Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные определения 14
1.1. Бигамильтоновы многобразия 18
1.2. Совместные тензора Пуассона 20
1.3. Деформации скобок Пуассона 23
1.4. Линейные и квадратичные по моментам деформации 25
1.5. Алгебры Ли *(3) и *(4) 28
Глава 2. Интегрируемые возмущения гиростата Ковалевской 33
2.1. Гиростат Ковалевской в двух постоянных полях 34
2.2. Интегрируемое возмущение гиростата Ковалевской в двух постоянных полях 37
2.3. Бигамильтонова структура для системы Соколова 40
2.4. Бигамильтонова структура для гиростата Ковалевской на алгебре *(4) 42
Глава 3. Бигамильтоновы структуры на *(4) и *(3) 45
3.1. Квадратичные тензора Пуассона 45
3.2. Переменные Дарбу–Нийенхейса 48
3.3. Интегрируемые системы 51
3.4. Системы Богоявленского 54
Глава 4. Интегрируемые системы на сфере с кубическим интегралом движения 61
4.1. Уравнения Селивановой 62
4.2. Система Валента = 0 63
4.3. Система Валента = 0 67
4.4. Интегрируемые системы и тригональные кривые 69
4.5. Система Горячева 74
Заключение 77
Литература
- Деформации скобок Пуассона
- Интегрируемое возмущение гиростата Ковалевской в двух постоянных полях
- Бигамильтонова структура для гиростата Ковалевской на алгебре *(4)
- Система Валента = 0
Деформации скобок Пуассона
Интегрируемые системы обычно обладают различными явными и неявными симметриями [1, 15, 19, 22]. Одним из способов описания симметрий и, соответственно, самих интегрируемых систем является гамильтоновость системы относительно одновременно двух скобок Пуассона, удовлетворяющих условию согласованности (бигамильтоновость). Как правило, бигамильтоно-вы системы оказываются интегрируемыми. И наоборот, для большинства известных интегрируемых задач известна бигамильтонова структура. В типичной ситуации бигамильтонова структура системы проще, чем её интегралы. Например, уравнение Кортевега-де-Фриза гамильтоново относительно постоянной и линейной скобки, а интегралы являются полиномами сколь угодно высокой степени.
Понятие бигамильтоновости векторных полей было введено в 1978 году в работе Магри [55]. Используя цепочки Ленарда [52], Магри доказал общую теорему о том, что динамическая система или система уравнений в частных производных, сохраняющая две совместные невырожденные пуассоновы структуры (бигамильтоновы структуры), обладает последовательностью интегралов движения в инволюции по отношению к этим пуассоновым структурам. Замечательные свойства этих пуассоновых структур были исследованы годом позднее в работе Гельфанда и Дорфман [10]. Также была установлена связь теории совместных пуассоновых структур с теорией Фуксштейнера об операторе наследования (hereditary operators) [45, 46]. Обзор этих работ может быть найден в монографии Дорфман [38] и Олвера [60] и в последнем по времени обзоре [33].
В работах Олвера [61], Туриэля [77, 78] и Гельфанда с Захаревичем [47, 48] были исследованы канонические формы совместных тензоров Пуассона и динамических систем, которые их сохраняют. В работах [31, 32, 42, 69] были изучены необходимые и достаточные условия для существования инвариантных пуассоновых структур для интегрируемых по Лиувиллю систем. Явное построение континуума совместных тензоров Пуассона в терминах переменных действие-угол обсуждается в работе Богоявленского [28].
Использование совместных тензоров Пуассона с метод Якоби (методом разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби) обсуждается в обзоре [41]. Большинство неизвестных ранее переменных разделения для известных конечномерных интегрируемых систем [71–74, 84, 85] были построены именно как собственные значения оператора рекурсии (оператора наследования). Связь между бигамильтоновостью, построением переменных разделения и матрицами Лакса обсуждается в монографиях А.Г. Реймана и М.А. Семенова-Тян-Шанского [19] и А.В. Борисова с И.С. Мамаевым [4].
