Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Тела частных алгебр скрученных многочленов
1.1. Элементарные преобразования целочисленных кососимметрических матриц. 20
1.2. Алгебра скрученных многочленов 22
Глава 2. Тела частных квантовых разрешимых алгебр
2.1. Расширения Оре и локализация 30
2.2. Квантовые разрешимые алгебры 32
2.3. Чисто квантовые алгебры 37
2.4. Элементы конечного присоединённого действия 40
2.5. Тела частных. 41
2.6. Приложения 46
Глава 3. Первичные идеалы в квантовых разрешимых алгебрах
3.1. Дополнительные условия 49
3.2. Первичные идеалы 52
3.3. Стратификация спектра 64
Глава 4. Идеалы квантовых разрешимых алгебр в корнях
4.1. Квантовые порядки. 80
4.2. Расширения Оре в корнях из 1. 82
4.3. Первичные Р-инвариантные идеалы 89
4.4. О пуассоновых алгебрах 105
4.5. Представления в корнях из 1 107
Глава 5. Нормальные квантовые разрешимые алгебры
5.1. NQS-алгебры и FA-элементы 112
5.2. Стратификация идеалов в NQR-алгебрах 120
5.3. Неприводимые представления NQR-алгебр 125
5.4. О числе неприводимых представлений 130
Глава 6. Квантовые матрицы
6.1. Точное описание тела частных Mat9(n). 137
6.2. Образующие тела частных алгебры М$>^с(т,п). 146
6.3. Центр тела частных MptQiC(m,n). 155
6.4. Тело частных алгебры квантовых треугольных матриц 162
Глава 7. Тела частных алгебр, допускающих ^79(8І2(С))-действие 165
Глава 8. Квантовые алгебраические торы 179
Глава 9. Расширения Оре алгебр Хопфа
9.1 Основная теорема 190
9.2. Классификация расширений Хопфа-Оре 196
Глава 10. Локальная структура многомерных скобок Пуассона
10.0 Введение 201
10.1 Основная теорема 201
10.2 п-Скобки Склянина 212
Глава 11. Неприводимые представления алгебр Ли над полем положительной характеристики
11.0. Введение 216
11.1. Неприводимые представления sl(n) 219
11.2. Неприводимые представления максимальной размерности алгебры Ли 229 sl(n) и особые точки многообразия центра
11.3. Неприводимые представления максимальной размерности полупростых 239
алгебр Ли
Список литературы 245
- Алгебра скрученных многочленов
- Элементы конечного присоединённого действия
- Первичные идеалы
- О пуассоновых алгебрах
Введение к работе
§0.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Квантовые алгебры возникли в работах по математической физике как деформации алгебры регулярных функций C[G] на группе Ли и ее универсальной обёртывающей алгебры U(g). С алгебраической точки зрения в результате квантования С-алгебры R получается С-алгебра Rq, которая является свободным модулем над кольцом многочленов Лорана C[q, q l] такая , что исходная алгебра получается из неё редукцией R = Rq mod (q — 1). Если R является алгеброй Хопфа, то и её квантование Rq естественно также искать в классе алгебр Хопфа. Наиболее известными квантовыми алгебрами являются квантовая универсальная обёртывающая алгебра Uq(g) для полупростой алгебры Ли д, её двойственная алгебра C?[G], алгебра квантовых матриц, квантовая алгебра Вейля. Число примеров можно расширить, если рассмотреть подалгебры этих алгебр, многопараметрические версии этих алгебр, квантовые пространства представлений.
Ставится задача описания центра этих алгебр, первичного и примитивного спектра, тела частных. Представляет интерес как явное описание структуры конкретных квантовых алгебр, так и построения общей теории в духе метода орбит.
Квантовые алгебры связаны с пуассоновыми алгебрами. Если исходная алгебра коммутативная, то её квантование Rq индуцирует пуассонову структуру на R. Если известно описание функций Казимира, классификация сим-плектических листов для пуассоновой алгебры R, то это облегчает задачу изучения центра, классификации примитивных идеалов Rq. Теория пуас-сонового дубля, развитая в работах М.А.Семенова-Тян-Шанского [34], позволяет дать описание симплектических листов для групповой скобки Пуассона на полупростой группе Ли G и её борелевской подгруппе. Это дало толчок к работам по структуре алгебры Cg[G] и квантовой универсальной обёртывающей алгебры для максимальной разрешимой подалгебры в д. Задача описания примитивного спектра приводит к рассмотрению специализаций Re = R mod (q — є). Для случая є — не корень из 1 решение этой задачи изложено в книге А.Жозефа [80]. Случаю є — корень из 1 посвящены работы К.Де Кончини, К.Прочези, В.Каца, В.Любашенко, К.Брауна [50, 56, 57, 58, 59, 60, 61].
Рассмотрение этих примеров позволило выдвинуть ряд гипотез, кото рые, по-видимому, справедливы и для других квантовых алгебр. Например, гипотеза о размерности неприводимых представлений квантовых алгебр в корнях из 1: размерность неприводимого представления R€ (є первообразный корень степени Z из 1) с центральным характером % делится на (в разрешимом случае равна) / , где d размерность симплектического листа X как точки многообразия центра. Гипотеза предложена в работах [57, 60]. Следующая цель — доказать эти гипотезы в максимально общих предположениях на алгебру Rq. При этом эти предположения должны быть легко проверяемы и должны охватывать основные примеры.
В направлении построения общей теории для разрешимых квантовых алгебр и рассмотрения важных примеров (как алгебра квантовых матриц) в настоящее время ведутся активные исследования, о которых можно судить, например, по обзорной статье К.Гудёрла [67].
Классическим аналогом этой предполагаемой теории является теория универсальных обёртывающих алгебр для разрешимых алгебр Ли, развитая в работах Ж.Диксмье [12], Р.Рентчлера [51] и других. При этом случай квантовых алгебр в корнях из 1 соответствует теории алгебр Ли над полем положительной характеристики. Научная новизна. Основные результаты работы состоят в следующем.
1) Доказан критерий изоморфизма двух тел скрученных рациональных функций. Это позволяет ввести понятие канонической матрицы для тела скрученных рациональных функций FQ и поставить задачу нахождения этой матрицы и канонических образующих. Доказано, что центр тела FQ порождается мономами.
2) При общих и легко проверяемых предположениях доказана гипотеза о телах частных квантовых разрешимых алгебр. Построен квантовый аналог контрпримера Алева-Ван дер Берга-Оомса к гипотезе Гельфанда-Кириллова и показана справедливость квантовой гипотезы для этой алгебры.
3) Проведена стратификация спектра первичных идеалов квантовых разрешимых алгебр при общих предположениях. Доказана гипотеза о телах частных для первичных факторов.
4) Для квантовых разрешимых алгебр в корнях из 1 доказана гипотеза о размерности неприводимого представления и гипотеза об алгебраичности симплектических листов многообразия центра. Доказано, что колчан алгебры слоя является полным. Доказано, что число неприводимых представлений с данным центральным характером % равно /d, где d — размерность некоторой торической подалгебры в стабилизаторе %.
5) Найдена каноническая матрица для тела частных алгебры квантовых п X n-матриц и каноническая система образующих. Дано точное описание центра тела частных для алгебры квантовых т х n-матриц и для алгебры квантовых треугольных матриц.
6) Дана характеризация &-форм квантового тора в терминах точных последовательностей. Квантовые А;-торы малой размерности описаны в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений.
7) Получен критерий, когда расширение Оре алгебры Хопфа является расширением Хопфа-Оре. Дана классификация расширений Хопфа-Оре для групповых колец, U(g), Uq(g) и квантовой группы "ах + Ь".
8) Доказана теорема о том, что локально n-скобка Пуассона для п 3 сводится к якобиану. Получено описание функций Казимира и симплекти-ческих листов для скобок Склянина.
9) Получена классификация неприводимых представлений алгебры Ли sl(n) над полем положительной характеристики. Описание центра U(s\(n)) проводится в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений. Получена классификация особых точек многообразия центра. Установлено, что неприводимое представление имеет максимальную размерность тогда и только тогда, когда её центральный характер является неособой точкой многообразия центра. Дана классификация неприводимых представлений максимальной размерности полупростых алгебр Ли классического типа.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14-ти работах: [21, 22, 23, 24, 19, 25, 91, 92, 26, 93, 94, 95, 27, 28].
