Содержание к диссертации
Введение
1. Основные сведения 15
1.1. Когомологии алгебр Ли 15
1.2. Спектральные последовательности 16
1.3. Деформации алгебр Ли 17
1.4. Алгебры Ли картановского типа 23
1.5. Усеченные индуцированные и коиндуцированные модули 29
2. Фильтрованные деформации алгебр Ли серии Франк 33
2.1. Геометрическая реализация алгебр Франк 33
2.2. Вложение фильтрованных деформаций в контактную алгебру 35
2.3. Исследование фильтрованных деформаций алгебр Франк внутри контактной алгебры 38
3. Фильтрованные деформации алгебр Ли серии ё& 43
3.1. Вычисление группы Hl(W, B2(Q)) 43
3.2. Выделение подалгебры, изоморфной LQ В фильтрованной деформации jf 46
3.3. Построение Z2-rT^ynpoBKH в фильтрованной деформации Jf 49
4. Фильтрованные деформации алгебр Ли серии Y 53
4.1. Вычисление группы H^-XW, Ц!,іу) 53
4.2. Построение в фильтрованной деформации Jzf подалгебры, изоморфной W 56
4.3. Доказательство жесткости алгебр Ли серии Y относительно фильтрованных деформаций 59
5. Фильтрованные деформации алгебр Ли серии X 62
5.1. Геометрическая реализация алгебр Ли серии X 62
5.2. Вычисление групп когомологий специальной алгебры Ли S с коэффициентами в модулях дифференциальных форм 65
5.3. Описание коциклов группы H}QJS,Z\Q)) 69
5.4. Выделение специальной подалгебры в фильтрованной деформации J 78
5.5. Исследование «? как З-модуля 81
5.6. Доказательство жесткости простой градуированной алгебры Ли типа X 83
Литература 86
- Спектральные последовательности
- Вложение фильтрованных деформаций в контактную алгебру
- Построение в фильтрованной деформации Jzf подалгебры, изоморфной W
- Выделение специальной подалгебры в фильтрованной деформации J
Введение к работе
Актуальность работы. Задача описания фильтрованных деформаций градуированных алгебр Ли возникает в связи с классификацией простых алгебр Ли, которая является одной из центральных проблем теории модулярных алгебр Ли. Общая схема классификации простых алгебр Ли была разработана в 60-х годах XX века А.И. Кострикиным и И.Р. Шафаревичем, сформулировавшими в 1966 г. основную классификационную гипотезу, согласно которой любая простая конечномерная ограниченная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р > 5 либо является классической алгеброй Ли, либо изоморфна алгебре Ли картановского типа. Эту гипотезу доказали в 1984 г. Р.Е. Блок и Р.Л. Вильсон.
Классификационная схема для неклассических простых алгебр Ли состоит из следующих этапов:
1) построить максимальную подалгебру Jz^o в J?f, которая определяет длин
ную неуплотняемую фильтрацию в «?, = -„
d J^i d ... d r d Jz^r+i = {0}, такую, что в ассоциированной градуированной алгебре Ли L = @\ Ц подалгебра Lq является классической редуктивной алгеброй Ли, то есть прямой суммой классических простых алгебр Ли и, возможно, одномерного центра;
2) получить классификацию простых градуированных алгебр Ли, облада
ющих теми же свойствами, что и ассоциированная градуированная ал
гебры Ли L из п. 1), а именно, L — транзитивная алгебра Ли, Lq —
классическая редуктивная алгебра Ли, L_i — неприводимый Lo-модуль,
L,-i — А^_р I — 1,...,(/,
3) найти все фильтрованные алгебры Ли, с которыми ассоциированы гра
дуированные алгебры Ли из п. 2), то есть найти все фильтрованные
деформации алгебр Ли из п. 2).
В 1970г. В.Г. Кац провел исследование градуированных алгебр Ли, удовлетворяющих условиям п. 2). Он сформулировал теорему, согласно которой градуированная алгебра Ли из п. 2) либо является классической, либо изоморфна градуированной алгебре Ли картановского типа. Эта теорема стала называться теоремой распознавания. В конце 60-х годов А.И. Кострикин и И.Р. Шафаревич построили серии неограниченных простых градуированных алгебр Ли картановского типа. В [1] В.Г. Кац предложил более общую конструкцию, включающую неградуированные алгебры Ли картановского типа. В 70-е годы В.Г. Кац и Р.Л. Вильсон получили качественное описание фильтрованных деформаций алгебр Ли картановского типа. Позднее в работах С.А. Тюрина, С.А. Кириллова, М.И. Кузнецова, СМ. Скрябина были найдены классы
изоморфизма фильтрованных деформаций алгебр Ли картановского типа. В этих работах методы, применяемые в теории бесконечномерных транзитивных фильтрованных алгебр Ли нулевой характеристики (когомологии Спенсера, теоремы вложения и т.д.), были адаптированы к модулярному случаю.