Согласно [36, 56] построение тензора Пуассона, совместного с каноническим, эквивалентно построению деформаций канонического тензора Пуассона, который является одновременно и кограницей и коциклом в когомо-логии Пуассона-Лихнеровича [53]. Тем самым, для построения совместных тензоров Пуассона и изучения соответствующих интегрируемых систем можно использовать математический аппарат деформаций скобок Пуассона, разработанный в теории классической -матрицы, теории тензоров Киллинга (Яно–Киллинга), в геометрическом квантовании, в теории фробениусовых многообразий и т.д.
Напомним, что Дирак в работе [37] изучал ограничение пуассоновой структуры на невырожденное многообразие, задаваемое четным числом связей 2-го рода, и определил скобку Дирака, которую можно рассматривать как исторически первый пример деформации канонических скобок Пуассона. При этом мы не рассматриваем скобки Ли-Пуассона как деформации скобок Пуассона, так как на алгебрах Ли можно выделить класс канонических или кинематических скобок, связанных, например, с кинематикой движения твердого тела. Напомним, что согласно фундаментальной теореме Ли (см. также работы Кириллова и Константа 1960 годов), симплектические листы скобки Ли-Пуассона совпадают с орбитами коприсоединенного представления соответствующей группы. Ссылки по теме пуассоновой редукции могут быть найдены, например, в книгах [3] и [19].
Следующий пример деформаций связан с квантованием по Вейлю [7], которое приводит к деформациям алгебры функций на симплектическом многообразии. В евклидовом пространстве соответствующие деформации, скобки Мойала [59], были введены в 1949 году. Систематическое изучение деформаций скобок Пуассона началось в 70-е годы прошлого века в работах Вея [86] и Лихнеровича с соавторами. Например, в работе [54] были описаны когомо-логии на контактных многообразиях, развитием этой работы можно считать работу Лихнеровича и Флато [44], в которой изучены различные нетривиальные первого порядка дифференциальные деформации скобок Пуассона на симплектических многообразиях общего вида. Доказано, что все такие деформации являются тривиальными в евклидовом пространстве. В работах де Вилде и Лекомта [34, 35] было доказано существование универсальной деформации скобок Пуассона в случае произвольного симплектического многообразия, связанное с существованием бесконечномерных алгебр Ли, см. также работы Вершика, Савельева, Гельфанда, Дикого, Фукса, Дринфельда, Соколова и многих других. Обзор этих работ можно найти в [18].
В цикле работ Флато введена так называемая философия деформаций [43], которая естественным образом распространяется на различные физические теории. Обзор работ Флато и других работ по геометрическому квантованию, в том числе и работ Концевича, можно найти в [68].
Отметим также монографию Карасева и Маслова [14], в которой рассматриваются механизмы возникновения нелинейных вырожденных скобок Пуассона в гамильтоновой механике, деформации скобок и их когомологии, и изучается геометрический объект, являющийся аналогом группы Ли для нелинейных скобок Пуассона.
В 1984 году Дубровиным и Новиковым был построен гамильтонов формализм систем Уизема, причем оказалось, что скобки Пуассона в этом случае порождаются плоскими псевдоримановыми метриками на многообразиях, в которых поля принимают значения. При этом в естественно возникающих координатах метрика непостоянна, и приведение скобки к каноническому виду — достаточно нетривиальная задача. Механизм интегрирования таких систем (обобщенный метод годографа) был найден Царевым. Отметим также работы Захарова, в которых найдена процедура интегрирования методом обратной задачи рассеяния уравнений, описывающих ортогональные системы координат в пространствах диагональной кривизны, цикл работ Манина по многообразиям Фробениуса, работы Мохова о системах и скобках Пуассона гидродинамического типа, цикл исследований Болсинова о бигамильтоновых системах и их связи с методом сдвига аргумента и т.д.
В настоящее время опубликовано уже несколько сотен статей и несколько десятков монографий, посвящённых в той или иной мере совместным тензорам Пуассона и бигамильтоновым системам. В данном обзоре литературы мы привели только те работы, которые оказали наиболее существенное влияние на исследования автора. , Глава 1 Основные определения
В данной главе вводятся основные определения, используемые в пуассо-новой и бигамильтоновой геометрии, следуя монографиям А. Г. Реймана и М. С. Семенова-Тян-Шанского [19], а также А. В. Борисова и И. С. Мамаева [3-5]. Большая часть определений из бигамильтоновой геометрии взяты из работ Ф. Магри [36, 49, 55, 56].
