Содержание к диссертации
Введение
Глава 1, Интегралы Ходжа 6
1.1. Пространство модулей кривых 7
1.2. Вычисление интегралов Ходжа 9
1.3. Размеченные деревья 12
1.4. Выражение через суммы по деревьям 14
1.5. Примеры в малых родах 16
Глава 2. Числа Гурвица 19
2.1. Основные определения 20
2.2. Связь с пересечениями на М.3>п 22
2.3. Одно полиномиальное ветвление 25
Глава 3. Гипотеза Виттена 27
3.1. Иерархии Гельфапда-Дикого 28
3.2. Гипотеза Виттена 31
3.3. Корреляторы {тп<т Щ~1 rfyg 33
3.4. Обсуждение алгоритма 36
3.5. Вычисления в роде 3 38
Глава 4. Лемма Ионель 42
4.1, Допустимые накрытия 43
4.2, Кратность отображения Ляшко-Лойенги 46
4.3, Соотношения на интегралы Ходока 48
4.4, Пересечения Мамфорда-Мориты-Миллера 52
Литература 54
Введение к работе
Работа посвящена различным задачам геометрии пространства модулей кривых. Пространство модулей кривых интенсивно изучается в последнее время и является очень интересным объектом как в связи с различными задачами, возникающими в современной математической физике, так и само по себе, ввиду нетривиальное его геометрии.
Наиболее яркими результатами в этой области за последнее время являются, по все видимости, теорема Концевича [29], доказывающая гипотезу Виттепа [42] о связи теории пересечений на пространстве модулей кривых со струнным решением иерархии Кортвега-де-Фриза (эта теорема была также доказана Окуньковым и Пандхарипанде [35] и, совсем недавно, Мирзахани [33]), и формула Экедаля-Ландо-Шапиро-Вайнштейна [9, 10] (формула ELSV), выражающая числа Гурвица через пересечения на пространстве модулей кривых.
Вскоре после появления первого доказательства своей гипотезы, Виттен [43] придумал ее обобщение, утверждающее, что производящая функция некоторых специальных чисел пересечений на накрытиях пространства модулей кривых удовлетворяет уравнению струны и одной из иерархий Гельфанда-Дикого. С тех пор эта гипотеза многократно уточнялась и переформулировывалась в работах Джарвиса, Кимуры, Вайнтроба и Полищука [27, 37, 36].
Параллельно шла работа над пониманием структуры тавтологического кольца пространства модулей кривых. Тавтологическое кольцо - это минимальное подкольцо в кольце когомологий, включающее в себя все "геометические" классы когомологий. Гипотетическое описание тавтологического кольца дано в работах Хайна-Лойенги [22] и Фабера [11] (см. также обзор Вакиля [41]). В частности, важным шагом к пониманшо структуры тавтологического кольца оказался подсчет интегралов Ходжа, см. работы Фабера и Пандхарипанде [12, 13, 14].
Появление формулы ELSV, с одной стороны, позволило свести некоторые задачи теории пересечений к комбинаторике чисел Гурвица, а с другой стороны - использовать накопленные знания про пересечения для получения новых формул и соотношений на числа Гурвица. Существует несколько подходов к получению обобщений формулы ELSV, описанных в работах Казаряна и Ландо [5], Гульдена, Джексона и Вакиля [20], и Шапиро и Вайнштейна [39].
Наши результаты касаются всех затронутых выше тем. Основным результатом является создание и развитие некоторого довольно общего подхода к вычислению различных чисел пересечений на пространстве модулей кривых. Грубо говоря, мы сводим большой класс задач теории пересечений на пространстве модулей кривых к теории пересечений на пространстве мероморфных функций. Отметим, что, в некотором смысле, большая часть вычислений на пространстве модулей кривых так или иначе связана с переходом к пространству мероморфных функций. Например, ту же идею реализует стандартный метод виртуальной локализациию (см., например, [35]). Преимущество нашего, ориентированного на более частные задачи, подхода заключается в его геометрической наглядности. Также наш подход позволяет черевычайно просто вычислять широкий класс пересечений на циклах двухточечных ветвлений, что в последнее время стало довольно актуальным, см. [15].