§0.2 ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Глава 1. Тела частных алгебр скрученных многочленов. Результаты главы опубликованы в работах [23], [24]. Пусть С коммутативная не терова область с 1 и свойством 1+14 1-1 ф 0. Пусть Q — ( 7f?)iJ=i матрица с элементами из С, в которой qa = qijqji = 1. Важный частный случай (случай однопараметрического квантования) С — алгебра многочленов Лорана K[q,q_1] (или её локализация по конечно порождённому множеству знаменателей) и qij = qSi , где Sij элементы целочисленной кососимметрической матрицы § = (sy)§=i Алгебра AQ (соотв. Лс) скрученных многочленов порождается над С (соотв. K[q,q 1)) элементами х\у... ,хк с соотношениями X{Xj = qijXjXi (Определение 1.2.1).
Алгебра скрученных многочленов допускает тело частных FQ (или F$). Размерность Гельфанда-Кириллова алгебры AQ И степень трансцендент ности FQ равна N (см. Теорема 1.2.17). Основным результатом главы является критерий изоморфизма двух тел Fs и Fz скрученных рациональных функций (Теорема 1.2.18). Как следствие, каждое тело скрученных рациональных функций JFS изоморфно телу частных алгебры скрученных многочленов А® для некоторой целочисленной матрицы -Ч(Ді) (-1Л)- • где di Є N и d{ делит dj+i. Числа di,...,dm определяются по телу Fs однозначно. Центр тела Fs является чисто трансцендентным расширением поля К. В общем случае доказано, что центр FQ порождается мономами, содержащимися в центре (Утверждение 6.3.1).
Глава 2. Тела частных квантовых разрешимых алгебр. Результаты главы опубликованы в работе [92]. Основной теоремой главы является Теорема 2.5.2 о телах частных квантовых разрешимых алгебр.
Мы начнём изложение материала этой главы с формулировки гипотезы Гельфанда-Кириллова о телах частных универсальной обёртывающей алгебры U(Q). Эта гипотеза утверждает, что тело частных Fract U(g) для алгебраической алгебры Ли g над полем К (т.е. алгебры Ли алгебраической ff-группы) изоморфно телу частных алгебры Вейля над чисто трансцендентным расширением исходного поля К [6]. Эта гипотеза справедлива для вполне разрешимых алгебр Ли [66, 86], алгебры Ли sl(n) [66]. Известно, что гипотеза верна для Fract U(g) 0 К , где g полупростая алгебра Ли и К некоторое конечное расширение поля Center(Fract U(Q)) [7]. Однако в общем случае эта гипотеза неверна [44]. Контрпримером является t/(g) для полупрямой суммы g алгебры Ли sl2 и суммы двух её присоединённых представлений V i ф У%. Мы вернёмся к этому контрпримеру в главе 7.
В §2.1 собраны факты по расширениям Оре колец и локализациям не-торовых колец, которые используются в дальнейшем. В следующем §2.2 даётся определение квантовой разрешимой алгебры.
Определение 2.2.1. Будем говорить, что С-алгебра R является квантовой разрешимой алгеброй над С, если R порождается элементами так, что мономы с ti,... ,tn GZ+ И tn+i,...,tn+m Є Z образуют свободный С-базис и имеют место следующие соотношения 1) X{Xj = qijXjXi для всех 1 і п + т и п + 1 j п + т ;
для 1 і j п выполнено X{Xj = qijXjXi + r,_/, где r,j - некоторый элемент подалгебры Щ+і, порождённой #j+l, ..., хп, x +i,..., #п+тп Определение квантовой разрешимой алгебры является довольно общим и охватывает "классические примеры" (алгебры U(g) для вполне разрешимых алгебр Ли д) и такие "квантовые примеры" как алгебра скрученных многочленов, алгебра квантовых матриц, квантовая алгебра Вейля, алгебры Uq(п) и /?(Ь)(см.§2.2). Любопытно, что в число примеров попадает С/д(БІ2) (но не [/(s )). Алгебра регулярных функций на квантовой группе C2JC] на квантовой полупростой группе не является разрешимой, но она становится разрешимой после некоторой локализации.
Можно привести примеры, которые не попадают в эти списки, как, например, алгебра порождённая ж, у, z над K[q,q l] с соотношениями ху — ух = 1, xz = qzx и yz = q lzx.
В §2.3 формулируются условия, позволяющие выделить "квантовые примеры" из остальных. Для любого первичного идеала Е Є Spec(C) обозначим IE = RE, RE — R/IE и ZE — центр RE. Будем называть RE специализацией R.
Рассмотрим подмножество (5 в Spec(C), состоящее из всех первичных идеалов Е Є Spec(C) таких, что RE— область и RE является конечным Z -модулем.
Определение 2.3.1. Будем говорить, что R чистая С-алгебра, если множество (5 плотно в Spec(C) в топологии Зарисского (грубо говоря, Я — чистая С-алгебра, если R имеет достаточно много хороших специализаций).
Определение 2.3.2. Пусть R - нетерова область с 1 и 1 + 1-1 Hi 0. Будем говорить, что кольцо R чисто квантовое, если в Fract(-R) не содержит элементов х и у с соотношением ху — ух = 1.
Первое условие является достаточным условием для второго (см. Теорема 2.3.4) и является легко проверяемым: хорошо известно, что "квантовые алгебры" конечны над своим центром в корнях из Г.
Главная теорема второй главы доказывается в §2.5. Теорема 2.5.2. Пусть С — коммутативная нетерова область со свойством 1 + 1.-1 Н 1 ф 0. Пусть Я квантовая разрешимая С-алгебра и чисто квантовое кольцо. Тогда Fract(#) изоморфно Fract(gr(i2)). В частности, тело частных Fract(#) изоморфно телу скрученных рациональных функций FQ.
Следствие 2.5.3. Пусть С как в Теореме. Пусть R квантовая разрешимая С-алгебра и чистая С-алгебра. Тогда Fract(-R) изоморфно Fract(gr(jR)). В частности, тело частных Fract(.R) изоморфно телу скрученных рациональных функций FQ.
В §2.6 показывается как Теорема 2.5.2 работает в примерах. Теорема применима ко всем основным примерам квантовых алгебр (см.§2.2) и их многочисленным подалгебрам . В число примеров попадает и Uq(s\2). Мы возвращаемся к приложениям Теоремы 2.5.2 в Главе 7, в которой будут построены примеры квантовых разрешимых алгебр, допускающих (sb)-действие.
Глава 3. Первичные идеалы в квантовых разрешимых алгебрах. Результаты главы опубликованы в работе [93]. Основная цель этой главы — осуществить стратификацию спектра первичных идеалов квантовых разрешимых алгебр (см. Теорема 3.3.3). Пусть С как в Теореме 2.5.2. Стратификация будет проведена при легко проверяемых условиях Q1-Q4 на квантовую разрешимую алгебру Д(см. §3.1). Среди этих условий — условие, что R — чистая С-алгебра (Q4). Из условия Q2 вытекает, что в алгебре R всякий первичный идеал является вполне первичным. Все алгебры из списка основных примеров (§2.2), кроме Uq(s\2), удовлетворяют этим условиям.
В §3.2 показывается, что не только сама алгебра R, но и все её первичные факторы обладают "хорошими" специализациями (см. Определение 3.2.5 и Теорему 3.2.9.). Отсюда вытекает, что фактор-кольца R/V для первичных идеалов V с V П С = О являются чистыми С-алгебрами(Теорема 3.2.10).
Это позволяет, по методу из Главы 2, построить процесс стратификации первичных идеалов.
Теорема 3.3.3. Пусть R квантовая разрешимая алгебра, удовлетворяющая Условиям Q1-Q4. Утверждается следующее.
Существует конечный набор М = {V } полупервичных Я-инвариантных (см.Условие Q.3) идеалов, каждый из которых имеет нулевое перечение с С (каждый идеал V назовём стандартным идеалом). Для каждого идеала Vp существует множество знаменателей 5М (назовём его стандартным) в R/Vp, порождённое С-комутирующими элементами (т.е. ху = сух, с Є С ), со следующими свойствами:
1) Вц := {R/Vn)S l изоморфно факторкольцу кольца скрученных многочленов Лорана,
2) каждый первичный идеал X в R, имеющий нулевое пересечение с С, содержит единственный стандартный идеал Ри такой, что S f](X mod (V )) =
Теорема позволяет свести изучение идеала їв R к идеалу (X/Vfi)S l в алгебре скрученных многочленов Лорана. Теорема допускает ряд следствий (см. Следствия 3.3.4-7). В частности из теоремы вытекает, что для любого первичного идеалаХ с Xf]C = 0 тело Fract(i?/X) изоморфно телу скрученных рациональных функций. В §3.3 показывается, что метод стратификации первичных идеалов с нулевым пересечением с С (из Теоремы 3.3.3) годится для стратификации почти всех первичных идеалов (см. Теорема 3.3.9).