В настоящее время получена классификация простых модулярных алгебр Ли характеристики р > 3 (X. Штраде, А. Премет). Список простых алгебр Ли, кроме классических алгебр Ли и алгебр Ли картановского типа, при заданном ограничении на характеристику содержит только одну серию исключительных простых алгебр Ли характеристки /7 = 5 — серию алгебр Меликяна.
Над полями характеристики р = 3 ситуация иная. Здесь построено много серий простых градуированных алгебр Ли, которые не имеют аналогов при большей характеристике основного поля — так называемые исключительные алгебры Ли. Это алгебры серии Т, построенные М. Франк, алгебры Ли серии М (Ю.Б. Ермолаев, М.И. Кузнецов, Г. Браун, СМ. Скрябин), алгебры Ли серий X, Y, Z, построенные СМ. Скрябиным. Все эти алгебры Ли содержат подалгебру, которая является алгеброй Ли векторных полей, и, как модуль над этой подалгеброй, допускают описание в терминах модулей дифференциальных форм.
В [2] была получена геометрическая реализация алгебр Мелякяна, то есть получено представление алгебры в виде градуированной по модулю 3 алгебры Ли, в которой компонента Lq является алгеброй Ли картановского типа, остальные компоненты реализованы как модули сечений геометрических расслоений над соответствующей алгеброй разделенных степеней, а умножение компонент задается инвариантными дифференциальными операторами. Метод М.И. Кузнецова построения геометрических реализаций, основанный на теории усеченных коиндуцированных модулей над транзитивными алгебрами Ли ([3]), был применен СМ. Скрябиным ([4]) и Г. Брауном ([5]) для построения новых простых алгебр Ли над полями малой характеристики.
В работах М.И. Кузнецова [2], [6] описание деформаций алгебр Меликяна, с помощью теорем вложения сводилось к деформациям внутри контактной алгебры Ли. В 2004г. X. Штраде использовал геометрическую реализацию алгебр Меликяна для доказательства их жесткости. Однако систематического исследования фильтрованных деформаций алгебр Ли, имеющих геометрическую реализацию, не проводилось.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена разработке методов исследования фильтрованных деформаций исключительных простых градуированных алгебр Ли характеристки 3, имеющих геометрическую реализацию.
Основные результаты. В диссертации получены следующие результаты:
1. Доказательство жесткости алгебр Ли серии Франк относительно фильтрованных деформаций, основанное на вложении фильтрованных деформаций в контактную алгебру Ли от трех переменных.
Доказательство жесткости алгебр Ли серии R относительно фильтрованных деформаций.
Доказательство жесткости алгебр Ли серии Y относительно фильтрованных деформаций.
Доказательство жесткости простых градуированных алгебр Ли серии X относительно фильтрованных деформаций.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В частности, впервые показано, что простые градуированные алгебры Ли серии X, а также исключительные алгебры Ли серии Франк и серий R, Y являются жесткими относительно фильтрованных деформаций.
Методы исследования. В работе использовались методы гомологической алгебры, в частности, точные последовательности коэффициентов групп ко-гомологий, спектральные последовательности Серра-Хохшильда, когомологии Спенсера. Применялся аппарат усеченных индуцированных и коиндуцирован-ных модулей над транзитивными алгебрами Ли, а также теорема вложения для фильтрованных деформаций алгебры контактного типа в контактную алгебру Ли.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при классификации простых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 3.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007), на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007), на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008), на летней школе-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Самара, 2009), на нижегородских сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 2007, 2008, 2009), на всероссийских молодежных научных конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2006, 2007, 2009), на научном семинаре по алгебре кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. проф. М.И. Кузнецов, 2010).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 2 статьи, причем 1 статья из перечня, рекомендованного ВАК РФ, 2 работы в материалах всероссийских конференций и 4 тезисов докладов. Список опубликованных работ приведен в конце автореферата.
Личный вклад автора. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно под научным руководством профессора М.И. Кузнецова.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы разделены на параграфы. Библиография включает 48 наименований. Общий объем диссертации 90 страниц.
Спектральные последовательности
Введем определения и обозначения для спектральных последовательностей (см., например, [26], [23], [21]). Последовательность комплексов (Er, dr)r o, называется спектральной, если Говорят, что спектральная последовательность сходится к Е , если, начиная с некоторого г, она стабилизируется: Er = Er+\ = Как известно, для филь трованного комплекса К = {FPK }P Q существует спектральная последова тельность (Er, dr) со следующими свойствами: Пусть С (Ь,М) — коцепной комплекс алгебры Ли L, и / — идеал в L. Определим фильтрацию на C (L, М) по правилу Соответствующая спектральная последовательность (Er,dr) называется спектральной последовательностью Серра-Хохшильда (см. [9]). Предложение 3. Если I — идеал алгебры Ли L, то спектральная последовательность Серра-Хохшильда обладает свойством: Е 4 = HP(L/I, Hq(l, М)). Если L и М градуированы, а / — однородный идеал в L, то спектральная последовательность Серра-Хохшильда также наделяется градуировкой. Спектральную последовательность, которая соответствует однородному подкомплексу C t{L,М) степени / комплексаC (L,М), будем обозначать через (Erj,dr). Очевидно, что (Erj, dr) является однородной компонентой степени I спектральной последовательности Серра-Хохшильда, поэтому E f = HP(L/I, Hq{l, М)). Существует несколько подходов к определению деформаций алгебр Ли. В работе [30] предложено следующее определение. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F. Структура алгебры Ли на пространстве V определяется кососимметрической формой ip: V Л V —» V, удовлетворяющей тождеству Якоби.