Основой всех наших вычислений является лемма Ионель [26], которую мы подробно разбираем в главе 4. Сама Ионель применила свою (замечательную, на наш взгляд) лемму лишь для доказательства слабой формы гипотезы Гетцлера о том, что любой моном степени д от стандартных пси- и каппа-классов на открытом пространстве модулей кривых рода д равен нулю, В некотором смысле, наш способ применения леммы Ионель к различным задачам является более простым универсальным вариантом "рациональной модели" пространства модулей кривых, см., например, [8].
Перейдем теперь к перечислению конкретных результатов, содержащихся в работе, и описанию разбиения работы на главы. Общая схема заключается в следующем. В главах 1, 2 и 3 мы формулируем наши результаты и доказываем те из них, которые не требуют серьезной технической работы, основанной на лемме Ионель. В главе 4, мы приводим лемму Ионель и многократным ее применением доказываем все остальные результаты работы.
В главе 1 мы исследуем интегралы Ходжа. В частности, мы приводим биномиальное выражение для интегралов Ходжа по пространству модулей кривых через интегралы Ходжа по циклам двухточечных ветвлений (теорема 1). Далее, на интегралы по циклам двухточечных ветвлений мы приводим уравнение типа "cut-and-join" (теорема 2). Это уравнение позволяет свести любой рассматриваемый интеграл к некоторым простейшим, значения которых мы тоже вычисляем (теорема 3). Далее, в случае когда мы рассматриваем интегралы с участием старшего класса Ходжа, удается получить формулу для интегралов через сумму по графам (теорема 4), имеющую нетривиальные комбинаторные следствия (следствия
1 и 2). Отдельно мы разбираем случай рода ноль, где возникает особенно простая комбинаторика (теорема 5).
В главе 2 мы исследуем числа Гурвица. В частности, мы выражаем полиномиальные двойные числа Гурвица через пересечения на циклах двухточечных ветвлений (теорема 6), и, пользуясь формулами из предыдущей главы, приводим новые линейные соотношения на числа Гурвица (следствие 3). Также мы приводим новое доказательство соотношения типа "cut-and-join" для чисел Гурвица (следствие 4). В случае, когда мы рассматриваем числа Гурвица с одним непростым ветвлением, являющемся полиномиальным, мы приводим альтернативное независимое доказательство следствия 3, основаное на формуле ELSV (следствие 5),
В главе 3 мы применяй ту же самую технику к вычислению некоторых из пересечений Мамфорда-Мориты-Миллера, составляющих предмет расширенной гипотезы Виттена. Начинаем мы с исследования интегрируемых иерархий (для того, чтобы иметь информацию для сравнения), и находим одно из соотношений бига-мильтоновой рекурсии для иерархии иерархии Буссинеска (утверждение 7), Далее, для чисел пересечений Мамфорда-Мориты-Миллера мы приводим аналоги теорем 1, 2 и 3, позволяющие вычислять их в частных случаях (теоремы 8, 9 и 10). Отметим, что у теорем 8, 9 и 10 имеются обощения из [47], упрощающие, довольно существенно, вычисления, однако опущенные нами в этой работе для облегчения понимания.
В главе 4 мы приводим в полном объеме теорию Ионель, и, основываясь на ней, доказываем все наши основные теоремы.
Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору В. М. Закалюкину и доктору физико-математических наук С. М. Натанзону за многочисленные полезные советы и обсуждения.