Глава 4. Идеалы квантовых разрешимых алгебр в корнях из Г. Результаты главы опубликованы в работе [94]. Пусть К алгебраически за-кнутое поле нулевой характеристики и q переменная. В этой и следующей главе С — локализация алгебры K[q,q_1] по конечно порождённому множеству знаменателей..
Рассматриваются квантовые разрешимые алгебры Rq над С удовлетворяющие легко проверяемым условим 4.3.1-4.3.3. Пусть є первообразный корень степени Z из 1, удовлетворяющий Условию 4.3.3.
При специализации мы получаем алгебру Re = R mod (q — є), конечную над своим центром Z. Алгебра R является порядком в конечномерном теле Fract(i?e) над полем Fract(Ze). Такие порядки будем называть квантовыми порядками. Отличительная особенность квантовых порядков (см.§4.1) — существование квантового присоединённого действия (аналога действия группы G на U(Q) над полем положительной характеристики). Это позволяет рассматривать идеалы, инвариантные относительно квантового присоединённого действия (назовём их V-инвариантными идеалами).
Алгебра центра Zt является пуассоновой алгеброй (§4.1) и аффинное алгебраическое многообразие М := Maxspec(Ze) — пуассоновым многообразием. Будем называть М. многообразием центра. Многобразие Л4, вообще говоря, является многообразием с особыми точками. В случае Я" = С многообразие М. распадается на симплектические листы.
Ограничение на центр неприводимого представления 7г (в нашем случае dim7r со) алгебры Re скалярно ir\ze — X и определяет характер х (т.е точку) многообразия центра М. Ставится обычная задача для порядков: описать все неприводимые представления алгебры R€ лежащие над данной точкой х многообразия центра. Предполагается, что это можно сделать в геометрических терминах пуассонового многообразия Л4.
Основной подход — воспользоваться теоремой о стратификации из пре дыдущей главы для сведения к случаю алгебры скрученных многочленов. Укажем на трудности, которые лежат на этом пути, и методы их преодоления.
1) Идеал Vpe =-Vf! mod (q — є) может содержать радикал, элементы стандартного множества знаменателей S = S mod (q — є) могут стать делителями нуля, и, наконец, существуют первичные идеалы І в R для которых неверно утверждение 2) Теоремы 3.3.3. Для того, чтобы избежать всё это, вводится понятие точки хорошей редукции процесса стратификации (см. Определение 4.3.5 для не корней из 1 и Определение 4.3.6 для корней из 1). Доказывается конечность точек плохой редукции (Теорема 4.1.1). Вводится определение допустимого / ( и •) как точки хорошей редукции и, удоветворяющего условиям взаимной простоты с минорами § (см. Определение 4.3.16).
2) Процес стратификации применим только к вполне первичным идеалам. Но не каждый первичный идеал R является вполне первичным идеалом. Поэтому надо проводить стратификацию не первичных, а первичных V-инвариантных идеалов.
3) После редукции к алгебре ВИ := В mod (q — є) требуется сравнить центр, квантовое присоединённое действие и симплектические листы алгебра Вце с теми же для R (Утверждение 4.3.17 и §4.4).
Для обоснования процесса стратификации важную роль играет Теорема 4.2.8 о редукции -инвариантных идеалов. Эта теорема дополняет существующую теорию идеалов в расширениях Оре [70].
Осуществление стратификации позволяет доказать, что для допустимого є любой первичный Р-инвариантный идеал / в R является вполне первичным (см.Теорема 4.3.20). Тело частных алгебры R/I изоморфно телу скрученных рациональных функций.
Теперь можно свести изучение неприводимых представлений R к алгебре скрученных многочленов. Для этого рассмотрим ядро 1Ж неприводимого представления 7Г и наибольший 2?-инвариантный идеал I j) в 1ж. Идеал 1жр является первичным -инвариантным идеалом и, поэтому, может быть стратифицирован (§ 4;3). Пользуясь этим, в §4:5 доказывается главная теорема этой главы.
Теорема 4.5.3. Пусть К = С. Как и выше R квантовая разрешимая алгебра, удовлетворяющая Условиям 4.3.1-4.3.3 и є допустимый корень степени I из 1 (см. Определение 4.3.16). Мы утверждаем, что: 1) размерность любого неприводимого представления 7Г алгебры R равна j5uim(fij где x • %є - • С центральный характер представления 7г и Qx сим-плектический лист х в Л4 = MaxspecZe;
2) любой симплектический лист Пх открыт в своём замыкании в топологии Зарисского (такие листы будем называть алгебраическими);
3) если две точки xi и Х2 принадлежат одному симплектическому листу, то алгебры RJm{xi)Re и Яє/т(х2)Щ изоморфны.
4) Пусть 71-,7 два неприводимых представления алгебры R и Х»х их Цен тральные характеры. Если 7Г и 7г -эквивалентны (т.е. совпадают максимальные Т -инвариантные идеалы в их ядрах), то х и х7 лежат в общем симплектическом листе.
Глава 5. Нормальные квантовые разрешимые алгебры. Результаты главы опубликованы в работе [28]. Глава состоит из параграфов §5.1-5.4. В предыдущей главе была доказана гипотеза о размерности неприводимого представления и была доказана алгебраичность симплектических листов для достаточно большого / (число хорошей редукции стратификации). Цель этой главы —снять это нежелательное ограничение на / и продвинуться дальше в описании колчана и числа неприводимых представлений над х Основное определение параграфа это определение нормальной разрешимой квантовой алгебры или NQS-алгебры (Определение 5.1.10). Мы требуем, чтобы эта алгебра удовлетворяла некоторым Условиям CN1,CN2. Все примеры квантовых разрешимых алгебр из §2.2 (кроме {/ (sk)) являются NQS-алгебрами, удовлетворяющими CN1, CN2. Определение допустимого /, принятое в этом параграфе (см.Определение 5.2.18), отличается от Определения 4.3.16 в сторону большей конструктивности.
В §5.2 проводится стратификация первичных Х -инвариантных идеалов в NQR-алгебрах (см Теорема 5.2.2). При этом метод стратификации отличается от использованного в предыдущих главах. Для NQS-алгебры R, удовлетворяющей Условиям CN1 и CN2, и допустимого (Определение 5.1.18) доказывается, что любой первичный -инвариантный идеал является вполне первичным (см.Теорема 5.2.3). Для тех же R и є доказывается формула размерности неприводимого представления, алгебраичность симплектических листов и изоморфность слоев точек, принадлежащих общей орбите (Теорема 5.3.2).
Любой конечномерной алгебре А можно поставить в соответствие колчан. Вершины этого колчана - примитивные идемпотенты ei,..., е такие, что правые идеалы е\А,..., е А представляют различные классы изоморфизма главных неразложимых А-модулей. Две вершины соединены е,-,е; ребром (ej, еу), если eiJej ф О, где «/радикал А.
Теорема 5.3.3. Пусть К алгебраически замкнутое поле характеристики нуль. Пусть R и є как в Теореме 5.3.2. Любые две вершины Єі,еу, і ф j колчана алгебры RjX := Re/Kevx соединины ребрами (е , ) и (еу,е,-) (т.е. колчан полный). В частности, колчан связный.
В §5.4 доказывается теорема о том, что число неприводимых представлений над х равно Iі (Теорема 5.4.5).
Для уточнения геометрического смысла t вводится определение стабилизатора точки х многообразия центра(Определение 5.4.6). Теорема 5.4.7. R, є, t такие, как в Теореме 5.4.5. Для любого центрального характера х стабилизатор д(х) являтся полупрямой суммой 0(х) := J + V где j идеал и t торическая подалгебра размерности t.
Глава 6. Квантовые матрицы. Результаты этой главы были опубликованы в работах автора [23], [24], [19].
Определение алгебры квантовых матриц М(п) := Мр)т))С(п) даётся в §2.2. Алгебра квантовых т х n-матриц (соотв. квантовых верхнетреугольных матриц) М(т, п) = Mp,Q,c(m, га) (соотв. В(п) = Д?,о ,с(п)) определяется как фактор-алгебра Mp)Q)C(n).