Таким образом, в пространстве Hom(V Л V, V) множество X всех структур алгебры Ли на V является множеством нулей некоторой системы многочленов, то есть алгебраическим множеством. Группа G = GL(V) действует на Л естественным образом: (g ср)(и, v) = g(p(g lu,g lv), где g є G, p e , u, v є V. G-орбита алгебры Ли ip определяет ее класс изоморфизма. Пусть (М, о) — неприводимое алгебраическое многообразие М с отмеченной точкой о. Деформацией алгебры Ли ip называется рациональный морфизм / : М —» X такой, что f(o) = ср. В действительности / определяет семейство алгебр Ли, структурные константы которых являются рациональными функциями на М. Деформации f\ и fo называются эквивалентными, если существуют бирациональный изоморфизм if/ : Mi —» М\, 1//(02) = о\, и рациональный морфизм : M2- G, х(о2) = е, такие, что /2(т) =хМ fi(i//(m)). Факгорпространство TyJL/TyGty) = Н\ос( р) является пространством локальных деформаций алгебры ср. Так как Т Х, совпадает с группой коциклов Z2(cp,ip), а группа B2{ip,tp) содержится в T,pG(ip), то H\oc(ip) является фактором H2(tp, ср). Таким образом, если H2(ip, ip) тривиальна, то алгебра р является жесткой, то есть все ее деформации изоморфны. Вышеизложенный подход к деформациям алгебр Ли является геометрическим. Наряду с ним имеется понятие формальной деформации (см. [8]). Пусть L — алгебра Ли над полем F. Через К обозначим поле частных кольца формальных степенных рядов F[M], тогда LK = Lp К — алгебра Ли, полученная расширением поля скаляров. Пусть ft: LKXLK —» LK — билинейная функция над К, представимая в виде где х, у є L, Fi — билинейные функции над F, и к 0 — наименьшее значение такое, что Fu Ш 0. Потребуем, чтобы f удовлетворяла условию антисимметричности и тождеству Якоби, то есть /,( , у) = -ft(y, х) и ft(x, ft(y, z))+ft(y, ft(z, x))+ + ft(z,ft(x,y)) = 0 для всех x,y, z є L. Тогда векторное пространство LK С умножением ft называется однопараметрическим семейством деформаций алгебры Ли L. Из ограничений, наложенных на ft, следует, что то есть Fk является элементом Z2(L,L). Будем называть Fk интегрируемым, если существует такое семейство ft, что f(x,y) = [х,у] + Fk{x,y) + Два семейства деформаций ft(x, у) = [х, у]+tkFk(x, у)+...и gt{x, у) = [х, у] + + Gjt( ,j)+... будем называть эквивалентными, если существует автоморфизм пространства LK вида где ері : L —» L линейны над F, такой, что gt(x,y) = Ф 1 ft( t(x), ФгОО)- Из последнего уравнения, в частности, следует, что Gk(x,y) = Fk(x,y) + [х, (fk(y)] + + bPk(x),y]-(pk([x,y]) = Fk(x,y)+Scpk(x,y). Таким образом, классу эквивалентных деформаций соответствует элемент группы H2(L, L). Семейство f называется тривиальным, если оно эквивалентно тождественной деформации gt, определенной формулой gt(x,y) = [х,у]. Пусть f(x,y) = [х,у] + F x y) + ..., Fk 0 - однопараметрическое семейство деформаций алгебры Ли L, причем Fk = 6 рк для некоторой 1-коцепи срк. Тогда, полагая Ф{(х) = ср/ х), имеем Ф "1 /г(Ф,(х), Ф/0 )) = [х,у] + + +lF k+x{x,y) + ft+2F k+2(x,y) + ..., то есть F k+X принадлежит Z2(L,L). Таким образом, если H2(L, L) = 0, то алгебра L жесткая, то есть все ее деформации тривиальны. Следует подчеркнуть, что жесткость алгебры Ли в формальном смысле влечет за собой жесткость в геометрическом смысле. Обратное, вообще говоря, неверно, но, как показано в [13], при выполнении некоторых дополнительных условий «геометрическая» и «формальная» жесткость алгебр эквивалентны.
