия и Условий 2.4 и 2.6 следует, что для функции f(u, х, є) оценка (2.20) остается справедливой для и Є [и, Щ и х Є о(є) при достаточно малых є и малых, но фиксированных, константах к, I. Условие 2.8 Уравнение f(u,xo,0) = 0 не имеет других решений, кроме и = ip(xo), на промежутке (—оо,+оо); причем в некоторой (гол/є)-окрестности точки х0 справедлива оценка № % е const 0 для всех достаточно больших \и\ и малых є 0. Из этого условия и Условий 2.4 и 2.6 следует, что для функции f(u, х, є) оценка (2.20) остается справедливой для всех и и х Є Vo(e) при достаточно малых є и малых, но фиксированных, константах k,l. Предположим, что выполнены Условия 2.1-2.4, 2.6, а также 2.7 или 2.8, и при достаточно малых є О задача (2.1) имеет решение и(х,є). В случае выполнения Условия 2.7 дополнительно предположим, что и и{х,е) й при х Є VQ{e). Тогда Введем в рассмотрение функцию ф(х, є) = ф0 ( 5 ) і гДе
Существование и асимптотика решения
Покажем, какую роль играют Условия 2.4 и 2.5 для существования решения задачи (2.1), в частности, такого, для которого справедливо представление (2.19). Заметим, что Условие 2.4 (fuu(tp(x),x,0) 0 при ж Є Г) достаточно естественно для квадратичной нелинейности, а конкретный знак производной взят для определенности (в противном случае достаточно сделать замену v = —и). Но что можно сказать о решении, если вместо Условия 2.5 (f( p(x),x, 0) 0 при ж Є Г) выполнено Условие 2.6 fe{ip{x0), хо, 0) 0 при некотором х0 Є Г П П Покажем, что в этом случае решение задачи (2.1), если оно существует, не может иметь асимптотику вида (2.19) в окрестности точки XQ. Доказательство этого факта будет проведено с использованием принципа максимума. В [11] аналогичное утверждение было получено другим способом на конкретном примере обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Прежде всего, получим оценку снизу значений функции f(u,x,e) в окрестности корня ip(x) и точки х0. По формуле Тейлора, где 0 0 1, 0 ?7 1и f( p(x),x,Q) = 0. Полученное выше представление является квадратным трехчленом относительно разности и — (р(х), отсюда в некоторой окрестности р(х) и точки Хо при достаточно малых є 0 справедлива оценка где к 0 и I 0 — некоторые константы, зависящие только от выбранной окрестности. В самом деле, перенося слагаемые в неравенстве (2.20) в левую часть, получаем снова квадратный трехчлен, неотрицательность которого будет следовать из условия неположительности дискриминанта: и условия положительности коэффициента \}ии — к при старшем члене. Заметим, что /uu — к const 0 и (/ым — 2fc)(/e — Z) const 0 при подходящем выборе положительных констант к яі, так как в силу Условий 2.4 и 2.6 функции /uu и /е сохраняют положительный знак в некоторой фиксированной окрестности ip(x) и точки ж0 при достаточно малых є 0. С другой стороны, по формуле Тейлора, где М 0 — некоторая константа (здесь и далее индекс N у нормы опускаем для краткости). Возьмем в качестве окрестности х0 шар Уо(є) радиуса г0л/є с центром в точке XQ. В ЭТОЙ ОКреСТНОСТИ откуда следует, что неравенство (2.21) будет выполнено, если г0 взять достаточно малым. Тем самым (2.20) выполняется в некоторой фиксированной окрестности ip(x) в шаре Vo(e) при достаточно малых є 0. Предположим, что при достаточно малых є 0 задача (2.1) имеет решение и(х, є) =4 у{х) при є — 0, х Є Сі.