Вычисление интегралов Ходжа
Зафиксируем д 0 и п 1. Мы рассматриваем деревья с корнем. Каждая вершина должна иметь не более двух сыновей. Мы требуем, чтобы в дереве было ровно п вершин без сыновей и ровно д вершин с одним сыном. Как следствие, вершин с двумя сыновьями будет ровно п — 1. Вершины без сыновей мы называем листьями. Обозначим через VQ множество листьев. Зафиксируем взаимно-однозначное отображение nm : Vo - {1,.. .,п}. Потребуем, чтобы отец каждого листа имел двух сыновей. На самом деле, мы вводим это требование лишь для того, чтобы уменьшить количество деревьев в примерах. Вклад всех деревьев, не удовлетворяющих этому требованию, и так был бы нулевой. Обозначим через V\ () множество вешин с одним сыном (двумя сыновьями). Рассмотрим отображение удовлетворяющее следующим трем требованиям: (1) Отображение ср сопоставляем разным вершинам разные числа. (2) Если вершина v является потомком вершины v , то ср (и) cp(v ). В частности, если корневая вершина имеет одного сына (двух сыновей), то ее образ при отображении ср равен 2 (1). Размеченным деревом (или (п, р)-размеченным деревом) мы называем весь описанный набор данных, то есть, корневое дерево с отображениями nm и ср, Рассмотрим п = 3, д = 2. С точностью до эквивалентности, существует три возможных корневых дерева с отображением ср. Про две верешины, соединенные ребром в дереве с корнем, можно сказать, что одна из них - отец, а другая - сын. Отцом (сыном) называется та из вершин, которя ближе (дальше) от корня дерева. Заметим, что в этом частном случае тип графа однозначно определяет отображение ср. Для каждого из этих деревьев существует три возможных отображения nm. Рассмотрим п = 2, д — 2. Существует единственое возможное корневое дерево с отображением ср. Для этого дерева возможно лишь одно отображение n m . Рассмотрим п = 1, д = 2. Таких размеченных деревьев не существует. Более того, если n = 1, то размеченное дерево существует тогда и только тогда, когда д = 0. В этом случае это дерево состоит из одной вершины. Рассмотрим размеченное дерево. Определим отображение Отображение ml сопоставляет вершине количество листов среди ее потомков, В примерах, изученных выше, отображение ml выглядит сле В этом разделе мы приводим выражение числа WHrft) через сумму по (п, д) -размеченным древьям и некоторые его комбинаторные следствия. Приведем выражение для W iff) через сумму по деревьям: ТЕОРЕМА 4.
Для любых п 1 и д 0 верно следующее: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На самом деле, эта теорема более или менее очевидна. Рассмотрим вычисление числа W {ify) шаг за шагом. Одновременно мы будем пытаться построить соответствующие размеченные деревья. В начале мы имеем только п вершин v,...,v- Первый шаг, полученный применением формулы 8: Рассмотрим слагаемое в правой части этой формулы, соответствующее паре (i,j), г j. В соответствии с этим слагаемым, мы добавляем к нашему графу вершину v lg+n_l с двумя сыновьями, v и Vy Мы полагаем cpfvfj+n-i) = 2 7 + п — 1. По определению, m (v2g+n i) = 2- Соответственно, множитель 2/(2д 4- п — 1) равен отношению m!(tjП+ТІ-О/Ф ІО+П-І)- (Множитель 1/п мы будем все время пропускать во время вычислений, и учтем его лишь в самом конце.) Сделаем с этим слагаемым следующий шаг. Мы имеем: Здесь суммирование ведется по i ,f Є {1,... ,п} \ {г, j}. Рассмотрим слагаемое в первой сумме правой части этого уравнения, соответствующее паре (i ,j ), і1 f. В соответствии с эти слагаемым, мы добавляем к нашему графу вершину 2д+п_2 с ДОУМЯ сыновьями, v и у,. Положим ср ( 2g+n-2) = 2д + п — 2. По определению, ml (v„+n_2) = 2. Соответственно, множитель 2/(2(/ + п — 2) равен отношению ml (wff+n_2)/cp( +„_2). Рассмотрим слагаемое во второе сумме правой части этого уравнения, соответствующее индексу і . В соответствии с этим слагаемым, мы добавляем в наш граф вершину ъ\„+п_2 с двумя сыновьями, и и «2д-н,-і- Положим ср {vlg+n_2) = 2д+п—2. По определению, ml (v2g+n_2) = 3. Соответственно, множитель 3/(2д + п — 2) равен отношению ml (v$g+n_2)/cp (v%g+n_2). Рассмотрим последнее слагаемое правой чати этого уравнения. В соответствии с этим слагаемым, мы добавляем к нашему графу вершину vlg+n_2 с одним сыном, vff+n_1. Полагаем cp(vlg+n_2) = 2д + п — 2. По определению, мы имеем m\(v2S+n-2) = 2. Соответственно, множитель (23 — 2)/12(2# + п — 2) равен отношению {m\3(v]g+n_2) - ml (vlg+n„2))/12cp (изд+п-г) Продолжая эту процедуру, мы получаем в точности представ ление интеграла W (rj") через размеченные графы. Пропущенный множитель 1/п дает вклад 1/п5+"-1; в точности этот множитель мы имеем в определении N(T).