В случае, если алгебра Ли градуирована, то имеет смысл понятие фильтрованной деформации. Пусть L = Г L/ — градуированная алгебра Ли. Соответствующую фильтрацию обозначим через {(, )}, где L = Xj iA/- Фильтрованная алгебра Ли Je? = =?(_9) э Jz +i) э ... э Jf э 0 такая, что gr S = L, называется фильтрованной деформацией алгебры L. Выберем в набор подпространств {V}}, дополнительных к членам фильтрации, J(j) = V,- of(j+i). Тогда условие grjf = L означает, что существует изоморфизм векторных пространств Л: L —» Jzf, для которого Л(Ьі) = V,- и gr оЛ(х) = х, х є L/. При этом умножение в jf можно представить в виде где х є Li, у є Lj и ЦІ є Hom(L Л L, fcVJOz — кососимметрическое билинейное однородное отображение степени /. Пусть к є N — наименьшее значение, при котором цк 0, тогда цк удовлетворяет условиям для x,y,z Є L. Следовательно, рк = ЛГ1 о цк является однородным коциклом степени к. Так как выбор пространств У,- неоднозначен, то мы можем рассмотреть другой набор пространств {У[}, дополнительных к членам фильтрации, в котором V. является образом Vt при действии невырожденного линейного отображения F: Jzf — Jzf вида =1+ + фк+1 + . ., где 0-/ — однородное линейное отображение степени /. Тогда С другой стороны, Таким образом, если обозначить Л 1 о /лк через (рк, то ір к = щ + б(Л 1 о if/к о А), то есть деформации Jzf соответствует когомологический класс элемента щ. Пусть [Л(х),Л(у)] = Л([х,у]) + Л о срк(х,у) + ..., где ipk = 6{Л Х о фк о Л) для некоторого линейного отображения степени к на пространстве Jzf. По аналогии со случаем формальных деформаций, применим автоморфизм = = l+фк векторного пространства Jzf, тогда [Л(х), Л(у)] = Л([х,у])+Ло рк+1(х,у) + + ..., где срк+] є Zk+l(L, L). И мы также можем заключить, что если H\(L, L) = О, то алгебра L является жесткой относительно фильтрованных деформаций. Наконец, можно ввести понятие фильтрованной деформации однородной подалгебры внутри градуированной алгебры Ли (см. [10]). Пусть М = @ІМІ — конечномерная градуированная алгебра Ли, L = ,-L,-— градуированная подалгебра в М такая, что L/ с М{. Фильтрованная алгебра Ли Jzf называется фильтрованной деформацией алгебры L внутри М, если 1) существует вложение алгебр Ли j: Jzf —» М такое, что ./(= (/)) с Щї) и 2) gr ЦЯ) = L. представить в виде щ = Х{ + (рк(х{) + (pk+\(Xi) + ..., где (fj є Hom(L, M)j — однородное линейное отображение степени j, к 0 — такое минимальное значение, что (fk(L) Ф 0.
Вложение фильтрованных деформаций в контактную алгебру
Докажем, что все фильтрованные деформации допускают вложение в контактную алгебру ТС. Тогда их исследование сведется к описанию фильтрован- ных деформаций алгебры Т внутри алгебры К. Нам потребуется следующее вспомогательное утверждение. Лемма 2. Имеет место изоморфизм То-модулей Доказательство. Утверждение будет доказано, если мы покажем, что коммутант [Г(і), Г(і)] не содержит в точности элементы Ех, Fx, Нх и х р д, t О, из стандартного базиса пространства Тру Напомним, что подалгебра Тщ как векторное пространство порождена элементами х 1+2)д, G х( +1), и x l+ dx для / 0, где G є 5І(/), и є /. Из равенства [х(,+2) 9, GX] = Gx l+2) для произвольного G є sI(C/) следует, что [Г(і), Г(і)] содержит все элементы вида Gx для j 1. Сравнивая степени элементов, мы заключаем, что получить элементы вида G S х можно только из скобки при і = j = 0. Однако, [и xdx, и xdx] = -(и, и )х д, что также не дает нам указанные элементы, но при подходящем выборе и, и є U мы получаем элемент х(2) 9 в [Г(і), Г(і)]. Отметим также, что скобка (2.1) не дает нам элементы вида х(//) 9. Так как предложение 8 утверждает, что Wo-модуль W(i)/[W(i), W(i)] изоморфен Wi + (х д\0 m и, кроме того, [W(1), Ww] с [Г(1), Г(1)], то [Г(1), Г(1)] не содержит элементов х р д, поскольку единственный альтернативный способ получить такие элементы доставляет (2.1), который мы уже рассмотрели. Далее, скобка [Н х(/+1), е x +V)dx\ с точностью до знака равна ekx l+V)x +x dx, и отлична от нуля в случае, когда i+j+2 не является степенью р. В противном случае пусть і+ 2 — некоторая степень р.