В случае С = К[ч,Ч 1\ алгебра квантовых матриц (будем её обозначать Mq(m,n)) порождается элементами xij, 1 i,j п со следующими соотношениями, наложенными на матричные элементы любой 2 х 2-подматрицы ( х у\ I 1 : ху = qyx, хи = qux, хи = qux, yv = qvy, уи = иу, xv = vx + (q- q l)uy .
Алгебра M(n) (соотв. M(m,n), Mq(m,n)) допускают тела частных F(n) (соотв. F(m,n), Fq(m,n)).
Глава состоит из 4 параграфов. В §6.1 даётся описание полное тела частных Matq(n) (случай однопараметрического квантования). Из Теоремы 2.5.2 известно, что частных Fq(n) изоморфно телу скрученных рациональных функций FQ для канонической матрицы Р. Наша цель — найти каноническую матрицу Р, найти каноническую систему образующих тела Fract(.R), дать описание центра Cq тела Fia,ct(Rq) и центра Zq алгебры Rq.
При определении структуры центра важную роль играет квантовый определитель (см.(6.1.1)). Квантовый определитель принадлежит центру алгебры Ма (га) [96].
Для наборов {гі ... У строк и {ji ... ju] столбцов будем обозначать через М/1 " соответствующий квантовый минор. Рассмотрим элементы 2i, ...,zn, где Zi := (M U.J l Щ+ ІЇ для \ i n-l и z„ = ciet,-1. (6.1.2) Основной теоремой §6.1 является следующая Теорема 6.1.9.
1) Тело частных Fq алгебры квантовых матриц Rq = Mat?(n) изоморфно телу скрученных рациональных функций Fp, где —((Л І).-.(it).0.-.0) — каноническая п2 х п2 -матрицах m = n n2 % c?i = ••• = dn-\ = 1 и dn = • • • = c?n(n-i) = 2. 2) Центр Cq тела F9 есть поле K(q, z\,..., zn).
В процессе доказательства указывается метод построения системы канонических образующих тела частных (см. Утверждение 6.1.8). Как следствие получаем доказательство следующей теоремы, результат которой был аннонсирован в работе [30].
Теорема 6.1.12. Для общего q (т.е q - переменная или q Є К и q не корень из 1) центр Zq алгебры квантовых матриц Rq порождается det9 и K[q,q l].
В §6.2 найдена система -коммутирующих образующих {У?} =1 в теле частных F(m,n) алгебры MptQfC(m,n) (см. формулы (6.2.5) и Теорему 6.2.18.)).
В следующем параграфе §6.3 даётся описание центра тела частных F{m, п) алгебры М(т, п). Рассмотрим подсистему образующих Ді = Y ,..., Лт = У™,...,ДП. = У,Д„+і = 1 ,... + = Y?. Центр тела частных F(m,n) порождается мономами от Дг-, показатели которых удовлетворяют определённым системам уравнений (см. Теоремы 6.3.5 и 6.3.6).
Теорема 6.3.10 утверждает, что при некоторых условиях на т и п центр скалярен для параметров общего вида. В частности, для четного п тело F(n) имеет скалярный центр для параметров общего вида.
В заключительном §6.4 строится система -коммутирующих образующих тела частных квантовых треугольных матриц, даётся описание центра в многопараметрическом и однопараметрическом случаях (см. Теорема 6.4.1).
Глава 7. Тела частных алгебр, допускающих / (sl2(С))-действие. Результаты этой главы опубликованы в работе [91]. Как мы видели в Главе 2, алгебра Uq(s\2(С)) является квантовой разрешимой алгеброй. В этой главе мы рассмотрим новые примеры разрешимых чисто квантовых алгебр (см. глава 2). Это квантовые пространства 1 , неприводимых представлений старшего веса 1 и 2 и соответствующие скрещенные произведения (smash products) (см. Теорема 7.1.5). Заметим, что квантовые пространства старшего веса 3 уже не являются разрешимыми алгебрами.
Далее строятся квантовые аналоги прямых сумм К = КіФУЇ и V = 1 0 и соответствующие скрещенные произведения. Показывается, что полученные алгебры являются квантовыми разрешимыми и чисто квантовыми алгебрами (Теоремы 7.1.6 и 7.1.7). По теореме 2.5.2 их тела частных изоморфны телам скрученных рациональных функций..
Как уже отмечалось, пример скрещенного произведения Uq(s\2(C)) и квантовой алгебры для представления V = Vt@ V2, интересен тем, что является квантованием универсальной обёртывающей алгебры U(g), где g полупрямая сумма алгебры Ли sb и прямой суммы двух её присоединённых представлений. Алгебра (7(g) является контрпримером к гипотезе Гельфанда-Кириллова. Однако построенная алгебра Uq(g) является разрешимой квантовой алгеброй и её тело частных изоморфно телу скрученных рациональных функций.
Глава 8. Квантовые алгебраические торы. Результаты главы опубликованы в [26]. Пусть L поле и Q•= (%-)?у=1 матрица с элементами qij Є L , qijQji = qa = 1. Алгебра скрученных многочленов Лорана L zf1,... ,2 1] порождается элементами xf1,... ,х г с соотношениями X{Xj — qijXjXi. Алгебру скрученных многочленов Лорана часто называют алгеброй регулярных функций на квантовом торе (или коротко квантовым тором). Диагональный алгебраический тор Dn(L) = L х • • «х L действует автоморфизмами Х{ к- t{Xi на LQ[XI1, ..., х 1]. Будем называть Lg[xf1,..., о: 1] квантовой формой диагонального тора Dn(L) и обозначать LQ = Lq[Dn\
Пусть L/k расширение Галуа иТ алгебраический &-тор, расщеплённый над L. Изучаются -алгебры &д[Т], допускающие действие Т и такие, что kq[T] ®jt L = LQ. Будем называть такие алгебры -формами квантового алгебраического тора Т. / В этой главе даётся характеризация квантовых алгебраических торов в терминах точных последовательностей (Теорема 8.1.3). Центр алгебры kq[T] является алгеброй регулярных функций к[Тс] на некотором торе Тс (Утверждение 8.3.1). Если Q состоит из корней из 1, то алгебра kq[T] конечна над своим центром и алгебра слоя кт,т — кс)[Т]/т, где т максимальный идеал центра, является конечномерной центральной простой алгеброй (в частности, телом).
В случае диагонального тора алгебра коп,т - тензорное произведение циклических алгебр, для произвольного Т - алгебра кт,т совпадает Ьоп,т при расширении поля (Пункт 8.4). В Пункте 8.5 дается описание квантовых торов малой размерности в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений. В ряде случаев показывается, что алгебра является скрещенным произведением. В общем случае вопрос о строении кт,т остаётся открытым.
Глава 9. Расширения Оре алгебр Хопфа. Эта глава базируется на работе [27]. Глава состоит из двух параграфов.
Определение 9.1.0. Пусть А ий = А[?/;т, 5] алгебры Хопфа над кольцом к. Назовём Я = А[?/;т, 6] расширением Хопфа-Оре, если А(у) = у(&г\+г2®у для некоторых гі,Г2 Є А и А подалгебра Хопфа в R.
Показывается, что г г2— групповые элементы в А. Заменяя у на у = yrf1, получаем А(у ) = у g 1 + г ® у . Предположим в дальнейшем, что у в расширении Хопфа-Оре удовлетворяет А{у) = у®1+г®у (9.1.3)
с некоторым групповым элементом г Є А.
Следующая теорема является основной теоремой этой главы. Теорема 9.1.3. R = А[у; г, 6] расширение Хопфа-Оре тогда и только тогда, когда 1) существует характер х : А ь- к такой,.что т(а) = %(ai)a2 (9.1.6) для всех а Є Л (то есть г винтовой автоморфизм А); 2) имеет место соотношение хЫа2 = Adr(al)x(a2); (9.1.7) 3) т-дифференцирование 8 удовлетворяет А5(а) = 5(ai) ® а2 + гаг ® 6(а2). (9.1.8)
В следующем параграфе §9.2 проводится классификация расширений Хопфа-Оре для групповых алгебр, U(g), Uq(g), квантовой "ах + 6". Глава 10. Локальная структура многомерных скобок Пуассона. Глава состоит из 3 параграфов. Параграф §10.0 — вводный. В нём изложена история возникновения п-скобок Пуассона и их классификации. Основная теорема этой главы это теорема о локальной классификации п-скобки Пуассона.