Примеры в малых родах
Здесь мы приводим некоторые вычисления, позволяющие независимо проверить следствие 1 в частном случае, и, соответственно; убедиться на примере, что алгоритм вычисления интегралов Ходжа действительно работает. Положим д = 2, п = 1. Напомним, что В4 = —1/30. Соответственно, мы хотим проверить, что Мы уже изучили, в качестве приверов, все типы графов, которые дают вклад в суммы і з и 2,2- Сумма 52із определяется первыми тремя типами графов. Эти графы допускают по три возможных отображения ппл . Отоюраже-ния ср и ml для этих графов приведены выше. Таким образом, вклад графов первого типа составляет Соответственно, что подтверждает следствие 1. В роде ноль у нас получается наиболее простая и красивая комбинаторика. Более того, в этом случае наши теоремы про пересечения на пространстве модулей кривых имеют простую комбинаторную интерпретацию. Зафиксируем д = 0 и п 1. Мы опишем здесь деревья, отвечающие числу W(rji). Мы рассматриваем деревья с корнем, Каждая вершина либо имеет два сына, либо является листом. Мы имеем ровно п листьев и ровно п — 1 вершину с двумя СЫНОВЬЯМИ. Обозначим через Vo множество листьев. Выберем какое-нибудь взаимно-однозначное отображение nm : Vo —ї {1,,.. ,п}. Обозначим через V множество вершин с двумя сыновьями. Выберем взаимно-однозначное отображение ср : Vs — {1,... ,п — 1}, удовлетворяющее следующему условию: если вершина v является потомком вершины v , то cp(v) ср(г/). Размеченным тг-деревом мы называем весь этот набор данных, то есть, корневое дерево с отображениями nm и ср. Рассмотрим размеченное п-дерево. Определим еще функцию ml: V2 — {1,..,, п}, сопоставляющую вершине количество листьев среди ее потомков. Рассмотрим размеченное дерево Г. Обозначим через Л/(Г) следующее произведение: Частный случай теоремы 4 выглядит следующим образом: 5. Для любого п, г где сумма берется по всем размеченным тг-деревьям Г.. Как мы уже убедились, J r N(r) равняется числу WQ(T)I), где числа №о(Пы ) можно воспринимать как комбинаторные объекты, определенные рекуррентными соотношениями: и начальными данными: Заметим, что числа Wo(nt=i?7a,) однозначно этим определяются. Заметим также, что ([{г=гг]ах) — 1 удовлетворяют и рекуррентным соотношениям и начальным данным. Таким образом, для ЛЕО6ЫХ оь ,.., ак W00(Ilf=i %.) = 1- В частности, W0( 7") = 1, Рассмотрим мероморфную функцию /: С — СР1 степени п, определенную на римановой поверхности С рода д. Пусть z GP1. Тогда f % (z) = аїрі Н h akPh, где pi,..., рк - попарно различные точки С, а ох,..., ад, - натуральные числа, такие, что 5Df=1 at = п. ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО «і - Ofc. Набор чисел (ai,.. .,) называется паспортом функции / над точкой z. Например, паспорт мероморфной функции над регулярным значением равен (1,1,,.., 1); паспорт мероморфной функции над простым критическим значением равен (2,1,..., 1); паспорт многочлена степени п над бесконечностью равен (п). Две мероморфные функции, Л: Сі - СР1 и /я: ( - QP1, считаются эквивалентными, если найдется биголоморфное отображение tp: Сі — С%, такое, что /і = /г