Рассмотрим произведение [х 1+2)д, e xdx] = eicx(j+V)xdx + ekx("l+Tldx, первое слагаемое которого, очевидно, тривиально. Таким образом, [Гц), Г(і)] содержит все элементы вида е/с x dx для j 1. Итак, рассмотрев возможные варианты умножения элементов из Т , мы можем заключить, что Что и требовалось доказать. Достаточным условием вложения фильтрованной деформации Л? алгебры Ли Г в контактную алгебру является теорема 1. Лемма 3. Для произвольной фильтрованной деформации алгебры Т выполнены условия теоремы вложения в контактную алгебру К, то есть 1) для некоторого v є 711 имеем Т-\ = [То, у]; 2) кратность То-модуля Г_2 в Г /ГІ? не превосходит т — 1; 3) кратность То-модуля Т-\ в Т І Ті} равна нулю. Доказательство. Проверим, что выполнено каждое из вышеперечисленных условий. 1) Действительно, выберем в качестве v элемент е\ dx, тогда для F 1, Н 1 є є Го справедливы формулы из которых следует требуемое утверждение. 2) Из леммы 2 видно, что Г ДГ ), Г(і)] содержит ровно т — 1 одномерных Го-подмодулей вида х(р д)р. Следовательно, данное условие также выполнено. 3) Заметим, что Т-\ — двумерный неприводимый Го-модуль. Из леммы 2 следует, что в Г(і)/[Г(і), Г(і)] существует единственный неприводимый двумерный Го-подмодуль, изоморфный Т\. Модули Г_1 и Гі неизоморфны, так как хд є Го действует на Гі с собственным значением -1, а на Г_ і с собственным значением 1: Поэтому Г(і)/Г(1) не содержит подмодулей, изоморфных Т-\. Таким образом, выполнены все требования теоремы вложения. 2.3. Исследование фильтрованных деформаций алгебр Франк внутри контактной алгебры Как было отмечено в предложении 4, локальные фильтрованные деформации алгебры Ли L внутри М описываются группой Щ0С{Ь, M/L). Из п. 2.2, таким образом, вытекает, что описание фильтрованных деформаций Г можно свести к вычислению группы Hloc(T, K/T). Как утверждалось ранее в предложении 5, следующая лемма обеспечивает равенство групп Лемма 4. Выполнено равенство Lie Aut(i) 7С + Ф оСАчэегтеУ)/ = ad7C(i). Доказательство. Из предложения 16 следует, что фактор ad TQ /Lie Aut(і) К порождается элементами xf\ Поэтому элементы из ad7C(i) либо содержат-ся в Lie Aut(i) 7C, либо имеют вид х + І, І є Lie Aut(i)7C. Заметим, что из описания вложения алгебры Т в 9С следует, что элементы х\ х х - х + содержатся в Т. Тогда, поскольку / (Мзег-лг О/ = ad Tw, получаем включение Lie Aut(i) ТС" + Ф оСА ег-тс Х ad7C(i). Включение в обратную сторону очевид но. Таким образом, лемма доказана. Вычислим группу Н\(Т,7С/Т). Заметим, что H\(Tt9C/T) = 0, если 7 0 mod (р). Действительно, элемент х$ є То = Ко действует на однородные пространства 7С/ умножением на -/, а значит, на HUT IT) - умножением на -j. Так как действие Т на Н1(Т, К/Т) тривиально, то Н\(Т,7С/Г) может быть отличным от нуля лишь когда 7 = 0 mod (р). По лемме 1 модуль 7Є/Г транзитивен, поэтому мы можем применить предложение 2, из которого следует вложение Я(Г, 7С/Г) в пространство когомологий Спенсера j o№ l{T, KIT). Поскольку данное вложение получено ограничением коциклов с Т на Т- = Т-2 + Т-\, то оно сохраняет градуировку. Таким образом, достаточно вычислить группы Hj l(T, К/Т), где j = 0 mod (/?). Справедлива следующая лемма. Лемма 5. Группы когомологий Спенсера H fTyTC/T) для j = 0 mod (р) тривиальны.
