Введение к работе
Актуальность темы. В настоящей диссертации производится исследование двух важных алгебр подмножеств топологических пространств и их "реакции" на действия конструкций функториального типа. Как известно, топология Т(Х) пространства X не является алгеброй подмножеств X. Поэтому Т{Х) либо сужают до СО(Х) — семейства всех открыто-замкнутых подмножеств X, которое уже является булевой алгеброй, либо расширяют до алгебры В(Х) боре-левских подмножеств X, то есть наименьшей (7-алгебры, содержащей Т(Х). Булева алгебра СО(Х) в случае нульмерного компакта X содержит в себе всю информацию о топологических свойствах X, что отражено в теореме двойственности М. Стоуна. Но, например, для связного пространства X эта алгебра является очень "бедной", не дающей никакой информации о топологии X. Поэтому СО(Х) расширяют до булевой алгебры RO{X) канонических открытых подмножеств X, то есть множеств, совпадающих с внутренностями своих замыкании. Понятие канонического открытого (замкнутого — дополнение до канонического открытого) множества появилось в работе К. Ку-ратовского 1922 г. и с тех пор использовалось в различных разделах общей топологии. Наибольший интерес представляет сама булева алгебра RO(X), в которой булево пересечение совпадает с теоретико-множественным пересечением, булево объединение определяется как внутренность замыкания теоретико-множественного объединения, а булево дополнение — внутренность теоретико-множественного дополнения. RO(X) — полная булева алгебра, а для нульмерного компакта X пополнением СО(Х) как раз является RO{X). Для компакта X изучение булевой алгебры RO(X) заменяется описанием топологических свойств пространства Стоуна RO(X), а в топологической терминологии — абсолюта X. Понятие абсолюта компакта появилось первоначально (под другим названием) в работах А. Глисона [1]
[1] Gleason А. М. Projective topological spaces // 111. J. Math. 1958. 2, p. 482-489.
и Дж. Рейнуотера [2]. Построение же теории абсолютов регулярных пространств было осуществлено В. И. Пономаревым [3]. Итак, описание RO{X) является предметом теории абсолютов — раздела общей топологии.
Обсудим теперь второе направление, о котором говорилось выше, а именно — расширение топологии до булевой алгебры В{Х) борелевских подмножеств X. Понятие борелевского подмножества прямой, возникшее в анализе, с появлением определения топологического пространства стало объектом самостоятельного изучения общей топологии. Первоначально это относилось к алгебре борелевских подмножеств метрического пространства. В сепарабельном случае богатая результатами дескриптивная теория связана с именами П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, К. Куратовского, Н. Н. Лузина, М. Я. Суслина, Ф. Хаусдорфа и др. Первые результаты в не-сепарабельном случае были получены Д. Монтгомери в 1934 г. В случае неметризуемого пространства алгебра В{Х) слишком велика и слабо связана с топологическими свойствами X. Поэтому для тихоновского пространства X алгебру В(Х) сужают до алгебры Bq[X) бэровских подмножеств, то есть наименьшей и-алгебры, содержащей все нуль-множества X. Эта алгебра уже в гораздо большей степени, чем В(Х), связана с топологией пространства X. Значение понятия алгебры бэровских подмножеств определяется хотя бы той ролью, которую оно играет в общей теории интегрирования. В этой связи достаточно упомянуть книгу П. Халмоша [4]. Кроме того, эта алгебра — объект самостоятельного изучения дескриптивной теории топологических пространств — раздела общей топологии, современ-
[2] Rainwater J. A note on projective resolutions // Proc. Amer. Math. Soc. 1959. 10, p. 734-735.
[3] Пономарев В. И. Об абсолюте топологических пространств // ДАН СССР. 1963. 141, № 1, с. 46-49.
[4] Halmos P. R. Measure Theory. — D. van Nostrand Company, 1951.
ное состояние которого отражено D [5].
Итак, мы описали объекты нашего исследования Bq(X) и RO(X). В качестве X рассматриваются пространства Дугунджи, диаднче-ские компакты и «-метризуеиые компакты. Эти классы пространств представляют собой расширения класса метризуемых компактов, для которого структуры указанных алгебр полностью описаны. Весьма актуальной представляется задача изучения алгебр подмножеств пространств указанных классов, которой в диссертации уделено много внимания.
Как известно, такие конкретные ковариантные функторы, как гиперпространство (ехр), пространство вероятностных мер (Р), стали объектами изучения общей топологии задолго до появления первых понятий теории категорий. В середине 70-х годов Е. В. Щепин, выделив несколько естественных свойств, ввел понятие нормального функтора, включающее в себя упомянутые выше примеры. Теория ковариантных функторов за последние 20 лет приобрела вполне конкретные очертания, выделившись в отдельную ветвь общей топологии. Можно условно выделить два направления исследований. Первое — дальнейшее изучение классических и близких к ним функторов. Это направление развивается в работах В. В. Федорчука [6], [7] и его учеников. Второе направление — изучение общих свойств ковариантных функторов. В этой связи отметим работы М. М. Заричного [8], [9]. Понятие абсолюта тоже имеет функториальный характер, поскольку
[5] Чобан М. М. Дескриптивная теория множеств и топология // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат. Фунд. направления. 1989'. 51, с. 173-237.
[6] Федорчук В. В. О некоторых геометрических свойствах ковариантных функторов // УМН. 1984. 39, № 5, с. 169-208.
[7] Федорчук В. В. Вероятностные меры в топологии // УМН. 1991. 46, № 1, с. 41-80.
(8) Zarichnyi М. М., On covariant topological functors, I // Questions and Answers in General Topology. 1990. 8, p. 317-369.
[9] Zarichnyi M. M., On covariant topological functors, II // Questions and Answers in General Topology. 1991. 9, p. 1-32.
можно определить абсолют не только пространства, а и отображения. Но если абсолют пространства единственен, то абсолют отображения, вообще говоря, нет. Последнее обстоятельство и послужило поводом для нестандартного словосочетания "функториальные конструкции". Изучение же свойств пространств, получаемых применением функториальных конструкций, находится в русле современных исследований, и ему в диссертации уделяется много внимания.
Цель работы. Изучение топологических свойств пространств, для которых булевы алгебры бэровских и канонических открытых множеств изоморфны соответствующим алгебрам тихоновского куба или инвариантны относительно действий ковариантных функторов.
Методы исследования. В диссертации широко используется спектральный метод, который для целей работы развивается. В частности, метод надождения в пределах спектров точек с заданными свойствами, предложенный во второй главе, является новым.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Некоторые из них дают ответы на поставленные в литературе вопросы.
Практияеская и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные методы могут быть применены в дескриптивной теории топологических пространств, теории булевых алгебр, близких к проективным, и категорией топологии.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры общей топологии и геометрии МГУ, на международных топологических конференциях (Москва, 1979; Ленинград, 1982; Баку, 1987; Бинц (ГДР), 1987; Варнемюнде (ФРГ), 1991), на Тпраспольских симпозиумах по общей топологии и ее приложениям (Тирасполь, 1979, 1985).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация объемом 223 страницы состоит из введения, трех глав, разбитых на 12 параграфов, а таюке списка основных понятий и обозначении и списка литературы, содержащего 8G наименований.