Автоморфизмом мероморфной функции /: С — СР1 называется автоморфизм кривой С, сохраняющий функцию /. Каждая мероморфная функция имеет конечную группу автоморфизмов. Группа автоморфизмоа функции / обозначается aut(/). Каждая мероморфная функция определяет развелвленное накрытие сферы Римана. Критические точки функции - это точки ветвления накрытия. Нетрудно видеть, что автоморфизмы мероморфной функции - это просто автоморфизмы разветвленного накрытия. Зафиксирует род д 0, степень п 1 и т различных точек zi,...,zm Є СР1. Пусть Аг = {а\,о ,.. .,а\ , г 1,...,т, - невозрастающие последовательности натуральных чисел, такие, чт0 72з =і aj = п С точностью до эквивалентности, существует лишь конечное число мероморфных функций f .G—t СР1 степени п, определенных на кривых рода д, таких, что паспорт функции / над точкой гг равен АІ, і = 1,..., т, и / определяет неразветвленное накрытие над СР1 \{zi,.. .,zm}. Обозначим множество таких функций через F(g,n; zi,... і zm; Аи ..., Ат). Числом Гурвица Н(д, и; Ль..., Ат) называется l/aut (/) , где суммирование ведется по всем функциям / F(g, щ z\,.,., zm; Лі,... і Ат) для произвольного выбора точек Zi,...,zmG. СР1. Нетрудно видеть, что число Гурвица не зависит от выбора точек z\% , zm- Для этого достаточно рассмотреть вместо мероморфных функций разветвленные накрытия. В качестве примера рассмотрим гиперэллиптические накрытия. Тогда т = 2д + 2, Н{д, 2; (2),..., (2)) = 1/2. Рассмотрим случай д — 0. Пусть п и А\ — (ai,..., щ) - произвольные; т= п + 1 — 1, А2 = А3 == Ат = (2,1,..., 1). Грубо говоря, нас интересует количество рациональных функций с фиксированным дивизором полюсом и фиксированными критическими значениями, причем все их критические значения простые, В этом случае мы имеем (см. [25]): Важный частный случай этого утверждения - когда I — 1, А\ = (п). Тогда мы рассматриваем многочлены общего положения с фиксированными критическими значениями. В этом случае мы имеем m = п, и Н(0,щА ...,Ап) = пп 3 [30]. В этом разделе мы напомним формулу Экедаля-Ландо-Шапи-ро-Вайнштейна (ELSV), выражающую числа Гурвица через интегралы Ходжа, и приведем новую формулу, выражающую числа Гурвица через пересечения с циклами двухточечных ветвлений. 2.2.1. Формула ELSV. Мы рассматриваем числа Гурвица, определенные для произвольных д О, п 1, Ai = (сч,..., щ), где т — 2д + п + I — 1, А2 = А3 = Ат = (2,1,.,., 1). Формула из [9, 10] утверждает, что Например, пользуясь известными формулами для чисел пересечений в роде ноль, можно вывести из этой формулы формулу (44). Нам будет важен частный случай этой формулы, когда I = 1, «і = п. Тогда 2.2.2. Двойные полиномиальные числа Гурвица. Рассмотрим числа Гурвица, определенные произвольными п О и д О, такие, что А\ = {п), Аз = (ai,..., щ), а Аз = = Ат = (2,1,..,, 1), причем га — I — 1 = 2р. Напомним, что через К,(аь,,., а„) обозначается замыкание пространства V(au ...,а„) в Mg n+i, где У{аг,..., ап) состоит из гладких кривых {С, х0,,.. ,#„), таких, что формальная сумма является главным дивизором на кривой С. ТЕОРЕМА 6. Если т 3, то Иными словами, в обозначениях предыдущей главы, мы имеем: j,m-3 Рассмотрим формулу (48) в случае рода ноль. Мы в идем, что пространство У3(аг ап) = Л4Л„+і, интегральная часть форму лы равна 1. Соответственно, что согласуется с формулой из [17, 3]. Соотношения на числа \д(сц, ...,сц) (теорема 1) позволяют нам получить соотношения на числа Гурвица. Для удобства введем следующее обозначение: СЛЕДСТВИЕ 3. Для любых д 0, п 1, он ь щ = п, верно следующее: 24э Проведем независимую проверку следствия 3 в частном случае-Пусть д — 1. Тогда, согласно формуле из [20], (53) я2 ь...,а() = _ Л2- ), где А = -1 + а\ + - - - -Ь а], В = -1 + а\ + + of. Таким образом, в этом частном случае наша теорема сводится к следующей формуле: (54) (І _ІВ)_2(1(Л + 1) _І(В + 1)) + + (І(Л + 2)2-і(В + 2))=1, что нетрудно проверить прямым вычислением.