Теорема 10.1.13. Пусть т Є R.N ненулевая точка n-скобки Пуассона {.,...,.} алгебры A— C°°(RN) для п 3. Существует локальная система координат У и • • • » Уы в окрестности точки т, что для любых функций /i,..., fn скобка Пуассона {/ь...,/п} равна o\n]Zyn) Таким образом локально n-скобка Пуассона сводится к якобиану. Эта теорема была опубликована автором в работе [25] (это доказательство также вошло в работу [95]).
Второй параграф главы §10.2 посвящен n-скобкам Склянина (Определение 10.2.1). Доказывается, что n-скобка Склянина является n-скобкой Пуассона тогда и только тогда, когда её структурные константы являются плюккерыми координатами. Далее вводится понятие функции Казимира и проводится класификация симплектических листов для п = 2. Глава 11. Неприводимые представления алгебр Ли над полем положительной характеристики. Глава состоит из 3 параграфов §11.1-11.3 и введения §11.0. Во введении §11.0 излагается история вопроса и даны основные определения. В главе изучаются неприводимые представление полупростых алгебр Ли g классического типа над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. В этой теории под алгебрами классического типа имеют ввиду простые алгебры Ли, построенные по диаграммам Дын-кина.
Алгебра Ли g допускает р-структуру х н- хМ. Пусть U(Q) универсальная обёртывающая алгебра к g и Z(g) центр U(g). Элементы вида х = хр — аДО лежат в центре и порождают подалгебру Zo(g) в [7(g), которую называют р-центром. Алгебра U(Q) конечна над Zo(g). Любое неприводимое К-представление [/(g) имеет конечную размерность.
Если 7г неприводимое представление д, то его ограничение на Z(g) скалярно (лемма Шура) и определяет р-характер Е : g — К по формуле 7г(х) = Е() • id.
Существует линейная форма F Є д такая, что Щх) = Fp(x). В случае, если д допускает Ad-инвариантную невырожденную симметрическую билинейную форму •, • , можно отождествить g и д . Существует х Є 0» для которого Е(х) = Fp{x) = х,х р . (11.0.1)
Элементы F Є д их будем также называть р-характерами неприводимого представления 7Г.
Основная задача теории представлений р-алгебр Ли — дать описание неприводимых представлений g с заданным р-характером Е или, что то же самое, неприводимых представлений алгебры ° в) - ЩЩЁ Для последней алгебры будем также использовать обозначения UF(Q) ИЛИ иЛв) Каждое неприводимое представление 7г определяет также центральный характер Ez, точку многообразия центра (многообразия Цассенхауза). Вложение Zo(g) С Z(Q) определяет морфизм конечного типа алгебраических многообразий Maxspec(g) - MaxspecZo(g) = Knyn = dim g: переводящий Ez •- H.
Развитие этой теории представлений полупростых алгебр Ли классического типа над полем положительной характеристики началось с работы А.Н.Рудакова и И:Р.Шафаревича [32], в которой было дано полное описание всех неприводимых представлений алгебры Ли sl(2).
В главу 11 включены результаты автора, опубликованные в работах [21], [22]. В главе И проводится классификация неприводимых представлений алгебры Ли sl(n), изучается структура многообразия центра и соответствие между неособыми точками многобразия центра и неприводимыми представлениями максимальной размерности. Получена классификация неприводимых представлений максимальной размерности любой полупростой алгебры Ли классического типа.
В описании представлений большую роль играют малые модули Верма МХ(Х) — факторы модулей Верма М(Х) по характеру р-центра. Мы рассматриваем случай g = sln и предполагаем, что х Є g имеет жорданову нормальную форму % — a + v, а Є Ь и v Є п+ Утверждение 11.1.1. Всякое неприводимое представление с р-характером X является фактором малого представления Верма МХ(Х).
Следующее утверждение не столь очевидно как над полем характеристики нуль. Положительный ответ на вопрос о единственности неприводимого фактора здесь обеспечивается выбором разложения g = п ф()фп+ и жор-дановой формой х- При другом выборе разложения и х ответ на вопрос о единственности будет отрицательный. Это является главным препятствием (пока непреодолимым) на пути развития этой теории для произвольной 0 Утверждение 11.1.5. Представление МХ(Х) имеет единственный неприводимый фактор (обозначим тх(А)).
Следующая теорема даёт классификацию неприводимых представлений алгебры Ли sl(n).
Теорема 11.1.6. Следующие условия эквивалентны:
1) представление Mx(Xi) эквивалентно Мх{\2)\
2) представление тх(\\) эквивалентно тх{\2)\
- А2 Є Рр(Д),
3) I 4) A.,
ч х ттт где г — наименьшая редуктив Л2 сопряжены относительно Wt, ная подалгебра, содержащая I) и %, и Wx — её группа Вейля.
В следующей Теореме 11.1.7 даётся критерий того, что два неприводимых представления mx{\i) и т Аг) имеют общий центральный характер.
В §11.2 изучается многообразие центра, его особые точки и соответствие между особыми точками и неприводимые представления максимальной размерности алгебры Ли sl(n). Основной результат этого параграфа сформулирован в следующей теореме. Теорема 11.2.1. Следующие условия эквивалентны:
1) тх{\) = Мх{\) (другими словами представление Мх{\) неприводимо);
2) центральный характер Хх(А) является неособой точкой многообразия центра;
3) Wx\ = WK\ (где «Я = 9а).
Следствие 11.2.6. Неприводимое представление алгебры Ли si имеет максимальную размерность тогда и только тогда, когда её центральный характер является неособой точкой многообразия центра.
В §11.3 даётся классификация неприводимых представлений максимальной размерности полупростых алгебр Ли. Максимальная размерность неприводимого представления равна d(0):=(dim,cl (g)) ,
где D(g) = FractC/(g), С = Centering) [104]. В работе [18] доказано, что d(g) совпадает с p1/2dimili где dimfi - размерность орбиты общего положения в д . Для полупростых алгебр классического типа она равна р#л , где #Д+ - число положительных корней. Теорема 11.3.1.
1) Каждое неприводимое представление максимальной размерности изоморфно Мх( А);
2) Представление МХ(Х) неприводимо тогда и только тогда, когда \(Нр) = 0 для любого /З Є Пх, где Пх — объединение систем простых корней тех компонент ЇЯ, в которых элемент х нерегулярен.
Следствие 11.3.2. Все неприводимые представления с регулярным р-ха-рактером имеют максимальную размерность.
Алгебра скрученных многочленов
Пусть С коммутативная нетерова область с 1 и свойством 1 + Ц V -ф 0. Пусть Q = (qij)ij=i матрица с элементами из С, в которой qu = qijqji = 1. Важный частный случай С = K[q, q l] кольцо многочленов Лорана над полем К характеристики нуль и qij = qSij, где s элементы целочисленной кососимметрической матрицы = (sij)fj=l. Определение Г.2.1 Алгебра AQ (соотв. AQ) скрученных многочленов порождается над С (соотв. С[д, 7-1]) элементами х\,... ,х с соотношениями Алгебра AQ (СООТВ. AS) является нетеровой областью [86]. Обозначим через FQ (соотв. Fs) её тело частных. Будем называть это тело телом скрученных рациональных функций. Для любого є Є К рассмотрим гомоморфизм q-ъ-ъ-е алгебры K[q,q l] в поле К. В результате специализации получаем алгебру А% := А$ mod (д — є), которая также является нетеровой областью и допускает тело частных. Определение 1.2.2. Алгеброй скрученных многочленов Лорана LQ (СООТВ. Lz) называют алгебру порождённую xf1,..., zj1 с соотношениями (1.2.1). Алгебра LQ (соотв. L ) является AQ (соотв. AS) по мультипликативному множеству, порождёному xi,... ,XN. Алгебра скрученных многочленов Лорана является неторовой областью и её тело частных совпадает с FQ (соотв. Fc). Утверждение 1.2.3. Пусть S и две кососимметрические целочисленные матрицы. Если , то тела частных Fz и Fc изоморфны. Доказательство достаточно провести для случая, когда получаемся из в результате одного элементарного преобразования. 1) Пусть получатся из прибавлением к г-строке -строки и аналогич ным преобразованием столбцов. Рассмотрим новую систему образующих в кольце Lz скрученных многочленов Лорана: Соотношения между новыми образующими x\x j = q Jx jx i, S = (ву) совпадают с соотношениями в Lr, . Кольца Lz и Lz изоморфны. Поэтому их тела частных Fc и Fc также изоморфны. 2) Пусть матрица получатся из умножением г-строки и г-столбца на — 1. Рассмотрим новую систему образующих в кольце Lz . Соотношения между новыми образующими кольца с совпадают с соотношениями в между кольце Lc/. Поэтому кольца скрученных многочленов Лорана изоморфны. Как следствие, изоморфны их тела частных. Следствие 1.2.4. Тело частных F$ изоморфно некоторому телу Fp с канонической кососимметрической матрицей D. Тело Fp порождается образующими х\,... ,xm,yi,... ,ymnzi,... ,zty 2ra-f t = N с соотношениями ХІУІ = qdiyiXi, 1 і т. Остальные пары образующих коммутируют. Обозначим через Z(F ) (соотв.Z(Ap) и Z(L)) центр тела частных Fp (СООТВ. центры алгебр Ар и LQ). В следующем утверждении мы отождествим As с её специализацией в поле К (т.е мы педполагаем, что q может быть числом из К. Утверждение 1.2.5. Для общего q (т.е q - переменная или число из поля К, которое не является корнем из 1) поле Z(F) (соотв. коммутативные кольца Z(A ) и Z(L)) является полем рациональных функций K(zi, ...,-) (соотв. кольцами Z(A) — K[zi, ...,2] и Z(L ) = K[z 1,..., 1])).