В гамильтоновой механике любая функция Н на фазовом пространстве Л4 порождает векторное поле X с помощью тензора Пуассона Р, который мы будем называть каноническим. Соответствующая динамическая система называется интегрируемой по Лиувиллю, если существует достаточное число функционально независимых функций Щ, попарно взятые скобки Пуассона от которых равны нулю
Основная идея би-гамильтоновой геометрии состоит в том, что изучение, построение и классификацию таких систем можно существенно облегчить, если найти совместные с каноническими скобки Пуассона такие, что интегралы движения находятся в би-инволюции
Интегрируемое возмущение гиростата Ковалевской в двух постоянных полях
Здесь (х,у) и х х у обозначают скалярное и векторное произведение трёхмерных векторов х и у. Координата к является функцией Казимира для первого тензора Пуассона Р, т.е. Pdn = 0.
Если положить к = 0 , то тензор Р на соответствующих симплектиче-ских листах порождает канонические скобки Ли-Пуассона алгебры е (3,2) описывающего динамику двухполевого гиростата Ковалевской [19, 40, 58]. В механике трёхмерные вектора ж, у и j являются проекциями двух силовых полей и кинетического момента на оси, жёстко связанные с твёрдым телом, а параметр р отвечает гиростатическому моменту, направленному вдоль оси динамической симметрии тела.
Таким образом, на расширенном фазовом пространстве Л4 данная динамическая система является бигамильтоновой интегрируемой системой типа Гельфанда-Захаревича. 2.2. Интегрируемое возмущение гиростата Ковалевской в двух постоянных полях
Тривиальные деформации Р первого тензора Пуассона Р (2.1), определяются произвольной заменой координат
Предположим, что функции fi(z) являются линейными функциями от всех координат z и что полученные после замены координат скобки Пуассона при к = 0 порождают скобки на алгебре е (3,2) (2.2). Удовлетворяющие этим условиям допустимые замены координат имеют вид
Необходимый нам второй тензор Пуассона Р в общем случае находится из условия совместности и тождества Якоби (1.9).
Так как для нахождения некоторых частных решений нам необходимо сузить пространство поиска решений, накладывая дополнительные ограничения, то в данном случае мы предположим, что деформированный тензор Р представим в виде = Р + Дґ , (2.3) где Р — тензор Пуассона (2.1), а элементы тензора АР — линейные функции не только от динамических переменных Zi, но и от параметров а . В этом случае уравнения (1.9) имеют единственное решение c точностью до перестановок векторов юи вращений где а,(3 — произвольные постоянные и U — ортогональная постоянная матрица. Таким образом, свойство линейности деформаций по параметрам позволило нам сузить пространство поиска решений уравнений (1.9) и получить одно из частных решений явно.
Входящие в эти цепочки Ленарда интегралы движения и находятся в би-инволюции относительно совместных скобок Пуассона, порождаемых тензорами Пуассона и . Данная бигамильтонова структура для обобщения двухполевого гиростата Ковалевской ранее не была известна. 2.3. Бигамильтонова структура для системы Соколова
Функция Казимира Щ (2.9) второго тензора порождает деформацию бигамильтонова векторного поля для гиростата Ковалевской. Остальные интегралы движения, входящие в цепочки Ленарда, равны Н\ = — (х,х), К\ = р (ж, х) — (х, J) Ко = J3(J3-2p)(Ji+J2+Ji-p2)-a2X2+2a x Jl+J +x JiJi+piJix —J xi) — р2х\ —сх2(J1X3 — J3X1) 1 +с2Ж2 ( жг(J,J)— 2 (ж,J) 1 +2c( x i ( Jf(J — p) + J3(J-pJ3-p2 ) - (x3(j-yoJ3-yo2)+xiJi(J3-yo) ) J2 ) . Если положить a = 0, то мы получим бигамильтонову структуру для системы Соколова. Данная бигамильтонова структура ранее была не известна.