Связь с пересечениями на М.3>п
Работа посвящена различным задачам геометрии пространства модулей кривых. Пространство модулей кривых интенсивно изучается в последнее время и является очень интересным объектом как в связи с различными задачами, возникающими в современной математической физике, так и само по себе, ввиду нетривиальное его геометрии. Наиболее яркими результатами в этой области за последнее время являются, по все видимости, теорема Концевича [29], доказывающая гипотезу Виттепа [42] о связи теории пересечений на пространстве модулей кривых со струнным решением иерархии Кортвега-де-Фриза (эта теорема была также доказана Окуньковым и Пандхарипанде [35] и, совсем недавно, Мирзахани [33]), и формула Экедаля-Ландо-Шапиро-Вайнштейна [9, 10] (формула ELSV), выражающая числа Гурвица через пересечения на пространстве модулей кривых. Вскоре после появления первого доказательства своей гипотезы, Виттен [43] придумал ее обобщение, утверждающее, что производящая функция некоторых специальных чисел пересечений на накрытиях пространства модулей кривых удовлетворяет уравнению струны и одной из иерархий Гельфанда-Дикого. С тех пор эта гипотеза многократно уточнялась и переформулировывалась в работах Джарвиса, Кимуры, Вайнтроба и Полищука [27, 37, 36]. Параллельно шла работа над пониманием структуры тавтологического кольца пространства модулей кривых. Тавтологическое кольцо - это минимальное подкольцо в кольце когомологий, включающее в себя все "геометические" классы когомологий. Гипотетическое описание тавтологического кольца дано в работах Хайна-Лойенги [22] и Фабера [11] (см. также обзор Вакиля [41]). В частности, важным шагом к пониманшо структуры тавтологического кольца оказался подсчет интегралов Ходжа, см. работы Фабера и Пандхарипанде [12, 13, 14]. Появление формулы ELSV, с одной стороны, позволило свести некоторые задачи теории пересечений к комбинаторике чисел Гурвица, а с другой стороны - использовать накопленные знания про пересечения для получения новых формул и соотношений на числа Гурвица. Существует несколько подходов к получению обобщений формулы ELSV, описанных в работах Казаряна и Ландо [5], Гульдена, Джексона и Вакиля [20], и Шапиро и Вайнштейна [39]. Наши результаты касаются всех затронутых выше тем. Основным результатом является создание и развитие некоторого довольно общего подхода к вычислению различных чисел пересечений на пространстве модулей кривых.
Грубо говоря, мы сводим большой класс задач теории пересечений на пространстве модулей кривых к теории пересечений на пространстве мероморфных функций. Отметим, что, в некотором смысле, большая часть вычислений на пространстве модулей кривых так или иначе связана с переходом к пространству мероморфных функций. Например, ту же идею реализует стандартный метод виртуальной локализациию (см., например, [35]). Преимущество нашего, ориентированного на более частные задачи, подхода заключается в его геометрической наглядности. Также наш подход позволяет черевычайно просто вычислять широкий класс пересечений на циклах двухточечных ветвлений, что в последнее время стало довольно актуальным, см. [15]. Основой всех наших вычислений является лемма Ионель [26], которую мы подробно разбираем в главе 4. Сама Ионель применила свою (замечательную, на наш взгляд) лемму лишь для доказательства слабой формы гипотезы Гетцлера о том, что любой моном степени д от стандартных пси- и каппа-классов на открытом пространстве модулей кривых рода д равен нулю, В некотором смысле, наш способ применения леммы Ионель к различным задачам является более простым универсальным вариантом "рациональной модели" пространства модулей кривых, см., например, [8]. Перейдем теперь к перечислению конкретных результатов, содержащихся в работе, и описанию разбиения работы на главы. Общая схема заключается в следующем. В главах 1, 2 и 3 мы формулируем наши результаты и доказываем те из них, которые не требуют серьезной технической работы, основанной на лемме Ионель. В главе 4, мы приводим лемму Ионель и многократным ее применением доказываем все остальные результаты работы. В главе 1 мы исследуем интегралы Ходжа. В частности, мы приводим биномиальное выражение для интегралов Ходжа по пространству модулей кривых через интегралы Ходжа по циклам