Доказательство. Обозначим AD подалгебру в Ар, порождённую всеми образующими кроме у і. Пусть z Є Cq, z ф 0. Элемент z может быть записан в виде z = а-16, имеет бесконечно много корней {rj = qdlM в поле K{q). Следовательно, многочлен V$(T]) нулевой. Все коэффициенты 1 (77) равны нулю (т.е (Ф,2/і(т ;ао — Pjba) = 0). Последнее равенство верно для любой линейной формы Ф. Поэтому y{{rjao — Pjbo) = 0. Так как А область, то TJUQ = pjbQ для любого j. Выберем номер j так, что г,- ф 0. Поскольку а ф 0 и bo ф 0, то pj ф 0. Получаем pjlrj = boaQ1 = z, где pj и гу лежат в А Ш. Рассуждая аналогично для образующих у2,..., Ут, #1» #m заключаем, что Z(-Fb) = K(zi,..., zt). Аналогично для центров алгебр Аи и Ln П Следствие 1.2.6. Для общего q и любой целочисленной кососимметричес-кой матрицы центр тела Fs является чисто трансцендентным расширением поля K(q). Если det() ф 0, то центр тела Fg совпадает с K(q). Доказательство вытекает из Следствия Г.2.4. Наша следующая цель - дать определение и изучить свойства старшего члена и степени элемента с Є Fg. Любой элемент а Є Ас, может быть единственным образом записан в виде суммы a = J aix1, где а\ Є Jf[a, а-1], і = (г і,..., г лт), и х1 = x%i хг$. Рассмотрим на множестве наборов (г і,..., г ) лексикографический порядок. Степень deg(a) = (II,---JN) - наиболыпи-ей показатель среди показателей встречающихся в сумме. Элемент aiXi, 1 = deg(a), аі ф 0 назовём старшим членом и обозначим а . Очевидно, что ab = а b для любых а, Ь Є Ac-Определение 1.2.7. Для любого с Fs, представимого в виде с = а_16, моном с = о -1 6 Є Lz назовёи старшим членом с . Соответственно степенью с назовём набор deg(c) = deg b — deg a Є Z. Покажем, что это определение не зависит от разложения элемента с. 1) Если с = a lb — biaj1, то аЪ\ = Ьа\. Следовательно, а _1 b — b ai . Отсюда a -1 b = 61 ai _1. 2) Если с = a lb — aj &i, то a -1 b = аг _1 &2 , так как ба элемента равных b\ а\ _1. Лемма 1.2.8. С]С2 = сі с2 . Доказательство. Пусть с\ — a bi и С2 = aj1 - Существуют элементы аг, A Є Ад такие, что біа 1 = a fii. Отсюда &і аг -1= а2 -1 А . Получаем Следствие 1.2.9. deg(ciC2) = deg(ci) + deg(c2). П Лемма 1.2.10. Пусть 1 = (/і,...,/#) Є 7,N и m= (гаї,... ,т#) Є XN. Элементы x1 := xl{ x$ Є L и xm := x1 - x N Є L$ удовлетворяют соотношению Доказательство вытекает из (1.2.1).П Лемма 1.2.11. 1) deg(ci + с2) max{deg(ci),deg(c2)}, 2) если deg(ci) deg(c2), то deg(ci + с2) = deg(ci) ci+c2 = c\ . Доказательство. Легко видеть, что 1) и 2) имеют место для с; Є А. В общем случае с\ = а\1Ь\ и с2 = Ь2а21. Тогда 1) Мы получаем Следовательно, b\a2 + a\b2 = b\a2 . Окончательно c\+c2 = a\ l bxa2 a2 _1= ai _1 bt = ci . П Следствие 1.2.12. 1) deg(ci + ... + Cft) max{deg(cj) : 1 і k}\ 2) если deg(ci) deg(cj) для любого 2 і к, то с\-+ ... + с — с± . П В дальнейшем нам понадобится следующая лемма о приведении дробей к общему знаменателю. Lemma 1.2.13. Пусть А нетерова область, ri,s 1 і к - набор ненулевых элементов из А. Утверждается, что существуют ненулевые элементы Г І Є А, I г к и ненулевой элемент 5 Є А такие, что sri = r[si, 1 і к (т.е Tisj1 = s-1 в теле частных).
Элементы конечного присоединённого действия
Пусть R - алгебра над полем F. Определение 2.4.1. Будем говорить, что х Є R - элемент конечного при соединённого действия (или коротко х - FA-элемент), если х неявляет ся делителем нуля и для любого у Є Я существует многочлен е/() = aotN + a\tN l -\ f-ojv, а,і Є F, ао ф 0, а ф 0 такой, что Лемма 2.4.2. Пусть R - кольцо, х R и х не делитель нуля. Предположим, что для любого у Є R существуют элементы 6, &і Є R и N, Ni Є Z+ такие, что xb = yxN и b\x = xNly. Тогда {xm : m Є Z+} множество знаменателей. Доказательство. Это множество состоит из регулярных эллементов (не делителей нуля). Осталось показать, что выполнены условия Оре: для любых т, ті Є Z+ и у Є R существуют элементы с, с\ Є R и М,М\ Є Z+ такие, что хтс = г/ям и C\xmi = zMl?/. Покажем существование М и с индукцией по т. Существование М\ и сі доказывается аналогично. Для т = 1 получаем условие Леммы. Предположим, что утверждение доказано для т — 1. Докажем для га. Для любого у 6Й существуют d Є R и М "є Z+ такие, что сс771-1 = ухм . Для с/ Є Д существуют с Є -ft и М" Є Z+ такие, что хс = с/ж . Получаем гдеМ = М + М".П Утверждение 2.4.3. Каждый FA-элемент порождает множество знаменателей. Доказательство. Пусть х - FA-элемент в F-алгебре R . Покажем, что 5а; := {хг,і G Z+} множество знаменателей. Каждый элемент этого множества регулярный. Осталось показать, что для любого у Є R существуют Ь, &і Є R и iV, JVi Є Z+ такие, что xb = 2/2 и ЬІЖ = xNly. Перепишем (2.4.1) в следующей форме Обозначая 6 = — {aQXN ly-\ \-ам-іухн 1), мы получаем xb = t/ar . Су ществование &i, удовлетворяющее біж = xNly, доказывается аналогичного Обозначим через Да; локализацию RXS X алгебры R относительно Sx. Обозначим Ada;(у) — хух 1. Можно переписать (2.4.1) как Утверждение 2.4.4. Пусть R - нетерова область и алгебра над полем F нулевой характеристики. Предположим, что R — чисто квантовая алгебра над полем F и пусть х — FA-элемент в R. Пусть W - Adz-инвариантное конечномерное F-подпространство в Rx такое, что минимельный многочлен линейного оператора Ad разлагается на линейные множители над полем F. Тогда линейный оператор Ad диагонализируем в W. Доказательство. Поскольку минимальный многочлен линейного оператора Adj;w разлагается на линейные множители над F, то Ada;w имеет жорданову нормальную матрицу (соотв. жорданов базис) над полем F. Предположим, что жорданова форма линейного оператора Ada; отлична от диагональной. Тогда соответствующий жорданов базис не является базисом из собственных векторов. Существуют элементы и, v Є Rx такие, что Ada;U = аи, Adj;г; = u+av, а Є F. Обозначим Y = au lvx l. Из вычислений получаем xY — Yx = 1. Это противоречит предположению что R — чисто квантовая алгебра. Получаем, что жорданова форма Adzlw является диагональной матрицей. П В этом параграфе будет доказана основная теорема о телах частных квантовых разрешимых алгебр( Теорема 2.5.2). Пусть R.- квантовая разрешимая алгебра над С. (см.