Бигамильтонова структура для гиростата Ковалевской на алгебре so (4) Рассмотрим теперь пуассоново многообразие so (4). В этом случае нам будет удобнее использовать координаты х = (жі,Ж2,Жз), J = ( Л5 25 з) и тензор Пуассона Р (1.24). Построенное с помощью данного тензора и гамильтониана Ковалевской
Данная бигамильтонова структура для гиростата Ковалевской на алгебре (4) ранее не была известна. Глава 3 Бигамильтоновы структуры на so (4) и е (3)
В данной главе рассматривается задача построения и классификации квадратичных деформаций Р тензоров Пуассона (1.21,1.24) и (1.27) имеющих одинаковые симплектические расслоения с исходным тензором Пуассона для векторного поля Лиувилля в уравнение (1.15) и найдем все решения этих уравнений, удовлетворяющие дополнительным условиям (3.1). Для решения мы использовали системы компьютерной алгебры и получили три формально разных решения уравнений (1.15) и (3.1).
Далее мы должны построить переменные Дарбу-Нийенхейса и соответствующие этим тензорам интегрируемые системы. 3.2. Переменные Дарбу–Нийенхейса
Мы построили пары совместных тензоров Пуассона на (4) и (3), в которых оба тензора Пуассона вырождены. Поэтому в этом случае мы можем построить переменные Дарбу-Нийенхейса только на симплектических листах данных многообразий. Для того, чтобы решить эту задачу мы построим аналог переменных Андуайе на алгебре (4).
Бигамильтонова структура для гиростата Ковалевской на алгебре *(4)
В диссертации рассматриваются инвариантные геометрические методы построения деформаций канонических скобок Пуассона, их классификация и применение для исследования конечномерных интегрируемых систем.
В первой главе, которая носит вспомогательный характер, вводятся основные определения пуассоновой и бигамильтоновой геометрии, используемые в работе.
Во второй главе рассмотрена возможность использования тривиальных линейных деформаций скобок Пуассона на расширенных фазовых пространствах для построения нетривиальных деформаций канонических скобок Пуассона на исходных фазовых пространствах. Интегрируемые системы обычно обладают различными явными и неявными симметриями. Одним из способов описания симметрий и, соответственно, самих интегрируемых систем является гамильтоновость системы относительно одновременно двух скобок Пуассона, удовлетворяющих условию согласованности. Для построения таких совместных тензоров Пуассона обычно используют известные интегралы движения, переменные действие-угол, матрицы Лакса и другие заранее известные объекты, обеспечивающие интегрируемость динамической системы. Одним из способов получeния более простых выражений для тензоров Пуассона является расширение (деформация) исходного фазового пространства, когда к нему добавляются переменные, которые играют роль функций Казимира для пуассоновых структур на расширенном фазовом пространстве. Основная выгода такого расширения состоит в том, что на расширенном фазовом пространстве мы можем использовать удобные для нас «канонические» тензора Пуассона, в то время как на исходном фазовом пространстве такие тензора определяются однозначно из кинематических соображений.
Благодаря расширению фазового пространства мы смогли получить новые бигамильтоновы структуры для двухполевого гиростата Ковалевскеой на алгебре (3, 2), для системы Соколова на алгебре (3) и гиростата Ковалевской на алгебре (4). Так как в литературе достаточно других примеров расширения фазовых пространств, то используемые в данной главе методы могут быть использованы и для построения интегрируемых возмущений других известных интегрируемых систем.
В третьей главе рассматривается задача о классификации квадратичных деформаций канонических тензоров Пуассона на алгебрах Ли (3) и (4), удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. В результате составлена полная классификация квадратичных деформаций тензоров Пуассона, имеющих общее симплектическое слоение с каноническим тензором Пуассона. Исследованы соответствующие интегрируемые системы, построены интегралы движения и переменные разделения для соответствующих уравнений Гамильтона-Якоби. Данный подход может быть использован для исследования полиномиальных деформаций старших степеней, если научиться выделять среди них деформации, полученные с помощью оператора рекурсии. В противном случае объём вычислений слишком велик для современных компьютерной технологий.