Доказательство. Поскольку мы требуем, чтобы 7 = 0 mod (р), то доказательство разбивается на два случая: j = 6/ и j = 61 + 3. В первом случае имеем комплекс Для ненулевого отображения с є C6l l(T, K/T) элементы c( i), с(хг) лежат в пространстве СХУГ)2(з/-і)+ь а с(1) є (7С"/Г)2(з/-і)+2- То есть Предположим, что с — коцикл, тогда 6с(хъ 1) = [хьс(1)] - [1,с(х0] - с([хь 1]) = Таким образом, у = 5 + є = 0. Наконец, учитывая уже полученные соотношения на коэффициенты, убеждаемся, что последнее соотношение является тождеством: Следовательно, коцикл имеет вид с = а(х g Xj2)x2x3 _1) - х2 8 х\х2 Х3 + + 1 д:52)42)43/"2)). В случае, когда С6/+1 (Г, 7С/Г) 0, проверим, что с является кограницей: с = 6(ах\ х2 Х3 ), вычислив значения 6(ах\ х2 х3 ) на элементах 1,JCI,JC2: Второй случай получаем, рассматривая комплекс Ненулевое отображение с є Сы+ъл (Т, К/Т) в общем случае имеет вид Если с — коцикл, то мы получаем следующие соотношения на коэффициенты: бс(хи 1) = то есть a = (3 = 0. Поэтому с = 0. Таким образом, в каждом из случаев Hj l(T, К/Т) = 0, что доказывает лемму. Как отмечалось выше, из леммы 5 следует тривиальность когомологической группы Я(Г,!7Г/Г), поэтому Т не имеет нетривиальных деформаций внутри ТС, а так как все фильтрованные деформации алгебры Г можно вложить в К, то справедлива Теорема 2. Пусть 5? — фильтрованная деформация алгебры Ли Т, тогда S? = Т. Глава З Фильтрованные деформации алгебр Ли серии % Для пары натуральных чисел т = {т\,т2) положим О = 0(2: га) — алгебра разделенных степеней от двух переменных, W - W(2: га) — алгебра специальных дифференцирований О, Г22 = Q2(2: га) — пространство дифференциальных форм степени 2. На пространствах RQn) = RQ Ф Rj и RQn) = RQ Ф RJ, где RQ = RQ = W, Rj = B2{1), Rj = Q2, определим структуру Z2-rpaflynp0BaHHbix алгебр Ли. Обозначим форму dx\ A dx2 через со. Стандартное действие W на себе и на модуле п2 а также формула где fco, gco є Q2, задают операции умножения на RQn) и RQn). Отметим, что коммутант i?(ra)(I) = RQn) — простая алгебра Ли. Алгеброй Ли серии & будем называть любую из алгебр RQn) или RQn). Через L будем обозначать алгебру Ли серии &, через LQ и Lj — ее однородные пространства Z2-rpaflynpOBKH. Алгебра L наделена также Z-градуировкой глубины 1, L = L-\ Lo @L\ Ф Ф La Ф ..., где Ц = (х(а)дих(а)д2, х{а)со є L : \а\ = а{ + а2 = і + 1). 3.1.
Построение в фильтрованной деформации Jzf подалгебры, изоморфной W
Пусть Jzf — фильтрованная деформация алгебры Ли Y. Покажем, что содержит W в качестве подалгебры. Это позволит рассматривать Jzf как W-модуль, структура которого будет исследована в дальнейшем. Выберем дополонительные подпространства У,- с Jzf(/) в соответствии с фильтрацией .і?(_2) э f(_i) э ... э Jzf э ... на алгебре Jzf, то есть такие У/, что oSf(A = У/ f(;+i). Тогда, так как J2f(;)/Jzf(/+i) = F,-, векторные пространства V; и Г,- изоморфны для / -2. Следовательно, отображение Л: gr Jzf = Y — Jzf определенное так, что Л(У;) = У, и gro/l = Id, устанавливает изоморфизм пространств Y и Jzf. Умножение в алгебре Jzf можно связать с умножением в Y, полагая для и Ё У,- и v 6 У,-, где /ІГ є Нот(Г Л 7, Ф/V/)r — однородное отображение степени г. Очевидно, значения отображения fir зависят от выбора пространств У/. Таким образом, если при некотором выборе набора {У,} мы получим, что /лг = 0, г 0, то это в точности означает, что алгебры Jzf и Y изоморфны, а Л является изоморфизмом. Наши дальнейшие рассуждения позволяют выбрать набор {У,}, удовлетворяющий этому свойству. Лемма 8. Фильтрованная деформация Jzf алгебры Ли Y содержит подалгебру, изоморфную Доказательство. Пусть и є У/, v є Yj и w є Yk, тогда, представляя операцию умножения в виде (4.2), получаем соотношение Выписав однородные слагаемые степени і + j + к + г для г 0 из тождества Якоби [[Д(и), Я(У)], Л( 1/)] + [[Л00, A(w)L Л(и)] + [[Д(иО, Л(и)], Д(У)] = О, получаем Индукцией по нечетным г покажем, что подпространства V,- можно выбрать так, что Hr(W, W) = 0 для нечетных г. Пусть цг обращается в нуль на W A W для всех г : I таких, что г 0 mod (2). Докажем, что оно имеет место при г = I + 1. Можно считать, что / = 2к. Рассмотрим отображение (рг: W A W —» П іу, заданное формулой (pr(u, v) = A l о jur(u, v) нечетных ґ, 0 / г, поэтому соответствующие слагаемые в (4.3) обращаются в нуль: то есть ipr является коциклом степени к = (г — 1)/2 0, (рг є Z (W, Qjiv).