двухточечных ветвлений (теорема 1). Далее, на интегралы по циклам двухточечных ветвлений мы приводим уравнение типа "cut-and-join" (теорема 2). Это уравнение позволяет свести любой рассматриваемый интеграл к некоторым простейшим, значения которых мы тоже вычисляем (теорема 3). Далее, в случае когда мы рассматриваем интегралы с участием старшего класса Ходжа, удается получить формулу для интегралов через сумму по графам (теорема 4), имеющую нетривиальные комбинаторные следствия (следствия 1 и 2). Отдельно мы разбираем случай рода ноль, где возникает особенно простая комбинаторика (теорема 5). В главе 2 мы исследуем числа Гурвица. В частности, мы выражаем полиномиальные двойные числа Гурвица через пересечения на циклах двухточечных ветвлений (теорема 6), и, пользуясь формулами из предыдущей главы, приводим новые линейные соотношения на числа Гурвица (следствие 3). Также мы приводим новое доказательство соотношения типа "cut-and-join" для чисел Гурвица (следствие 4). В случае, когда мы рассматриваем числа Гурвица с одним непростым ветвлением, являющемся полиномиальным, мы приводим альтернативное независимое доказательство следствия 3, основаное на формуле ELSV (следствие 5), В главе 3 мы применяй ту же самую технику к вычислению некоторых из пересечений Мамфорда-Мориты-Миллера, составляющих предмет расширенной гипотезы Виттена. Начинаем мы с исследования интегрируемых иерархий (для того, чтобы иметь информацию для сравнения), и находим одно из соотношений бига-мильтоновой рекурсии для иерархии иерархии Буссинеска (утверждение 7), Далее, для чисел пересечений Мамфорда-Мориты-Миллера мы приводим аналоги теорем 1, 2 и 3, позволяющие вычислять их в частных случаях (теоремы 8, 9 и 10). Отметим, что у теорем 8, 9 и 10 имеются обощения из [47], упрощающие, довольно существенно, вычисления, однако опущенные нами в этой работе для облегчения понимания. В главе 4 мы приводим в полном объеме теорию Ионель, и, основываясь на ней, доказываем все наши основные теоремы. Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору В. М. Закалюкину и доктору физико-математических наук С. М. Натанзону за многочисленные полезные советы и обсуждения.
Гипотеза Виттена
Рассмотрим особую кривую С с одной двойной точкой. Обозначим через 7г: Со С нормализацию кривой С. Прообраз двойной точки состоит из двух точек, х и х". Существует г возможных случаев поведения Т около двойной точке. Первые г — 1 случай выглядят как Т = тг Т\ где Т - локально свободный пучок на нормализации СЦ с естественным изоморфизмом Т Г К (61=10(х{)-т ) 0(x )-m 0{х,,)-{-Т 2-т\ т= 0, ...,г — 2. В последнем возможном случае Т определяется точной последовательностью О- Т —ь Т ) О —f 0. Здесь Т = к Т", где T mr = К(=101хг)-тп )0(х ) (г 1)0{я Т{т 1)- Отображение Т — О -это отображение взятия вычета, сопоставляющее сечению Тего коэффициент при (dxfx)l/r в особой точке. Если когомологии Н(С,Т) равны нулю на любой кривой, то можно рассмотреть расслоение V над M.g s со слоем, равным двойственному пространству к Н1 (С, Т). Обозначим через cp{V) старший класс Черна этого расслоения; ранг D выражается как В случае, когда Н(С, Т) не равно нулю на любой кривой, есть другая конструкция класса в соответствующей группе когомоло-гий. Обозначим этот класс также через CD(V). Этот класс однозначно определяется системой аксиом. Рассмотрим граничную компоненту -Mfl)S, состоящую из кривых с одной двойной точкой, где поведение Т определяется одним из первых г — 1 описанных случаев. Если граничная компонента состоит из ДВуКОМПОНеНТНЫХ КрИВЫХ, ТО Сц(У) = CUiiVi) CD2(V2), где Vi И Уг - соответствующие расслоения на пространствах модулей компонент, V = Vi Ф Уг- Если граничная компонента состоит из неприводимых самопересекающихся кривых, то cp(V) C (V), где класс CD(V ) определен на пространстве модулей нормализации. Рассмотрим также граничную компоненту Ai„iS, состоящую из кривых с одной двойной точкой, где поведение Т определяется последним возможным случаем . Здесь мы требуем, чтобы ограничение CJO{V) на эту граничную компоненту равнялось нулю. Эти свойства однозначно определяют числа пересечений с классом cD(V), которые мы здесь рассматриваем. Это известно для пересечений в родах 0 и 1, а для старших родов это следует из наших теорем, приведенных ниже.