Так как среди полученных интегрируемых систем отсутствовали некоторые известные интегрируемые системы на (4) с полиномиальными интегралами движения второй и четвертой степени, то деформации для одной из таких систем были построены другим методом, в то время, как для построения деформаций скобок Пуассона использовались интегралы движения известной системы. Доказано, что для системы Богоявленского на (4) деформация скобок Пуассона является квадратичной по одной части переменных и рациональной по другой части переменных несмотря на то, что интегралы движения являются однородными полиномами второй и четвертой степени по всем переменным. Тем самым здесь, как и во второй главе, доказано, что вид интегралов движения никоим образом не предопределяет вид отвечающих им деформаций скобок Пуассона.
В четвёртой главе исследуются системы с полиномиальными интегралами второй и третьей степени на сфере. Соответствующее фазовое пространство является специальным симплектическим листом алгебры (3) при нулевом значении интеграла площадей. Используя известные интегралы движения мы построили семейства деформаций канонических скобок Пуассона, переменные разделения и разделённые уравнения. Нами доказано, что уравнения движения для ряда механических систем линеризуются на стратах якобиана тригональной кривой, и получены соответствующие квадратуры. Т.е. соответствующие решения не являются мероморфными функциями над комплексной плоскостью времени и, таким образом, рассматриваемые динамические системы не удовлетворяют критерию Ковалевской Пенлеве. Тем не менее, решения могут быть получены аналогично решению стандартных систем на гиперэллиптических кривых, если использовать для этого так называемые сигма-функции Вейерштрасса. Эти результаты по обращению отображения Абеля-Якоби были получены Энольским и Федоровым, которые использовали полученные нами квадратуры.
В заключении приведен список результатов, полученных нами в предыдущих главах, и даются оценки возможных направлений для дальнейшего исследования деформаций канонических скобок Пуассона и соответствующих им интегрируемых систем.
Таким образом, исходя в том числе и из полученных результатов, мы можем повторить, что использование методов бигамильтоновой геометрии в целом и методов деформации в частности является весьма перспективным направлением в области изучения интегрируемых систем. Этот метод метод может быть применён для исследования существующих и построения новых интегрируемых систем, а также для их классификации. Метод удобен тем, что его использование не требует введения дополнительных математических объектов или «угадывания» решения. Все сводится к решению системы уравнений заведомо имеющих бесконечно много частных решения. Такая система уравнений записывается в инвариантной геометрической форме, т.е. не зависит от выбора переменных на фазовом пространстве, что может быть использовано для получения некоторых частных решений в явном виде.
Однако у данного метода есть и несколько отрицательных сторон напрямую связанных с тем, что исследуемая система уравнений заведомо имеет континуум решений. Например, не решен вопрос о методах сужения пространства поиска решений, так как излишнее сужение пространства поиска может привести к тому, что решения в выбранном подпространстве могут отсутствовать, а излишнее расширение — к невозможности получить решение даже с привлечением всех средств современных компьютерных технологий. Кроме того при построении новых интегрируемых систем с помощью деформаций скобок Пуассона возникает вопрос, как именно в пространстве решений выбрать область отвечающую динамическим системам, имеющим физический смысл в исходных физических переменных.
Система Валента = 0
Легко проверить, что все интегралы движения вида (1.10), построенные с помощью операторов рекурсии из предыдущего раздела не имеют физического смысла. Поэтому в этом случае можно попытаться отождествить собственные значения операторов рекурсии, т.е. переменные Дарбу-Нийенхейса, с переменными разделения некоторых интегрируемых систем. Например, подставив переменные Дарбу-Нийенхейса -, (3.15-3.16), отвечающие первому тензору Р 1), в разделённые уравнения
Все подобные интегралы можно получить решив уравнение (1.11), связанное с би-инволюцией интегралов движения, относительно неизвестных интегралов движения. Только малая часть этих решений будет осмысленна с физической точки зрения.
Далее мы не будем решать это уравнение в общем виде, мы просто подставим все известные на настоящее время интегралы движения на so (4) в это уравнение и выделим интегралы в инволюции относительно второй скобки.