Определение 2.2.1). Напомним, что эта С-алгебра порождается і? элементами Мономы от образующих элементов образуют свободный С-базис. Элементы жп+и хп+т Я коммутируют (см. 2.1) со всеми образующими (в частности, между собой). Для любой пары 1 г j п выполнено соотношение X{Xj = qijXjXi + Tij, где rij - некоторый элемент подалгебры Щ+і, порождённой iCj+i,..., жп,жп+1,... ,хп+т. Лемма 2.5.1. Тогда элемент хп в квантовой разрешимой алгебре R является FA-элементом. Точнее для любого у Є R существует многочлен f(t) = (t — (3\) (t — /3JV) с корнями в Го (подгруппе порождённой {qij}), удовлетворяющий (2.2.1). Доказательство. Алгебра R допускает цепочку подалгебр R = R\ Э R2 Э ... D Ri+i. Алгебра Ri+i является алгеброй скрученных многочленов Лорана. Алгебра R порождается как Яг-+і-модуль элементами где т = (ті, гаг,..., тпп) Є Ъ\. Обозначим 1) На этом шаге мы докажем, что Sx := {xm : і Є Z+} множество знаме нателей в R. Пусть у Є R. Покажем существование N Є Z+ и Ь\ таких, что xNy = b\x. (существование М Є Z+ и 6г, удовлетворяющих ухм = хЪч, показывается аналогично). Будем доказывать индукцией по deg(?/). (см. Определение 2.2.2). Если deg(y) = 0, то у Є Ri+i и унверждение очевидно, предположим, что утверждение доказано для у степени deg(?/) m. Пусть deg(y) = m ф 0. Из соотношений (2.2.1) вытекает существование (З Є Го и b Є R таких, что где 6 = 0 или deg(6) deg(?/). По предположению индукции существуют Г Z+ и 6 Є -R такие, что а б = Ь х. Следовательно, Обозначая N = I + Г и Ь\ = ж /??/ + 6 , мы получаем xNy =Ъ\х. 2) На втором шаге мы докажем, что х - FA-эемент. Рассмотрим локализа цию R по мультипликативному подмножеству Sx. Пусть у Є R. Существо вание многочлена /(), удовлетворяющего f(Adx)y = 0, будем доказывать индукцией по deg(y). Уели deg(y) = 0, то у Є Ri+i и существование /() очевидно. Пусть deg(?/) = иі и предположим, что утверждение доказано для элементов мень шей степени. Мы используем (2.5.1) и получаем : Теорема 2.5.2. Пусть С — коммутативная нетерова область со свойством 1 +1Н \-1 Ф 0. Пусть R квантовая разрешимая С-алгебра и чисто кван товое кольцо. Тогда Fract(.R) изоморфно Fract(gr(i?)). В частности, тело частных Fract(-R) изоморфно телу скрученных рациональных функций F Q (см. 1.2). Доказательство. Обозначим F = FractC и Rp = Rc F. Обозначим через S множество знаменателей в С, порождённое 7 — У? гДе 7 У Є V 7 7 У- Рассмотрим локализацию . алгебры і? над 5. Очевидно, что Fract(-R) = Fract(i?5). Это наш первый шаг. Мы будем заменять шаг за шагом алгебру R квантовой разрешимой алгеброй R! с образующими
Первичные идеалы
Напомним, что идеал V в кольце R называется первичным, если V ф R и в кольце R/V произведение двух ненулевых идеалов отлично от нуля. Множество первичных идеалов в R называется первичным спектром R и обозначается Spec(R). Идеал V называется вполне первичным, если в кольце R/V нет делителей нуля. Всякий вполне первичный идеал является первичным. Обратное, вообще говоря, неверно. Если R - квантовая разрешимая алгебра, удовлетворяющая условиям Q1,Q2 иі- первичный идеал в R такой, что образ Г в С/(Х П С) без кручения, то X вполне первичный идеал в R [71, Theorem 2.3]. В частности, все первичные идеалы с нулевым пересечением с С являются вполне первичными идеалами. Идеал X в кольце R называется полу первичным, если І йив кольце R/X любой нильпотентный идеал равен нулю. Каждый первичный идеал является полупервичным идеалом. Обратное, вообще говоря, неверно. Пересечение любого семейства полупервичных идеалов является полупервичным идеалом. Если кольцо R нетерово, то для любого идеалаХ в R, множество Р(Х) минимальных первичных идеалом, содержащихX, конечно [12, 3.1.10]. Идеалы из Р(Х) будем называть минимальными первичными идеалами над X. Если Р(Х) = {Qi,...,QTO}, то X \— Qi П . ..П, Qm -наименьший полупервичный идеал содержащий X (нильрадикал X). Никакой из идеалов Qi не содержит пересечения остальных. Пусть Я группа автоморфизмов кольца R. Говорят, что собственный Я-инвариантный идеал J является Я-первичным идеалом, если в ЯДХ произведение любых двух ненулевых //"-инвариантных идеалов отлично от нуля. Любой Я-первичный идеал, является полупервичным идеалом. Действительно, если X - Я-первичный идеал,то нильрадикал X идеала X является Я-инвариантным идеалом и (Xі)N = 0 mod (X). Тогда X = 0 mod (X). Следовательно, X = X и X полупервичный идеал. Для идеалаХ в R обозначим через Х# наибольший Я-инвариантный идеал в X. То есть Утверждение 3.2.Г. Пусть R - нетерова область и С-алгебра. Пусть R порождается элементами хі,..., жп, ог +ц..., х \т. Предположим, что R допускает диагональную группу автоморфизмов Я (т.е. h(x{) — \І{К)ХІ, i(h) Є С ). Предположим, что группа Г, порождённая {A;(h) : h Є Я}, не имеет кручения. 1) Если Х- первичный идеал в Я, тоХя также является первичным идеалом в Я 2) Пусть V полупервичный Я-инвариантный идеал в R и Q - минимальный первичный идеал над V. Тогда идеал Q инвариантен относительно Я. Доказательство. 1) Идеал Хя является Я-первичным идеалом. Действительно, если произведение двух 3\3ч двух Я-инвариантных идеалов содержится в Хя, то в частности J\Ji С X.