Пользуясь оценкой (2.20), получаем Введем функцию v = и— 2 є1-2рж — х0\\2. Для этой функции Если (2.19) имеет место, то и(х,е) = ip(x) 4- 0{єх12) при х Є VQ(E), поэтому с учетом липшицевости р(х) имеем Однако последнее соотношение не может быть выполнено при условии р 3/4 и достаточно малых є, так как оно противоречит оценке (2.22). В самом деле, при р 3/4 имеем 2 — 2р 1/2. Тем самым доказано, что решение задачи (2.1), если оно существует, не может иметь асимптотику вида (2.19) в окрестности точки xQ. Более того, при р 1 невозможен равномерный предельный переход и(х,є) к р(х) в окрестности точки ха при є — 0. Данный результат можно доказать и другим методом, а именно, методом априорных оценок решения, предложенным в [34] в качестве метода исследования отсутствия и разрушения решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. Однако ниже мы применим этот метод для доказательства двух более общих утверждений, в связи с чем потребуется ввести два дополнительных требования. Условие 2.7 Уравнение f(u, ж0,0) — 0 не имеет других решений, кроме и — р(х0), па промежутке [и,й] (и ір(х0) й). Из этого условия и Условий 2.4 и 2.6 следует, что для функции f(u, х, є) оценка (2.20) остается справедливой для и Є [и, Щ и х Є о(є) при достаточно малых є и малых, но фиксированных, константах к, I. Условие 2.8 Уравнение f(u,xo,0) = 0 не имеет других решений, кроме и = ip(xo), на промежутке (—оо,+оо); причем в некоторой (гол/є)-окрестности точки х0 справедлива оценка № % е const 0 для всех достаточно больших \и\ и малых є 0. Из этого условия и Условий 2.4 и 2.6 следует, что для функции f(u, х, є) оценка (2.20) остается справедливой для всех и и х Є Vo(e) при достаточно малых є и малых, но фиксированных, константах k,l. Предположим, что выполнены Условия 2.1-2.4, 2.6, а также 2.7 или 2.8, и при достаточно малых є О задача (2.1) имеет решение и(х,є). В случае выполнения Условия 2.7 дополнительно предположим, что и и{х,е) й при х Є VQ{e). Тогда Введем в рассмотрение функцию ф(х, є) = ф0 ( 5 ) і гДе 9 ( — ), при 0 г г0, Фо(г)={ V Го О, при Г Го и, например, д() = 4(5 — 4). Нетрудно видеть, что д(0) = 0 и д(1) = 1, кроме того, поэтому д() монотонно возрастает от 0 до 1 при 0 1. В силу свойств д() функции фо(г) и ф(х,є) являются дважды непрерывно дифференцируемыми в своих областях определения, причем если пх — внутренняя нормаль к сфере dV0(s) в точке х, то -(х,є) = ф(х,є) — 0. Теперь умножим обе части неравенства (2.23) на функцию ф(х, є) и проинтегрируем по шару VQ(S), перебросив производные си на ф при помощи формулы Грина: Рассмотрим интеграл, стоящий в левой части последнего неравенства. Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского для его оценки, предварительно умножив и разделив подынтегральную функцию на у/їр: приходим к неравенству ky2—є2рау+єІс—є2рЬ 0, которое должно выполняться для указанного у при достаточно малых є в силу наших предположений о существовании решения задачи (2.1).
Поскольку в левой части этого неравенства стоит квадратный трехчлен относительно у с положительным коэффициентом к при старшем члене, то из разрешимости неравенства следует неотрицательность дискриминанта: є4ра2 — Ак(єІс — є2рЬ) 0, или где А0 0 — значение последнего интеграла, который существует в силу ограниченности подынтегральной функции, так как в силу свойств функции #(), входящей в определение фо{т), при Г — Го С учетом полученных оценок неравенство (2.24) принимает вид или Однако это неравенство не может выполняться при достаточно малых є, так как при р 3/4 имеем Ар — 3 0 и 2р — 3/2 0. Полученное противоречие завершает доказательство результата, представленного в следующей теореме. еорема 2.3 Пусть задача (2.1) дляр 3/4 удовлетворяет Условиям 2.1-2.4 и 2.6, а также 2.7 или 2.8. Тогда при достаточно малых є О эта задача не может иметь решения и(х,є), такого, что и и(х,є) й в некоторой окрестности точки х0 (Условие 2.7), или вовсе не имеет решения (Условие 2.8). Замечание 2.4 Требование достаточной малости є существенно для факта отсутствия решения задачи (2.1). Оценка критического значения параметра е, т.е. такого, что при меньших значениях є решения не существует, требует тонкого анализа неравенства (2.24) или аналогичного ему в классе допустимых функций ф (см. примеры ниже). Замечание 2.5 Теорема 2.3 справедлива для любого типа применяемых граничных условий.