Согласно предложению 22, группа (W, v) тривиальна для всех к О, поэтому существует линейное отображение степени к, if/r: W — 2 iv такое, что J y = г. Это равносильно тому, что Соответственно, изоморфизм векторных пространств Y и примет вид A .w = = A\w - Л о из которых следует, что цг(и, v) = 0 для всех Г /+1,ГЧЁ0 mod (2), где и, v є W. Это означает, что в согласованном с фильтрацией разложении алгебры jf на подпространства {V;}, Vs можно выбрать так, что [Угь 2у] с k -\Vik, то есть # = ; _iV2i является подалгеброй в «if. Так как J f — фильтрованная деформация Y, то, по выбору Vj, подалгебра является фильтрованной деформацией алгебры W. Из жесткости W относительно фильтрованных де формаций заключаем, что W = W. Лемма доказана. Таким образом, мы можем считать, что A(W) = W, причем A(Wi) = Л(І2і) = = V2j. В дальнейшем будем отождествлять У/nlf. 4.3. Доказательство жесткости алгебр Ли серии Y относительно фильтрованных деформаций Будем придерживаться обозначений предыдущего параграфа. Тогда мы должны показать, что рг = О для всех г 0. Следующая лемма описывает структуру Jz? как W-модуля. Лемма 9. Пусть Л — фильтрованная деформация алгебры Ли Y. Тогда Jzf и Y — изоморфные W-модули. Доказательство. Пусть — последний ненулевой член фильтрации, тогда Jzf(.s_i) = Vs-i Ф Vs. Предположим, что Vs и V _i являются W(o -модулями, где Що) = Що) + Ф\ , $2 з Тогда мы можем применить свойство универсальности для индуцированных модулей ind где S = (pm - \,pmi - 1, pm - 1), то справедливы изоморфизмы ind V5_i = W и ind Vs = Q iv. Таким образом, коммутативна диаграмма где вложение і: VS-\VS — является морфизмом ЭД -модулей, отображение к: Vs-iVs —» W2 iv — естественное вложение, р — гомоморфизм W-модулей. Пересечение кег и W является идеалом в W, следовательно, кекр nW = 0. Так как ker /? П П у — W-подмодуль в П у коразмерности не меньше 1, то либо кегср П Q.ldb/ = В1 (1) , либо ker /? П Q iv = 0 в силу того, что Z?](X2)div — минимальный VK-подмодуль в П . Но первый случай, очевидно, невозможен в силу того, что иначе в jf(o содержался бы собственный W-подмодуль.
Таким образом, ker (р = 0 и поскольку dim W Ф П іу = dim J?f, то — изоморфизм W-модулей. Итак, утверждение будет справедливо, если Vs и V5_i — И -модули. Ранее было показано, что подалгебра W расположена в J5f в соответствии с фильтрацией, поэтому нужно доказать лишь инвариантность этих подпро- странств относительно отображений addf , і = 1,3. Так как adcr (W) - 0 и Vs-i с W, то ad о\ iys-\) = 0. Чтобы доказать инвариантность Vs заметим, что addf (д:(г) х;) содержится в C f(Ww). Поскольку Cy(W(i)) = Уя_і ФУу, то Cjjf(W(i)) = Vj_i Ф Vs. Таким образом, addf (x dxj) є Vs-\ Ф Уу. Элемент z = х\д\ + хідг + Хз з действует на Vs-\ и V5 умножением на -1 и 1, соответственно.
Выделение специальной подалгебры в фильтрованной деформации J
Следующий этап заключается в выделении в Jzf подалгебры, изоморфной фильтрованной деформации специальной алгебры S. Разложим «if в прямую сумму векторных пространств {V,-} так, чтобы j?(,-) = Vt j%+i). Так как gr «if = X, то существует изоморфизм векторных пространств Л: X — jf, удовлетворяющий условиям Л(Хі) = Vj и gr оЯ = 1. Тогда операция умножения в «if допускает следующее представление: где и є ХІ, v є Xj и ju,- є Hom(X л X, ф,-Vi)r — однородное отображение степени г. Запишем произведение трех элементов и є Xj, v є Xj, w є Xk . Теперь мы можем записать однородную составляющую степени і + j + к + г тождества Данными обозначениями мы будем пользоваться в дальнейшем, возможно, изменяя, выбор пространств Vi и отображения Я. Лемма 16. Пусть Jzf — фильтрованная деформация алгебры X. Тогда J содержит подалгебру S, изоморфную либо S, либо 5((1+ х )а о)- Доказательство. Покажем, что пространства V, могут быть выбраны таким образом, чтобы pr(S A S) = 0 для всех нечетных г. Доказательство проведем индукцией по г. Пусть утверждение выполнено для г /, г 0 mod (2). Не нарушая общности, мы можем считать, что / четно, / = 2t. Установим, что тогда утверждение выполнено для г = / + 1. Из индукционного предположения мы заключаем, что для и є 5,-, v є S j, w є Sk сумма тривиальна. Тогда, обозначив через срг композицию A l о рг, из выражения (5.12) мы получаем Это в точности означает, что (рг є Z2(S,dOr) — однородный коцикл, причем его степень как степень отображения из Нот(Х л X, X) равна г, а значит, в Z2(S,dO ) он имеет степень (г - 1)/2 = t 0. То есть срг є Z2(S,dO ). Из леммы 14 следует, что группа H2Q.(S,dO ) либо тривиальна, либо порождена коциклом степени 1, когомологичным со, поэтому (рг может быть пропорциональным со лишь при г = 3. Заметим, что алгебра X содержит элемент z = х\д\ + л-2$2 + хздз, который действует на коцикл степени / умножением на —і. С другой стороны, действие алгебры на группу когомологий Н2(Х,Х) тривиально, откуда Н2(Х, X) = 0 =о(3)Я (Х, X), поэтому мы можем считать, что ірі є Z2(X,X). Но тогда, в силу леммы 15, рг не пропорционален никакому коциклу, когомологичному со.