Тогда один из них (скажем J\) принадлежит X. Идеал Ji - Я-инвариантен. Следовательно, он содержится Хя Итак Хя является Я-первичным идеалом. Следовательно, Хя - полупервичный идеал. Обозначим Л = {Qi,..., Qs} множество минимальных первичных идеалов, содержащих Хя- Имеем Хя = Q\ f]... f] Qs. Наша цель -доказать, что s = 1. Тогда Хя = Qi и Хя является первичным идеалом. Группа Я действует на Л перестановками и существует ровно одна Я-орбита в Л (иначе Хя не будет Я-первичным идеалом). Обозначим через Н\ стабилизатор идеала Q\ в Я. Индекс Щ в Я конечен. Так как Я -коммутативная конечнопорожденная группа, то существует натуральное число N такое, что подгруппа HN = т± ,...,rrJJ.Tn содержится в Н\. Мы можем разложить произвольный элемент a = ai + .. .+аш в сумму Я-весовых компонент а,{. То есть h(ai) = Xi(h)ai- Характеры хи Xj различны для различных і ф j. Для любого h вес Xi(h) является элементом группы Г. Давайте сравним -веса для а\,..., ат. -вес элемента аг- равен Xi{hN) — (Xi{h))N. Если Xi(hN) = Xj(hN) для всех h, то (Xi(h))N = {Xj(h))N. По условию группа Г не имеет кручения. Поэтому Xi{h) — Xj(h) для всех h. Следовательно, і = j. Мы показали, что элементы ai,... ,aw имеют различные Я -веса. Предположим, что а Є Q\. Идеал Qі инвариантен относитено HN (т.к. HN С Hi). Следовательно, все -компоненты элемента а (т.е. а,-) также принадлежит Q\. Но {аг}, по определению, Я-компоненты а. Мы доказали, что, если а Є Qi, то все Я-весовые компоненты а также лежит в Q\. Это доказывает, что идеал Q\ является Я-инвариантным идеалом. С другой стороны мы видели, что Я действует на Л транзитивно. Поэтому Л = {(Зі} и Z# = Q\. Это доказывает, что Z# - первичный идеал. 2) Идеал Q содержит V. По условию идеал V Я-инвариантен. Мы получаем цепочку идеалов Q Э QH Э V. В пункте 1) мы доказали, что Q# первичный идеал. Так как Q минимальный идеал над V, то (2 = (Зя-П Следствие 3.2.2. Заключения Утверждения 3.2.1 справедливы, если если R квантовая разрешимая алгебра, удовлетворяющая Условиям Q1-Q4, и Я группа диагональных автоморфизмов, определённых в Условии Q3. Лемма 3.2.3. Пусть В = В[х;т,S] расширение Оре. Пусть S — Я-инва-риантное множество знаменателей в В. Тогда S множество знаменателей в В . Доказательство. Множество S замкнуто относительно умножения и состоит из регулярных элементов кольца В . Осталось показать, что для S выполнено условие Оре в В!. Достаточно доказать, что для любого элемента s Є S и натурального п существуют t,t Є S и 6, У Є В такие, что txn = bs и xnt = sb . Мы докажем существование t, b. Существование t ,b доказывается аналогично. Утверждение будем доказывать индукцией по п. Пусть п = 1. Напомним, чо ха = т(а)х+5(а). Получаем r(s)x = x$ — 5(s). Для элементов S(s) Є Виз Є S существуют элементы s і Є S-,bi Є Я такие, что siS(s) = b\s. Получаем Обозначая t — S\T{$) Є S и 6 = s\x — &i, мы завершаем случай n =-1. Предположим, что утверждение доказано для п — 1. Докажем для по казателя п. Выше мы доказали существованиеі t Є S, b 6 В таких, что tx = bs. По предположению индукции существуют t Є S и b В такие, что t xn l = b t. Мы получаем Это завершает доказательво.П Напомним, что S - внутреннее r-дифференцирование кольца R, если существует г Є R такой, что 5(a) — т(а)г — га для всех а Є R. Лемма 3.2.4. Пусть А алгебра с делением над полем F, char(F) = 0. Пусть А — А[ж;г, 5] - g-косое расширение (т.е 5т = qrS с q Є і 1 ). Пусть q не корень из 1 и т-дифференцирование 5 не внутреннее. Тогда А - простое кольцо. Доказательство. Хорошо известно [70, 2.5], что для любого а Є А имеет место формула
О пуассоновых алгебрах
В этом параграфе будут доказаны некоторые утверждения о пуассоновых алгебрах, которые понадобятся в дальнейшем. Пусть Л коммутативная аффинная С-алгебра со скобкой Пуассона. Мы будем называть Л пуассоновой алгеброй и многообразие X = Махэрес(Л) -пуассоновым многообразием. Здесь X является аффинным алгебраическим многообразием (вообще говоря, с особыми точками). Мы рассмотрим стратификацию X: X = XQ Э Х\ Э — Э Хт =-0,.в которой Х{ = (Xi_i)s;ng. Соответствующие идеалы IQ = \/{0} С h С С Im = Л являются полупервичными иделами для всех і = 0, ,т. Эти идеалы являются также пуассоновыми идеалами [97, Corollary 2.4]. Гладкая часть Xf = ХІ — ХІ-І многообразия Х{ является комплексным пуассоновым многообразием. Она распадается на симплектические листы [14]. Напомним, что симплекти-ческий лист Qx точки а; Є X является наибольшим связным комплексно-аналитическим подмногообразием в X таким, что ібПги скобка Пуассона невырождена (т.е. определяет невырожденную 2-форму на касательном пространстве) в каждой точке Qx. Для любой системы образующих элементов а\,..., ап алгебры А мы обозначим через М(сц, ... ,ап) матрицу ({о», })"-=1. Для любой точки х Є X мы рассмотрим специализацию Ранг матрицы Мх(а\,... ,ап) зависит от х и не зависит от выбора системы образующих элементов [101, 2.6]. Обозначим Заметим, что гапкяЛ = сИтПх. Определение 4.4.1. Мы обозначим через гапкЛ и будем называть рангом алгебры Л наибольший из рангов гапк Л, х Є X. Пусть В пуассонова подалгебра в Л и Y = Махэрес(Б). Обозначим через ф : X - Y соответствующий морфизм пуассоновых многообразий. Для любой системы образующих элементов &i,...,6m подалгебры В существует матрица Т с матричными элементами из Л такая, что Му(&і,..., bm) = Т Мх(а,1,... ,ап)Т для у = ф(х). Отсюда ггьпкуВ гапк Л. Утверждение 4.4.2. Пусть Ли В как выше. Предположим, что Л конечна над В. Тогда существует непустое открытое по Зарисскому подмножество U С У такое, что для всех у Є U и х Є ф 1{у) имеет место гапкхЛ = гапкуБ. Доказательство. Радикал нетеровой алгебры и её минимальные первичные идеалы инвариантны относительно любого дифференцирования этой алгебры [12, 3.3.3]. Поэтому радикал пуассоновой алгебры и все её минимальные первичные идеалы являются пуассоновыми идеалами.
Утверждение достаточно доказать для случая, когда Л область. Пусть Л область иаі,...,а„ система образующих в Л. Рассмотрим первый образующий элемент а = а\. Так как алгебра Л конечна над /?, существует многочлен f(t) = CQtk+c\tk l + .. ,+Ck с коэффициентами со, сі,..., Ск Є В и со ф 0 такой, 4Tosuch /(а) = 0. Можно считать, что многочлен f(t) неприводим над Fract(#). Отсюда дискриминант Disc(/) является ненулевым элементом в В. Обозначим через U\ = {у Є У : Disc(f)(y) Ф 0,со(?/) ф 0} и пусть х Є 4 l{Ui). Имеем ф(х) = у Є U\. Заметим, что а(х) - корень многочлена f(y)(t) = co(y)tk + c\(y)tk l + ...+ Ck(y). Поскольку Disc/(y)(у) — D isc(f)(y) ф 0, то все корни (в частности, а(х)) многочлена f{y)(t) однократные. То есть Рассмотрим матрицу Mx(ai,..., ап, со, сі,..., с&). Её ранг равен рангу метрицы гапк Д = rankMx(ai,... , а„). Для любого элемента д из множества справедливо равенство 0 = {f(a),g} = f (a){a,g} + {с$,д}ак + ... + {ск,д}. Тогда Первая строка и первый столбец нашей матрицы являются линейной комбинацией других её строк и столбцов. Следовательно, Мы можем продолжить этот процесс, полагая а = а . В конце мы получим где все С; принадлежат В. Тогда гапк Л гапкуВ. Отсюда, гапк Л = гапку5 для всех у в некотором непустом открытом множестве U и х Є ф-\у). П Следствие 4.4.3. Пусть Л и Б как в Утверждении 4.4.2. Тогда гапкЛ = гапкБ. Доказательство. Обозначим через Х (соотв. Y0) подмножество, состоящее из всех х Є X (соотв. у Є Y) таких, что гапк Л (соотв. гапкуБ) не наибольший. Для любого х в пересечении открытых множеств X — Х, ф 1(и) (см. Утверждение 4.4.2) и t l(Y — Y) мы получаем гапкЛ = гапк Л = гапку# = гапк5. Пусть К = С - поле комплексных чисел и Я квантовая разрешимая алгебра, удовлетворяющая Условиям 4.3.1-4.3.3. предположим, что є допустимый корень степени I из Г (см. Определение 4.3.16). Как обычно Z - центр R. Алгебра Z является пуассоновой алгеброй. Эта алгебра определяюет пуассоново многообразие М. = Maxspec(Ze). Пусть 7г неприводимое комплексное представление алгебры Де. Поскольку алгебра R конечна над своим центром, то 7Г имеет конечную размерность. Обозначим через 1{тт) ядро представления 7Г в Re. Для идеала /(7г) мы рассмотрим наибольший -инвариантный идеал 7(тг)р в /(я-).