Для первого тензора Пуассона (3.4) и четвёртого тензора (3.13) нам не удалось найти интегралов в би-инволюции из списка известных интегрируемых систем, приведённого в [4, 5] и [66].
Поэтому в данном разделе мы остановимся на втором и третьем тензорах, которые эквивалентны друг другу, немного переопределив входящие в исходное решение параметры и используя х, J переменные вместо s, t переменных.
Интегрируемые системы с кубическими интегралами движения (3.23) были найдены в работе [75], в которой также построены матрицы Лакса. Интегрируемая система с интегралом четвертой степени П.2 (3.24) получена в [21].
Подчеркнем, что в рамках би-гамильтоновой геометрии мы не только получили выражения для интегралов движения, но и переменные разделения для них. Действительно, перепишем определение переменных Дарбу-Нийен-хеса (3.21) и (3.22) в терминах переменных х и J. Итак, координаты являются корнями полинома
Подставлив в уравнение (1.11), связанное с би-инволюцией интегралов движения, однородные полиномы второго и четвёртого порядка по переменным, мы нашли ещё одну интегрируемую система с квадратичным по гамильтонианом и кубическим по интегралом движения
Подставляя эти интегралы движения в уравнения (1.11) и (1.9), мы получим сильно переопределённую систему алгебро-дифференциальных уравнений. Для решения этой системы мы будем использовать полиномиальный анзац по переменным с коэффициентами полинома, зависящими от остальных переменных . Полученное частное решение мы попытаемся переписать в форме, сходной с формой тензоров Пуассона натурального вида (1.17).
Таким образом, мы нашли неизвестную ранее рациональную бигамильтоновы структуру для системы Богоявленского. Переменные Дарбу-Нийенхейса
Согласно [41], координаты Дарбу-Нийенхейса являются не только собственными значениями оператора рекурсии, но и собственными значениями управляющей матрицы F, определяемой соотношением
Эти переменные были введены О.И. Богоявленским в работе [2] без каких-либо объяснений и дополнительных аргументов. Мы вычислили эти переменные в рамках стандартного формализма бигамильтоновой геометрии.
Более того, согласно [41] собственные вектора матрицы F образуют матрицу Штеккеля S элементы которой Sij зависят только от пары (ці,рі) канонических переменных разделения и интегралов движения. В данном случае матрица S равна
Подставляя в эти уравнения производные gi;2 из первых уравнений Якоби мы получим разделённые уравнения (3.38).
Далее в рамках стандартного метода Якоби можно построить целое семейство новых интегрируемых систем, подставляя полученные выше переменные разделения в различные разделённые уравнения. Например, если подставить gi;2 и і;2 в уравнения
Большинство из известных в настоящее время конечномерных интегрируемых систем являются алгебраически интегрируемыми, т.е. их инвариантные многообразия можно отождествить с абелевыми многообразиями, и соответствующие потоки являются прямыми на этих многообразиях, т.е. линеаризуются. Как следствие, решения уравнений движения являются мероморф-ными функциями и могут быть выписаны явно в терминах тета-функций или обобщённых тета-функций.
Свойство мероморфности решений называют критерием или тестом Ко-валевской–Пенлеве, так как С.В. Ковалевская при решении задачи о движении твёрдого тела с закреплённой точкой в поле силы тяжести доказала, что решения рассматриваемой задачи являются мероморфными функциями над комплексной плоскостью переменной времени только при трёх наборах значений параметров задачи. Вскоре после этого Пенлеве начал изучение дифференциальных уравнений второго порядка и показал, что среди всех возможных нелинейных уравнений второго порядка только нескольких канонических уравнений не имеют подвижных критических особых точек.
Кроме этого, ряд интегрируемых систем удовлетворяет так называемому слабому критерию Ковалевской–Пенлеве [26]. В этом случае род соответствующей алгебраической кривой (спектральной кривой матрицы Лакса) больше числа степеней свободы и поэтому, инвариантные торы являются не абеле-выми многообразиями (стратами Якобиана) [81, 82]. При этом все известные примеры таких систем были связаны с гиперэллиптическими кривыми.