Таким образом, рг когомологичен нулю, то есть существует однородное линейное отображение фг: S — dO степени t такое, что (fr = 6if/r. Последнее можно записать как Выберем подпространства V[ и отображение Я : X —» J f так, что V!,. = = (Id -Я о if/r о Шаг индукции выполнен. Таким образом, //,.(5 Л 5) = 0 для нечетных г. Далее мы будем считать, что пространства Vt изначально выбраны так, что yUr(iS Л S) = 0. Другими словами это означает, что \Уц,У2Л с ФУг» то есть S = ФУ21 — подалгебра в 3. Так как Jf — фильтрованная деформация X, то из выбора пространств V{ следует, что S — фильтрованная деформация S, откуда заключаем, что либо S = S, либо 5 5((1 + X )CJQ). Лемма доказана.и Далее, как в доказательстве последней леммы, через S мы будем обозначать специальную алгебру Ли картановского типа S или 5((1 + x(5))wo), изоморфную построенной ранее подалгебре в деформации Jzf. Пусть X — это та из алгебр X или Х((1 + х( У))а оХ которая содержит подалгебру S. Тогда XQ и Xj — однородные пространства Z2-rpaflynpoBKH. В частности, XQ = S. Соответствие (1 - х )ді н- д[, (1 - x )dxi н (1 и и и м для остальных элементов определяет изоморфизм векторных пространств 9: Х((1 + х )а о) — X. Положим р = Л, если X = Хир = Ло9в противном случае. Тогда мы можем считать, что пространства У,- в S? выбраны так, что p(X(2iy) = V?/ р(Х(2і+і)), і -1. Лемма 16 позволяет рассматривать фильтрованную деформацию «if как -модуль. Следующее утверждение показывает, что подмодуль S является прямым слагаемым в Л?, а дополнительное к нему слагаемое в точности изоморфно tS-модулю Ху Лемма 17. Имеет место изоморфизм S-модулей J и X. Доказательство. Напомним, что S(0) = S(o + (и\,и2,щ), где щ є N ( (0))-Более того, из предложений 17 и 18 следует, что элементы щ лежат в центре универсальной обертывающей алгебры для S, то есть ad Uf(S) = 0. Чтобы установить справедливость утверждения леммы, мы воспользуемся универсальным свойством коиндуцированных модулей. Для этого нам необходимо проверить, что факторы J« /.if(o),«if/«if(-i) и - -1)/-)) являются Подмодулями и что jf /Jz?(0) раскладывается в прямую сумму модулей «if/«if(_i) и J f(_i)/J ?(0).
На самом деле нам достаточно показать, что ad w;(«if) = 0, тогда последние условия будут выполнены автоматически. Поскольку ad Uj(S) = 0, то отображение ad щ: «if — «if является гомоморфизмом -модулей и индуцирует гомоморфизм Pi: Jf/S — f. Заметим, что ітД- П S является идеалом в S, так как для произвольного х є ітД П S и D є S имеем [D, х] = [АД(у)] = Д([А;у]) є ітД n S. Тогда, в силу того, что алгебра S проста, ітД П S = 0 или ітД э S. Последний вариант невозможен, поскольку с одной стороны dim ітД dim dO = pmi+m +"b - 2, а с другой — dim ітД dimS = 2(рті+т2+Ші - 1). Таким образом, ітД П 5 = 0, а значит, Д индуцирует отображение -модулей Д : Jzf/ S —» IS. Так как модуль gr(J f/ S) = &7 неприводим, то Jzf AS также является неприводимым iS-модулем. Тогда по лемме Шура Д = at Id для некоторого сі є F. Разложим Jzf на весовые подпространства относительно ъ&щ. Из приведенных выше рассуждений следует, что оператор adz ; имеет не более 2-х собственных значений: 0 и щ. Предположим, что щ Ф О тогда J& — =- 0 = а-Поскольку [Jzffli, Jz?a/] с J?2a,5 а Других собственных значений, кроме 0 и щ, у ъ&щ нет, то « — собственный идеал в Jzf. Последнее означает, что gr(J .) также является собственным идеалом в алгебре X. Полученное противоречие с простотой алгебры X доказывает, что щ = 0, то есть оператор ad щ действует на тривиально. Теперь мы можем записать коммутативную диаграмму где отображение п — это композиция канонической проекции f —» J?/J?(o) и изоморфизма JSf/J o) » V/ (-i) Х(-і)/Х(о). В coind( Y/ V(_i)) неприводимый -подмодуль — это S, а в coind( Y(_i)/ Y(0)) неприводимым iS-подмодулем является At, который в зависимости от вида S равен либо d 9 , либо аЮ w. Тогда отображение 0, очевидно, отображает jf на прямую сумму модулей 5 Ф М.