Проблемы существования и единственности такого класса обсуждаются в [27, 37, 36]. алгоритм вычисления корреляторов вида (r„im ПГі ro «)s Точнее говоря, наш алгоритм сводит вычисление корреляторов такого вида к некоторым числам пересечений в родах 0 и 1, вычислить которые уже не составляет труда. Сейчас мы определим вспомогательные интегралы по циклам двухточечных ветвлений. Обозначим через Vm(n =1 %,Q,) подмногообразие пространства M gi+S, состоящее из кривых (C,xj... ,xi+s,T), таких, что дивизор -(12i=i ) 1 + 72І=І 0 1+, - главный. Накрытие М дЛ+1 - M3tl+S определяется здесь числами mt = т, та = Qi,... ,m[+3 = qs. Мы предполагаем, что аг Є N и 0 m, gi,..., qs г — 1. Обозначим через т(П-=і%,а.) замыкание V m(ULiVg„ai) и обозначим через 3„,(П І%А) число г - Ь,(ГК=і%.«.) Заметим, что „ДПі і Vmtfit) определено лишь при выполнении следующих условий: д 0; 0 m, qi,..., qs г — 1; п 0; s 1; и oi,.. -, as 1. Для удобства, мы положим 5Q m(i7mi,i) = 0 и, если 5 0,ТО т(П:=1%г„Л1)-0. Нам понадобится еще одно определение. Рассмотрим пространство М.г к Э (С, жі,..., ЖА;, 7") определенное числами mi,..., ть Пусть 6Ь ..., bk целые числа, не равные нулю, такие, что St=1 h = 0. Обозначим через W(bi,..., b ) замыкание подмногообразия, состоящего из гладких кривых ( 7, xi,.. .,х , Т), таких, что дивизор StLi btxt - главный. Обозначим через 5І(ПІ=І VmtM) число Ниже мы обсудим, как вычислять числа 5і(П(=і Vm bt) Здесь мы приведем формулу, выражающую числа пересечений СЧтПЙ ) чеРез интегралы т(Пг=і%,0 ТЕОРЕМА 8. Если s 1, то для любых ai as Є N и L Є N U {0} мы имеем: Как правило, мы будем использовать эту теорему полагая все а, равными единице и L равным нулю. Здесь первая сумма берется по всем подмножествам / множества {1,..,, s}. Далее, через а{1) обозначена сумма Ylksiак- Третья сумма берется по всем возможным разбиениям В = (&i,..., Ь3) длины j числа а(1), то есть, Ук=1 Ьк = а(1), Ьг Ь}, Ък Є N. Ниже мы разберем несколько примеров применения этой теоремы. Определим начальные значения для реккурентного соотношения (98). радаем корреляторы {гщт \YtZl ТОІІ)Я чеРез корреляторы (П 1 о рода 0 и интегралы Si(llt=i Vmt,h) РДа 1- Ниже мы объясняем, как выразить числа ЗіЩ=і Vmfit) чеРез (Ш=і ) 3.4.1. Простые примеры. В этом разделе мы используем теоремы 8, 9 и 10 для вычисления чисел пересечений Мамфорда-Мориты-Миллера в некоторых частных случаях. 3.4.1.1. (i%o)i. Мы рассматриваем случай г = 4. Из соотноше ния топологической рекурсии (см. [16]) следует, что (т1]0)і = 1/8. Мы докажем это независимо. Заметим, что (т\,о)і = (r2 oTo,o)i- Из формулы (97) следует, что Как следует из работы [43], в случае г = 4 мы имеем: (г ого,:г)о — го,о7о,і 0 = 1 (толтІ2)о = 1/4, (то]2)о = 1/8, а все остальные корреляторы вида (П[=і To tb равны нулю. Еще мы используем, что 3i(Y[t=iVmt,bt) равняется нулю, если один из ml равен нулю (из соображений размерности). Тогда из формулы (98) и формул для начальных значений следует: Так мы получаем, что (rii0)i = 1/8, как это и должно быть. 3.4.1.2. (тідт іГо о- Мы вычисляем {т ГцдТо о в случае г = 3. Из струнного уравнения следует, что (T1J1T 1T0IO)O = { 0,2)о — 1/3, но мы хотим подсчитать этот коррелятор с помощью нашего алгоритма. Напомним, что в случае г = 3 мы имеем (г20то,і)о = 1, {Ta,i)o = 1/3, а все остальные корреляторы вида (ПІ"=і ) равны нулю. Из нашего алгоритма следует: В этом разделе мы обсуждаем один из возможных подкодов к вычислению любого числа вида 5і(П(=і Vmt,bt)- Затем мы приводим
